عناصر التحليل الاندماجي

روابط.فارغة أ أ 1 , أ 2, أ 3 …أ أ م (ممن عند ن روابط من عند نعناصر بواسطة م

التباديل.فارغة أ- مجموعة تتكون من عدد محدود من العناصر أ 1 , أ 2, أ 3 …أ... من العناصر المختلفة للمجموعة أيمكن تشكيل المجموعات. إذا كانت كل مجموعة تحتوي على نفس عدد العناصر م (ممن عند ن) ، ثم يقولون أنهم يتشكلون روابط من عند نعناصر بواسطة مفي الجميع. هناك ثلاثة أنواع من الوصلات: التنسيب والتوليفات والتبديلات.

إقامة.الوصلات التي يحتوي كل منها معناصر مختلفة ( م < ن) مأخوذ من نعناصر المجموعة أ، تختلف عن بعضها البعض إما في تكوين العناصر ، أو في ترتيبها تسمى المواضع من عند نعناصر بواسطة مفي الجميع. يشار إلى عدد هذه المواضع بواسطة الرمز

نظرية 1. عدد جميع التباديل المميز لعناصر n هو

N (n-1) (n-2) (n-3) ... .3 * 2 * 1 = 1 * 2 * 3 ... (n-1) n = n!

نظرية 2. عدد كل المواضع من نعناصر بواسطة ممحسوبة بالصيغة:

مجموعات. روابطكل منها يحتوي على معناصر مختلفة ( م < ن) مأخوذ من نعناصر المجموعة أتختلف عن بعضها البعض يسمى واحد على الأقل من العناصر (التكوين فقط) مجموعات من عند نعناصر بواسطة مفي الجميع. يشار إلى عدد هذه المجموعات بالرمز

نظرية 3. يتم تحديد عدد جميع تركيبات n من العناصر بواسطة m بواسطة الصيغة:

تُستخدم أحيانًا الصيغة التالية لتسجيل عدد المواضع:

جوهر وشروط تطبيق نظرية الاحتمال.

نظرية الاحتمالات

ظاهرة عرضية -

فقط

تلفزيون. يعمل على إثبات الإحصائيات الرياضية والتطبيقية ، والتي تُستخدم في تخطيط تنظيم الإنتاج ، إلخ.

المفاهيم الأساسية لنظرية الاحتمالات.

نظرية الاحتمالاتهناك علم رياضي يدرس الأنماط في الظواهر العشوائية.

ظاهرة عرضية -إنها ظاهرة ، مع التكرار المتكرر لنفس التجربة ، في كل مرة تسير بشكل مختلف نوعًا ما.

طرق نظرية الاحتمالات مصممة بشكل طبيعي فقطلدراسة الظواهر العشوائية الجماعية ؛ لا تجعل من الممكن التنبؤ بنتيجة ظاهرة عشوائية فردية ، ولكنها تجعل من الممكن التنبؤ بالنتيجة الإجمالية المتوسطة لكتلة من الأحداث العشوائية المتجانسة.

في نظرية الاحتمالات اختبارمن المعتاد استدعاء تجربة (على الأقل من الناحية النظرية) يمكن إجراؤها في ظل نفس الظروف لعدد غير محدود من المرات.

يتم استدعاء نتيجة أو نتيجة كل اختبار حدث. الحدث هو المفهوم الأساسي لنظرية الاحتمال. سنشير إلى الأحداث بالأحرف A و B و C.

أنواع الأحداث:

حدث موثوق- حدث سيحدث بالتأكيد نتيجة للتجربة.

حدث مستحيل- حدث لا يمكن أن يحدث نتيجة الخبرة.

حدث عشوائي- حدث قد يحدث أو لا يحدث في تجربة معينة. المساواة في الأحداث

احتمالاالتطورات أ(دل ف (أ) أ(دل م (أ)) ، نأولئك. ف (أ)= رجل.

مساحة الاحتمال.

مساحة الاحتمالهو نموذج رياضي لتجربة عشوائية (تجربة) في بديهيات A.N. كولموغوروف. يحتوي الفضاء الاحتمالي على جميع المعلومات حول خصائص التجربة العشوائية ، وهو أمر ضروري لتحليلها الرياضي عن طريق نظرية الاحتمال. يتم حل أي مشكلة في نظرية الاحتمالات في إطار مساحة احتمالية معينة ، محددة تمامًا في البداية. المشكلات التي لا يتم فيها تحديد مساحة الاحتمال تمامًا ، ويجب الحصول على المعلومات المفقودة من نتائج الملاحظات ، تنتمي إلى مجال الإحصاء الرياضي.

مساحة الاحتماليتم تعريفه من خلال ثلاثة مكونات (رموز) (Ω ، S ، P) ، حيث Ω هي مساحة الأحداث الأولية

S-∂ (سيغما) - جبر الأحداث ، P - الاحتمال ، حدث موثوق ، نظام S لمجموعات فرعية من فضاء النتائج الأولية Ω.

5. 5. حساب الاحتمال المباشر.

التعريف الكلاسيكي للاحتمالعلى أساس المفهوم عدالة الأحداث .

المساواة في الأحداثيعني أنه لا يوجد سبب لتفضيل أي منهما على الآخر.

ضع في اعتبارك اختبارًا يمكن أن يؤدي إلى حدث أ... كل نتيجة يحدث فيها حدث أيسمى ملائم حدث أ.

احتمالاالتطورات أ(دل ف (أ)) هي نسبة عدد النتائج المواتية للحدث أ(دل م (أ)) ،إلى عدد جميع نتائج التجارب - نأولئك. ف (أ)= رجل.

يتضمن التعريف الكلاسيكي للاحتمالية ما يلي: الخصائص :

احتمال وقوع أي حدث يقع بين صفر وواحد.

دليل... منذ ذلك الحين ، ثم قسمة جميع أجزاء عدم المساواة على ن، نحن نحصل

ومن هنا ، وفقًا للتعريف الكلاسيكي للاحتمال ، فإنه يتبع ذلك

احتمال حدث معين يساوي واحد.

