Matemaatika on misinimesed kontrollivad loodust ja iseennast.

Nõukogude matemaatik, akadeemik A.N. Kolmogorov

Geomeetriline progressioon.

Lisaks aritmeetilise progressiooni probleemidele on matemaatika sisseastumiseksamitel levinud ka geomeetrilise progressiooni mõistega seotud probleemid. Selliste ülesannete edukaks lahendamiseks peate teadma geomeetriliste progressioonide omadusi ja omama häid oskusi nende kasutamisel.

See artikkel on pühendatud geomeetrilise progressiooni põhiomaduste tutvustamisele. Siin on toodud ka näited tüüpiliste probleemide lahendamisest., laenatud matemaatika sisseastumiseksamite ülesannetest.

Märgime esmalt geomeetrilise progressiooni põhiomadused ning tuletame meelde olulisemad valemid ja väited, seotud selle kontseptsiooniga.

Definitsioon. Arvujada nimetatakse geomeetriliseks progressiooniks, kui iga arv, alates teisest, on võrdne eelmisega, korrutatuna sama arvuga. Arvu nimetatakse geomeetrilise progressiooni nimetajaks.

Geomeetrilise progressiooni jaoksvalemid kehtivad

, (1)

Kus. Valemit (1) nimetatakse geomeetrilise progressiooni üldliikme valemiks ja valem (2) tähistab geomeetrilise progressiooni peamist omadust: progressiooni iga liige langeb kokku tema naaberliikmete geomeetrilise keskmisega ja .

Märkus, et just selle omaduse tõttu nimetatakse kõnealust progressiooni “geomeetriliseks”.

Ülaltoodud valemid (1) ja (2) on üldistatud järgmiselt:

, (3)

Summa arvutamiseks esiteks geomeetrilise progressiooni terminidkehtib valem

Kui tähistame , siis

Kus. Kuna , valem (6) on valemi (5) üldistus.

Juhul, kui ja geomeetriline progressioonväheneb lõpmatult. Summa arvutamisekslõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni kõikidest liikmetest kasutatakse valemit

. (7)

Näiteks valemi (7) abil saame näidata, Mida

Kus. Need võrdsused saadakse valemist (7) tingimusel, et , (esimene võrdsus) ja , (teine ​​võrdsus).

Teoreem. Kui, siis

Tõestus. Kui, siis

Teoreem on tõestatud.

Vaatleme näiteid probleemide lahendamisest teemal “Geomeetriline progressioon”.

Näide 1. Arvestades: , ja . Leia .

Lahendus. Kui rakendame valemit (5), siis

Vastus:.

Näide 2. Las see olla. Leia .

Lahendus. Kuna ja , kasutame valemeid (5), (6) ja saame võrrandisüsteemi

Kui süsteemi (9) teine ​​võrrand on jagatud esimesega, siis või . Sellest järeldub, et . Vaatleme kahte juhtumit.

1. Kui siis süsteemi (9) esimesest võrrandist saame.

2. Kui , siis .

Näide 3. Laske , ja . Leia .

Lahendus. Valemist (2) järeldub, et või . Alates , siis või .

Vastavalt seisundile. Siiski, seetõttu. Alates ja siis siin on võrrandisüsteem

Kui süsteemi teine ​​võrrand on jagatud esimesega, siis või .

Kuna võrrandil on ainulaadne sobiv juur. Sel juhul tuleneb see süsteemi esimesest võrrandist.

Võttes arvesse valemit (7), saame.

Vastus:.

Näide 4. Arvestades: ja . Leia .

Lahendus. Sellest ajast peale.

Alates , siis või

Vastavalt valemile (2) on meil . Sellega seoses saame võrdsusest (10) või .

Siiski tingimusel, seega.

Näide 5. On teada, et. Leia .

Lahendus. Teoreemi järgi on meil kaks võrdsust

Alates , siis või . Sest siis.

Vastus:.

Näide 6. Arvestades: ja . Leia .

Lahendus. Võttes arvesse valemit (5), saame

Sellest ajast peale. Alates , ja , siis .

Näide 7. Las see olla. Leia .

