See veebipõhine matemaatikakalkulaator aitab teid, kui seda vajate arvutada funktsiooni piir. Programm lahenduse piirid mitte ainult ei anna probleemile vastust, vaid viib üksikasjalik lahendus koos selgitustega, st. kuvab limiidi arvutamise protsessi.

See programm võib olla kasulik keskkooliõpilastele keskkoolid kontrolltöödeks ja eksamiteks valmistumisel, teadmiste kontrollimisel enne ühtset riigieksamit, et vanemad saaksid juhtida paljude matemaatika ja algebra ülesannete lahendamist. Või äkki on juhendaja palkamine või uute õpikute ostmine liiga kallis? Või soovite lihtsalt selle võimalikult kiiresti valmis saada? kodutöö

matemaatikas või algebras? Sel juhul saate kasutada ka meie programme koos üksikasjalike lahendustega.

Arvutage limiit
Avastati, et mõnda selle probleemi lahendamiseks vajalikku skripti ei laaditud ja programm ei pruugi töötada.
Teil võib olla AdBlock lubatud.

Siin on juhised JavaScripti lubamiseks brauseris.
Sest Inimesi, kes soovivad probleemi lahendada, on palju, teie taotlus on pandud järjekorda.
Mõne sekundi pärast kuvatakse allpool lahendus. Palun oodake

sek... märkasid lahenduses viga, siis saate kirjutada sellest tagasiside vormi.
Ära unusta märkige, milline ülesanne otsustad mida sisestage väljadele.

Meie mängud, mõistatused, emulaatorid:

Natuke teooriat.

Funktsiooni piirväärtus x->x 0

Olgu funktsioon f(x) defineeritud mõnel hulgal X ja punkt \(x_0 \in X\) või \(x_0 \notin X\)

Võtame X-st punktide jada, mis erineb x 0-st:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
koondudes x*-le. Funktsiooni väärtused selle jada punktides moodustavad samuti numbrilise jada
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
ja võib tõstatada küsimuse selle piiri olemasolust.

Definitsioon. Arvu A nimetatakse funktsiooni f(x) piiriks punktis x = x 0 (või punktis x -> x 0), kui argumendi x väärtuste jada (1) puhul erineb x 0-st. koondudes väärtusele x 0, koondub vastav väärtuste jada (2) arvule A.

$$ \lim_(x\to x_0)( f(x)) = A $$

Funktsioonil f(x) võib punktis x 0 olla ainult üks piir. See tuleneb asjaolust, et järjestus
(f(x n)) on ainult üks piir.

Funktsiooni piiril on veel üks määratlus.

Definitsioon Arvu A nimetatakse funktsiooni f(x) piiriks punktis x = x 0, kui mis tahes arvu \(\varepsilon > 0\) korral on arv \(\delta > 0\), nii et kõigi \ (x \in X, \; x \neq x_0 \), rahuldades ebavõrdsust \(|x-x_0| Kasutades loogilisi sümboleid, saab selle definitsiooni kirjutada järgmiselt
\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Pange tähele, et võrratused \(x \neq x_0) , \; |x-x_0| \(\varepsilon - \delta \)”.
Need kaks funktsiooni piiri definitsiooni on samaväärsed ja võite kasutada mõlemat, sõltuvalt sellest, kumb on konkreetse probleemi lahendamiseks mugavam.

Pange tähele, et funktsiooni piiri definitsiooni "jadade keeles" nimetatakse ka funktsiooni piiri määratluseks Heine järgi ja funktsiooni piiri määratlust "keeles \(\varepsilon - \delta \)” nimetatakse Cauchy järgi ka funktsiooni piiri määratluseks.

Funktsiooni piirväärtus x->x 0 - ja x->x 0 + juures

Järgnevalt kasutame funktsiooni ühepoolsete piiride mõisteid, mis on defineeritud järgmiselt.

Definitsioon Arvu A nimetatakse funktsiooni f(x) parempoolseks (vasakuks) piiriks punktis x 0, kui mis tahes jada (1) puhul, mis koondub x 0-le, mille elemendid x n on suuremad (väiksem kui) x 0, vastav jada (2) koondub A-le.

