Numbri-, tähtväljendite ja muutujatega avaldiste teemat uurides tuleb tähelepanu pöörata kontseptsioonile väljendi väärtus. Selles artiklis vastame küsimusele, mis on arvavaldise väärtus ja mida nimetatakse literaalse avaldise ja muutujatega avaldise väärtuseks valitud muutuja väärtuste jaoks. Nende määratluste selgitamiseks toome näiteid.

Leheküljel navigeerimine.

Mis on arvavaldise väärtus?

Tutvumine numbriliste väljenditega algab peaaegu esimestest matemaatikatundidest koolis. Peaaegu kohe võetakse kasutusele mõiste "arvulise avaldise väärtus". See viitab avaldistele, mis koosnevad arvudest, mis on ühendatud aritmeetiliste tehtemärkidega (+, −, ·, :). Anname vastava määratluse.

Definitsioon.

Numbrilise avaldise väärtus– see on number, mis saadakse pärast kõigi toimingute sooritamist originaalis numbriliselt.

Mõelge näiteks numbrilisele avaldisele 1+2. Olles lõpetanud, saame arvu 3, mis on arvavaldise 1+2 väärtus.

Sageli jäetakse fraasist "numbrilise avaldise tähendus" sõna "numbriline" välja ja öeldakse lihtsalt "väljendi tähendus", kuna ikkagi on selge, millest avaldise tähendust arutatakse.

Ülaltoodud avaldise tähenduse määratlus kehtib ka rohkem kui arvavaldiste kohta kompleksne tüüp mida õpitakse keskkoolis. Siinkohal tuleb märkida, et võite kohata arvulisi avaldisi, mille väärtusi ei saa määrata. Põhjus on selles, et mõnes avaldises pole salvestatud toiminguid võimalik sooritada. Näiteks seetõttu ei saa me määrata avaldise 3:(2−2) väärtust. Selliseid arvulisi avaldisi nimetatakse väljendid, millel pole mõtet.

Sageli ei paku praktikas huvi mitte niivõrd numbriline avaldis, kuivõrd selle tähendus. See tähendab, et ülesanne tekib antud väljendi tähenduse määramine. Sel juhul öeldakse tavaliselt, et peate leidma avaldise väärtuse. Selles artiklis käsitletakse üksikasjalikult arvavaldiste väärtuse leidmise protsessi erinevat tüüpi, ja palju näiteid üksikasjalikud kirjeldused otsuseid.

Sõnasõnaliste ja muutuvate väljendite tähendus

Lisaks numbrilistele avaldistele uuritakse ka sõnasõnalisi avaldisi, st avaldisi, milles koos numbritega on üks või mitu tähte. Literaalses avaldises olevad tähed võivad tähistada erinevaid numbreid ja kui tähed nende numbritega asendada, muutub sõnasõnaline avaldis numbriliseks avaldiseks.

Definitsioon.

Nimetatakse numbreid, mis asendavad tähti sõnasõnalises avaldises nende tähtede tähendused, ja kutsutakse välja saadud arvavaldise väärtus literaalavaldise väärtus etteantud täheväärtuste jaoks.

Niisiis, sõnasõnaliste väljendite puhul ei räägita mitte ainult sõnasõnalise väljendi tähendusest, vaid ka sõnasõnalise väljendi tähendusest, arvestades tähtede antud (antud, näidatud jne) väärtusi.

Toome näite. Võtame sõnasõnalise avaldise 2·a+b. Olgu tähtede a ja b väärtused antud, näiteks a=1 ja b=6. Asendades algses avaldises olevad tähed nende väärtustega, saame arvavaldise kujul 2·1+6, selle väärtus on 8. Seega on arv 8 tähtede a=1 ja b=6 väärtuste puhul sõnasõnalise avaldise 2·a+b väärtus. Kui on antud muud täheväärtused, saaksime nende täheväärtuste jaoks täheavaldise väärtuse. Näiteks kui a=5 ja b=1 on meil väärtus 2·5+1=11.

Gümnaasiumis on algebra õppimisel lubatud tähtväljendites tähti võtta erinevaid tähendusi, selliseid tähti nimetatakse muutujateks ja täheväljendeid muutujatega avaldisteks. Nende avaldiste jaoks võetakse muutujate valitud väärtuste jaoks kasutusele muutujatega avaldise väärtuse kontseptsioon. Mõtleme välja, mis see on.

