Esmapilgul tunduvad algebralised murrud väga keerulised ja ettevalmistamata õpilane võib arvata, et nendega ei saa midagi peale hakata. Muutujate, arvude ja isegi kraadide kuhjumine kutsub esile hirmu. Samas kasutatakse samu reegleid harilike murdude (näiteks 15/25) ja algebraliste murdude vähendamiseks.

Sammud

Murdude vähendamine

Tutvu tegevustega koos lihtmurrud. Tehted tavaliste ja algebraliste murdudega on sarnased. Näiteks võtame murdosa 15/35. Selle murdosa lihtsustamiseks peaksite leida ühine jagaja. Mõlemad arvud jaguvad viiega, nii et saame eraldada 5 lugejas ja nimetajas:

Nüüd saate vähendada ühiseid tegureid, see tähendab, et tõmmake lugejas ja nimetajas läbi 5. Selle tulemusena saame lihtsustatud murdosa 3/7 . IN algebralised avaldisedühised tegurid jaotatakse samamoodi nagu tavalistel. Eelmises näites saime hõlpsasti eraldada 5 15-st – sama põhimõte kehtib ka keerukamate avaldiste puhul, nagu 15x – 5. Leiame ühisteguri. IN antud juhul see on 5, kuna mõlemad liikmed (15x ja -5) jaguvad 5-ga. Nagu varem, eraldage ühistegur ja liigutage seda vasakule.

15x – 5 = 5 * (3x – 1)

Kontrollimaks, kas kõik on õige, korrutage lihtsalt sulgudes olev avaldis 5-ga – tulemuseks on samad arvud, mis alguses. Keerulisi liikmeid saab eraldada samamoodi nagu lihtsaid. Algebraliste murdude puhul kehtivad samad põhimõtted, mis tavaliste murdude puhul. See on lihtsaim viis murdosa vähendamiseks. Mõelge järgmisele murdosale:

Pange tähele, et nii lugeja (ülemine) kui ka nimetaja (alumine) sisaldavad terminit (x+2), nii et seda saab vähendada samamoodi nagu ühistegurit 5 murdosas 15/35:

Selle tulemusena saame lihtsustatud avaldise: (x-3)/(x+10)

Algebraliste murdude vähendamine

Leidke lugeja ühistegur, see tähendab murdosa ülaosas. Algebralise murru vähendamisel on esimene samm mõlema külje lihtsustamine. Alustage lugejaga ja proovige seda võimalikult paljude tegurite hulka arvestada. Vaatleme selles jaotises järgmist murdosa:

Alustame lugejaga: 9x – 3. 9x ja -3 puhul on ühine tegur arv 3. Võtame sulgudest välja 3, nagu tehakse tavaliste numbritega: 3 * (3x-1). Selle teisenduse tulemus on järgmine murdosa:

Leidke lugejas ühine tegur. Jätkame ülaltoodud näitega ja kirjutame üles nimetaja: 15x+6. Nagu varemgi, leiame, millise arvuga mõlemad osad jaguvad. Ja sel juhul on ühine tegur 3, nii et saame kirjutada: 3 * (5x +2). Kirjutame murdosa ümber järgmisel kujul:

Lühendage samu termineid. Selles etapis saate murdosa lihtsustada. Tühistage samad terminid lugejas ja nimetajas. Meie näites on see arv 3.

Määrake, et murdosa on lihtsaim vorm. Murd on täielikult lihtsustatud, kui lugejasse ja nimetajasse ei jää enam ühiseid tegureid. Pange tähele, et sulgudes olevaid termineid ei saa tühistada – ülaltoodud näites ei saa x-i 3x-st ja 5x-st eraldada, kuna täisterminid on (3x -1) ja (5x + 2). Seega ei saa murdosa veelgi lihtsustada ja lõplik vastus on järgmine:

Harjutage ise murdude vähendamist. Parim viisõppida meetod on sõltumatu otsusülesandeid. Õiged vastused on toodud näidete all.

Vastus:(x=13)

Vastus:(2x-1)/5

Erilised käigud

Võtke see välja negatiivne märk väljaspool murdosa. Oletame, et teile antakse järgmine murd:

Pange tähele, et (x-4) ja (4-x) on "peaaegu" identsed, kuid neid ei saa kohe vähendada, kuna need on "ümberpööratud". Kuid (x - 4) saab kirjutada kujul -1 * (4 - x), nii nagu (4 + 2x) saab kirjutada kui 2 * (2 + x). Seda nimetatakse "märgi ümberpööramiseks".

