Algtase

Geomeetriline progressioon. Põhjalik juhend koos näidetega (2019)

Numbrite jada

Niisiis, istume maha ja hakkame numbreid kirjutama. Näiteks:

Võite kirjutada mis tahes numbreid ja neid võib olla nii palju kui soovite (meie puhul on neid). Ükskõik kui palju numbreid me kirjutame, saame alati öelda, milline neist on esimene, kumb teine ​​ja nii kuni viimaseni, see tähendab, et me saame need nummerdada. See on näide numbrijadast:

Numbrite jada on numbrite komplekt, millest igaühele saab määrata kordumatu numbri.

Näiteks meie jada jaoks:

Määratud number on spetsiifiline ainult ühele jada numbrile. Teisisõnu, jadas pole kolme sekundilist numbrit. Teine number (nagu ka th number) on alati sama.

Numbriga arvu nimetatakse jada n-ndaks liikmeks.

Tavaliselt kutsume kogu jada mõne tähega (näiteks) ja selle jada iga liige on sama täht, mille indeks on võrdne selle liikme numbriga: .

Meie puhul:

Levinumad progressioonitüübid on aritmeetiline ja geomeetriline. Selles teemas räägime teisest tüübist - geomeetriline progressioon.

Miks on vaja geomeetrilist progressiooni ja selle ajalugu?

Juba iidsetel aegadel tegeles kaubanduse praktiliste vajadustega Itaalia matemaatik munk Leonardo Pisast (tuntud paremini Fibonacci nime all). Munga ees seisis ülesanne kindlaks teha, milline on väikseim raskuste arv, millega saab toodet kaaluda? Fibonacci tõestab oma töödes, et selline kaalude süsteem on optimaalne: see on üks esimesi olukordi, kus inimesed pidid silmitsi seisma geomeetrilise progressiooniga, millest olete ilmselt juba kuulnud ja vähemalt üldine kontseptsioon. Kui olete teemast täielikult aru saanud, mõelge, miks selline süsteem on optimaalne?

Praegu elupraktikas geomeetriline progressioon See avaldub panka raha paigutamisel, kui intressisumma arvutatakse eelmise perioodi eest kontole kogunenud summalt. Ehk kui panna raha hoiukassasse tähtajalisele hoiusele, siis aasta pärast suureneb hoius esialgse summa võrra, s.t. uus summa võrdub sissemakse korrutisega. Teisel aastal suureneb see summa võrra, s.o. sel ajal saadud summa korrutatakse uuesti jne. Sarnast olukorda kirjeldatakse ka nn. arvutamise ülesannetes liitintress- protsent võetakse iga kord kontol olevast summast, võttes arvesse eelnevat intressi. Nendest ülesannetest räägime veidi hiljem.

Geomeetrilise progressiooni rakendamisel on palju lihtsamaid juhtumeid. Näiteks gripi levik: üks inimene nakatas teise inimese, nemad omakorda teise inimese ja seega on teiseks nakatumislaineks inimene ja nemad omakorda nakatas teise... ja nii edasi. .

Muide, finantspüramiid, seesama MMM, on lihtne ja kuiv arvutus, mis põhineb geomeetrilise progressiooni omadustel. Huvitav? Selgitame välja.

Geomeetriline progressioon.

Oletame, et meil on numbrijada:

Vastate kohe, et see on lihtne ja sellise jada nimi on aritmeetiline progressioon selle liikmete erinevusega. Kuidas oleks sellega:

Kui lahutada eelmine arv järgnevast arvust, siis näed, et iga kord, kui saad uue erinevuse (ja nii edasi), aga jada on kindlasti olemas ja seda on lihtne märgata – iga järgnev arv on kordades suurem kui eelmine!

Seda tüüpi numbrijada nimetatakse geomeetriline progressioon ja on määratud.

Geomeetriline progressioon () on arvuline jada, mille esimene liige erineb nullist ja iga liige, alates teisest, on võrdne eelmisega, korrutatuna sama arvuga. Seda arvu nimetatakse geomeetrilise progressiooni nimetajaks.

Piirangud, et esimene liige ( ) ei ole võrdne ega ole juhuslik. Oletame, et neid pole ja esimene liige on ikkagi võrdne ja q on võrdne, hmm.. las olla, siis selgub:

Nõus, et see pole enam edasiminek.

Nagu te mõistate, saame samad tulemused, kui on mõni muu arv kui null, a. Nendel juhtudel lihtsalt ei toimu progresseerumist, kuna kogu numbriseeria on kas kõik nullid või üks arv ja kõik ülejäänud on nullid.

Nüüd räägime üksikasjalikumalt geomeetrilise progressiooni nimetajast, see tähendab o.

Kordame: - see on number mitu korda iga järgnev termin muutub? geomeetriline progressioon.

Mis see teie arvates olla võiks? See on õige, positiivne ja negatiivne, kuid mitte null (me rääkisime sellest veidi kõrgemal).

Oletame, et meie oma on positiivne. Olgu meie puhul a. Mis on teise liikme väärtus ja? Sellele saate hõlpsalt vastata:

See on õige. Seega, kui, siis on kõigil järgnevatel edenemise terminitel sama märk - nad on positiivsed.

Mis siis, kui see on negatiivne? Näiteks a. Mis on teise liikme väärtus ja?

See on täiesti erinev lugu

Proovige selle edenemise tingimusi kokku lugeda. Kui palju sa said? mul on. Seega, kui, siis geomeetrilise progressiooni liikmete märgid vahelduvad. See tähendab, et kui näete selle liikmete vahelduvate märkidega progressi, on selle nimetaja negatiivne. Need teadmised aitavad teil end proovile panna selleteemaliste probleemide lahendamisel.

Nüüd harjutame veidi: proovige kindlaks teha, millised arvujadad on geomeetriline ja millised aritmeetiline progressioon:

Said aru? Võrdleme oma vastuseid:

• Geomeetriline progressioon – 3, 6.
• Aritmeetiline progressioon – 2, 4.
• See ei ole aritmeetiline ega geomeetriline progressioon - 1, 5, 7.

Pöördume tagasi oma viimase progressiooni juurde ja proovime leida selle liiget, nagu aritmeetilises. Nagu võite arvata, on selle leidmiseks kaks võimalust.

Korrutame iga liikme järjestikku arvuga.

Niisiis, kirjeldatud geomeetrilise progressiooni liige on võrdne.

Nagu juba arvasite, tuletate nüüd ise valemi, mis aitab teil leida geomeetrilise progressiooni mis tahes liikme. Või olete selle juba enda jaoks välja töötanud, kirjeldades, kuidas samm-sammult liiget leida? Kui jah, siis kontrollige oma arutluskäigu õigsust.

Illustreerime seda näitega, kuidas leida selle progressiooni th liige:

Teisisõnu:

Leia ise antud geomeetrilise progressiooni liikme väärtus.

Kas see töötas? Võrdleme oma vastuseid:

Pange tähele, et saite täpselt sama arvu kui eelmises meetodis, kui korrutasime järjestikku geomeetrilise progressiooni iga eelmise liikmega.
Proovime seda valemit "depersonaliseerida" - paneme selle üldisesse vormi ja saame:

Tuletatud valem kehtib kõigi väärtuste kohta - nii positiivsete kui ka negatiivsete. Kontrollige seda ise, arvutades geomeetrilise progressiooni liikmed järgmistel tingimustel: , a.

Kas sa lugesid? Võrdleme tulemusi:

Nõus, et progresseerumise liiget oleks võimalik leida samamoodi kui liiget, kuid on võimalus, et arvutatakse valesti. Ja kui oleme juba leidnud geomeetrilise progressiooni th liikme, siis mis saaks olla lihtsam kui kasutada valemi "kärbitud" osa.

Lõpmatult kahanev geomeetriline progressioon.

Just hiljuti rääkisime sellest, et võiks olla nii rohkem kui vähem kui null Siiski on olemas spetsiaalsed väärtused, mille jaoks nimetatakse geomeetrilist progressiooni lõpmatult väheneb.

Miks sa arvad, miks see nimi on antud?
Kõigepealt paneme kirja mõne terminitest koosneva geomeetrilise progressiooni.
Ütleme siis:

Näeme, et iga järgnev liige on teguri võrra väiksem kui eelmine, kuid kas arvu tuleb? Vastate kohe - "ei". Sellepärast see lõpmatult väheneb – väheneb ja väheneb, kuid ei muutu kunagi nulliks.

Et selgelt mõista, kuidas see visuaalselt välja näeb, proovime joonistada oma edenemise graafikut. Niisiis, meie puhul on valem järgmine:

Graafikutel oleme harjunud joonistama sõltuvust, seega:

Avaldise olemus pole muutunud: esimeses kirjes näitasime geomeetrilise progressiooni liikme väärtuse sõltuvust selle järgarvust ja teises kirjes võtsime lihtsalt geomeetrilise progressiooni liikme väärtuse kui , ja tähistas järjekorranumbrit mitte kui, vaid kui. Kõik, mis tuleb teha, on graafiku koostamine.
Vaatame, mis sul on. Siin on graafik, mille ma välja mõtlesin:

Kas sa näed? Funktsioon väheneb, kaldub nulli, kuid ei ületa seda kunagi, seega on see lõpmatult vähenev. Märgime graafikule oma punktid ja samal ajal koordinaadi ja tähenduse:

Proovige skemaatiliselt kujutada geomeetrilise progressiooni graafikut, kui selle esimene liige on samuti võrdne. Analüüsige, mis vahe on meie eelmisest graafikust?

Kas said hakkama? Siin on graafik, mille ma välja mõtlesin:

Nüüd, kui olete geomeetrilise progressiooni teema põhitõdesid täielikult mõistnud: teate, mis see on, teate, kuidas selle terminit leida ja teate ka, mis on lõpmatult kahanev geomeetriline progressioon, liigume edasi selle põhiomaduse juurde.

Geomeetrilise progressiooni omadus.

Kas mäletate aritmeetilise progressiooni liikmete omadust? Jah, jah, kuidas leida progressiooni teatud arvu väärtust, kui selle progressiooni tingimuste eelnevad ja järgnevad väärtused on olemas. Kas sa mäletad? Siin see on:

Nüüd seisame silmitsi täpselt sama küsimusega geomeetrilise progressiooni terminite kohta. Sellise valemi tuletamiseks alustame joonistamist ja arutlemist. Näete, see on väga lihtne ja kui unustate, saate selle ise välja saada.