Definitsioon.

Valitud muutuja väärtuste muutujatega avaldise väärtus on arvavaldise väärtus, mis saadakse pärast valitud muutuja väärtuste asendamist algse avaldisega.

Selgitame esitatud määratlust näitega. Vaatleme avaldist muutujatega x ja y kujul 3·x·y+y. Võtame x=2 ja y=4, asendame need muutuja väärtused algsesse avaldisesse ja saame arvavaldise 3·2·4+4. Arvutame selle avaldise väärtuse: 3·2·4+4=24+4=28. Leitud väärtus 28 on algse avaldise väärtus muutujatega 3·x·y+y muutujate x=2 ja y=4 valitud väärtuste jaoks.

Kui valite muud muutuja väärtused, näiteks x=5 ja y=0, vastavad need valitud muutuja väärtused muutujaavaldise väärtusele, mis on võrdne 3·5·0+0=0.

Võib märkida, et mõnikord võivad muutujate erinevad valitud väärtused anda võrdsed väljendiväärtused. Näiteks x=9 ja y=1 korral on avaldise 3 x y+y väärtus 28 (kuna 3 9 1+1=27+1=28) ja eespool näitasime, et sama väärtus on avaldis muutujatel on x=2 ja y=4 .

Muutuvaid väärtusi saab valida neile vastavate hulgast vastuvõetavate väärtuste vahemikud. Vastasel juhul saate nende muutujate väärtuste asendamisel algsesse avaldisesse numbrilise avaldise, millel pole mõtet. Näiteks kui valite x=0 ja asendate selle väärtuse avaldisega 1/x, saate numbrilise avaldise 1/0, millel pole mõtet, kuna nulliga jagamine pole defineeritud.

Jääb vaid lisada, et on muutujatega avaldisi, mille väärtused ei sõltu neis sisalduvate muutujate väärtustest. Näiteks avaldise väärtus muutujaga x kujul 2+x−x ei sõltu selle muutuja väärtusest, see on võrdne 2-ga muutuja x mis tahes valitud väärtuse puhul selle lubatud väärtuste vahemikust , mis sisse sel juhul on kõigi reaalarvude hulk.

Bibliograafia.

• Matemaatika: õpik 5. klassi jaoks. Üldharidus institutsioonid / N. Ya Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. väljaanne, kustutatud. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 lk.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
• Algebra:õpik 7. klassi jaoks Üldharidus institutsioonid / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindjuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toimetanud S. A. Teljakovski. - 17. väljaanne. - M.: Haridus, 2008. - 240 lk. : haige. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra:õpik 8. klassi jaoks. Üldharidus institutsioonid / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindjuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toimetanud S. A. Teljakovski. - 16. väljaanne. - M.: Haridus, 2008. - 271 lk. : haige. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Numbrilised ja algebralised avaldised. Avaldiste teisendamine.

Mis on avaldis matemaatikas? Miks me vajame väljendite teisendusi?

Küsimus, nagu öeldakse, on huvitav... Fakt on see, et need mõisted on kogu matemaatika aluseks. Kogu matemaatika koosneb avaldistest ja nende teisendustest. Pole väga selge? Las ma seletan.

Oletame, et teie ees on kuri eeskuju. Väga suur ja väga keeruline. Oletame, et oled matemaatikas hea ja ei karda midagi! Kas saate kohe vastuse anda?

Sa pead otsustama see näide. Järjekindlalt, samm-sammult see näide lihtsustama. Teatud reeglite järgi muidugi. Need. teha väljenduse teisendamine. Mida edukamalt te neid teisendusi läbi viite, seda tugevam olete matemaatikas. Kui te ei tea, kuidas õigeid teisendusi teha, ei saa te neid matemaatikas teha. Mitte midagi...

Sellise ebamugava tuleviku (või oleviku...) vältimiseks ei tee sellest teemast aru saamine valus.

Kõigepealt uurime välja mis on avaldis matemaatikas. Mis on juhtunud numbriline avaldis ja mis on algebraline avaldis.

Mis on avaldis matemaatikas?

Väljend matemaatikas- see on väga lai mõiste. Peaaegu kõik, millega me matemaatikas tegeleme, on matemaatiliste avaldiste kogum. Kõik näited, valemid, murrud, võrrandid ja nii edasi – see kõik koosneb matemaatilised avaldised.

