متوازی الاضلاع چهار ضلعی است که اضلاع مقابل آن به صورت جفت موازی هستند. همچنین متوازی الاضلاع دارای ویژگی های زیر است: اضلاع مقابل برابر، زوایای مقابل برابر و مجموع همه زوایا 360 درجه است.

شما نیاز خواهید داشت

• دانش هندسه.

دستورالعمل ها

1. بیایید تصور کنیم که یکی از زوایای متوازی الاضلاع داده شده و برابر با A است. بیایید مقادیر 3 باقیمانده را پیدا کنیم. با توجه به خاصیت متوازی الاضلاع، زوایای مقابل برابر هستند. به این معنی که زاویه مقابل زاویه داده شده برابر با زاویه داده شده و مقدار آن برابر با A است.

2. بیایید دو گوشه باقی مانده را پیدا کنیم. از آنجایی که مجموع تمام زوایای متوازی الاضلاع برابر با 360 درجه و زوایای مقابل برابر با یکدیگر است، معلوم می شود که زاویه متعلق به همان ضلع با زاویه داده شده برابر است با (360 - 2A)/2. خوب، یا بعد از اصلاح، 180 - A می گیریم. بنابراین، در متوازی الاضلاع، دو زاویه برابر با A و دو زاویه دیگر برابر با 180 - A هستند.

توجه داشته باشید!
مقدار یک زاویه نمی تواند از 180 درجه تجاوز کند. مقادیر زاویه به دست آمده را می توان به راحتی تأیید کرد. برای انجام این کار، آنها را جمع کنید و اگر مجموع 360 باشد، همه چیز به درستی محاسبه می شود.

مشاوره مفید
یک مستطیل و یک لوزی موارد خاصی از متوازی الاضلاع هستند، بنابراین، تمام ویژگی ها و روش های محاسبه زوایا برای آنها اعمال می شود.

مشکل 1. یکی از زوایای متوازی الاضلاع 65 درجه است. زوایای باقیمانده متوازی الاضلاع را بیابید.

∠C =∠A = 65 درجه به عنوان زوایای متوازی الاضلاع.

∠A +∠B = 180 درجه به عنوان زوایای مجاور یک طرف متوازی الاضلاع.

∠B = 180° - ∠A = 180° - 65° = 115°.

∠D =∠B = 115 درجه به عنوان زوایای متوازی الاضلاع.

پاسخ: ∠A =∠C = 65 درجه; ∠B =∠D = 115 درجه.

وظیفه 2.مجموع دو زاویه متوازی الاضلاع 220 درجه است. زوایای متوازی الاضلاع را بیابید.

از آنجایی که متوازی الاضلاع دارای 2 زاویه تند مساوی و 2 زاویه منفرد برابر است، مجموع دو زاویه منفرد به ما داده می شود، یعنی. ∠B +∠D = 220 درجه. سپس ∠B =∠D = 220 درجه : 2 = 110 درجه.

∠A + ∠B = 180 درجه به عنوان زوایای مجاور یک طرف متوازی الاضلاع، بنابراین ∠A = 180° - ∠B = 180° - 110° = 70°. سپس ∠C =∠A = 70 درجه.

پاسخ: ∠A =∠C = 70 درجه; ∠B =∠D = 110 درجه.

وظیفه 3.یکی از زوایای متوازی الاضلاع 3 برابر بزرگتر از دیگری است. زوایای متوازی الاضلاع را بیابید.

اجازه دهید ∠A =x. سپس ∠B = 3x. با دانستن اینکه مجموع زوایای متوازی الاضلاع مجاور یکی از اضلاع آن برابر با 180 درجه است، معادله ای ایجاد می کنیم.

x = 180 : 4;

دریافت می کنیم: ∠A = x = 45 درجه، و ∠B = 3x = 3 ∙ 45 درجه = 135 درجه.

زوایای متضاد یک متوازی الاضلاع برابر است، بنابراین،

∠A =∠C = 45 درجه؛ ∠B =∠D = 135 درجه.