Sümboolselt on see kirjutatud nii:
$$ \lim_(x \to x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \right) $$

Funktsiooni ühepoolsetele piiridele saame anda samaväärse definitsiooni "keeles \(\varepsilon - \delta \)":

Definitsioon arvu A nimetatakse funktsiooni f(x) parempoolseks (vasakuks) piiriks punktis x 0, kui mis tahes \(\varepsilon > 0\) korral on olemas \(\delta > 0\), nii et kõik x-id rahuldavad ebavõrdsused \(x_0 sümboolset kirjet:

Vaatame mõnda illustreerivat näidet.

Olgu x arv muutuv kogus, X on selle muutumise ala. Kui iga X-i kuuluv arv x on seotud teatud arvuga y, siis öeldakse, et hulk X on defineeritud ja kirjutatakse y = f(x).
Sisestage X antud juhul- kahest koosnev lennuk koordinaatteljed– 0X ja 0Y. Näiteks kujutame funktsiooni y = x 2. Teljed 0X ja 0Y moodustavad X - selle muutumise ala. Joonisel on selgelt näha, kuidas funktsioon käitub. Sel juhul öeldakse, et funktsioon y = x 2 on defineeritud hulgal X.

Funktsiooni kõigi osaväärtuste hulka Y nimetatakse väärtuste hulgaks f(x). Teisisõnu, väärtuste kogum on intervall piki 0Y-telge, kus funktsioon on määratletud. Kujutatud parabool näitab selgelt, et f(x) > 0, sest x2 > 0. Seetõttu on väärtuste vahemik . Vaatame paljusid väärtusi 0Y järgi.

Kõigi x-ide hulka nimetatakse f(x) domeeniks. Vaatame paljusid definitsioone 0X järgi ja meie puhul on vastuvõetavate väärtuste vahemik [-; +].

Punkti a (a kuulub või X) nimetatakse hulga X piirpunktiks, kui punkti a mis tahes naabruses on hulga X punkte, mis erinevad a-st.

On kätte jõudnud aeg mõista, mis on funktsiooni piir?

Kutsutakse välja puhas b, millele funktsioon kaldub nii, nagu x kaldub arvule a funktsiooni piir. See on kirjutatud järgmiselt:

Näiteks f(x) = x 2. Peame välja selgitama, millele funktsioon kaldub (ei võrdu) x 2 juures. Esiteks kirjutame üles piirangu:

Vaatame graafikut.

Joonistame 0X-telje punkti 2 kaudu paralleelse joone 0Y teljega. See lõikub meie graafikuga punktis (2;4). Laskem sellest punktist risti teljele 0Y ja jõuame punkti 4. See on see, mille poole meie funktsioon püüab x 2 juures. Kui nüüd asendada väärtus 2 funktsiooniga f(x), on vastus sama.

Nüüd, enne kui liigume edasi piirmäärade arvutamine, tutvustame põhimääratlusi.

Prantsuse matemaatik Augustin Louis Cauchy tutvustas seda 19. sajandil.

Oletame, et funktsioon f(x) on defineeritud teatud intervallil, mis sisaldab punkti x = A, kuid f(A) väärtust pole üldse vaja defineerida.

Seejärel Cauchy definitsiooni kohaselt funktsiooni piir f(x) on teatud arv B, kus x kaldub A-le, kui iga C > 0 korral on arv D > 0, mille jaoks

Need. kui funktsioon f(x) kohas x A on piiratud piiranguga B, kirjutatakse see kujul

Järjestuse piirang teatud arv A kutsutakse, kui mõni suvaliselt väike positiivne arv Kui > 0 on arv N, mille kõik väärtused juhul n > N rahuldavad ebavõrdsust

See piirang näeb välja selline.

Jada, millel on piir, nimetatakse koonduvaks, kui mitte, siis nimetame seda lahknevaks.

Nagu olete juba märganud, tähistab piire ikoon lim, mille alla kirjutatakse muutuja jaoks mõni tingimus ja seejärel kirjutatakse funktsioon ise. Sellist komplekti loetakse "funktsiooni piiriks, mille suhtes kohaldatakse...". Näiteks:

- funktsiooni limiit kui x kipub olema 1.

Väljend "lähendub 1-le" tähendab, et x omandab järjestikku väärtused, mis lähenevad 1-le lõpmatult lähedale.

