هنگام مطالعه موضوع، عبارات عددی، تحت اللفظی و متغیر باید به مفهوم توجه شود ارزش بیانی... در این مقاله به این سوال پاسخ خواهیم داد که مقدار یک عبارت عددی چقدر است و مقدار یک عبارت الفبایی و یک عبارت با متغیر برای مقادیر انتخاب شده از متغیرها چه نامیده می شود. در اینجا چند مثال برای روشن شدن این تعاریف آورده شده است.

پیمایش صفحه.

ارزش یک عبارت عددی چیست؟

آشنایی با عبارات عددی تقریباً از اولین درس های ریاضی در مدرسه شروع می شود. تقریباً بلافاصله، مفهوم "مقدار یک عبارت عددی" معرفی می شود. به عباراتی اطلاق می شود که از اعدادی که با علامت های حسابی به هم متصل شده اند (+، -، ·، :) اشاره دارد. بیایید یک تعریف مناسب ارائه دهیم.

تعریف.

مقدار بیان عددیعددی است که پس از انجام تمامی اعمال در نسخه اصلی بدست می آید بیان عددی.

به عنوان مثال، عبارت عددی 1 + 2 را در نظر بگیرید. پس از تکمیل، عدد 3 را بدست می آوریم، این مقدار عبارت عددی 1 + 2 است.

غالباً در عبارت "ارزش یک عبارت عددی" کلمه "عددی" حذف می شود و به سادگی می گویند "معنای عبارت" ، زیرا هنوز مشخص است که معنای کدام عبارت مورد نظر است.

تعریف بالا از معنای یک عبارت برای عبارات عددی بیش از نوع پیچیده، که در دبیرستان تحصیل می کنند. در اینجا لازم به ذکر است که می توانید با عبارات عددی مواجه شوید که مقادیر آنها قابل تعیین نیست. این به این دلیل است که در برخی از عبارات انجام اعمال ضبط شده غیرممکن است. به عنوان مثال، بنابراین، ما نمی توانیم مقدار عبارت 3 را مشخص کنیم: (2-2). عبارات عددی مانند این نامیده می شوند عباراتی که معنی ندارد.

اغلب، در عمل، علاقه به اندازه یک عبارت عددی نیست، بلکه مقدار آن است. یعنی وظیفه تعیین معنای این عبارت است. در این مورد معمولاً می گویند که باید ارزش عبارت را پیدا کنید. در مقاله مشخص شده، فرآیند یافتن مقدار عبارات عددی به تفصیل مورد بررسی قرار گرفته است. از انواع مختلف، و مثال های زیادی را با توضیحات مفصلراه حل ها

معنی عبارت تحت اللفظی و بیان با متغیرها

علاوه بر عبارات عددی، عبارات تحت اللفظی مورد مطالعه قرار می گیرد، یعنی عباراتی که در ضبط آنها، همراه با اعداد، یک یا چند حرف وجود دارد. حروف در یک عبارت الفبایی می توانند اعداد مختلفی را نشان دهند و اگر حروف با این اعداد جایگزین شوند، عبارت الفبایی تبدیل به عدد می شود.

تعریف.

اعدادی که در یک عبارت تحت اللفظی جایگزین حروف می شوند نامیده می شوند معانی این حروف، و مقدار عبارت عددی به دست آمده در این حالت نامیده می شود ارزش عبارت تحت اللفظی با توجه به مقادیر حروف.

بنابراین، برای عبارات تحت اللفظی، نه تنها از معنای عبارت تحت اللفظی، بلکه از معنای عبارت تحت اللفظی با معانی داده شده (داده شده، مشخص و غیره) حروف صحبت می شود.

بیایید یک مثال بزنیم. عبارت تحت اللفظی 2 a + b را در نظر بگیرید. اجازه دهید مقادیر حروف a و b داده شود، به عنوان مثال، a = 1 و b = 6. با جایگزینی حروف در عبارت اصلی با مقادیر آنها، یک عبارت عددی به شکل 2 1 + 6 دریافت می کنیم، مقدار آن 8 است. بنابراین، عدد 8 مقدار عبارت تحت اللفظی 2 a + b برای مقادیر داده شده حروف a = 1 و b = 6 است. اگر معانی دیگری از حروف داده می شد، معنای اصطلاح تحت اللفظی را برای این معانی حروف به دست می آوردیم. به عنوان مثال، برای a = 5 و b = 1، مقدار 2 5 + 1 = 11 را داریم.