پاسخ: ∠A =∠C = 45 درجه؛ ∠B =∠D = 135 درجه.

وظیفه 4.ثابت کنید که اگر یک چهارضلعی دو ضلع موازی و مساوی داشته باشد، پس این چهارضلعی متوازی الاضلاع است.

اثبات

بیایید BD مورب را رسم کنیم و Δ ADB و Δ CBD را در نظر بگیریم.

پس از میلاد = قبل از میلاد بر اساس شرایط. سمت BD رایج است. ∠1 = ∠2 به صورت متقاطع داخلی با خطوط موازی (با شرایط) AD و BC و مقطع BD. بنابراین، Δ ADB = Δ CBD در دو ضلع و زاویه بین آنها (نشان اول برابری مثلث ها). در مثلث های متجانس، زوایای متناظر با هم برابرند، یعنی ∠3 =∠4. و این زوایا زوایای داخلی هستند که به صورت متقاطع با خطوط مستقیم AB و CD و مقطع BD قرار دارند. این بدان معناست که خطوط AB و CD موازی هستند. بنابراین، در این ABCD چهار ضلعی، اضلاع مقابل به صورت جفت موازی هستند، بنابراین، طبق تعریف، ABCD متوازی الاضلاع است، که باید ثابت شود.

وظیفه 5.دو ضلع متوازی الاضلاع به نسبت 2 هستند : 5، و محیط آن 3.5 متر است اضلاع متوازی الاضلاع را بیابید.

∙ (AB + AD).

بیایید یک جزء را با x نشان دهیم. سپس AB = 2x، AD = 5x متر. با دانستن اینکه محیط متوازی الاضلاع 3.5 متر است، معادله را ایجاد می کنیم:

2 ∙ (2x + 5x) = 3.5;

2 ∙ 7x = 3.5;

x = 3.5 : 14;

یک قسمت 0.25 متر است سپس AB = 2 ∙ 0.25 = 0.5 متر؛ بعد از میلاد = 5 ∙ 0.25 = 1.25 متر.

معاینه.

محیط متوازی الاضلاع P ABCD = 2 ∙ (AB + AD) = 2 ∙ (0,25 + 1,25) = 2 ∙ 1.75 = 3.5 (m).

از آنجایی که اضلاع مقابل متوازی الاضلاع برابر است، CD = AB = 0.25 متر. قبل از میلاد = بعد از میلاد = 1.25 متر.

پاسخ: CD = AB = 0.25 متر; قبل از میلاد = بعد از میلاد = 1.25 متر.

همانطور که در هندسه اقلیدسی، یک نقطه و یک خط مستقیم عناصر اصلی نظریه صفحات هستند، متوازی الاضلاع نیز یکی از اشکال کلیدی چهارضلعی های محدب است. از آن، مانند نخ های یک توپ، مفاهیم "مستطیل"، "مربع"، "لوزی" و سایر مقادیر هندسی جاری می شود.

در تماس با

تعریف متوازی الاضلاع

چهارضلعی محدب،متشکل از پاره های خطی که هر جفت آن موازی است، در هندسه به عنوان متوازی الاضلاع شناخته می شود.

متوازی الاضلاع کلاسیک چگونه به نظر می رسد توسط یک ABCD چهار ضلعی نشان داده می شود. اضلاع را قاعده (AB، BC، CD و AD) می گویند، عمود کشیده شده از هر راس به طرف مقابل این راس ارتفاع (BE و BF)، خطوط AC و BD را مورب می گویند.

توجه!مربع، لوزی و مستطیل موارد خاص متوازی الاضلاع هستند.

اضلاع و زوایا: ویژگی های رابطه

خواص کلیدی، به طور کلی، توسط خود نامگذاری از پیش تعیین شده است، با قضیه ثابت می شوند. این خصوصیات به شرح زیر است:

1. اضلاع که مقابل هم هستند جفت یکسان هستند.
2. زوایای روبروی هم به صورت جفت مساوی هستند.