Nüüd saab selgeks, et selle piiri arvutamiseks piisab, kui asendada x väärtusega 1:

Lisaks spetsiifilistele arvväärtus x võib kalduda lõpmatuseni. Näiteks:

Avaldis x tähendab, et x kasvab pidevalt ja läheneb piiramatult lõpmatusele. Seega, asendades x asemel lõpmatuse, on ilmne, et funktsioon 1-x kaldub , kuid vastupidise märgiga:

Seega piirmäärade arvutamine taandub selle konkreetse väärtuse või teatud piirkonna leidmisele, kuhu piiriga piiratud funktsioon langeb.

Eeltoodu põhjal järeldub, et limiitide arvutamisel on oluline kasutada mitmeid reegleid:

Arusaamine piiri olemus ja põhireeglid piirarvutused, saate peamise ülevaate nende lahendamisest. Kui mõni limiit tekitab teile raskusi, siis kirjutage kommentaaridesse ja me aitame teid kindlasti.

Märkus: Õigusteadus on seaduste teadus, mis aitab konfliktide ja muude eluraskuste korral.

Piiride teooria- üks matemaatilise analüüsi osadest, mida mõned suudavad valdada, samas kui teistel on raskusi piiride arvutamisega. Piiride leidmise küsimus on üsna üldine, kuna tehnikaid on kümneid lahenduse piirid erinevat tüüpi. Samad piirid on leitavad nii L'Hopitali reeglit kasutades kui ka ilma selleta. Juhtub, et lõpmata väikeste funktsioonide seeria ajastamine võimaldab teil kiiresti soovitud tulemuse saada. On mitmeid tehnikaid ja nippe, mis võimaldavad teil leida mis tahes keerukusega funktsiooni piiri. Selles artiklis püüame mõista peamisi piirangute liike, mida praktikas kõige sagedamini kohtab. Me ei esita siin piiri teooriat ja määratlust, Internetis on palju allikaid, kus seda arutatakse. Seetõttu asume praktiliste arvutuste juurde, siin on teie "Ma ei tea, et meid ei õpetatud!"

Piirmäärade arvutamine asendusmeetodil

Näide 1. Leia funktsiooni piir
Lim((x^2-3*x)/(2*x+5),x=3).
Lahendus. Selliseid näiteid saab teoreetiliselt arvutada, kasutades tavalist asendust

Limiit on 18/11.
Midagi keerulist ega tarka sellistes piirides pole – asendasime väärtuse, arvutasime selle ja panime limiidi vastuseks kirja. Kuid selliste piirangute põhjal õpetatakse kõigile, et kõigepealt tuleb funktsiooni väärtus asendada. Lisaks muutuvad piirid keerulisemaks, võttes kasutusele lõpmatuse, määramatuse jms mõiste.

Ebakindlusega piir, nagu lõpmatus jagatud lõpmatusega. Ebakindluse avalikustamise tehnikad

Näide 2. Leia funktsiooni piir
Lim((x^2+2x)/(4x^2+3x-4),x=lõpmatus).
Lahendus: polünoomiga jagatud vormi polünoomi piirang on antud ja muutuja kaldub lõpmatuseni

Lihtsalt selle väärtuse asendamine, millele muutuja tuleks piiride leidmiseks leida, ei aita, saame määramatuse kujul lõpmatus jagatud lõpmatusega.
Piiriteooria kohaselt on limiidi arvutamise algoritmiks “x” suurima astme leidmine lugejas või nimetajas. Järgmiseks lihtsustatakse lugeja ja nimetaja vastavaks ning leitakse funktsiooni piir

Kuna väärtus kipub nulli, kui muutuja läheneb lõpmatusele, jäetakse need tähelepanuta või kirjutatakse lõppavaldisesse nullide kujul

Kohe praktikast saate teha kaks järeldust, mis on arvutustes vihjeks. Kui muutuja kaldub lõpmatusse ja lugeja aste on suurem kui nimetaja aste, siis on piir võrdne lõpmatusega. Vastasel juhul, kui nimetaja polünoom on kõrgemat järku kui lugejas, on piirmäär null.
Piirmäära saab kirjutada sellistes valemites:

Kui meil on funktsioon, mis moodustab murdudeta hariliku välja, siis on selle piir võrdne lõpmatusega

Järgmist tüüpi piirangud puudutavad nullilähedaste funktsioonide käitumist.

Näide 3. Leia funktsiooni piir
Lim((x^2+3x-5)/(x^2+x+2), x=0).
Lahendus: siin pole vaja polünoomi juhtivat tegurit eemaldada. Täpselt vastupidi, peate leidma lugeja ja nimetaja väikseima astme ning arvutama piirmäära

Väärtus x^2; x kipub nulli, kui muutuja kipub olema null Seetõttu jäetakse need tähelepanuta, seega saame

et piirmäär on 2,5.

