О-о-о-о-о-о... е, трудно е, сякаш си четеше изречение =) Но релаксът ще помогне по-късно, особено след като днес купих подходящите аксесоари. Затова нека да преминем към първия раздел, надявам се, че до края на статията ще поддържам весело настроение.

Относителното положение на две прави линии

Такъв е случаят, когато публиката пее в хор. Две прави линии могат:

1) мач;

2) да са успоредни: ;

3) или се пресичат в една точка: .

Помощ за манекени : Моля, запомнете математическия знак за пресичане, той ще се появява много често. Нотацията означава, че правата се пресича с правата в точка .

Как да определим относителната позиция на две линии?

Да започнем с първия случай:

Две прави съвпадат тогава и само тогава, когато съответните им коефициенти са пропорционални, тоест има число „ламбда“, така че равенствата да са изпълнени

Нека разгледаме правите линии и съставим три уравнения от съответните коефициенти: . От всяко уравнение следва, че следователно тези линии съвпадат.

Наистина, ако всички коефициенти на уравнението умножете по –1 (променете знаците) и всички коефициенти на уравнението намалено с 2, получавате същото уравнение: .

Вторият случай, когато линиите са успоредни:

Две прави са успоредни тогава и само ако техните коефициенти на променливите са пропорционални: , Но.

Като пример разгледайте две прави линии. Проверяваме пропорционалността на съответните коефициенти за променливите:

Съвсем очевидно е обаче, че.

И третият случай, когато линиите се пресичат:

Две прави се пресичат тогава и само ако техните коефициенти на променливите НЕ са пропорционални, тоест НЯМА такава стойност на „ламбда“, че равенствата да са изпълнени

И така, за прави линии ще създадем система:

От първото уравнение следва, че , а от второто уравнение: , което означава системата е непоследователна(няма решения). Следователно коефициентите на променливите не са пропорционални.

Заключение: линиите се пресичат

При практически задачи можете да използвате току-що обсъдената схема за решение. Между другото, много напомня на алгоритъма за проверка на вектори за колинеарност, който разгледахме в клас Концепцията за линейна (не)зависимост на векторите. Основа на векторите. Но има по-цивилизована опаковка:

Пример 1

Разберете относителната позиция на линиите:

Решениевъз основа на изследването на насочващите вектори на прави линии:

а) От уравненията намираме насочващите вектори на правите: .

, което означава, че векторите не са колинеарни и правите се пресичат.

За всеки случай ще сложа камък със знаци на кръстопътя:

Останалите прескачат камъка и следват по-нататък, право към Кашчей Безсмъртния =)

б) Намерете насочващите вектори на правите:

Правите имат еднакъв насочващ вектор, което означава, че са успоредни или съвпадащи. Тук няма нужда да броим детерминантата.

Очевидно е, че коефициентите на неизвестните са пропорционални и .

Нека разберем дали равенството е вярно:

По този начин,

в) Намерете насочващите вектори на правите:

Нека изчислим детерминантата, съставена от координатите на тези вектори:
, следователно векторите на посоката са колинеарни. Правите са или успоредни, или съвпадащи.

Коефициентът на пропорционалност „ламбда“ се вижда лесно директно от съотношението на векторите на колинеарна посока. Но може да се намери и чрез коефициентите на самите уравнения: .

Сега нека разберем дали равенството е вярно. И двата безплатни термина са нула, така че:

Получената стойност удовлетворява това уравнение (всяко число като цяло го удовлетворява).

Така линиите съвпадат.

Отговор:

Много скоро ще се научите (или дори вече сте се научили) да решавате устно обсъждания проблем буквално за секунди. В тази връзка не виждам смисъл да предлагам нещо за независимо решение, по-добре е да поставите друга важна тухла в геометричната основа:

Как да построим права, успоредна на дадена?

Заради невежеството на това най-простата задачаСлавея Разбойника наказва сурово.

Пример 2

Правата линия е дадена от уравнението. Напишете уравнение за успоредна права, която минава през точката.

Решение: Нека означим неизвестния ред с буквата . Какво казва състоянието за нея? Правата минава през точката. И ако линиите са успоредни, тогава е очевидно, че векторът на посоката на правата линия "tse" също е подходящ за конструиране на правата линия "de".