اثبات: ∆ABC و ∆ADC را در نظر بگیرید که از تقسیم چهار ضلعی ABCD با خط مستقیم AC به دست می آیند. ∠BCA=∠CAD و ∠BAC=∠ACD، زیرا AC برای آنها رایج است ( زوایای عمودیبرای BC||AD و AB||CD، به ترتیب). از این نتیجه می شود: ∆ABC = ∆ADC (دومین علامت تساوی مثلث ها).

پاره های AB و BC در ∆ABC به صورت جفت با خطوط CD و AD در ∆ADC مطابقت دارند، به این معنی که آنها یکسان هستند: AB = CD، BC = AD. بنابراین، ∠B با ∠D مطابقت دارد و آنها برابر هستند. از آنجایی که ∠A=∠BAC+∠CAD، ∠C=∠BCA+∠ACD، که آنها نیز به صورت جفتی یکسان هستند، پس ∠A = ∠C. ملک ثابت شده است.

ویژگی های قطرهای یک شکل

ویژگی اصلیاز این خطوط متوازی الاضلاع: نقطه تقاطع آنها را به نصف تقسیم می کند.

اثبات: به عنوان مثال نقطه تقاطع قطرهای AC و BD شکل ABCD باشد. آنها دو مثلث متناسب - ∆ABE و ∆CDE را تشکیل می دهند.

AB=CD چون متضاد هستند. با توجه به خطوط و سکنت، ∠ABE = ∠CDE و ∠BAE = ∠DCE.

با معیار دوم برابری، ∆ABE = ∆CDE. این بدان معنی است که عناصر ∆ABE و ∆CDE: AE = CE، BE = DE و در عین حال اجزای متناسب AC و BD هستند. ملک ثابت شده است.

ویژگی های گوشه های مجاور

اضلاع مجاور مجموع زوایای آنها برابر با 180 درجه است، از آنجایی که آنها در یک سمت خطوط موازی و یک عرضی قرار دارند. برای ABCD چهار ضلعی:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

ویژگی های نیمساز:

1. ، به یک طرف پایین آمده، عمود هستند.
2. رئوس مخالف دارای نیمسازهای موازی هستند.
3. مثلثی که با رسم نیمساز به دست می آید متساوی الساقین خواهد بود.

تعیین ویژگی های متوازی الاضلاع با استفاده از قضیه

ویژگی های این شکل از قضیه اصلی آن که به شرح زیر است ناشی می شود: یک چهار ضلعی متوازی الاضلاع در نظر گرفته می شوددر صورتی که قطرهای آن قطع شود و این نقطه آنها را به قطعات مساوی تقسیم می کند.

اثبات: اجازه دهید خطوط AC و BD چهارضلعی ABCD در i.e. قطع شوند. از آنجایی که ∠AED = ∠BEC، و AE+CE=AC BE+DE=BD، پس ∆AED = ∆BEC (با اولین معیار برای تساوی مثلث ها). یعنی ∠EAD = ∠ECB. آنها همچنین زوایای متقاطع داخلی مقطع AC برای خطوط AD و BC هستند. بنابراین، با تعریف موازی - AD || قبل از میلاد مسیح. ویژگی مشابهی از خطوط BC و CD نیز مشتق شده است. قضیه ثابت شده است.

محاسبه مساحت یک شکل

مساحت این شکل با چندین روش یافت می شودیکی از ساده ترین ها: ضرب ارتفاع و پایه ای که به آن کشیده شده است.

اثبات: عمودهای BE و CF را از رئوس B و C رسم کنید. ∆ABE و ∆DCF برابر هستند، زیرا AB = CD و BE = CF. اندازه ABCD با مستطیل EBCF برابر است، زیرا از ارقام متناسبی تشکیل شده است: S ABE و S EBCD، و همچنین S DCF و S EBCD. از این نتیجه می شود که منطقه این شکل هندسیبه همان شکل مستطیل قرار دارد:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

برای تعیین فرمول کلی مساحت متوازی الاضلاع، اجازه دهید ارتفاع را به صورت مشخص کنیم hb، و طرف - ب. به ترتیب:

راه های دیگر برای یافتن منطقه

محاسبات مساحت از طریق اضلاع متوازی الاضلاع و زاویه، که آنها تشکیل می دهند، دومین روش شناخته شده است.