Võtame veel ühe lihtsa geomeetrilise progressiooni, milles teame ja. Kuidas leida? Aritmeetilise progressiooniga on see lihtne ja lihtne, aga kuidas on siin? Tegelikult pole ka geomeetrias midagi keerulist - tuleb lihtsalt iga meile antud väärtus valemi järgi kirja panna.

Võite küsida, mida me peaksime sellega nüüd tegema? Jah, väga lihtne. Esmalt kujutame neid valemeid pildil ja proovime nendega erinevaid manipulatsioone teha, et väärtuseni jõuda.

Abstraheerigem meile antud arvudest, keskendugem ainult nende väljendamisele läbi valemi. Peame leidma esiletõstetud väärtuse oranž, teades sellega külgnevaid liikmeid. Proovime nendega toota erinevaid tegevusi, mille tulemusena saame.

Lisand.
Proovime lisada kaks väljendit ja saame:

Sellest väljendist, nagu näete, ei saa me seda kuidagi väljendada, seetõttu proovime teist võimalust - lahutamist.

Lahutamine.

Nagu näete, ei saa me ka seda väljendada, seetõttu proovime neid väljendeid üksteisega korrutada.

Korrutamine.

Vaadake nüüd hoolikalt, mis meil on, korrutades meile antud geomeetrilise progressiooni tingimused võrreldes sellega, mida on vaja leida:

Arva ära, millest ma räägin? See on õige, leidmiseks peame võtma ruutjuur soovitud numbriga külgnevatest geomeetrilistest progressiooninumbritest, korrutatuna üksteisega:

Olgu siin. Te ise tuletasite geomeetrilise progressiooni omaduse. Proovige see valem sisse kirjutada üldine vaade. Kas see töötas?

Kas unustasite tingimuse? Mõelge, miks see oluline on, näiteks proovige see ise arvutada. Mis sel juhul juhtub? See on õige, täielik jama, sest valem näeb välja selline:

Seetõttu ärge unustage seda piirangut.

Nüüd arvutame, millega see võrdub

Õige vastus on! Kui sa ei unustanud arvutamisel teist võimalikku väärtust, siis oled suurepärane ja võid kohe edasi minna treeningutele ning kui ununes, siis loe alljärgnevat juttu ja pane tähele, miks on vaja mõlemad juured kirja panna. vastus.

Joonistame mõlemad oma geomeetrilised progressioonid – üks väärtusega ja teine ​​väärtusega ning kontrollime, kas mõlemal on õigus eksisteerida:

Selleks, et kontrollida, kas selline geomeetriline progressioon on olemas või mitte, tuleb vaadata, kas kõik selle antud liikmed on samad? Arvutage q esimese ja teise juhtumi jaoks.

Vaadake, miks me peame kirjutama kaks vastust? Sest otsitava termini märk sõltub sellest, kas see on positiivne või negatiivne! Ja kuna me ei tea, mis see on, peame kirjutama mõlemad vastused pluss- ja miinusmärgiga.

Nüüd, kui olete omandanud põhipunktid ja tuletanud geomeetrilise progressiooni omaduse valemi, leidke, teadke ja

Võrrelge oma vastuseid õigete vastustega:

Mis te arvate, mis siis, kui meile ei antaks soovitud arvuga külgneva geomeetrilise progressiooni liikmete väärtused, vaid sellest võrdsel kaugusel. Näiteks peame leidma, ja antud ja. Kas saame antud juhul kasutada tuletatud valemit? Proovige seda võimalust kinnitada või ümber lükata samal viisil, kirjeldades, millest iga väärtus koosneb, nagu tegite valemi algsel tuletamisel at.
Mida sa said?

Vaata nüüd uuesti hoolega.
ja vastavalt:

Sellest võime järeldada, et valem töötab mitte ainult naabritega geomeetrilise progressiooni soovitud liikmetega, aga ka koos võrdsel kaugusel sellest, mida liikmed otsivad.

Seega on meie esialgne valem järgmine:

See tähendab, et kui esimesel juhul me seda ütlesime, siis nüüd ütleme, et see võib olla võrdne mis tahes väiksema naturaalarvuga. Peaasi, et see on mõlema antud numbri puhul sama.

Harjuta edasi konkreetsed näited, olge lihtsalt äärmiselt ettevaatlik!

1. , . Otsi.
2. , . Otsi.
3. , . Otsi.

Otsustas? Loodan, et olite äärmiselt tähelepanelik ja märkasite väikest saaki.

Võrdleme tulemusi.

Kahel esimesel juhul rakendame rahulikult ülaltoodud valemit ja saame järgmised väärtused:

Kolmandal juhul saame meile antud numbrite seerianumbrite hoolika uurimise põhjal aru, et need ei asu otsitavast numbrist võrdsel kaugusel: see on eelmine number, kuid on eemaldatud ühest kohast, seega valemit ei ole võimalik rakendada.

Kuidas seda lahendada? Tegelikult pole see nii raske, kui tundub! Paneme kirja, millest iga meile antud ja otsitav number koosneb.

Nii et meil on ja. Vaatame, mida saame nendega teha? Soovitan jagada. Saame:

Asendame oma andmed valemiga:

Järgmise sammu me leiame – selleks peame astuma kuupjuur saadud arvust.

Vaatame nüüd uuesti, mis meil on. Meil on see olemas, kuid me peame selle leidma ja see omakorda võrdub:

Leidsime kõik arvutamiseks vajalikud andmed. Asendage valemis:

Meie vastus: .

Proovige mõnda muud sarnast probleemi ise lahendada:
Arvestades: ,
Leia:

Kui palju sa said? Mul on -.

Nagu näete, sisuliselt vajate mäleta ainult ühte valemit- . Ülejäänu saate igal ajal ilma raskusteta ise välja võtta. Selleks kirjutage lihtsalt paberile lihtsaim geomeetriline progressioon ja kirjutage ülalkirjeldatud valemi järgi üles, millega iga selle arv on võrdne.

Geomeetrilise progressiooni liikmete summa.

Vaatame nüüd valemeid, mis võimaldavad meil kiiresti arvutada geomeetrilise progressiooni liikmete summa antud intervallis:

Lõpliku geomeetrilise progressiooni liikmete summa valemi tuletamiseks korrutage ülaltoodud võrrandi kõik osad arvuga. Saame:

Vaadake hoolikalt: mis on kahel viimasel valemil ühist? See on õige, näiteks tavaliikmed ja nii edasi, välja arvatud esimene ja viimane liige. Proovime 2. võrrandist 1. lahutada. Mida sa said?

Nüüd väljendage geomeetrilise progressiooni terminit valemi kaudu ja asendage saadud avaldis meie viimase valemiga:

Rühmitage väljend. Peaksite saama:

Kõik, mis tuleb teha, on väljendada:

Vastavalt sellele antud juhul.

Mis siis, kui? Mis valem siis töötab? Kujutage ette geomeetrilist progressiooni punktis. Milline ta on? Identsete numbrite seeria on õige, seega näeb valem välja järgmine:

Nii aritmeetilise kui ka geomeetrilise progressiooni kohta on palju legende. Üks neist on legend Setist, male loojast.

Paljud teavad, et malemäng leiutati Indias. Kui Hindu kuningas teda kohtas, rõõmustas ta naise teravmeelsusest ja tema võimalike ametikohtade mitmekesisusest. Saanud teada, et selle leiutas üks tema alamatest, otsustas kuningas teda isiklikult premeerida. Ta kutsus leiutaja enda juurde ja käskis tal küsida kõike, mida ta tahtis, lubades täita ka kõige osavama soovi.

Seta palus mõtlemisaega ja kui Seta järgmisel päeval kuninga ette ilmus, üllatas ta kuningat oma palve enneolematu tagasihoidlikkusega. Ta palus malelaua esimesele ruudule anda nisutera, teise nisutera, kolmanda, neljanda jne.

Kuningas vihastas ja ajas Seti minema, öeldes, et sulase taotlus ei vääri kuninga suuremeelsust, kuid lubas, et sulane saab oma terad kõigi laua ruutude eest.

Ja nüüd küsimus: arvutage geomeetrilise progressiooni liikmete summa valemit kasutades, mitu tera peaks Seth saama?

Alustame arutluskäiku. Kuna vastavalt tingimusele küsis Seth nisutera malelaua esimesele ruudule, teisele, kolmandale, neljandale jne, siis näeme seda probleemis. me räägime geomeetrilise progressiooni kohta. Millega see antud juhul võrdub?
Õige.

Malelaua ruutude koguarv. Vastavalt,. Meil on kõik andmed olemas, jääb üle vaid need valemiga ühendada ja arvutada.

Et kujutada ette antud arvu "skaala" vähemalt ligikaudselt, teisendame astme omaduste abil:

Muidugi, kui tahad, võid võtta kalkulaatori ja arvutada, mis numbrini sa lõpuks saad, ja kui ei, siis pead jääma minu sõnale: avaldise lõppväärtus on.
See on:

kvintiljon kvadriljon triljon miljardit miljonit tuhat.

Phew) Kui soovite ette kujutada selle arvu tohutut suurust, siis hinnake, kui suurt ait oleks vaja kogu viljakoguse mahutamiseks.
Kui ait on m kõrge ja m lai, peaks selle pikkus ulatuma km, s.o. kaks korda kaugemal kui Maast Päikeseni.

Kui kuningas oleks matemaatikas tugev, oleks ta võinud kutsuda teadlase enda teri lugema, sest miljoni tera kokkulugemiseks oleks tal vaja vähemalt päeva väsimatut loendamist ja arvestades, et on vaja lugeda kvintiljone, siis terad. tuleks arvestada kogu tema elu jooksul.

Nüüd lahendame lihtsa ülesande, mis hõlmab geomeetrilise progressiooni liikmete summat.
Vasja 5A klassi õpilane haigestus grippi, kuid jätkab koolis käimist. Iga päev nakatab Vasya kahte inimest, kes omakorda nakatavad veel kahte inimest jne. Klassis on ainult inimesed. Mitme päeva pärast jääb kogu klass grippi haigeks?