Nüüd saate vähendada identseid termineid (4-x):

Seega saame lõpliku vastuse: -3/5 . Õppige ära tundma ruutude erinevust. Ruudude erinevus tekib siis, kui ühe arvu ruut lahutatakse teise arvu ruudust, nagu avaldises (a 2 - b 2). Täiuslike ruutude erinevuse saab alati jagada kaheks osaks - summaks ja vastava erinevuseks ruutjuured. Siis on väljend järgmisel kujul:

A 2 - b 2 = (a+b) (a-b)

See meetod on väga kasulik algebraliste murdude ühisterminite leidmisel.

• Kontrollige, kas olete selle või teise avaldise õigesti arvestanud. Selleks korrutage tegurid – tulemus peaks olema sama avaldis.
• Murru täielikuks lihtsustamiseks eraldage alati suurimad tegurid.

Selles artiklis vaatleme üksikasjalikult, kuidas redutseerivad fraktsioonid. Esiteks arutleme selle üle, mida nimetatakse murdosa vähendamiseks. Pärast seda räägime taandatava murdosa taandamisest taandamatuks vormiks. Järgmisena saame murdarvude vähendamise reegli ja lõpuks vaatleme näiteid selle reegli rakendamisest.

Leheküljel navigeerimine.

Mida tähendab murdosa vähendamine?

Teame, et harilikud murded jagunevad taandatavateks ja taandamatuteks murdudeks. Nimedest võib aimata, et taandatavaid murde saab taandada, taandamatuid aga mitte.

Mida tähendab murdosa vähendamine? Vähendage murdosa- see tähendab, et lugeja ja nimetaja jagatakse nende positiivsega ja erineb ühtsusest. On selge, et murru taandamise tulemusena saadakse uus murd väiksema lugeja ja nimetajaga ning murru põhiomaduse tõttu on saadud murd võrdne esialgsega.

Näiteks vähendame harilikku murru 8/24, jagades selle lugeja ja nimetaja 2-ga. Teisisõnu, vähendame murdosa 8/24 2 võrra. Kuna 8:2=4 ja 24:2=12, on selle vähendamise tulemuseks murdosa 4/12, mis on võrdne algse murdarvuga 8/24 (vt võrdsed ja ebavõrdsed murrud). Selle tulemusena on meil .

Tavaliste murdude redutseerimine taandamatule kujule

Tavaliselt on murdosa vähendamise lõppeesmärk saada taandamatu murd, mis on võrdne algse taandatava fraktsiooniga. Selle eesmärgi saab saavutada, vähendades algset taandatavat murdosa selle lugeja ja nimetaja võrra. Sellise redutseerimise tulemusena saadakse alati taandamatu murd. Tõepoolest, murdosa on taandamatu, kuna see on teada Ja - . Siinkohal ütleme, et murdosa lugeja ja nimetaja suurim ühisjagaja on suurim arv, mille võrra saab seda murdosa vähendada.

Niisiis, hariliku murdosa redutseerimine taandamatuks vormiks seisneb algse taandatava murru lugeja ja nimetaja jagamises nende gcd-ga.

Vaatame näidet, mille puhul pöördume tagasi murdarvu 8/24 juurde ja vähendame seda arvude 8 ja 24 suurima ühisjagaja võrra, mis on võrdne 8-ga. Kuna 8:8=1 ja 24:8=3, jõuame taandamatu murduni 1/3. Niisiis, .

Pange tähele, et fraas "vähendada murdosa" tähendab sageli algse fraktsiooni vähendamist selle taandamatule kujule. Teisisõnu tähendab murdosa vähendamine sageli lugeja ja nimetaja jagamist nende suurima ühisteguriga (mitte mis tahes ühisteguriga).

Kuidas murdosa vähendada? Murdude vähendamise reeglid ja näited

Jääb üle vaadata vaid murdude vähendamise reeglit, mis selgitab, kuidas antud murdosa vähendada.

Murdude vähendamise reegel koosneb kahest etapist:

• esiteks leitakse murru lugeja ja nimetaja gcd;
• teiseks, murru lugeja ja nimetaja jagatakse nende gcd-ga, mis annab taandamatu murru, mis on võrdne algse murruga.

Teeme asja korda näide murdosa vähendamisest vastavalt märgitud reeglile.

Näide.

Vähendage murdosa 182/195.