Изваждаме вектора на посоката от уравнението:

Отговор:

Примерната геометрия изглежда проста:

Аналитичното тестване се състои от следните стъпки:

1) Проверяваме дали линиите имат еднакъв насочващ вектор (ако уравнението на правата не е опростено правилно, тогава векторите ще бъдат колинеарни).

2) Проверете дали точката удовлетворява полученото уравнение.

В повечето случаи аналитичното изследване може лесно да се извърши устно. Погледнете двете уравнения и много от вас бързо ще определят успоредността на линиите без никакъв чертеж.

Примерите за независими решения днес ще бъдат креативни. Защото все пак ще трябва да се състезавате с Баба Яга, а тя, знаете, е любител на всякакви гатанки.

Пример 3

Напишете уравнение за права, минаваща през точка, успоредна на правата, ако

Има рационален и не толкова рационален начин за решаването му. Най-краткият път е в края на урока.

Поработихме малко с успоредни прави и ще се върнем към тях по-късно. Случаят на съвпадащи линии не представлява голям интерес, така че нека разгледаме проблем, който ви е познат от училищна програма:

Как да намерим пресечната точка на две прави?

Ако прав пресичат в точка , тогава неговите координати са решението системи от линейни уравнения

Как да намерим пресечната точка на линиите? Решете системата.

Ето геометричен смисъл на системата от две линейни уравненияс две неизвестни- това са две пресичащи се (най-често) прави в равнина.

Пример 4

Намерете пресечната точка на линиите

Решение: Има два начина за решаване - графичен и аналитичен.

Графичният метод е просто да начертаете дадените линии и да намерите пресечната точка директно от чертежа:

Ето нашата гледна точка: . За да проверите, трябва да замените координатите му във всяко уравнение на линията, те трябва да пасват и там, и там. С други думи, координатите на точка са решение на системата. По същество разгледахме графично решение системи от линейни уравненияс две уравнения, две неизвестни.

Графичният метод, разбира се, не е лош, но има забележими недостатъци. Не, въпросът не е, че седмокласниците решават по този начин, въпросът е, че ще отнеме време, за да се създаде правилен и ТОЧЕН чертеж. Освен това някои прави линии не са толкова лесни за конструиране, а самата пресечна точка може да се намира някъде в тридесетото царство извън листа на тетрадката.

Следователно е по-целесъобразно пресечната точка да се търси с помощта на аналитичния метод. Нека решим системата:

За решаване на системата е използван методът на почленно събиране на уравнения. За да развиете подходящи умения, вземете урок Как се решава система от уравнения?

Отговор:

Проверката е тривиална - координатите на пресечната точка трябва да удовлетворяват всяко уравнение на системата.

Пример 5

Намерете пресечната точка на правите, ако се пресичат.

Това е пример, който можете да решите сами. Удобно е задачата да се раздели на няколко етапа. Анализът на състоянието предполага, че е необходимо:
1) Запишете уравнението на правата линия.
2) Запишете уравнението на правата линия.
3) Намерете относителната позиция на линиите.
4) Ако линиите се пресичат, намерете пресечната точка.

Разработването на алгоритъм за действие е типично за много геометрични задачи и аз многократно ще се фокусирам върху това.

Пълно решение и отговор в края на урока:

Дори чифт обувки не бяха износени, преди да стигнем до втория раздел на урока:

Перпендикулярни линии. Разстояние от точка до права.
Ъгъл между прави

Да започнем с една типична и много важна задача. В първата част се научихме как да изградим права линия, успоредна на тази, а сега колибата на пилешките крака ще се обърне на 90 градуса:

Как да построим права, перпендикулярна на дадена?

Пример 6

Правата линия е дадена от уравнението. Напишете уравнение, перпендикулярно на правата, минаваща през точката.

Решение: По условие е известно, че . Би било хубаво да се намери насочващият вектор на правата. Тъй като линиите са перпендикулярни, трикът е прост:

От уравнението „премахваме“ нормалния вектор: , който ще бъде насочващият вектор на правата линия.

Нека съставим уравнението на права линия, използвайки точка и насочващ вектор:

Отговор:

Нека разширим геометричната скица:

Хммм... Оранжево небе, оранжево море, оранжева камила.

Аналитична проверка на решението:

1) Изваждаме векторите на посоката от уравненията и с помощта скаларно произведение на вектористигаме до извода, че правите наистина са перпендикулярни: .

Между другото, можете да използвате нормални вектори, дори е по-лесно.

2) Проверете дали точката удовлетворява полученото уравнение .

