وزارة التعليم والعلوم في الاتحاد الروسي

مؤسسة تعليمية حكومية اتحادية مستقلة

التعليم المهني العالي

"جامعة أورال الفيدرالية تحمل اسم الرئيس الأول لروسيا ب.ن. يلتسين"

معهد الإلكترونيات الراديوية وتقنيات المعلومات - RTF

قسم الأتمتة وتكنولوجيا المعلومات

استيفاء المفتاح

تعليمات منهجية للعمل المختبري في مجال الانضباط "الطرق العددية"

جمعها أ.أ.سيليفانوفا ، محاضر أول.

التضميد التداخل:تعليمات منهجية للتمارين العملية في تخصص "الطرق العددية"

التعليمات موجهة لطلاب جميع أشكال التعليم في اتجاه 230100 - "المعلوماتية وهندسة الحاسبات".

Ó FGAOU VPO "UrFU سميت على اسم أول رئيس لروسيا B.N. Yeltsin" ، 2011

1. الاستجواب عن طريق الخيوط. 4

1.1 شرائح مكعبة. 4

1.2 شكل خاص من تدوين الشرائح. 5

1.3 خطوط تربيعية. 13

1.4 مهمة الممارسة. الثامنة عشر

1.5 خيارات العمل. 19

المراجع 21

1. الاستيفاء بواسطة المفاتيح.

في الحالات التي يكون فيها الفاصل الزمني [ أ,ب] حيث تريد استبدال الوظيفة F(x) كبير ، يمكنك تطبيق الاستيفاء الخطي.

1.1 شرائح مكعبة.

مفاتيح الاستيفاء الثالثمن أجل وظائف تتكون من أجزاء من كثيرات الحدود 3 ذترتيب. في عقد الواجهة ، يتم ضمان استمرارية الوظيفة ومشتقاتها الأولى والثانية. تتكون وظيفة التقريب من كثيرات حدود منفصلة ، كقاعدة عامة ، من نفس الدرجة الصغيرة ، كل منها محدد في الجزء الخاص به من المقطع.

دعونا على الجزء [ أ, ب] المحور الحقيقي x يتم إعطاء شبكة ، في العقد التي قيمها
وظيفة F(x). مطلوب للبناء على المقطع [ أ, ب] وظيفة خدد مستمر س(x), والتي تستوفي الشروط التالية:

لبناء الشريحة المطلوبة ، تحتاج إلى إيجاد المعاملات
كثيرات الحدود
,أنا=1,… ن، بمعنى آخر. 4 ن معاملات غير معروفة مرضية 4 ن-2 المعادلات (1) ، (2) ، (3). للحصول على حل لنظام المعادلات ، تتم إضافة شرطين إضافيين (حديين). يتم استخدام ثلاثة أنواع من شروط الحدود:

الشروط (1) ، (2) ، (3) وواحد من الشروط (4) ، (5) ، (6) تشكل SLAE للأمر 4 ن. يمكن تنفيذ حل النظام باستخدام طريقة Gauss. ومع ذلك ، من خلال اختيار تدوين خاص لكثير الحدود التكعيبي ، يمكن للمرء أن يقلل بشكل كبير من ترتيب نظام المعادلات التي يتم حلها.

1.2 شكل خاص من تدوين الشرائح.

ضع في اعتبارك المقطع
... دعونا نقدم تدوين المتغيرات التالية:

هنا
- طول القطعة
,

,
- المتغيرات المساعدة ،

x- نقطة وسيطة على القطعة
.

متي x يمر عبر جميع القيم في الفاصل الزمني
، عامل يختلف من 0 إلى 1 ، و
من 1 إلى 0.

دع متعدد الحدود مكعب
في الجزء
يشبه:

المتغيرات و
يتم تحديدها فيما يتعلق بجزء معين من الاستيفاء.

أوجد قيمة الشريحة
في نهايات المقطع
... نقطة
هو أول مقطع
، وبالتالي =0,
= 1 وطبقاً لـ (3.8):
.

في نهاية المقطع
=1,
= 0 و
.

لفاصل
نقطة
محدود ، لذلك =1,
= 0 ومن الصيغة (9) نحصل على:
... وهكذا ، شرط استمرارية الوظيفة س(x) عند تقاطعات كثيرات الحدود التكعيبية بغض النظر عن اختيار الأرقام i.