Lahendus.

Teeme mõlemad murdosa vähendamise reegliga ette nähtud sammud.

Kõigepealt leiame GCD(182, 195) . Kõige mugavam on kasutada Eukleidese algoritmi (vt.): 195=182·1+13, 182=13·14, ehk siis GCD(182, 195)=13.

Nüüd jagame murdarvu 182/195 lugeja ja nimetaja 13-ga ja saame taandamatu murdosa 14/15, mis võrdub algse murruga. See viib fraktsiooni vähendamise lõpule.

Lühidalt võib lahenduse kirjutada järgmiselt: .

Vastus:

Siin saame fraktsioonide vähendamise lõpetada. Kuid pildi täielikuks muutmiseks vaatame veel kahte võimalust murdude vähendamiseks, mida tavaliselt kasutatakse lihtsatel juhtudel.

Mõnikord ei ole taandatava murru lugeja ja nimetaja keeruline. Murru vähendamine on sel juhul väga lihtne: peate lihtsalt eemaldama lugejast ja nimetajast kõik tavalised tegurid.

Väärib märkimist, et see meetod tuleneb otseselt murdude redutseerimise reeglist, kuna lugeja ja nimetaja kõigi ühiste algtegurite korrutis on võrdne nende suurima ühisjagajaga.

Vaatame näite lahendust.

Näide.

Vähendage murdosa 360/2 940.

Lahendus.

Korrigeerime lugeja ja nimetaja lihtsateks teguriteks: 360=2·2·2·3·3·5 ja 2,940=2·2·3·5·7·7. Seega .

Nüüd eemaldame mugavuse huvides ühistest teguritest lugeja ja nimetaja, kriipsutame need lihtsalt läbi: .

Lõpuks korrutame ülejäänud tegurid: , ja murdosa vähendamine on lõpetatud.

Siin on lahenduse lühikokkuvõte: .

Vastus:

Vaatleme teist võimalust murdosa vähendamiseks, mis koosneb järjestikusest vähendamisest. Siin vähendatakse murdosa igal etapil lugeja ja nimetaja mõne ühise jagajaga, mis on kas ilmne või kergesti määratav, kasutades

Teadmata, kuidas murdosa vähendada ja omades järjepidevat lahendamise oskust sarnased näited Koolis on algebrat väga raske õppida. Mida edasi, seda rohkem on põhiteadmisi lühendite kohta tavalised murrud peale asetatud uut teavet. Esiteks ilmnevad astmed, seejärel tegurid, millest hiljem saavad polünoomid.

Kuidas vältida siin segadust? Kinnitage põhjalikult varasemate teemade oskusi ja valmistuge järk-järgult teadmisteks, kuidas murdosa vähendada, mis muutub aasta-aastalt keerukamaks.

Põhiteadmised

Ilma nendeta ei tule te ühegi taseme ülesannetega toime. Et mõista, peate mõistma kahte lihtsad hetked. Esiteks: saate tegureid ainult vähendada. See nüanss osutub väga oluliseks, kui lugejas või nimetajas esinevad polünoomid. Siis peate selgelt eristama, kus on kordaja ja kus on liitmine.

Teine punkt ütleb, et suvalist arvu saab esitada tegurite kujul. Pealegi on redutseerimise tulemuseks murdosa, mille lugejat ja nimetajat ei saa enam taandada.

Harilike murdude vähendamise reeglid

Kõigepealt peaksite kontrollima, kas lugeja jagub nimetajaga või vastupidi. Siis on vaja just seda arvu vähendada. See on kõige lihtsam variant.

Teine on analüüs välimus numbrid. Kui mõlemad lõpevad ühe või mitme nulliga, saab neid lühendada 10, 100 või tuhande võrra. Siin näete, kas numbrid on paaris. Kui jah, siis võite selle julgelt kahe võrra vähendada.

Kolmas reegel murdarvu vähendamiseks on lugeja ja nimetaja arvestamine algteguriteks. Sel ajal peate aktiivselt kasutama kõiki oma teadmisi arvude jaguvuse märkide kohta. Pärast seda lagunemist jääb üle vaid leida kõik korduvad, korrutada need ja vähendada saadud arvuga.

Mis siis, kui murdosas on algebraline avaldis?

Siin ilmnevad esimesed raskused. Sest siin ilmuvad terminid, mis võivad olla teguritega identsed. Ma tõesti tahan neid vähendada, kuid ma ei saa. Enne maha raiumist algebraline murd, tuleb see teisendada nii, et sellel oleksid kordajad.