Тестът отново е лесен за устно изпълнение.

Пример 7

Намерете пресечната точка на перпендикулярни прави, ако уравнението е известно и точка.

Това е пример, който можете да решите сами. Проблемът има няколко действия, така че е удобно решението да се формулира точка по точка.

Нашето вълнуващо пътешествие продължава:

Разстояние от точка до линия

Пред нас е права ивица от реката и нашата задача е да стигнем до нея по най-краткия път. Няма препятствия и най-оптималният маршрут ще бъде да се движите по перпендикуляра. Тоест разстоянието от точка до права е дължината на перпендикулярния сегмент.

Разстоянието в геометрията традиционно се означава с гръцката буква “rho”, например: – разстоянието от точката “em” до правата линия “de”.

Разстояние от точка до линия изразено с формулата

Пример 8

Намерете разстоянието от точка до права

Решение: всичко, което трябва да направите, е внимателно да замените числата във формулата и да извършите изчисленията:

Отговор:

Да направим чертежа:

Намереното разстояние от точката до правата е точно дължината на червения сегмент. Ако начертаете чертеж върху карирана хартия в мащаб 1 единица. = 1 см (2 клетки), тогава разстоянието може да се измери с обикновена линийка.

Нека разгледаме друга задача, базирана на същия чертеж:

Задачата е да се намерят координатите на точка, която е симетрична на точката спрямо правата . Предлагам сами да изпълните стъпките, но ще очертая алгоритъма за решение с междинни резултати:

1) Намерете права, която е перпендикулярна на правата.

2) Намерете пресечната точка на линиите: .

И двете действия са разгледани подробно в този урок.

3) Точката е средата на отсечката. Знаем координатите на средата и единия от краищата. от формули за координатите на средата на отсечканамираме .

Би било добра идея да проверите дали разстоянието също е 2,2 единици.

Тук може да възникнат трудности при изчисленията, но микрокалкулаторът е голяма помощ в кулата, позволявайки ви да изчислите обикновени дроби. Съветвал съм ви много пъти и ще ви препоръчам отново.

Как да намерим разстоянието между две успоредни прави?

Пример 9

Намерете разстоянието между две успоредни прави

Това е още един пример, който можете да решите сами. Ще ви дам малък намек: има безкрайно много начини за решаване на това. Дебрифинг в края на урока, но е по-добре да се опитате да познаете сами, мисля, че вашата изобретателност е добре развита.

Ъгъл между две прави

Всеки ъгъл е преграда:


В геометрията ъгълът между две прави линии се приема за ПО-МАЛКИ ъгъл, от което автоматично следва, че той не може да бъде тъп. На фигурата ъгълът, обозначен с червената дъга, не се счита за ъгъл между пресичащи се линии. И неговият „зелен“ съсед или противоположно ориентираникът "малина".

Ако правите са перпендикулярни, тогава всеки от 4-те ъгъла може да се приеме за ъгъл между тях.

Как се различават ъглите? Ориентация. Първо, от основно значение е посоката, в която ъгълът се „превърта“. Второ, отрицателно ориентиран ъгъл се записва със знак минус, например ако .

Защо ти казах това? Изглежда, че можем да се справим с обичайната концепция за ъгъл. Факт е, че формулите, по които ще намираме ъгли, лесно могат да дадат отрицателен резултат и това не трябва да ви изненадва. Ъгъл със знак минус не е по-лош и има много специфично геометрично значение. На чертежа, за отрицателен ъгъл, не забравяйте да посочите ориентацията му със стрелка (по часовниковата стрелка).

Как да намерим ъгъла между две прави?Има две работни формули:

Пример 10

Намерете ъгъла между линиите

РешениеИ Метод първи

Нека разгледаме две прави линии, определени от уравнения в общ вид:

Ако прав не перпендикулярно, Че ориентиранЪгълът между тях може да се изчисли по формулата:

Нека обърнем внимание на знаменателя - това е точно така скаларно произведениенасочващи вектори на прави линии:

Ако , тогава знаменателят на формулата става нула и векторите ще бъдат ортогонални и линиите ще са перпендикулярни. Ето защо беше направена резерва за неперпендикулярността на правите линии във формулировката.

Въз основа на горното е удобно решението да се формализира в две стъпки:

1) Нека изчислим скаларното произведение на векторите на посоката на линиите:
, което означава, че линиите не са перпендикулярни.

