قلنا أن المنحنى الجبري من الدرجة الثانية يتم تحديده بواسطة معادلة جبرية من الدرجة الثانية فيما يتعلق NSو في... بشكل عام ، تتم كتابة هذه المعادلة على النحو التالي

أ NS 2 + ب هو+ ج في 2 + د x+ إي ذ+ F = 0 ، (6)

علاوة على ذلك ، А 2 + В 2 + С 2 0 (أي في نفس الوقت لا تختفي الأرقام А، В، С). الشروط أ NS 2 ، ب هو، مع في 2 تسمى الشروط الرئيسية للمعادلة ، العدد

مسمى مميزمن هذه المعادلة. المعادلة (6) تسمى معادلة عامةمنحنى من الدرجة الثانية.

بالنسبة للمنحنيات التي تم النظر فيها سابقًا ، لدينا:

الشكل البيضاوي: Þ أ = ، ب = 0 ، ج = ، د = ه = 0 ، و = -1 ،

دائرة NS 2 + في 2 = أ 2 Þ أ = ج = 1 ، ب = د = ه = 0 ، و = - أ 2 ، د = 1> 0 ؛

القطع الزائد: Þ أ = ، ب = 0 ، ج = - ، د = ه = 0 ، و = -1 ،

د = -.< 0.

القطع المكافئ: في 2 = 2مقصفÞ أ = ب = 0 ، ج = 1 ، د = -2 ص، E = F = 0 ، د = 0 ،

NS 2 = 2RUÞ أ = 1 ب = ج = د = 0 ، ه = –2 ص، F = 0 ، د = 0.

المنحنيات الواردة في المعادلة (6) تسمى وسطمنحنيات إذا د¹0. إذا كانت d> 0 ، فإن المنحنى بيضاوي الشكلاكتب إذا د<0, то кривая القطعينوع. المنحنيات التي يكون d = 0 لها منحنيات قطع مكافئنوع.

ثبت أن السطر الثاني في أييتم إعطاء نظام الإحداثيات الديكارتية بواسطة معادلة جبرية من الدرجة الثانية. في نظام واحد فقط يكون للمعادلة شكل معقد (على سبيل المثال ، (6)) ، وفي الآخر ، تكون أبسط ، على سبيل المثال ، (5). لذلك ، من الملائم التفكير في نظام إحداثيات يتم فيه كتابة المنحنى المدروس بواسطة أبسط معادلة (على سبيل المثال ، متعارف عليه). يسمى الانتقال من نظام إحداثي واحد ، حيث يتم إعطاء المنحنى بواسطة معادلة من الشكل (6) إلى آخر ، حيث تكون معادلته في شكل أبسط ، تنسيق التحول.

لنفكر في الأنواع الرئيسية لتحويلات الإحداثيات.

أنا. تحمل التحولتنسيق المحاور (مع الحفاظ على الاتجاه). دع النقطة M في نظام الإحداثيات الأصلي XOU لها إحداثيات ( NS, فيNS¢, في¢). يمكن أن نرى من الرسم أن إحداثيات النقطة M في أنظمة مختلفة مرتبطة بالنسب

(7) أو (8).

تسمى الصيغتان (7) و (8) بصيغ التحويل الإحداثي.

ثانيًا. تحول الدورانتنسيق المحاور بزاوية أ. إذا كان لدى نقطة M في نظام الإحداثيات الأصلي إحداثيات ( NS, في) ، وفي نظام الإحداثيات الجديد XO ¢ Y لها إحداثيات ( NS¢, في¢). ثم يتم التعبير عن العلاقة بين هذه الإحداثيات بواسطة الصيغ

, (9)

أو

من خلال تحويل الإحداثيات ، يمكن اختزال المعادلة (6) إلى أي مما يلي العنوان الأساسيالمعادلات.

1) - الشكل البيضاوي،

2) - مقارنة مبالغ فيها،

3) في 2 = 2مقصف, NS 2 = 2RU- القطع المكافئ

4) أ 2 NS 2 – ب 2 ذ 2 = 0 - زوج من الخطوط المستقيمة المتقاطعة (الشكل أ)

5) ذ 2 – أ 2 = 0 - زوج من الخطوط المستقيمة المتوازية (الشكل ب)

6) x 2 –أ 2 = 0 - زوج من الخطوط المستقيمة المتوازية (الشكل ج)

7) ذ 2 = 0 - خطوط مستقيمة متطابقة (محور OX)

8) x 2 = 0 - خطوط مستقيمة متطابقة (محور OY)

9) أ 2 NS 2 + ب 2 ذ 2 = 0 - نقطة (0 ، 0)

10) القطع الناقص الخيالي

11) ذ 2 + أ 2 = 0 - زوج من الخطوط التخيلية

12) x 2 + أ 2 = 0 زوج من الخطوط التخيلية.