احتمال وقوع حدث مستحيل هو صفر

6. 6. نظريات الجمع الاحتمالية.

إذا كان A و B غير متسقين ، فإن P (A + B) = P (A) + P (B)

إذا كان A و حدثين متعارضين ، إذن

من الآن فصاعدًا ، سيُطلق على عنصر جبر سيجما حدثًا عشوائيًا.

مجموعة الأحداث الكاملة

مجموعة الأحداث الكاملة هي مجموعة كاملة من المجموعات الفرعية ، كل منها عبارة عن حدث. يقال إن أحداث المجموعة الكاملة هي جزء من فضاء النتائج الأولية.

وظيفة مضافة بشكل نهائي

اسمحوا ان أ – الجبر. الوظيفة  التي تحدد الجبر لمجموعة الأعداد الحقيقية

يسمى مضافة نهائية لأي مجموعة محدودة من الأحداث غير المتوافقة مع الزوج

وظيفة العد المضافة

اسمحوا ان F- الجبر أو سيجما الجبر. وظيفة

تسمى مضافة معدودة إذا كانت مضافة بشكل نهائي ولأي مجموعة قابلة للعد من الأحداث غير المتسقة الزوجية

المقياس هو وظيفة مضافة غير سالبة يتم تحديدها في جبر سيجما الذي يفي بالشرط

المقياس النهائي

قياس يسمى منتهي إذا

احتمالا

الاحتمالية (قياس الاحتمالية) صهذا هو مثل هذا الإجراء

من الآن فصاعدًا ، سنتوقف عن قياس الاحتمال كنسبة مئوية ونبدأ في قياسه بأرقام حقيقية من 0 إلى 1.

يسمى احتمالية الحدث أ

مساحة الاحتمال

الفضاء الاحتمالي عبارة عن مجموعة من ثلاثة أشياء - مساحة النتائج الأولية ، وجبر سيجما للأحداث ، والاحتمال.

هذا نموذج رياضي لظاهرة أو كائن عشوائي.

مفارقة تحديد الفضاء الاحتمالي

لنعد إلى الصياغة الأصلية لمشكلة نظرية الاحتمال. كان هدفنا هو بناء نموذج رياضي لظاهرة عشوائية من شأنه أن يساعد في تحديد احتمالات الأحداث العشوائية. في الوقت نفسه ، لإنشاء مساحة احتمالية ، من الضروري تعيين الاحتمال ، أي يبدو أنه بالضبط ما نبحث عنه (؟).

الحل لهذه المفارقة هو أنه من أجل تعريف كامل للاحتمال كدالة على جميع العناصر F, عادة ما يكفي أن نطلبها فقط في بعض الأحداث من F, الاحتمالية التي يسهل علينا تحديدها , وبعد ذلك ، باستخدام إضافته المعدودة ، احسب على أي عنصر F.

أحداث مستقلة

الاستقلال هو مفهوم مهم في نظرية الاحتمالية.

الأحداث أ و ب تسمى مستقلة إذا

أولئك. إن احتمال حدوث هذه الأحداث في وقت واحد يساوي ناتج احتمالاتها.

تسمى الأحداث في مجموعة معدودة أو محدودة بزوج مستقل إذا كان أي زوج منها عبارة عن زوج من الأحداث المستقلة

في المجموع

تسمى الأحداث في مجموعة معدودة أو محدودة مستقلة في المجموع إذا كان احتمال حدوث متزامن لأي مجموعة فرعية محدودة منها مساويًا لمنتج احتمالات أحداث هذه المجموعة الفرعية.

من الواضح أن الأحداث المستقلة في مجموعها مستقلة وفي أزواج. والعكس ليس صحيحا.

احتمال مشروط

الاحتمال الشرطي للحدث أ ، بشرط وقوع الحدث ب ، هو القيمة

حتى الآن ، سنحدد الاحتمال الشرطي للأحداث B فقط ، واحتمال حدوثها ليس صفراً.

إذا كانت الأحداث A و B مستقلة ، إذن

الخصائص والنظريات

أبسط خصائص الاحتمال

شكل الأحداث مجموعة كاملةإذا حدث واحد منهم على الأقل بالضرورة نتيجة للتجربة وكان غير متوافق مع الزوج.

افترض حدث أيمكن أن يحدث فقط مع واحد من عدة أحداث غير متوافقة مع أزواج تشكل مجموعة كاملة. سوف ندعو الأحداث ( أنا= 1, 2,…, ن) الفرضياتخبرة إضافية (بداهة). يتم تحديد احتمالية وقوع الحدث A بواسطة الصيغة الاحتمال الكامل :

المثال 16.هناك ثلاثة الجرار. تحتوي الجرة الأولى على 5 كرات بيضاء و 3 كرات سوداء ، والثانية تحتوي على 4 كرات بيضاء و 4 كرات سوداء ، والثالثة تحتوي على 8 كرات بيضاء. يتم اختيار إحدى الجرار بشكل عشوائي (يمكن أن يعني هذا ، على سبيل المثال ، أن الاختيار يتم من جرة مساعدة ، حيث توجد ثلاث كرات مرقمة 1 و 2 و 3). يتم سحب كرة من هذه الجرة بشكل عشوائي. ما هو احتمال أن يتضح أنه أسود؟

حل.حدث أ- تتم إزالة الكرة السوداء. إذا كان معروفًا من أي جرة تم سحب الكرة ، فيمكن حساب الاحتمال المطلوب وفقًا للتعريف الكلاسيكي للاحتمال. دعونا نقدم الافتراضات (الفرضيات) فيما يتعلق بالجرار الذي تم اختياره لاستخراج الكرة.

يمكن استخراج الكرة إما من الجرة الأولى (الفرضية) ، أو من الثانية (الفرضية) ، أو من الثالثة (الفرضية). نظرًا لوجود فرص متساوية في اختيار أي من الجرار ، إذن .

