Kolmnurga pindala - ülesannete lahendamise valemid ja näited

Allpool on valemid suvalise kolmnurga pindala leidmiseks mis sobivad iga kolmnurga pindala leidmiseks, olenemata selle omadustest, nurkadest või suurustest. Valemid on toodud pildi kujul ning siin on toodud ka selgitused nende rakendamise kohta või õigsuse põhjendus. Vastavused on näidatud ka eraldi joonisel tähetähised valemites ja graafilised sümbolid joonisel.

Märkus . Kui kolmnurgal on erilised omadused(võrdhaarne, ristkülikukujuline, võrdkülgne), võite kasutada allpool toodud valemeid, aga ka täiendavaid spetsiaalseid valemeid, mis kehtivad ainult nende omadustega kolmnurkade puhul:

• "Võrdkülgse kolmnurga pindala valem"

Kolmnurga pindala valemid

Valemite selgitused:
a, b, c- kolmnurga külgede pikkused, mille pindala tahame leida
r- kolmnurga sisse kirjutatud ringi raadius
R- ümber kolmnurga ümbritsetud ringi raadius
h- küljele langetatud kolmnurga kõrgus
lk- kolmnurga poolperimeeter, 1/2 selle külgede summast (ümbermõõt)
α - kolmnurga külje a vastasnurk
β - kolmnurga külje b vastasnurk
γ - kolmnurga külje c vastas olev nurk
h a, h b , h c- kolmnurga kõrgus on langetatud külgedele a, b, c

Pange tähele, et antud tähised vastavad ülaltoodud joonisele, nii et reaalse geomeetriaülesande lahendamisel on teil visuaalselt lihtsam valemis õigeid väärtusi õigetesse kohtadesse asendada.

• Kolmnurga pindala on pool kolmnurga kõrguse ja selle külje pikkuse korrutisest, mille võrra see kõrgus on langetatud(Vormel 1). Selle valemi õigsust saab mõista loogiliselt. Aluseni langetatud kõrgus jagab suvalise kolmnurga kaheks ristkülikukujuliseks. Kui ehitate igaüks neist ristkülikuks, mille mõõtmed on b ja h, siis ilmselgelt võrdub nende kolmnurkade pindala täpselt poolega ristküliku pindalast (Spr = bh)
• Kolmnurga pindala on pool selle kahe külje ja nendevahelise nurga siinuse korrutisest(Valem 2) (vt näidet ülesande lahendamisest selle valemi abil allpool). Hoolimata asjaolust, et see tundub eelmisest erinev, saab seda hõlpsasti muuta. Kui alandame kõrgust nurgast B küljele b, siis selgub, et külje a ja nurga γ siinuse korrutis võrdub siinuse omaduste järgi täisnurkses kolmnurgas meie joonistatud kolmnurga kõrgusega. , mis annab meile eelmise valemi
• Suvalise kolmnurga pindala on võimalik leida läbi tööd pool ringi raadiusest, mis on sellesse kantud kõigi selle külgede pikkuste summaga(Valem 3), lihtsalt öeldes, peate korrutama kolmnurga poolperimeetri sisse kirjutatud ringi raadiusega (seda on lihtsam meeles pidada)
• Suvalise kolmnurga pindala saab leida, jagades selle kõigi külgede korrutise selle ümber oleva ringi 4 raadiusega (valem 4)
• Valem 5 on kolmnurga pindala leidmine läbi selle külgede pikkuste ja poolperimeetri (pool kõigi külgede summast)
• Heroni valem(6) on sama valemi esitus ilma poolperimeetri mõistet kasutamata, ainult läbi külgede pikkuste
• Suvalise kolmnurga pindala võrdub kolmnurga külje ruudu ja selle küljega külgnevate nurkade siinuste korrutisega, mis on jagatud selle külje vastasnurga topeltsiinusega (valem 7)
• Suvalise kolmnurga pindala võib leida selle ringi kahe ruudu korrutisena, mis on ümbritsetud selle iga nurga siinustega. (Vormel 8)
• Kui ühe külje pikkus ja kahe külgneva nurga väärtused on teada, saab kolmnurga pindala leida selle külje ruuduna, mis on jagatud nende nurkade kotangentide topeltsummaga (valem 9)
• Kui on teada ainult kolmnurga iga kõrguse pikkus (valem 10), siis on sellise kolmnurga pindala pöördvõrdeline nende kõrguste pikkustega, nagu Heroni valemi järgi
• Valem 11 võimaldab arvutada kolmnurga pindala selle tippude koordinaatide põhjal, mis on iga tipu jaoks määratud kui (x;y) väärtused. Pange tähele, et saadud väärtus tuleb võtta modulo, kuna üksikute (või isegi kõigi) tippude koordinaadid võivad olla negatiivsete väärtuste piirkonnas