2) Намерете ъгъла между прави линии по формулата:

С помощта на обратната функция е лесно да се намери самият ъгъл. В този случай използваме нечетността на арктангенса (вижте. Графики и свойства на елементарни функции):

Отговор:

Във вашия отговор ние посочваме точната стойност, както и приблизителна стойност (за предпочитане както в градуси, така и в радиани), изчислена с помощта на калкулатор.

Е, минус, минус, нищо страшно. Ето геометрична илюстрация:

Не е изненадващо, че ъгълът се оказа с отрицателна ориентация, тъй като в постановката на задачата първото число е права линия и "отвиването" на ъгъла започва точно с него.

Ако наистина искате да получите положителен ъгъл, трябва да размените линиите, тоест да вземете коефициентите от второто уравнение и вземете коефициентите от първото уравнение. Накратко, трябва да започнете с директен .

Разстоянието от точка до права е дължината на перпендикуляра, прекаран от точката до правата. В дескриптивната геометрия се определя графично, като се използва алгоритъмът, даден по-долу.

Алгоритъм

1. Правата линия се премества до позиция, в която ще бъде успоредна на всяка проекционна равнина. За тази цел се използват методи за трансформиране на ортогонални проекции.
2. От точка се тегли перпендикуляр към права. Тази конструкция се основава на теоремата за проекцията на прав ъгъл.
3. Дължината на перпендикуляра се определя чрез трансформиране на неговите проекции или чрез използване на метода на правоъгълния триъгълник.

Следващата фигура показва сложна рисункаточка M и права b, определени от отсечката CD. Трябва да намерите разстоянието между тях.

Според нашия алгоритъм, първото нещо, което трябва да направите, е да преместите линията в позиция, успоредна на равнината на проекцията. Важно е да се разбере, че след като трансформациите са извършени, действителното разстояние между точката и линията не трябва да се променя. Ето защо тук е удобно да се използва методът за заместване на равнината, който не включва движещи се фигури в пространството.

Резултатите от първия етап на строителството са показани по-долу. Фигурата показва как се въвежда допълнителна фронтална равнина P 4, успоредна на b. IN нова система(P 1, P 4) точките C"" 1, D"" 1, M"" 1 са на същото разстояние от оста X 1 като C"", D"", M"" от оста X.

Изпълнявайки втората част на алгоритъма, от M"" 1 спускаме перпендикуляра M"" 1 N"" 1 към правата b"" 1, тъй като правият ъгъл MND между b и MN се проектира върху равнината P 4 инча естествен размер. С помощта на комуникационната линия определяме позицията на точка N" и извършваме проекцията M"N" на сегмента MN.

На последния етап трябва да определите размера на сегмента MN от неговите проекции M"N" и M"" 1 N"" 1. За това строим правоъгълен триъгълник M"" 1 N"" 1 N 0, чийто катет N"" 1 N 0 е равен на разликата (Y M 1 – Y N 1) на разстоянието на точките M" и N" от оста X 1. Дължината на хипотенузата M"" 1 N 0 на триъгълника M"" 1 N"" 1 N 0 съответства на желаното разстояние от M до b.

Второ решение

• Успоредно на CD въвеждаме нова фронтална равнина P 4. Тя пресича P 1 по оста X 1 и X 1 ∥C"D". В съответствие с метода на заместване на равнини, ние определяме проекциите на точки C"" 1, D"" 1 и M"" 1, както е показано на фигурата.
• Перпендикулярно на C"" 1 D"" 1 изграждаме допълнителна хоризонтална равнина P 5, върху която права b се проектира към точка C" 2 = b" 2.
• Разстоянието между точка M и линия b се определя от дължината на отсечката M" 2 C" 2, означена в червено.

Подобни задачи:

Тази статия говори по темата « разстояние от точка до права », Обсъжда определянето на разстоянието от точка до права с илюстрирани примери с помощта на координатния метод. Всеки теоретичен блок в края показва примери за решаване на подобни проблеми.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Разстоянието от точка до права се намира чрез определяне на разстоянието от точка до точка. Нека да разгледаме по-отблизо.

Нека има права a и точка M 1, която не принадлежи на дадената права. През него прекарваме права b, разположена перпендикулярно на правата a. Нека вземем пресечната точка на линиите като H 1. Получаваме, че M 1 H 1 е перпендикуляр, който е спуснат от точка M 1 до права линия a.