ومن ثم يتبع ذلك

المثال 17.يتم تصنيع المصابيح الكهربائية في ثلاثة مصانع. ينتج المصنع الأول 30٪ من إجمالي عدد المصابيح الكهربائية ، والثاني - 25٪ ،
والثالث هو الباقي. تحتوي منتجات المصنع الأول على 1٪ من المصابيح المعيبة ، والثاني - 1.5٪ ، والثالث - 2٪. يستقبل المتجر المنتجات من جميع المصانع الثلاثة. ما هو احتمال وجود عيب في المصباح الذي تم شراؤه من المتجر؟

حل. يجب وضع افتراضات بشأن المصنع الذي تم تصنيع المصباح الكهربائي فيه. بمعرفة ذلك ، يمكننا أن نجد احتمالية أن تكون معيبة. دعونا نقدم تدوين الأحداث: أ- المصباح الذي تم شراؤه تبين أنه معيب ، - المصباح من المصنع الأول ، - المصباح من المصنع الثاني ،
- المصباح من المصنع الثالث.

نجد الاحتمال المطلوب بصيغة الاحتمال الكلي:

صيغة بايز.

لنكن مجموعة كاملة من الأحداث غير المتوافقة (الفرضيات). أ- حدث عشوائي. ثم،

الصيغة الأخيرة ، التي تجعل من الممكن المبالغة في تقدير احتمالات الفرضيات بعد أن تصبح نتيجة الاختبار معروفة ، ونتيجة لظهور الحدث A ، تسمى صيغة بايز .

المثال 18.في المتوسط ​​، يتم إدخال 50 ٪ من المرضى المصابين بالمرض إلى مستشفى متخصص إلى، 30٪ - مع المرض إل, 20 % –
مع المرض م... احتمالية الشفاء التام من المرض كيساوي 0.7 للأمراض إلو مهذه الاحتمالات هي 0.8 و 0.9 على التوالي. وخرج المريض من المستشفى بصحة جيدة. ابحث عن احتمال أن يكون هذا المريض يعاني من حالة طبية ك.

حل.لنقدم فرضيات: - كان المريض يعاني من مرض إلى إل- كان المريض يعاني من مرض م.

ثم ، حسب حالة المشكلة ، لدينا. دعونا نقدم حدث أ- خرج المريض من المستشفى بصحة جيدة. حسب الشرط

بصيغة الاحتمال الكلي نحصل على:

وفقًا لصيغة بايز.

مساحة الاحتمال

تشمل النتائج النظرية الأولى في نظرية الاحتمالات

بحلول منتصف القرن السابع عشر وينتمون إلى B. Pascal و P. Ferma و H. Huygens و J. Bernoulli. تدين هذه النظرية بنجاحاتها في القرن الثامن عشر وبداية القرن التاسع عشر إلى أ. Moivre ، P. Laplace ، C. Gauss ، S. Poisson ، A. Legendre. تم تحقيق تقدم كبير في نظرية الاحتمالات في أواخر القرن التاسع عشر وأوائل القرن العشرين في أعمال L. Boltzmann ، P. Chebyshev ، A. Lyapunov ، A. Markov ، E.Borel ، إلخ. القرن ، نظرية صارمة ومتسقة. فقط نهج بديهي جعل من الممكن تحقيق ذلك. لأول مرة ، قام S.N.Bernstein بالبناء البديهي للنظرية في عام 1917 ، والذي أسس في إنشائه على مقارنة الأحداث العشوائية من حيث احتمالية حدوثها. ومع ذلك ، لم يتلق هذا النهج مزيدًا من التطوير. تبين أن النهج البديهية القائم على نظرية المجموعات ونظرية القياس ، الذي طوره A.N. Kolmogorov في عشرينيات القرن الماضي ، كان أكثر فائدة. في بديهيات Kolmogorov ، لم يكن مفهوم الحدث العشوائي ، على عكس النهج الكلاسيكي ، حدثًا أوليًا ، ولكنه نتيجة لمفاهيم أكثر بدائية. نقطة انطلاق Kolmogorov هي المجموعة (الفضاء) W للأحداث الأولية (مساحة النتيجة ، مساحة العينة). لا يهم طبيعة عناصر هذا الفضاء.

إذا كانت A و B و C W ، فإن العلاقات التالية التي تم تأسيسها في نظرية المجموعات تكون واضحة:

A + A = A ، AA = A ، AÆ = Æ ، A + Æ = A ، A + W = W ، AW = A ، W = Æ ، Æ = W ، A = A ،

حيث يشير الشريط أعلاه إلى التكملة في W ؛ A + B = A B ، AB = A + B ، AB = BA ، A + B = B + A ، (A + B) + C = A + (B + C) ، (AB) C = A (BC) ، أ (ب + ج) = أب + أج ، أ + ق = (أ + ب) (أ + ج) ؛

هنا Æ تشير إلى مجموعة فارغة ، أي حدث مستحيل.

في بديهيات Kolmogorov ، يُنظر إلى نظام معين U من مجموعات فرعية من المجموعة W ، تسمى عناصره أحداثًا عشوائية. يفي النظام U بالمتطلبات التالية: إذا تم تضمين المجموعتين الفرعيتين A و B للمجموعة W في النظام U ، فإن هذا النظام يحتوي أيضًا على المجموعات A B و A Ç B و A و B ؛ المجموعة W. نفسها هي أيضًا عنصر من عناصر النظام U. هذا النظام من المجموعات يسمى الجبر (المنطقي) للمجموعات.

من الواضح أنه يترتب على تعريف جبر المجموعات أن المجموعة الفارغة Æ تنتمي أيضًا إلى العائلة U. وبالتالي ، فإن جبر المجموعات (أي مجموعة الأحداث العشوائية) مغلق فيما يتعلق بعمليات الجمع والتقاطع وتشكيل المكملات ، وبالتالي ، فإن العمليات الأولية في الأحداث العشوائية لا تأخذ خارج مجموعة الأحداث العشوائية U .

بالنسبة لمعظم التطبيقات ، من الضروري اشتراط أن تتضمن عائلة المجموعات U ليس فقط مجاميع محدودة وتقاطعات لمجموعات فرعية من المجموعة W ، ولكن أيضًا مجاميع وتقاطعات قابلة للعد. هذا يقودنا إلى تعريف الجبر.