Lahendus. Valemi (1) järgi saame kirjutada

Seetõttu on meil või . On teada, et ja , seega ja .

Vastus:.

Näide 8. Leia lõpmatu kahaneva geomeetrilise progressiooni nimetaja, kui

Ja .

Lahendus. Valemist (7) järeldub Ja . Siit ja ülesande tingimustest saame võrrandisüsteemi

Kui süsteemi esimene võrrand on ruudus, ja seejärel jagage saadud võrrand teise võrrandiga, siis saame

Või .

Vastus:.

Näide 9. Leidke kõik väärtused, mille jada , , on geomeetriline progressioon.

Lahendus. Laske , ja . Vastavalt valemile (2), mis määratleb geomeetrilise progressiooni põhiomaduse, võime kirjutada või .

Siit saame ruutvõrrandi, mille juured on Ja .

Kontrollime: kui, seejärel , ja ;

kui , siis ja . ja , ja teises – ja .

Vastus: ,.

Näide 10.Lahenda võrrand

, (11)

kus ja.

Lahendus. Vasak pool võrrand (11) on lõpmatu kahaneva geomeetrilise progressiooni summa, milles ja , tingimusel: ja .

Valemist (7) järeldub, Mida . Sellega seoses võtab võrrand (11) kuju või . Sobiv juur ruutvõrrand on

Vastus:.

Näide 11. P positiivsete arvude jadamoodustab aritmeetilise progressiooni, A - geomeetriline progressioon, ja siin. Leia .

Lahendus. Sest aritmeetiline jada, See (aritmeetilise progressiooni peamine omadus). Alates, siis või . Sellest järeldub, et geomeetrilisel progressioonil on vorm. Vastavalt valemile (2), siis paneme selle kirja.

Alates ja , siis . Sel juhul väljend võtab kuju või . Vastavalt tingimusele, seega võrrandist.saame ainus lahendus vaadeldav probleem, st. .

Vastus:.

Näide 12. Arvuta summa

. (12)

Lahendus. Korrutame võrdsuse (12) mõlemad pooled 5-ga ja saame

Kui lahutame saadud avaldisest (12)., See

või .

Arvutamiseks asendame väärtused valemiga (7) ja saame . Sellest ajast peale.

Vastus:.

Siin toodud probleemide lahendamise näited on sisseastumiseksamiteks valmistumisel kasulikud. Probleemide lahendamise meetodite sügavamaks uurimiseks, seotud geomeetrilise progressiooniga, saab kasutada õppevahendid soovitatava kirjanduse nimekirjast.

1. Matemaatika ülesannete kogu kolledžisse astujatele / Toim. M.I. Scanavi. – M.: Mir ja haridus, 2013. – 608 lk.

2. Suprun V.P. Matemaatika gümnasistidele: lisalõigud kooli õppekava. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 lk.

3. Medynsky M.M. Täielik kursus elementaarne matemaatikaülesannetes ja harjutustes. 2. raamat: Numbrite järjestused ja progressid. – M.: Editus, 2015. – 208 lk.

Kas teil on endiselt küsimusi?

Juhendajalt abi saamiseks registreeruge.

veebisaidil, materjali täielikul või osalisel kopeerimisel on vajalik link allikale.

Vaatleme teatud seeriat.

7 28 112 448 1792...

On täiesti selge, et selle mis tahes elemendi väärtus on täpselt neli korda suurem kui eelmine. Tähendab, see seeria on progress.

Geomeetriline progressioon on lõputu arvude jada. peamine omadus mis tähendab, et järgmine arv saadakse eelmisest, korrutades mingi kindla arvuga. Seda väljendatakse järgmise valemiga.

a z +1 =a z ·q, kus z on valitud elemendi number.

Vastavalt sellele z ∈ N.

Ajavahemik, mil koolis õpitakse geomeetrilist progressiooni, on 9. klass. Näited aitavad teil mõistet mõista:

0.25 0.125 0.0625...

Selle valemi põhjal võib progresseerumise nimetaja leida järgmiselt:

Ei q ega b z ei saa olla null. Samuti ei tohiks ükski progressi element olla võrdne nulliga.