Nüüd sa tead kuidas leida funktsiooni piiri vormist, jagage polünoom polünoomiga, kui muutuja kaldub lõpmatuseni või 0-ni. Kuid see on vaid väike ja lihtne osa näidetest. Järgmisest materjalist saate teada kuidas avastada funktsiooni piirides esinevaid määramatusi.

Piirmäär 0/0 tüüpi määramatusega ja selle arvutamise meetodid

Kõigile meenub kohe reegel, et nulliga jagada ei saa. Piiriteooria eeldab aga selles kontekstis lõpmata väikseid funktsioone.
Vaatame selguse huvides mõnda näidet.

Näide 4. Leia funktsiooni piir
Lim((3x^2+10x+7)/(x+1), x=-1).
Lahendus: Kui asendame nimetajaga muutuja x = -1 väärtuse, saame nulli ja lugejas saame sama. Nii et meil on vormi määramatus 0/0.
Sellise määramatusega toimetulemine on lihtne: peate polünoomi faktoreerima või õigemini valima teguri, mis muudab funktsiooni nulliks.

Pärast laiendamist saab funktsiooni piiri kirjutada kujul

See on kogu meetod funktsiooni piiri arvutamiseks. Teeme sama, kui polünoomiga jagatud vormipolünoomil on piir.

Näide 5. Leia funktsiooni piir
Lim((2x^2-7x+6)/(3x^2-x-10), x=2).
Lahendus: otsene asendus näitab
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
mis meil on tüüp 0/0 määramatus.
Jagame polünoomid singulaarsust tutvustava teguriga


On õpetajaid, kes õpetavad, et teist järku polünoomid, see tähendab ruutvõrrandi tüüpi, tuleb lahendada diskriminandi kaudu. Kuid tegelik praktika näitab, et see on pikem ja segasem, nii et vabanege funktsioonidest vastavalt määratud algoritmile. Seega kirjutame funktsiooni vormile peamised tegurid ja arvutada piirini

Nagu näete, pole selliste piiride arvutamisel midagi keerulist. Piire uurides tead, kuidas polünoome jagada, vähemalt programmi järgi peaks see olema juba läbitud.
Ülesannete hulgas tüüp 0/0 määramatus Mõnes olukorras peate kasutama lühendatud korrutamisvalemeid. Kuid kui te neid ei tea, saate soovitud valemi jagades polünoomi monoomiga.

Näide 6. Leia funktsiooni piir
Lim((x^2-9)/(x-3), x=3).
Lahendus: meil on määramatuse tüüp 0/0. Lugejas kasutame lühendatud korrutamisvalemit

ja arvutage vajalik piirmäär

Meetod määramatuse paljastamiseks selle konjugaadiga korrutamise teel

Meetodit rakendatakse piiride suhtes, milles määramatus tekib irratsionaalsed funktsioonid. Lugeja või nimetaja muutub arvutuspunktis nulliks ja pole teada, kuidas piiri leida.

Näide 7. Leia funktsiooni piir
Lim((sqrt(x+2)-sqrt(7x-10))/(3x-6), x=2).
Lahendus: Esitame muutujat piirvalemis

Asendamisel saame mõõtemääramatuse tüübi 0/0.
Piiriteooria kohaselt on võimalus sellest tunnusest mööda hiilida irratsionaalse avaldise korrutamine selle konjugaadiga. Tagamaks, et avaldis ei muutuks, tuleb nimetaja jagada sama väärtusega

Kasutades ruutude erinevuse reeglit, lihtsustame lugejat ja arvutame funktsiooni piiri

Lihtsustame limiidis singulaarsuse loovaid termineid ja teostame asendust

Näide 8. Leia funktsiooni piir
Lim((sqrt(x-2)-sqrt(2x-5))/(3-x), x=3).
Lahendus: Otsene asendus näitab, et piirväärtusel on singulaarsus kujul 0/0.