التعريف 1.1.إن s-algebra عبارة عن عائلة من المجموعات الفرعية (U) من مجموعة W التي يتم إغلاقها في إطار عمليات تكوين المكملات والمبالغ القابلة للعد والتقاطعات القابلة للعد.

من الواضح أن أي جبر s يحتوي على المجموعة W نفسها والمجموعة الفارغة. إذا تم إعطاء عائلة عشوائية U من مجموعات فرعية من المجموعة W ، فإن أصغر جبر s يحتوي على جميع مجموعات الأسرة U يسمى s-algebra التي تم إنشاؤها بواسطة العائلة U.

يحتوي أكبر جبر s على جميع مجموعات فرعية من s ؛ إنه مفيد في المساحات المنفصلة W ، حيث يتم تحديد الاحتمال عادةً لجميع المجموعات الفرعية للمجموعة W. ومع ذلك ، في المساحات العامة ، يكون من المستحيل أو غير المرغوب فيه تحديد الاحتمال (سيتم تقديم تعريف الاحتمال أدناه) لجميع المجموعات الفرعية. تعريف آخر متطرف للجبر s هو الجبر s يتكون فقط من المجموعة W. والمجموعة الفارغة Æ.

كمثال على اختيار W والجبر s لمجموعات فرعية من U ، ضع في اعتبارك لعبة يرمي فيها المشاركون نردًا بأرقام من 1 إلى 6 على كل وجه من وجوهها الستة. بالنسبة لأي رمي للنرد ، هناك ستة فقط يتم تحقيق الحالات: w 1 ، w 2 ، w 3 ، w 4 ، w 5 ، w 6 ، رقم i يعني الحصول على نقاط i. تتكون عائلة U للأحداث العشوائية من 2 6 = 64 عنصرًا تتكون من جميع التركيبات الممكنة من w i: w 1،…، w 6؛ (أ 1 ، ع 6) ، ... ، (أ 5 ، ع 6) ؛ (أ 1 ، أ 2 ، ث 3) ، ... ، (أ 1 ، أ 2 ، ث 3 ، أ 4 ، ع 5 ، ث 6) Æ.

أحداث عشوائية ، أي سنشير غالبًا إلى عناصر s-algebra U بالأحرف A و B ... إذا كان حدثان عشوائيان A و B لا يحتويان على نفس العناصر w i ÎW ، فسنسميها غير متوافقة. يتم استدعاء الحدثين A و A في الاتجاه المعاكس (في طريقة أخرى ، بدلاً من A ، يمكننا وضع CA). الآن يمكننا الانتقال إلى تعريف مفهوم الاحتمال.

التعريف 1.2.مقياس الاحتمال P على s-algebra U لمجموعات فرعية من مجموعة W هو دالة مجموعة P تفي بالمتطلبات التالية:

1) ف (أ) 0 ؛ AÎU ؛

، بمعنى آخر. تمتلك خاصية الجمع القابل للعد ، حيث A k هي مجموعات منفصلة بشكل متبادل من U.

وبالتالي ، مهما كانت مساحة العينة W ، فإننا نخصص الاحتمالات فقط لمجموعات بعض الجبر s U ، ويتم تحديد هذه الاحتمالات بواسطة قيمة المقياس P في هذه المجموعات.

وبالتالي ، في أي مشكلة في دراسة الأحداث العشوائية ، فإن المفهوم الأولي هو فضاء العينة ، حيث يتم اختيار الجبر بطريقة أو بأخرى ، حيث يتم تحديد مقياس الاحتمال P بالفعل ، لذلك يمكننا أن نعطي التعريف التالي

التعريف 1.3.الفضاء الاحتمالي هو ثلاثي (W ، U ، P) يتكون من عينة فضاء W ، و s-algebra U لمجموعاتها الفرعية ، ومقياس احتمالي P محدد في U.

من الناحية العملية ، قد تكون هناك مشاكل يتم فيها تخصيص احتمالات مختلفة لنفس الأحداث العشوائية من U. على سبيل المثال ، في حالة النرد المتماثل ، من الطبيعي وضع:

الفوسفور (ث 1) = الفوسفور (ث 2) = ... = الفوسفور (ع 6) == 1/6 ،

وإذا كان العظم غير متماثل ، فقد تصبح الاحتمالات التالية أكثر اتساقًا مع الواقع: P (w 1) = P (w 2) = P (w 3) = P (w 4) = 1/4 ، P (ث 5) = ف (عرض 6) = 1/12.

في الأساس ، سنتعامل مع المجموعات W التي هي مجموعات فرعية من الفضاء الإقليدي ذي الأبعاد المحدودة R n. الهدف الرئيسي لنظرية الاحتمال هو المتغيرات العشوائية ، أي بعض الوظائف المحددة في مساحة العينة W. مهمتنا الأولى هي تقييد فئة الوظائف التي سنعمل عليها. من المستحسن اختيار مثل هذه الفئة من الوظائف ، العمليات القياسية التي لن يتم استنتاجها من هذه الفئة ، على وجه الخصوص ، بحيث ، على سبيل المثال ، لن يتم استنتاج عمليات أخذ حدود النقطة ، وتكوين الوظائف ، وما إلى ذلك. من هذا الفصل.

التعريف 1.4.أصغر فئة من الوظائف B التي يتم إغلاقها تحت المرور النقطي إلى الحد (على سبيل المثال ، إذا كانت 1 ، ¦ 2 ، ... تنتمي إلى الفئة B ولكل x هناك حد ¦ (x) = lim¦ n (x) ) ، ثم ¦ (x) ينتمي إلى B) التي تحتوي على جميع الوظائف المستمرة تسمى فئة Baire.

ويترتب على هذا التعريف أن المجموع ، والفرق ، والمنتج ، والإسقاط ، وتكوين وظيفتين من وظائف Baire هي وظائف Baire مرة أخرى ، أي كل وظيفة من وظائف Baire هي مرة أخرى وظيفة Baire. اتضح أنه إذا قصرنا أنفسنا على فئات أضيق من الوظائف ، فلا يمكن الحصول على أي تقوية أو تبسيط للنظرية.