لتحديد المعاملات  ط ، أنا=0,… ن نشتق (8) ضعف دالة معقدة لـ x... ثم

دعنا نحدد المشتقات الثانية من الشريحة
و
:

لكثير الحدود
نقطة هي بداية مقطع الاستيفاء و =0,
= 1 ، لذلك

ويتبع من (15) و (16) أن على المقطع [ أ,ب] دالة المفتاح "الملصقة" من قطع متعددة الحدود من الدرجة الثالثة لها مشتق مستمر من الدرجة الثانية.

للحصول على استمرارية المشتق الأول للدالة س(x), نطلب في العقد الداخلية للاستيفاء استيفاء الشرط:

لشريحة مكعبة طبيعية
لذلك ، سيكون نظام المعادلات بالشكل:

ونظام المعادلات (17) سيكون له الشكل:

مثال.

البيانات الأولية:

استبدال الوظيفة
تكعيب تكعيبي استيفاء ، تتطابق قيمه عند النقاط العقدية المحددة (انظر الجدول) مع قيم الوظيفة في نفس النقاط. ضع في اعتبارك شروط الحدود المختلفة.

دعنا نحسب قيمة الوظيفة عند النقاط العقدية. للقيام بذلك ، نعوض بالقيم من الجدول في الدالة المعطاة.

لشروط الحدود المختلفة (4) ، (5) ، (6) ، نجد معاملات الشرائح المكعبة.

1. ضع في اعتبارك شروط الحدود الأولى.

في حالتنا هذه ن=3,
,
,
... لايجاد
نستخدم نظام المعادلات (3.18):

دعونا نحسب و باستخدام الصيغتين (7) و (11):

استبدل القيم التي تم الحصول عليها في نظام المعادلات:

.

حل النظام:

مع الأخذ في الاعتبار شروط الحدود الأولى ، معاملات الشريحة:

ضع في اعتبارك تعريف معاملات الشريحة مع مراعاة الشروط الحدودية (3.5):

العثور على مشتق من وظيفة
:

دعونا نحسب
و
:

دعونا نستبدل في نظام المعادلات (21) القيم و :

باستخدام الصيغة (20) ، نحدد  0 و  3:

مع مراعاة القيم المحددة:

وناقل المعاملات:

دعنا نحسب قيم الشريحة التكعيبية S (x) عند نقاط المنتصف لمقاطع الاستيفاء.

نقطة منتصف الأجزاء:

لحساب قيمة الشريحة التكعيبية عند نقاط منتصف مقاطع الاستيفاء ، نستخدم الصيغتين (7) و (9).

3.1.

تجد و
:

في الصيغة (3.9) ، نستبدل المعاملات

3.2.

تجد و
:

، لشروط الحدود (4) ، (5) ، (6):

3.3.

تجد و
:

في الصيغة (9) ، نستبدل المعاملات
، لشروط الحدود (4) ، (5) ، (6):

لنصنع طاولة:

تعني كلمة spline (الكلمة الإنجليزية "spline") مسطرة مرنة تُستخدم لرسم منحنيات ناعمة من خلال نقاط محددة على المستوى. يتم وصف شكل هذه القطعة العالمية على كل قطعة بواسطة قطع مكافئ مكعب. تستخدم المفاتيح على نطاق واسع في التطبيقات الهندسية ، ولا سيما في رسومات الكمبيوتر. لذلك ، على كل أنا-الجزء [ س ط –1 ، س ط]، أنا = 1, 2,…, ن،سيتم البحث عن الحل في شكل متعدد الحدود من الدرجة الثالثة:

S أنا(x)= أ أنا + ب أنا(س - س ط)+ ج ط(x–س ط) 2 /2+ د ط(س - س ط) 3 /6

احتمالات غير معروفة a i ، b i ، c i ، d i ، i = 1, 2,..., ن،نجد من:

شروط الاستيفاء: S أنا(س ط)= و أنا ، أنا = 1, 2,..., ن;س 1 (x 0)= و 0 ,

دالة الاستمرارية S أنا(س ط- 1 ) = S i– 1 (س ط –1)، أنا = 2, 3,..., ن،

استمرارية المشتقات الأولى والثانية:

م / ط(س ط- 1)=S / i– 1 (س ط –1)، S // i(س ط –1)= S // أنا –1 (س ط –1)، أنا = 2, 3,..., ن.

مع مراعاة ذلك تحديد 4 نغير معروف ، نحصل على النظام 4 ن-2 المعادلات:

أ أنا = و أنا ، أنا = 1, 2,..., ن،

ب أنا ح - ج أنا ح 2 /2+ d أنا h أنا 3 /6= و أنا - و أنا –1 ، أنا = 1, 2,..., ن،

ب i - b i - 1 = c i h i - d i h i 2 /2، أنا = 2, 3,..., ن،

d i h i = c i - c i– 1 ، أنا = 2, 3,..., ن.