Järelikult peate seeria järgmise arvu väljaselgitamiseks korrutama viimase q-ga.

Selle progressiooni määramiseks peate määrama selle esimese elemendi ja nimetaja. Pärast seda on võimalik leida mis tahes järgnevaid termineid ja nende summat.

Sordid

Sõltuvalt q-st ja a 1-st jaguneb see edenemine mitmeks tüübiks:

• Kui nii a 1 kui ka q on suuremad kui üks, siis selline jada kasvab mõlemaga järgmine element geomeetriline progressioon. Selle näide on esitatud allpool.

Näide: a 1 =3, q=2 – mõlemad parameetrid on suuremad kui üks.

Siis saab numbrijada kirjutada järgmiselt:

3 6 12 24 48 ...

• Kui |q| on väiksem kui üks, st sellega korrutamine on samaväärne jagamisega, siis on sarnaste tingimustega progressioon kahanev geomeetriline progressioon. Selle näide on esitatud allpool.

Näide: a 1 =6, q=1/3 – a 1 on suurem kui üks, q on väiksem.

Seejärel saab numbrijada kirjutada järgmiselt:

6 2 2/3 ... - iga element on 3 korda suurem kui sellele järgnev element.

• Vahelduv märk. Kui q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Näide: a 1 = -3, q = -2 – mõlemad parameetrid on väiksemad kui null.

Siis saab numbrijada kirjutada järgmiselt:

3, 6, -12, 24,...

Valemid

Geomeetriliste progressioonide mugavaks kasutamiseks on palju valemeid:

• Z-termini valem. Võimaldab arvutada elemendi kindla numbri all ilma eelnevaid numbreid arvutamata.

Näide:q = 3, a 1 = 4. On vaja lugeda progressiooni neljas element.

Lahendus:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Esimeste elementide summa, mille kogus on võrdne z. Võimaldab arvutada jada kõigi elementide summa kunia zkaasa arvatud.

Alates (1-q) on nimetajas, siis (1 - q)≠ 0, seega ei ole q võrdne 1-ga.

Märkus: kui q = 1, siis on progressioon lõpmatult korduvate arvude jada.

Geomeetrilise progressiooni summa, näited:a 1 = 2, q= -2. Arvutage S5.

Lahendus:S 5 = 22 - arvutamine valemi abil.

• Summa, kui |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Näide:a 1 = 2 , q= 0,5. Leia summa.

Lahendus:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Mõned omadused:

• Iseloomulik omadus. Kui järgmine tingimus töötab iga jaoksz, siis antud arvuseeria on geomeetriline progressioon:

a z 2 = a z -1 · az+1

• Samuti leitakse mis tahes arvu ruut geomeetrilises progressioonis, lisades antud jada mis tahes kahe teise arvu ruudud, kui need on sellest elemendist võrdsel kaugusel.

a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , Kust- nende numbrite vaheline kaugus.

• Elemendiderinevad q-süks kord.
• Ka progressiooni elementide logaritmid moodustavad progressiooni, kuid aritmeetilise, see tähendab, et igaüks neist on teatud arvu võrra suurem kui eelmine.

Mõnede klassikaliste probleemide näited

Et paremini mõista, mis on geomeetriline progressioon, aitavad näited 9. klassi lahendustega.

• Tingimused:a 1 = 3, a 3 = 48. Leiaq.

Lahendus: iga järgmine element on suurem kui eelmineq üks kord.Mõnda elementi on vaja väljendada teistega, kasutades nimetajat.

Seegaa 3 = q 2 · a 1

Asendamiselq= 4

• Tingimused:a 2 = 6, a 3 = 12. Arvutage S 6.

Lahendus:Selleks leidke lihtsalt esimene element q ja asendage see valemiga.

a 3 = q· a 2 , seega,q= 2

a 2 = q · a 1,Sellepärast a 1 = 3

S6 = 189

• · a 1 = 10, q= -2. Leidke progressiooni neljas element.

Lahendus: selleks piisab neljanda elemendi väljendamisest läbi esimese ja läbi nimetaja.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Rakenduse näide:

• Pangaklient tegi sissemakse summas 10 000 rubla, mille alusel lisatakse kliendil igal aastal sellest 6% põhisummale. Kui palju raha on kontol 4 aasta pärast?