Niisiis, geomeetrilise progressiooni esimene liige on Vasya, see tähendab inimene. Geomeetrilise progressiooni kolmas liige on kaks inimest, keda ta nakatas esimesel saabumise päeval. Kogusumma progressi liikmete arv on võrdne õpilaste arvuga 5A-s. Sellest lähtuvalt räägime progressist, milles:

Asendame oma andmed geomeetrilise progressiooni liikmete summa valemis:

Terve klass jääb mõne päevaga haigeks. Ei usu valemeid ja numbreid? Proovige ise kujutada õpilaste "nakatumist". Kas see töötas? Vaata, kuidas see minu jaoks välja näeb:

Arvutage ise, mitu päeva kuluks õpilastel grippi haigestumiseks, kui igaüks nakatab inimese ja klassis oli ainult üks inimene.

Mis väärtuse sa said? Selgus, et kõik hakkasid päevapealt haigeks jääma.

Nagu näete, sarnaneb selline ülesanne ja selle joonis püramiidiga, kuhu iga järgnev "toob" uusi inimesi. Ent varem või hiljem saabub hetk, mil viimane ei suuda kedagi meelitada. Meie puhul, kui kujutame ette, et klass on isoleeritud, sulgeb isik ahelast (). Seega, kui isik osales finantspüramiidis, milles anti raha, kui kaasasite veel kaks osalejat, siis isik (või üldine juhtum) poleks kedagi toonud ja oleks seetõttu kaotanud kõik, mida nad sellesse finantskelmusesse investeerisid.

Kõik ülal öeldu viitab kahanevale või suurenevale geomeetrilisele progressioonile, kuid nagu mäletate, on meil eritüüp – lõpmatult kahanev geomeetriline progressioon. Kuidas arvutada selle liikmete summa? Ja miks on seda tüüpi progresseerumisel teatud omadused? Arutame selle koos välja.

Niisiis, kõigepealt vaatame uuesti seda lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni joonist meie näitest:

Vaatame nüüd veidi varem tuletatud geomeetrilise progressiooni summa valemit:
või

Mille poole me püüdleme? See on õige, graafik näitab, et see kipub nulli. See tähendab, et at, on vastavalt peaaegu võrdne, kui avaldise arvutamisel saame peaaegu. Sellega seoses usume, et lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni summa arvutamisel võib selle sulg tähelepanuta jätta, kuna see on võrdne.

- valem on lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni liikmete summa.

TÄHTIS! Lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni liikmete summa valemit kasutame ainult siis, kui tingimus ütleb selgesõnaliselt, et peame leidma summa lõpmatu liikmete arv.

Kui on määratud konkreetne arv n, siis kasutame n liikme summa valemit, isegi kui või.

Nüüd harjutame.

1. Leidke geomeetrilise progressiooni esimeste liikmete summa, kasutades ja.
2. Leia lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni liikmete summa koos ja.

Loodan, et olite äärmiselt ettevaatlik. Võrdleme oma vastuseid:

Nüüd teate geomeetrilisest progressioonist kõike ja on aeg liikuda teoorialt praktikale. Kõige tavalisemad eksamil esinevad geomeetrilise progressiooni probleemid on liitintressi arvutamise probleemid. Need on need, millest me räägime.

Probleemid liitintressi arvutamisel.

Olete ilmselt kuulnud niinimetatud liitintressi valemist. Kas saate aru, mida see tähendab? Kui ei, siis mõtleme selle välja, sest kui mõistate protsessi ennast, saate kohe aru, mis geomeetrilisel progressioonil sellega pistmist on.

Me kõik läheme panka ja teame, et neid on erinevad tingimused hoiused: see on tähtaeg, ja lisateenus ja intressid kahega erinevatel viisidel selle arvutused - lihtsad ja keerulised.

KOOS lihtne huvi kõik on enam-vähem selge: intressi koguneb üks kord hoiutähtaja lõpus. See tähendab, et kui me ütleme, et deponeerime 100 rubla aastaks, siis need krediteeritakse alles aasta lõpus. Vastavalt sellele saame sissemakse lõpuks rublad kätte.

Liitintress- see on valik, milles see esineb intressi kapitaliseerimine, st. nende lisamine hoiusummale ja hilisem tulu arvestamine mitte esialgselt, vaid kogunenud hoiusesummalt. Suurtähtede kasutamine ei toimu pidevalt, vaid teatud sagedusega. Reeglina on sellised perioodid võrdsed ja kõige sagedamini kasutavad pangad kuud, kvartalit või aastat.

Oletame, et deponeerime samu rublasid aastas, kuid igakuise sissemakse kapitaliseerimisega. Mida me teeme?

Kas sa saad siin kõigest aru? Kui ei, siis mõtleme selle samm-sammult välja.

Tõime rublad panka. Kuu lõpuks peaks meie kontol olema summa, mis koosneb meie rubladest ja intressidest, mis on:

Nõus?

Saame selle sulgudest välja võtta ja siis saame:

Nõus, see valem on juba sarnasem sellele, mida me alguses kirjutasime. Jääb üle vaid protsendid välja mõelda

Probleemiavalduses räägitakse meile aastamääradest. Nagu teate, me ei korruta sellega, vaid teisendame protsendid teiseks kümnendkohad, see tähendab:

eks? Nüüd võite küsida, kust see number pärit on? Väga lihtne!
Kordan: probleemipüstitus ütleb umbes AASTAARUANNE kogunevad intressid KUUS. Nagu teate, võtab pank aasta kuu pärast meilt osa iga-aastasest intressist kuus:

Sai aru? Proovige nüüd kirjutada, kuidas see valemi osa välja näeks, kui ma ütleksin, et intressi arvestatakse iga päev.
Kas said hakkama? Võrdleme tulemusi:

Hästi tehtud! Tuleme tagasi oma ülesande juurde: kirjutage, kui palju laekub meie kontole teisel kuul, arvestades, et kogunenud hoiuse summalt koguneb intress.
Siin on see, mida ma sain:

Või teisisõnu:

Ma arvan, et olete juba märganud mustrit ja näinud selles kõiges geomeetrilist progressiooni. Kirjutage, millega selle liige võrdub ehk teisisõnu, millise rahasumma me kuu lõpus saame.
Kas? Kontrollime!

Nagu näha, kui paned aastaks lihtintressiga raha panka, siis saad rublasid ja kui liitintressiga, siis rublasid. Kasu on väike, kuid see juhtub ainult aasta jooksul, kuid pikema perioodi jooksul on kapitaliseerimine palju tulusam:

Vaatame teist tüüpi probleeme, mis hõlmavad liitintressi. Pärast seda, mida olete välja mõelnud, on see teie jaoks elementaarne. Niisiis, ülesanne:

Ettevõte Zvezda alustas tööstusesse investeerimist 2000. aastal, kapitali dollarites. Alates 2001. aastast on see igal aastal saanud kasumit, mis on võrdne eelmise aasta kapitaliga. Kui palju kasumit saab ettevõte Zvezda 2003. aasta lõpus, kui kasumit ringlusest ei eemaldata?

Firma Zvezda kapital 2000. aastal.
- ettevõtte Zvezda kapital 2001. aastal.
- ettevõtte Zvezda kapital 2002. aastal.
- ettevõtte Zvezda kapital 2003. aastal.

Või kirjutame lühidalt:

Meie juhtumi jaoks:

2000, 2001, 2002 ja 2003.

Vastavalt:
rubla
Pange tähele, et selles ülesandes ei ole meil jaotust ei poolt ega poolt, kuna protsent antakse AASTA ja seda arvutatakse AASTA. See tähendab, et liitintressi probleemi lugemisel pöörake tähelepanu sellele, milline protsent on antud ja millisel perioodil see arvutatakse, ning alles siis jätkake arvutustega.
Nüüd teate kõike geomeetrilisest progressioonist.

Koolitus.

1. Leidke geomeetrilise progressiooni liige, kui on teada, et ja
2. Leidke geomeetrilise progressiooni esimeste liikmete summa, kui on teada, et ja
3. MDM Capitali ettevõte alustas investeerimist sellesse tööstusesse 2003. aastal, kapitali dollarites. Alates 2004. aastast on see igal aastal saanud kasumit, mis on võrdne eelmise aasta kapitaliga. MSK rahavoogude ettevõte alustas tööstusesse investeerimist 2005. aastal summas 10 000 dollarit, hakates 2006. aastal teenima kasumit summas. Kui mitme dollari võrra on ühe ettevõtte kapital 2007. aasta lõpus suurem kui teise ettevõtte kapital, kui kasumit ringlusest ei kõrvaldata?

Vastused:

1. Kuna ülesandepüstitus ei ütle, et progressioon on lõpmatu ja selleks on vaja leida selle teatud arvu liikmete summa, tehakse arvutus valemi järgi:
2. 
   MDM kapitaliettevõte:

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
   - suureneb 100%, see tähendab 2 korda.
   Vastavalt:
   rubla
   MSK rahavoogude ettevõte:

   2005, 2006, 2007.
   - suureneb kordades.
   Vastavalt:
   rubla
   rubla

Teeme kokkuvõtte.

1) Geomeetriline progressioon ( ) on arvjada, mille esimene liige erineb nullist ja iga liige, alates teisest, on võrdne eelmisega, korrutatuna sama arvuga. Seda arvu nimetatakse geomeetrilise progressiooni nimetajaks.

2) Geomeetrilise progressiooni liikmete võrrand on .

3) võib võtta mis tahes väärtusi, välja arvatud ja.

• kui, siis kõik järgnevad progressiooni liikmed on sama märgiga - nemad on positiivsed;
• kui, siis kõik järgnevad progressiooni liikmed alternatiivsed märgid;
• mil - progressiooni nimetatakse lõpmatult kahanevaks.

4) , - geomeetrilise progressiooni omadus (külgnevad terminid)

või
, juures (võrdkaugel terminid)

Kui leiate selle, ärge unustage seda peaks olema kaks vastust.

Näiteks

5) Geomeetrilise progressiooni liikmete summa arvutatakse valemiga:
või

Kui progresseerumine väheneb lõpmatult, siis:
või

TÄHTIS! Me kasutame lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni liikmete summa valemit ainult siis, kui tingimus ütleb selgesõnaliselt, et peame leidma lõpmatu arvu liikmete summa.

