Kolmnurga pindala määramiseks võite kasutada erinevaid valemeid. Kõigist meetoditest on kõige lihtsam ja sagedamini kasutatav kõrgus aluse pikkusega korrutada ja seejärel tulemus kahega jagada. See meetod pole aga kaugeltki ainus. Altpoolt saate lugeda, kuidas leida kolmnurga pindala erinevate valemite abil.

Eraldi vaatleme võimalusi, kuidas arvutada teatud tüüpi kolmnurkade pindala - ristkülikukujulised, võrdhaarsed ja võrdkülgsed. Iga valemiga on kaasas lühike selgitus, mis aitab teil mõista selle olemust.

Universaalsed meetodid kolmnurga pindala leidmiseks

Alltoodud valemid kasutavad spetsiaalset tähistust. Me dešifreerime neist igaüks:

• a, b, c – vaadeldava joonise kolme külje pikkused;
• r on ringjoone raadius, mida saab kanda meie kolmnurka;
• R on selle ümber kirjeldatava ringi raadius;
• α on külgede b ja c moodustatud nurga suurus;
• β on a ja c vahelise nurga suurus;
• γ on külgede a ja b moodustatud nurga suurus;
• h on meie kolmnurga kõrgus, langetatud nurgast α küljele a;
• p – pool külgede a, b ja c summast.

On loogiliselt selge, miks saate sel viisil kolmnurga pindala leida. Kolmnurga saab hõlpsasti täiendada rööpkülikuks, milles kolmnurga üks külg toimib diagonaalina. Rööpküliku pindala leitakse, korrutades selle ühe külje pikkust sellele tõmmatud kõrguse väärtusega. Diagonaal jagab selle tingimusliku rööpküliku kaheks identseks kolmnurgaks. Seetõttu on üsna ilmne, et meie algse kolmnurga pindala peab olema võrdne poolega selle abi rööpküliku pindalast.

S=½ a b sin γ

Selle valemi järgi leitakse kolmnurga pindala, korrutades selle kahe külje pikkused, see tähendab a ja b, nende moodustatud nurga siinusega. See valem on loogiliselt tuletatud eelmisest. Kui alandame kõrgust nurgast β küljele b, siis vastavalt omadustele täisnurkne kolmnurk, kui korrutada külje a pikkust nurga γ siinusega, saame kolmnurga kõrguse ehk h.

Kõnealuse kujundi pindala leitakse, korrutades poole sellesse kantava ringi raadiusest selle ümbermõõduga. Teisisõnu leiame mainitud ringi poolperimeetri ja raadiuse korrutise.

S = a b c/4R

Selle valemi järgi saame vajaliku väärtuse, jagades joonise külgede korrutise selle ümber kirjeldatud ringi 4 raadiusega.

Need valemid on universaalsed, kuna need võimaldavad määrata mis tahes kolmnurga pindala (skaala, võrdhaarne, võrdkülgne, ristkülikukujuline). Seda saab teha keerukamate arvutuste abil, millel me üksikasjalikult ei peatu.

Konkreetsete omadustega kolmnurkade alad

Kuidas leida täisnurkse kolmnurga pindala? Selle figuuri eripära on see, et selle kaks külge on samaaegselt selle kõrgused. Kui a ja b on jalad ja c muutub hüpotenuusiks, siis leiame ala järgmiselt:

Kuidas leida võrdhaarse kolmnurga pindala? Sellel on kaks külge pikkusega a ja üks külg pikkusega b. Järelikult saab selle pindala määrata, jagades külje a ruudu korrutise nurga γ siinusega 2-ga.

Kuidas leida võrdkülgse kolmnurga pindala? Selles on kõigi külgede pikkus võrdne a-ga ja kõigi nurkade suurus on α. Selle kõrgus on võrdne poolega külje a pikkuse ja ruutjuure 3 korrutisest. Tavalise kolmnurga pindala leidmiseks tuleb külje a ruut korrutada ruutjuurega 3 ja jagada 4.