كل من هذه المعادلات هي معادلة سطر من الدرجة الثانية. يتم استدعاء الخطوط المعرفة بواسطة المعادلات من 4 إلى 12 تتدهورمنحنيات من الدرجة الثانية.

ضع في اعتبارك أمثلة لتحويل المعادلة العامة لمنحنى إلى الشكل المتعارف عليه.

1) 9NS 2 + 4في 2 – 54NS + 8في+ 49 = 0 (9 NS 2 – 54NS) + (4في 2 + 8في) + 49 = 0 Þ

9(NS 2 – 6NS+ 9) + 4(في 2 + 2في+ 1) - 81 - 4 + 49 = 0 9 ( NS –3) 2 + 4(في+ 1) = 36 ، Þ

.

نضع NS¢ = NS – 3, في¢ = في+ 1 ، نحصل على المعادلة الأساسية للقطع الناقص ... المساواة NS¢ = NS – 3, في¢ = في+ 1 يحدد تحويل نقل نظام الإحداثيات إلى النقطة (3 ، –1). بعد بناء أنظمة الإحداثيات القديمة والجديدة ، ليس من الصعب تصوير هذا القطع الناقص.

2) 3في 2 +4NS– 12في+8 = 0. التحويل:

(3في 2 – 12في)+ 4 NS+8 = 0

3(في 2 – 4في+4) - 12 + 4 NS +8 = 0

3(ص - 2) 2 + 4(NS –1) = 0

(في – 2) 2 = – (NS – 1) .

نضع NS¢ = NS – 1, في¢ = في- 2 ، نحصل على معادلة القطع المكافئ في¢ 2 = - NS¢. البديل المختار يتوافق مع نقل نظام الإحداثيات إلى النقطة O ¢ (1،2).

في هذه المقالة ، سننظر في المعادلة العامة للخط المستقيم على المستوى. دعونا نعطي أمثلة على بناء معادلة عامة للخط المستقيم إذا كانت نقطتان من هذا الخط المستقيم معروفتين أو إذا كانت هناك نقطة واحدة والمتجه الطبيعي لهذا الخط المستقيم معروفين. دعونا نقدم طرق تحويل المعادلة بشكل عام إلى أشكال أساسية ومحددة.

دعونا نعطي نظام إحداثيات مستطيل ديكارتي تعسفي أوكسي... ضع في اعتبارك المعادلة الخطية من الدرجة الأولى:

أين أ ، ب ، ج- بعض الثوابت ، وعنصر واحد على الأقل أو بغير صفرية.

سنبين أن المعادلة الخطية في المستوى تحدد الخط المستقيم. دعونا نثبت النظرية التالية.

النظرية 1. في نظام إحداثيات مستطيل ديكارتي تعسفي على مستوى ، يمكن تحديد كل خط مستقيم بواسطة معادلة خطية. على العكس من ذلك ، تحدد كل معادلة خطية (1) في نظام إحداثيات مستطيل ديكارتي تعسفي على مستوى خطًا مستقيمًا.

دليل. يكفي أن نثبت أن الخط إليتم تحديده بواسطة معادلة خطية لأي نظام إحداثيات مستطيل ديكارتي ، حيث سيتم تحديده من خلال معادلة خطية ولأي اختيار لنظام إحداثيات مستطيل ديكارتي.

دع خط مستقيم على المستوى إل... دعونا نختار نظام إحداثيات بحيث المحور ثورتزامنت مع خط مستقيم إلوالمحور أويكان عموديًا عليها. ثم معادلة الخط المستقيم إلسوف يأخذ الشكل التالي:

كل النقاط على خط مستقيم إلسوف تفي بالمعادلة الخطية (2) ، وجميع النقاط خارج هذا الخط المستقيم لن تفي بالمعادلة (2). تم إثبات الجزء الأول من النظرية.

دع نظام إحداثيات مستطيل ديكارتي يُعطى والسماح بإعطاء معادلة خطية (1) ، حيث يكون عنصر واحد على الأقل من العناصر أو بغير صفرية. لنجد موضع النقاط التي تحقق إحداثياتها المعادلة (1). منذ واحد على الأقل من المعاملات أو بيختلف عن الصفر ، فإن المعادلة (1) لها حل واحد على الأقل م(x 0 ,ذ 0). (على سبيل المثال ، لـ أ≠ 0 نقطة م 0 (−ج / أ، 0) ينتمي إلى موضع النقاط المحدد). استبدال هذه الإحداثيات في (1) ، نحصل على الهوية

دعونا نطرح الهوية (3) من (1):

من الواضح أن المعادلة (4) تعادل المعادلة (1). لذلك ، يكفي إثبات أن (4) يعرف بعض الخطوط.