في الحالة العامة ، المتغيرات العشوائية ، أي الدوال X = U (x) ، حيث XÎWÌR n ، يجب تعريفها بحيث يكون للأحداث (X £ t) لأي t احتمال معين ، أي بحيث تنتمي المجموعات (X £ t) إلى الأسرة U ، التي تم تحديد الاحتمالات P لعناصرها ، أي ، بحيث يتم تحديد القيم P (X £ t). يقودنا هذا إلى التعريف التالي لإمكانية قياس دالة فيما يتعلق بالعائلة U.

التعريف 1.5.تسمى الوظيفة الحقيقية U (x) ، xÎW ، U- قابل للقياس إذا كانت مجموعة تلك النقاط xÎW التي تنتمي إليها U (x) £ t تنتمي إلى عائلة U.

نظرًا لأن s-algebra U مغلق في إطار عملية أخذ المكملات ، في تعريف القابلية للقياس ، يمكن استبدال عدم المساواة £ بأي من عدم المساواة ³ ،> ،<. Из самого определения следует, что n-измеримые функции образуют замкнутый класс наподс бие класса бэровских функций.

كما هو موضح سابقًا ، يمكن اختيار s-algebra بشكل تعسفي تمامًا ، وعلى وجه الخصوص ، على النحو التالي: أولاً ، يتم تحديد الفواصل الزمنية ذات الأبعاد n على الفضاء WÎR n ، ثم باستخدام عمليات الجبر للمجموعات ، مجموعات من يمكن بناء هيكل أكثر تعقيدًا من هذه الفواصل وتشكيل مجموعات من المجموعات. من بين جميع العائلات الممكنة ، يمكن للمرء اختيار واحدة تحتوي على جميع المجموعات الفرعية المفتوحة في W. ويؤدي البناء المماثل إلى التعريف التالي.

التعريف 1.6.أصغر s-algebra U b التي تحتوي على جميع المجموعات الفرعية المفتوحة (وبالتالي جميعها مغلقة) بواسطة مجموعات WÌ R n تسمى Borel s-algebra ، وتسمى مجموعاتها Borel.

اتضح أن فئة وظائف Berian B متطابقة مع فئة الوظائف القابلة للقياس فيما يتعلق بـ s-algebra U b لمجموعات Borel.

الآن يمكننا تحديد مفهوم المتغير العشوائي بوضوح ودالة الاحتمال لتوزيعه.

التعريف 1.7.المتغير العشوائي X هو دالة حقيقية X = U (x) ، xÎW ، قابلة للقياس فيما يتعلق بالجبر S المتضمن في تعريف مساحة الاحتمال.

التعريف 1.8.دالة التوزيع لمتغير عشوائي X هي دالة F (t) = P (X £ t) ، والتي تحدد احتمال ألا يتجاوز المتغير العشوائي X قيمة t.

بالنسبة لدالة توزيع معينة F ، يمكن إنشاء مقياس احتمالي بشكل فريد ، والعكس صحيح.

دعونا نفكر في القوانين الاحتمالية الرئيسية باستخدام مثال مجموعة محدودة W. لنفترض أن A و BÌ W. إذا احتوت A و B على عناصر مشتركة ، أي AB¹0 ، إذن يمكننا كتابة: A + B = A + (B-AB) و B = AB + (B-AB) ، حيث توجد مجموعات منفصلة على الجانب الأيمن (أي أحداث غير متوافقة) ، وبالتالي ، بواسطة مقياس احتمالية خاصية الجمع: P (A + B) = P (B-AB) + P (A) ، P (B) = P (AB) + P (B-AB) ؛ من هنا تتبع الصيغة لمجموع احتمالات الأحداث التعسفية: P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB).

إذا لم يتم فرض أي شروط عند حساب احتمالية الحدث A ، فإن الاحتمال P (A) يسمى غير مشروط. إذا تحقق الحدث A ، على سبيل المثال ، بشرط أن يكون هذا الحدث B قد تحقق ، فإننا نتحدث عن الاحتمال الشرطي ، ونشير إليه بالرمز P (A / B). في النظرية البديهية للاحتمال ، بحكم التعريف ، يُفترض:

P (A / B) = P (AB) / P (B).

لتوضيح هذا التعريف بشكل بديهي ، ضع في اعتبارك ، على سبيل المثال ، الموقف التالي. دع الصندوق يحتوي على k قطعة من الورق عليها الحرف A ، وقطع r من الورق مميزة بالحرف B ، وقطع m من الورق عليها الأحرف AB و n قطعة ورق فارغة. يوجد إجمالي قطع الورق p = k + r + n + m. واترك قطعة من الورق تلو الأخرى يتم سحبها من الصندوق بالتناوب ، وبعد كل سحب ، يتم تدوين نوع الورق الذي تم أخذه وإعادته إلى الصندوق. يتم تسجيل نتائج عدد كبير جدًا من هذه الاختبارات. يعني الاحتمال الشرطي P (A / B) أن الحدث A لا يُنظر إليه إلا فيما يتعلق بتنفيذ الحدث B. في هذا المثال ، هذا يعني أنه من الضروري حساب عدد الأوراق المسحوبة بالحرفين AB والحرف B وقسم الرقم الأول على مجموع العددين الأول والثاني. مع وجود عدد كبير من الاختبارات ، ستميل هذه النسبة إلى الرقم الذي يحدد الاحتمال الشرطي P (A / B). سيظهر ذلك عدد مماثل من قطع الورق الأخرى

حساب النسبة

نتأكد من أنه يتطابق تمامًا مع القيمة المحسوبة مسبقًا لاحتمال P (A / B). وهكذا نحصل

ف (أ ب) = ف (أ / ب) ف (ب).

إجراء نفس المنطق ، وتبادل A و B ، نحصل عليه

الفوسفور (أ ب) = الفوسفور (ب / أ) الفوسفور (أ)

المساواة

الفوسفور (أ ب) = الفوسفور (أ / ب) الفوسفور (ب) = الفوسفور (ب / أ) الفوسفور (أ)

يسمى نظرية الضرب الاحتمالية.