6) Liitintressiga seotud ülesanded arvutatakse samuti geomeetrilise progressiooni nn liikme valemiga, eeldusel, et sularaha ringlusest ei kõrvaldatud:

GEOMEETRILINE EDENEMINE. LÜHIDALT PEAMISEST

Geomeetriline progressioon( ) on arvjada, mille esimene liige erineb nullist ja iga liige, alates teisest, on võrdne eelmisega, korrutatuna sama arvuga. Seda numbrit kutsutakse geomeetrilise progressiooni nimetaja.

Geomeetrilise progressiooni nimetaja võib võtta mis tahes väärtuse, välja arvatud ja.

• Kui, siis on kõigil järgnevatel edenemise terminitel sama märk - need on positiivsed;
• kui, siis kõik järgnevad edenemise liikmed vahelduvad märkidega;
• mil - progressiooni nimetatakse lõpmatult kahanevaks.

Geomeetrilise progressiooni liikmete võrrand - .

Geomeetrilise progressiooni liikmete summa arvutatakse valemiga:
või

Geomeetrilise progressiooni n-nda liikme valem on väga lihtne. Nii tähenduselt kui ka üldilmelt. Aga n-nda liikme valemis on igasuguseid probleeme – väga primitiivsetest kuni päris tõsisteni. Ja tutvumise käigus kaalume kindlasti mõlemat. Noh, saame tuttavaks?)

Nii et alustuseks tegelikult valemn

Siin see on:

b n = b 1 · qn -1

Valem on lihtsalt valem, ei midagi üleloomulikku. See näeb välja veelgi lihtsam ja kompaktsem kui sarnane valem. Valemi tähendus on samuti lihtne nagu viltsaapad.

See valem võimaldab teil leida GEomeetrilise progressiooni mistahes liikme TEMA NUMBRI JÄRGI " n".

Nagu näete, on tähendus täielik analoogia aritmeetilise progressiooniga. Teame arvu n – selle arvu alla saame ka liikme lugeda. Kumba me tahame. Korrutamata korduvalt "q-ga" mitu korda. See on kogu mõte.)

Ma saan aru, et sellisel progresseerumisega töötamise tasemel peaksid kõik valemis sisalduvad kogused teile juba selged olema, kuid siiski pean oma kohuseks igaüks neist lahti mõtestada. Igaks juhuks.

Niisiis, siin me läheme:

b 1 – esiteks geomeetrilise progressiooni tähtaeg;

q – ;

n– liikme number;

b n – nth (nth) geomeetrilise progressiooni termin.

See valem ühendab mis tahes geomeetrilise progressiooni neli peamist parameetrit - bn, b 1 , q Ja n. Ja kõik edenemisprobleemid keerlevad nende nelja võtmefiguuri ümber.

"Kuidas see eemaldatakse?"– Kuulen uudishimulikku küsimust... Elementaarne! Vaata!

Mis on võrdne teiseks progressi liige? Pole küsimustki! Kirjutame otse:

b 2 = b 1 · q

Aga kolmas liige? Pole ka probleem! Korrutame teise liikme veel kord pealeq.

nagu see:

B 3 = b 2 q

Pidagem nüüd meeles, et teine ​​liige on omakorda võrdne b 1 ·q-ga ja asendage see avaldis meie võrdsusega:

B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2

Saame:

B 3 = b 1 ·q 2

Nüüd loeme oma sissekannet vene keeles: kolmandaks liige on võrdne esimese liikmega, mis on korrutatud q-ga teiseks kraadid. Kas sa saad aru? Veel mitte? Olgu, üks samm veel.

Mis on neljas termin? Kõik on sama! Korrutada eelmine(st kolmas termin) q-s:

B 4 = b 3 q = (b 1 q 2) q = b 1 q 2 q = b 1 q 3

Kokku:

B 4 = b 1 ·q 3

Ja jälle tõlgime vene keelde: neljas liige on võrdne esimese liikmega, mis on korrutatud q-ga kolmandaks kraadid.

Ja nii edasi. Kuidas siis? Kas sa said mustri kinni? Jah! Mis tahes arvuga liikme puhul on identsete tegurite arv q (st nimetaja aste) alati ühe võrra vähem kui soovitud liikme arvn.

Seetõttu on meie valem ilma valikuteta:

b n =b 1 · qn -1

See on kõik.)

Noh, lahendame probleemid, ma arvan?)

Valemiülesannete lahendaminengeomeetrilise progressiooni liige.

Alustame, nagu tavaliselt, valemi otsesest rakendamisest. Siin on tüüpiline probleem:

Geomeetrilises progressioonis on teada, et b 1 = 512 ja q = -1/2. Leidke progressiooni kümnes liige.

Loomulikult saab selle probleemi lahendada ilma valemiteta. Otseselt geomeetrilise progressiooni mõttes. Kuid me peame end soojendama n-nda perioodi valemiga, eks? Siin teeme sooja.

Meie andmed valemi rakendamiseks on järgmised.

Esimene liige on teada. See on 512.

b 1 = 512.

Teada on ka progresseerumise nimetaja: q = -1/2.

Jääb vaid välja selgitada, mis on liikme n arv. Pole küsimustki! Kas meid huvitab kümnes ametiaeg? Seega asendame üldvalemis n asemel kümme.

Ja arvutage hoolikalt aritmeetika:

Vastus: -1

Nagu näete, osutus progressi kümnes liige miinusesse. Pole midagi üllatavat: meie progressiooni nimetaja on -1/2, s.o. negatiivne number. Ja see ütleb meile, et meie progresseerumise märgid vahelduvad, jah.)

Siin on kõik lihtne. Siin on sarnane probleem, kuid arvutuste osas veidi keerulisem.

Geomeetrilises progressioonis on teada, et:

b 1 = 3

Leidke progressiooni kolmeteistkümnes liige.

Kõik on endine, ainult seekord on progressiooni nimetaja irratsionaalne. Kahe juur. Noh, pole midagi. Valem on universaalne, see saab hakkama mis tahes numbritega.

Töötame otse valemi järgi:

Valem muidugi töötas nii nagu peab, aga... siin jäävadki mõned inimesed jänni. Mida juurega edasi teha? Kuidas tõsta juur kaheteistkümnenda astmeni?

Kuidas-kuidas... Peate mõistma, et igasugune valem on muidugi hea, aga kogu eelneva matemaatika tundmist ei tühistata! Kuidas ehitada? Jah, pidage meeles kraadide omadusi! Muudame juure murdosa aste ja – vastavalt astme kraadiks tõstmise valemile.

nagu see:

Vastus: 192

Ja see on kõik.)

Mis on peamine raskus n-nda termini valemi otsesel rakendamisel? Jah! Peamine raskus on kraadidega töötamine! Nimelt astendamine negatiivsed arvud, fraktsioonid, juured jms struktuurid. Nii et kellel on sellega probleeme, palun korrake kraade ja nende omadusi! Muidu tõmbad ka selle teema aeglasemaks, jah...)

Nüüd lahendame tüüpilised otsinguprobleemid üks valemi elemente, kui kõik teised on antud. Selliste probleemide edukaks lahendamiseks on retsept ühtlane ja kohutavalt lihtne - kirjutage valemn- üldiselt liige! Otse märkmikus tingimuse kõrval. Ja siis seisukorrast nuputame välja, mis meile antakse ja millest puudu on. Ja me väljendame valemist nõutav väärtus. Kõik!

Näiteks selline kahjutu probleem.

Nimetajaga 3 geomeetrilise progressiooni viies liige on 567. Leidke selle progressiooni esimene liige.

Ei midagi keerulist. Töötame otse loitsu järgi.

Kirjutame n-nda liikme valemi!

b n = b 1 · qn -1

Mis meile on antud? Esiteks antakse progresseerumise nimetaja: q = 3.

Pealegi on meile antud viies liige: b 5 = 567 .

Kõik? Ei! Meile on antud ka number n! See on viis: n = 5.

Loodan, et saate juba aru, mis salvestisel on b 5 = 567 kaks parameetrit on korraga peidetud - see on viies liige ise (567) ja selle number (5). Rääkisin sellest juba sarnases õppetükis, kuid arvan, et see väärib ka siin mainimist.)

Nüüd asendame oma andmed valemiga:

567 = b 1 ·3 5-1

Teeme aritmeetika, lihtsustame ja saame midagi lihtsat lineaarvõrrand:

81 b 1 = 567

Lahendame ja saame:

b 1 = 7

Nagu näha, siis esimese termini leidmisega probleeme pole. Aga nimetaja otsimisel q ja numbrid n Võib tulla ka üllatusi. Ja sa pead olema ka nendeks (üllatusteks) valmis, jah.)

Näiteks see probleem:

Positiivse nimetajaga geomeetrilise progressiooni viies liige on 162 ja selle progressiooni esimene liige on 2. Leidke progressiooni nimetaja.

Seekord antakse meile esimene ja viies liige ning palutakse leida progressiooni nimetaja. Siin me läheme.

Kirjutame valeminliige!

b n = b 1 · qn -1

Meie esialgsed andmed on järgmised:

b 5 = 162

b 1 = 2

n = 5

Väärtus puudub q. Pole küsimustki! Leiame selle kohe üles.) Asendame valemis kõik, mida teame.

Saame:

162 = 2q 5-1

2 q 4 = 162

q 4 = 81

Lihtne neljanda astme võrrand. Ja nüüd - ettevaatlikult! Sees selles etapis lahendusi, tõmbavad paljud õpilased kohe rõõmsalt juure (neljanda astme) välja ja saavad vastuse q=3 .

nagu see:

q4 = 81

q = 3

Kuid tegelikult on see lõpetamata vastus. Täpsemalt mittetäielik. Miks? Asi on selles, et vastus q = -3 sobib ka: (-3) 4 saab ka 81!

Selle põhjuseks on võimsusvõrrand x n = a alati on olnud kaks vastandlikku juurt juures isegin . Plusside ja miinustega:

Mõlemad sobivad.

Näiteks otsustamisel (st. teiseks kraadi)

x 2 = 9

Millegipärast ei üllata välimus kaks juured x=±3? Siin on sama. Ja mis tahes muuga isegi aste (neljas, kuues, kümnes jne) on sama. Üksikasjad on teemas

Sellepärast õige otsus saab olema selline:

q 4 = 81

q= ±3

Olgu, oleme märgid ära sorteerinud. Kumb on õige - pluss või miinus? Noh, lugegem uuesti probleemipüstitust otsides lisateavet. Muidugi ei pruugi see olemas olla, kuid selles probleemis sellist teavet saadaval. Meie tingimus ütleb lihttekstina, et edenemine on antud positiivne nimetaja.

