Между корените и коефициентите на квадратно уравнение, в допълнение към коренните формули, има други полезни връзки, които са дадени Теорема на Виета. В тази статия ще дадем формулировка и доказателство на теоремата на Виета за квадратно уравнение. След това разглеждаме теоремата, обратна на теоремата на Виета. След това ще анализираме решенията на най-типичните примери. Накрая записваме формулите на Vieta, които определят връзката между реалните корени алгебрично уравнениестепен n и нейните коефициенти.

Навигация в страницата.

Теорема на Виета, формулировка, доказателство

От формулите на корените на квадратното уравнение a·x 2 +b·x+c=0 от вида, където D=b 2 −4·a·c следват следните съотношения: x 1 +x 2 =− b/a, x 1 ·x 2 = c/a. Тези резултати се потвърждават Теорема на Виета:

Теорема.

Ако x 1 и x 2 са корените на квадратното уравнение a x 2 +b x+c=0, тогава сумата от корените е равна на отношението на коефициентите b и a, взети от противоположен знак, а произведението на корените е равно на отношението на коефициентите c и a, т.е.

Доказателство.

Ще проведем доказателството на теоремата на Виета по следната схема: съставяме сумата и произведението на корените на квадратното уравнение с помощта на известни коренни формули, след което трансформираме получените изрази и се уверяваме, че те са равни на −b/ a и c/a, съответно.

Да започнем със сбора на корените и да го съставим. Сега намаляваме дробите до общ знаменател, имаме . В числителя на получената дроб, след което:. Накрая, след 2, получаваме . Това доказва първата връзка от теоремата на Виета за сумата от корените на квадратно уравнение. Да преминем към второто.

Съставяме произведението на корените на квадратното уравнение: . Според правилото за умножение на дроби, последно парчеможе да се запише като . Сега умножаваме скоба по скоба в числителя, но е по-бързо да свием този продукт с формула за квадратна разлика, така че След това, спомняйки си, извършваме следващия преход. И тъй като дискриминантът на квадратното уравнение съответства на формулата D=b 2 −4·a·c, тогава вместо D в последната дроб можем да заместим b 2 −4·a·c, получаваме. След отваряне на скоби и кастинг подобни условиястигаме до дробта , а намаляването й с 4·a дава . Това доказва второто отношение на теоремата на Виета за произведението на корените.

Ако пропуснем обясненията, доказателството на теоремата на Виета ще приеме лаконична форма:
,
.

Остава само да се отбележи, че ако дискриминантът е равен на нула, квадратното уравнение има един корен. Но ако приемем, че уравнението в този случай има два еднакви корена, то равенствата от теоремата на Виета също са в сила. Наистина, когато D=0 коренът на квадратното уравнение е равен на , тогава и , и тъй като D=0, т.е. b 2 −4·a·c=0, откъдето b 2 =4·a·c, тогава .

На практика теоремата на Vieta най-често се използва във връзка с редуцираното квадратно уравнение (с водещ коефициент a равен на 1) от вида x 2 +p·x+q=0. Понякога се формулира само за квадратни уравнения от този тип, което не ограничава общото, тъй като всяко квадратно уравнение може да бъде заменено с еквивалентно уравнение чрез разделяне на двете страни на различно от нула число a. Нека дадем съответната формулировка на теоремата на Виета:

Теорема.

Сумата от корените на редуцираното квадратно уравнение x 2 +p x+q=0 е равна на коефициента на x, взет с противоположния знак, а произведението на корените е равно на свободния член, т.е. x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 = q.

Теорема, обратна на теоремата на Виета

Втората формулировка на теоремата на Vieta, дадена в предишния параграф, показва, че ако x 1 и x 2 са корените на редуцираното квадратно уравнение x 2 +p x+q=0, тогава отношенията x 1 +x 2 =−p , x 1 x 2 =q. От друга страна, от записаните отношения x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q следва, че x 1 и x 2 са корените на квадратното уравнение x 2 +p x+q=0. С други думи, обратното на теоремата на Виета е вярно. Нека го формулираме под формата на теорема и го докажем.

Теорема.

Ако числата x 1 и x 2 са такива, че x 1 +x 2 =−p и x 1 · x 2 =q, тогава x 1 и x 2 са корените на редуцираното квадратно уравнение x 2 +p · x+q =0.

Доказателство.