در دبیرستان، هنگام مطالعه جبر، حروف در عبارات تحت اللفظی مجاز است معانی مختلف، چنین حروفی را متغیر و عبارات تحت اللفظی را عبارت با متغیر می نامند. برای این عبارات، مفهوم مقدار یک عبارت با متغیرهایی برای مقادیر انتخاب شده از متغیرها معرفی شده است. بیایید بفهمیم که چیست.

تعریف.

مقدار یک عبارت با متغیرها با مقادیر انتخاب شده از متغیرهامقدار یک عبارت عددی است که پس از جایگزینی مقادیر انتخابی متغیرها در عبارت اصلی به دست می آید.

اجازه دهید این تعریف را با یک مثال توضیح دهیم. عبارتی را با متغیرهای x و y به شکل 3 x y + y در نظر بگیرید. x = 2 و y = 4 را بگیرید، این مقادیر متغیرها را در عبارت اصلی جایگزین کنید، عبارت عددی 3 · 2 · 4 + 4 را دریافت می کنیم. اجازه دهید مقدار این عبارت را محاسبه کنیم: 3 · 2 · 4 + 4 = 24 + 4 = 28. مقدار یافت شده 28 مقدار عبارت اصلی با متغیرهای 3 x y + y برای مقادیر انتخاب شده از متغیرهای x = 2 و y = 4 است.

اگر مقادیر دیگری از متغیرها را انتخاب کنید، به عنوان مثال، x = 5 و y = 0، آنگاه این مقادیر انتخابی متغیرها با مقدار عبارت با متغیرها برابر با 3 · 5 · 0 + مطابقت دارد. 0 = 0.

می توان اشاره کرد که گاهی اوقات برای مقادیر مختلف انتخاب شده از متغیرها، مقادیر مساوی از عبارت بدست می آید. به عنوان مثال، برای x = 9 و y = 1، مقدار عبارت 3 x y + y 28 است (از 3 9 1 + 1 = 27 + 1 = 28)، و در بالا نشان دادیم که همان مقدار عبارت با متغیرها است. برای x = 2 و y = 4 دارد.

مقادیر متغیرها را می توان از موارد مربوطه انتخاب کرد محدوده مقادیر معتبر... در غیر این صورت، جایگزینی مقادیر این متغیرها به عبارت اصلی منجر به یک عبارت عددی می شود که معنی ندارد. به عنوان مثال، اگر x = 0 را انتخاب کنید و این مقدار را در عبارت 1 / x جایگزین کنید، یک عبارت عددی 1/0 دریافت می کنید، که منطقی نیست، زیرا تقسیم بر صفر تعریف نشده است.

فقط اضافه می شود که عباراتی با متغیرهایی وجود دارد که مقادیر آنها به مقادیر متغیرهای موجود در آنها بستگی ندارد. به عنوان مثال، مقدار یک عبارت با یک متغیر x به شکل 2 + x − x به مقدار این متغیر بستگی ندارد، برای هر مقدار انتخاب شده متغیر x از محدوده مقادیر مجاز آن برابر است با 2. ، که در این حالت مجموعه تمام اعداد حقیقی است.

کتابشناسی - فهرست کتب.

• ریاضی: کتاب درسی. برای 5 سی سی آموزش عمومی. موسسات / N. Ya. Vilenkin، V. I. Zhokhov، A. S. Chesnokov، S. I. Shvartsburd. - چاپ بیست و یکم، پاک شده. - M .: Mnemosina, 2007 .-- 280 p .: ill. شابک 5-346-00699-0.
• جبر:مطالعه. برای 7 سی سی آموزش عمومی. مؤسسات / [یو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ ویرایش S. A. Telyakovsky. - ویرایش هفدهم - م.: آموزش و پرورش، 1387 .-- 240 ص. : مریض - شابک 978-5-09-019315-3.
• جبر:مطالعه. برای 8 سی سی آموزش عمومی. مؤسسات / [یو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ ویرایش S. A. Telyakovsky. - چاپ شانزدهم - م.: آموزش و پرورش، 1387 .-- 271 ص. : مریض - شابک 978-5-09-019243-9.