يسمح لنا المثال المدروس أيضًا بالتحقق بوضوح من صحة المساواة التالية لـ A B¹Æ:

ف (أ + ب) == ف (أ) + ف (ب) - ف (أ ب).

المثال 1.1.دع النرد يُرمى مرتين ويجب تحديد احتمال P (A / B) للسقوط بمقدار 10 نقاط ، إذا كانت الرمية الأولى 4.

لفة الثانية من 6 لديها فرصة 1/6. بالتالي،

مثال 1.2.اسمحوا هناك 6 الجرار:

نوع الجرة А 1 - كرتان بيضاء وواحدة سوداء ، نوع الجرة А 2 - كرتان بيضاء واثنتان سوداوان ، في نوع الجرة А 3 - كرتان باللون الأسود وواحدة بيضاء. هناك نوع واحد من الجرار А 1 ، نوع 2 من الجرار А2 و 3 جرارات من النوع 3. يتم اختيار الجرة بشكل عشوائي ويتم إخراج كرة منها. ما هو احتمال أن تكون هذه الكرة بيضاء؟ دعونا نشير بواسطة B إلى حدث سحب الكرة البيضاء.

لحل المشكلة ، افترض أن بعض الأحداث B تتحقق فقط مع أحد الأحداث غير المتوافقة A1 ، ... ، و n ، أي В = ، حيث لا تتوافق الأحداث BA i و BA j بمؤشرات مختلفة i و j. من خاصية الإضافة للاحتمال P يتبع:

الاستعاضة عن الاعتماد (1.1) هنا نحصل عليها

هذه الصيغة تسمى معادلة الاحتمال الكلي. لحل المثال الأخير ، سنستخدم صيغة الاحتمال الكلي. نظرًا لأنه يمكن أخذ الكرة البيضاء (الحدث B) من إحدى الجرار الثلاثة (الأحداث A 1 ، A 2 ، A 3) ، يمكننا الكتابة

ب = أ 1 ب + أ 2 ب + أ 3 ب.

تعطي معادلة الاحتمال الكلي

دعونا نحسب الاحتمالات المدرجة في هذه الصيغة. من الواضح أن احتمال أن تكون الكرة مأخوذة من جرة من النوع A1 يساوي P (A1) = 1/6 ، من جرة من النوع A2: P (A2) = 2/6 == 1/3 ومن جرة من النوع A3: P (A 3) = 3/6 = 1/2. إذا تم أخذ الكرة من جرة من النوع A1 ، فإن P (B / A 1) = 2/3 ، إذا كانت من جرة من النوع A2 ، ثم P (B / A 2) = 1/2 ، وإذا كانت من جرة من النوع A3 ، ثم P (B / A 3) = 1/3. هكذا،

P (B) = (1/6) (2 / Z) + (1/3) (1/2) + (1/2) (1/3) = 4/9.

الاحتمال المشروط P (B / A) له كل خصائص الاحتمال P (B / A) ³0 ، B (B / B) = 1 و P (B / A) مضاف.

بقدر ما

P (A B) == P (B / A) -P (A) = P (A / B) P (B) ،

ثم يترتب على ذلك أنه إذا كان A لا يعتمد على B ، أي إذا

P (A / B) = P (A) ،

ثم B لا تعتمد على A ، أي P (B / A) = P (B).

وهكذا ، في حالة الأحداث المستقلة ، تأخذ نظرية الضرب أبسط شكل:

ف (أ ب) = ف (أ) ف (ب) (1.3)

إذا كانت الأحداث A و B مستقلة ، فإن كل زوج من الأحداث التالية يكون مستقلاً أيضًا: (أ ، ب) ، (أ ، ب) ، (أ ، ب). فلنتأكد ، على سبيل المثال ، من أنه إذا كان A و B مستقلين ، فعندئذٍ يكون كل من A و B. الشروط P (B / A) = P (B) ، يلي: P (B / A) = 1 - P (B) = P (B).

يمكن أن تكون الأحداث مستقلة عن زوجي ، ولكن يتبين أنها تعتمد في المجمل. في هذا الصدد ، تم تقديم مفهوم الاستقلال المتبادل أيضًا: تسمى الأحداث А 1 ، ... ، А n مستقلة بشكل متبادل إذا كانت لأي مجموعة فرعية Е من المؤشرات 1،2 ، ... ، n المساواة

من الناحية العملية ، غالبًا ما يكون من الضروري تقييم احتمالات الفرضيات بعد إجراء بعض الاختبارات. لنفترض ، على سبيل المثال ، أن الحدث B يمكن أن يتحقق بواحد فقط من الأحداث غير المتوافقة A1 ، ... ، و n ، أي ودع الحدث B يتحقق. مطلوب للعثور على احتمال الفرضية (الحدث) A i تحت الشرط

ماذا حدث. من نظرية الضرب

P (A i B) = P (B) P (A i / B) = P (A i) P (B / A i)

مع الأخذ في الاعتبار صيغة الاحتمال الإجمالي لـ P (B) ، وهذا يعني

تسمى هذه الصيغ صيغ بايز.

مثال 1.3.افترض في المثال 1.2 أنه تم سحب كرة بيضاء وأنه من المطلوب تحديد احتمال أخذها من جرة من النوع 3.