След замяна на коефициентите p и q в уравнението x 2 +p·x+q=0 с техните изрази чрез x 1 и x 2, то се трансформира в еквивалентно уравнение.

Нека заместим числото x 1 вместо x в полученото уравнение и имаме равенството x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0, което за всяко x 1 и x 2 представлява правилното числено равенство 0=0, тъй като x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 ·x 1 +x 1 ·x 2 =0. Следователно x 1 е коренът на уравнението x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, което означава, че x 1 е коренът на еквивалентното уравнение x 2 +p·x+q=0.

Ако в уравнението x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0заместваме числото x 2 вместо x, получаваме равенството x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 =0. Това е истинско равенство, тъй като x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 ·x 2 −x 2 2 +x 1 ·x 2 =0. Следователно x 2 също е корен на уравнението x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, и следователно уравненията x 2 +p·x+q=0.

Това завършва доказателството на теоремата, обратна на теорематаВиета.

Примери за използване на теоремата на Vieta

Време е да поговорим за практическото приложение на теоремата на Виета и обратната й теорема. В този раздел ще анализираме решения на няколко от най-типичните примери.

Нека започнем с прилагането на теоремата, обратна на теоремата на Виета. Удобно е да се използва за проверка дали дадени две числа са корени на дадено квадратно уравнение. В този случай се изчислява тяхната сума и разлика, след което се проверява валидността на отношенията. Ако и двете от тези отношения са изпълнени, тогава по силата на теоремата, обратна на теоремата на Виета, се заключава, че тези числа са корените на уравнението. Ако поне едно от отношенията не е изпълнено, тогава тези числа не са корените на квадратното уравнение. Този подход може да се използва при решаване на квадратни уравнения за проверка на намерените корени.

Пример.

Коя от двойките числа 1) x 1 =−5, x 2 =3 или 2) или 3) е двойка корени на квадратното уравнение 4 x 2 −16 x+9=0?

Решение.

Коефициентите на даденото квадратно уравнение 4 x 2 −16 x+9=0 са a=4, b=−16, c=9. Според теоремата на Виета сумата от корените на квадратно уравнение трябва да е равна на −b/a, т.е. 16/4=4, а произведението на корените трябва да е равно на c/a, т.е. 9 /4.

Сега нека изчислим сумата и произведението на числата във всяка от трите дадени двойки и да ги сравним със стойностите, които току-що получихме.

В първия случай имаме x 1 +x 2 =−5+3=−2. Получената стойност е различна от 4, така че не може да се извърши допълнителна проверка, но използвайки теоремата, обратна на теоремата на Виета, може веднага да се заключи, че първата двойка числа не е двойка корени на даденото квадратно уравнение.

Да преминем към втория случай. Ето, че първото условие е изпълнено. Проверяваме второто условие: получената стойност е различна от 9/4. Следователно втората двойка числа не е двойка корени на квадратното уравнение.

Остана един последен случай. Тук и. И двете условия са изпълнени, така че тези числа x 1 и x 2 са корените на даденото квадратно уравнение.

отговор:

Обратното на теоремата на Виета може да се използва на практика за намиране на корените на квадратно уравнение. Обикновено се избират цели корени на дадените квадратни уравнения с цели коефициенти, тъй като в други случаи това е доста трудно да се направи. В този случай те използват факта, че ако сумата от две числа е равна на втория коефициент на квадратно уравнение, взето със знак минус, и произведението на тези числа е равно на свободния член, тогава тези числа са корени на това квадратно уравнение. Нека разберем това с пример.

Нека вземем квадратното уравнение x 2 −5 x+6=0. За да бъдат числата x 1 и x 2 корени на това уравнение, трябва да са изпълнени две равенства: x 1 + x 2 =5 и x 1 · x 2 =6. Остава само да изберете такива числа. IN в този случайтова е доста лесно да се направи: такива числа са 2 и 3, тъй като 2+3=5 и 2·3=6. Така 2 и 3 са корените на това квадратно уравнение.

Теоремата, обратна на теоремата на Виета, е особено удобна за използване за намиране на втория корен на редуцирано квадратно уравнение, когато един от корените вече е известен или очевиден. В този случай вторият корен може да бъде намерен от всяка една от релациите.