عبارات عددی و جبری. تبدیل عبارات

بیان در ریاضیات چیست؟ چرا به تبدیل بیان نیاز دارید؟

سوال، همانطور که می گویند، جالب است... واقعیت این است که این مفاهیم اساس همه ریاضیات هستند. تمام ریاضیات از عبارات و تبدیل آنها تشکیل شده است. خیلی واضح نیست؟ بگذار توضیح بدهم.

فرض کنید یک مثال شیطانی در پیش دارید. بسیار بزرگ و بسیار پیچیده. فرض کنید در ریاضیات قوی هستید و از هیچ چیز نمی ترسید! میشه فورا جواب بدی؟

تو مجبوری تصميم گرفتناین مثال به ترتیب، گام به گام، این مثال ساده کردن... البته طبق قوانین خاصی. آن ها ساختن تبدیل بیان... اینکه چقدر در این تحولات موفق هستید، میزان قوی بودن شما در ریاضیات است. اگر نمی دانید چگونه تبدیل های صحیح را انجام دهید، در ریاضیات نمی توانید انجام دهید هیچ چیزی...

برای جلوگیری از چنین آینده ناخوشایندی (یا حال ...)، درک این موضوع ضرری ندارد.)

ابتدا بیایید بفهمیم چه عبارتی در ریاضیات است... چی بیان عددیو چیست عبارت جبری.

بیان در ریاضیات چیست؟

بیان در ریاضیاتیک مفهوم بسیار گسترده است. تقریباً هر چیزی که در ریاضیات با آن سروکار داریم مجموعه ای از عبارات ریاضی است. هر مثال، فرمول، کسری، معادله و غیره - همه از آن تشکیل شده است عبارات ریاضی.

3 + 2 یک عبارت ریاضی است. s 2 - d 2همچنین یک عبارت ریاضی است. و یک کسر بزرگ و حتی یک عدد - اینها همه عبارات ریاضی هستند. برای مثال معادله به این صورت است:

5x + 2 = 12

شامل دو عبارت ریاضی است که با علامت مساوی به هم متصل می شوند. یک عبارت در سمت چپ و دیگری در سمت راست است.

V نمای کلیمدت، اصطلاح " بیان ریاضی"اغلب از آن استفاده می‌شود، نه برای غوغا کردن. از شما می‌پرسند که مثلاً کسری معمولی چیست؟ و چگونه پاسخ دهید؟!

اولین پاسخ این است: "این ... هوم... چنین چیزی ... که در آن ... آیا می توانم کسری را بهتر بنویسم؟ کدام را میخواهی؟ "

پاسخ دوم این است: کسر مشترک- این (با خوشحالی و شادی!) بیان ریاضی ، که از یک صورت و یک مخرج تشکیل شده است!

گزینه دوم به نوعی چشمگیرتر خواهد بود، درست است؟)

برای این منظور عبارت « بیان ریاضی "بسیار خوب. هم درست و هم محکم. اما برای کاربرد عملیباید به خوبی مسلط باشید انواع خاص عبارات در ریاضیات .

نوع خاص بحث دیگری است. آی تی موضوع کاملاً دیگری!هر نوع بیان ریاضی دارد مال خودممجموعه ای از قوانین و تکنیک هایی که باید در هنگام حل استفاده شود. برای کار با کسری - یک مجموعه. برای عبارات مثلثاتی - دوم. برای کار با لگاریتم - مورد سوم. و غیره. در جایی این قوانین منطبق هستند، در جایی به شدت متفاوت هستند. اما از این کلمات وحشتناک نترسید. ما در بخش‌های مربوطه به لگاریتم، مثلثات و دیگر چیزهای مرموز تسلط خواهیم داشت.

در اینجا ما به دو نوع اصلی از عبارات ریاضی تسلط خواهیم داشت (یا - مانند هر کسی تکرار خواهیم کرد ...). عبارات عددی و عبارات جبری.

