في الممارسة الحسابية ، غالبًا ما يتعين على المرء أن يتعامل مع الوظائف التي توفرها جداول قيمها لبعض مجموعة القيم المحدودة NS : .

في عملية حل المشكلة ، من الضروري استخدام القيم
للقيم الوسيطة للحجة. في هذه الحالة ، يتم إنشاء دالة Ф (x) ، وهي بسيطة بما يكفي لإجراء العمليات الحسابية ، والتي عند نقاط معينة x 0 ، س 1 ، ... ، x ن , تسمى عقد الاستيفاء ، وتأخذ القيم ، وفي نقاط أخرى من المقطع (x 0 ، x n) تنتمي إلى مجال التعريف
، يمثل تقريبًا الوظيفة
بدرجات متفاوتة من الدقة.

عند حل المشكلة ، في هذه الحالة ، بدلاً من الوظيفة
تعمل مع الوظيفة Ф (x). تسمى مشكلة بناء مثل هذه الوظيفة Ф (x) بمشكلة الاستيفاء. في أغلب الأحيان ، يتم البحث عن وظيفة الاستيفاء Ф (x) في شكل كثير الحدود الجبرية.

1. استيفاء كثير الحدود

لكل وظيفة
المعرفة في [ أ ، ب] ، وأي مجموعة من العقد x 0 ، س 1 ، .... ، x ن (x أنا
[أ ، ب], x أنا x يلأني ي) من بين كثيرات الحدود الجبرية للدرجة n على الأكثر ، هناك استيفاء فريد متعدد الحدود Ф (x) ، والذي يمكن كتابته في الشكل:

, (3.1)

أين
- كثير الحدود من الدرجة n مع الخاصية التالية:

كثير الحدود من أجل الاستيفاء
يشبه:

هذا كثير الحدود (3.1) يحل مشكلة الاستيفاء ويسمى لاغرانج كثير حدود الاستيفاء.

كمثال ، ضع في اعتبارك دالة للنموذج
في الفترة الفاصلة
تعطى بطريقة جدولية.

من الضروري تحديد قيمة الوظيفة عند النقطة x-2.5. سنستخدم كثير حدود لاجرانج لهذا الغرض. بناءً على الصيغ (3.1 و 3.3) ، نكتب كثير الحدود هذا في شكل صريح:

(3.4).

بعد ذلك ، نستبدل القيم الأولية من الجدول في الصيغة (3.4) ، نحصل عليها

النتيجة التي تم الحصول عليها تتوافق مع النظرية ، أي ...

1. صيغة لاغرانج الاستيفاء

يمكن كتابة كثير حدود لاغرانج في شكل مختلف:

(3.5)

تعد كتابة كثير الحدود بالصيغة (3.5) أكثر ملاءمة للبرمجة.

عند حل مشكلة الاستيفاء ، الكمية نيسمى ترتيب الاستيفاء كثير الحدود. علاوة على ذلك ، كما يتضح من الصيغتين (3.1) و (3.5) ، فإن عدد عقد الاستيفاء سيكون دائمًا مساويًا لـ ن + 1والمعنى س ، من أجلها القيمة
, يجب أن يقع داخل مجال تعريف عقد الاستيفاء أولئك.

. (3.6)

في بعض الحالات العملية ، يكون العدد الإجمالي المعروف لعقد الاستيفاء هو مقد يكون أكبر من ترتيب الاستيفاء كثير الحدود ن.

في هذه الحالة ، قبل تنفيذ إجراء الاستيفاء وفقًا للصيغة (3.5) ، من الضروري تحديد عقد الاستيفاء التي يكون الشرط (3.6) صالحًا لها. يجب أن نتذكر أن أصغر خطأ يتحقق عند إيجاد القيمة x في وسط منطقة الاستيفاء. لضمان ذلك ، يُقترح الإجراء التالي:

الغرض الرئيسي من الاستيفاء هو حساب قيم دالة مجدولة لقيم الوسيطة غير العقدية (الوسيطة) ، لذلك يُطلق على الاستيفاء غالبًا "فن قراءة الجداول بين الصفوف".