Например, нека вземем квадратното уравнение 512 x 2 −509 x −3=0. Тук е лесно да се види, че единицата е коренът на уравнението, тъй като сумата от коефициентите на това квадратно уравнение е равна на нула. Така че x 1 =1. Вторият корен x 2 може да се намери например от връзката x 1 ·x 2 =c/a. Имаме 1 x 2 =−3/512, от което x 2 =−3/512. Ето как определихме двата корена на квадратното уравнение: 1 и −3/512.

Ясно е, че изборът на корени е препоръчителен само в най-простите случаи. В други случаи, за да намерите корени, можете да използвате формули за корените на квадратно уравнение чрез дискриминант.

Още нещо практическо приложениеТеоремата, обратна на теоремата на Виета, се състои в съставяне на квадратни уравнения с дадени корени x 1 и x 2. За да направите това, достатъчно е да изчислите сумата от корените, която дава коефициента на x с противоположен знак на даденото квадратно уравнение, и произведението на корените, което дава свободния член.

Пример.

Напишете квадратно уравнение, чиито корени са −11 и 23.

Решение.

Нека означим x 1 =−11 и x 2 =23. Изчисляваме сумата и произведението на тези числа: x 1 +x 2 =12 и x 1 ·x 2 =−253. Следователно посочените числа са корените на редуцираното квадратно уравнение с втори коефициент −12 и свободен член −253. Тоест x 2 −12·x−253=0 е търсеното уравнение.

отговор:

x 2 −12·x−253=0 .

Теоремата на Vieta се използва много често при решаване на задачи, свързани със знаците на корените на квадратни уравнения. Как теоремата на Виета е свързана със знаците на корените на редуцираното квадратно уравнение x 2 +p·x+q=0? Ето две уместни твърдения:

• Ако свободният член q е положително числои ако едно квадратно уравнение има реални корени, тогава или и двете са положителни, или и двете отрицателни.
• Ако свободният член q е отрицателно число и ако квадратното уравнение има реални корени, тогава техните знаци са различни, с други думи, единият корен е положителен, а другият е отрицателен.

Тези твърдения следват от формулата x 1 · x 2 =q, както и правилата за положително умножение, отрицателни числаи числа с различни знаци. Нека да разгледаме примери за тяхното приложение.

Пример.

R е положителен. Използвайки дискриминантната формула намираме D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8, стойността на израза r 2 +8 е положителен за всяко реално r, следователно D>0 за всяко реално r. Следователно първоначалното квадратно уравнение има два корена за всяко реални стойностипараметър r.

Сега нека разберем кога имат корените различни знаци. Ако знаците на корените са различни, тогава техният продукт е отрицателен и според теоремата на Vieta продуктът на корените на редуцираното квадратно уравнение е равен на свободния член. Следователно, ние се интересуваме от тези стойности на r, за които свободният член r−1 е отрицателен. По този начин, за да намерим стойностите на r, които ни интересуват, имаме нужда реши линейно неравенство r−1<0 , откуда находим r<1 .

отговор:

при r<1 .

Виета формули

По-горе говорихме за теоремата на Виета за квадратно уравнение и анализирахме връзките, които тя твърди. Но има формули, свързващи реалните корени и коефициенти не само на квадратни уравнения, но и на кубични уравнения, уравнения от четвърта степен и като цяло, алгебрични уравнениястепен n. Те се наричат Формулите на Виета.

Нека напишем формулата на Vieta за алгебрично уравнение от степен n на формата и ще приемем, че то има n реални корена x 1, x 2, ..., x n (сред тях може да има съвпадащи):

Могат да се получат формулите на Vieta теорема за разлагането на полином на линейни множители, както и дефинирането на равни полиноми чрез равенството на всичките им съответни коефициенти. Така че полиномът и неговото разлагане на линейни множители на формата са равни. Отваряйки скобите в последния продукт и приравнявайки съответните коефициенти, получаваме формулите на Vieta.

По-специално, за n=2 имаме вече познатите формули на Vieta за квадратно уравнение.

За кубично уравнение формулите на Виета имат формата

Остава само да се отбележи, че от лявата страна на формулите на Виета има така наречените елементарни симетрични полиноми.

Референции.

• Алгебра:учебник за 8 клас. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; редактиран от С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М.: Образование, 2008. - 271 с. : болен. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордкович А. Г.Алгебра. 8 клас. В 2 ч. Част 1. Учебник за ученици от общообразователни институции / А. Г. Мордкович. - 11-то изд., изтрито. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Алгебраи началото на математическия анализ. 10. клас: учебник. за общо образование институции: основни и профилни. нива / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; редактиран от А. Б. Жижченко. - 3-то изд. - М .: Образование, 2010.- 368 с. : болен. - ISBN 978-5-09-022771-1.

