Üks olulisemaid teadusi, mille rakendamist võib näha sellistes distsipliinides nagu keemia, füüsika ja isegi bioloogia, on matemaatika. Selle teaduse õppimine võimaldab teil arendada mõningaid vaimseid omadusi ja parandada keskendumisvõimet. Üks teema, mis matemaatika kursusel erilist tähelepanu väärib, on murdude liitmine ja lahutamine. Paljudel õpilastel on raske õppida. Võib-olla aitab meie artikkel seda teemat paremini mõista.

Kuidas lahutada murde, mille nimetajad on samad

Murrud on samad arvud, millega saate toota erinevaid tegevusi. Nende erinevus täisarvudest seisneb nimetaja olemasolus. Sellepärast peate murdosadega toimingute tegemisel uurima nende mõningaid omadusi ja reegleid. Lihtsaim juhtum on harilike murdude lahutamine, mille nimetajad on esitatud sama arvuna. Selle toimingu sooritamine ei ole keeruline, kui teate lihtsat reeglit:

• Ühest murrust sekundi lahutamiseks on vaja taandatava murru lugejast lahutada lahutatud murru lugeja. Kirjutame selle arvu erinevuse lugejasse ja nimetaja jätame samaks: k/m - b/m = (k-b)/m.

Näited murdude lahutamisest, mille nimetajad on samad

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

Murru “7” lugejast lahutame lahutatava murru “3” lugeja, saame “4”. Kirjutame selle numbri vastuse lugejasse ja nimetajasse paneme sama numbri, mis oli esimese ja teise murru nimetajates - “19”.

Alloleval pildil on näha veel mõned sarnased näited.

Vaatleme keerukamat näidet, kus murrud lahutatakse samad nimetajad:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

Murru “29” lugejast taandatakse, lahutades omakorda kõigi järgnevate murdude lugejad - “3”, “8”, “2”, “7”. Selle tulemusena saame tulemuse “9”, mille kirjutame vastuse lugejasse ja nimetajasse kirjutame üles arvu, mis on kõigi nende murdude nimetajates - “47”.

Sama nimetajaga murdude lisamine

Harilike murdude liitmine ja lahutamine toimub samal põhimõttel.

• Samade nimetajatega murdude liitmiseks tuleb lisada lugejad. Saadud arv on summa lugeja ja nimetaja jääb samaks: k/m + b/m = (k + b)/m.

Vaatame näite abil, kuidas see välja näeb:

1/4 + 2/4 = 3/4.

Murru esimese liikme lugejale - "1" - lisage murdosa teise liikme lugeja - "2". Tulemus - "3" - kirjutatakse summa lugejasse ja nimetaja jäetakse samaks, mis on murdudes - "4".

Erinevate nimetajatega murrud ja nende lahutamine

Oleme juba käsitlenud tehteid murdudega, millel on sama nimetaja. Nagu näeme, teades lihtsad reeglid, selliste näidete lahendamine on üsna lihtne. Aga mis siis, kui teil on vaja teha tehte murdudega, millel on erinevad nimetajad? Paljud keskkooliõpilased on sellistest näidetest segaduses. Kuid isegi siin, kui teate lahenduse põhimõtet, pole näited teile enam rasked. Siin on ka reegel, ilma milleta on selliste murdude lahendamine lihtsalt võimatu.

Murrude lahutamiseks erinevad nimetajad, on vaja need taandada sama madalaima nimetajani.



Sellest, kuidas seda teha, räägime üksikasjalikumalt.

Murru omadus

Selleks, et viia mitu murdosa samale nimetajale, tuleb lahenduses kasutada murru põhiomadust: pärast lugeja ja nimetaja jagamist või korrutamist sama arvuga saad murru, mis on võrdne etteantuga.