Определение 1

Разстояние от точка M 1 до права линия aсе нарича разстоянието между точките M1 и H1.

Има определения, които включват дължината на перпендикуляра.

Определение 2

Разстояние от точка до линияе дължината на перпендикуляра, прекаран от дадена точка към дадена права.

Дефинициите са еквивалентни. Разгледайте фигурата по-долу.

Известно е, че разстоянието от точка до права е най-малкото от всички възможни. Нека да разгледаме това с пример.

Ако вземем точка Q, лежаща на права линия a, която не съвпада с точката M 1, тогава получаваме, че сегментът M 1 Q се нарича наклонен сегмент, спуснат от M 1 до права линия a. Необходимо е да се посочи, че перпендикулярът от точка M 1 е по-малък от всяка друга наклонена линия, изтеглена от точката до правата линия.

За да докажете това, разгледайте триъгълника M 1 Q 1 H 1, където M 1 Q 1 е хипотенузата. Известно е, че дължината му винаги е по-голяма от дължината на който и да е от краката. Това означава, че имаме M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Изходните данни за намиране от точка до права позволяват използването на няколко метода за решаване: чрез Питагоровата теорема, определяне на синус, косинус, тангенс на ъгъл и други. Повечето задачи от този тип се решават в училище по време на часовете по геометрия.

Когато при намиране на разстоянието от точка до линия е възможно да се въведе правоъгълна координатна система, тогава се използва координатният метод. В този параграф ще разгледаме основните два метода за намиране на необходимото разстояние от дадена точка.

Първият метод включва търсене на разстоянието като перпендикуляр, прекаран от M 1 към права линия a. Вторият метод използва нормалното уравнение на права линия a, за да намери необходимото разстояние.

Ако в равнината има точка с координати M 1 (x 1 , y 1), разположена в правоъгълна координатна система, права линия a, и трябва да намерите разстоянието M 1 H 1, можете да направите изчислението в две начини. Нека да ги разгледаме.

Първи начин

Ако има координати на точка H 1, равни на x 2, y 2, тогава разстоянието от точката до линията се изчислява с помощта на координатите от формулата M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - у 1) 2.

Сега нека да преминем към намирането на координатите на точка H 1.

Известно е, че права линия в O x y съответства на уравнението на права линия в равнината. Нека вземем метода за дефиниране на права линия a, като напишем общо уравнение на права линия или уравнение с ъглов коефициент. Съставяме уравнението на права линия, която минава през точка M 1 перпендикулярно на дадена права a. Нека означим правата линия с буквата b. H 1 е пресечната точка на линиите a и b, което означава, че за да определите координатите, трябва да използвате статията, в която ние говорим заотносно координатите на пресечните точки на две прави.

Вижда се, че алгоритъмът за намиране на разстоянието от дадена точка M 1 (x 1, y 1) до права линия a се извършва според точките:

Определение 3

• намиране на общото уравнение на права линия a, имащо формата A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, или уравнение с ъглов коефициент, имащо формата y = k 1 x + b 1;
• получаване на общо уравнение на права b, имащо формата A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 или уравнение с ъглов коефициент y = k 2 x + b 2, ако правата b пресича точка M 1 и е перпендикулярна на дадена линия a;
• определяне на координатите x 2, y 2 на точката H 1, която е пресечната точка на a и b, за целта се решава системата от линейни уравнения A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 или y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2 ;
• изчисляване на необходимото разстояние от точка до линия по формулата M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Втори начин

Теоремата може да помогне да се отговори на въпроса за намиране на разстоянието от дадена точка до дадена права линия в равнина.

Теорема

Правоъгълната координатна система има O x y има точка M 1 (x 1, y 1), от която е начертана права линия към равнината, дадена от нормалното уравнение на равнината, имаща формата cos α x + cos β y - p = 0, равно на Абсолютната стойност, получена от лявата страна на нормалното уравнение на правата, изчислена при x = x 1, y = y 1, означава, че M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p.