3+2 on matemaatiline avaldis. c 2 - d 2- see on ka matemaatiline avaldis. Nii terve murd kui isegi üks arv on kõik matemaatilised avaldised. Näiteks võrrand on järgmine:

5x + 2 = 12

koosneb kahest võrdusmärgiga ühendatud matemaatilisest avaldisest. Üks väljend on vasakul, teine ​​paremal.

IN üldine vaade termin" matemaatiline avaldis"kasutatakse kõige sagedamini ümisemise vältimiseks. Nad küsivad, mis on näiteks tavaline murd? Ja kuidas vastata?!

Esimene vastus: "See on... mmmmmm... selline asi... milles... Kas ma saan murdosa paremini kirjutada? Kumba sa tahad?"

Teine vastus: " Harilik murd- see on (rõõmsalt ja rõõmsalt!) matemaatiline avaldis , mis koosneb lugejast ja nimetajast!"

Teine võimalus on kuidagi muljetavaldavam, eks?)

See on fraasi " matemaatiline avaldis "väga hea. Nii korrektne kui soliidne. Aga selleks praktilise rakendamise peab olema hästi kursis matemaatika spetsiifilised väljenditüübid .

Konkreetne tüüp on teine ​​asi. See hoopis teine ​​asi! Igal matemaatilise avaldise tüübil on minu oma reeglite ja võtete kogum, mida tuleb otsuse tegemisel kasutada. Murdudega töötamiseks - üks komplekt. Trigonomeetriliste avaldistega töötamiseks - teine. Logaritmidega töötamiseks - kolmas. Ja nii edasi. Kusagil langevad need reeglid kokku, kuskil erinevad järsult. Kuid ärge kartke neid hirmutavaid sõnu. Õpime vastavates osades logaritme, trigonomeetriat ja muid salapäraseid asju.

Siin me valdame (või - kordame, sõltuvalt sellest, kes...) kahte peamist tüüpi matemaatilisi avaldisi. Arvulised avaldised ja algebralised avaldised.

Numbrilised avaldised.

Mis on juhtunud numbriline avaldis? See on väga lihtne kontseptsioon. Nimi ise viitab sellele, et see on numbritega väljend. Nii see on. Arvudest, sulgudest ja aritmeetilistest sümbolitest koosnevat matemaatilist avaldist nimetatakse numbriliseks avaldiseks.

7-3 on arvuline avaldis.

(8+3,2) 5,4 on samuti arvuline avaldis.

Ja see koletis:

ka numbriline avaldis jah...

Tavaline arv, murd, mis tahes arvutusnäide ilma X-i ja muude tähtedeta – kõik need on arvulised avaldised.

Peamine märk numbriline väljendid - selles kirju pole. Mitte ühtegi. Ainult numbrid ja matemaatilised sümbolid (vajadusel). See on lihtne, eks?

Ja mida saab teha numbriliste avaldistega? Arvulisi avaldisi saab tavaliselt üles lugeda. Selleks juhtub, et tuleb avada sulud, vahetada märke, lühendada, vahetada termineid – st. teha väljendite teisendused. Aga sellest lähemalt allpool.

Siin käsitleme sellist naljakat juhtumit, kui numbrilise avaldisega sa ei pea midagi tegema. No mitte midagi! See meeldiv operatsioon - Mitte midagi teha)- täidetakse, kui avaldis pole mõtet.

Millal pole numbrilisel avaldisel mõtet?

On selge, et kui näeme enda ees mingit abrakadabrat, nagu

siis me ei tee midagi. Sest pole selge, mida sellega teha. Mingi jama. Ehk loe plusside arv...

Kuid on väliselt üsna korralikke väljendeid. Näiteks see:

(2+3): (16–2 8)

Samas ka see väljend pole mõtet! Sel lihtsal põhjusel, et teistes sulgudes – kui arvestada – saad nulli. Kuid te ei saa nulliga jagada! See on matemaatikas keelatud tehte. Seetõttu pole ka selle väljendiga vaja midagi peale hakata. Iga sellise väljendiga ülesande puhul on vastus alati sama: "Väljendil pole tähendust!"

Sellise vastuse andmiseks pidin loomulikult arvutama, mis sulgudes on. Ja mõnikord on sulgudes palju asju... Noh, te ei saa midagi teha.