Märkus. Järgnevalt on toodud näited geomeetriaülesannete lahendamisest kolmnurga pindala leidmiseks. Kui teil on vaja lahendada geomeetria ülesanne, mis pole siin sarnane, kirjutage sellest foorumisse. Lahendustes sümboli "" asemel ruutjuur" saab kasutada funktsiooni sqrt(), milles sqrt on ruutjuure sümbol ja radikaalavaldis on näidatud sulgudes.Mõnikord võib sümbolit kasutada lihtsate radikaalsete väljendite jaoks √

Ülesanne. Leidke kahe külje ala ja nendevaheline nurk

Kolmnurga küljed on 5 ja 6 cm. Nurk nende vahel on 60 kraadi. Leidke kolmnurga pindala.

Lahendus.

Selle ülesande lahendamiseks kasutame tunni teoreetilisest osast valemit number kaks.
Kolmnurga pindala on võimalik leida läbi kahe külje pikkuse ja nendevahelise nurga siinuse ning see on võrdne
S=1/2 ab sin γ

Kuna meil on kõik lahenduseks vajalikud andmed olemas (vastavalt valemile), saame valemis asendada vaid probleemitingimuste väärtused:
S = 1/2 * 5 * 6 * sin 60

Väärtuste tabelis trigonomeetrilised funktsioonid Leiame ja asendame siinuse 60 kraadi väärtuse avaldisega. See võrdub kolm korda kahe juurega.
S = 15 √3/2

Vastus: 7,5 √3 (olenevalt õpetaja nõudmistest võid ilmselt jätta 15 √3/2)

Ülesanne. Leidke võrdkülgse kolmnurga pindala

Leidke võrdkülgse kolmnurga pindala, mille külg on 3 cm.

Lahendus.

Kolmnurga pindala saab leida Heroni valemi abil:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Kuna a = b = c, on võrdkülgse kolmnurga pindala valem järgmine:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

Vastus: 9 √3 / 4.

Ülesanne. Pindala muutus külgede pikkuse muutmisel

Mitu korda suureneb kolmnurga pindala, kui külgi suurendada 4 korda?

Lahendus.

Kuna kolmnurga külgede mõõtmed on meile teadmata, siis ülesande lahendamiseks eeldame, et külgede pikkused on vastavalt võrdsed suvalised arvud a, b, c. Seejärel leiame ülesande küsimusele vastamiseks antud kolmnurga pindala ja seejärel selle kolmnurga pindala, mille küljed on neli korda suuremad. Nende kolmnurkade pindalade suhe annab meile vastuse probleemile.

Allpool anname samm-sammult probleemilahenduse tekstilise selgituse. Päris lõpus esitatakse see sama lahendus aga mugavamal graafilisel kujul. Huvilised saavad kohe lahendused alla minna.

Lahenduseks kasutame Heroni valemit (vt ülalt tunni teoreetilises osas). See näeb välja selline:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(vt allpool oleva pildi esimest rida)

Suvalise kolmnurga külgede pikkused määratakse muutujatega a, b, c.
Kui külgi suurendada 4 korda, on uue kolmnurga c pindala:

S 2 = 1/4 ruutmeetrit ((4a + 4b + 4c) (4b + 4c - 4a) (4a + 4c - 4b) (4a + 4b -4c))
(vt teist rida alloleval pildil)

Nagu näete, on 4 tavaline tegur, mille saab kõigist neljast avaldisest sulgudest välja võtta vastavalt üldreeglid matemaatika.
Siis

S 2 = 1/4 sqrt (4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - pildi kolmandal real
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - neljas rida

Arvu 256 ruutjuur on suurepäraselt eraldatud, nii et võtame selle juure alt välja
S 2 = 16 * 1/4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(vt alloleva pildi viiendat rida)

Ülesandes esitatud küsimusele vastamiseks peame lihtsalt saadud kolmnurga pindala jagama esialgse kolmnurga pindalaga.
Määrame pindala suhted, jagades avaldised üksteisega ja vähendades saadud murdosa.