Näiteks võib murdarvul 2/3 olla nimetajaid, nagu "6", "9", "12" jne, see tähendab, et sellel võib olla mis tahes arv, mis on "3" kordne. Pärast lugeja ja nimetaja korrutamist 2-ga saame murdosa 4/6. Pärast algmurru lugeja ja nimetaja korrutamist 3-ga saame 6/9 ja kui teeme sarnase toimingu numbriga 4, saame 8/12. Ühe võrdsuse saab kirjutada järgmiselt:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Kuidas teisendada mitu murdosa samale nimetajale

Vaatame, kuidas taandada mitut murdu samale nimetajale. Näiteks võtame alloleval pildil näidatud murded. Kõigepealt peate kindlaks määrama, milline number võib saada nende kõigi nimetajaks. Asjade lihtsustamiseks faktoreerime olemasolevad nimetajad.

Murru 1/2 ja murdosa 2/3 nimetajat ei saa faktoriseerida. Nimetaja 7/9 on kaks tegurit 7/9 = 7/(3 x 3), murdosa 5/6 nimetaja = 5/(2 x 3). Nüüd peame kindlaks määrama, millised tegurid on kõigi nende nelja fraktsiooni puhul väikseimad. Kuna esimese murru nimetajas on arv “2”, tähendab see, et murdes 7/9 on kaks kolmikut, mis tähendab, et nimetajas peavad olema ka mõlemad. Eespool öeldut arvesse võttes määrame, et nimetaja koosneb kolmest tegurist: 3, 2, 3 ja on võrdne 3 x 2 x 3 = 18.



Vaatleme esimest murdosa - 1/2. Selle nimetajas on "2", kuid seal pole ühtegi numbrit "3", vaid peaks olema kaks. Selleks korrutame nimetaja kahe kolmikuga, kuid vastavalt murdosa omadusele peame korrutama lugeja kahe kolmekordsega:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.

Ülejäänud fraktsioonidega teeme samu toiminguid.

• 2/3 - nimetajas puuduvad üks kolm ja üks kaks:
  2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18.
• 7/9 või 7/(3 x 3) – nimetajast puudub kaks:
  7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18.
• 5/6 või 5/(2 x 3) – nimetajast puudub kolm:
  5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18.

Kõik kokku näeb see välja selline:



Kuidas lahutada ja liita murde, millel on erinevad nimetajad

Nagu eespool mainitud, tuleb erinevate nimetajatega murdude liitmiseks või lahutamiseks need taandada samale nimetajale ja seejärel kasutada sama nimetajaga murdude lahutamise reegleid, millest on juba juttu olnud.

Vaatame seda näitena: 4/18 - 3/15.

Arvude 18 ja 15 kordse leidmine:

• Arv 18 koosneb 3 x 2 x 3-st.
• Arv 15 koosneb 5 x 3-st.
• Ühiskordaja on järgmised tegurid: 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

Pärast nimetaja leidmist on vaja arvutada iga murdosa jaoks erinev tegur, st arv, millega on vaja korrutada mitte ainult nimetaja, vaid ka lugeja. Selleks jagage leitud arv (ühiskordne) selle murdosa nimetajaga, mille jaoks tuleb määrata täiendavad tegurid.

• 90 jagatud 15-ga. Saadud arv “6” on 3/15 kordaja.
• 90 jagatud 18-ga. Saadud arv “5” on 4/18 kordaja.

Meie lahenduse järgmine etapp on iga murdosa taandamine nimetajaks "90".

Oleme juba rääkinud, kuidas seda tehakse. Vaatame, kuidas see näites on kirjutatud:

(4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

Kui murrud väikeste arvudega, siis saate ühine nimetaja määrake nagu alloleval pildil näidatud näites.



Sama kehtib nende kohta, kellel on erinevad nimetajad.

Lahutamine ja täisarvuliste osade omamine

Oleme juba üksikasjalikult arutanud murdude lahutamist ja nende liitmist. Aga kuidas lahutada, kui murd on terve osa? Jällegi kasutame mõnda reeglit:

• Teisendage kõik täisarvuga murrud ebaõigeteks murdudeks. Rääkimine lihtsate sõnadega, eemaldage kogu osa. Selleks korrutage täisarvulise osa arv murdosa nimetajaga ja lisage saadud korrutis lugejale. Arv, mis ilmub pärast neid toiminguid, on vale murru lugeja. Nimetaja jääb muutumatuks.
• Kui murdudel on erinevad nimetajad, tuleks need taandada samale nimetajale.
• Tehke liitmine või lahutamine samade nimetajatega.
• Vale murdu saamisel valige kogu osa.