أين h i = x i - x i– 1. المعادلتان المفقودتان مشتقتان من شروط إضافية: س //(أ)= S //(ب)=0. يمكن إثبات ذلك في هذه الحالة. يمكن استبعاد المجهولين من النظام ب ط ، د ط ،بعد استلام النظام N + 1 المعادلات الخطية (SLAE) لتحديد المعاملات ج ط:

ج 0 = 0، ج ن = 0,

ح أنا ج ط –1 + 2(ح أنا + ح أنا +1)ج ط + ح ط +1 ج ط +1 = 6 ، أنا = 1, 2,…, ن–1. (1)

بعد ذلك ، يتم حساب المعاملات ب ط ، د ط:

, أنا = 1, 2,..., ن. (2)

في حالة وجود شبكة ثابتة ح أنا = حنظام المعادلات هذا مبسط.

يحتوي SLAE هذا على مصفوفة ثلاثية الأضلاع ويتم حلها بطريقة المسح.

يتم تحديد المعاملات من الصيغ:

لحساب القيمة س(x) عند نقطة تعسفية من المقطع ض∈[أ ، ب] من الضروري حل نظام المعادلات للمعاملات ج ط ، أنا = 1,2,…, ن–1, ثم ابحث عن جميع المعاملات ب ط ، د ط.علاوة على ذلك ، من الضروري تحديد الفاصل الزمني [ س ط 0, س ط 0-1] يصل إلى هذه النقطة ، ومعرفة الرقم أنا 0 ،احسب قيمة الشريحة ومشتقاتها عند نقطة ما ض

س(ض)= أ أنا 0 + ب ط 0 (ض - س ط 0)+ ج ط 0 (ض - س ط 0) 2 /2+ د ط 0 (ض - س ط 0) 3 /6

س /(ض)= ب أنا 0 + ج ط 0 (ض - س ط 0)+ د ط 0 (ض - س ط 0) 2 /2، س //(ض)= ج ط 0 + د ط 0 (ض - س ط 0).

مطلوب لحساب قيم الوظيفة عند النقطتين 0.25 و 0.8 باستخدام الاستيفاء الخطي.

في حالتنا: h i = 1/4 ،.

دعونا نكتب نظام المعادلات لتحديد:

بحل نظام المعادلات الخطية هذا نحصل على:.

ضع في اعتبارك النقطة 0.25 ، التي تنتمي إلى الجزء الأول ، أي ... لذلك ، نحصل عليه

ضع في اعتبارك النقطة 0.8 ، التي تنتمي إلى الجزء الرابع ، أي ...

بالتالي،

الاستيفاء العالمي

متي الاستيفاء العالميتم العثور على كثير حدود واحد على كامل الفترة [ أ ، ب]، بمعنى آخر يتم إنشاء كثير الحدود ، والذي يستخدم لإقحام الدالة f (x) على مدار كامل فترة اختلاف الوسيطة x. سنبحث عن دالة استيفاء في شكل كثير الحدود (متعدد الحدود) مدرجة ح مساء(x)= أ 0 + أ 1 x + أ 2 x 2 + أ 3 x 3 +… + أ م × م.ما هي درجة كثير الحدود لاستيفاء جميع شروط الاستيفاء؟ افترض أنه تم إعطاء نقطتين: ( x 0 ، F 0) و ( x 1 ، F 1) ، أي ن = 1. يمكن رسم خط مستقيم واحد من خلال هذه النقاط ، أي ستكون دالة الاستيفاء هي كثيرة الحدود من الدرجة الأولى ص 1 (x)= أ 0 + أ 1 x.من خلال ثلاث نقاط (N = 2) يمكن للمرء رسم القطع المكافئ ص 2 (x)= أ 0 + أ 1 x + أ 2 x 2 ، إلخ. التفكير بهذه الطريقة ، يمكننا أن نفترض أن كثيرة الحدود المرغوبة يجب أن يكون لها درجة ن .