,

Spr-ma - منطقه؛

a و b اضلاع آن هستند

α زاویه بین قطعات a و b است.

این روش عملا بر اساس روش اول است، اما در صورت ناشناخته بودن. همیشه قطع می کند راست گوشه، که پارامترهای آن توسط هویت های مثلثاتی یافت می شود، یعنی، . با تبدیل رابطه، دریافت می کنیم. در معادله روش اول، ارتفاع را با این حاصلضرب جایگزین می کنیم و دلیلی بر صحت این فرمول به دست می آوریم.

از طریق قطرهای متوازی الاضلاع و زاویه،که آنها هنگام تقاطع ایجاد می کنند، شما همچنین می توانید منطقه را پیدا کنید.

اثبات: AC و BD با هم قطع می شوند و چهار مثلث را تشکیل می دهند: ABE، BEC، CDE و AED. مجموع آنها برابر است با مساحت این چهارضلعی.

مساحت هر یک از این ∆ها را می توان با عبارت پیدا کرد که a=BE، b=AE، ∠γ =∠AEB. از آنجایی که محاسبات از یک مقدار سینوسی استفاده می کنند. به این معنا که . از آنجایی که AE+CE=AC=d1 و BE+DE=BD=d2، فرمول مساحت به زیر کاهش می یابد:

.

کاربرد در جبر برداری

ویژگی های اجزای تشکیل دهنده این چهارضلعی در جبر برداری، یعنی جمع دو بردار کاربرد پیدا کرده است. قانون متوازی الاضلاع بیان می کند که اگر بردارها داده شودونهخطی هستند، سپس مجموع آنها برابر با قطر این شکل خواهد بود که پایه های آن با این بردارها مطابقت دارد.

اثبات: از آغازی که خودسرانه انتخاب شده است - یعنی. - ساخت بردارها و . سپس، یک متوازی الاضلاع OASV می سازیم، که در آن بخش های OA و OB اضلاع هستند. بنابراین، سیستم عامل بر روی بردار یا مجموع قرار دارد.

فرمول های محاسبه پارامترهای متوازی الاضلاع

هویت تحت شرایط زیر ارائه می شود:

1. a و b، α - اضلاع و زاویه بین آنها.
2. d 1 و d 2، γ - مورب ها و در نقطه تقاطع آنها.
3. h a و h b - ارتفاعات به دو طرف a و b کاهش یافته است.

پارامتر	فرمول
پیدا کردن طرفین
در امتداد مورب ها و کسینوس زاویه بین آنها
در امتداد مورب ها و طرفین
از طریق ارتفاع و راس مخالف
پیدا کردن طول قطرها
در طرفین و اندازه راس بین آنها

متوازی الاضلاع چهار ضلعی است که در آن اضلاع مقابل به صورت جفت موازی هستند.

متوازی الاضلاع تمام ویژگی های چهارضلعی را دارد، اما علاوه بر آن ویژگی های خاص خود را نیز دارد ویژگی های متمایز کننده. با دانستن آنها به راحتی می توانیم اضلاع و زوایای متوازی الاضلاع را پیدا کنیم.

ویژگی های متوازی الاضلاع

1. مجموع زوایای هر متوازی الاضلاع، مانند هر چهارضلعی، 360 درجه است.
2. خطوط وسط متوازی الاضلاع و قطرهای آن در یک نقطه قطع می شوند و توسط آن نصف می شوند. این نقطه معمولاً مرکز تقارن متوازی الاضلاع نامیده می شود.
3. اضلاع مقابل متوازی الاضلاع همیشه با هم برابرند.
4. همچنین این شکل همیشه دارای زوایای مخالف برابر است.
5. مجموع زوایایی که در مجاورت هر یک از اضلاع متوازی الاضلاع قرار دارند همیشه 180 درجه است.
6. مجموع مربع های مورب متوازی الاضلاع برابر است با دو برابر مجموع مربع های دو ضلع مجاور آن. این با فرمول بیان می شود:
   • d 1 2 + d 2 2 = 2 (a 2 + b 2)، که در آن d 1 و d 2 مورب هستند، a و b اضلاع مجاور هستند.
7. کسینوس یک زاویه منفرد همیشه کمتر از صفر است.

چگونه می توان زوایای متوازی الاضلاع معین را با استفاده از این ویژگی ها در عمل پیدا کرد؟ و چه فرمول های دیگری می تواند در این مورد به ما کمک کند؟ بیایید به وظایف خاصی نگاه کنیم که نیاز دارند: پیدا کردن زوایای متوازی الاضلاع.

پیدا کردن زوایای متوازی الاضلاع

مورد 1. اندازه یک زاویه منفرد مشخص است.

مثال: در متوازی الاضلاع ABCD، زاویه A 120 درجه است. اندازه زوایای باقیمانده را پیدا کنید.

راه حل: با استفاده از خاصیت شماره 5 می توانیم اندازه زاویه B را در مجاورت زاویه داده شده در کار پیدا کنیم. برابر خواهد بود با:

• 180-120 درجه = 60 درجه

و اکنون با استفاده از خاصیت شماره 4 مشخص می کنیم که دو زاویه C و D باقیمانده مخالف زوایایی هستند که قبلاً پیدا کرده ایم. زاویه C مخالف زاویه A و زاویه D مخالف زاویه B است. بنابراین آنها به صورت جفت برابر هستند.

• پاسخ: B = 60 درجه، C = 120 درجه، D=60 درجه

حالت 2. طول اضلاع و قطرها مشخص است

در این مورد باید از قضیه کسینوس استفاده کنیم.

می‌توانیم ابتدا کسینوس زاویه مورد نیاز خود را با استفاده از یک فرمول محاسبه کنیم و سپس با استفاده از یک جدول خاص متوجه شویم که خود زاویه با چه چیزی برابر است.

برای زاویه حادفرمول این است:

• cosa = (A² + B² - d²) / (2 * A * B)، که در آن
• a زاویه حاد مورد نظر است،
• A و B اضلاع متوازی الاضلاع هستند،
• d - قطر کوچکتر

برای یک زاویه مبهم، فرمول کمی تغییر می کند:

• cosß = (A² + B² - D²) / (2 * A * B)، که در آن
• ß یک زاویه منفرد است،
• A و B اضلاع هستند
• D - مورب بزرگ

به عنوان مثال: باید زاویه تند متوازی الاضلاع را پیدا کنید که اضلاع آن 6 سانتی متر و 3 سانتی متر است و قطر کوچکتر آن 5.2 سانتی متر است.

مقادیر را با فرمول جایگزین کنید تا زاویه تند را پیدا کنید:

• cosa = (6 2 + 3 2 - 5.2 2) / (2 * 6 * 3) = (36 + 9 - 27.04) / (2 * 18) = 17.96/36 ~ 18/36 ~ 1/2
• cosa = 1/2. از جدول متوجه می شویم که زاویه مورد نظر 60 درجه است.

متوازی الاضلاع چهار ضلعی است که اضلاع مقابل آن موازی هستند، یعنی روی خطوط موازی قرار دارند (شکل 1).

قضیه 1. در مورد خصوصیات اضلاع و زوایای متوازی الاضلاع.در متوازی الاضلاع، اضلاع مقابل برابر، زوایای مقابل با هم برابرند و مجموع زوایای مجاور یک ضلع متوازی الاضلاع 180 درجه است.