Juhised

Peod ja nurki peetakse põhielementideks A. Kolmnurk on täielikult määratletud mis tahes selle järgmiste põhielementidega: kas kolm külge või üks külg ja kaks nurka või kaks külge ja nendevaheline nurk. Olemasolu eest kolmnurk antud kolme küljega a, b, c, see on vajalik ja piisav, et rahuldada ebavõrdsust, mida nimetatakse ebavõrdsusteks kolmnurk:
a+b > c,
a+c > b,
b+c > a.

Ehitama kolmnurk kolmele küljele a, b, c on vaja lõigu CB = a punktist C kompassi abil tõmmata ring raadiusega b. Seejärel tõmmake samamoodi punktist B ring, mille raadius on võrdne küljega c. Nende lõikepunkt A on soovitud kolmas tipp kolmnurk ABC, kus AB=c, CB=a, CA=b - küljed kolmnurk. Ülesanne on , kui küljed a, b, c rahuldavad ebavõrdsust kolmnurk 1. sammus määratletud.

Sel viisil ehitatud ala S kolmnurk ABC koos tuntud peod a, b, c, arvutatud Heroni valemiga:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
kus a, b, c on küljed kolmnurk, p – poolperimeeter.
p = (a+b+c)/2

Kui kolmnurk on võrdkülgne, st selle kõik küljed on võrdsed (a=b=c). Pindala kolmnurk arvutatakse valemiga:
S=(a^2 v3)/4

Kui kolmnurk on täisnurkne, st üks selle nurkadest on 90° ja selle moodustavad küljed on jalad, on kolmas külg hüpotenuus. IN antud juhul ruut võrdub jalgade korrutisega, mis on jagatud kahega.
S=ab/2

Et leida ruut kolmnurk, võite kasutada ühte paljudest valemistest. Valige valem sõltuvalt sellest, millised andmed on juba teada.

Sul läheb vaja

• kolmnurga pindala leidmise valemite tundmine

Juhised

Kui teate ühe külje suurust ja selle vastasnurgast sellele küljele langetatud kõrguse väärtust, saate pindala leida järgmiselt: S = a*h/2, kus S on pindala kolmnurgast a on kolmnurga üks külgedest ja h - kõrgus, külje a.

On teada meetod kolmnurga pindala määramiseks, kui selle kolm külge on teada. See on Heroni valem. Selle salvestamise lihtsustamiseks võetakse kasutusele vaheväärtus - poolperimeeter: p = (a+b+c)/2, kus a, b, c - . Siis on Heroni valem järgmine: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^½, ^ astendamine.

Oletame, et tead kolmnurga ühte külge ja kolme nurka. Siis on lihtne leida kolmnurga pindala: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), kus β on külje a vastasnurk ning α ja γ on küljega külgnevad nurgad.

Video teemal

Pange tähele

Kõige üldisem valem, mis sobib kõikidel juhtudel, on Heroni valem.

Allikad:

Vihje 3: kuidas leida kolmnurga pindala kolme külje põhjal

Kolmnurga pindala leidmine on kooliplanimeetria üks levinumaid probleeme. Mis tahes kolmnurga pindala määramiseks piisab kolmnurga kolme külje tundmisest. Võrdkülgsete kolmnurkade erijuhtudel piisab vastavalt kahe ja ühe külje pikkuse teadmisest.

Sul läheb vaja

• kolmnurkade külgede pikkused, Heroni valem, koosinusteoreem

Juhised

Heroni valem kolmnurga pindala jaoks on järgmine: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Kui kirjutame poolperimeetri p, saame: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c )/2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Kolmnurga pindala valemi saate tuletada kaalutluste põhjal, rakendades näiteks koosinusteoreemi.