لإثبات ذلك ، نكتب نظام معادلات للمعاملات. معادلات النظام هي شروط الاستيفاء في كل منها س = س أنا:

هذا النظام خطي فيما يتعلق بالمعاملات المرغوبة أ 0 ، أ 1 ، أ 2 , …,أ ن.من المعروف أن SLAE له حل إذا كان محدده غير صفري. محدد نظام معين

يحمل الاسم محددات فاندرموند... من المعروف من مسار التحليل الرياضي أنه ليس صفراً إذا س ك≠س م(أي أن جميع عقد الاستيفاء مختلفة). وهكذا ، ثبت أن النظام لديه حل.

لقد أوضحنا ذلك لإيجاد المعاملات
أ 0 ، أ 1 ، أ 2 , …,أ نمن الضروري حل SLAE ، وهي مهمة صعبة. ولكن هناك طريقة أخرى لبناء كثير الحدود ن- الدرجة التي لا تتطلب حل مثل هذا النظام.

كثير حدود لاغرانج

نبحث عن الحل في النموذج ، أين أنا(ض) – كثيرات الحدود الأساسية نالدرجة التي تحقق الشرط عندها: ... دعونا نتحقق من أنه إذا تم إنشاء مثل هذه كثيرات الحدود ، إذن L N (x)سوف تفي بشروط الاستيفاء:

كيفية بناء كثيرات الحدود الأساسية؟ نحدد

, أنا = 0, 1,...، ن.

من السهل فهم ذلك

وظيفة أنا(ض) هي كثيرة الحدود ن- درجة من ضومن أجلها يتم استيفاء الشروط "الأساسية":

0, أنا ≠ ك ؛ أيك = 1 ، ... ، أنا -1 أو ك = أنا + 1 ، ... ، ن.

وهكذا ، تمكنا من حل مشكلة بناء متعدد الحدود الداخلي ن-الدرجة العاشرة ، ولهذا ليس من الضروري حل SLAE. يمكن كتابة كثير حدود لاجرانج على هيئة صيغة مضغوطة: . يمكن تقدير خطأ هذه الصيغة إذا كانت الوظيفة الأصلية ز(x) له مشتقات تصل إلى N +طلب واحد:

ويترتب على هذه الصيغة أن خطأ الطريقة يعتمد على خصائص الوظيفة ز(x), وكذلك من موقع عقد الاستيفاء والنقطة ض.التجارب المحسوبة تظهر ذلك كثير حدود لاجرانج به خطأ صغير للقيم الصغيرة ن<20 ... لأكبر نيبدأ الخطأ في النمو ، مما يشير إلى أن طريقة لاغرانج لا تتقارب (أي أن الخطأ لا ينقص مع زيادة ن).

لننظر في حالات خاصة. دع N = 1 ، أي يتم إعطاء قيم الدالة عند نقطتين فقط. ثم كثيرات الحدود الأساسية هي:

، بمعنى آخر. نحصل على صيغ الاستيفاء الخطي متعدد التعريف.

دع N = 2. ثم:

نتيجة لذلك ، حصلنا على صيغ لما يسمى ب الاستيفاء التربيعي أو المكافئ.

مثال:يتم إعطاء قيم بعض الوظائف:

مطلوب للعثور على قيمة الوظيفة لـ ض = 1 باستخدام Lgrange استيفاء كثير الحدود. مخصصة ن= 3 ، أي كثير حدود لاجرانج من الرتبة الثالثة. دعونا نحسب قيم الأساس متعدد الحدود ل ض=1:

اختيار الصيغ التجريبية

عند استيفاء الوظائف ، استخدمنا شرط المساواة بين قيم كثيرات الحدود والدالة المحددة في عقد الاستيفاء. إذا تم الحصول على البيانات الأولية نتيجة للقياسات التجريبية ، فإن شرط المطابقة التامة ليس ضروريًا ، حيث لا يتم الحصول على البيانات بالضبط. في هذه الحالات ، يمكن للمرء فقط أن يطلب استيفاء تقريبيًا لشروط الاستيفاء. هذا الشرط يعني أن دالة الاستيفاء و (س)لا يمر عبر النقاط المحددة بالضبط ، ولكن في بعض الأحياء المجاورة لهم ، على سبيل المثال ، كما هو موضح في الشكل.

ثم تحدث عن اختيار الصيغ التجريبية... يتكون بناء الصيغة التجريبية من مرحلتين 6 لاختيار شكل هذه الصيغة التي تحتوي على معلمات غير معروفة وتحديد الأفضل بمعنى ما لهذه المعلمات. يُعرف شكل الصيغة أحيانًا من الاعتبارات المادية (بالنسبة للوسط المرن ، العلاقة بين الإجهاد والتشوه) أو يتم اختيارها من الاعتبارات الهندسية: يتم رسم النقاط التجريبية على الرسم البياني ويتم تخمين الشكل العام للاعتماد تقريبًا من خلال مقارنة الناتج مع الرسوم البيانية للوظائف المعروفة. يتم تحديد النجاح هنا إلى حد كبير من خلال خبرة وحدس الباحث.