Доказателство

Правата a съответства на нормалното уравнение на равнината, имащо формата cos α x + cos β y - p = 0, тогава n → = (cos α, cos β) се счита за нормален вектор на права a на разстояние от начало към линия a с p единици. Необходимо е да се покажат всички данни на фигурата, добавете точка с координати M 1 (x 1, y 1), където радиус векторът на точката M 1 - O M 1 → = (x 1, y 1). Необходимо е да начертаете права линия от точка до права линия, която обозначаваме като M 1 H 1 . Необходимо е да се покажат проекциите M 2 и H 2 на точките M 1 и H 2 върху права линия, минаваща през точка O с насочен вектор под формата n → = (cos α, cos β), и да се обозначи числена проекция на вектора като O M 1 → = (x 1, y 1) към посоката n → = (cos α , cos β) като n p n → O M 1 → .

Вариациите зависят от местоположението на самата точка М1. Нека погледнем фигурата по-долу.

Фиксираме резултатите с помощта на формулата M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p. След това привеждаме равенството към тази форма M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p, за да получим n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 .

Скаларното произведение на векторите води до трансформирана формула от вида n → , O M → 1 = n → · n p n → O M 1 → = 1 · n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → , което е произведение в координатна форма под формата n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Това означава, че получаваме, че n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . От това следва, че M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p. Теоремата е доказана.

Откриваме, че за да намерите разстоянието от точка M 1 (x 1 , y 1) до права линия a в равнината, трябва да извършите няколко действия:

Определение 4

• получаване на нормалното уравнение на правата a cos α · x + cos β · y - p = 0, при положение, че не е в задачата;
• изчисляване на израза cos α · x 1 + cos β · y 1 - p, където получената стойност приема M 1 H 1.

Нека приложим тези методи за решаване на задачи с намиране на разстоянието от точка до равнина.

Пример 1

Намерете разстоянието от точката с координати M 1 (- 1, 2) до правата линия 4 x - 3 y + 35 = 0.

Решение

Нека използваме първия метод за решаване.

За да направите това, трябва да намерите общо уравнениеправа b, която минава през дадена точка M 1 (- 1, 2), перпендикулярна на правата 4 x - 3 y + 35 = 0. От условието става ясно, че правата b е перпендикулярна на правата a, тогава нейният насочен вектор има координати, равни на (4, - 3). По този начин имаме възможност да запишем каноничното уравнение на правата b в равнината, тъй като има координати на точката M 1, която принадлежи на права b. Да определим координатите на насочващия вектор на правата b. Получаваме, че x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3. Полученото канонично уравнение трябва да се преобразува в общо. Тогава разбираме това

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 · (x + 1) = 4 · (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

Нека намерим координатите на точките на пресичане на линиите, които ще приемем за обозначение H 1. Трансформациите изглеждат така:

4 x - 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5

От написаното по-горе имаме, че координатите на точка H 1 са равни на (- 5; 5).

Необходимо е да се изчисли разстоянието от точка M 1 до права линия a. Имаме, че координатите на точките M 1 (- 1, 2) и H 1 (- 5, 5), след което ги заместваме във формулата, за да намерим разстоянието и да получим това

M 1 H 1 = (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 = 25 = 5

Второ решение.

За да се реши по друг начин, е необходимо да се получи нормалното уравнение на правата. Изчисляваме стойността на нормализиращия коефициент и умножаваме двете страни на уравнението 4 x - 3 y + 35 = 0. От тук получаваме, че нормализиращият коефициент е равен на - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5, а нормалното уравнение ще бъде във формата - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0 .

Според алгоритъма за изчисление е необходимо да се получи нормалното уравнение на линията и да се изчисли със стойностите x = - 1, y = 2. Тогава разбираме това

4 5 · - 1 + 3 5 · 2 - 7 = - 5

От това получаваме, че разстоянието от точка M 1 (- 1, 2) до дадената права линия 4 x - 3 y + 35 = 0 има стойност - 5 = 5.

Отговор: 5 .

Вижда се, че при този метод е важно да се използва нормалното уравнение на правата, тъй като този метод е най-краткият. Но първият метод е удобен, защото е последователен и логичен, въпреки че има повече изчислителни точки.

Пример 2

На равнината има правоъгълна координатна система O x y с точка M 1 (8, 0) и права линия y = 1 2 x + 1. Намерете разстоянието от дадена точка до права линия.

Решение

Решаването по първия начин включва редуциране на дадено уравнение с наклон към уравнението общ изглед. За да опростите нещата, можете да го направите по различен начин.

Ако произведението на ъгловите коефициенти на перпендикулярни прави линии има стойност - 1, тогава наклонправата, перпендикулярна на дадената y = 1 2 x + 1 има стойност 2. Сега получаваме уравнението на права, минаваща през точка с координати M 1 (8, 0). Имаме, че y - 0 = - 2 · (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 .