Koosinusteoreemi järgi AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Kasutades kasutusele võetud tähistusi, saab need kirjutada ka kujul: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Seega cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

Kolmnurga pindala leitakse ka valemiga S = a*c*sin(ABC)/2, kasutades kahte külge ja nende vahelist nurka. Nurga ABC siinust saab selle kaudu väljendada trigonomeetrilise põhiidentiteedi abil: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2). Asendades siinuse pindala valemis ja kirjutades selle välja , võite jõuda kolmnurga ABC pindala valemini.

Video teemal

Läbi viia remonditööd võib osutuda vajalikuks mõõta ruut seinad See muudab vajaliku värvi- või tapeedikoguse arvutamise lihtsamaks. Mõõtmiseks on kõige parem kasutada mõõdulint või mõõdulint. Mõõtmised tuleks teha pärast seinad olid tasandatud.

Sul läheb vaja

• -rulett;
• -redel.

Juhised

Et lugeda ruut seinad, peate teadma lagede täpset kõrgust ja mõõtma ka pikkust mööda põrandat. Seda tehakse järgmiselt: võtke sentimeeter ja asetage see põrandaliistu kohale. Tavaliselt ei piisa kogu pikkuse jaoks sentimeetrist, nii et kinnitage see nurka, seejärel keerake see lahti maksimaalne pikkus. Siinkohal pange pliiatsiga märk, kirjutage saadud tulemus üles ja tehke edasised mõõtmised samamoodi, alustades viimasest mõõtmispunktist.

Standardsed laed tüüpilistes - olenevalt majast 2 meetrit 80 sentimeetrit, 3 meetrit ja 3 meetrit 20 sentimeetrit. Kui maja on ehitatud enne 50ndaid, siis suure tõenäosusega on tegelik kõrgus näidatust veidi väiksem. Kui te arvutate ruut remonditöödeks, siis väike varu ei tee paha - kaaluge standardi alusel. Kui teil on veel vaja teada tegelik kõrgus- võtta mõõtmised. Põhimõte sarnaneb pikkuse mõõtmisega, kuid selleks on vaja astmeredelit.

Korrutage saadud näitajad - see on ruut sinu oma seinad. Tõsi, millal värvimistööd või selleks on vaja lahutada ruut uks ja aknaavad. Selleks asetage sentimeetrit piki ava. Kui me räägime ukse kohta, mida kavatsete hiljem muuta, siis tehke seda eemaldatud uksega ukseraam, arvestades ainult ruut otse avausse. Akna pindala arvutatakse piki selle raami perimeetrit. Pärast ruut akna ja ukseava arvutamisel lahutage tulemus ruumi kogupindalast.

Pange tähele, et ruumi pikkuse ja laiuse mõõtmist teostavad kaks inimest, see hõlbustab sentimeetri või mõõdulindi fikseerimist ja vastavalt täpsema tulemuse saamist. Mõõtke sama mõõtmist mitu korda, et veenduda saadud numbrite täpsuses.

Video teemal

Kolmnurga ruumala leidmine on tõesti mittetriviaalne ülesanne. Fakt on see, et kolmnurk on kahemõõtmeline kujund, st. see asub täielikult ühel tasapinnal, mis tähendab, et sellel lihtsalt pole helitugevust. Muidugi ei leia midagi, mida poleks olemas. Kuid ärgem andkem alla! Võime nõustuda järgmise eeldusega: kahemõõtmelise kujundi ruumala on selle pindala. Otsime kolmnurga pindala.

Sul läheb vaja

• paberileht, pliiats, joonlaud, kalkulaator

Juhised

Joonistage joonlaua ja pliiatsi abil paberile. Kolmnurka hoolikalt uurides saate veenduda, et sellel pole tõesti kolmnurka, kuna see on joonistatud tasapinnale. Märgistage kolmnurga küljed: olgu üks külg külg "a", teine ​​külg "b" ja kolmas külg "c". Märgistage kolmnurga tipud tähtedega "A", "B" ja "C".