Laiendamiseks korrutame ja jagame lugeja konjugaadiga

Paneme kirja ruutude erinevuse

Lihtsustame singulaarsust tutvustavaid termineid ja leiame funktsiooni piiri

Näide 9. Leia funktsiooni piir
Lim((x^2+x-6)/(sqrt(3x-2)-2), x=2).
Lahendus: asendage valemis kaks

Me saame määramatus 0/0.
Nimetaja tuleb korrutada konjugaadi avaldisega ja lugejas tuleb ruutvõrrand lahendada või faktoreerida, võttes arvesse singulaarsust. Kuna on teada, et 2 on juur, leiame teise juure, kasutades Vieta teoreemi

Seega kirjutame lugeja vormile

ja asendage see limiidiga

Ruudude erinevust vähendades vabaneme lugeja ja nimetaja singulaarsustest

Nii saate paljudes näidetes vabaneda singulaarsustest ja rakendust tuleks tähele panna alati, kus antud juurte erinevus muutub asendamise käigus nulliks. Muud tüüpi piirangud puudutavad eksponentsiaalsed funktsioonid, lõpmata väikesed funktsioonid, logaritmid, erilimiidid ja muud tehnikad. Kuid selle kohta saate lugeda allpool loetletud piiranguid käsitlevatest artiklitest.

Piiriteooria on üks matemaatilise analüüsi harusid. Limiidi lahendamise küsimus on üsna ulatuslik, kuna erinevat tüüpi limiitide lahendamiseks on kümneid meetodeid. Seal on kümneid nüansse ja nippe, mis võimaldavad teil seda või teist piiri lahendada. Sellegipoolest püüame siiski mõista peamisi piirangute liike, mida praktikas kõige sagedamini kohtab.

Alustame piiri kontseptsioonist. Aga kõigepealt lühike ajalooline taust. 19. sajandil elas prantslane Augustin Louis Cauchy, kes andis paljudele matani mõistetele ranged määratlused ja pani sellele aluse. Peab ütlema, et see lugupeetud matemaatik oli, on ja jääb kõigi füüsika- ja matemaatikaosakonna üliõpilaste õudusunenägudesse, kuna ta tõestas tohutul hulgal matemaatilise analüüsi teoreeme ja üks teoreem on surmavam kui teine. Sellega seoses me veel ei kaalu Cauchy piiri määramine, kuid proovime teha kahte asja:

1. Saage aru, mis on piir.
2. Õppige lahendama piirangute põhitüüpe.

Vabandan mõningate ebateaduslike selgituste pärast, oluline on, et materjal oleks arusaadav ka teekannule, mis tegelikult ongi projekti ülesanne.

Mis on siis piir?

Ja lihtsalt näide sellest, miks karvas vanaemale....

Iga piirang koosneb kolmest osast:

1) Tuntud piiranguikoon.
2) Kirjed piiranguikooni all, antud juhul . Kirje kõlab "X kaldub ühele". Kõige sagedamini - täpselt, kuigi praktikas on X-i asemel muid muutujaid. Praktilistes ülesannetes võib ühe koht olla absoluutselt suvaline arv, aga ka lõpmatus ().
3) Funktsioonid piirmärgi all, antud juhul .

Salvestus ise kõlab järgmiselt: "funktsiooni piir kui x kaldub ühtsusele."

Vaatame järgmist olulist küsimust – mida tähendab väljend “x”? pingutabühele"? Ja mida üldse tähendab "püüdlema"?
Piiri mõiste on nii-öelda mõiste, dünaamiline. Koostame jada: kõigepealt , siis , , …, , ….
See tähendab, et väljend "x pingutabühele” tuleks mõista järgmiselt: “x” võtab järjekindlalt väärtused mis lähenevad ühtsusele lõpmatult lähedased ja kattuvad sellega praktiliselt.

Kuidas ülaltoodud näidet lahendada? Ülaltoodust lähtuvalt tuleb piirmärgi all olevasse funktsiooni lihtsalt asendada üks:

Niisiis, esimene reegel: Kui antakse mingi piirang, proovime esmalt lihtsalt numbri funktsiooniga ühendada.

Oleme arvestanud kõige lihtsama piiriga, kuid neid tuleb ette ka praktikas ja mitte nii harva!

Näide lõpmatusega:

Mõtleme välja, mis see on? See on nii, kui see suureneb piiramatult, see tähendab: kõigepealt, siis, siis, siis ja nii edasi lõpmatuseni.

Mis juhtub funktsiooniga sel ajal?
, , , …

Seega: kui , siis funktsioon kipub miinus lõpmatusse:

Jämedalt öeldes asendame meie esimese reegli kohaselt funktsiooniga "X" asemel lõpmatuse ja saame vastuse.