بالنسبة للممارسة ، فإن حالة تقريب دالة بواسطة كثيرات الحدود مهمة ، أي ...

بعد اختيار نوع الاعتماد التجريبي ، يتم تحديد درجة القرب من البيانات التجريبية باستخدام الحد الأدنى لمربعات انحرافات البيانات المحسوبة والتجريبية.

طريقة المربعات الصغرى

اسمحوا للبيانات الأولية س أنا ، و أنا ، أنا = 1، ... ، N (من الأفضل أن تبدأ الترقيم بواحد) ،يتم تحديد نوع الاعتماد التجريبي: مع معاملات غير معروفة. دعونا نكتب مجموع مربعات الانحرافات بين تلك المحسوبة بالصيغة التجريبية والبيانات التجريبية المقدمة:

سيتم العثور على المعلمات من حالة الحد الأدنى من الوظيفة ... هذا هو طريقة المربعات الصغرى (OLS).

من المعروف أنه عند الحد الأدنى ، فإن جميع المشتقات الجزئية لـ w تساوي صفرًا:

(1)

دعونا نفكر في تطبيق OLS لحالة معينة ، والتي تستخدم على نطاق واسع في الممارسة. كدالة تجريبية ، ضع في اعتبارك كثير الحدود

الصيغة (1) لتحديد مجموع مربعات الانحرافات ستأخذ الشكل:

دعنا نحسب المشتقات:

معادلة هذه التعبيرات بالصفر وجمع معاملات المجهول ، نحصل على نظام المعادلات الخطية التالي.

دع جدول قيم الوظيفة يعطى ذ أنافي العقد NS 0 < х 1 < ... < х п دلالة h i = x i - x i -1 , أنا= 1, 2, ... , NS.

خدد- منحنى سلس يمر عبر نقاط معينة ( س ط, ذ أنا), أنا = 0, 1, ... , NS. استيفاء المفتاح تكمن في حقيقة أنه في كل جزء [ س ط -1 , س ط] يتم استخدام كثير حدود بدرجة معينة. كثير الحدود الأكثر استخدامًا من الدرجة الثالثة ، أقل في كثير من الأحيان - الثانية أو الرابعة. في هذه الحالة ، لتحديد معاملات كثيرات الحدود ، يتم استخدام شروط استمرارية المشتقات في عقد الاستيفاء.

التكعيبية المكعبةهو استيفاء محلي عند كل جزء [ س ط -1 , س ط], أنا = 1, 2, ... , NSيتم استخدام منحنى تكعيبي يفي بشروط نعومة معينة ، وهي استمرارية الوظيفة نفسها ومشتقاتها الأولى والثانية عند النقاط العقدية. يتم تحفيز استخدام الدالة التكعيبية من خلال الاعتبارات التالية. إذا افترضنا أن منحنى الاستيفاء يتوافق مع مسطرة مرنة مثبتة عند النقاط ( س ط, ذ أنا) ، ثم من مسار مقاومة المواد ، من المعروف أن هذا المنحنى يتم تعريفه على أنه حل المعادلة التفاضلية F(رابعا) ( x) = 0 في المقطع [ س ط -1 , س ط] (لتبسيط العرض ، نحن لا نأخذ في الاعتبار القضايا المتعلقة بالأبعاد المادية). الحل العام لمثل هذه المعادلة هو متعدد الحدود من الدرجة الثالثة مع معاملات عشوائية ، والتي يمكن كتابتها بسهولة في النموذج
S أنا(x) = و انا + ب ط(NS - س ط -1) +مع أنا(x - س ط -1) 2 + د ط(x - س ط -1) 3 ,
س ط-1 جنيه إسترليني NS £ س ط, أنا = 1, 2, ... , NS.(4.32)

معاملات الوظيفة S أنا(x) من شروط استمرارية الوظيفة ومشتقاتها الأولى والثانية في العقد الداخلية س ط,أنا= 1, 2,..., NS - 1.

من الصيغ (4.32) مع NS = س ط-1 نحصل عليه

S أنا(x أنا- 1) = ذ أنا -1 = أ أنا, أنا = 1, 2,..., NS,(4.33)

وعلى NS = س ط

S أنا(س ط) = و انا + ب أنا ح +مع أنا ح 2 + d أنا h i 3 ,(4.34)

أنا= 1, 2,..., ن.