Mõõtke joonlauaga kolmnurga mis tahes külg ja kirjutage tulemus üles. Pärast seda taastage risti mõõdetud küljega selle vastas olevast tipust, selline rist on kolmnurga kõrgus. Joonisel kujutatud juhul taastatakse risti "h" tipust "A" olevale küljele "c". Mõõtke saadud kõrgus joonlauaga ja kirjutage mõõtmistulemus.

Täpse risti taastamine võib olla keeruline. Sel juhul peaksite kasutama teist valemit. Mõõtke joonlauaga kolmnurga kõik küljed. Pärast seda arvutage kolmnurga "p" poolperimeeter, lisades saadud külgede pikkused ja jagades nende summa pooleks. Kui teie käsutuses on poolperimeetri väärtus, saate kasutada Heroni valemit. Selleks tuleb võtta ruutjuur järgmisest: p(p-a)(p-b)(p-c).

sul on nõutav väärtus kolmnurga pindala. Kolmnurga ruumala leidmise probleem ei ole lahendatud, kuid nagu eespool mainitud, ruumala mitte. Võite leida mahu, mis on kolmemõõtmelises maailmas sisuliselt kolmnurk. Kui kujutame ette, et meie algsest kolmnurgast on saanud kolmemõõtmeline püramiid, siis on sellise püramiidi ruumala selle aluse pikkuse ja sellest tuleneva kolmnurga pindala korrutis.

Pange tähele

Mida hoolikamalt mõõdate, seda täpsemad on teie arvutused.

Allikad:

• Kalkulaator “Kõik kõigele” – võrdlusväärtuste portaal
• kolmnurga maht 2019. aastal

Kolm punkti, mis üheselt määratlevad kolmnurga Descartes'i koordinaatsüsteemis, on selle tipud. Teades nende asukohta iga koordinaattelje suhtes, saate arvutada selle mis tahes parameetrid lame figuur, sealhulgas ja piiratud selle perimeetriga ruut. Seda saab teha mitmel viisil.

Juhised

Kasutage pindala arvutamiseks Heroni valemit kolmnurk. See hõlmab joonise kolme külje mõõtmeid, nii et alustage arvutusi . Mõlema külje pikkus peab olema võrdne selle projektsioonide pikkuste ruutude summa juurega koordinaatteljed. Kui tähistame koordinaate A(X1,Y1,Z1), B(X2,Y2,Z2) ja C(X3,Y3,Z3), saab nende külgede pikkused väljendada järgmiselt: AB = √((X₁- X₂)² + (Y1 -Y2)² + (Z1-Z2)²), BC = √((X2-X3)² + (Y2-Y3)² + (Z2-Z3)²), AC = √(( X1-X3)² + (Y1-Y3)² + (Z1-Z3)²).

Arvutuste lihtsustamiseks võtke kasutusele abimuutuja - poolperimeeter (P). Sellest, et see on pool kõikide külgede pikkuste summast: P = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X1-X2)² + (Y1-Y₂)² + (Z1- Z2)²) + √ ((X2-X3)² + (Y2-Y3)² + (Z2-Z3)²) + √((X1-X3)² + (Y1-Y3)² + (Z1-Z3) ²).

Internetist leiate üle 10 valemi kolmnurga pindala arvutamiseks. Paljusid neist kasutatakse kolmnurga teadaolevate külgede ja nurkadega seotud probleemide lahendamisel. Siiski on mitmeid keerulisi näiteid, kus vastavalt määramise tingimustele on teada ainult kolmnurga üks külg ja nurgad või piiritletud või sisse kirjutatud ringi raadius ja veel üks tunnus. Sellistel juhtudel ei saa lihtsat valemit rakendada.

Allolevad valemid lahendavad 95 protsenti probleemidest, mille puhul peate leidma kolmnurga pindala.
Jätkame ühisala valemite kaalumisega.
Kaaluge alloleval joonisel näidatud kolmnurka

Joonisel ja allpool valemites tutvustatakse kõigi selle tunnuste klassikalisi tähistusi.
a,b,c – kolmnurga küljed,
R – piiritletud ringi raadius,
r – sisse kirjutatud ringi raadius,
h[b],h[a],h[c] – külgede a,b,c järgi joonistatud kõrgused.
alfa, beeta, hamma – tippude lähedased nurgad.