Selleks peate tegema mitu sammu. Võimalik, et peate need kõik läbi vaatama või võib-olla pakub esimene sobiv valik.

Kontrollige, kas lugeja ja nimetaja või mõni nendes sisalduv avaldis erinevad märgi poolest. Sel juhul peate lihtsalt miinus ühe sulgudest välja panema. See tekitab võrdseid tegureid, mida saab vähendada.

Vaadake, kas polünoomilt on võimalik ühistegurit sulgudes eemaldada. Võib-olla tekib selle tulemusel sulg, mida saab ka lühendada, või on see eemaldatud monoom.

Proovige monoomi rühmitada, et lisada neile ühine tegur. Pärast seda võib selguda, et on tegureid, mida saab vähendada, või taas korratakse tavaliste elementide sulgusid.

Proovige kirjalikult arvestada lühendatud korrutusvalemeid. Nende abiga saate polünoomid hõlpsasti teguriteks teisendada.

Tehte jada astmetega murdudega

Selleks, et hõlpsasti mõista küsimust, kuidas võimsustega murdosa vähendada, peate nendega põhitoimingud kindlalt meeles pidama. Esimene neist on seotud volituste mitmekordistamisega. Sel juhul, kui alused on samad, tuleb indikaatorid lisada.

Teine on jagunemine. Jällegi, nende puhul, millel on samad põhjused, tuleb näitajad lahutada. Veelgi enam, peate lahutama dividendis olevast numbrist, mitte vastupidi.

Kolmas on astendamine. Sellises olukorras indikaatorid korrutatakse.

Edukaks vähendamiseks on vaja ka võimet vähendada võimsusi võrdsetele alustele. See tähendab, et näha, et neli on kaks ruutu. Või 27 – kuubik kolmest. Sest 9 ruudu ja 3 kuubi vähendamine on keeruline. Aga kui teisendame esimese avaldise kujul (3 2) 2, siis on redutseerimine edukas.

Paljud õpilased teevad murdudega töötades samu vigu. Ja kõik sellepärast, et nad unustavad põhireeglid aritmeetika. Täna kordame neid reegleid konkreetsed ülesanded mida ma oma tundides annan.

Siin on ülesanne, mida pakun kõigile, kes valmistuvad matemaatika ühtseks riigieksamiks:

Ülesanne. Pringel sööb päevas 150 grammi toitu. Kuid ta kasvas üles ja hakkas 20% rohkem sööma. Mitu grammi sööta sööb siga praegu?

Mitte õige otsus. See on protsendiprobleem, mis taandub võrrandile:

Paljud (väga paljud) vähendavad arvu 100 murdosa lugejas ja nimetajas:

See on viga, mille mu õpilane tegi just selle artikli kirjutamise päeval. Numbrid, mis on kärbitud, on märgitud punasega.

Ütlematagi selge, et vastus oli vale. Otsustage ise: siga sõi 150 grammi, kuid hakkas sööma 3150 grammi. Kasv ei ole 20%, vaid 21-kordne, s.o. 2000% võrra.

Selliste arusaamatuste vältimiseks pidage meeles põhireeglit:

Vähendada saab ainult kordajaid. Tingimusi ei saa vähendada!

Seega näeb eelmise probleemi õige lahendus välja järgmine:

Numbrid, mida lugejas ja nimetajas on lühendatud, on tähistatud punasega. Nagu näete, on lugeja korrutis, nimetaja on tavaline number. Seetõttu on vähendamine täiesti seaduslik.

Proportsioonidega töötamine

Üks asi veel probleemne piirkond — proportsioonid. Eriti kui muutuja on mõlemal pool. Näiteks:

Ülesanne. Lahendage võrrand:

Vale lahendus – mõned inimesed tahavad sõna otseses mõttes kõike m võrra lühendada:

Vähendatud muutujad on näidatud punaselt. Avaldis 1/4 = 1/5 osutub täielikuks jaburaks, need arvud pole kunagi võrdsed.

Ja nüüd – õige otsus. Põhimõtteliselt on see tavaline lineaarvõrrand . Seda saab lahendada kas kõigi elementide ühele küljele viimisega või proportsiooni põhiomadusega:

Paljud lugejad vaidlevad vastu: "Kus on viga esimeses lahenduses?" Noh, uurime välja. Meenutagem võrranditega töötamise reeglit:

Mis tahes võrrandit saab jagada ja korrutada mis tahes arvuga, nullist erinev.