Piirkonna mõiste

Mis tahes geomeetrilise kujundi, eriti kolmnurga pindala mõiste seostatakse sellise kujundiga nagu ruut. Mis tahes geomeetrilise kujundi pindalaühiku jaoks võtame ruudu pindala, mille külg on võrdne ühega. Täielikkuse huvides tuletagem meelde alade mõiste kaht põhiomadust geomeetrilised kujundid.

Atribuut 1: Kui geomeetrilised kujundid on võrdsed, on ka nende pindalad võrdsed.

Atribuut 2: Iga figuuri saab jagada mitmeks figuuriks. Veelgi enam, algse joonise pindala on võrdne kõigi selle moodustavate arvude pindalade summaga.

Vaatame näidet.

Näide 1

Ilmselgelt on kolmnurga üks külgedest diagonaal ristkülik, mille ühe külje pikkus on $5$ (kuna lahtreid on $5$) ja teise külje pikkus on $6$ (kuna lahtreid on $6$). Seetõttu on selle kolmnurga pindala võrdne poolega sellisest ristkülikust. Ristküliku pindala on

Siis on kolmnurga pindala võrdne

Vastus: 15 dollarit.

Järgmisena vaatleme mitut meetodit kolmnurkade pindalade leidmiseks, nimelt kõrguse ja aluse abil, kasutades Heroni valemid ja võrdkülgse kolmnurga pindala.

Kuidas leida kolmnurga pindala selle kõrguse ja aluse abil

1. teoreem

Kolmnurga pindala võib leida poole külje pikkuse ja selle külje kõrguse korrutisest.

Matemaatiliselt näeb see välja selline

$S=\frac(1)(2)αh$

kus $a$ on külje pikkus, $h$ on sellele tõmmatud kõrgus.

Tõestus.

Vaatleme kolmnurka $ABC$, milles $AC=α$. Sellele küljele tõmmatakse kõrgus $BH$, mis võrdub $h$. Ehitame selle kuni ruuduni $AXYC$ nagu joonisel 2.

Ristküliku $AXBH$ pindala on $h\cdot AH$ ja ristküliku $HBYC$ pindala on $h\cdot HC$. Siis

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Seetõttu on kolmnurga nõutav pindala omaduse 2 järgi võrdne

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Teoreem on tõestatud.

Näide 2

Leidke allolevalt jooniselt kolmnurga pindala, kui lahtri pindala on võrdne ühega

Selle kolmnurga alus on võrdne $ 9 $ (kuna $ 9 $ on $ 9 $ ruudud). Kõrgus on samuti 9 dollarit. Seejärel saame teoreemi 1 järgi

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$

Vastus: 40,5 dollarit.

Heroni valem

2. teoreem

Kui meile on antud kolmnurga kolm külge $α$, $β$ ja $γ$, siis selle pindala leitakse järgmiselt

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

siin $ρ$ tähendab selle kolmnurga poolperimeetrit.

Tõestus.

Mõelge järgmisele joonisele:

Pythagorase teoreemi järgi saame kolmnurgast $ABH$

Kolmnurgast $CBH$ on Pythagorase teoreemi järgi meil

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Nendest kahest seosest saame võrdsuse

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Kuna $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, siis $α+β+γ=2ρ$, mis tähendab

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Teoreemi 1 järgi saame

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Nagu te mäletate kooli õppekava Geomeetria järgi on kolmnurk kujund, mis on moodustatud kolmest lõigust, mis on ühendatud kolme punktiga, mis ei asu samal sirgel. Kolmnurk moodustab kolm nurka, sellest ka joonise nimi. Määratlus võib olla erinev. Kolmnurka võib nimetada ka kolme nurgaga hulknurgaks, ka vastus on õige. Kolmnurgad jagatakse vastavalt võrdsete külgede arvule ja nurkade suurusele joonistel. Seega eristatakse kolmnurki vastavalt võrdhaarsete, võrdkülgsete ja skaaladena, samuti ristkülikukujuliste, teravate ja nürikujulistena.