كثير حدود لاغرانج

لاغرانج استيفاء كثير الحدود- كثير حدود الدرجة الدنيا التي تأخذ القيم المعطاة في مجموعة معينة من النقاط. ل ن+ 1 زوج من الأرقام ، حيث كل شيء x أنامختلفًا ، هناك كثير حدود واحد فقط إل(x) درجة لا أكثر ن، لأي منهم إل(x أنا) = ذ أنا .

في أبسط الحالات ( ن= 1) هي كثيرة حدود خطية رسمها البياني عبارة عن خط مستقيم يمر من خلال نقطتين معينتين.

تعريف

يوضح هذا المثال كثير حدود لاغرانج لاستيفاء أربع نقاط (-9.5) و (-4.2) و (-1 و -2) و (7.9) ، بالإضافة إلى كثيرات الحدود y j l j (x)، كل منها تمر عبر إحدى النقاط المحددة ، وتأخذ قيمة صفرية في الباقي س ط

دع هذه الوظيفة F(x) القيم معروفة ذ ي = F(x ي) في بعض النقاط. ثم يمكننا إقحام هذه الدالة كـ

خاصه،

قيم تكاملات ل يلا تعتمد على F(x) ، ويمكن حسابها مسبقًا ، مع معرفة التسلسل x أنا .

في حالة التوزيع المنتظم لعقد الاستيفاء على طول المقطع

في هذه الحالة ، يمكننا التعبير عن x أنامن خلال المسافة بين عقد الاستيفاء h ونقطة البداية x 0 :

وبالتالي

بالتعويض عن هذه التعبيرات في صيغة كثير الحدود الأساسي وإخراج h لإشارات الضرب في البسط والمقام ، نحصل على

الآن يمكنك إدخال بديل متغير

والحصول على كثير الحدود من ذالذي تم إنشاؤه باستخدام الحساب الصحيح فقط. عيب هذا النهج هو التعقيد العامل للبسط والمقام ، الأمر الذي يتطلب استخدام خوارزميات مع تمثيل متعدد البايت للأرقام.

روابط خارجية

مؤسسة ويكيميديا. 2010.

شاهد ما هو "لاغرانج متعدد الحدود" في القواميس الأخرى:

شكل كتابة كثير الحدود من الدرجة n (Lagrange interpolation polynomial) مع دالة معينة f (x). في العقد x 0 ، x1 ، ... ، xn: في الحالة التي تكون فيها قيم xi متساوية الأبعاد ، هو ، باستخدام الترميز (x x0) / h = t الصيغة (1) ... ... موسوعة الرياضيات

في الرياضيات ، كثيرات الحدود أو كثيرات الحدود في متغير واحد هي وظائف من الشكل حيث ci معاملات ثابتة و x متغير. تشكل كثيرات الحدود واحدة من أهم فئات الوظائف الأولية. دراسة المعادلات كثيرة الحدود وحلولها ...... ويكيبيديا

في الرياضيات الحسابية ، تعد كثيرات حدود بيرنشتاين متعددة الحدود الجبرية وهي عبارة عن مجموعات خطية من متعددات حدود برنشتاين الأساسية. الخوارزمية المستقرة لحساب كثيرات الحدود في شكل برنشتاين هي الخوارزمية ... ... ويكيبيديا

كثير الحدود من الدرجة الدنيا التي تأخذ القيم المعطاة في مجموعة معينة من النقاط. بالنسبة لأزواج الأرقام التي تختلف فيها جميعًا ، توجد كثيرة حدود واحدة من الدرجة على الأكثر ، والتي لها. في أبسط الحالات (... ويكيبيديا

كثير حدود الاستيفاء لاغرانج هو كثير الحدود من الدرجة الدنيا التي تأخذ القيم المعطاة في مجموعة معينة من النقاط. بالنسبة إلى أزواج الأرقام n + 1 ، حيث تختلف كل xi ، يوجد متعدد الحدود فريد من الدرجة L (x) من الدرجة على الأكثر n ، حيث L (xi) = yi ... ... ويكيبيديا