Lahendus: esialgne summa on 10 tuhat rubla. See tähendab, et aasta pärast investeeringut on kontol summa 10 000 + 10 000 · 0,06 = 10000 1,06

Sellest lähtuvalt väljendatakse kontol olevat summat järgmise aasta pärast järgmiselt:

(10000 · 1,06) · 0,06 + 10000 · 1,06 = 1,06 · 1,06 · 10 000

See tähendab, et igal aastal suureneb summa 1,06 korda. See tähendab, et 4 aasta pärast kontol olevate rahaliste vahendite hulga leidmiseks piisab, kui leida progressiooni neljas element, mille annab esimene element 10 tuhandega ja nimetaja 1,06.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Näited probleemidest, mis on seotud summade arvutamisega:

Geomeetrilist progressiooni kasutatakse mitmesugustes ülesannetes. Summa leidmise näite võib tuua järgmiselt:

a 1 = 4, q= 2, arvutaS 5.

Lahendus: kõik arvutamiseks vajalikud andmed on teada, need tuleb lihtsalt valemis asendada.

S 5 = 124

• a 2 = 6, a 3 = 18. Arvuta esimese kuue elemendi summa.

Lahendus:

Geom. progresseerumisel on iga järgmine element q korda suurem kui eelmine, st summa arvutamiseks on vaja elementi teadaa 1 ja nimetajaq.

a 2 · q = a 3

q = 3

Samamoodi peate leidmaa 1 , teadesa 2 Jaq.

a 1 · q = a 2

a 1 =2

S 6 = 728.

>>Matemaatika: geomeetriline progressioon

Lugeja mugavuse huvides on see lõik üles ehitatud täpselt sama plaani järgi, mida järgisime eelmises lõigus.

1. Põhimõisted.

Definitsioon. Arvjada, mille kõik liikmed erinevad 0-st ja mille iga liige, alates teisest, saadakse eelmisest liikmest, korrutades selle sama arvuga, nimetatakse geomeetriliseks progressiooniks. Sel juhul nimetatakse arvu 5 geomeetrilise progressiooni nimetajaks.

Seega on geomeetriline progressioon arvuline jada (b n), mis on suhetega korduvalt määratletud

Kas on võimalik vaadata arvujada ja teha kindlaks, kas see on geomeetriline progressioon? Saab. Kui olete veendunud, et jada mis tahes liikme ja eelmise liikme suhe on konstantne, on teil geomeetriline progressioon.
Näide 1.

1, 3, 9, 27, 81,... .
b 1 = 1, q = 3.

Näide 2.

See on geomeetriline progressioon, millel on
Näide 3.

See on geomeetriline progressioon, millel on
Näide 4.

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

See on geomeetriline progressioon, milles b 1 - 8, q = 1.

Pange tähele, et see jada on ka aritmeetiline progressioon (vt näide 3 §-st 15).

Näide 5.

2,-2,2,-2,2,-2.....

See on geomeetriline progressioon, milles b 1 = 2, q = -1.

Ilmselt on geomeetriline progressioon kasvav jada, kui b 1 > 0, q > 1 (vt näide 1) ja kahanev jada, kui b 1 > 0, 0< q < 1 (см. пример 2).

Et näidata, et jada (b n) on geomeetriline progressioon, on mõnikord mugav kasutada järgmist tähistust:

Ikoon asendab fraasi "geomeetriline progressioon".
Märgime ühte kummalist ja samal ajal üsna ilmset geomeetrilise progressiooni omadust:
Kui jada on geomeetriline progressioon, siis ruutude jada, s.o. on geomeetriline progressioon.
Teises geomeetrilises progressioonis on esimene liige võrdne ja võrdne q 2-ga.
Kui geomeetrilises progressioonis jätame kõrvale kõik b n järgnevad terminid, saame lõpliku geomeetrilise progressiooni
Selle jaotise järgmistes lõikudes käsitleme geomeetrilise progressiooni kõige olulisemaid omadusi.