Teine näide lõpmatusega:

Jälle hakkame suurendama lõpmatuseni ja vaatame funktsiooni käitumist:

Järeldus: kui funktsioon suureneb piiramatult:

Ja veel üks näidete seeria:

Proovige enda jaoks mõtteliselt analüüsida järgmist ja pidage meeles lihtsamaid piiranguid:

, , , , , , , , ,
Kui teil on kuskil kahtlusi, võite võtta kalkulaatori ja veidi harjutada.
Kui , proovige konstrueerida jada , , . Kui , siis , , .

! Märkus: Rangelt võttes on selline lähenemine mitmest arvust koosnevate jadade koostamisel vale, kuid kõige lihtsamate näidete mõistmiseks on see üsna sobiv.

Pöörake tähelepanu ka järgmisele. Isegi kui limiit on antud suure numbriga ülaosas või isegi miljoniga: , siis on kõik sama , kuna varem või hiljem hakkab "X" omandama selliseid hiiglaslikke väärtusi, et võrreldes miljoniga on tõeline mikroob.

Mida peate ülaltoodust meeles pidama ja mõistma?

1) Kui on antud mingi piir, proovime esmalt lihtsalt funktsiooni asendada numbriga.

2) Peate mõistma ja kohe lahendama kõige lihtsamad piirid, nt .

Pealegi on piiril väga hea geomeetriline tähendus. Teema paremaks mõistmiseks soovitan lugeda metoodiline materjal Elementaarfunktsioonide graafikud ja omadused. Pärast selle artikli lugemist saate mitte ainult lõpuks aru, mis on piir, vaid tutvute ka huvitavate juhtumitega, kui funktsiooni piir üldiselt ei eksisteeri!

Praktikas on kingitusi kahjuks vähe. Ja seetõttu liigume edasi keerukamate piiride kaalumisele. Muide, sellel teemal on intensiivkursus pdf-vormingus, mis on eriti kasulik siis, kui teil on ettevalmistuseks VÄGA vähe aega. Kuid saidi materjalid pole muidugi halvemad:

Nüüd vaatleme piiride rühma, kui , ja funktsioon on murd, mille lugeja ja nimetaja sisaldavad polünoome

Näide:

Arvutage limiit

Meie reegli kohaselt proovime funktsiooni asendada lõpmatusega. Mida me tipus saame? Lõpmatus. Ja mis toimub allpool? Samuti lõpmatus. Seega on meil nn liigimääramatus. Võiks arvata, et , ja vastus on valmis, aga üldine juhtum See pole üldse nii ja peate rakendama lahendust, mida me nüüd kaalume.

Kuidas seda tüüpi piiranguid lahendada?

Kõigepealt vaatame lugejat ja leiame suurima võimsuse:

Lugeja juhtiv jõud on kaks.

Nüüd vaatame nimetajat ja leiame selle ka suurima astmeni:

Nimetaja kõrgeim aste on kaks.

Seejärel valime lugeja ja nimetaja suurima astme: in selles näites need langevad kokku ja on võrdsed kahega.

Seega on lahendusmeetod järgmine: määramatuse paljastamiseks on vaja lugeja ja nimetaja jagada suurima astmega.

Siin see on, vastus ja mitte lõpmatus.

Mis on otsuse kujundamisel põhimõtteliselt oluline?

Esiteks näitame ebakindlust, kui seda on.

Teiseks on soovitatav vahepealsete selgituste jaoks lahendus katkestada. Tavaliselt kasutan märki, sellel pole matemaatilist tähendust, vaid tähendab, et lahendus katkestatakse vahepealseks selgituseks.

Kolmandaks on limiidis soovitav märkida, mis kuhu läheb. Kui töö on käsitsi koostatud, on seda mugavam teha järgmiselt:

Märkmete tegemiseks on parem kasutada lihtsat pliiatsit.

Loomulikult ei pea te seda tegema, kuid võib-olla juhib õpetaja lahenduse puudustele või hakkab küsima lisaküsimusedülesandel. Kas sul on seda vaja?