كثير حدود الاستيفاء لاغرانج هو كثير الحدود من الدرجة الدنيا التي تأخذ القيم المعطاة في مجموعة معينة من النقاط. بالنسبة إلى أزواج الأرقام n + 1 ، حيث تختلف كل xi ، يوجد متعدد الحدود فريد من الدرجة L (x) من الدرجة على الأكثر n ، حيث L (xi) = yi ... ... ويكيبيديا

حول الوظيفة ، انظر: Interpolyant. الاستيفاء في الرياضيات الحسابية هو طريقة لإيجاد القيم الوسيطة للكمية من مجموعة منفصلة متاحة من القيم المعروفة. كثير من أولئك الذين يواجهون الحسابات العلمية والهندسية في كثير من الأحيان ... ويكيبيديا

حول الوظيفة ، انظر: Interpolyant. الاستيفاء ، الاستيفاء في الرياضيات الحسابية هو طريقة لإيجاد القيم الوسيطة للكمية من مجموعة منفصلة متاحة من القيم المعروفة. كثير من أولئك الذين يصادفون العلم و ... ... ويكيبيديا

سنقوم ببناء استيفاء كثير الحدود في النموذج

أين توجد كثيرات حدود الدرجة على الأكثر NS ،تمتلك الممتلكات التالية:

في الواقع ، في هذه الحالة ، كثير الحدود (4.9) عند كل عقدة س ي, ي = 0،1 ، ... ن، تساوي القيمة المقابلة للدالة ذ ي، بمعنى آخر. هو الاستيفاء.

دعونا نبني مثل هذه كثيرات الحدود. نظرًا لأن x = x 0 ، x 1 ، ... x i -1 ، x i + 1 ، ... x n ، يمكننا التحليل على النحو التالي

حيث c ثابت. من الشرط نحصل على ذلك

متعدد الحدود الاستيفاء (4.1) مكتوب في النموذج

يسمى لاغرانج كثير حدود الاستيفاء.

القيمة التقريبية للدالة عند النقطة س *المحسوبة باستخدام كثير حدود لاجرانج سيكون لها خطأ متبقي (4.8). إذا كانت قيم الوظيفة ذ أنافي عقد الاستيفاء س طيتم تعيينها تقريبًا بنفس الخطأ المطلق ، ثم بدلاً من القيمة الدقيقة ، سيتم حساب قيمة تقريبية ، و

أين هو الخطأ الحسابي المطلق لكثير حدود لاغرانج لاستيفاء. أخيرًا ، لدينا التقدير التالي للخطأ الإجمالي للقيمة التقريبية.

على وجه الخصوص ، فإن كثيرات حدود لاغرانج من الدرجة الأولى والثانية سيكون لها الشكل

وأخطائهم الكلية عند النقطة x *

هناك أشكال أخرى لكتابة نفس الاستيفاء متعدد الحدود (4.1) ، على سبيل المثال ، صيغة الاستيفاء نيوتن مع الاختلافات المنفصلة التي تم النظر فيها أدناه ومتغيراتها. لحسابات دقيقة ، القيم Pn (x *)تم الحصول عليها من خلال صيغ استيفاء مختلفة مبنية من نفس العقد تتزامن. يؤدي وجود خطأ حسابي إلى اختلاف القيم التي تم الحصول عليها من هذه الصيغ. تؤدي كتابة كثير الحدود على شكل لاغرانج ، كقاعدة عامة ، إلى خطأ حسابي أصغر.

يعتمد استخدام الصيغ لتقدير الأخطاء الناشئة عن الاستيفاء على صياغة المشكلة. على سبيل المثال ، إذا كان عدد العقد معروفًا ، وتم تحديد الوظيفة بعدد كبير بما فيه الكفاية من العلامات الصحيحة ، فإن مشكلة الحساب و (س *)بأكبر قدر ممكن من الدقة. على العكس من ذلك ، إذا كان عدد العلامات الصحيحة صغيرًا ، وكان عدد العقد كبيرًا ، فإن مشكلة الحساب و (س *)بالدقة التي تسمح بها قيمة الجدول للوظيفة ، ولحل هذه المشكلة ، قد يلزم تخلخل الجدول وضغطه.