Seetõttu on vastus ilmne:

q = 3

Siin on kõik lihtne. Mis teie arvates juhtuks, kui probleemi avaldus oleks järgmine:

Geomeetrilise progressiooni viies liige on 162 ja selle progressiooni esimene liige on 2. Leidke progressiooni nimetaja.

Mis vahet sellel on? Jah! Seisundis Mitte midagi nimetaja märki ei mainita. Ei otseselt ega kaudselt. Ja siin oleks probleem juba tekkinud kaks lahendust!

q = 3 Ja q = -3

Jah, jah! Nii plussiga kui miinusega.) Matemaatiliselt tähendaks see fakt, et neid on kaks progressi, mis vastavad probleemi tingimustele. Ja igal neist on oma nimetaja. Lihtsalt lõbu pärast harjutage ja kirjutage üles igaühe esimesed viis terminit.)

Nüüd harjutame liikme numbri leidmist. See probleem on kõige raskem, jah. Aga ka loomingulisem.)

Arvestades geomeetrilist progressiooni:

3; 6; 12; 24; …

Mis number selles jadas on arv 768?

Esimene samm on ikka sama: kirjutage valemnliige!

b n = b 1 · qn -1

Ja nüüd, nagu tavaliselt, asendame sellega meile teadaolevad andmed. Hm... see ei tööta! Kus on esimene termin, kus on nimetaja, kus on kõik muu?!

Kus, kus... Milleks meil silmi vaja on? Ripsmete lehvitamine? Seekord antakse edasiminek meile otse vormis järjestused. Kas me näeme esimest liiget? Näeme! See on kolmik (b 1 = 3). Aga nimetaja? Me ei näe seda veel, kuid seda on väga lihtne üles lugeda. Kui sa muidugi aru saad...

Nii et me arvestame. Otseselt geomeetrilise progressiooni tähenduse järgi: võtame selle mis tahes termini (v.a esimene) ja jagame eelmisega.

Vähemalt nii:

q = 24/12 = 2

Mida me veel teame? Me teame ka mõnda selle progressiooni liiget, mis on võrdne 768-ga. Mõne arvu n all:

b n = 768

Me ei tea tema numbrit, kuid meie ülesanne on täpselt ta leida.) Nii et me otsime. Oleme juba kõik asendamiseks vajalikud andmed valemisse alla laadinud. Enda teadmata.)

Siin asendame:

768 = 3 2n -1

Teeme elementaarsed - jagame mõlemad pooled kolmega ja kirjutame võrrandi ümber tavalisel kujul: tundmatu on vasakul, tuntud on paremal.

Saame:

2 n -1 = 256

See on huvitav võrrand. Peame leidma "n". Mida, ebatavalist? Jah, ma ei vaidle vastu. Tegelikult on see kõige lihtsam asi. Seda nimetatakse seetõttu, et tundmatu (in antud juhul see on number n) maksab sisse indikaator kraadid.

Geomeetrilise progressiooni õppimise etapis (see on üheksas klass) ei õpetata eksponentsiaalvõrrandeid lahendama, jah... See on keskkooli teema. Aga pole midagi hirmutavat. Isegi kui te ei tea, kuidas selliseid võrrandeid lahendatakse, proovime leida oma n juhindudes lihtsast loogikast ja tervest mõistusest.

Hakkame rääkima. Vasakul on meil kaksik mingil määral. Me ei tea veel, mis see kraad täpselt on, kuid see pole hirmutav. Kuid me teame kindlalt, et see kraad võrdub 256-ga! Nii et me mäletame, mil määral annab kaks meile 256. Kas mäletate? Jah! IN kaheksas kraadid!

256 = 2 8

Kui te ei mäleta või teil on probleeme kraadide äratundmisega, siis on ka see okei: lihtsalt järjestikku ruut kaks, kuup, neljas, viies jne. Valik tegelikult, kuid sellel tasemel töötab üsna hästi.

Ühel või teisel viisil saame:

2 n -1 = 2 8

n-1 = 8

n = 9

Nii et 768 on üheksas meie progressi liige. See on kõik, probleem lahendatud.)

Vastus: 9

Mida? Igav? Väsinud elementaarsetest asjadest? Nõus. Mina ka. Liigume järgmisele tasemele.)

Keerulisemad ülesanded.

Nüüd lahendame keerulisemad probleemid. Mitte just ülilahedad, aga sellised, mis nõuavad veidi tööd, et vastuseni jõuda.

Näiteks see.

Leidke geomeetrilise progressiooni teine ​​liige, kui selle neljas liige on -24 ja seitsmes liige on 192.

See on selle žanri klassika. On teada kaks erinevat edenemise terminit, kuid tuleb leida teine ​​termin. Pealegi EI OLE kõik liikmed naabruses. Mis tekitab alguses segadust, jah...

Nagu ka selliste probleemide lahendamiseks, kaalume kahte meetodit. Esimene meetod on universaalne. Algebraline. Töötab veatult kõigi lähteandmetega. Nii et siit me alustame.)

Kirjeldame iga terminit valemi järgi nliige!

Kõik on täpselt sama, mis aritmeetilise progressiooni puhul. Ainult seekord teeme koostööd teineüldine valem. See on kõik.) Kuid olemus on sama: me võtame ja ükshaaval Asendame oma algandmed n-nda liikme valemiga. Igale liikmele - oma.

Neljandaks ametiajaks kirjutame:

b 4 = b 1 · q 3

-24 = b 1 · q 3

Söö. Üks võrrand on valmis.

Seitsmenda perioodi kohta kirjutame:

b 7 = b 1 · q 6

192 = b 1 · q 6

Kokku saime kaks võrrandit sama progress .

Nendest koostame süsteemi:

Vaatamata oma ähvardavale välimusele on süsteem üsna lihtne. Kõige ilmsem lahendus on lihtne asendamine. Me väljendame b 1 ülemisest võrrandist ja asendage see alumisega:

Pärast alumise võrrandiga veidi askeldamist (vähendades võimsusi ja jagades -24-ga), saame:

q 3 = -8

Muide, selle sama võrrandini saab jõuda ka lihtsamal viisil! Milline neist? Nüüd näitan teile veel üht saladust, kuid väga ilusat, võimsat ja kasulik viis lahendused sellistele süsteemidele. Sellised süsteemid, mille võrrandid hõlmavad ainult töötab. Vähemalt ühes. Helistas jagamise meetodühest võrrandist teise.

Niisiis, meie ees on süsteem:

Mõlemas vasakpoolses võrrandis - tööd ja paremal on vaid number. See on väga hea märk.) Võtame ja... jagame näiteks alumine võrrand ülemisega! Mida see tähendab jagame ühe võrrandi teisega? Väga lihtne. Võtame selle vasak pool üks võrrand (madalam) ja jagama ta peal vasak pool teine ​​võrrand (ülemine). Parem pool on sarnane: parem poolüks võrrand jagama sisse parem pool teine.

Kogu jagamisprotsess näeb välja selline:

Nüüd, vähendades kõike, mida saab vähendada, saame:

q 3 = -8

Mis on selles meetodis head? Jah, sest sellise jagamise käigus saab kõike halba ja ebamugavat ohutult vähendada ja jääb täiesti kahjutu võrrand! Sellepärast on nii oluline omada ainult korrutamine vähemalt ühes süsteemi võrrandis. Korrutamist pole - pole midagi vähendada, jah...

Üldiselt väärib see meetod (nagu paljud teised mittetriviaalsed süsteemide lahendamise meetodid) isegi eraldi õppetundi. Ma kindlasti uurin seda üksikasjalikumalt. Mõni päev…

Siiski pole vahet, kuidas täpselt süsteemi lahendate, igal juhul peame nüüd lahendama saadud võrrandi:

q 3 = -8

Pole probleemi: eraldage kuubikjuur ja oletegi valmis!

Pange tähele, et ekstraheerimisel pole vaja siia pluss-/miinusmärki panna. Meie juur on paaritu (kolmanda) astmega. Ja vastus on samuti sama, jah.)

Niisiis, progresseerumise nimetaja on leitud. Miinus kaks. Suurepärane! Protsess on pooleli.)

Esimese liikme jaoks (näiteks ülemisest võrrandist) saame:

Suurepärane! Teame esimest liiget, teame nimetajat. Ja nüüd on meil võimalus leida iga progressi liige. Kaasa arvatud teine.)

Teiseks ametiajaks on kõik üsna lihtne:

b 2 = b 1 · q= 3·(-2) = -6

Vastus: -6

Niisiis, oleme probleemi lahendamise algebralise meetodi jaotanud. Raske? Mitte päris, olen nõus. Pikk ja tüütu? Jah, kindlasti. Kuid mõnikord saate töö mahtu oluliselt vähendada. Selle jaoks on olemas graafiline meetod. Vana hea ja meile tuttav.)

Joonistame ülesande!

Jah! See on õige. Jällegi kujutame oma progresseerumist arvuteljel. Ei ole vaja järgida joonlauda, ​​pole vaja säilitada võrdseid intervalle terminite vahel (mis, muide, ei ole samad, kuna progressioon on geomeetriline!), vaid lihtsalt skemaatiliselt Joonistame oma järjestuse.

Sain selle nii:

Nüüd vaadake pilti ja mõelge välja. Mitu identset tegurit "q" eraldab neljas Ja seitsmes liikmed? Täpselt nii, kolm!

Seetõttu on meil täielik õigus kirjutada:

-24·q 3 = 192

Siit on nüüd lihtne q leida:

q 3 = -8

q = -2

See on suurepärane, nimetaja on juba taskus. Vaatame nüüd uuesti pilti: kui palju selliseid nimetajaid on teiseks Ja neljas liikmed? Kaks! Seetõttu konstrueerime nende terminite vahelise seose fikseerimiseks nimetaja ruuduline.

Nii et me kirjutame:

b 2 · q 2 = -24 , kus b 2 = -24/ q 2

Asendame leitud nimetaja avaldises b 2, loendame ja saame:

Vastus: -6

Nagu näete, on kõik palju lihtsam ja kiirem kui süsteemi kaudu. Veelgi enam, siin ei pidanud me isegi esimest ametiaega üldse arvestama! Üldse.)