2. Geomeetrilise progressiooni n-nda liikme valem.

Mõelge geomeetrilisele progressioonile nimetaja q. Meil on:

Pole raske arvata, et mis tahes arvu n korral on võrdsus tõene

See on geomeetrilise progressiooni n-nda liikme valem.

Kommenteeri.

Kui olete eelmise lõigu olulise märkuse läbi lugenud ja sellest aru saanud, proovige valemit (1) tõestada matemaatilise induktsiooni meetodil, nagu seda tehti aritmeetilise progressiooni n-nda liikme valemiga.

Kirjutame ümber geomeetrilise progressiooni n-nda liikme valemi

ja tutvustame tähistust: Saame y = mq 2 või täpsemalt,
Argument x sisaldub eksponendis, seega nimetatakse seda funktsiooni eksponentsiaalfunktsiooniks. See tähendab, et geomeetrilist progressiooni võib pidada naturaalarvude hulgal N määratletud eksponentsiaalfunktsiooniks. Joonisel fig. 96a kujutab funktsiooni graafikut joonisel fig. 966 - funktsioonigraafik Mõlemal juhul on meil isoleeritud punktid (abstsissidega x = 1, x = 2, x = 3 jne), mis asuvad kindlal kõveral (mõlemad joonised näitavad sama kõverat, ainult erineva asukohaga ja erinevas mõõtkavas kujutatud). Seda kõverat nimetatakse eksponentsiaalkõveraks. Täpsemalt eksponentsiaalfunktsiooni ja selle graafiku kohta tuleb juttu 11. klassi algebra kursusest.

Tuleme tagasi eelmise lõigu näidete 1-5 juurde.

1) 1, 3, 9, 27, 81,... . See on geomeetriline progressioon, mille korral b 1 = 1, q = 3. Koostame n-nda liikme valem
2) See on geomeetriline progressioon, mille jaoks loome n-nda liikme valemi

See on geomeetriline progressioon, millel on Koostame n-nda liikme valemi
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . See on geomeetriline progressioon, mille korral b 1 = 8, q = 1. Koostame n-nda liikme valem
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... See on geomeetriline progressioon, milles b 1 = 2, q = -1. Koostame n-nda liikme valemi

Näide 6.

Arvestades geomeetrilist progressiooni

Kõikidel juhtudel põhineb lahendus geomeetrilise progressiooni n-nda liikme valemil

a) Pannes n = 6 geomeetrilise progressiooni n-nda liikme valemisse, saame

b) Meil ​​on

Kuna 512 = 2 9, saame n - 1 = 9, n = 10.

d) Meil ​​on

Näide 7.

Geomeetrilise progressiooni seitsmenda ja viienda liikme vahe on 48, progressiooni viienda ja kuuenda liikme summa on samuti 48. Leidke selle progressiooni kaheteistkümnes liige.

Esimene etapp. Matemaatilise mudeli koostamine.

Probleemi tingimused võib lühidalt kirjutada järgmiselt:

Kasutades geomeetrilise progressiooni n-nda liikme valemit, saame:
Siis saab ülesande teise tingimuse (b 7 - b 5 = 48) kirjutada kui

Ülesande kolmanda tingimuse (b 5 + b 6 = 48) saab kirjutada järgmiselt

Selle tulemusena saame kahest võrrandist koosneva süsteemi kahe muutujaga b 1 ja q:

mis koos ülalkirjeldatud tingimusega 1) esindab ülesande matemaatilist mudelit.

Teine etapp.

Koostatud mudeliga töötamine. Võrdsustades süsteemi mõlema võrrandi vasakpoolsed küljed, saame:

(jagasime võrrandi mõlemad pooled nullist erineva avaldise b 1 q 4 abil).

Võrrandist q 2 - q - 2 = 0 leiame q 1 = 2, q 2 = -1. Asendades väärtuse q = 2 süsteemi teise võrrandisse, saame
Asendades väärtuse q = -1 süsteemi teise võrrandisse, saame b 1 1 0 = 48; sellel võrrandil pole lahendeid.

Niisiis, b 1 =1, q = 2 – see paar on koostatud võrrandisüsteemi lahendus.