Определянето на сумата от корените на уравнение е една от необходимите стъпки при решаване на квадратни уравнения (уравнения от вида ax² + bx + c = 0, където показателите a, b и c са произволни числа, а a ? 0) с подкрепата на теоремата на Виета.

Инструкции

1. Напишете квадратното уравнение като ax² + bx + c = 0 Пример: Първоначално уравнение: 12 + x² = 8x Правилно написано уравнение: x² - 8x + 12 = 0

2. Приложете теоремата на Виета, според която сумата от корените на уравнението ще бъде равна на числото “b”, взето с обратен знак, а произведението им ще бъде равно на числото “c”.Пример: В разглежданото уравнение , b = -8, c = 12, съответно: x1 + x2 =8×1∗x2=12

3. Разберете дали корените на уравненията са правилни или отрицателни числа. Ако и произведението, и сумата от корените са положителни числа, всички корени са валидно число. Ако произведението на корените е редовно и сборът на корените е отрицателно число, тогава и двата корена са отрицателни. Ако произведението на корените е отрицателно, тогава единият корен има знак „+“, а другият има знак „-“. В този случай трябва да използвате допълнително правило: „Ако сумата на корените е положителна число, по-големият корен по модул също е положителен, а ако сборът от корените е отрицателно число, коренът е с по-голям модул - отрицателен.” Пример: В разглежданото уравнение и сумата, и произведението са правилни числа : 8 и 12, което означава, че и двата корена са положителни числа.

4. Решете получената система от уравнения, като изберете корените. Ще бъде по-удобно да започнете избора с множители и след това, за да проверите, заменете всяка двойка множители във второто уравнение и проверете дали сумата от тези корени съответства на решението. Пример: x1∗x2=12 Подходящи двойки от корените ще бъдат съответно: 12 и 1, 6 и 2, 4 и 3. Проверете получените двойки с помощта на уравнението x1+x2=8. Двойки 12 + 1 ≠ 86 + 2 = 84 + 3 ≠ 8 Съответно, корените на уравнението са числата 6 и 8.

Уравнението е равенство във формата f(x,y,…)=g(x,y,..), където f и g са функции на една или повече променливи. Да откриеш корена на едно уравнение означава да откриеш набор от аргументи, в които това равенство е изпълнено.

Ще ви трябва

• Познания по математически преглед.

Инструкции

1. Възможно е да имате уравнение от вида: x+2=x/5. Първо, нека преместим всички компоненти на това равенство от дясната страна наляво, променяйки знака на компонента на противоположния. Ще има нула от дясната страна на това уравнение, тоест получаваме следното: x+2-x/5 = 0.

2. Нека представим подобни термини. Получаваме следното: 4x/5 + 2 = 0.

3. След това от полученото редуцирано уравнение ще намерим неизвестния член, в този случай той е x. Получената стойност на неизвестната променлива ще бъде решението на първоначалното уравнение. В този случай получаваме следното: x = -2,5.

Видео по темата

Обърнете внимание!
В резултат на решението могат да се появят допълнителни корени. Те няма да бъдат решение на първоначалното уравнение, дори ако сте решили всичко положително. Не забравяйте да проверите всички решения, които получавате.

Полезни съвети
Винаги проверявайте получените стойности за неизвестни. Това може да стане просто чрез заместване на получената стойност в първоначалното уравнение. Ако равенството е правилно, тогава решението е правилно.

Теоремата на Виета установява пряка връзка между корените (x1 и x2) и показателите (b и c, d) на уравнение от типа bx2+cx+d=0. С помощта на тази теорема е възможно, без да се определя значението на корените, да се изчисли тяхната сума, смело казано, наум. В това няма нищо трудно, основното е да знаете някои правила.

Ще ви трябва

• - калкулатор;
• - хартия за бележки.

Инструкции

1. Приведете изследваното квадратно уравнение в стандартна форма, така че всички експоненти да са в низходящ ред, тоест първо най-високата степен е x2, а накрая нулевата степен е x0. Уравнението ще приеме формата: b*x2 + c*x1 + d*x0 = b*x2 + c*x + d = 0.