نظرًا لأننا نفكر في نظام إحداثيات مستطيل ديكارتي ، فإنه يتبع من المساواة (4) أن المتجه مع المكونات ( س - س 0 , ذ - ذ 0) متعامد مع المتجه نمع إحداثيات ( أ ، ب}.

ضع في اعتبارك بعض الخط المستقيم إليمر بالنقطة م 0 (x 0 , ذ 0) وعمودي على المتجه ن(رسم بياني 1). دع النقطة م(x، ذ) ينتمي إلى الخط المستقيم إل... ثم المتجه مع الإحداثيات س - س 0 , ذ - ذ 0 عمودي نوتم استيفاء المعادلة (4) (المنتج القياسي للناقلات نويساوي الصفر). إذا كانت نقطة العودة م(x، y) لا تقع على الخط المستقيم إل، ثم المتجه مع الإحداثيات س - س 0 , ذ - ذ 0 ليس متعامدًا مع المتجه نوالمعادلة (4) غير راضية. تم إثبات النظرية.

دليل. بما أن الخطوط المستقيمة (5) و (6) تحدد نفس الخط المستقيم ، فإن المتجهات العادية ن 1 ={أ 1 ,ب 1) و ن 2 ={أ 2 ,ب 2) علاقة خطية متداخلة. منذ النواقل ن 1 ≠0, ن 2 ≠ 0 ، إذًا يوجد رقم λ ، ماذا او ما ن 2 =ن 1 λ ... ومن ثم لدينا: أ 2 =أ 1 λ , ب 2 =ب 1 λ ... دعونا نثبت ذلك ج 2 =ج 1 λ ... من الواضح أن الخطوط المتوافقة لها نقطة مشتركة م 0 (x 0 , ذ 0). ضرب المعادلة (5) في λ ونطرح منه المعادلة (6) نحصل على:

منذ أن تم استيفاء أول مساويتين من التعبيرات (7) ، إذن ج 1 λ −ج 2 = 0. أولئك. ج 2 =ج 1 λ ... وقد ثبتت الملاحظة.

لاحظ أن المعادلة (4) تحدد معادلة الخط المستقيم المار بالنقطة م 0 (x 0 , ذ 0) ولها ناقل طبيعي ن={أ ، ب). لذلك ، إذا كان المتجه الطبيعي للخط المستقيم والنقطة التي تنتمي إلى هذا الخط المستقيم معروفين ، فيمكن بناء المعادلة العامة للخط المستقيم باستخدام المعادلة (4).

مثال 1. خط مستقيم يمر عبر نقطة م= (4، −1) ولها متجه عادي ن= (3 ، 5). أنشئ المعادلة العامة للخط المستقيم.

حل. نملك: x 0 =4, ذ 0 =−1, أ=3, ب= 5. لإنشاء معادلة عامة للخط المستقيم ، نستبدل هذه القيم في المعادلة (4):

إجابة:

المتجه يوازي الخط المستقيم إلوبالتالي ، يكون عموديًا على المتجه الطبيعي للخط المستقيم إل... دعونا نبني متجهًا عاديًا لخط مستقيم إل، مع الأخذ في الاعتبار أن الناتج القياسي للناقلات نويساوي الصفر. يمكننا أن نكتب ، على سبيل المثال ، ن={1,−3}.

لبناء المعادلة العامة للخط المستقيم ، سنستخدم الصيغة (4). عوّض ب (4) بإحداثيات النقطة م 1 (يمكننا أيضًا أخذ إحداثيات النقطة م 2) وناقلات عادية ن:

استبدال إحداثيات النقاط م 1 و م 2 في (9) يمكننا التأكد من أن الخط المستقيم المعطى في المعادلة (9) يمر عبر هذه النقاط.

إجابة:

اطرح (10) من (1):

لقد حصلنا على المعادلة الأساسية للخط. المتجه ف={−ب, أ) هو متجه التوجيه للخط المستقيم (12).

انظر التحول العكسي.

مثال 3. يتم تمثيل الخط المستقيم على المستوى بالمعادلة العامة التالية:

انقل الحد الثاني إلى اليمين واقسم طرفي المعادلة على 2 · 5.

منحنى الرتبة الثانية- موضع النقاط على مستو ، إحداثيات مستطيلة

التي تفي بمعادلة الشكل:

فيها واحد على الأقل من المعاملات أ 11, أ 12, أ 22ليس صفرا.

ثوابت منحنيات الرتبة الثانية.

يعتمد شكل المنحنى على 4 متغيرات موضحة أدناه:

ثوابت الدوران والترجمة لنظام الإحداثيات:

ثابت فيما يتعلق بتناوب نظام الإحداثيات ( شبه ثابت):

لدراسة منحنيات الدرجة الثانية ، ضع في اعتبارك المنتج أ * ج.