Tervete osadega murdude liitmiseks ja lahutamiseks on veel üks viis. Selleks tehakse toimingud eraldi tervete osadega ja toimingud murdosadega eraldi ning tulemused registreeritakse koos.



Antud näide koosneb murdosadest, millel on sama nimetaja. Kui nimetajad on erinevad, tuleb need viia samale väärtusele ja seejärel teha näites näidatud toimingud.

Täisarvudest murdude lahutamine

Teist tüüpi tehte murdudega on juhtum, kui murdosast tuleb lahutada Esmapilgul selline näide tundub raskesti lahendatav. Siin on aga kõik üsna lihtne. Selle lahendamiseks peate täisarvu teisendama murdarvuks ja sama nimetajaga, mis on lahutatud murrus. Järgmisena teostame identsete nimetajatega lahutamisele sarnase lahutamise. Näites näeb see välja selline:

7 - 4/9 = (7 x 9) / 9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

Käesolevas artiklis esitatud murdude (6. hinne) lahutamine on aluseks keerukamate näidete lahendamisel, mida käsitletakse järgmistes hinnetes. Selle teema teadmisi kasutatakse hiljem funktsioonide, tuletiste jms lahendamiseks. Seetõttu on väga oluline mõista ja mõista eespool käsitletud tehteid murdudega.

Selles õppetükis käsitletakse liitmist ja lahutamist. algebralised murrud erinevate nimetajatega. Teame juba, kuidas liita ja lahutada erinevate nimetajatega harilikke murde. Selleks tuleb murded taandada ühiseks nimetajaks. Selgub, et algebralised murrud järgivad samu reegleid. Samas teame juba, kuidas algebralisi murde ühiseks nimetajaks taandada. Erinevate nimetajatega murdude liitmine ja lahutamine on 8. klassi kursuse üks olulisemaid ja raskemaid teemasid. Veelgi enam, see teema ilmub paljudes teemades algebra kursusel, mida tulevikus õppima hakkate. Tunni raames uurime erinevate nimetajatega algebraliste murdude liitmise ja lahutamise reegleid ning analüüsime ka mitmeid tüüpilisi näiteid.

Mõelgem lihtsaim näide tavaliste murdude jaoks.

Näide 1. Murdude lisamine: .

Lahendus:

Meenutagem murdude liitmise reeglit. Alustuseks tuleb murded taandada ühise nimetajani. Harilike murdude ühisnimetaja on vähim ühiskordne(LCM) algsetest nimetajatest.

Definitsioon

Vähemalt naturaalarv, mis jagub samaaegselt numbritega ja .

LCM-i leidmiseks on vaja nimetajad jaotada peamised tegurid ja seejärel valige kõik algtegurid, mis kuvatakse mõlema nimetaja laiendamisel.

; . Siis peab arvude LCM sisaldama kahte kahte ja kahte kolme: .

Pärast ühise nimetaja leidmist peate leidma igale murdosale lisateguri (tegelikult jagage ühisnimetaja vastava murru nimetajaga).

Seejärel korrutatakse iga murdosa saadud lisateguriga. Saame samade nimetajatega murded, mida õppisime eelmistes tundides liitma ja lahutama.

Saame: .

Vastus:.

Vaatleme nüüd erinevate nimetajatega algebraliste murdude liitmist. Kõigepealt vaatame murde, mille nimetajateks on arvud.

Näide 2. Murdude lisamine: .

Lahendus:

Lahendusalgoritm on absoluutselt sarnane eelmisele näitele. Nende murdude ühisnimetajat on lihtne leida ja igaühe jaoks täiendavaid tegureid.

.

Vastus:.

Niisiis, sõnastame erinevate nimetajatega algebraliste murdude liitmise ja lahutamise algoritm:

1. Leia murdude väikseim ühisnimetaja.

2. Leia igale murrule lisategurid (jagades ühisnimetaja antud murru nimetajaga).

3. Korrutage lugejad vastavate lisateguritega.

4. Lisage või lahutage murde, kasutades samade nimetajatega murdude liitmise ja lahutamise reegleid.

Vaatleme nüüd näidet murdudega, mille nimetaja sisaldab sõnasõnalised väljendid.