2. Проверете неотрицателността на дискриминанта. Тази проверка е необходима, за да се уверите, че уравнението има корени. D (дискриминант) приема формата: D = c2 – 4*b*d. Тук има няколко варианта. D – дискриминант – правилно, което означава, че уравнението има два корена. D е равно на нула, следва, че има корен, но той е двойствен, тоест x1 = x2. D е отрицателно, за училищен курс по алгебра това условие означава, че няма корени, за висша математика има корени, но те са сложни.

3. Определете сумата от корените на уравнението. Използвайки теоремата на Vieta, това е лесно да се направи: b*x2+c*x+d = 0. Сумата от корените на уравнението е право пропорционална на “–c” и обратно пропорционална на степента “b”. А именно, x1+x2 = -c/b. Определете произведението на корените по формулировката - произведението на корените на уравнението е право пропорционално на “d” и обратно пропорционално на показателя “b”: x1*x2 = d/b.

Обърнете внимание!
Ако получите отрицателен дискриминант, това не означава, че няма корени. Това означава, че корените на уравнението са така наречените комплексни корени. Теоремата на Vieta също е приложима в този случай, но нейната форма ще бъде леко променена: [-c+(-i)*(-c2 + 4*b*d)0.5]/ = x1,2

Полезни съвети
Ако не сте изправени пред квадратно уравнение, а пред кубично уравнение или уравнение от степен n: b0*xn + b1*xn-1 +…..+ bn = 0, тогава за да изчислите сумата или произведението на корените на уравнение, можете също правилно да използвате теоремата на Vieta:1. –b1/b0 = x1 + x2 + x3 +….+ xn,2. b2/b0 = x1*x2+….+xn-1*xn,3. (-1)n * (bn/b0) = x1*x2*x3*….*xn.

Ако при заместване на число в уравнение се получи правилното равенство, такова число се нарича корен. Корените могат да бъдат правилни, отрицателни или нулеви. Сред всеки набор от корени на уравнението се разграничават максимум и минимум.

Инструкции

1. Намерете всички корени на уравнението, изберете отрицателния сред тях, ако има такъв. Да кажем, че ни е дадено квадратно уравнение 2x?-3x+1=0. Приложете формулата за намиране на корените на квадратно уравнение: x(1,2)=/2=/2=/2, тогава x1=2, x2=1. Лесно е да се забележи, че сред тях няма отрицателни.

2. Можете също да намерите корените на квадратно уравнение, като използвате теоремата на Виета. Съгласно тази теорема, x1+x1=-b, x1?x2=c, където b и c са съответно показателите на уравнението x?+bx+c=0. Чрез прилагането на тази теорема е възможно да не се изчислява дискриминантът b?-4ac, което в някои случаи може значително да опрости проблема.

3. Ако в квадратно уравнение показателят при x е четен, можете да използвате не основната, а съкратена формула, за да намерите корените. Ако основната формула изглежда като x(1,2)=[-b±?(b?-4ac)]/2a, тогава в съкратена форма тя се записва, както следва: x(1,2)=[-b/2 ±?( b?/4-ac)]/a. Ако няма фиктивен член в квадратно уравнение, е доста лесно да преместите x извън скобите. И понякога лявата страна се сгъва в пълен квадрат: x?+2x+1=(x+1)?.

4. Има видове уравнения, които дават не само едно число, а цял куп решения. Да кажем тригонометрични уравнения. Така че резултатът от уравнението 2sin?(2x)+5sin(2x)-3=0 ще бъде x=?/4+?k, където k е цяло число. Тоест, при заместване на която и да е цяло число на параметъра k, аргументът x ще удовлетворява даденото уравнение.

5. При проблеми с тригонометрия може да се наложи да намерите всички отрицателни корени или най-високия от отрицателните. За решаването на такива проблеми се използват логически разсъждения или методът на математическата индукция. Вмъкнете някои цели числа за k в израза x=?/4+?k и наблюдавайте как работи аргументът. Между другото, най-големият отрицателен корен в предишното уравнение ще бъде x=-3?/4 с k=1.

Видео по темата

Обърнете внимание!
В този пример разгледахме версия на квадратно уравнение, в което a=1. За да решите пълно квадратно уравнение, като използвате същия метод, където a&ne 1, трябва да създадете спомагателно уравнение, привеждайки „a“ до единица.