اثبات در این متوازی الاضلاع ABCD یک AC مورب رسم می کنیم و دو مثلث ABC و ADC بدست می آوریم (شکل 2).

این مثلث ها مساوی هستند، زیرا ∠ 1 = ∠ 4، ∠ 2 = ∠ 3 (زوایای متقاطع برای خطوط موازی)، و ضلع AC مشترک است. از تساوی Δ ABC = Δ ADC نتیجه می شود که AB = CD، BC = AD، ∠ B = ∠ D. مجموع زوایای مجاور یک ضلع، برای مثال زوایای A و D، برابر با 180 درجه یک طرفه است. برای خطوط موازی قضیه ثابت شده است.

اظهار نظر. تساوی اضلاع متوازی الاضلاع به این معنی است که قسمت های متوازی الاضلاع بریده شده توسط موازی ها با هم برابر هستند.

نتیجه 1. اگر دو خط موازی باشند، تمام نقاط یک خط در یک فاصله از خط دیگر قرار دارند.

اثبات در واقع، اجازه دهید یک || ب (شکل 3).

اجازه دهید عمودهای BA و CD را از دو نقطه B و C از خط b به خط مستقیم a رسم کنیم. از آنجایی که AB || CD، سپس شکل ABCD متوازی الاضلاع است و بنابراین AB = CD.

فاصله بین دو خط موازی فاصله یک نقطه دلخواه در یکی از خطوط تا خط دیگر است.

طبق آنچه ثابت شد، برابر است با طول عمود رسم شده از نقطه ای از یکی از خطوط موازی به خط دیگر.

مثال 1.محیط متوازی الاضلاع 122 سانتی متر است اضلاع آن 25 سانتی متر بزرگتر است

راه حل. با قضیه 1، اضلاع مقابل متوازی الاضلاع برابر هستند. یک طرف متوازی الاضلاع را با x و طرف دیگر را با y نشان می دهیم. سپس، با شرط $$\left\(\begin(ماتریس) 2x + 2y = 122 \\x - y = 25 \end(ماتریس)\right.$$ با حل این سیستم، x = 43، y = 18 را بدست می آوریم. بنابراین، اضلاع متوازی الاضلاع 18، 43، 18 و 43 سانتی متر هستند.

مثال 2.

راه حل. اجازه دهید شکل 4 شرایط مسئله را برآورده کند.

اجازه دهید AB را با x و BC را با y نشان دهیم. بر اساس شرط، محیط متوازی الاضلاع 10 سانتی متر است، یعنی 2(x + y) = 10، یا x + y = 5. محیط مثلث ABD 8 سانتی متر است و از آنجایی که AB + AD = x + y = است 5 سپس BD = 8 - 5 = 3. بنابراین BD = 3 سانتی متر.

مثال 3.زوایای متوازی الاضلاع را بیابید و بدانید که یکی از آنها 50 درجه از دیگری بزرگتر است.

راه حل. اجازه دهید شکل 5 شرایط مسئله را برآورده کند.

اجازه دهید درجه زاویه A را با x نشان دهیم. سپس اندازه گیری درجهزاویه D برابر با x + 50 درجه است.

زوایای BAD و ADC زوایای داخلی یک طرفه با خطوط موازی AB و DC و مقطع AD هستند. سپس مجموع این زوایای نامگذاری شده 180 درجه خواهد بود، یعنی.
x + x + 50 درجه = 180 درجه، یا x = 65 درجه. بنابراین، ∠ A = ∠ C = 65 درجه، a ∠ B = ∠ D = 115 درجه.

مثال 4.اضلاع متوازی الاضلاع 4.5 dm و 1.2 dm است. یک نیمساز از راس یک زاویه تند رسم می شود. به چه قسمت هایی تقسیم می شود؟ سمت بزرگمتوازی الاضلاع؟

راه حل. اجازه دهید شکل 6 شرایط مسئله را برآورده کند.

AE نیمساز یک زاویه تند متوازی الاضلاع است. بنابراین، ∠ 1 = ∠ 2.