تتم كتابة شروط استمرارية دالة الاستيفاء في النموذج S أنا(س ط) = S أنا -1 (س ط), أنا= 1, 2, ... , ن- 1 ومن الشرطين (4.33) و (4.34) يترتب على ذلك رضاهم.

أوجد مشتقات الدالة S أنا(x):

S "أنا(x) =ب أنا + 2مع أنا(NS - س ط -1) + 3دي(NS – س ط -1) 2 ,

S "أنا(x) = 2ج ط + 6د ط(س - س ط -1).

في x = س ط-1 ، لدينا S "أنا(س ط -1) = ب ط, س " (س ط -1) = 2مع أناو و في NS = س طاحصل على

S "أنا(س ط) = ب ط+ 2مع أنا ح+ 3ديه أنا 2 , س " (س ط) = 2مع أنا + 6d أنا h i.

تؤدي شروط استمرارية المشتقات إلى المعادلات

S "أنا(س ط) =S "أنا +1 (س ط) Þ ب ط+ 2مع أنا ح+ 3ديه أنا 2 = ب ط +1 ,

أنا= l، 2، ...، NS - 1. (4.35)

S "أنا (س ط) = S "أنا +1 (س ط) Þ 2 مع أنا + 6d أنا h i= 2ج ط +1 ,

أنا= l، 2، ...، ن- 1. (4.36)

في المجموع ، لدينا 4 ن- 2 معادلات لتحديد 4 نغير معروف. للحصول على معادلتين أخريين ، يتم استخدام شروط حدية إضافية ، على سبيل المثال ، شرط الانحناء الصفري لمنحنى الاستيفاء عند نقاط النهاية ، أي تساوي المشتق الثاني مع الصفر في نهايات المقطع [ أ, ب]أ = NS 0 , ب= x ن:

س " 1 (x 0) = 2ج 1 = 0 Þ مع 1 = 0,

S "n(x ن) = 2مع ن + 6د ن ح ن = 0 Þ مع ن + 3د ن ح ن = 0. (4.37)

يمكن تبسيط نظام المعادلات (4.33) - (4.37) ويمكن الحصول على الصيغ المتكررة لحساب معاملات الشريحة.

من الشرط (4.33) لدينا صيغ صريحة لحساب المعاملات أنا:

أنا = ذ أنا -1 , أنا = 1,..., ن. (4.38)

دعونا نعبر عن ذلك د طعير ج طباستخدام (4.36) ، (4.37):

; أنا = 1, 2,...,ن; .

نضع مع ن+1 = 0 ، ثم لـ د طنحصل على صيغة واحدة:

, أنا = 1, 2,...,ن. (4.39)

التعابير البديلة لـ و اناو د طفي المساواة (4.34):

, أنا= 1, 2,..., ن.

و صريح ب ط، عير مع أنا:

, أنا= 1, 2,..., ن. (4.40)

نستبعد من المعادلات (4.35) المعاملات ب طو د طباستخدام (4.39) و (4.40):

أنا= 1, 2,..., ن -1.

ومن ثم ، نحصل على نظام معادلات لتحديد مع أنا:

يمكن إعادة كتابة نظام المعادلات (4.41) كـ

تم تقديم التدوين هنا

, أنا =1, 2,..., ن- 1.

دعونا نحل نظام المعادلات (4.42) بطريقة المسح. من المعادلة الأولى نعبر عنها معمن 2 إلى مع 3:

ج 2 = أ 2 ج 3 + ب 2 ،،. (4.43)

عوّض بـ (4.43) في المعادلة الثانية (4.42):

ح 2 (أ 2 ج 3 + ب 2) + 2 ( ح 2 + ح 3)ج 3 + ح 3 ج 4 = ز 2 ,

و صريح مع 3 من خلال مع 4:

مع 3 = أ 3 مع 4 + ب 3 ، (4.44)

افترض أن مع أنا-1 = أ أنا -1 ج ط+ ب أنا-1 من أناالمعادلة رقم (4.42) نحصل عليها

ج ط= أ أنا مع أنا+1 + ب أنا

, أنا = 3,..., ن- 1 ، أ ن= 0 ، (4.45) ج ن +1 = 0 ،

ج ط= أ أنا مع أنا+1 + ب أنا, أنا= ن, ن -1,..., 2, (4.48)

ج 1 = 0.