Полезни съвети
Използвайте този метод за решаване на уравнения, за да откриете бързо корените. Също така ще ви помогне, ако трябва да решите уравнение наум, без да си водите бележки.

Сборът от корените на горното квадратно уравнение е равен на втория коефициент с противоположен знак, а произведението на корените е равно на свободния член.

(Припомнете си: намалено квадратно уравнение е уравнение, при което първият коефициент е 1).

Обяснение:

Нека квадратното уравнение брадва 2+bx +c= 0 има корени X 1 и X 2. Тогава, според теоремата на Виета:

Пример 1:

Даденото уравнение x 2 – 7x + 10 = 0 има корени 2 и 5.

Сборът на корените е 7, а произведението е 10.

И в нашето уравнение вторият коефициент е -7, а свободният член е 10.

Така сумата от корените е равна на втория коефициент с противоположен знак, а произведението на корените е равно на свободния член.

Доста често има квадратни уравнения, които лесно могат да бъдат изчислени с помощта на теоремата на Vieta - освен това е по-лесно да ги изчислите с негова помощ. Това е лесно да се провери както в предишния пример, така и в следващия.

Пример 2. Решаване на квадратно уравнение X 2 – 2X – 24 = 0.

Решение .

Прилагаме теоремата на Виета и записваме две идентичности:

X 1 · X 2 = –24

X 1 + X 2 = 2

Подбираме множители за –24 така, че сумата им да е равна на 2. След кратък размисъл намираме: 6 и –4. Да проверим:

6 · (– 4) = –24.

6 + (– 4) = 6 – 4 = 2.

Както забелязахте, на практика същността на теоремата на Виета е да разложи свободния член в даденото квадратно уравнение на множители, чиято сума е равна на втория коефициент с противоположен знак.

Тези фактори ще бъдат корените.

Това означава, че корените на нашето квадратно уравнение са 6 и –4. X 1 = 6, X 2 = –4.

отговор:

Пример 3. Нека да решим квадратното уравнение 3x 2 + 2x – 5 = 0.

Решение .

Тук нямаме работа с редуцирано квадратно уравнение. Но такива уравнения могат да бъдат решени и с помощта на теоремата на Vieta, ако техните коефициенти са балансирани - например, ако сумата от първия и третия коефициент е равна на втория с противоположен знак.

3 + (–5) = –2.

Коефициентите на уравнението са балансирани: сборът от първия и третия член е равен на втория с противоположен знак:

В съответствие с теоремата на Виета
x 1 + x 2 = –2/3

x 1 x 2 = –5/3.

Трябва да намерим две числа, чиято сума е –2/3 и чийто продукт е –5/3. Тези числа ще бъдат корените на уравнението.
Първото число се отгатва веднага: то е 1. В крайна сметка, когато x = 1, уравнението се превръща в най-простото събиране и изваждане:
3 + 2 – 5 = 0. Как да намеря втория корен?

Нека представим 1 като 3/3, така че всички числа да имат еднакъв знаменател: така е по-лесно. И веднага възникват по-нататъшни действия. Ако x 1 = 3/3, тогава:

3/3 + x 2 = –2/3.

Нека решим едно просто уравнение:

x 2 = –2/3 – 3/3.

Отговор: x 1 = 1; x 2 = –5/3 Пример 4: Решаване на квадратно уравнение 7 2 – 6Пример 4: Решаване на квадратно уравнение 7 – 1 = 0.

х

решение: XЕдин корен се разкрива веднага - хваща окото ви:

1 = 1 (защото простата аритметика излиза: 7 – 6 – 1 = 0).
7 + (– 1) = 6.

Коефициентите на уравнението са балансирани: сборът от първия и третия е равен на втория с противоположен знак:

X 1 · X 2 = –1/7
X 1 + X 2 = 6/7

Заместете стойността x 1 във всеки от тези два израза и намерете x 2:

X 2 = –1/7: 1 = –1/7

Отговор: X 1 = 1; X 2 = –1/7

Дискриминант на редуцираното квадратно уравнение.

Дискриминантът на редуцираното квадратно уравнение може да се изчисли или по обща формула, или по опростена:

ПриD = 0, корените на горното уравнение могат да бъдат изчислени по формулата:

Ако Д< 0, то уравнение не имеет корней.

Ако D = 0, тогава уравнението има един корен.

Ако D > 0, тогава уравнението има два корена.