Matemaatikas ei ole nii palju keelatud tehteid. Selles teemas on ainult üks. Nulliga jagamine. Juurtes ja logaritmis tekkivatest lisapiirangutest räägitakse vastavates teemades.

Niisiis, idee, mis see on numbriline avaldis- sain. Kontseptsioon numbrilisel avaldisel pole mõtet- taipas. Liigume edasi.

Algebralised avaldised.

Kui numbrilises avaldises esinevad tähed, muutub see avaldis... Avaldis muutub... Jah! See muutub algebraline avaldis. Näiteks:

5a 2; 3x-2a; 3(z-2); 3,4 m/n; x 2 +4x-4; (a+b) 2; ...

Selliseid väljendeid nimetatakse ka sõnasõnalised väljendid. Või muutujatega avaldised. See on praktiliselt sama asi. Väljendus 5a +c, näiteks nii literaalne kui algebraline ning muutujatega avaldis.

Kontseptsioon algebraline avaldis - laiem kui numbriline. See sisaldab ja kõik numbrilised avaldised. Need. arvavaldis on ka algebraline avaldis, ainult et ilma tähtedeta. Iga heeringas on kala, aga mitte iga kala pole heeringas...)

Miks tähestikuline- See on selge. Noh, kuna seal on tähed... Fraas avaldis muutujatega See pole ka väga mõistatuslik. Kui saate aru, et numbrid on tähtede all peidus. Igasuguseid numbreid saab tähtede alla peita... Ja 5, ja -18 ja mida iganes tahad. See tähendab, et kiri võib olla asendada peal erinevad numbrid. Sellepärast tähti kutsutaksegi muutujad.

Väljenduses y+5, Näiteks, juures - muutuv kogus. Või nad lihtsalt ütlevad " muutuja", ilma sõna "suurusaste". Erinevalt viiest, mis on püsiv väärtus. Või lihtsalt - konstantne.

Tähtaeg algebraline avaldis tähendab, et selle väljendiga töötamiseks peate kasutama seadusi ja reegleid algebra. Kui aritmeetika töötab siis konkreetsete numbritega algebra- kõigi numbritega korraga. Lihtne näide selgituseks.

Aritmeetikas võime seda kirjutada

Aga kui me kirjutame sellise võrdsuse algebraliste avaldiste kaudu:

a + b = b + a

otsustame kohe Kõik küsimused. Sest kõik numbrid insult. Kõigele lõpmatule. Sest kirjade all A Ja b kaudne Kõik numbrid. Ja mitte ainult numbreid, vaid isegi muid matemaatilisi avaldisi. Nii töötab algebra.

Millal pole algebralisel avaldisel mõtet?

Arvulise avaldise kohta on kõik selge. Seal ei saa nulliga jagada. Ja kas tähtedega on võimalik teada saada, millega me jagame?!

Võtame näiteks selle muutujatega avaldise:

2: (A - 5)

Kas see on arusaadav? Kes teab? A- suvaline number...

Ükskõik milline... Kuid sellel on üks tähendus A, mille puhul see väljend täpselt pole mõtet! Ja mis see number on? Jah! See on 5! Kui muutuja A asendage (nad ütlevad "asendaja") numbriga 5, sulgudes saate nulli. Mida ei saa jagada. Nii selgub, et meie väljend pole mõtet, Kui a = 5. Aga muude väärtuste pärast A Kas see on arusaadav? Kas saate asendada muid numbreid?

Kindlasti. Sellistel juhtudel nad lihtsalt ütlevad, et väljend

2: (A - 5)

on mõtet igasuguste väärtuste jaoks A, välja arvatud a = 5 .

Kogu arvude komplekt, mis Saab nimetatakse asendamist antud avaldisega vastuvõetavate väärtuste vahemik see väljend.

Nagu näete, pole midagi keerulist. Vaatame muutujatega avaldist ja selgitame välja: millise muutuja väärtusega saadakse keelatud tehe (nulliga jagamine)?

Ja siis vaadake kindlasti ülesande küsimust. Mida nad küsivad?

pole mõtet, on vastuseks meie keelatud tähendus.

Kui küsida, millise muutuja väärtusega avaldis omab tähendust(tunneta erinevust!), on vastus kõik muud numbrid välja arvatud keelatud.