عبارات عددی

چی بیان عددی? این یک مفهوم بسیار ساده است. خود نام نشان می دهد که این عبارت با اعداد است. همان طوری است که میبینی. یک عبارت ریاضی که از اعداد، کروشه ها و نشانه های حسابی تشکیل شده باشد، عبارت عددی نامیده می شود.

7-3 یک عبارت عددی است.

(8 + 3.2) 5.4 نیز یک عبارت عددی است.

و این هیولا:

همچنین یک عبارت عددی، بله ...

یک عدد معمولی، یک کسری، هر مثالی برای محاسبه بدون x و حروف دیگر - همه اینها عبارات عددی هستند.

ویژگی اصلی عددیعبارات - در آن بدون حروف... هیچ یک. فقط اعداد و آیکون های ریاضی (در صورت نیاز). ساده است، درست است؟

و با عبارات عددی چه کاری می توانید انجام دهید؟ عبارات عددی معمولا قابل خواندن هستند. برای انجام این کار، این اتفاق می افتد، شما باید پرانتزها را باز کنید، علائم را تغییر دهید، کوتاه کنید، مکان عبارات را تغییر دهید - یعنی. ساختن تبدیل بیان... اما بیشتر در مورد آن در زیر.

در اینجا با یک عبارت عددی به چنین مورد خنده‌داری می‌پردازیم کاری برای انجام دادن نیست.خب اصلا هیچی! این عملیات دلپذیر - هیچ کاری نکردن)- هنگام بیان اجرا می شود معنی ندارد.

چه زمانی یک عبارت عددی بی معنی است؟

معلوم است اگر نوعی چرندیات در مقابل خود ببینیم، مانند

پس ما هیچ کاری نمی کنیم. از آنجایی که معلوم نیست با این چه باید کرد. نوعی مزخرفات مگر اینکه تعداد علائم مثبت را بشمارید...

اما عبارات ظاهری کاملاً مناسبی وجود دارد. به عنوان مثال این:

(2 + 3): (16 - 2 8)

با این حال، این عبارت نیز است معنی ندارد! به این دلیل ساده که در پرانتز دوم - اگر بشمارید - صفر می شود. و شما نمی توانید بر صفر تقسیم کنید! این یک عمل ممنوع در ریاضیات است. بنابراین، با این عبارت نیز نیازی به انجام کاری ندارید. برای هر کار با چنین عبارتی، پاسخ همیشه یکسان خواهد بود: "این تعبیر معنی ندارد!"

البته برای دادن چنین پاسخی باید محاسبه می‌کردم که داخل پرانتز چیست. و گاهی اوقات در پرانتز چنین نام اشتباهی ... خوب، هیچ کاری نمی توانید در مورد آن انجام دهید.

در ریاضیات عملیات ممنوعه زیادی وجود ندارد. فقط یک مورد در این تاپیک وجود دارد. تقسیم بر صفر. ممنوعیت های اضافی ناشی از ریشه ها و لگاریتم ها در موضوعات مرتبط مورد بحث قرار می گیرند.

بنابراین، ایده ای از آنچه هست بیان عددی- بدست آورد. مفهوم عبارت عددی معنی ندارد- متوجه شد بیایید جلوتر برویم.

عبارات جبری

اگر حروف در یک عبارت عددی ظاهر شوند، این عبارت تبدیل به ... عبارت می شود ... بله! می شود عبارت جبری... مثلا:

5a 2; 3x-2y; 3 (z-2)؛ 3.4 متر / n; x 2 + 4x-4; (الف + ب) 2; ...

چنین عباراتی نیز نامیده می شود عبارات حروفیا عبارات با متغیرهاآنها عملاً یکسان هستند. اصطلاح 5a + cبه عنوان مثال - هر دو تحت اللفظی و جبری، و یک عبارت با متغیرها.

مفهوم عبارت جبری -گسترده تر از عددی آی تی شامل می شودو تمام عبارات عددی آن ها یک عبارت عددی نیز یک عبارت جبری است، فقط بدون حروف. هر شاه ماهی یک ماهی است، اما هر ماهی یک شاه ماهی نیست...)