3. حساب المعاملات و انا, ب ط,د ط:

أنا = ذ أنا -1 ,

أنا= 1, 2,..., ن.

4. حساب قيمة الدالة باستخدام خدد. للقيام بذلك ، ابحث عن مثل هذه القيمة أناأن القيمة المعطاة للمتغير NSينتمي إلى المقطع [ س ط -1 , س ط] واحسب

S أنا(x) = و انا + ب ط(NS - س ط -1) +مع أنا(x - س ط -1) 2 + د ط(x - س ط -1) 3 . (4.50)

2.2 المكعب استيفاء شريحة

شريحة الاستيفاء التكعيبية المقابلة لوظيفة معينة f (x) والعقد المحددة x i هي دالة S (x) تفي بالشروط التالية:

1. في كل مقطع ، i = 1 ، 2 ، ... ، N ، الدالة S (x) هي كثيرة الحدود من الدرجة الثالثة ،

2. الدالة S (x) ومشتقاتها الأولى والثانية متصلة على الفترة ،

3 - S (x i) = f (x i)، i = 0، 1، ...، N.

في كل من الفواصل الزمنية ، i = 1 ، 2 ، ... ، N ، سنبحث عن الوظيفة S (x) = S i (x) في شكل كثير الحدود من الدرجة الثالثة:

S i (x) = a i + b i (x - x i - 1) + c i (x - x i - 1) 2 + d i (x - 1) 3 ،

س ط - 1 Ј س Ј س ط ،

حيث a i ، b i ، c i ، d i - معاملات يتم تحديدها في جميع المقاطع الأولية n. لكي يكون لنظام المعادلات الجبرية حل ، يجب أن يكون عدد المعادلات مساويًا تمامًا لعدد المجهول. لذلك ، علينا الحصول على معادلات 4n.

نحصل على معادلات 2n الأولى من شرط أن الرسم البياني للوظيفة S (x) يجب أن يمر عبر النقاط المحددة ، أي

S i (x i - 1) = y i - 1، S i (x i) = y i.

يمكن كتابة هذه الشروط على النحو التالي:

S i (x i - 1) = a i = y i - 1 ،

S i (x i) = a i + b i h i + c i h + d i h = y i ،

h i = x i - x i - 1، i = 1، 2، ...، n.

المعادلات التالية 2n - 2 تتبع حالة استمرارية المشتقات الأولى والثانية عند عقد الاستيفاء ، أي شرط سلاسة المنحنى في جميع النقاط.

S i + 1 (x i) = S i (x i) ، i = 1 ، ... ، n - 1 ،

S i (x) = b i + 2 c i (x - x i - 1) + 3 d i (x - x i - 1) ،

S i + 1 (x) = b i + 1 + 2 c i + 1 (x - x i) + 3 d i + 1 (x - x i).

معادلة كل عقدة داخلية x = x i قيم هذه المشتقات المحسوبة في الفترات اليسرى واليمنى من العقدة ، نحصل عليها (مع مراعاة h i = x i - x i - 1):

ب i + 1 = ب i + 2 h i c i + 3h d i، i = 1، ...، n - 1،

S i (x) = 2 c i + 6 d i (x - x i - 1) ،

S i + 1 (x) = 2 c i + 1 + 6 d i + 1 (x - x i) ،

إذا كانت x = x i

c i + 1 = c i + 3 h i d i، i = 1،2، ...، n - 1.

في هذه المرحلة ، لدينا 4n مجهولة ومعادلات 4n - 2. لذلك ، من الضروري إيجاد معادلتين أخريين.

مع التثبيت الحر للنهايات ، يمكن أن يساوي انحناء الخط عند هذه النقاط صفرًا. من ظروف الانحناء الصفري في النهايات ، يترتب على ذلك أن المشتقات الثانية تساوي صفرًا عند هذه النقاط:

S 1 (x 0) = 0 و S n (x n) = 0 ،

c i = 0 و 2 c n + 6 d n h n = 0.

تشكل المعادلات نظامًا من المعادلات الجبرية الخطية لتحديد معاملات 4n: a i ، b i ، c i ، d i (i = 1 ، 2 ، ... ، N).

يمكن إحضار هذا النظام إلى شكل أكثر ملاءمة. يمكن العثور على جميع المعاملات من الحالة مرة واحدة.