Nüüd saame üles kirjutada geomeetrilise progressiooni, mille kohta me räägimeülesandes: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .

Kolmas etapp.

Vastus probleemiküsimusele. Peate arvutama b 12. Meil on

Vastus: b 12 = 2048.

3. Lõpliku geomeetrilise progressiooni liikmete summa valem.

Olgu antud lõplik geomeetriline progressioon

Tähistame S n-ga selle liikmete summa, s.o.

Tuletame selle summa leidmise valemi.

Alustame kõige lihtsamast juhtumist, kui q = 1. Siis koosneb geomeetriline progressioon b 1,b 2, b 3,..., bn n arvust, mis on võrdne b 1-ga, s.o. progresseerumine näeb välja nagu b 1, b 2, b 3, ..., b 4. Nende arvude summa on nb 1.

Olgu nüüd q = 1 S n leidmiseks rakendame tehistehnikat: teostame mõned avaldise S n q teisendused. Meil on:

Teisenduste sooritamisel kasutasime esiteks geomeetrilise progressiooni definitsiooni, mille järgi (vt kolmas arutluskäik); teiseks liideti ja lahutati, mistõttu väljendi tähendus muidugi ei muutunud (vt neljas arutluskäik); kolmandaks kasutasime geomeetrilise progressiooni n-nda liikme valemit:

Valemist (1) leiame:

See on geomeetrilise progressiooni n liikme summa valem (juhul, kui q = 1).

Näide 8.

Antud lõplik geomeetriline progressioon

a) progressiooni tingimuste summa; b) selle liikmete ruutude summa.

b) Eespool (vt lk 132) oleme juba märkinud, et kui geomeetrilise progressiooni kõik liikmed on ruudus, siis saame geomeetrilise progressiooni esimese liikmega b 2 ja nimetajaga q 2. Seejärel arvutatakse uue progressiooni kuue liikme summa

Näide 9.

Leidke geomeetrilise progressiooni 8. liige, mille jaoks

Tegelikult oleme tõestanud järgmise teoreemi.

Arvjada on geomeetriline progressioon siis ja ainult siis, kui selle iga liikme ruut, välja arvatud esimene teoreem (ja viimane, lõpliku jada puhul), on võrdne eelneva ja järgnevate liikmete korrutisega ( geomeetrilise progressiooni iseloomulik omadus).

Geomeetriline progressioon mitte vähem oluline matemaatikas võrreldes aritmeetikaga. Geomeetriline progressioon on arvude jada b1, b2,..., b[n], mille iga järgmine liige saadakse eelneva korrutamisel konstantse arvuga. Seda arvu, mis iseloomustab ka kasvu või progresseerumise vähenemise kiirust, nimetatakse geomeetrilise progressiooni nimetaja ja tähistada

Sest täita ülesanne geomeetrilise progressiooni puhul on lisaks nimetajale vaja teada või määrata selle esimene liige. Sest positiivne väärtus nimetaja progresseerumine on monotoonne jada ja kui see arvujada on monotoonselt kahanev ja kui monotoonselt kasvav. Juhtu, kui nimetaja on võrdne ühega, praktikas ei arvestata, kuna meil on identsete arvude jada ja nende liitmine ei paku praktilist huvi

Geomeetrilise progressiooni üldtermin arvutatakse valemiga

Geomeetrilise progressiooni esimese n liikme summa määratakse valemiga

Vaatame klassikaliste geomeetriliste progressiooniülesannete lahendusi. Alustame kõige lihtsamatest, millest aru saada.

Näide 1. Geomeetrilise progressiooni esimene liige on 27 ja selle nimetaja on 1/3. Leidke geomeetrilise progressiooni kuus esimest liiget.

Lahendus: kirjutame vormile probleemitingimuse

Arvutusteks kasutame geomeetrilise progressiooni n-nda liikme valemit

Selle põhjal leiame progressiooni tundmatud liikmed

Nagu näete, pole geomeetrilise progressiooni tingimuste arvutamine keeruline. Edenemine ise näeb välja selline

Näide 2. Geomeetrilise progressiooni kolm esimest liiget on antud: 6; -12; 24. Leia nimetaja ja selle seitsmes liige.