Näide 2

Leia piir
Jällegi leiame lugejas ja nimetajas kõrgeimas astmes:

Lugeja maksimaalne aste: 3
Maksimaalne aste nimetajas: 4
Vali suurim väärtus, antud juhul neli.
Vastavalt meie algoritmile jagame määramatuse paljastamiseks lugeja ja nimetaja .
Täielik registreerimineülesanded võivad välja näha järgmised:

Jagage lugeja ja nimetaja arvuga

Näide 3

Leia piir
“X” maksimaalne aste lugejas: 2
Maksimaalne X aste nimetajas: 1 (saab kirjutada kui)
Määramatuse paljastamiseks on vaja lugeja ja nimetaja jagada . Lõplik lahendus võib välja näha selline:

Jagage lugeja ja nimetaja arvuga

Märkimine ei tähenda nulliga jagamist (nulliga jagada ei saa), vaid lõpmatu väikese arvuga jagamist.

Seega, kui avastame liikide ebakindluse, võime seda teha lõplik number, null või lõpmatus.

Piirid koos tüübi määramatusega ja nende lahendamise meetodiga

Järgmine piiride rühm sarnaneb mõneti äsja vaadeldud piiridega: lugeja ja nimetaja sisaldavad polünoome, kuid “x” ei kipu enam lõpmatusse, vaid lõplik arv.

Näide 4

Lahenda limiit
Esmalt proovime asendada murdosaga -1:

Sel juhul saadakse nn määramatus.

Üldreegel : kui lugeja ja nimetaja sisaldavad polünoome ja vormis on ebakindlus, siis tuleb see avaldada peate arvestama lugeja ja nimetaja.

Selleks tuleb enamasti lahendada ruutvõrrand ja/või kasutada lühendatud korrutusvalemeid. Kui need asjad on ununenud, siis külastage lehte Matemaatilised valemid ja tabelid ja lugeda õppematerjali Kuumad valemid koolikursus matemaatikud. Muide, see on kõige parem välja printida, seda nõutakse väga sageli ja teave imendub paberilt paremini.

Niisiis, lahendame oma piirangu

Korrigeerige lugeja ja nimetaja

Lugeja faktoristamiseks peate lahendama ruutvõrrandi:

Kõigepealt leiame diskriminandi:

Ja selle ruutjuur: .

Kui diskriminant on suur, näiteks 361, kasutame kalkulaatorit, ekstraheerimisfunktsiooni ruutjuur saadaval kõige lihtsamal kalkulaatoril.

! Kui juur pole täielikult ekstraheeritud (selgub murdarv komaga), on väga tõenäoline, et diskriminant arvutati valesti või ülesandes oli kirjaviga.

Järgmisena leiame juured:

Seega:

Kõik. Lugeja on faktoriseeritud.

Nimetaja. Nimetaja on juba kõige lihtsam tegur ja seda ei saa kuidagi lihtsustada.

Ilmselt saab seda lühendada järgmiselt:

Nüüd asendame -1 avaldisega, mis jääb piirmärgi alla:

Loomulikult sisse proovitöö, testi või eksami ajal ei kirjutata lahendust kunagi nii detailselt välja. Lõplikus versioonis peaks kujundus välja nägema umbes selline:

Faktoriseerime lugeja.

Näide 5

Arvutage limiit

Esiteks lahenduse "viimistlus" versioon

Arvutame lugeja ja nimetaja.

Lugeja:
Nimetaja:



,

Mis on selles näites oluline?
Esiteks peab teil olema hea arusaam sellest, kuidas lugeja ilmub. Esmalt võtsime sulgudest välja 2 ja seejärel kasutasime ruutude erinevuse valemit. See on valem, mida peate teadma ja nägema.

Soovitus: Kui limiidis (peaaegu igat tüüpi) on võimalik arv sulgudest välja võtta, siis teeme seda alati.
Lisaks on soovitatav sellised numbrid piiranguikoonist kaugemale viia. Mille eest? Jah, lihtsalt selleks, et nad teele ei jääks. Peaasi, et need numbrid hiljem lahenduse käigus ära ei kaotaks.

Pange tähele, et lahenduse viimases etapis võtsin piiranguikoonist välja kaks ja seejärel miinuse.

! Tähtis
Lahenduse käigus esineb tüübifragmenti väga sageli. Vähendage seda osasee on keelatud . Kõigepealt peate muutma lugeja või nimetaja märki (sulgudesse panna -1).
, ehk siis ilmub miinusmärk, mida limiidi arvutamisel arvestatakse ja seda pole üldse vaja kaotada.