عام معادلة منحنى الدرجة الثانيةيبدو مثل هذا:

الفأس 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0

لو أ * ج> 0 نوع بيضاوي الشكل... أي بيضاوي الشكل

المعادلة هي معادلة إما القطع الناقص العادي ، أو القطع الناقص (نقطة) ، أو التخيلي

القطع الناقص (في هذه الحالة ، لا تحدد المعادلة صورة هندسية واحدة على المستوى) ؛

لو أ * ج< 0 ، ثم تأخذ المعادلة شكل المعادلة النوع الزائدي... أي قطعي

المعادلة تعبر عن القطع الزائد البسيط أو القطع الزائد المنحل (خطان متقاطعان) ؛

لو أ * ج = 0، فلن يكون سطر الترتيب الثاني مركزيًا. تسمى المعادلات من هذا النوع

المعادلات نوع مكافئويتم التعبير عنها على مستوى مستو أو قطع مكافئ بسيط ، أو 2 متوازي

(إما متزامنة) خطوط مستقيمة ، أو لا تعبر عن أي صورة هندسية على المستوى ؛

لو أ * ج 0، سيكون منحنى الترتيب الثاني

المعادلة العامة لمنحنى الدرجة الثانية في المستوى هي:

فأس 2 + 2Bxy + ساي 2 + 2DX + 2العين + F = 0, (39)

أين أ 2 + ب 2 + ج 2 0, (أ, ب, ج, د, ه, F) ص... يحدد جميع الأقسام المخروطية المحتملة الموجودة بشكل تعسفي على المستوى.

من معاملات المعادلة (39) ، نؤلف محددين:

مسمى مميز المعادلة(39) ، و - مميز من الشروط الرئيسية للمعادلة.عند 0 ، تحدد المعادلة (39):> 0 - القطع الناقص ؛< 0 - гиперболу; = 0 - параболу. В случае = 0 кривые вырождаются в точку или прямые линии.

من المعادلة العامة (39) ، يمكنك الانتقال إلى المعادلة الأساسية إذا استبعدت المصطلحات الخطية والمتقاطعة بالتغيير إلى نظام إحداثيات جديد يتزامن مع محاور التناظر في الشكل. استبدال في (39) xتشغيل x + أو ذتشغيل ذ + ب، أين أ, ببعض الثوابت. دعونا نكتب المعاملات التي تم الحصول عليها ل NSو ذومساواتهم بـ 0

(أأ + ب + د)x = 0, (سي بي + با + ه)ذ = 0. (41)

نتيجة لذلك ، ستأخذ المعادلة (39) الشكل:

أ(x) 2 + 2ب(x)(ذ) + ج(ذ) 2 + F = 0, (42)

حيث المعاملات أ, ب, جلم تتغير ، ولكن F= /. سيحدد حل نظام المعادلات (41) إحداثيات مركز تناظر الشكل:

لو ب= 0 إذن أ = -د/أ, ب = -ه/جومن الملائم استبعاد المصطلحات الخطية في (39) بطريقة الاختزال إلى مربع كامل:

فأس 2 + 2DX = أ(x 2 + 2وجه ضاحك/أ + (د/أ) 2 - (د/أ) 2) = أ(x + د/أ) 2 - د 2 /أ.

في المعادلة (42) ، سندير الإحداثيات بالزاوية أ (38). دعونا نكتب المعامل الذي تم الحصول عليه عند الحد المتقاطع xذومساواته بـ 0

س ص = 0. (44)

يحدد الشرط (44) زاوية الدوران المطلوبة لمحاور الإحداثيات حتى تتوافق مع محاور التناظر للشكل وتأخذ الشكل:

تأخذ المعادلة (42) الشكل:

أ+ X 2 + ج + ص 2 + F = 0 (46)

والتي من السهل المرور منها إلى المعادلة الأساسية للمنحنى:

احتمال أ + , ج+ ، الخاضعة للشرط (45) ، يمكن تمثيلها على أنها جذور معادلة تربيعية مساعدة:

ر 2 - (أ + ج)ر + = 0. (48)

نتيجة لذلك ، تم تحديد موضع واتجاه محاور التناظر للشكل ، نصف محوره:

ويمكن بناؤها هندسيًا.

في حالة = 0 لدينا قطع مكافئ. إذا كان محور التناظر موازيًا للمحور أوه، ثم يتم تقليل المعادلة إلى الشكل:

إذا لم يكن كذلك ، فانتقل إلى النموذج:

حيث التعبيرات بين قوسين ، مساوية لـ 0 ، تحدد خطوط محاور الإحداثيات الجديدة: ،.

حل المهام النموذجية

المثال 15.المعادلة 2 x 2 + 3ذ 2 - 4x + 6ذ- 7 = 0 للصيغة المتعارف عليها وبناء منحنى.

حل. ب= 0 ، = -72 0 ، = 6> 0 قطع ناقص.