Miks me vajame väljendi tähendust? Ta on seal, ta ei ole... Mis vahet seal on?! Asi on selles, et see kontseptsioon muutub keskkoolis väga oluliseks. Ülimalt oluline! See on aluseks sellistele kindlatele mõistetele nagu aktsepteeritavate väärtuste domeen või funktsiooni domeen. Ilma selleta ei saa te üldse lahendada tõsiseid võrrandeid ega ebavõrdsust. Nagu nii.

Avaldiste teisendamine. Identiteedi transformatsioonid.

Meile tutvustati arvulisi ja algebralisi avaldisi. Saime aru, mida tähendab väljend "väljendil pole tähendust". Nüüd peame välja mõtlema, mis see on väljenduse teisendamine. Vastus on häbiväärselt lihtne.) See on igasugune väljendiga toiming. See on kõik. Olete neid muutusi teinud esimesest klassist saadik.

Võtame laheda arvavaldise 3+5. Kuidas seda teisendada? Jah, väga lihtne! Arvutama:

See arvutus on avaldise teisendus. Saate kirjutada sama väljendi erinevalt:

Siin me ei arvestanud üldse midagi. Just kirjutasin väljendi üles erineval kujul. See on ka väljendi teisendus. Võite selle kirjutada nii:

Ja ka see on väljendi teisendus. Selliseid teisendusi saate teha nii palju kui soovite.

Ükskõik milline väljendustegevus ükskõik milline selle kirjutamist muul kujul nimetatakse avaldise teisendamiseks. Ja ongi kõik. Kõik on väga lihtne. Kuid siin on üks asi väga oluline reegel. Nii oluline, et seda saab julgelt nimetada peamine reegel kogu matemaatika. Selle reegli rikkumine paratamatult viib vigadeni. Kas me läheme sellesse?)

Oletame, et muutsime oma väljendit juhuslikult järgmiselt:

Konversioon? Kindlasti. Kirjutasime väljendi teistsugusel kujul, mis siin valesti on?

See pole nii.) Asi on selles, et transformatsioonid "suvaliselt" matemaatika ei huvita üldse.) Kogu matemaatika on üles ehitatud teisendustele, milles välimus, kuid väljendi olemus ei muutu. Kolm pluss viis võib kirjutada mis tahes kujul, kuid see peab olema kaheksa.

Teisendused, väljendid, mis ei muuda olemust kutsutakse identsed.

Täpselt nii identiteedi transformatsioonid ja võimaldab meil samm-sammult muuta keeruline näide lihtsaks väljendiks, säilitades samal ajal näite olemus. Kui teeme teisenduste ahelas vea, teeme MITTE identse teisenduse, siis otsustame teine näiteks. Teiste vastustega, mis pole õigete vastustega seotud.)

See on mis tahes ülesannete lahendamise peamine reegel: teisenduste identiteedi säilitamine.

Selguse mõttes tõin näite numbrilise avaldisega 3+5. IN algebralised avaldised Identsed teisendused on antud valemite ja reeglitega. Oletame, et algebras on valem:

a(b+c) = ab + ac

See tähendab, et igas näites saame väljendi asemel a(b+c) kirjuta julgelt väljend ab + ac. Ja vastupidi. See identne teisendus. Matemaatika annab meile võimaluse nende kahe väljendi vahel valida. Ja millisest kirjutada – millest konkreetne näide oleneb.

Veel üks näide. Üks olulisemaid ja vajalikumaid teisendusi on murdosa põhiomadus. Lisateabe saamiseks võite vaadata linki, kuid siin tuletan teile lihtsalt meelde reeglit: Kui murdosa lugeja ja nimetaja korrutatakse (jagatakse) sama arvuga või avaldisega, mis ei ole võrdne nulliga, siis murdosa ei muutu. Siin on näide identiteedi teisendustest, kasutades seda atribuuti:

Nagu arvatavasti arvasite, võib seda ahelat lõputult jätkata...) Väga oluline omadus. Just see võimaldab muuta kõikvõimalikud näidiskoletised valgeks ja kohevaks.)

On palju valemeid, mis defineerivad identseid teisendusi. Kuid kõige olulisemad on üsna mõistlik arv. Üks põhilisi teisendusi on faktoriseerimine. Seda kasutatakse kogu matemaatikas - algtasemest edasijõudnuni. Alustame temast. Järgmises õppetükis.)

Kui teile meeldib see sait...

Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)

Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õpime - huviga!)

Saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.