§4.3. الفروق المتفرقة وخصائصها.

مفهوم الفرق المقسم هو مفهوم عام للمشتق. دع قيم الوظائف f (x 0) ، f (x 1) ، ... ، f (x n)... يتم تحديد الفروق المنفصلة من الدرجة الأولى عن طريق المساواة

مفصولة باختلافات من الدرجة الثانية - المساواة ،

والاختلافات المنفصلة كيتم تحديد الترتيب من خلال الصيغة العودية التالية:

عادة ما يتم وضع فروق الانقسام في جدول مثل هذا:

ضع في اعتبارك الخصائص التالية للاختلافات المنفصلة.

1. الفروق المقسمة لجميع الطلبات عبارة عن مجموعات خطية من القيم و (س ط)، بمعنى آخر. الصيغة التالية تحمل:

دعونا نثبت صحة هذه الصيغة عن طريق الاستقراء بترتيب الاختلافات. للاختلافات من الدرجة الأولى

الصيغة (4.12) صالحة. افترض الآن أنها صالحة لجميع اختلافات الطلبات.

ثم حسب (4.11) و (4.12) للاختلافات في الترتيب ك = ن + 1نملك

المصطلحات التي تحتوي على و (× 0)و و (س ن +1)، لديك النموذج المطلوب. ضع في اعتبارك المصطلحات التي تحتوي على و (س ط), أنا = 1 ، 2 ، ... ، ن... هناك نوعان من هذه المصطلحات - من الجمع الأول والثاني:

أولئك. الصيغة (4.12) صالحة لفرق الطلب ك = ن + 1، الدليل كامل.

2. الفرق المقسم هو دالة متماثلة لوسائطه x 0 ، x 1 ، ... x n (أي أنه لا يتغير لأي تبديل):

هذه الخاصية تتبع مباشرة من المساواة (4.12).

3. تقسيم بسيط الفرق العلاقة Fومشتق و (ن) (خ)يعطي النظرية التالية.

دع العقد x 0 ، x 1 ، ... x n تنتمي إلى المقطع والوظيفة و (خ)لديه في هذا المقطع مشتق مستمر من النظام NS... ثم هناك نقطة xÎ، ماذا او ما

دعونا أولا نثبت صحة العلاقة

وفقًا لـ (4.12) ، فإن التعبير بين الأقواس المربعة هو

F.

مقارنة (4.14) مع التعبير (4.7) عن الباقي R n (x) = f (x) -L n (x)نحصل على (4.13) ، تم إثبات النظرية.

يتبع نتيجة طبيعية بسيطة من هذه النظرية. لكثير الحدود NSالدرجة الثالثة

و (س) = أ 0 س ن + أ 1 س ن -1 + ... أ ن

مشتق النظام NSمن الواضح أن هناك

والعلاقة (4.13) تعطينا قيمة الفرق المقسم

لذلك ، كل كثير الحدود من الدرجة NSاختلافات الترتيب المنفصلة NSتساوي قيمة ثابتة - المعامل عند أعلى درجة من كثير الحدود. الفروق المنفصلة للأوامر العليا
(أكثر NS) من الواضح أنها تساوي الصفر. ومع ذلك ، فإن هذا الاستنتاج صالح فقط إذا لم يكن هناك خطأ حسابي للاختلافات المنفصلة.

§4.4. استيفاء نيوتن متعدد الحدود مع اختلافات منفصلة

دعونا نكتب كثير حدود لاغرانج في الشكل التالي:

أين L 0 (x) = f (x 0) = y 0، أ ل ك (س)- لاجرانج استيفاء كثير حدود الدرجة كتم بناؤه بواسطة العقد × 0 ، × 1 ، ... ، × ك... ثم هناك كثير الحدود للدرجة كالتي جذورها نقاط × 0 ، × 1 ، ... ، × ك -1... لذلك ، يمكن تحليلها إلى عوامل

حيث A k ثابت.