لنقم بالتخفيض إلى مربع كامل:

2(x - 1) 2 + 3(ذ + 1) 2 - 12 = 0.

مركز إحداثيات التناظر (1 ؛ -1) ، التحويل الخطي X = x - 1, ص = ذ+ 1 ينقل المعادلة إلى الشكل المتعارف عليه.

المثال 16.المعادلة 2 س ص = أ 2 للشكل المتعارف عليه وبناء منحنى.

حل. ب = 1, = أ 2 0, = -1 < 0 гипербола .

يقع مركز نظام الإحداثيات في مركز تناظر المنحنى ، لأن لا توجد مصطلحات خطية في المعادلة. دعونا ندير المحاور من خلال الزاوية أ. بالصيغة (45) لدينا tg2a = ب/(أ - ج) = ، أي أ = 45 درجة. معاملات المعادلة المتعارف عليها (46) أ + , ج+ يتم تحديدها بالمعادلة (48): ر 2 = 1 أو ر 1,2 = 1 أ + = 1, ج+ = -1 ، أي
X 2 - ص 2 = أ 2 أو. وهكذا ، المعادلة 2 هو = أ 2 يصف القطع الزائد مع مركز التناظر عند (0 ؛ 0). توجد محاور التناظر على طول منصف زوايا الإحداثيات ، محاور الإحداثيات هي الخطوط المقاربة ، محاور شبه القطع الزائد متساوية أ.y - 9 = 0 ؛

9x 2 + ذ 2 - 18x + 2ذ + 1 = 0;

2x 2 + 4NS + ذ - 2 = 0;

3x 2 - 6NS - ذ + 2 = 0;

- س 2 + 4ذ 2 - 8x - 9ذ + 16 = 0;

4x 2 + 8NS - ذ - 5 = 0;

9x 2 - ذ 2 + 18x + 2ذ - 1 = 0;

9x 2 - 4ذ 2 + 36x + 16ذ - 16 = 0.

نؤسس نظام إحداثيات مستطيل على المستوى ونأخذ في الاعتبار المعادلة العامة من الدرجة الثانية

بحيث
.

تسمى مجموعة جميع نقاط المستوى التي تحقق إحداثياتها المعادلة (8.4.1) ملتوية (خط) الدرجة الثانية.

بالنسبة لأي منحنى من الدرجة الثانية ، يوجد نظام إحداثيات مستطيل يسمى canonical ، حيث تكون معادلة هذا المنحنى أحد الأشكال التالية:

1)
(الشكل البيضاوي)؛

2)
(قطع ناقص وهمي) ؛

3)
(زوج من الخطوط المتقاطعة التخيلية) ؛

4)
(القطع الزائد)؛

5)
(زوج من الخطوط المتقاطعة) ؛

6)
(القطع المكافئ) ؛

7)
(زوج من الخطوط المتوازية) ؛

8)
(زوج من الخطوط المتوازية التخيلية) ؛

9)
(زوج من الخطوط المستقيمة المتطابقة).

تسمى المعادلات 1) –9) المعادلات المتعارف عليها لمنحنيات الرتبة الثانية.

يتضمن حل مشكلة تقليل معادلة منحنى الدرجة الثانية إلى الشكل المتعارف عليه إيجاد المعادلة الأساسية للمنحنى ونظام الإحداثيات المتعارف عليه. يسمح لك التحويل القياسي بحساب معلمات المنحنى وتحديد موقعه بالنسبة إلى نظام الإحداثيات الأصلي. الانتقال من نظام إحداثيات المستطيل الأصلي
إلى الكنسي
تتم عن طريق تدوير محاور نظام الإحداثيات الأصلي حول نقطة ابزاوية ما  والترجمة المتوازية اللاحقة لنظام الإحداثيات.

بثوابت منحنى من الدرجة الثانية(8.4.1) تسمى وظائف معاملات معادلتها ، والتي لا تتغير قيمها عند الانتقال من نظام إحداثيات مستطيل إلى آخر من نفس النظام.

بالنسبة لمنحنى الدرجة الثانية (8.4.1) ، مجموع المعاملات في مربعات الإحداثيات

,

المحدد يتكون من المعاملات بأعلى الحدود

ومحدد الترتيب الثالث

ثوابت.

يمكن استخدام قيمة الثوابت s ،  ، لتحديد النوع وتكوين المعادلة الأساسية لمنحنى من الدرجة الثانية (الجدول 8.1).

الجدول 8.1

تصنيف منحنيات الدرجة الثانية على أساس الثوابت

دعونا نفكر بمزيد من التفصيل في القطع الناقص والقطع الزائد والقطع المكافئ.