Näide 3. Murdude lisamine: .

Lahendus:

Kuna mõlema nimetaja täheväljendid on samad, peaksite leidma numbritele ühise nimetaja. Lõplik ühisnimetaja näeb välja selline: . Nii et lahendus see näide on kujul:.

Vastus:.

Näide 4. Lahutage murrud: .

Lahendus:

Kui te ei saa ühisnimetaja valimisel "petta" (te ei saa seda faktorit arvutada ega kasutada lühendatud korrutusvalemeid), siis peate ühiseks nimetajaks võtma mõlema murru nimetajate korrutise.

Vastus:.

Üldiselt on selliste näidete lahendamisel kõige keerulisem ühisosa leidmine.

Vaatame keerukamat näidet.

Näide 5. Lihtsustama: .

Lahendus:

Ühise nimetaja leidmisel tuleb esmalt proovida arvutada algsete murdude nimetajad (ühise nimetaja lihtsustamiseks).

Sel konkreetsel juhul:

Siis on ühisnimetajat lihtne määrata: .

Määrame täiendavad tegurid ja lahendame selle näite:

Vastus:.

Nüüd paneme paika erinevate nimetajatega murdude liitmise ja lahutamise reeglid.

Näide 6. Lihtsustama: .

Lahendus:

Vastus:.

Näide 7. Lihtsustama: .

Lahendus:

.

Vastus:.

Vaatleme nüüd näidet, kus mitte kaks, vaid kolm murdu liidetakse (lõppude lõpuks on liitmise ja lahutamise reeglid rohkem murrud jäävad samaks).

Näide 8. Lihtsustama: .

Sarnaste nimetajatega murdude liitmine ja lahutamine
Erinevate nimetajatega murdude liitmine ja lahutamine
NOC kontseptsioon
Murdude taandamine samale nimetajale
Kuidas liita täisarvu ja murdosa

1 Sarnaste nimetajatega murdude liitmine ja lahutamine

Samade nimetajatega murdude lisamiseks peate lisama nende lugejad, kuid jätma nimetaja samaks, näiteks:

Samade nimetajatega murdude lahutamiseks peate esimese murru lugejast lahutama teise murru lugeja ja jätma nimetaja samaks, näiteks:

Segamurdude lisamiseks peate eraldi lisama nende terved osad ja seejärel lisama nende murdosad ning kirjutama tulemuse segamurruna,

Kui murdosade lisamisel tekib vale murd, valige sellest terve osa ja lisage see näiteks tervele osale:

2 Erinevate nimetajatega murdude liitmine ja lahutamine

Erinevate nimetajatega murdude liitmiseks või lahutamiseks peate need esmalt taandama samale nimetajale ja seejärel jätkama selle artikli alguses näidatud viisil. Mitme murru ühisnimetaja on LCM (least common multiple). Iga murdosa lugeja jaoks leitakse täiendavad tegurid, jagades LCM selle murdosa nimetajaga. Vaatame näidet hiljem, kui oleme aru saanud, mis on NOC.

3 Vähim ühiskordne (LCM)

Kahe arvu vähim ühiskordne (LCM) on väikseim naturaalarv, mis jagub mõlema arvuga jääki jätmata. Mõnikord võib LCM-i leida suuliselt, kuid sagedamini, eriti suurte numbritega töötades, peate LCM-i leidma kirjalikult, kasutades järgmist algoritmi:

Mitme numbri LCM-i leidmiseks vajate:

1. Muutke need arvud algteguriteks
2. Võtke suurim laiendus ja kirjutage need numbrid tootena
3. Valige teistes laiendustes numbrid, mis ei esine suurimas laienduses (või esinevad selles vähem kordi) ja lisage need tootele.
4. Korrutage kõik toote numbrid, see on LCM.

Näiteks leiame numbrite 28 ja 21 LCM-i:

4 Murdude taandamine samale nimetajale

Tuleme tagasi erinevate nimetajatega murdude liitmise juurde.