Kolmnurga pindala arvutamiseks on palju valemeid. Valige, kuidas leida kolmnurga pindala, st. Millist valemit kasutada, on teie otsustada. Kuid väärib märkimist ainult mõned tähistused, mida kasutatakse paljudes kolmnurga pindala arvutamise valemites. Niisiis, pidage meeles:

S on kolmnurga pindala,

a, b, c on kolmnurga küljed,

h on kolmnurga kõrgus,

R on piiritletud ringi raadius,

p on poolperimeeter.

Siin on põhilised tähistused, mis võivad teile kasulikud olla, kui olete oma geomeetriakursuse täielikult unustanud. Allpool on toodud kolmnurga tundmatu ja salapärase ala arvutamiseks kõige arusaadavad ja lihtsamad võimalused. See pole keeruline ja on kasulik nii teie majapidamisvajaduste jaoks kui ka teie laste abistamiseks. Pidagem meeles, kuidas kolmnurga pindala võimalikult lihtsalt arvutada:

Meie puhul on kolmnurga pindala: S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 ruutcm. Pidage meeles, et pindala mõõdetakse ruutsentimeetrites (ruutmeetrites).

Täisnurkne kolmnurk ja selle pindala.

Täisnurkne kolmnurk on kolmnurk, mille üks nurk on võrdne 90 kraadiga (seega nimetatakse seda parempoolseks). Täisnurga moodustavad kaks risti asetsevat sirget (kolmnurga puhul kaks risti asetsevat lõiku). Täisnurkses kolmnurgas saab olla ainult üks täisnurk, sest... mis tahes kolmnurga kõigi nurkade summa on 180 kraadi. Selgub, et ülejäänud 2 nurka peaksid jagama ülejäänud 90 kraadi, näiteks 70 ja 20, 45 ja 45 jne. Niisiis, mäletate peamist, jääb üle vaid välja selgitada, kuidas leida täisnurkse kolmnurga pindala. Kujutagem ette, et meie ees on selline täisnurkne kolmnurk ja me peame leidma selle pindala S.

1. Lihtsaim viis täisnurkse kolmnurga pindala määramiseks arvutatakse järgmise valemi abil:

Meie puhul on täisnurkse kolmnurga pindala: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 ruutsentimeetrit.

Põhimõtteliselt pole enam vaja kolmnurga pindala muul viisil kontrollida, sest Ainult see on kasulik ja aitab igapäevaelus. Kuid on ka võimalusi kolmnurga pindala mõõtmiseks teravnurkade kaudu.

2. Teiste arvutusmeetodite jaoks peab teil olema koosinuste, siinuste ja puutujate tabel. Otsustage ise, siin on mõned võimalused täisnurkse kolmnurga pindala arvutamiseks, mida saab veel kasutada:

Otsustasime kasutada esimest valemit ja mõningate väiksemate plekkidega (joonistasime vihikusse ja kasutasime vana joonlauda ja nurgamõõtjat), kuid saime õige arvutuse:

S = (2,5*2,5)/(2*0,9)=(3*3)/(2*1,2). Saime järgmised tulemused: 3,6=3,7, kuid lahtrite nihkumist arvesse võttes võime selle nüansi andeks anda.

Võrdhaarne kolmnurk ja selle pindala.

Kui seisate silmitsi võrdhaarse kolmnurga valemi arvutamise ülesandega, on lihtsaim viis kasutada kolmnurga pindala põhivalemit ja seda, mida peetakse klassikaliseks.