احتمالات وقواعد التعامل معها. للحصول على وصف كامل لآلية التجربة العشوائية التي تم فحصها ، لا يكفي تحديد مساحة الأحداث الأولية فقط. من الواضح ، جنبًا إلى جنب مع سرد جميع النتائج المحتملة للتجربة العشوائية قيد الدراسة ، يجب أن نعرف أيضًا عدد المرات التي يمكن أن يحدث فيها حدث ابتدائي واحد أو آخر في سلسلة طويلة من هذه التجارب. في الواقع ، بالعودة ، على سبيل المثال ، إلى الأمثلة ، من السهل تخيل ذلك في إطار كل من

من هذه المساحات للأحداث الأولية ، يمكن للمرء أن يفكر في عدد لا حصر له من التجارب العشوائية التي تختلف اختلافًا كبيرًا في آليتها ، لذلك ، في الأمثلة 4.1-4.3 سيكون لدينا ترددات نسبية مختلفة بشكل كبير لحدوث نفس النتائج الأولية ، إذا استخدمنا لحظات مختلفة والنرد (متماثل ، مع مركز ثقل مزاح قليلاً ، مع مركز ثقل مزاح بقوة ، وما إلى ذلك) في الأمثلة 4.4-4.7 ، تكرار حدوث المنتجات المعيبة ، وطبيعة التلوث بالمنتجات المعيبة في القطع الخاضعة للرقابة و يعتمد تكرار حدوث عدد معين من حالات فشل آلات الخطوط الأوتوماتيكية على مستوى المعدات التكنولوجية للإنتاج قيد الدراسة: مع نفس مساحة الأحداث الأولية ، سيكون تكرار حدوث النتائج الأولية "الجيدة" أعلى في الإنتاج بمستوى أعلى من التكنولوجيا.

لبناء (في الحالة المنفصلة) نظرية رياضية كاملة وكاملة لتجربة عشوائية - نظرية الاحتمالات ، بالإضافة إلى المفاهيم الأولية المقدمة بالفعل لتجربة عشوائية ، والنتيجة الأولية والحدث العشوائي ، من الضروري تخزين افتراض أولي آخر (بديهية) يفترض وجود احتمالات الأحداث الأولية (تحقيق تطبيع معين) ، وتحديد احتمال أي حدث عشوائي.

اكسيوم. يتوافق كل عنصر في فضاء الأحداث الأولية Q مع بعض الخصائص العددية غير السلبية لفرص حدوثها ، والتي تسمى احتمالية حدث و

(من هذا ، على وجه الخصوص ، يتبع ذلك للجميع).

تحديد احتمالية وقوع حدث. يُعرَّف احتمال أي حدث أ بأنه مجموع احتمالات جميع الأحداث الأولية التي تشكل الحدث أ ، أي إذا استخدمت الرمزية للإشارة إلى "احتمالية الحدث أ" ، فحينئذٍ

من هذا و (4.2) يتبع ذلك على الفور ، علاوة على ذلك ، فإن احتمال حدوث حدث موثوق دائمًا

يساوي واحدًا ، واحتمال وقوع حدث مستحيل يساوي صفرًا. سيتم بالفعل اشتقاق جميع المفاهيم والقواعد الأخرى للأفعال ذات الاحتمالات والأحداث من التعريفات الأولية الأربعة المقدمة أعلاه (تجربة عشوائية ، نتيجة أولية ، حدث عشوائي واحتماله) وبديهية واحدة.

وبالتالي ، للحصول على وصف شامل لآلية التجربة العشوائية التي تم التحقيق فيها (في الحالة المنفصلة) ، من الضروري تحديد مجموعة محدودة أو قابلة للعد من جميع النتائج الأولية المحتملة Q ولكل نتيجة أولية تربط بعضها ببعض غير السلبي (لا يتجاوز 1) يتم تفسير الخاصية الرقمية على أنها احتمالية نتيجة النتيجة ونوع المراسلات المحددة يجب أن تفي بمتطلبات التطبيع (4.2).

الفضاء الاحتمالي هو بالضبط المفهوم الذي يضفي الطابع الرسمي على مثل هذا الوصف لآلية التجربة العشوائية. لتعيين مساحة احتمالية يعني تعيين مساحة الأحداث الأولية Q وتعريف فيها المراسلات المذكورة أعلاه من النوع

من الواضح أن نوع التطابق (4.4) يمكن تحديده بعدة طرق: باستخدام الجداول والرسوم البيانية والصيغ التحليلية وأخيراً بطريقة الخوارزميات.

كيف نبني فضاء احتمالي يتوافق مع مجموعة الظروف الحقيقية التي تم فحصها؟ كقاعدة عامة ، لا توجد صعوبات في ملء مفاهيم التجربة العشوائية ، والحدث الأولي ، ومساحة الأحداث الأولية ، وفي الحالة المنفصلة ، أي حدث عشوائي قابل للتحلل بمحتوى ملموس. لكن ليس من السهل تحديد احتمالات الأحداث الأولية الفردية من الشروط المحددة للمشكلة التي يتم حلها! تحقيقا لهذه الغاية ، يتم استخدام أحد الأساليب الثلاثة التالية.

يتكون النهج المسبق لحساب الاحتمالات من تحليل نظري تأملي للظروف المحددة لتجربة عشوائية معينة (قبل التجربة نفسها). في عدد من الحالات ، يتيح هذا التحليل الأولي إمكانية إثبات طريقة تحديد الاحتمالات المرغوبة نظريًا. على سبيل المثال ، حالة ممكنة عندما تكون مساحة كل ما هو ممكن

تتكون النتائج الأولية من عدد محدود من عناصر N ، وشروط إنتاج التجربة العشوائية التي تم فحصها بحيث تبدو احتمالات كل من هذه النتائج الأولية N مساوية لنا (في هذه الحالة نجد أنفسنا عند رمي عملة متماثلة ، أو رمي النرد الصحيح ، أو رسم بطاقة لعب عشوائيًا من مجموعة مختلطة جيدًا ، وما إلى ذلك). بحكم البديهية (4.2) ، فإن احتمال كل حدث أولي يساوي في هذه الحالة MN. يتيح لك ذلك الحصول على وصفة بسيطة لحساب احتمالية أي حدث: إذا كان الحدث A يحتوي على أحداث NA الابتدائية ، فعندئذٍ وفقًا للتعريف (4.3)

معنى الصيغة (4.3) هو أن احتمال وقوع حدث في فئة معينة من المواقف يمكن تعريفه على أنه نسبة عدد النتائج المواتية (أي النتائج الأولية المدرجة في هذا الحدث) إلى عدد جميع النتائج المحتملة ( ما يسمى بالتعريف الكلاسيكي للاحتمال). في التفسير الحديث ، لا تعد الصيغة (4.3) تعريفًا للاحتمال: فهي قابلة للتطبيق فقط في الحالة الخاصة عندما تكون جميع النتائج الأولية محتملة بشكل متساوٍ.