چرا حروف الفبا- روشن خوب، از آنجایی که حروف وجود دارد ... عبارت بیان متغیرهمچنین خیلی گیج کننده نیست اگر متوجه شدید که اعداد زیر حروف پنهان هستند. هر عددی را می توان در زیر حروف پنهان کرد ... و 5، و -18، و هر چیز دیگری. یعنی حرف می تواند باشد جایگزین کردنبر اعداد مختلف... بنابراین، حروف نامیده می شوند متغیرها.

در بیان y + 5، مثلا، در - متغیر... یا فقط می گویند " متغیر"، بدون کلمه "قدر". برخلاف پنج که یک مقدار ثابت است. یا به سادگی - مقدار ثابت.

مدت، اصطلاح عبارت جبریبه این معنی است که برای کار با این عبارت باید از قوانین و مقررات استفاده کنید جبرها... اگر حسابیپس با اعداد خاص کار می کند جبر- با همه اعداد به طور همزمان. یک مثال ساده برای روشن شدن مطلب

در حساب می توانیم آن را بنویسیم

اما اگر چنین برابری را از طریق عبارات جبری بنویسیم:

a + b = b + a

ما بلافاصله تصمیم خواهیم گرفت همهسوالات برای همه اعدادسکته. برای بی نهایت چیز. چون زیر حروف آو بضمنی همهشماره. و نه تنها اعداد، بلکه حتی سایر عبارات ریاضی. جبر اینگونه عمل می کند.

چه زمانی یک عبارت جبری معنی ندارد؟

همه چیز در مورد عبارت عددی روشن است. در آنجا نمی توانید بر صفر تقسیم کنید. و با حروف چگونه می توانید بفهمید که ما به چه چیزهایی تقسیم می کنیم؟!

بیایید این عبارت را با متغیرها به عنوان مثال در نظر بگیریم:

2: (آ - 5)

آیا منطقی است؟ چه کسی می داند؟ آ- هر تعداد ...

هر چیزی هر ... اما یک معنی وجود دارد آجایی که این عبارت دقیقامعنی ندارد! و این عدد چیست؟ آره! 5 است! اگر متغیر آبا عدد 5 جایگزین کنید (مثلاً - "جایگزین") ، در پرانتز صفر معلوم می شود. که نمی توان به آن تقسیم کرد. پس معلوم می شود که بیان ما معنی ندارد، اگر a = 5... اما با معانی دیگر آآیا منطقی است؟ آیا می توانم اعداد دیگری را جایگزین کنم؟

البته. فقط در این گونه موارد می گویند که بیان

2: (آ - 5)

برای هر ارزشی منطقی است آ, به جز a = 5 .

کل مجموعه اعدادی که می توانجایگزین در یک عبارت داده شده نامیده می شود محدوده مقادیر معتبراین بیان

همانطور که می بینید، هیچ چیز پیچیده ای وجود ندارد. ما به یک عبارت با متغیرها نگاه می کنیم، اما متوجه می شویم: در کدام مقدار از متغیر یک عملیات ممنوعه به دست می آید (تقسیم بر صفر)؟

و سپس حتما به سوال تکلیف نگاه کنید. آنها چه می پرسند؟

معنی ندارد، معنای حرام ما جواب خواهد بود.

اگر بپرسید که مقدار یک متغیر چقدر است معنی دارد(تفاوت را احساس کنید!)، پاسخ این است همه اعداد دیگرجز حرام

چرا به معنای عبارت نیاز داریم؟ او هست، او نیست... چه فرقی دارد؟! واقعیت این است که این مفهوم در دبیرستان اهمیت زیادی پیدا می کند. بسیار مهم! این مبنای مفاهیم محکمی مانند محدوده یا محدوده تابع است. بدون آن، به هیچ وجه نمی توانید معادلات یا نابرابری های جدی را حل کنید. مثل این.

تبدیل عبارات تحولات یکسان

با عبارات عددی و جبری آشنا شدیم. ما فهمیدیم که عبارت «بیان معنی ندارد» به چه معناست. حالا باید بفهمیم چی هست دگرگونی عباراتپاسخ بسیار ساده است.) این هر عمل با بیان است. و این همه است. شما این تحولات را از کلاس اول انجام دادید.