أنا = 1 ، 2 ، ... ، ن - 1 ،

الاستبدال ، نحصل على:

ب أنا = - (ج i + 1 + 2 ج ط) ، أنا = 1،2 ، ... ، ن - 1 ،

ب ن = - (ح ن ج ن)

نستبعد المعاملين b i و d i من المعادلة. أخيرًا ، نحصل على نظام المعادلات التالي فقط للمعاملات مع i:

ج 1 = 0 و ج ن + 1 = 0:

h i - 1 c i - 1 + 2 (h i - 1 + h i) c i + h i c i + 1 = 3 ،

أنا = 2 ، 3 ، ... ، ن.

باستخدام المعامِلات الموجودة مع i ، من السهل حساب d i و b i.

حساب التكاملات بطريقة مونت كارلو

ينفذ منتج البرنامج هذا القدرة على وضع قيود إضافية على منطقة التكامل من خلال أسطح خدد ثنائية الأبعاد (لتكامل البعد 3) ...

الاستيفاء الوظيفي

دع جدول قيم الوظيفة f (xi) = yi () معطى ، حيث توجد بترتيب تصاعدي لقيم الوسيطة: x0< x1 < … < xn. Чтобы построить кубический сплайн, требуется определить коэффициенты ai0, ai1, ai2, ai3...

استيفاء المفتاح

استيفاء المفتاح

استيفاء المفتاح

دعنا نتعرف على خوارزمية البرنامج. 1. احسب القيم و 2. بناءً على هذه القيم ، نحسب معاملات المسح و o. 3. بناءً على البيانات التي تم الحصول عليها ، نحسب المعاملات 4 ...

النمذجة الرياضية للأشياء التقنية

تسمح لك الوظائف المضمنة في MathCAD برسم منحنيات بدرجات متفاوتة من التعقيد من خلال النقاط التجريبية أثناء الاستيفاء. الاستيفاء الخطي ...

طرق تقريب الوظيفة

في كل مقطع ، كثير الحدود يساوي ثابتًا ، أي القيمة اليسرى أو اليمنى للدالة. من أجل الاستيفاء الخطي الجزئي الأيسر F (x) = fi-1 إذا xi-1؟ X

طرق تقريب الوظيفة

في كل فترة ، تكون الوظيفة هي الخطي Fi (x) = kix + li. تم العثور على قيم المعاملات من استيفاء شروط الاستيفاء في نهايات المقطع: Fi (xi-1) = fi-1 ، Fi (xi-1) = fi. نحصل على نظام المعادلات: kixi-1 + li = fi-1 ، kixi + li = fi ، حيث نجد ki = li = fii- kixi ...

طرق حل نظام المعادلات الخطية. إقحام

بيان مشكلة الاستيفاء. نظام من النقاط (عقد الاستيفاء) xi، i = 0،1،…، N معطى على الفاصل؛ أ؟ س ط؟ b ، وقيم الوظيفة غير المعروفة في هذه العقد fn i = 0،1،2، ...، N. يمكن تعيين المهام التالية: 1) إنشاء الوظيفة F (x) ...

بناء نموذج رياضي يصف عملية حل المعادلة التفاضلية

3.1 بناء كثير حدود استيفاء لاغرانج وتكثيف القيم من الطرق الواضحة لحل هذه المشكلة حساب قيم ѓ (x) باستخدام القيم التحليلية للدالة ѓ. لهذا - حسب المعلومات الأولية ...

إذا كانت الدرجات (1 ، x ، x2 ، ... ، xn) ، فإننا نتحدث عن الاستيفاء الجبري ، وتسمى الوظيفة كثير حدود الاستيفاء ويشار إليها على النحو التالي: (4) إذا () (5) ، إذن يمكننا بناء استيفاء متعدد الحدود من الدرجة n ، وعلاوة على ذلك ، واحد فقط ...

التطبيق العملي لاستيفاء الوظيفة السلسة

دعنا نفكر في مثال على الاستيفاء لعناصر مجموعة. للتبسيط والإيجاز ، خذ = [- 1 ؛ 1] ،. دع النقاط تكون مختلفة فيما بينها. دعونا نطرح المشكلة التالية: (12) قم ببناء كثير الحدود الذي يلبي هذه الشروط ...

تطبيق الطرق العددية لحل المسائل الرياضية

الطرق العددية

لذلك ، كما ذكر أعلاه ، فإن مهمة الاستيفاء هي إيجاد مثل هذا كثير الحدود الذي يمر الرسم البياني من خلال النقاط المحددة. دع الدالة y = f (x) تُعطى باستخدام الجدول (الجدول 1) ...

الطرق العددية لحل المسائل الرياضية