وفقًا لـ (4.14) ، نحصل على

بمقارنة (4.16) و (4.17) ، نحصل على أن (4.15) يأخذ الشكل أيضًا

وهو ما يسمى كثير حدود استيفاء نيوتن مع وجود اختلافات منفصلة.

هذا النوع من تدوين كثير الحدود هو أكثر وصفيًا (إضافة عقدة واحدة تتوافق مع ظهور مصطلح واحد) ويجعل من الممكن تتبع تشابه الإنشاءات مع التركيبات الأساسية للتحليل الرياضي بشكل أفضل.

يتم التعبير عن الخطأ المتبقي لكثير حدود الاستيفاء لنيوتن بالصيغة (4.8) ، ولكن ، مع الأخذ في الاعتبار (4.13) ، يمكن كتابتها في شكل آخر

أولئك. يمكن تقدير الخطأ المتبقي بواسطة معامل المصطلح الأول المرفوض في كثير الحدود N n (x *).

خطأ حسابي N n (x *)سيتم تحديدها من خلال أخطاء الفروق المنفصلة. عقد الاستيفاء الأقرب إلى القيمة المحرفة س *، سيكون لها تأثير أكبر على كثير الحدود ، الكذب أكثر - أقل. لذلك ، فمن المستحسن ، إذا أمكن ، ل × 0و × 1تأخذ المجيء إلى س *عقد الاستيفاء وإجراء الاستيفاء الخطي في هذه العقد أولاً. ثم تجذب العقد التالية تدريجيًا بحيث تكون متناظرة قدر الإمكان بالنسبة لها س *حتى يكون الحد التالي في القيمة المطلقة أقل من الخطأ المطلق للفرق المقسم المتضمن فيه.

دع على الجزء وظيفة ص = و (س)تم وضعه في جدول ، أي (س ط ، ص ط) ، (أنا = 0،1 ، .. ، ن) ،أين y i = f (x i).هذه الوظيفة تسمى " شبكة».

صياغة المشكلة: تجد كثير الحدود الجبرية (متعدد الحدود):

درجة ليست أعلى نمثل ذلك

L n (x i) = y i ،في أنا = 0,1، ..، ن،(5.6)

أولئك. وجود في عقد معينة x أنا ، (أنا=0,1,..,ن) نفس قيم دالة الشبكة في=و (خ).

كثير الحدود نفسه L n (x)مسمى كثير الحدود الاستيفاء, والمهمة هي استيفاء كثير الحدود .

أوجد كثير الحدود L n (x)- هذا يعنى أوجد معاملاتها أ 0 , أ 1 ،…، أن. لهذا هناك ن + 1 الشرط (5.6) ، والتي كتبت في شكل نظام من المعادلات الجبرية الخطية فيما يتعلق بالمجهول أنا(أنا=0, 1,…,ن):

أين xانا و ذأنا ( أنا=0,1,…,ن) - قيم جدول الوسيطة والوظيفة.

من المعروف من مسار الجبر أن محدد هذا النظام يسمى محدد Vandermonde:

غير صفريةوبالتالي ، فإن النظام (5.7) لديه القرار الوحيد.

بعد تحديد المعاملات أ 0 ، أ 1 ،…، ا نحل نظام (5.7) نحصل على ما يسمى ب لاغرانج كثير حدود الاستيفاءللوظيفة و (خ):

(5.8)

والتي يمكن كتابتها على النحو التالي:

ثبت أن معطى نيمكن رسم قيم +1 للوظيفة لاجرانج الوحيد كثير حدود الاستيفاء(5.8).

في الممارسة العملية ، فإن كثيرات حدود الاستيفاء لاغرانج من الأول ( ن = 1) والثاني ( ن = 2) درجات.