Kui vähendame murde samale nimetajale, mis on võrdne mõlema nimetaja LCM-iga, peame korrutama nende murdude lugejad täiendavad kordajad. Need leiate, kui jagate LCM-i vastava murdosa nimetajaga, näiteks:

Seega, et vähendada murde samale eksponendile, peate esmalt leidma LCM-i (st väikseim number, mis jagub mõlema nimetajaga) nende murdude nimetajatest, siis lisage murdude lugejatele täiendavad tegurid. Need leiate, kui jagate ühisnimetaja (CLD) vastava murdosa nimetajaga. Seejärel peate iga murdosa lugeja korrutama lisateguriga ja määrama nimetajaks LCM.

5 Kuidas liita täisarvu ja murdosa

Täisarvu ja murru liitmiseks tuleb see arv lihtsalt lisada murru ette, mille tulemuseks on näiteks segamurd.

Tegevused murdarvudega.

Tähelepanu!
On täiendavaid
materjalid erijaos 555.
Neile, kes on väga "mitte väga..."
Ja neile, kes "väga..."

Niisiis, mis on murded, murdude tüübid, teisendused - me mäletasime. Läheme põhiküsimuse juurde.

Mida saab murdudega teha? Jah, kõik on sama, mis tavanumbrite puhul. Liita, lahutada, korrutada, jagada.

Kõik need toimingud koos kümnend murrudega töötamine ei erine tööst täisarvudega. Tegelikult on see nende puhul hea, kümnendkohad. Ainus asi on see, et peate koma õigesti panema.

Seganumbrid, nagu ma juba ütlesin, on enamiku toimingute jaoks vähe kasu. Need tuleb veel teisendada tavalisteks murdudeks.

Aga toimingud koos tavalised murrud nad on kavalamad. Ja palju tähtsam! Lubage mul teile meelde tuletada: kõik toimingud murruavaldistega tähtede, siinuste, tundmatute jne ja nii edasi ja nii edasi ei erine tavaliste murdudega toimingutest! Tehted tavaliste murdudega on kogu algebra aluseks. Just sel põhjusel analüüsime siin kogu seda aritmeetikat väga üksikasjalikult.

Murdude liitmine ja lahutamine.

Igaüks saab liita (lahutada) samade nimetajatega murde (ma väga loodan!). Noh, tuletan täiesti unustajatele meelde: liitmisel (lahutamisel) nimetaja ei muutu. Lugejad liidetakse (lahutatakse), et saada tulemuse lugeja. Tüüp:

Ühesõnaga sisse üldine vaade:

Mis siis, kui nimetajad on erinevad? Seejärel murru põhiomadust kasutades (siin tuleb jälle kasuks!) muudame nimetajad samaks! Näiteks:

Siin tuli teha murdosast 2/5 murdosa 4/10. Ainsa eesmärgiga muuta nimetajad samaks. Märgin igaks juhuks, et 2/5 ja 4/10 on sama murdosa! Ainult 2/5 on meie jaoks ebamugavad ja 4/10 on tõesti okei.

Muide, see on kõigi matemaatikaülesannete lahendamise olemus. Kui me pärit ebamugav me teeme väljendeid sama asi, aga lahendamiseks mugavam.

Veel üks näide:

Olukord on sarnane. Siin teeme 16-st 48. Lihtsa korrutamise teel 3-ga. Kõik on selge. Kuid me leidsime midagi sellist:

Kuidas olla?! Seitsmest on raske üheksat teha! Aga me oleme targad, teame reegleid! Muutkem iga murdosa nii, et nimetajad oleksid samad. Seda nimetatakse "ühise nimetaja taandamiseks":

Vau! Kuidas ma 63-st teadsin? Väga lihtne! 63 on arv, mis jagub korraga 7 ja 9-ga. Sellise arvu saab alati nimetajaid korrutades. Kui me korrutame arvu näiteks 7-ga, jagub tulemus kindlasti 7-ga!