Kolmnurga pindala põhivalemid

1. Pindala on võrdne poolega kolmnurga külje ja sellele küljele langetatud kõrguse korrutisest. Valemite keeles saab selle definitsiooni kirjutada järgmiselt

Seega, kui külg ja kõrgus on teada, leiab iga õpilane ala üles.
Muide, sellest valemist võib tuletada ühe kasuliku kõrgustevahelise seose

2. Kui võtta arvesse, et kolmnurga kõrgust läbi külgneva külje väljendatakse sõltuvusega

Siis järgnevad esimesele pindalavalemile teised sama tüüpi

Vaadake hoolikalt valemeid - neid on lihtne meeles pidada, kuna töö hõlmab kahte külge ja nende vahelist nurka. Kui määrame õigesti kolmnurga küljed ja nurgad (nagu ülaltoodud joonisel), saame kaks küljed a,b ja nurk on ühendatud kolmandaga Koos (hamma).

3. Kolmnurga nurkade puhul on seos tõene

Sõltuvus võimaldab teil arvutustes kasutada kolmnurga pindala jaoks järgmisi valemeid:

Selle sõltuvuse näited on äärmiselt haruldased, kuid peate meeles pidama, et selline valem on olemas.

4. Kui külg ja kaks külgnevat nurka on teada, siis leitakse pindala valemiga

5. Pindala valem külgnevate nurkade külg- ja kotangensina on järgmine

Indeksite ümberkorraldamisega saate teiste osapoolte jaoks sõltuvusi.

6. Allolevat pindalavalemit kasutatakse ülesannetes, kui kolmnurga tipud on tasapinnal määratud koordinaatidega. Sel juhul on pindala võrdne poolega mooduli determinandist.

7. Heroni valem kasutatakse näidetes kolmnurga teadaolevate külgedega.
Kõigepealt leidke kolmnurga poolperimeeter

Ja seejärel määrake ala valemi abil

või

Seda kasutatakse üsna sageli kalkulaatoriprogrammide koodides.

8. Kui kolmnurga kõik kõrgused on teada, siis määratakse pindala valemiga

Kalkulaatoriga on keeruline arvutada, kuid MathCad, Mathematica, Maple paketis on pindala “aeg kaks”.

9. Järgmised valemid kasutavad sissekirjutatud ja piiritletud ringide teadaolevaid raadiusi.

Eelkõige, kui kolmnurga raadius ja küljed või ümbermõõt on teada, arvutatakse pindala valemi järgi

10. Näidetes, kus on antud piiritletud ringi küljed ja raadius või läbimõõt, leitakse pindala valemiga

11. Järgmine valem määrab kolmnurga pindala kolmnurga külje ja nurkade järgi.

Ja lõpuks - erijuhud:
Ruut täisnurkne kolmnurk mille jalad a ja b on võrdsed poolega nende korrutisest

Võrdkülgse (korrapärase) kolmnurga pindala valem=

= üks neljandik külje ruudu ja kolme juure korrutisest.

Alates vastastipp) ja jagage saadud korrutis kahega. See näeb välja selline:

S = ½ * a * h,

Kus:
S – kolmnurga pindala,
a on selle külje pikkus,
h on sellele küljele langetatud kõrgus.

Külje pikkus ja kõrgus tuleb esitada samades mõõtühikutes. Sel juhul saadakse kolmnurga pindala vastavates “ ” ühikutes.

Näide.
20 cm pikkuse skaala kolmnurga ühel küljel langetatakse 10 cm pikkune risti vastastipust.
Kolmnurga pindala on nõutav.
Lahendus.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (cm²).

Kui skaalakolmnurga mis tahes kahe külje pikkused ja nendevaheline nurk on teada, kasutage valemit:

S = ½ * a * b * sinγ,

kus: a, b on kahe suvalise külje pikkused ja γ on nendevaheline nurk.

Praktikas on näiteks maatükkide mõõtmisel ülaltoodud valemite kasutamine mõnikord keeruline, kuna see nõuab täiendavat ehitamist ja nurkade mõõtmist.

Kui teate skaala kolmnurga kõigi kolme külje pikkust, kasutage Heroni valemit:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

a, b, c – kolmnurga külgede pikkused,
p – poolperimeeter: p = (a+b+c)/2.