في ن = 1 معلومات حول وظيفة محرف ص = و (س)تم تعيينه عند نقطتين: (x 0 ، ذ 0 ) و (x 1 ، ذ 1 ), وكثير حدود لاجرانج له الشكل

ل ن = 2 يتم إنشاء كثير حدود لاجرانج من جدول من ثلاث نقاط

حل:نستبدل البيانات الأولية في الصيغة (5.8). درجة لاجرانج كثيرة الحدود التي تم الحصول عليها ليست أعلى من الثالثة ، حيث يتم تحديد الوظيفة بأربع قيم:

باستخدام كثير حدود لاغرانج ، يمكنك إيجاد قيمة الدالة في أي نقطة وسيطة ، على سبيل المثال ، من أجل NS=4:

= 43

كثيرات حدود لاغرانجمستعمل في طريقة العناصر المحدودة ، تستخدم على نطاق واسع في حل مشاكل البناء.

تُعرف صيغ الاستيفاء الأخرى أيضًا ، على سبيل المثال ، صيغة الاستيفاء لنيوتنتستخدم في الاستيفاء في حالة العقد المتباعدة بشكل متساوٍ أو متعدد الحدود الاستيفاء هيرميتا.

استيفاء المفتاح... عند استخدام عدد كبير من عقد الاستيفاء ، يتم استخدام تقنية خاصة - متعدد الحدود متعدد الحدودعندما يتم إقحام الوظيفة بواسطة كثير الحدود من الدرجة تيبين أي عقد شبكي متجاور.

الجذر يعني تقريب تربيعي للوظائف

صياغة المشكلة

تقريب جذر متوسط ​​التربيعالدوال هي طريقة أخرى للحصول على التعبيرات التحليلية لتقريب الوظائف. سمة من سمات هذه المشاكل هي حقيقة أن البيانات الأولية لبناء بعض الانتظامات واضحة الطابع التقريبي.

يتم الحصول على هذه البيانات نتيجة أي تجربة أو نتيجة لبعض العمليات الحسابية. وفقًا لذلك ، تحتوي هذه البيانات على أخطاء تجريبية (أخطاء في معدات القياس والظروف ، وأخطاء عشوائية ، وما إلى ذلك) أو أخطاء التقريب.

دعنا نقول أن هناك ظاهرة أو عملية يتم التحقيق فيها. بشكل عام ، يمكن تمثيل موضوع البحث بنظام سيبرنيتيك ("الصندوق الأسود") الموضح في الشكل.

عامل NSهو متغير مستقل خاضع للرقابة (معلمة إدخال).

عامل صهو رد فعل (استجابة) كائن البحث لتأثير معلمة الإدخال. هذا هو المتغير التابع.

افترض أنه عند معالجة نتائج هذه التجربة ، تم العثور على اعتماد وظيفي معين ص = و (س)بين المتغير المستقل NSوالمتغير التابع في.يتم تقديم هذا الاعتماد في شكل جدول. 5.1 القيم س ط ، ص ط (أنا=1,2،…، ن) تم الحصول عليها أثناء التجربة.

الجدول 5.1

إذا كان التعبير عن الوظيفة التحليلية ص = و (س)غير معروف أو صعب للغاية ، ثم تنشأ المشكلة في العثور على الوظيفة ص =ي (NS) ،القيم التي في س = س أنا, ربما مختلفة قليلامن البيانات التجريبية ذ أنا ، (أنا=1,..,ن). وبالتالي ، فإن الاعتماد الذي تم فحصه يتم تقريبه من خلال الوظيفة ص =ي (NS)في الجزء [ x 1 ، س ن]:

f (x) @ي (NS). (5.9)

وظيفة التقريب ص =ي (NS)مسمى الصيغة التجريبية (EF)أو معادلة الانحدار (RR).

لا تدعي الصيغ التجريبية أنها قوانين الطبيعة ، ولكنها مجرد فرضيات تصف بشكل كافٍ البيانات التجريبية بشكل أو بآخر. ومع ذلك ، فإن أهميتها كبيرة جدا. في تاريخ العلم ، هناك حالات أدت فيها الصيغة التجريبية الناجحة التي تم الحصول عليها إلى اكتشافات علمية عظيمة.