Siin on selline lihtne ja visuaalne viis-valgus. Kuid sellel on ka tõsine puudus. Kas arvasite ära? Jah! See on hea ainult väga lühikeste edenemise tükkide jaoks. Sellised, kus vahemaad meid huvitavate liikmete vahel ei ole väga suured. Aga kõigil muudel juhtudel on juba raske pilti teha, jah... Siis lahendame probleemi analüütiliselt, süsteemi kaudu.) Ja süsteemid on universaalsed asjad. Nad saavad hakkama mis tahes numbritega.

Veel üks eepiline väljakutse:

Geomeetrilise progressiooni teine ​​liige on 10 võrra suurem kui esimene ja kolmas liige on 30 võrra suurem kui teine. Leidke progressiooni nimetaja.

Mida, lahe? Üldse mitte! Kõik on sama. Jällegi tõlgime probleemipüstituse puhtaks algebraks.

1) Kirjeldame iga terminit valemi järgi nliige!

Teine liige: b 2 = b 1 q

Kolmas liige: b 3 = b 1 q 2

2) Paneme ülesandepüstitusest kirja liikmetevahelise seose.

Lugesime tingimust: "Gomeetrilise progressiooni teine ​​liige on 10 võrra suurem kui esimene." Lõpetage, see on väärtuslik!

Nii et me kirjutame:

b 2 = b 1 +10

Ja me tõlgime selle fraasi puhtaks matemaatikaks:

b 3 = b 2 +30

Saime kaks võrrandit. Ühendame need süsteemiks:

Süsteem tundub lihtne. Kuid tähtede jaoks on liiga palju erinevaid indekseid. Asendame teise ja kolmanda liikme asemel nende avaldised esimese liikme ja nimetaja kaudu! Kas me neid asjata maalisime?

Saame:

Aga selline süsteem pole enam kingitus, jah... Kuidas seda lahendada? Kahjuks pole kompleksi lahendamiseks universaalset salaloitsu mittelineaarne Matemaatikas ei ole süsteeme ega saagi olla. See on fantastiline! Kuid esimene asi, mis teile sellist kõva pähklit murdes peaks pähe tulema, on selle väljamõtlemine Kuid kas üks süsteemi võrranditest pole taandatav ilus vaade, mis võimaldab näiteks üht muutujat lihtsalt väljendada teise terminites?

Selgitame välja. Süsteemi esimene võrrand on teisest selgelt lihtsam. Me piiname teda.) Kas me ei peaks proovima esimesest võrrandist midagi läbi väljendada midagi? Kuna me tahame leida nimetaja q, siis oleks meile kõige soodsam väljendada b 1 läbi q.

Nii et proovime seda protseduuri teha esimese võrrandiga, kasutades vanu häid võrrandeid:

b 1 q = b 1 +10

b 1 q – b 1 = 10

b 1 (q-1) = 10

Kõik! Nii me väljendasime mittevajalik anna meile muutuja (b 1) läbi vajalik(q). Jah, see pole kõige lihtsam väljend. Mingi murdosa... Aga meie süsteem on korralikul tasemel, jah.)

Tüüpiline. Me teame, mida teha.

Kirjutame ODZ (Tingimata!) :

q ≠ 1

Korrutame kõik nimetajaga (q-1) ja tühistame kõik murrud:

10 q 2 = 10 q + 30(q-1)

Jagame kõik kümnega, avame sulud ja kogume kõik vasakult:

q 2 – 4 q + 3 = 0

Lahendame tulemuse ja saame kaks juurt:

q 1 = 1

q 2 = 3

On ainult üks lõplik vastus: q = 3 .

Vastus: 3

Nagu näete, on enamiku geomeetrilise progressiooni n-nda liikme valemiga seotud probleemide lahendamise tee alati sama: loe tähelepanelikultülesande tingimus ja n-nda liikme valemit kasutades tõlgime kogu kasulikku teavet puhtaks algebraks.

Nimelt:

1) Kirjeldame iga ülesandes antud terminit valemi järgi eraldinliige.

2) Ülesande tingimustest tõlgime liikmetevahelise seose matemaatilisele kujule. Koostame võrrandi või võrrandisüsteemi.

3) Lahendame saadud võrrandi või võrrandisüsteemi, leiame progressiooni tundmatud parameetrid.

4) Kahemõttelise vastuse korral lugege lisateabe otsimisel (kui neid on) hoolikalt ülesande tingimusi. Samuti kontrollime saadud vastust DL-i tingimustega (kui need on olemas).

Nüüd loetleme peamised probleemid, mis kõige sagedamini põhjustavad geomeetrilise progressiooni probleemide lahendamisel vigu.

1. Elementaararitmeetika. Tehted murdude ja negatiivsete arvudega.

2. Kui vähemalt ühega neist kolmest punktist on probleeme, siis teete selles teemas paratamatult vigu. Kahjuks... Nii et ärge olge laisk ja korrake ülalpool mainitud. Ja järgige linke – minge. Mõnikord aitab.)

Muudetud ja korduvad valemid.

Vaatame nüüd paari tüüpilist eksamiprobleemi tingimuse vähem tuttava esitlusega. Jah, jah, sa arvasid ära! See muudetud Ja korduv n-nda termini valemid. Oleme selliste valemitega juba kokku puutunud ja tegelenud aritmeetilise progressiooniga. Siin on kõik sarnane. Põhiolemus on sama.

Näiteks see probleem OGE-st:

Geomeetriline progressioon on antud valemiga b n = 3 2 n . Leidke selle esimese ja neljanda liikme summa.

Seekord pole edenemine meie jaoks päris tavaline. Mingisuguse valemi kujul. Mis siis? See valem on ka valemnliige! Sina ja mina teame, et n-nda liikme valemit saab kirjutada nii üldkujul, tähti kasutades kui ka jaoks spetsiifiline progresseerumine. KOOS spetsiifiline esimene liige ja nimetaja.

Meie puhul antakse meile geomeetrilise progressiooni üldtermin valem järgmiste parameetritega:

b 1 = 6

q = 2

Kontrollime?) Kirjutame n-nda liikme valemi üldkujul üles ja asendame selle b 1 Ja q. Saame:

b n = b 1 · qn -1

b n= 6 2n -1

Lihtsustame astmete faktoriseerimise ja omaduste kasutamist ning saame:

b n= 6 2n -1 = 3,2,2n -1 = 3 2n -1+1 = 3 2n

Nagu näete, on kõik aus. Kuid meie eesmärk ei ole näidata konkreetse valemi tuletamist. See on nii, lüüriline kõrvalepõige. Puhtalt mõistmiseks.) Meie eesmärk on lahendada probleem, kasutades meile tingimuses antud valemit. Kas saate aru?) Seega töötame otse muudetud valemiga.

Arvestame esimest ametiaega. Asendame n=1 üldisesse valemisse:

b 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6

nagu see. Muide, ma ei ole laisk ja juhin teie tähelepanu veel kord tüüpilisele veale esimese tähtaja arvutamisel. EI OLE, vaadates valemit b n= 3 2n, torma kohe kirjutama, et esimene liige on kolm! See on ränk viga, jah...)

Jätkame. Asendame n=4 ja loe neljas liige:

b 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48

Ja lõpuks arvutame vajaliku summa:

b 1 + b 4 = 6+48 = 54

Vastus: 54

Teine probleem.

Geomeetriline progressioon määratakse järgmiste tingimustega:

b 1 = -7;

b n +1 = 3 b n

Leidke progressiooni neljas liige.

Siin on edenemine antud korduva valemiga. Noh, okei.) Kuidas selle valemiga töötada — me teame ka.

Nii et me tegutseme. Samm-sammult.

1) Loe kaks järjestikused progressi liige.

Esimene ametiaeg on meile juba antud. Miinus seitse. Kuid järgmist, teist terminit saab hõlpsasti arvutada kordusvalemi abil. Kui mõistate selle tööpõhimõtet, muidugi.)

Seega arvestame teist liiget vastavalt tuntud esimesele:

b 2 = 3 b 1 = 3·(-7) = -21

2) Arvuta progressiooni nimetaja

Pole ka probleemi. Otse, jagame teiseks riista peale esiteks.

Saame:

q = -21/(-7) = 3

3) Kirjutage valemnth liige tavalisel kujul ja arvuta vajalik liige.

Niisiis, me teame esimest liiget ja ka nimetajat. Nii et me kirjutame:

b n= -7,3n -1

b 4 = -7,3 3 = -7·27 = -189

Vastus: -189

Nagu näete, ei erine selliste valemitega töötamine geomeetrilise progressiooni jaoks sisuliselt aritmeetilise progressiooni omast. Oluline on mõista ainult nende valemite üldist olemust ja tähendust. Noh, sa pead ka geomeetrilise progressiooni tähendusest aru saama, jah.) Ja siis ei tule rumalaid vigu.

Noh, otsustame ise?)

Väga lihtsad ülesanded soojenduseks:

1. Antud geomeetriline progressioon, milles b 1 = 243, a q = -2/3. Leidke progressiooni kuues liige.

2. Geomeetrilise progressiooni üldliige antakse valemiga b n = 5∙2 n +1 . Leidke selle progressiooni viimase kolmekohalise liikme number.

3. Geomeetriline progressioon määratakse järgmiste tingimustega:

b 1 = -3;

b n +1 = 6 b n

Leidke progressiooni viies liige.

Natuke keerulisem:

4. Antud geomeetriline progressioon:

b 1 =2048; q =-0,5

Millega võrdub kuues negatiivne liige?

Mis tundub üliraske? Üldse mitte. Loogika ja geomeetrilise progressiooni tähenduse mõistmine päästab teid. Noh, n-nda liikme valem muidugi.

5. Geomeetrilise progressiooni kolmas liige on -14 ja kaheksas liige 112. Leidke progressiooni nimetaja.

6. Geomeetrilise progressiooni esimese ja teise liikme summa on 75 ning teise ja kolmanda liikme summa on 150. Leidke progressiooni kuues liige.

Vastused (segaselt): 6; -3888; -1; 800; -32; 448.