Kas jäid trikist ilma? Jagada saab ainult numbritega nullist erinev. Täpsemalt saab muutujaga m jagada ainult siis, kui m != 0. Aga mis siis, kui m = 0? Asendame ja kontrollime:

Saime õige arvulise võrdsuse, s.o. m = 0 on võrrandi juur. Ülejäänud m != 0 korral saame avaldise kujul 1/4 = 1/5, mis on loomulikult vale. Seega puuduvad nullist erinevad juured.

Järeldused: kõik kokku panna

Niisiis, lahendada murdarvulised ratsionaalvõrrandid pidage meeles kolme reeglit:

1. Vähendada saab ainult kordajaid. Lisad pole lubatud. Seetõttu õppige arvutama lugejat ja nimetajat;
2. Proportsiooni põhiomadus: äärmuslike elementide korrutis võrdub keskmiste korrutisega;
3. Võrrandeid saab korrutada ja jagada ainult arvudega k, mis ei ole nullid. Juhtumit k = 0 tuleb kontrollida eraldi.

Pidage meeles neid reegleid ja ärge tehke vigu.

Jaoskond ning nende murru lugeja ja nimetaja ühine jagaja, mis erineb ühest, nimetatakse murdosa vähendamine.

Hariliku murru vähendamiseks peate jagama selle lugeja ja nimetaja sama naturaalarvuga.

See arv on antud murru lugeja ja nimetaja suurim ühisjagaja.

Võimalikud on järgmised otsuste registreerimisvormid Näited harilike murdude vähendamiseks.

Õpilasel on õigus valida mis tahes salvestusviis.

Näited. Murdude lihtsustamine.

Vähendage murdosa 3 võrra (jagage lugeja 3-ga;

jagage nimetaja 3-ga).

Vähendage murdosa 7 võrra.

Teostame näidatud toimingud murru lugejas ja nimetajas.

Saadud fraktsiooni vähendatakse 5 võrra.

Vähendame seda murdosa 4) sisse 5,7³- lugeja ja nimetaja suurim ühisjagaja (GCD), mis koosneb lugeja ja nimetaja ühistest teguritest, mis on võetud väikseima astendajaga astmesse.

Korrigeerime selle murru lugeja ja nimetaja algteguriteks.

Saame: 756=2²·3³·7 Ja 1176=2³·3·7².

Määrake murdosa lugeja ja nimetaja GCD (suurim ühisjagaja) 5) .

See on madalaima eksponendiga võetud ühiste tegurite korrutis.

gcd(756, 1176)= 2²·3·7.

Jagame selle murru lugeja ja nimetaja nende gcd-ga, st 2²·3·7 saame taandamatu murdosa 9/14 .

Või oli võimalik kirjutada lugeja ja nimetaja lagunemine algtegurite korrutise kujul, ilma võimsuse mõistet kasutamata, ja seejärel murda vähendada, tõmmates lugejas ja nimetajas samad tegurid läbi. Kui identseid tegureid järele pole jäänud, korrutame ülejäänud tegurid eraldi lugejas ja eraldi nimetajas ning kirjutame saadud murdosa välja 9/14 .

Ja lõpuks oli võimalik seda murdosa vähendada 5) järk-järgult, rakendades arvude jagamise märke nii murdosa lugejale kui ka nimetajale. Mõelgem nii: numbrid 756 Ja 1176 lõppevad paarisarvuga, mis tähendab, et mõlemad jaguvad arvuga 2 . Vähendame murdosa võrra 2 . Uue murru lugejaks ja nimetajaks on arvud 378 Ja 588 jagatud ka 2 . Vähendame murdosa võrra 2 . Märkame, et number 294 - isegi ja 189 on paaritu ja 2 võrra vähendamine pole enam võimalik. Kontrollime arvude jaguvust 189 Ja 294 sisse 3 .

(1+8+9)=18 jagub 3-ga ja (2+9+4)=15 jagub 3-ga, seega arvud ise 189 Ja 294 jagunevad 3 . Vähendame murdosa võrra 3 . Järgmiseks 63 jagub 3-ga ja 98 - Ei. Vaatame teisi peamisi tegureid. Mõlemad arvud jaguvad arvuga 7 . Vähendame murdosa võrra 7 ja saame taandamatu murdosa 9/14 .