Kuid kõigepealt, enne võrdhaarse kolmnurga pindala leidmist, uurime välja, milline kujund see on. Võrdhaarne kolmnurk on kolmnurk, mille kaks külge on ühepikkused. Neid kahte külge nimetatakse külgmiseks, kolmandaks aluseks. Ärge ajage segi võrdhaarset kolmnurka võrdkülgse kolmnurgaga, s.t. korrapärane kolmnurk, mille kõik kolm külge on võrdsed. Sellises kolmnurgas ei ole erilisi kalduvusi nurkadele, õigemini nende suurusele. Võrdhaarse kolmnurga aluse nurgad on aga võrdsed, kuid erinevad võrdsete külgede vahelisest nurgast. Niisiis, teate juba esimest ja peamist valemit, jääb üle välja selgitada, millised muud valemid võrdhaarse kolmnurga pindala määramiseks on teada:

Kolmnurk on üks levinumaid geomeetrilisi kujundeid, millega tutvume juba sees Põhikool. Iga õpilane seisab silmitsi küsimusega, kuidas leida geomeetriatundides kolmnurga pindala. Niisiis, milliseid tunnuseid antud figuuri pindala leidmisel saab tuvastada? Selles artiklis vaatleme sellise ülesande täitmiseks vajalikke põhivalemeid ja analüüsime ka kolmnurkade tüüpe.

Kolmnurkade tüübid

Kolmnurga pindala leiate absoluutselt erinevatel viisidel, sest geomeetrias on rohkem kui ühte tüüpi kujundeid, mis sisaldavad kolme nurka. Need tüübid hõlmavad järgmist:

• nüri.
• Võrdkülgne (õige).
• Täisnurkne kolmnurk.
• Võrdhaarsed.

Vaatame igaüht neist lähemalt olemasolevad tüübid kolmnurgad.

Seda geomeetrilist kujundit peetakse geomeetriliste ülesannete lahendamisel kõige tavalisemaks. Kui tekib vajadus suvalise kolmnurga joonistamiseks, tuleb see valik appi.

Nagu nimigi ütleb, on terava kolmnurga kõik nurgad teravad ja kokku moodustavad 180°.

Seda tüüpi kolmnurgad on samuti väga levinud, kuid on mõnevõrra vähem levinud kui terav kolmnurk. Näiteks kolmnurkade lahendamisel (st selle mitmed küljed ja nurgad on teada ning ülejäänud elemendid on vaja leida) tuleb mõnikord kindlaks teha, kas nurk on nüri või mitte. Koosinus on negatiivne arv.

B, ühe nurga väärtus ületab 90°, seega võivad ülejäänud kaks nurka olla väikesed (näiteks 15° või isegi 3°).

Seda tüüpi kolmnurga pindala leidmiseks peate teadma mõningaid nüansse, millest räägime hiljem.

Korrapärased ja võrdhaarsed kolmnurgad

Tavaline hulknurk on kujund, mis sisaldab n nurka ja mille küljed ja nurgad on kõik võrdsed. Selline on tavaline kolmnurk. Kuna kolmnurga kõigi nurkade summa on 180°, siis on kõik kolm nurka 60°.

Korrapärast kolmnurka nimetatakse selle omaduse tõttu ka võrdkülgseks kujundiks.

Samuti väärib märkimist, et korrapärasesse kolmnurka saab kirjutada ainult ühe ringi ja selle ümber saab kirjeldada ainult ühte ringi ning nende keskpunktid asuvad samas punktis.

Lisaks võrdkülgsele tüübile võib eristada ka sellest veidi erinevat võrdhaarset kolmnurka. Sellises kolmnurgas on kaks külge ja kaks nurka üksteisega võrdsed ning kolmas külg (millega külgnev võrdsed nurgad) on aluseks.

Joonisel on kujutatud võrdhaarne kolmnurk DEF, mille nurgad D ja F on võrdsed ning DF on alus.

Täisnurkne kolmnurk

Täisnurkset kolmnurka nimetatakse selliseks, kuna selle üks nurk on täisnurkne, see tähendab 90°. Ülejäänud kaks nurka annavad kokku 90°.

Kõige suur pool sellise kolmnurga 90° nurga vastas asuv on hüpotenuus, ülejäänud kaks külge aga jalad. Seda tüüpi kolmnurga puhul kehtib Pythagorase teoreem:

Jalgade pikkuste ruutude summa võrdub hüpotenuusi pikkuse ruuduga.

Joonisel on kujutatud täisnurkne kolmnurk BAC hüpotenuusiga AC ning jalgadega AB ja BC.

Täisnurgaga kolmnurga pindala leidmiseks peate teadma arvväärtusi selle jalad.

Liigume edasi antud joonise pindala leidmise valemite juurde.

Põhivalemid ala leidmiseks

Geomeetrias on kaks valemit, mis sobivad enamiku kolmnurkade pindala leidmiseks, nimelt teravate, nürikujuliste, korrapäraste ja võrdhaarsete kolmnurkade jaoks. Vaatame igaüht neist.

Külje ja kõrguse järgi

See valem on universaalne vaadeldava joonise ala leidmiseks. Selleks piisab, kui on teada külje pikkus ja sellele tõmmatud kõrguse pikkus. Valem ise (pool aluse ja kõrguse korrutisest) on järgmine:

kus A on antud kolmnurga külg ja H on kolmnurga kõrgus.

Näiteks terava kolmnurga ACB pindala leidmiseks peate korrutama selle külje AB kõrgusega CD ja jagama saadud väärtuse kahega.

Kuid sel viisil pole kolmnurga pindala alati lihtne leida. Näiteks selleks, et kasutada seda valemit nüri kolmnurga jaoks, peate selle ühte külge pikendama ja alles siis joonistama sellele kõrguse.

Praktikas kasutatakse seda valemit sagedamini kui teisi.

Mõlemal küljel ja nurgas

See valem, nagu ka eelmine, sobib enamiku kolmnurkade jaoks ja on oma tähenduses kolmnurga pindala ja kõrguse järgi leidmise valemi tagajärg. See tähendab, et kõnealust valemit saab eelmisest hõlpsasti tuletada. Selle koostis näeb välja selline:

S = ½*sinO*A*B,

kus A ja B on kolmnurga küljed ning O on nurk külgede A ja B vahel.

Meenutagem, et nurga siinust saab vaadelda spetsiaalses tabelis, mis on nime saanud väljapaistva nõukogude matemaatiku V. M. Bradise järgi.

Liigume nüüd edasi muude valemite juurde, mis sobivad ainult erakordset tüüpi kolmnurkade jaoks.

Täisnurkse kolmnurga pindala

Lisaks universaalsele valemile, mis hõlmab kolmnurga kõrguse leidmise vajadust, saab selle jalgadelt leida täisnurka sisaldava kolmnurga pindala.

Seega on täisnurka sisaldava kolmnurga pindala pool selle jalgade korrutisest või:

kus a ja b on täisnurkse kolmnurga jalad.

Regulaarne kolmnurk

Seda tüüpi geomeetrilised kujundid erinevad selle poolest, et selle pindala võib leida ainult selle ühe külje näidatud väärtusega (kuna tavalise kolmnurga kõik küljed on võrdsed). Niisiis, kui seisate silmitsi ülesandega "leida kolmnurga pindala, kui küljed on võrdsed", peate kasutama järgmist valemit:

S = A 2 *√3/4,

kus A on võrdkülgse kolmnurga külg.

Heroni valem

Viimane võimalus kolmnurga pindala leidmiseks on Heroni valem. Selle kasutamiseks peate teadma joonise kolme külje pikkust. Heroni valem näeb välja selline:

S = √p·(p–a)·(p–b)·(p–c),

kus a, b ja c on selle kolmnurga küljed.

Mõnikord antakse probleem: "tavalise kolmnurga pindala on leida selle külje pikkus." IN sel juhul tavalise kolmnurga pindala leidmiseks peame kasutama valemit, mida me juba teame, ja tuletama sellest külje (või selle ruudu) väärtuse:

A 2 = 4S / √3.

Eksamiülesanded

Matemaatikas on GIA ülesannetes palju valemeid. Lisaks on üsna sageli vaja ruudulisel paberil leida kolmnurga pindala.

Sel juhul on kõige mugavam joonistada joonise ühele küljele kõrgus, määrata selle pikkus lahtritest ja kasutada ala leidmiseks universaalset valemit:

Nii et pärast artiklis esitatud valemite uurimist pole teil probleeme mingisuguse kolmnurga pindala leidmisega.