الشكل البيضاوي(الشكل 8.1) يسمى موضع نقاط المستوى ، حيث يكون مجموع المسافات إلى نقطتين ثابتتين
هذه الطائرة تسمى بؤر القطع الناقص، هناك قيمة ثابتة (أكبر من المسافة بين البؤر). هذا لا يستبعد مصادفة بؤر القطع الناقص. إذا تطابق التركيز ، فإن القطع الناقص عبارة عن دائرة.

يُشار إلى نصف مجموع المسافات من نقطة القطع الناقص إلى بؤره أ، نصف المسافة بين البؤر - مع... إذا تم اختيار نظام إحداثيات مستطيل على مستوى بحيث تقع بؤرة القطع الناقص على المحور اxبشكل متماثل حول الأصل ، ثم في نظام الإحداثيات هذا ، يتم إعطاء القطع الناقص بواسطة المعادلة

, (8.4.2)

مسمى معادلة القطع الناقص الكنسي، أين
.

أرز. 8.1

مع الاختيار المحدد لنظام إحداثيات مستطيل ، يكون القطع الناقص متماثلًا حول محاور الإحداثيات والأصل. محاور التناظر للقطع الناقص تسميها المحاورومركز التناظر - مركز القطع الناقص... في الوقت نفسه ، غالبًا ما يُشار إلى الأرقام 2 على أنها محاور القطع الناقص. أو 2 بوالأرقام أو ب – كبيرو المحور شبه الصغيرعلى التوالى.

تسمى نقاط تقاطع القطع الناقص مع محاوره رؤوس القطع الناقص... رؤوس القطع الناقص لها إحداثيات ( أ, 0), (–أ, 0), (0, ب), (0, –ب).

القطع الناقص الانحرافدعا الرقم

. (8.4.3)

منذ 0  ج < أ، غريب الأطوار للقطع الناقص 0  < 1, причем у окружности  = 0. Перепишем равенство (8.4.3) в виде

.

ومن ثم ، يمكن ملاحظة أن الانحراف اللامركزي يميز شكل القطع الناقص: فكلما اقتربت من الصفر ، بدا شكل القطع الناقص كدائرة ؛ مع زيادة  ، يصبح القطع الناقص أكثر استطالة.

اسمحوا ان
- نقطة تعسفية للقطع الناقص ،
و
- المسافة من النقطة مقبل الحيل F 1 و F 2 على التوالي. أعداد ص 1 و ص 2 تسمى نصف قطر النقطة المحورية م الشكل البيضاويويتم حسابها بواسطة الصيغ

المديراتبخلاف الدائرة الشكل البيضاويبالمعادلة الأساسية (8.4.2) يوجد خطان مستقيمان

.

يقع دليل القطع الناقص خارج القطع الناقص (الشكل 8.1).

نسبة الشعاع البؤري نقاطمالقطع الناقص للمسافة  هذا القطع الناقص (يعتبر التركيز والدليل مناسبين إذا كانا على نفس الجانب من مركز القطع الناقص).

مقارنة مبالغ فيها(الشكل 8.2) يسمى موضع نقاط المستوى الذي يكون فيه معامل الاختلاف بين المسافات إلى نقطتين ثابتتين و هذه الطائرة تسمى يركز على المبالغة، هناك قيمة ثابتة (لا تساوي الصفر وأقل من المسافة بين البؤر).

دع المسافة بين البؤر تكون 2 مع، والمعامل المشار إليه لفرق المسافة هو 2 أ... دعنا نختار نظام إحداثيات مستطيل بنفس طريقة القطع الناقص. في نظام الإحداثيات هذا ، يتم إعطاء القطع الزائد بواسطة المعادلة

, (8.4.4)

مسمى معادلة المبالغة الكنسي، أين
.

أرز. 8.2

مع هذا الاختيار لنظام إحداثيات مستطيل ، تكون محاور الإحداثيات هي محاور تناظر القطع الزائد ، والأصل هو مركز التناظر. محاور التناظر للقطع الزائد تسميها المحاور، ومركز التناظر مركز الغلو... مستطيل مع جوانب 2 أو 2 بتقع كما هو موضح في الشكل. 8.2 يسمى المستطيل الرئيسي للقطع الزائد... أرقام 2 أو 2 بهي محاور القطع الزائد والأرقام أو ب- لها نصف مهاوي... الخطوط التي هي استمرار لأقطار شكل المستطيل الرئيسي الخطوط المقاربة المفرطة

.

نقاط تقاطع القطع الزائد مع المحور ثوروتسمى رؤوس القطع الزائد... رؤوس القطع الزائد لها إحداثيات ( أ, 0), (–أ, 0).

الانحراف المركزي للقطع الزائددعا الرقم

. (8.4.5)

بقدر ما مع > أ، الانحراف اللامركزي للقطع الزائد > 1. نعيد كتابة المساواة (8.4.5) في النموذج

.