See on peaaegu kõik. Kõik, mida me peame tegema, on õppida arvutama geomeetrilise progressiooni esimese n liikme summa jah avastada lõpmatult kahanev geomeetriline progressioon ja selle summa. Väga huvitav ja ebatavaline asi, muide! Lisateavet selle kohta järgmistes õppetundides.)

Kui iga naturaalarvu kohta n vaste reaalarvuga a n , siis öeldakse, et on antud numbrijada :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Seega on numbrijada loomuliku argumendi funktsioon.

Number a 1 helistas jada esimene liige , number a 2 — jada teine ​​liige , number a 3 — kolmandaks ja nii edasi. Number a n helistas n-s tähtaeg järjestused ja naturaalarv n — tema number .

Kahest kõrvuti asetsevast liikmest a n Ja a n +1 jada liige a n +1 helistas järgnev (suhtes a n ), A a n — eelmine (suhtes a n +1 ).

Jada määratlemiseks peate määrama meetodi, mis võimaldab teil leida jada mis tahes arvuga liikme.

Sageli määratakse järjestus kasutades n-nda termini valemid , ehk valem, mis võimaldab määrata jada liikme selle numbri järgi.

Näiteks

positiivsete paaritute arvude jada saab anda valemiga

a n= 2n- 1,

ja vaheldumise järjekord 1 Ja -1 - valem

b n = (-1)n +1 . ◄

Järjestust saab määrata korduv valem, see tähendab valem, mis väljendab jada mis tahes liiget, alustades mõnest, läbi eelneva (ühe või mitme) liikme.

Näiteks

Kui a 1 = 1 , A a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Kui a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , siis määratakse numbrilise jada esimesed seitse liiget järgmiselt:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Jadad võivad olla lõplik Ja lõputu .

Jada nimetatakse ülim , kui sellel on piiratud arv liikmeid. Jada nimetatakse lõputu , kui sellel on lõpmatult palju liikmeid.

Näiteks

kahekohaliste naturaalarvude jada:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

lõplik.

Algarvude jada:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

lõputu. ◄

Jada nimetatakse suureneb , kui iga selle liige, alates teisest, on suurem kui eelmine.

Jada nimetatakse väheneb , kui iga selle liige, alates teisest, on väiksem kui eelmine.

Näiteks

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . — järjestuse suurenemine;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . — kahanev järjestus. ◄

Nimetatakse jada, mille elemendid arvu kasvades ei vähene või, vastupidi, ei suurene monotoonne jada .

Eelkõige on monotoonsed järjestused suurenevad ja kahanevad järjestused.

Aritmeetiline progressioon

Aritmeetiline progressioon on jada, milles iga liige, alates teisest, on võrdne eelmisega, millele liidetakse sama arv.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

on aritmeetiline progressioon, kui see on olemas naturaalarv n tingimus on täidetud:

a n +1 = a n + d,

Kus d - teatud arv.

Seega on erinevus antud aritmeetilise progressiooni järgnevate ja eelmiste liikmete vahel alati konstantne:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Number d helistas aritmeetilise progressiooni erinevus.

Aritmeetilise progressiooni määratlemiseks piisab selle esimese liikme ja erinevuse märkimisest.

Näiteks

Kui a 1 = 3, d = 4 , siis leiame jada esimesed viis liiget järgmiselt:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Esimese liikmega aritmeetilise progressiooni jaoks a 1 ja erinevus d teda n

a n = a 1 + (n- 1)d.

Näiteks

leida aritmeetilise progressiooni kolmekümnes liige

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

siis ilmselgelt

Iga aritmeetilise progressiooni liige, alates teisest, on võrdne eelneva ja järgnevate liikmete aritmeetilise keskmisega.

arvud a, b ja c on mõne aritmeetilise progressiooni järjestikused liikmed siis ja ainult siis, kui üks neist on võrdne kahe teise aritmeetilise keskmisega.

Näiteks

a n = 2n- 7 , on aritmeetiline progressioon.

Kasutame ülaltoodud väidet. Meil on:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Seega

◄

Pange tähele, et n Aritmeetilise progressiooni th liiget võib leida mitte ainult läbi a 1 , aga ka kõik varasemad a k

a n = a k + (n- k)d.

Näiteks

Sest a 5 saab kirja panna

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

siis ilmselgelt

iga aritmeetilise progressiooni liige, alates teisest, võrdub poolega selle aritmeetilise progressiooni liikmete summast, mis on sellest võrdse vahega.

Lisaks kehtib mis tahes aritmeetilise progressiooni korral järgmine võrdsus:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Näiteks

aritmeetilises progressioonis

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, sest

2 + 12= 4 + 34 = 38,

5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 +. . .+ a n,

esiteks n Aritmeetilise progressiooni liikmed on võrdne äärmuslike liikmete summa ja liikmete arvu poole korrutisega:

Siit eelkõige järeldub, et kui on vaja tingimused kokku võtta

a k, a k +1 , . . . , a n,

siis säilitab eelmine valem oma struktuuri:

Näiteks

aritmeetilises progressioonis 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Kui on antud aritmeetiline progressioon, siis suurused a 1 , a n, d, n JaS n ühendatud kahe valemiga:

Seega, kui on antud nendest kolmest suurusest väärtused, määratakse nende valemite põhjal kahe teise suuruse vastavad väärtused, mis liidetakse kahe tundmatuga võrrandi süsteemiks.

Aritmeetiline progressioon on monotoonne jada. Sel juhul:

• Kui d > 0 , siis see suureneb;
• Kui d < 0 , siis see väheneb;
• Kui d = 0 , siis on jada paigal.

Geomeetriline progressioon

Geomeetriline progressioon on jada, milles iga liige, alates teisest, on võrdne eelmisega, mis on korrutatud sama arvuga.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

on mis tahes naturaalarvu geomeetriline progressioon n tingimus on täidetud:

b n +1 = b n · q,

Kus q ≠ 0 - teatud arv.

Seega on antud geomeetrilise progressiooni järgneva liikme ja eelmise liikme suhe konstantne arv:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Number q helistas geomeetrilise progressiooni nimetaja.

Geomeetrilise progressiooni määratlemiseks piisab selle esimese liikme ja nimetaja märkimisest.

Näiteks

Kui b 1 = 1, q = -3 , siis leiame jada esimesed viis liiget järgmiselt:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 ja nimetaja q teda n Kolmanda termini saab leida järgmise valemi abil:

b n = b 1 · qn -1 .

Näiteks

leida geomeetrilise progressiooni seitsmes liige 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = b 1 · qn,

siis ilmselgelt

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

geomeetrilise progressiooni iga liige, alates teisest, on võrdne eelneva ja järgnevate liikmete geomeetrilise keskmisega (proportsionaalne).

Kuna ka vastupidine on tõsi, kehtib järgmine väide:

arvud a, b ja c on mingi geomeetrilise progressiooni järjestikused liikmed siis ja ainult siis, kui neist ühe ruut on võrdne kahe teise korrutisega, see tähendab, et üks arvudest on kahe ülejäänud geomeetriline keskmine.

Näiteks

Tõestame, et valemiga antud jada b n= -3 2 n , on geomeetriline progressioon. Kasutame ülaltoodud väidet. Meil on:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Seega

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

mis tõestab soovitud väidet. ◄

Pange tähele, et n Geomeetrilise progressiooni th liiget võib leida mitte ainult läbi b 1 , aga ka iga eelmine liige b k , mille jaoks piisab valemi kasutamisest

b n = b k · qn - k.

Näiteks

Sest b 5 saab kirja panna

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · qn - k,

b n = b n - k · q k,

siis ilmselgelt

b n 2 = b n - k· b n + k

geomeetrilise progressiooni mis tahes liikme ruut, alates teisest, võrdub sellest võrdsel kaugusel oleva progressiooni liikmete korrutisega.

Lisaks kehtib mis tahes geomeetrilise progressiooni korral võrdsus:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Näiteks

geomeetrilises progressioonis

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , sest

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

esiteks n nimetajaga geomeetrilise progressiooni liikmed q ≠ 0 arvutatakse valemiga:

Ja millal q = 1 - vastavalt valemile

S n= nb 1

Pange tähele, et kui teil on vaja tingimused kokku võtta

b k, b k +1 , . . . , b n,

siis kasutatakse valemit:

Näiteks

geomeetrilises progressioonis 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Kui on antud geomeetriline progressioon, siis suurused b 1 , b n, q, n Ja S n ühendatud kahe valemiga:

Seega, kui on antud nendest kolmest suurusest mis tahes väärtused, määratakse nende valemite põhjal kahe teise suuruse vastavad väärtused, mis kombineeritakse kahe tundmatuga võrrandi süsteemiks.

Esimese liikmega geomeetrilise progressiooni jaoks b 1 ja nimetaja q toimuvad järgmised monotoonsuse omadused :

• progresseerumine suureneb, kui on täidetud üks järgmistest tingimustest:

b 1 > 0 Ja q> 1;

b 1 < 0 Ja 0 < q< 1;

• Progressioon väheneb, kui on täidetud üks järgmistest tingimustest:

b 1 > 0 Ja 0 < q< 1;

b 1 < 0 Ja q> 1.

Kui q< 0 , siis on geomeetriline progressioon vahelduv: selle paaritute arvudega liikmetel on sama märk kui selle esimesel liikmel ja paarisarvulistel liikmetel on vastupidine märk. On selge, et vahelduv geomeetriline progressioon ei ole monotoonne.

Esimese toode n geomeetrilise progressiooni termineid saab arvutada järgmise valemi abil:

Pn= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Näiteks

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Lõpmatult kahanev geomeetriline progressioon

Lõpmatult kahanev geomeetriline progressioon nimetatakse lõpmatuks geomeetriliseks progressiooniks, mille nimetaja moodul on väiksem 1 , see tähendab

|q| < 1 .

Pange tähele, et lõpmatult kahanev geomeetriline progressioon ei pruugi olla kahanev jada. See sobib juhuks

1 < q< 0 .

Sellise nimetaja korral on jada vahelduv. Näiteks

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni summa nimeta arv, millele esimeste summa piiranguteta läheneb n progresseerumise liikmed, mille arv kasvab piiramatult n . See arv on alati lõplik ja seda väljendatakse valemiga

Näiteks

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Aritmeetilise ja geomeetrilise progressiooni seos

Aritmeetiline ja geomeetriline progressioon on omavahel tihedalt seotud. Vaatame vaid kahte näidet.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , See

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Näiteks

1, 3, 5, . . . - aritmeetiline progressioon erinevusega 2 Ja

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - geomeetriline progressioon nimetajaga 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - geomeetriline progressioon nimetajaga q , See

logi a b 1, logi a b 2, logi a b 3, . . . - aritmeetiline progressioon erinevusega logi aq .