Продължаваме с намирането на координатите на точка H 1, т.е. пресечните точки y = - 2 x + 16 и y = 1 2 x + 1. Съставяме система от уравнения и получаваме:

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 · 6 + 1 x = 6 = y = 4 x = 6 ⇒ H 1 (6, 4)

От това следва, че разстоянието от точката с координати M 1 (8, 0) до правата линия y = 1 2 x + 1 е равно на разстоянието от началната точка и крайната точка с координати M 1 (8, 0) и H 1 (6, 4) . Нека изчислим и намерим, че M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5.

Решението по втория начин е да се премине от уравнение с коефициент към неговата нормална форма. Тоест, получаваме y = 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 = 0, тогава стойността на нормализиращия фактор ще бъде - 1 1 2 2 + (- 1) 2 = - 2 5. От това следва, че нормалното уравнение на правата приема формата - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0. Нека извършим изчислението от точка M 1 8, 0 до линия от формата - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0. Получаваме:

M 1 H 1 = - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 = - 10 5 = 2 5

Отговор: 2 5 .

Пример 3

Необходимо е да се изчисли разстоянието от точката с координати M 1 (- 2, 4) до линиите 2 x - 3 = 0 и y + 1 = 0.

Решение

Получаваме уравнението на нормалната форма на правата линия 2 x - 3 = 0:

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0

След това пристъпваме към изчисляване на разстоянието от точката M 1 - 2, 4 до правата линия x - 3 2 = 0. Получаваме:

M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

Уравнението на правата линия y + 1 = 0 има нормализиращ фактор със стойност, равна на -1. Това означава, че уравнението ще приеме формата - y - 1 = 0. Пристъпваме към изчисляване на разстоянието от точката M 1 (- 2, 4) до правата линия - y - 1 = 0. Откриваме, че е равно на - 4 - 1 = 5.

Отговор: 3 1 2 и 5.

Нека разгледаме по-отблизо намирането на разстоянието от дадена точка на равнината до координатни оси O x и O y.

В правоъгълна координатна система оста O има уравнение на права линия, което е непълно и има формата x = 0 и O x - y = 0. Уравненията са нормални за координатните оси, тогава е необходимо да се намери разстоянието от точката с координати M 1 x 1, y 1 до линиите. Това се прави въз основа на формулите M 1 H 1 = x 1 и M 1 H 1 = y 1. Нека погледнем фигурата по-долу.

Пример 4

Намерете разстоянието от точката M 1 (6, - 7) до координатните линии, разположени в равнината O x y.

Решение

Тъй като уравнението y = 0 се отнася до правата O x, можем да намерим разстоянието от M 1 s дадени координати, към тази права линия с помощта на формулата. Получаваме, че 6 = 6.

Тъй като уравнението x = 0 се отнася за правата линия O y, можете да намерите разстоянието от M 1 до тази права линия, като използвате формулата. Тогава получаваме това - 7 = 7.

Отговор:разстоянието от M 1 до O x има стойност 6, а от M 1 до O y има стойност 7.

Когато в тримерното пространство имаме точка с координати M 1 (x 1, y 1, z 1), е необходимо да се намери разстоянието от точка A до права линия a.

Нека разгледаме два метода, които ви позволяват да изчислите разстоянието от точка до права линия a, разположена в пространството. Първият случай разглежда разстоянието от точка M 1 до права, където точка от правата се нарича H 1 и е основата на перпендикуляр, прекаран от точка M 1 към права a. Вторият случай предполага, че точките на тази равнина трябва да се търсят като височина на успоредника.

Първи начин

От дефиницията имаме, че разстоянието от точка M 1, разположена на права линия a, е дължината на перпендикуляра M 1 H 1, тогава получаваме това с намерените координати на точка H 1, след което намираме разстоянието между M 1 ( x 1, y 1, z 1 ) и H 1 (x 1 , y 1 , z 1) , въз основа на формулата M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 12.

Откриваме, че цялото решение отива към намиране на координатите на основата на перпендикуляра, прекаран от M 1 към правата a. Това се прави по следния начин: H 1 е точката, в която права линия a се пресича с равнината, която минава през дадената точка.