Üldiselt märkasin, et enamasti tuleb seda tüüpi piiride leidmisel lahendada kaks ruutvõrrandid, see tähendab, et nii lugeja kui ka nimetaja sisaldavad ruudukujulisi trinomeeme.

Lugeja ja nimetaja korrutamise meetod konjugaavaldisega

Jätkame vormi ebakindlusega arvestamist

Järgmist tüüpi piirangud on sarnased eelmisele tüübile. Ainuke asi, lisaks polünoomidele lisame juured.

Näide 6

Leia piir

Hakkame otsustama.

Esmalt proovime 3 asendada avaldisega piirmärgi all
Kordan veel kord - see on esimene asi, mida peate tegema IGA piirangu jaoks. See toiming viiakse tavaliselt läbi vaimselt või mustandi kujul.

Saadud vormi määramatus, mis tuleb kõrvaldada.

Nagu ilmselt märkasite, sisaldab meie lugeja juurte erinevust. Ja matemaatikas on kombeks võimalusel juurtest lahti saada. Mille eest? Ja ilma nendeta on elu lihtsam.

Jadade ja funktsioonide piiride mõisted. Kui on vaja leida jada piir, kirjutatakse see järgmiselt: lim xn=a. Sellises järjestustes kaldub xn a-le ja n lõpmatuseni. Jada esitatakse tavaliselt seeriana, näiteks:
x1, x2, x3...,xm,...,xn... .
Järjestused jagunevad kasvavateks ja kahanevateks. Näiteks:
xn=n^2 – kasvav jada
yn=1/n - jada
Näiteks jada xn=1/n^ limiit:
lim 1/n^2=0

x→∞
See piir on võrdne nulliga, kuna n→∞ ja jada 1/n^2 kipub olema null.

Tavaliselt kaldub muutuv suurus x lõplikule piirile a ja x läheneb pidevalt a-le ning suurus a on konstantne. See on kirjutatud järgmiselt: limx =a, samas kui n võib kalduda ka kas nulli või lõpmatuseni. Funktsioone on lõpmatu arv, mille puhul kipub piir lõpmatuseni. Muudel juhtudel, kui funktsioon näiteks aeglustab rongi, kipub piirmäär olema null.
Limiitidel on mitmeid omadusi. Tavaliselt on igal funktsioonil ainult üks piir. See on limiidi peamine omadus. Teised on loetletud allpool:
* Summa limiit võrdub limiitide summaga:
lim(x+y)=lim x+lim y
* Tootelimiit võrdub limiitide korrutisega:
lim(xy)=lim x*lim y
* Jagatise piir on võrdne piirväärtuste jagatisega:
lim(x/y)=lim x/lim y
* Konstantne tegur võetakse väljaspool piirmärki:
lim(Cx)=C lim x
Antud funktsioon 1 /x, milles x →∞, on selle piirväärtus null. Kui x→0, on sellise funktsiooni piirväärtus ∞.
Sest trigonomeetrilised funktsioonid on nendest reeglitest pärit. Sest patu funktsioon x kipub nullile lähenedes alati ühtlustuma, identiteet kehtib selle kohta:
lim sin x/x=1

Paljudes funktsioonides on funktsioone, mille piiride arvutamisel tekib määramatus - olukord, kus piirmäära ei saa arvutada. Ainus väljapääs sellest olukorrast on L'Hopital. Ebakindlust on kahte tüüpi:
* vormi määramatus 0/0
* vormi ∞/∞ määramatus
Näiteks on antud järgmisel kujul piirang: lim f(x)/l(x) ja f(x0)=l(x0)=0. Sel juhul tekib määramatus kujul 0/0. Sellise ülesande lahendamiseks eristatakse mõlemad funktsioonid, mille järel leitakse tulemuse piir. Tüüpi 0/0 määramatuste puhul on piirmäär:
lim f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (x → 0)
Sama reegel kehtib ka ∞/∞ tüüpi määramatuste kohta. Kuid sel juhul on tõene järgmine võrdsus: f(x)=l(x)=∞
L'Hopitali reeglit kasutades saate leida mis tahes piiride väärtused, milles ebakindlus ilmneb. Eeltingimuseks

maht - tuletisinstrumentide leidmisel vigu ei esine. Näiteks funktsiooni (x^2)" tuletis võrdub 2x. Siit võime järeldada, et:
f"(x)=nx^(n-1)