Lahendus: Arvutame geomitrilise progressiooni nimetaja selle definitsiooni alusel

Oleme saanud vahelduva geomeetrilise progressiooni, mille nimetaja on -2. Seitsmes liige arvutatakse valemi abil

See lahendab probleemi.

Näide 3. Geomeetriline progressioon on antud selle kahe liikmega . Leidke progressiooni kümnes liige.

Lahendus:

Kirjutame antud väärtused valemite abil

Reeglite järgi tuleks leida nimetaja ja siis otsida soovitud väärtus, kuid meil on kümnes ametiaeg

Sama valemi saab saada sisendandmetega lihtsate manipulatsioonide põhjal. Jagage seeria kuues liige teisega, tulemuseks saame

Kui saadud väärtus korrutada kuuenda liikmega, saame kümnenda

Seega kasutatakse selliste ülesannete jaoks lihtsaid teisendusi kiire tee võite leida õige lahenduse.

Näide 4. Geomeetriline progressioon on antud korduvate valemitega

Leidke geomeetrilise progressiooni nimetaja ja esimese kuue liikme summa.

Lahendus:

Kirjutame antud andmed võrrandisüsteemi kujul

Väljendage nimetaja, jagades teise võrrandi esimesega

Leiame esimesest võrrandist progressiooni esimese liikme

Arvutagem välja järgmised viis liiget, et leida geomeetrilise progressiooni summa

Juhised

10, 30, 90, 270...

Peate leidma geomeetrilise progressiooni nimetaja.
Lahendus:

1. võimalus. Võtame progressiooni suvalise liikme (näiteks 90) ja jagame selle eelmisega (30): 90/30=3.

Kui geomeetrilise progressiooni mitme liikme summa või kahaneva geomeetrilise progressiooni kõigi liikmete summa on teada, siis progressiooni nimetaja leidmiseks kasutage vastavaid valemeid:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), kus Sn on geomeetrilise progressiooni esimese n liikme summa ja
S = b1/(1-q), kus S on lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni summa (kõikide progressiooniliikmete summa, mille nimetaja on väiksem kui üks).
Näide.

Kahaneva geomeetrilise progressiooni esimene liige on võrdne ühega ja kõigi selle liikmete summa on võrdne kahega.

On vaja kindlaks määrata selle progresseerumise nimetaja.
Lahendus:

Asendage ülesande andmed valemisse. Selgub:
2=1/(1-q), kust – q=1/2.

Progress on arvude jada. Geomeetrilises progressioonis saadakse iga järgmine liige, korrutades eelmise teatud arvuga q, mida nimetatakse progressiooni nimetajaks.

Juhised

Kui on teada kaks kõrvuti asetsevat geomeetrilist liiget b(n+1) ja b(n), tuleb nimetaja saamiseks jagada arv suuremaga sellele eelnevaga: q=b(n+1)/b (n). See tuleneb progressiooni määratlusest ja selle nimetajast. Oluline tingimus on esimese liikme ebavõrdsus ja progressiooni nimetaja nulliks, vastasel juhul peetakse seda määramatuks.

Seega luuakse progressiooniliikmete vahel järgmised seosed: b2=b1 q, b3=b2 q, ... , b(n)=b(n-1) q. Kasutades valemit b(n)=b1 q^(n-1), saab arvutada geomeetrilise progressiooni mis tahes liikme, milles nimetaja q ja liige b1 on teada. Samuti on iga progressioon mooduli poolest võrdne oma naaberliikmete keskmisega: |b(n)|=√, kust progressioon sai oma .

Geomeetrilise progressiooni analoog on kõige lihtsam eksponentsiaalne funktsioon y=a^x, kus x on astendaja, a on teatud arv. Sel juhul langeb progressiooni nimetaja kokku esimese liikmega ja võrdne arvuga a. Funktsiooni y väärtust võib mõista kui n-s tähtaeg progressioon, kui argumenti x võtta naturaalarv n (loendur).

Teine oluline geomeetrilise progressiooni omadus, mis andis geomeetrilise progressiooni