Kui on vaja liita (lahutada) mitu murru, pole seda vaja teha paarikaupa, samm-sammult. Peate lihtsalt leidma kõikidele murdudele ühise nimetaja ja vähendama iga murdosa samale nimetajale. Näiteks:

Ja mis saab ühiseks nimetajaks? Muidugi võite korrutada 2, 4, 8 ja 16. Saame 1024. Õudusunenägu. Lihtsam on hinnata, et arv 16 jagub ideaalselt 2, 4 ja 8-ga. Seetõttu on nende arvude põhjal lihtne saada 16. See arv on ühine nimetaja. Muudame 1/2 8/16-ks, 3/4 12/16-ks ja nii edasi.

Muide, kui võtta ühiseks nimetajaks 1024, saab kõik korda, lõpuks kõik väheneb. Kuid kõik ei jõua selleni, sest arvutused...

Täitke näide ise. Mitte mingi logaritm... Peaks olema 29/16.

Niisiis, murdude liitmine (lahutamine) on selge, ma loodan? Loomulikult on lihtsam töötada lühendatud versioonis, täiendavate kordajatega. Kuid see rõõm on kättesaadav neile, kes on ausalt töötanud nooremad klassid... Ja ma ei unustanud midagi.

Ja nüüd teeme samu toiminguid, kuid mitte murdudega, vaid koos murdosa avaldised. Siin avastatakse uus reha, jah...

Seega peame lisama kaks murdosa avaldist:

Peame muutma nimetajad samaks. Ja ainult abiga korrutamine! Seda määrab murdosa peamine omadus. Seetõttu ei saa ma nimetaja esimeses murrus X-le ühte lisada. (see oleks tore!). Aga kui nimetajad korrutada, siis näed, kõik kasvab kokku! Nii kirjutame üles murdosa rea, jätame ülaossa tühja ruumi, lisame selle ja kirjutame alla nimetajate korrutise, et mitte unustada:

Ja loomulikult ei korruta me paremal pool midagi, me ei ava sulgusid! Ja nüüd, vaadates parempoolset ühisnimetajat, saame aru: selleks, et saada nimetaja x(x+1) esimeses murrus, tuleb selle murdosa lugeja ja nimetaja korrutada (x+1) . Ja teises murrus - kuni x. See on see, mida saate:

Märge! Siin on sulud! See on reha, mille otsa astuvad paljud. Muidugi mitte sulud, vaid nende puudumine. Sulud ilmuvad, sest me korrutame kõik lugeja ja kõik nimetaja! Ja mitte nende üksikud tükid...

Parema poole lugejasse kirjutame lugejate summa, kõik on nagu numbrimurdudes, seejärel avame parema külje lugejas sulud, st. Korrutame kõik ja anname sarnased. Pole vaja nimetajates sulgu avada ega midagi korrutada! Üldiselt on nimetajates (mis tahes) toode alati meeldivam! Saame:

Nii et saime vastuse. Protsess tundub pikk ja keeruline, kuid see sõltub praktikast. Kui olete näited lahendanud, harjuge, muutub kõik lihtsaks. Need, kes on murdude õigeks ajaks omandanud, teevad kõik need toimingud ühe vasaku käega automaatselt!

Ja veel üks märkus. Paljud tegelevad murdudega nutikalt, kuid takerduvad näidete juurde terve numbrid. Meeldib: 2 + 1/2 + 3/4= ? Kuhu kaheosaline kinnitada? Seda pole vaja kuhugi kinnitada, vaid kahest tuleb teha murdosa. See pole lihtne, kuid väga lihtne! 2 = 2/1. Nagu nii. Suvalise täisarvu saab kirjutada murruna. Lugeja on arv ise, nimetaja on üks. 7 on 7/1, 3 on 3/1 ja nii edasi. Sama on tähtedega. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1 jne. Ja siis töötame nende murdudega kõigi reeglite järgi.

Noh, sai värskendatud teadmisi murdude liitmisest ja lahutamisest. Korrati murdude teisendamist ühest tüübist teise. Saate ka kontrolli minna. Kas lahendame selle natuke?)

Arvutama:

Vastused (segaduses):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Murdude korrutamine/jagamine – järgmises õppetükis. Samuti on ülesanded kõigi murdarvudega tehte jaoks.

Kui teile meeldib see sait...

Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)

Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õpime - huviga!)

Saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.