ومن ثم ، يمكن ملاحظة أن الانحراف اللامركزي يميز شكل المستطيل الرئيسي ، وبالتالي شكل القطع الزائد نفسه: كلما كان أصغر ، كلما تمدد المستطيل الرئيسي ، وبعده القطع الزائد نفسه على طول المحور ثور.

اسمحوا ان
- نقطة عشوائية للقطع الزائد ،
و
- المسافة من النقطة مقبل الحيل F 1 و F 2 على التوالي. أعداد ص 1 و ص 2 تسمى نصف قطر النقطة المحورية م مقارنة مبالغ فيهاويتم حسابها بواسطة الصيغ

المديرات مقارنة مبالغ فيهامع المعادلة المتعارف عليها (8.4.4) يوجد سطرين

.

أدلة القطع الزائد تتقاطع مع المستطيل الرئيسي وتمر بين المركز والرأس المقابل للقطع الزائد (الشكل 8.2).

ا نسبة الشعاع البؤري نقاطم المبالغة في المسافة من هذه النقطة إلى التركيز المقابل ناظرة تساوي الغرابة من هذا القطع الزائد (يعتبر التركيز والدليل مناسبين إذا كانا موجودين على نفس الجانب من مركز القطع الزائد).

القطع المكافئ(الشكل 8.3) يسمى موضع نقاط المستوى الذي المسافة إلى نقطة ثابتة ما F (تركيز القطع المكافئ) من هذا المستوى يساوي المسافة إلى بعض الخطوط المستقيمة الثابتة ( دليل القطع المكافئ) ، الموجود أيضًا في الطائرة قيد الدراسة.

دعنا نختار البداية انظام إحداثيات مستطيل في منتصف المقطع [ فد] ، وهو عمودي خارج التركيز Fإلى الدليل (من المفترض أن التركيز لا ينتمي إلى الدليل) والمحور ثورو أويمباشر كما هو موضح في الشكل. 8.3 دع طول المقطع [ فد] يساوي ص... ثم في نظام الإحداثيات المختار
و معادلة القطع المكافئ الكنسيلديه الشكل

. (8.4.6)

الحجم صمسمى معلمة القطع المكافئ.

القطع المكافئ له محور تناظر يسمى محور القطع المكافئ... تسمى نقطة تقاطع القطع المكافئ مع محوره قمة القطع المكافئ... إذا تم إعطاء القطع المكافئ من خلال معادلته القانونية (8.4.6) ، فإن محور القطع المكافئ هو المحور ثور... من الواضح أن رأس القطع المكافئ هو الأصل.

مثال 1.نقطة أ= (2 ، –1) تنتمي إلى القطع الناقص ، النقطة F= (1 ، 0) هو تركيزها ، المقابلة Fيتم إعطاء الدليل بواسطة المعادلة
... يساوي هذا القطع الناقص.

حل.سنفترض أن نظام الإحداثيات مستطيل. ثم المسافة من النقطة أإلى الناظرة
وفقًا للعلاقة (8.1.8) ، حيث


، يساوي

.

مسافة من النقطة أللتركيز Fيساوي

,

الذي يسمح لك بتحديد الانحراف اللامركزي للقطع الناقص

.

اسمحوا ان م = (x, ذ) هي نقطة عشوائية للقطع الناقص. ثم المسافة
من النقطة مإلى الناظرة
بالصيغة (8.1.8) يساوي

والمسافة من النقطة مللتركيز Fيساوي

.

منذ لأي نقطة من القطع الناقص النسبة هي قيمة ثابتة تساوي انحراف الأطوار في القطع الناقص ، وبالتالي لدينا

,

مثال 2.المنحنى من المعادلة

في نظام إحداثيات مستطيل. ابحث عن نظام الإحداثيات المتعارف عليه والمعادلة الأساسية لهذا المنحنى. حدد نوع المنحنى.

حل.شكل تربيعي
لديه مصفوفة

.

كثير الحدود المميزة لها

له جذور  1 = 4 و  2 = 9. لذلك ، في الأساس المتعامد للمتجهات الذاتية للمصفوفة أالشكل التربيعي المدروس له الشكل المتعارف عليه

.

دعنا ننتقل إلى بناء مصفوفة للتحويل المتعامد للمتغيرات ، والتي تجلب الشكل التربيعي المدروس إلى الشكل الأساسي المشار إليه. لهذا ، سنقوم ببناء أنظمة أساسية للحلول لأنظمة المعادلات المتجانسة
وتعديلها.

في
هذا النظام لديه الشكل

الحل العام هو
... يوجد متغير واحد مجاني هنا. لذلك ، يتكون نظام القرار الأساسي من متجه واحد ، على سبيل المثال ، من المتجه
... تطبيعه ، نحصل على المتجه

.

في
أيضا بناء ناقلات

.