Kui lisaks kõigi külgede pikkustele on teada ka kolmnurga sisse kirjutatud ringi raadius, kasutage järgmist kompaktset valemit:

kus: r – sisse kirjutatud ringi raadius (р – poolperimeeter).

Skaalakolmnurga pindala ja selle külgede pikkuse arvutamiseks kasutage valemit:

kus: R – piiritletud ringi raadius.

Kui teate kolmnurga ühe külje ja kolme nurga pikkust (põhimõtteliselt piisab kahest - kolmanda väärtus arvutatakse kolmnurga kolme nurga summa võrdusest - 180º), siis kasutage valem:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

kus α on külje a vastasnurga väärtus;
β, γ – kolmnurga ülejäänud kahe nurga väärtused.

Vajadus leida erinevaid elemente, sealhulgas alad kolmnurk, ilmus palju sajandeid eKr õppinud astronoomide seas Vana-Kreeka. Ruut kolmnurk saab arvutada erinevatel viisidel kasutades erinevaid valemeid. Arvutusmeetod sõltub sellest, millistest elementidest kolmnurk teada.

Juhised

Kui tingimusest teame kahe külje b, c väärtused ja nende poolt moodustatud nurga?, siis pindala kolmnurk ABC leitakse järgmise valemiga:
S = (bcsin?)/2.

Kui tingimusest teame kahe külje a, b väärtused ja nende poolt moodustamata nurga?, siis pindala kolmnurk ABC leitakse järgmiselt:
Nurga leidmine?, patt? = bsin?/a, siis kasutage nurga enda määramiseks tabelit.
Nurga leidmine?, ? = 180°-?-?.
Leiame ala enda S = (absin?)/2.

Kui tingimusest teame ainult kolme külje väärtusi kolmnurk a, b ja c, seejärel pindala kolmnurk ABC leitakse järgmise valemiga:
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)), kus p on poolperimeeter p = (a+b+c)/2

Kui probleemtingimustest on teada kõrgus kolmnurk h ja külg, kuhu see kõrgus on langetatud, seejärel ala kolmnurk ABC vastavalt valemile:
S = ah(a)/2 = bh(b)/2 = ch(c)/2.

Kui me teame külgede tähendusi kolmnurk a, b, c ja selle kohta kirjeldatud raadius kolmnurk R, siis selle pindala kolmnurk ABC määratakse järgmise valemiga:
S = abc/4R.
Kui on teada kolm külge a, b, c ja sissekirjutatud raadius, siis pindala kolmnurk ABC leitakse järgmise valemiga:
S = pr, kus p on poolperimeeter, p = (a+b+c)/2.

Kui ABC on võrdkülgne, leitakse pindala valemiga:
S = (a^2v3)/4.
Kui kolmnurk ABC on võrdhaarne, määratakse pindala valemiga:
S = (cv(4a^2-c^2))/4, kus c – kolmnurk.
Kui kolmnurk ABC on täisnurkne, määratakse pindala valemiga:
S = ab/2, kus a ja b on jalad kolmnurk.
Kui kolmnurk ABC on täisnurkne võrdhaarne kolmnurk, määratakse pindala valemiga:
S = c^2/4 = a^2/2, kus c on hüpotenuus kolmnurk, a=b – jalg.

Video teemal

Allikad:

• kuidas mõõta kolmnurga pindala

Vihje 3: kuidas leida kolmnurga pindala, kui nurk on teada

Piirkonna leidmiseks ei piisa ainult ühe parameetri (nurga) teadmisest tre ruut . Kui on lisamõõtmeid, siis pindala määramiseks saab valida ühe valemitest, milles ühe teadaoleva muutujana kasutatakse ka nurga väärtust. Allpool on toodud mitmed kõige sagedamini kasutatavad valemid.

Juhised

Kui lisaks kahe külje moodustatud nurga (γ) suurusele tre ruut , siis on teada ka nende külgede (A ja B) pikkused ruut Figuuri (S) võib defineerida kui pool selle teadaoleva nurga külgede pikkuste ja siinuse korrutist: S=½×A×B×sin(γ).