Näiteks

2, 12, 72, . . . - geomeetriline progressioon nimetajaga 6 Ja

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - aritmeetiline progressioon erinevusega lg 6 . ◄

Vaatleme teatud seeriat.

7 28 112 448 1792...

On täiesti selge, et selle mis tahes elemendi väärtus on täpselt neli korda suurem kui eelmine. Tähendab, see seeria on progress.

Geomeetriline progressioon on lõputu arvude jada. peamine omadus mis tähendab, et järgmine arv saadakse eelmisest, korrutades mingi kindla arvuga. Seda väljendatakse järgmise valemiga.

a z +1 =a z ·q, kus z on valitud elemendi number.

Vastavalt sellele z ∈ N.

Ajavahemik, mil koolis õpitakse geomeetrilist progressiooni, on 9. klass. Näited aitavad teil mõistet mõista:

0.25 0.125 0.0625...

Selle valemi põhjal võib progresseerumise nimetaja leida järgmiselt:

Ei q ega b z ei saa olla null. Samuti ei tohiks ükski progressi element olla võrdne nulliga.

Järelikult peate seeria järgmise arvu väljaselgitamiseks korrutama viimase q-ga.

Selle progressiooni määramiseks peate määrama selle esimese elemendi ja nimetaja. Pärast seda on võimalik leida mis tahes järgnevaid termineid ja nende summat.

Sordid

Sõltuvalt q-st ja a 1-st jaguneb see edenemine mitmeks tüübiks:

• Kui nii a 1 kui ka q on suuremad kui üks, siis selline jada kasvab mõlemaga järgmine element geomeetriline progressioon. Selle näide on esitatud allpool.

Näide: a 1 =3, q=2 – mõlemad parameetrid on suuremad kui üks.

Siis saab numbrijada kirjutada järgmiselt:

3 6 12 24 48 ...

• Kui |q| on väiksem kui üks, st sellega korrutamine on samaväärne jagamisega, siis on sarnaste tingimustega progressioon kahanev geomeetriline progressioon. Selle näide on esitatud allpool.

Näide: a 1 =6, q=1/3 – a 1 on suurem kui üks, q on väiksem.

Seejärel saab numbrijada kirjutada järgmiselt:

6 2 2/3 ... - iga element on 3 korda suurem kui sellele järgnev element.

• Vahelduv märk. Kui q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Näide: a 1 = -3, q = -2 – mõlemad parameetrid on väiksemad kui null.

Siis saab numbrijada kirjutada järgmiselt:

3, 6, -12, 24,...

Valemid

Geomeetriliste progressioonide mugavaks kasutamiseks on palju valemeid:

• Z-termini valem. Võimaldab arvutada elemendi kindla numbri all ilma eelnevaid numbreid arvutamata.

Näide:q = 3, a 1 = 4. On vaja lugeda progressiooni neljas element.

Lahendus:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Esimeste elementide summa, mille arv on võrdne z. Võimaldab arvutada jada kõigi elementide summa kunia zkaasa arvatud.

Alates (1-q) on nimetajas, siis (1 - q)≠ 0, seega ei ole q võrdne 1-ga.

Märkus: kui q = 1, siis on progressioon lõpmatult korduvate arvude jada.

Geomeetrilise progressiooni summa, näited:a 1 = 2, q= -2. Arvutage S5.

Lahendus:S 5 = 22 - arvutamine valemi abil.

• Summa, kui |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Näide:a 1 = 2 , q= 0,5. Leia summa.

Lahendus:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Mõned omadused:

• Iseloomulik omadus. Kui järgmine tingimus töötab iga jaoksz, siis antud arvuseeria on geomeetriline progressioon:

a z 2 = a z -1 · az+1

• Samuti leitakse mis tahes arvu ruut geomeetrilises progressioonis, lisades antud jada mis tahes kahe teise arvu ruudud, kui need on sellest elemendist võrdsel kaugusel.

a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , Kust- nende numbrite vaheline kaugus.

• Elemendiderinevad q-süks kord.
• Ka progressiooni elementide logaritmid moodustavad progressiooni, kuid aritmeetilise, see tähendab, et igaüks neist on teatud arvu võrra suurem kui eelmine.

Mõnede klassikaliste probleemide näited

Et paremini mõista, mis on geomeetriline progressioon, aitavad näited 9. klassi lahendustega.

• Tingimused:a 1 = 3, a 3 = 48. Leiaq.

Lahendus: iga järgmine element on suurem kui eelmineq üks kord.Mõnda elementi on vaja väljendada teistega, kasutades nimetajat.

Seegaa 3 = q 2 · a 1

Asendamiselq= 4

• Tingimused:a 2 = 6, a 3 = 12. Arvutage S 6.

Lahendus:Selleks leidke lihtsalt esimene element q ja asendage see valemis.

a 3 = q· a 2 , seega,q= 2

a 2 = q · a 1,Sellepärast a 1 = 3

S6 = 189

• · a 1 = 10, q= -2. Leidke progressiooni neljas element.

Lahendus: selleks piisab neljanda elemendi väljendamisest läbi esimese ja läbi nimetaja.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Rakenduse näide:

• Pangaklient tegi sissemakse summas 10 000 rubla, mille alusel lisatakse kliendil igal aastal sellest 6% põhisummale. Kui palju raha on kontol 4 aasta pärast?

Lahendus: esialgne summa on 10 tuhat rubla. See tähendab, et aasta pärast investeeringut on kontol summa 10 000 + 10 000 · 0,06 = 10000 1,06

Sellest lähtuvalt väljendatakse kontol olevat summat järgmise aasta pärast järgmiselt:

(10000 · 1,06) · 0,06 + 10000 · 1,06 = 1,06 · 1,06 · 10 000

See tähendab, et igal aastal suureneb summa 1,06 korda. See tähendab, et 4 aasta pärast kontol olevate rahaliste vahendite hulga leidmiseks piisab, kui leida progressiooni neljas element, mille annab esimene element 10 tuhandega ja nimetaja 1,06.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Näited summade arvutamise probleemidest:

Geomeetrilist progressiooni kasutatakse mitmesugustes ülesannetes. Summa leidmise näite võib tuua järgmiselt:

a 1 = 4, q= 2, arvutaS 5.

Lahendus: kõik arvutamiseks vajalikud andmed on teada, need tuleb lihtsalt valemis asendada.

S 5 = 124

• a 2 = 6, a 3 = 18. Arvuta esimese kuue elemendi summa.

Lahendus:

Geom. progresseerumisel on iga järgmine element q korda suurem kui eelmine, st summa arvutamiseks on vaja elementi teadaa 1 ja nimetajaq.

a 2 · q = a 3

q = 3

Samamoodi peate leidmaa 1 , teadesa 2 Jaq.

a 1 · q = a 2

a 1 =2

S 6 = 728.

Geomeetriline progressioon mitte vähem oluline matemaatikas võrreldes aritmeetikaga. Geomeetriline progressioon on arvude jada b1, b2,..., b[n], mille iga järgmine liige saadakse eelneva korrutamisel konstantse arvuga. Seda arvu, mis iseloomustab ka progresseerumise suurenemise või vähenemise kiirust, nimetatakse geomeetrilise progressiooni nimetaja ja tähistada

Geomeetrilise progressiooni täielikuks täpsustamiseks on lisaks nimetajale vaja teada või määrata selle esimene liige. Nimetaja positiivse väärtuse korral on progressiooniks monotoonne jada ja kui see arvujada on monotoonselt kahanev ja kui monotoonselt kasvav. Juhtu, kui nimetaja on võrdne ühega, praktikas ei arvestata, kuna meil on identsete arvude jada ja nende liitmine ei paku praktilist huvi

Geomeetrilise progressiooni üldtermin arvutatakse valemiga

Geomeetrilise progressiooni esimese n liikme summa määratakse valemiga

Vaatame klassikaliste geomeetriliste progressiooniülesannete lahendusi. Alustame kõige lihtsamatest, millest aru saada.

Näide 1. Geomeetrilise progressiooni esimene liige on 27 ja selle nimetaja on 1/3. Leidke geomeetrilise progressiooni kuus esimest liiget.

Lahendus: kirjutame vormile probleemitingimuse

Arvutusteks kasutame geomeetrilise progressiooni n-nda liikme valemit

Selle põhjal leiame progressiooni tundmatud liikmed

Nagu näete, pole geomeetrilise progressiooni tingimuste arvutamine keeruline. Edenemine ise näeb välja selline

Näide 2. Geomeetrilise progressiooni kolm esimest liiget on antud: 6; -12; 24. Leia nimetaja ja selle seitsmes liige.

Lahendus: arvutame geomitrilise progressiooni nimetaja selle definitsiooni alusel

Oleme saanud vahelduva geomeetrilise progressiooni, mille nimetaja on -2. Seitsmes liige arvutatakse valemi abil

See lahendab probleemi.

Näide 3. Geomeetriline progressioon on antud selle kahe liikmega . Leidke progressiooni kümnes liige.

Lahendus:

Kirjutame antud väärtused valemite abil

Reeglite järgi peaksime leidma nimetaja ja seejärel otsima soovitud väärtust, kuid kümnendaks liikmeks on meil

Sama valemi saab saada sisendandmetega lihtsate manipulatsioonide põhjal. Jagage seeria kuues liige teisega, tulemuseks saame

Kui saadud väärtus korrutada kuuenda liikmega, saame kümnenda

Seega saate selliste probleemide jaoks lihtsaid teisendusi kasutades kiiresti leida õige lahenduse.

Näide 4. Geomeetriline progressioon on antud korduvate valemitega

Leidke geomeetrilise progressiooni nimetaja ja esimese kuue liikme summa.

Lahendus:

Kirjutame antud andmed võrrandisüsteemi kujul

Avaldage nimetaja, jagades teise võrrandi esimesega

Leiame esimesest võrrandist progressiooni esimese liikme

Arvutame geomeetrilise progressiooni summa leidmiseks järgmised viis liiget