ثلاثة أبعاد و متعامدة بالفعل ، لأنها تشير إلى قيم ذاتية مختلفة للمصفوفة المتماثلة أ... إنها تشكل الأساس المتعامد الكنسي للشكل التربيعي المحدد. يتم إنشاء المصفوفة المتعامدة المطلوبة (مصفوفة الدوران) من أعمدة إحداثياتها

.

دعنا نتحقق من صحة إيجاد المصفوفة صحسب الصيغة
، أين
- مصفوفة من الدرجة الثانية في الأساس
:

مصفوفة صوجدت بشكل صحيح.

لنقم بتحويل المتغيرات

واكتب معادلة هذا المنحنى في نظام إحداثيات مستطيل جديد مع متجهات المركز والاتجاه القديمة
:

أين
.

حصل على المعادلة الأساسية للقطع الناقص

.

يرجع ذلك إلى حقيقة أن التحويل الناتج للإحداثيات المستطيلة يتم تحديده بواسطة الصيغ

,

,

نظام الإحداثيات الكنسي
له بداية
وناقلات التوجيه
.

مثال 3.باستخدام النظرية الثابتة ، حدد النوع واكتب المعادلة الأساسية للمنحنى

حل.بقدر ما

,

وفقا للجدول. 8.1 نستنتج أن هذا مبالغ فيه.

بما أن s = 0 ، فإن خاصية كثيرة الحدود لمصفوفة ذات شكل تربيعي

جذورها
و
تسمح لك بكتابة المعادلة الأساسية للمنحنى

أين معتم العثور عليه من الشرط

,

.

المعادلة المتعارف عليها للمنحنى

.

في مشاكل هذا القسم الإحداثياتx, ذيفترض أن تكون مستطيلة.

8.4.1. للحذف
و
تجد:

أ) أنصاف المحاور.

ب) الحيل.

ج) اللامركزية.

د) معادلات الدليل.

8.4.2. اصنع معادلات القطع الناقص ، مع معرفة بؤرته
المقابلة للمدير x= 8 والغرابة ... أوجد البؤرة الثانية والدليل الثاني للقطع الناقص.

8.4.3. قم بمساواة القطع الناقص بالبؤر عند الإحداثيات (1 ، 0) و (0 ، 1) ومحور رئيسي يساوي اثنين.

8.4.4. نظرا للمبالغة
... تجد:

أ) أنصاف المحاور أو ب;

ب) الحيل.

ج) اللامركزية.

د) معادلات الخطوط المقاربة.

ه) معادلات الدليل.

8.4.5. نظرا للمبالغة
... تجد:

أ) أنصاف المحاور أو ب;

ب) الحيل.

ج) اللامركزية.

د) معادلات الخطوط المقاربة.

ه) معادلات الدليل.

8.4.6. نقطة
ينتمي إلى القطع الزائد ، والتركيز عليها
، ويتم إعطاء الدليل المقابل بواسطة المعادلة
... يساوي هذا القطع الزائد.

8.4.7. يساوي القطع المكافئ إذا كان التركيز عليه
والمديرة
.

8.4.8. بالنظر إلى رأس القطع المكافئ
ومعادلة الدليل
... يساوي هذا القطع المكافئ.

8.4.9. مساواة القطع المكافئ الذي يكون تركيزه على نقطة

والدليل هو المعادلة
.

8.4.10. قم بمساواة منحنى من الدرجة الثانية ، مع العلم غريب الأطوار
، التركيز
والمدير المقابل
.

8.4.11. حدد نوع منحنى الدرجة الثانية ، واكتب معادلته الأساسية وابحث عن نظام الإحداثيات المتعارف عليه:

ز)
;

8.4.12.

هو قطع ناقص. ابحث عن أطوال أنصاف المحاور وانحراف الأطوار في هذا القطع الناقص ، وإحداثيات المركز والبؤر ، وصنع المعادلات للمحاور والدليل.

8.4.13. إثبات أن منحنى الدرجة الثانية المعطى بالمعادلة

هو مبالغة. ابحث عن أطوال المحاور والانحراف اللامركزي لهذا القطع الزائد ، وإحداثيات المركز والبؤر ، وقم بتكوين معادلات المحاور والدليل والخطوط المقاربة.

8.4.14. إثبات أن منحنى الدرجة الثانية المعطى بالمعادلة

,

هو قطع مكافئ. أوجد معلمة هذا القطع المكافئ ، إحداثيات الرؤوس والتركيز ، واكتب معادلات المحور والدليل.

8.4.15. أحضر كل من المعادلات التالية إلى شكل أساسي. ارسم منحنى الدرجة الثانية المقابل في الرسم بالنسبة لنظام إحداثيات المستطيل الأصلي:

8.4.16. باستخدام النظرية الثابتة ، حدد النوع واكتب المعادلة الأساسية للمنحنى.