بیایید عبارت عدد جالب 3 + 5 را در نظر بگیریم. چگونه می توان آن را تبدیل کرد؟ خیلی ساده است! محاسبه:

این محاسبه تبدیل عبارت خواهد بود. شما می توانید همان عبارت را متفاوت بنویسید:

اینجا اصلاً چیزی حساب نکردیم. فقط عبارت را یادداشت کرد به شکلی متفاوتاین نیز تبدیل بیان خواهد بود. می توان اینگونه نوشت:

و این نیز یک تبدیل عبارت است. شما می توانید هر تعداد که می خواهید چنین تغییر شکلی را انجام دهید.

هرعمل در بیان، هرنوشتن آن به شکل دیگری تبدیل بیان نامیده می شود. و این همه است. همه چیز بسیار ساده است. اما اینجا یک چیز وجود دارد یک قانون بسیار مهمآنقدر مهم است که می توان آن را با خیال راحت نامید قانون اصلیتمام ریاضیات شکستن این قانون به ناچارمنجر به خطا می شود. آیا ما در آن تحقیق می کنیم؟)

فرض کنید ما عبارت خود را به صورت تصادفی تغییر دادیم، مانند:

تبدیل؟ البته. ما عبارت را به شکل دیگری نوشتیم، اینجا چه اشکالی دارد؟

این طور نیست.) نکته این است که تحولات "در هر صورت"ریاضیات به هیچ وجه علاقه ای ندارد.) تمام ریاضیات بر روی دگرگونی هایی ساخته شده اند که در آنها تغییر می کند ظاهر, اما ماهیت بیان تغییر نمی کند.سه بعلاوه پنج را می توان به هر شکلی که می خواهید نوشت، اما باید هشت باشد.

تبدیل ها، عبارات بی معنینامیده می شوند همسان.

دقیقا تحولات یکسانو به ما اجازه می دهد که گام به گام یک مثال پیچیده را در عین حفظ کردن به یک عبارت ساده تبدیل کنیم اصل مثالاگر در زنجیره دگرگونی ها اشتباه کنیم، یک تبدیل نه یکسان انجام دهیم، آنگاه از قبل تصمیم خواهیم گرفت. یکی دیگرمثال. با پاسخ های دیگری که به پاسخ های صحیح مربوط نیستند.)

این قانون اصلی برای حل هر کار است: رعایت هویت تحولات.

برای وضوح مثالی با عبارت عددی 3 + 5 زدم. در عبارات جبری، تبدیل های یکسان با فرمول ها و قوانین ارائه می شود. فرض کنید یک فرمول در جبر وجود دارد:

a (b + c) = ab + ac

این بدان معنی است که در هر مثالی می توانیم به جای عبارت a (b + c)با خیال راحت یک عبارت بنویسید ab + ac... و بالعکس. آی تی تبدیل یکسانریاضیات انتخابی از این دو عبارت را در اختیار ما قرار می دهد. و کدام یک را بنویسید - از مثال ملموسبستگی دارد.

مثالی دیگر. یکی از مهم‌ترین و ضروری‌ترین تبدیل‌ها، ویژگی اساسی یک کسر است. جزئیات بیشتر را می توان در پیوند یافت، اما در اینجا فقط قانون را یادآوری می کنم: اگر صورت و مخرج کسری در یک عدد یا عبارتی که برابر با صفر نباشد ضرب (تقسیم) شود، کسر تغییر نخواهد کرد.در اینجا نمونه ای از تبدیل های یکسان برای این ویژگی آمده است:

همانطور که احتمالاً حدس زده اید، این زنجیره می تواند به طور نامحدود ادامه یابد ...) یک ویژگی بسیار مهم. این است که به شما امکان می دهد انواع هیولاها را به رنگ سفید و کرکی تبدیل کنید.)

فرمول های زیادی وجود دارد که تبدیل های یکسان را تعریف می کند. اما مهمترین آنها مقدار بسیار معقولی هستند. یکی از تحولات اساسی، فاکتورسازی است. در تمام ریاضیات از ابتدایی تا پیشرفته استفاده می شود. بیایید با او شروع کنیم. در درس بعدی.)

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست اعتبار سنجی فوری یادگیری - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.