الصيغة التجريبية هي مناسبإذا كان من الممكن استخدامه لوصف الكائن قيد الدراسة بدقة كافية للممارسة.

لماذا هذا الإدمان؟

إذا تم العثور على تقريب (5.9) ، فمن الممكن:

قم بالتنبؤ بسلوك الكائن الذي تم التحقيق فيه خارج المقطع ( استقراء );

يختار أفضل اتجاه تطوير العملية قيد الدراسة.

يمكن أن يكون لمعادلة الانحدار شكل مختلف ومستوى مختلف من التعقيد ، اعتمادًا على خصائص الكائن قيد الدراسة ودقة التمثيل المطلوبة.

هندسياتتمثل مشكلة إنشاء معادلة الانحدار في رسم المنحنى إل: ص =ي (NS) « أقرب ما يكون»مجاور لنظام النقاط التجريبية M i (x i، y i)، i = 1,2، ..، نجدول معين. 5.1 (الشكل 5.2).

يتكون بناء معادلة الانحدار (الوظيفة التجريبية) من مرحلتين:

1. اختيار الرأي العاممعادلات الانحدار

2. تحديد معالمها.

ناجح خيارتعتمد معادلة الانحدار إلى حد كبير على خبرة المجرب ، والتحقيق في عملية أو ظاهرة.

غالبًا ما يتم اختيار متعدد الحدود (متعدد الحدود) على أنه معادلة الانحدار:

المهمة الثانية ، إيجاد المعلماتيتم حل معادلات الانحدار بالطرق العادية ، على سبيل المثال ، طريقة المربعات الصغرى(OLS) ، والذي يستخدم على نطاق واسع في دراسة أي نمط يعتمد على الملاحظات أو التجارب.

يرتبط تطوير هذه الطريقة بأسماء علماء الرياضيات المشهورين في الماضي - K.Gauss و A. Legendre.

طريقة المربعات الصغرى

لنفترض أن نتائج التجربة معروضة في شكل جدول. 5.1 وتكتب معادلة الانحدار بصيغة (5.11) أي يعتمد على ( م+1) المعلمة

تحدد هذه المعلمات موقع الرسم البياني لمعادلة الانحدار بالنسبة للنقاط التجريبية M i (x i، y i)، i = 1,2، ..، ن(الشكل 5.2).

ومع ذلك ، لم يتم تعريف هذه المعلمات بشكل فريد. مطلوب تحديد المعلمات بحيث يقع الرسم البياني لمعادلة الانحدار " أقرب ما يكون»إلى نظام هذه النقاط التجريبية.

دعنا نقدم المفهوم الانحرافاتقيم معادلة الانحدار (5.11) من قيمة الجدول ذ أنال س ط : ، أنا = 1,2، ..، ن.

انصح مجموع مربعات الانحرافات التييعتمد على( م+1) المعلمة

وفقًا لـ OLS ، أفضل المعاملات أنا(أنا=0,1,..,م) هي تلك التي تصغر مجموع مربعات الانحرافات ، أيوظيفة.

استخدام الشروط اللازمة لأقصى الوظيفةعدة متغيرات ، نحصل على ما يسمى النظام العاديلتحديد معاملات غير معروفة :

بالنسبة للدالة التقريبية (5.11) ، فإن النظام (5.14) هو نظام من المعادلات الجبرية الخطية للمجهول .

الحالات الممكنة:

1. إذا كان هناك عدد لا نهائي من كثيرات الحدود (5.11) التي تقلل الوظيفة (5.13).

2. إذا م = ن–1 ، إذًا هناك دالة واحدة متعددة الحدود (5.11) تصغير (5.13).

الأقل مفكلما كانت الصيغة التجريبية أبسط ، لكنها ليست دائمًا أفضل. يجب أن نتذكر أن الصيغة التجريبية الناتجة يجب أن تكون مناسبكائن قيد الدراسة.