Това означава, че алгоритъмът за определяне на разстоянието от точка M 1 (x 1, y 1, z 1) до линия a в пространството предполага няколко точки:

Определение 5

• съставяне на уравнението на равнината χ като уравнение на равнината, минаваща през дадена точка, разположена перпендикулярно на правата;
• определяне на координатите (x 2, y 2, z 2), принадлежащи на точката H 1, която е пресечната точка на права линия a и равнина χ;
• изчисляване на разстоянието от точка до линия по формулата M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2.

Втори начин

От условието имаме права линия a, тогава можем да определим насочващия вектор a → = a x, a y, a z с координати x 3, y 3, z 3 и определена точка M 3, принадлежаща на права a. Ако имате координатите на точките M 1 (x 1, y 1) и M 3 x 3, y 3, z 3, можете да изчислите M 3 M 1 →:

M 3 M 1 → = (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)

Трябва да отделим векторите a → = a x , a y , a z и M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 от точката M 3 , да ги свържем и да получим успоредник фигура. M 1 H 1 е височината на успоредника.

Нека погледнем фигурата по-долу.

Имаме, че височината M 1 H 1 е необходимото разстояние, тогава е необходимо да го намерим по формулата. Тоест търсим M 1 H 1.

Нека обозначим площта на успоредника с буквата S, намерена по формулата с помощта на вектора a → = (a x, a y, a z) и M 3 M 1 → = x 1 - x 3. y 1 - y 3, z 1 - z 3. Формулата за площ е S = a → × M 3 M 1 → . Освен това площта на фигурата е равна на произведението на дължините на страните и височината, получаваме, че S = a → · M 1 H 1 с a → = a x 2 + a y 2 + a z 2, което е дължината на вектора a → = (a x, a y, a z), която е равна на страната на успоредника. Това означава, че M 1 H 1 е разстоянието от точката до правата. Намира се по формулата M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

За да намерите разстоянието от точка с координати M 1 (x 1, y 1, z 1) до права линия a в пространството, трябва да изпълните няколко стъпки от алгоритъма:

Определение 6

• определяне на насочващия вектор на правата a - a → = (a x, a y, a z);
• изчисляване на дължината на насочващия вектор a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ;
• получаване на координати x 3 , y 3 , z 3, принадлежащи на точка M 3, разположена на права линия a;
• изчисляване на координатите на вектора M 3 M 1 → ;
• намиране на векторното произведение на векторите a → (a x, a y, a z) и M 3 M 1 → = x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 като a → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 за получаване на дължината по формулата a → × M 3 M 1 → ;
• изчисляване на разстоянието от точка до права M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Решаване на задачи за намиране на разстоянието от дадена точка до дадена права в пространството

Намерете разстоянието от точката с координати M 1 2, - 4, - 1 до правата x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5.

Решение

Първият метод започва с написването на уравнението на равнината χ, минаваща през M 1 и перпендикулярна на дадена точка. Получаваме израз като:

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Необходимо е да се намерят координатите на точката H 1, която е точката на пресичане с равнината χ на линията, определена от условието. Трябва да преминете от каноничния изглед към пресичащия се. Тогава получаваме система от уравнения от вида:

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 · (x + 1) = 2 · y 5 · (x + 1) = 2 · (z + 5) 5 · y = - 1 · (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Необходимо е да се изчисли системата x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3 по метода на Крамър, тогава получаваме, че:

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ = 0 - 60 = 0

От тук имаме, че H 1 (1, - 1, 0).

M 1 H 1 = 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 = 11

Вторият метод трябва да започне с търсене на координати в каноничното уравнение. За да направите това, трябва да обърнете внимание на знаменателите на фракцията. Тогава a → = 2, - 1, 5 е векторът на посоката на правата x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5. Необходимо е да се изчисли дължината по формулата a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30.

Ясно е, че правата x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 пресича точката M 3 (- 1 , 0 , - 5), следователно имаме, че векторът с начало M 3 (- 1 , 0 , - 5) и неговият край в точката M 1 2, - 4, - 1 е M 3 M 1 → = 3, - 4, 4. Намерете векторното произведение a → = (2, - 1, 5) и M 3 M 1 → = (3, - 4, 4).

Получаваме израз във формата a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 · j → = 16 · i → + 7 · j → - 5 · k →

откриваме, че дължината на векторното произведение е равна на a → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330.

Имаме всички данни, за да използваме формулата за изчисляване на разстоянието от точка за права линия, така че нека я приложим и да получим:

M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11

Отговор: 11 .

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter