Логично е да продължим да говорим за операции с алгебрични дроби. С дефинирани алгебрични дроби следните действия: събиране, изваждане, умножение, деление и повишаване на естествена степен. Освен това всички тези действия са затворени, в смисъл, че в резултат на тяхното изпълнение се получава алгебрична дроб. Нека разгледаме всеки от тях по ред.

Да, веднага си струва да се отбележи, че действията с алгебрични дроби са обобщения на съответните действия с обикновени дроби. Следователно съответните правила съвпадат почти дума по дума с правилата за извършване на събиране и изваждане, умножение, деление и степенуване обикновени дроби.

Навигация в страницата.

Събиране на алгебрични дроби

Добавянето на всякакви алгебрични дроби се вписва в един от следните два случая: в първия, дроби с същите знаменатели, във втория - с различни. Нека започнем с правилото за събиране на дроби с еднакви знаменатели.

За да добавите алгебрични дроби с еднакви знаменатели, добавяте числителите и оставяте знаменателя същия.

Обявеното правило ви позволява да преминете от добавяне на алгебрични дроби към добавяне на полиноми, намерени в числителите. Например, .

За да добавите алгебрични дроби с различни знаменателитрябва да действате според следното правило: водете ги към общ знаменател, след това съберете получените дроби с еднакви знаменатели.

Например, когато се добавят алгебрични дроби и те трябва първо да бъдат приведени до общ знаменател, в резултат на това те ще приемат формата И съответно след което се извършва събиране на тези дроби с еднакви знаменатели: .

Изваждане

Следващото действие, изваждане на алгебрични дроби, се извършва подобно на събирането. Ако знаменателите на оригиналните алгебрични дроби са еднакви, тогава просто трябва да извадите полиномите в числителите и да оставите знаменателя същия. Ако знаменателите са различни, тогава първо се извършва редукция до общ знаменател, след което получените дроби с еднакви знаменатели се изваждат.

Да дадем примери.

Нека извадим алгебрични дроби и , техните знаменатели са еднакви, следователно . Получената алгебрична дроб може да бъде намалена допълнително: .

Сега нека извадим дробта от дробта. Тези алгебрични дроби имат различни знаменатели, следователно първо ги привеждаме към общ знаменател, който в в такъв случайе 5·x·(x-1) , имаме И . Всичко, което остава да направите, е да извадите:

Умножение на алгебрични дроби

Алгебричните дроби могат да се умножават. Това действие се извършва подобно на умножаването на обикновени дроби съгласно следното правило: за да умножите алгебрични дроби, трябва да умножите отделно числителите и отделно знаменателите.

Да дадем пример. Нека умножим алгебричната дроб по дробта. Съгласно посоченото правило имаме . Остава да преобразуваме получената фракция в алгебрична дроб, за да направите това в този случай трябва да умножите моном и полином (и в общ случай- умножение на полиноми) в числителя и знаменателя: .

Струва си да се отбележи, че преди да умножите алгебрични дроби, е препоръчително да разложите полиномите в техните числители и знаменатели. Това се дължи на възможността за намаляване на получената фракция. Например,
.

Това действие е разгледано по-подробно в статията.

дивизия

Нека да преминем към операции с алгебрични дроби. Следващото е разделяне на алгебрични дроби. Следното правило свежда разделянето на алгебрични дроби до умножение: за да разделите една алгебрична дроб на друга, трябва да умножите първата дроб по реципрочната на втората.

Алгебрична дроб, обратна на дадена дроб, е дроб с разменени числител и знаменател. С други думи, две алгебрични дроби се считат за взаимно обратни, ако техният продукт е идентично равен на единица (по аналогия с).

Да дадем пример. Да направим разделението . Реципрочната част на делителя е . По този начин, .

За по-подробна информация вижте статията, спомената в предишния параграф: умножение и деление на алгебрични дроби.

Повдигане на алгебрична дроб на степен

Накрая преминаваме към последното действие с алгебрични дроби – повдигане на естествена степен. , както и начинът, по който дефинирахме умножението на алгебрични дроби, ни позволява да запишем правилото за повишаване на алгебрична дроб на степен: трябва отделно да повдигнете числителя на тази степен и отделно знаменателя.

Нека да покажем пример за изпълнение на това действие. Нека повдигнем алгебричната дроб на втора степен. Съгласно горното правило имаме . Остава да повдигнем монома в числителя на степен, а също и полинома в знаменателя на степен, което ще даде алгебрична дроб от вида .

Решението на други типични примери е показано в статията за повишаване на алгебрична дроб на степен.

Библиография.

• Алгебра:учебник за 8 клас. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; редактиран от С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М.: Образование, 2008. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордкович А. Г.Алгебра. 8 клас. В 14 ч. Част 1. Учебник за уч образователни институции/ А. Г. Мордкович. - 11-то изд., изтрито. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г.Математика (ръководство за постъпващите в технически училища): учеб. надбавка.- М.; По-висок училище, 1984.-351 с., ил.

Авторско право от cleverstudents

Всички права запазени.
Защитен от закона за авторското право. Нито една част от www.site, включително вътрешни материалии външен вид не могат да бъдат възпроизвеждани под никаква форма или използвани без предварителното писмено разрешение на притежателя на авторските права.

Цели: повторете правилото за умножаване на обикновени дроби и научете как да прилагате това правило за умножаване на всякакви дроби; консолидирайте уменията за намаляване на дроби и свойствата на правомощията със същите основи по време на упражнения.

По време на часовете

I. Анализ на тестовата работа.

1. Посочете грешките, допуснати от учениците в теста.

2. Решете задачи, които са затруднили учениците.

II. Устна работа.

1. Повторете свойствата на степените със същите основи:

2. Представяне като сила с основа

Прегледайте основното свойство на дроб и използвайте това свойство, за да съкратите дроби.

III. Обяснения на нов материал.

1. Нека докажем, че равенството

вярно за всякакви допустими стойности на променливите, т.е. за b≠0 и d≠0.

2. Правило: За да умножите дроб по дроб, трябва да умножите техните числители и знаменателите им и да запишете първото произведение като числител, а второто като знаменател на дробта.

3. Разгледайте решението на примери 1, 2, 3 и 4 на стр. 26-27 от учебника.

4. Правилото за умножение на дроби се прилага за произведението на три или повече фактора.

Например:

1. Решете No 108 (устно).

2. Решете No 109 (а, в, д) на дъската и в тетрадките.

Учениците решават сами, след което решението се проверява.

3. Решете № 112 (c; d; f).

Домашна работа: изучавайте параграф 5 (1-4); решение № 109 (б; г; е),

№ 112 (а; б; г), № 118 (а; в; г), № 119 (б; г), № 120 (а; в).

Урок 2

Цели: изведете правилото за повдигане на дроб на степен и научете учениците да прилагат това правило при изпълнение на упражнения; консолидират правилото за умножаване на дроби и уменията за намаляване на дроби, развиват логическото мислене на учениците.

По време на часовете

I. Устна работа.

4. Проверка домашна работаизбирателно от тетрадки.

II. Учене на нов материал.

1. Разгледайте въпроса за повдигане на дроб на степен. Нека докажем това

2. Правило. За да повдигнете дроб на степен, трябва да повдигнете числителя и знаменателя на тази степен и да запишете първия резултат в числителя, а втория в знаменателя на дробта.

3. Анализирайте решението на пример 5 на стр. 28 от учебника:

III. Правене на упражнения.

1. Решете устно No 115.

2. Решете сами No116 с проверка или коментар на място.

IV. Самостоятелна работа (10 мин.).

V. Обобщение на урока.

1. Формирайте правило за умножение на дроби.

2. Формирайте правило за повдигане на дроб на степен.

Домашна работа:научете правилата на параграф 5; решете № 117, № 121 (а; г), № 122 (а; в), № 123 (а), № 124, № 130 (а; б).

Очевидно е, че числата със степени могат да се събират като други количества , като ги добавяте един след друг с техните знаци.

И така, сумата от a 3 и b 2 е a 3 + b 2.
Сумата от a 3 - b n и h 5 -d 4 е a 3 - b n + h 5 - d 4.

Коефициенти равни степени на еднакви променливимогат да се добавят или изваждат.

И така, сборът от 2a 2 и 3a 2 е равен на 5a 2.

Също така е очевидно, че ако вземете два квадрата a, или три квадрата a, или пет квадрата a.

Но градуси различни променливиИ различни степени идентични променливи, трябва да се състави чрез събирането им с техните знаци.

И така, сборът от 2 и 3 е сборът от 2 + 3.

Очевидно е, че квадратът на a и кубът на a не е равен на удвоения квадрат от a, а на удвоения куб от a.

Сборът от a 3 b n и 3a 5 b 6 е a 3 b n + 3a 5 b 6.

Изважданестепените се извършват по същия начин като събирането, с изключение на това, че знаците на субтрахендите трябва да бъдат съответно променени.

Или:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Умножителни степени

Числата със степени могат да се умножават, подобно на други величини, като се записват едно след друго, със или без знак за умножение между тях.

Така резултатът от умножаването на a 3 по b 2 е a 3 b 2 или aaabb.

Или:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Резултатът в последния пример може да бъде подреден чрез добавяне на идентични променливи.
Изразът ще приеме формата: a 5 b 5 y 3.

Чрез сравняване на няколко числа (променливи) със степени можем да видим, че ако произволни две от тях се умножат, тогава резултатът е число (променлива) със степен, равна на количествостепени на термини.

И така, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Тук 5 е степента на резултата от умножението, равна на 2 + 3, сумата от степените на членовете.

И така, a n .a m = a m+n .

За a n, a се взема като фактор толкова пъти, колкото степента на n;

И a m се взема като фактор толкова пъти, на колкото е равна степента m;

Ето защо, степени с еднакви основи могат да се умножат чрез добавяне на показателите на степените.

И така, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . И x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Или:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Умножете (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Отговор: x 4 - y 4.
Умножете (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Това правило е вярно и за числа, чиито експоненти са отрицателен.

1. И така, a -2 .a -3 = a -5 . Това може да се запише като (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Ако a + b се умножат по a - b, резултатът ще бъде a 2 - b 2: т.е

Резултатът от умножаването на сбора или разликата на две числа е равен на сбора или разликата на техните квадрати.

Ако умножите сбора и разликата на две числа, повдигнати до квадрат, резултатът ще бъде равен на сбора или разликата на тези числа в четвъртостепени.

И така, (a - y). (a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Деление на степени

Числата със степени могат да се разделят като други числа, като се извади от делителя или като се поставят във вид на дроб.

Така a 3 b 2 делено на b 2 е равно на a 3.

Или:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Записването на 5, разделено на 3, изглежда като $\frac(a^5)(a^3)$. Но това е равно на 2. В поредица от числа
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
всяко число може да бъде разделено на друго и показателят ще бъде равен на разликапоказатели за делими числа.

При деление на степени с една и съща основа техните експоненти се изваждат..

И така, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Тоест $\frac(yyy)(yy) = y$.

И a n+1:a = a n+1-1 = a n. Тоест $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Или:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3

Правилото важи и за числата с отрицателенстойности на градусите.
Резултатът от разделянето на -5 на -3 е -2.
Освен това $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 или $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Необходимо е много добре да овладеете умножението и делението на степени, тъй като такива операции се използват много широко в алгебрата.

Примери за решаване на примери с дроби, съдържащи числа със степени

1. Намалете експонентите с $\frac(5a^4)(3a^2)$ Отговор: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Намалете експонентите с $\frac(6x^6)(3x^5)$. Отговор: $\frac(2x)(1)$ или 2x.

3. Намалете показателите a 2 /a 3 и a -3 /a -4 и ги приведете към общ знаменател.
a 2 .a -4 е a -2 първият числител.
a 3 .a -3 е a 0 = 1, вторият числител.
a 3 .a -4 е a -1 , общият числител.
След опростяване: a -2 /a -1 и 1/a -1 .

4. Редуцирайте показателите 2a 4 /5a 3 и 2 /a 4 и ги приведете към общ знаменател.
Отговор: 2a 3 /5a 7 и 5a 5 /5a 7 или 2a 3 /5a 2 и 5/5a 2.

5. Умножете (a 3 + b)/b 4 по (a - b)/3.

6. Умножете (a 5 + 1)/x 2 по (b 2 - 1)/(x + a).

7. Умножете b 4 /a -2 по h -3 /x и a n /y -3 .

8. Разделете a 4 /y 3 на a 3 /y 2 . Отговор: a/y.

9. Разделете (h 3 - 1)/d 4 на (d n + 1)/h.

Формули за степенизползвани в процеса на редуциране и опростяване на сложни изрази, при решаване на уравнения и неравенства.

Номер ° Се н-та степен на число аКога:

Операции със степени.

1. Чрез умножаване на градуси с една и съща основа се добавят техните показатели:

a m·a n = a m + n .

2. При деление на степени с еднаква основа се изваждат техните показатели:

3. Степента на произведението на 2 или повече фактора е равна на произведението на степените на тези фактори:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Степента на дроб е равна на отношението на степените на делителя и делителя:

(a/b) n = a n /b n.

5. Повишаване на степен на степен, показателите се умножават:

(a m) n = a m n.

Всяка формула по-горе е вярна в посоките отляво надясно и обратно.

Например. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Операции с корени.

1. Коренът на произведението на няколко фактора е равен на произведението на корените на тези фактори:

2. Коренът на съотношението е равен на съотношението на дивидента и делителя на корените:

3. Когато повдигате корен на степен, достатъчно е да повдигнете радикалното число на тази степен:

4. Ако увеличите степента на корена в нведнъж и в същото време се вграждат в нта степен е радикално число, тогава стойността на корена няма да се промени:

5. Ако намалите степента на корена в низвлечете корена едновременно н-та степен на радикално число, тогава стойността на корена няма да се промени:

Степен с отрицателен показател.Степента на определено число с неположителен (цял) показател се определя като единица, разделена на степента на същото число с показател, равен на абсолютна стойностнеположителен индикатор:

Формула a m:a n =a m - nможе да се използва не само за м> н, но и с м< н.

Например. а4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

За формулиране a m:a n =a m - nстана справедливо, когато m=n, изисква се наличие на нулева степен.

Диплома с нулев индекс.Степента на всяко число, което не е равно на нула с нулев показател, е равна на едно.

Например. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Степен с дробен показател.Да се ​​вдигне реално число Адо степен м/н, трябва да извлечете корена нта степен на м-та степен на това число А.

Урок на тема: "Правила за умножение и деление на степени с еднакви и различни показатели. Примери"

Допълнителни материали
Уважаеми потребители, не забравяйте да оставите вашите коментари, отзиви, желания. Всички материали са проверени с антивирусна програма.

Учебни помагала и тренажори в онлайн магазина на Интеграл за 7 клас
Ръководство за учебника Ю.Н. Макаричева Ръководство към учебника на А.Г. Мордкович

Цел на урока: научете се да извършвате операции с мощности на числата.

Първо, нека си припомним концепцията за "степен на числото". Израз от формата $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ може да бъде представен като $a^n$.

Обратното също е вярно: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.

Това равенство се нарича „записване на степента като продукт“. Ще ни помогне да определим как да умножаваме и разделяме правомощията.
Помня:
а– основата на степента.
н– степенен показател.
Ако n=1, което означава числото Авзе веднъж и съответно: $a^n= 1$.
Ако n= 0, тогава $a^0= 1$.

Можем да разберем защо това се случва, когато се запознаем с правилата за умножение и деление на степени.

Правила за умножение

Пример.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Това свойство е удобно да се използва за опростяване на работата при повишаване на число на по-висока степен.
Пример.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

б) Ако се умножат степени с различни основи, но една и съща степен.
За да получим $a^n * b^n$, записваме градусите като продукт: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b ) _(m)$.
Ако разменим факторите и преброим получените двойки, получаваме: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.

Така $a^n * b^n= (a * b)^n$.

Пример.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

Правила за разделяне

Така че имаме нужда от $\frac(a^n)(a^m)$, Където n>m.

Нека запишем градусите като дроб:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

Сега нека намалим фракцията.

Оказва се: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
означава, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

Това свойство ще помогне да се обясни ситуацията с повишаване на число на нулева степен. Да приемем, че n=m, тогава $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.

Примери.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

б) Основите на степента са различни, показателите са еднакви.
Да приемем, че $\frac(a^n)( b^n)$ е необходимо. Нека запишем степени на числата като дроби:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.

Пример.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.