يبدأ نهج التردد اللاحق لحساب الاحتمالات ، في جوهره ، من تعريف الاحتمال ، المعتمد من قبل ما يسمى بمفهوم تردد الاحتمال (لمزيد من التفاصيل حول هذا المفهوم ، انظر ، على سبيل المثال ، في). وفقًا لهذا المفهوم ، يتم تعريف الاحتمال على أنه حد التكرار النسبي لحدوث النتيجة ج في عملية زيادة غير محدودة في العدد الإجمالي للتجارب العشوائية ، أي

أين هو عدد التجارب العشوائية (من إجمالي عدد التجارب العشوائية التي تم إجراؤها) التي تم فيها تسجيل ظهور حدث أولي ، وبناءً عليه ، من أجل التحديد العملي (التقريبي) للاحتمالات ، يُقترح أخذ الترددات النسبية لـ وقوع الحدث ω في فترة طويلة بما فيه الكفاية

عدد من التجارب العشوائية هذه الطريقة في حساب الاحتمالات لا تتعارض مع المفهوم الحديث (البديهي) لنظرية الاحتمال ، حيث أن الأخيرة مبنية بطريقة تجعل التناظرية التجريبية (أو الانتقائية) للاحتمال الموجود موضوعيا لأي حدث. A هو التكرار النسبي لحدوث هذا الحدث في سلسلة من الاختبارات المستقلة. تبين أن تعريفات الاحتمالات مختلفة في هذين المفهومين: وفقًا لمفهوم التردد ، فإن الاحتمال ليس هدفًا ، موجودًا قبل التجربة ، وهو خاصية للظاهرة قيد الدراسة ، ولكنه يظهر فقط فيما يتعلق بتجربة أو ملاحظة ؛ يؤدي هذا إلى مزيج من الخصائص النظرية (صحيح ، بسبب التعقيد الحقيقي لشروط "وجود" الظاهرة قيد الدراسة) ، والخصائص الاحتمالية ونظائرها التجريبية (الانتقائية). كما كتب جي كرامر ، "يمكن مقارنة التعريف المحدد للاحتمالية ، على سبيل المثال ، بتعريف النقطة الهندسية على أنها حد بقع الطباشير ذات الأحجام المتناقصة غير المحدودة ، ولكن الهندسة البديهية الحديثة لا تقدم مثل هذا التعريف" () . لن نتطرق هنا إلى العيوب الرياضية لمفهوم تردد الاحتمال. نلاحظ فقط الصعوبات الأساسية في تنفيذ التقنية الحسابية للحصول على قيم تقريبية باستخدام الترددات النسبية. أولاً ، الحفاظ على شروط التجربة العشوائية (أي الحفاظ على شروط المجموعة الإحصائية) ، والتي فيها لا يمكن دعم افتراض اتجاه الترددات النسبية إلى التجمع حول قيمة ثابتة إلى أجل غير مسمى وبدقة عالية. لذلك ، لتقدير الاحتمالات باستخدام الترددات النسبية ليس لديها

من المنطقي أن تأخذ سلسلة طويلة جدًا (أي كبيرة جدًا) ، وبالتالي ، بالمناسبة ، لا يمكن أن يكون المقطع الدقيق إلى الحد (4.5) منطقيًا. ثانيًا ، في المواقف التي يكون لدينا فيها عدد كبير بما فيه الكفاية من النتائج الأولية المحتملة (ويمكن أن تشكل مجموعة لا نهائية ، وحتى ، كما هو مذكور في القسم 4.1 ، مجموعة مستمرة) ، حتى في سلسلة طويلة عشوائية من التجارب العشوائية ، سيكون لدينا إمكانية النتائج التي لم تتحقق أبدًا في سياق تجربتنا ؛ وبالنسبة لبقية النتائج المحتملة ، فإن القيم التقريبية للاحتمالات التي تم الحصول عليها باستخدام الترددات النسبية ستكون غير موثوقة للغاية في ظل هذه الظروف.

إن نهج النموذج اللاحق لتحديد الاحتمالات المقابلة لمجموعة حقيقية من الظروف التي تم التحقيق فيها بشكل ملموس هو في الوقت الحاضر ، ربما ، الأكثر انتشارًا والأكثر ملاءمة من الناحية العملية. منطق هذا النهج على النحو التالي. من ناحية ، في إطار النهج البدائي ، أي في إطار التحليل النظري التأملي للمتغيرات المحتملة لخصوصية المجمعات الحقيقية الافتراضية للشروط ، مجموعة من مساحات احتمالية النموذج (ذات الحدين ، بواسون ، عادي ، أسي ، إلخ ، انظر الفقرة 6.1). من ناحية أخرى فإن الباحث لديه نتائج عدد محدود من التجارب العشوائية. علاوة على ذلك ، بمساعدة تقنيات رياضية وإحصائية خاصة (استنادًا إلى طرق التقدير الإحصائي للمعلمات غير المعروفة والاختبار الإحصائي للفرضيات ، انظر الفصلين 8 و 9) ، يقوم الباحث ، كما كان ، "بتعديل" النماذج الافتراضية لمساحات الاحتمال إلى نتائج الملاحظة التي حصل عليها (تعكس تفاصيل الواقع الحقيقي المدروس) وتترك للاستخدام الإضافي فقط هذا النموذج أو تلك النماذج التي لا تتعارض مع هذه النتائج والتي تتوافق معها بشكل أفضل.

دعونا الآن نصف القواعد الأساسية للأفعال مع احتمالات الأحداث ، والتي هي نتائج للتعريفات والبديهيات المذكورة أعلاه.

احتمال مجموع الأحداث (نظرية إضافة الاحتمالات). دعونا نصيغ ونثبت القاعدة لحساب احتمال مجموع حدثين ، وللقيام بذلك نقسم كل مجموعة من مجموعات الأحداث الأولية ،

مكونات الحدث إلى جزأين:

حيث يوحد جميع الأحداث الأولية ، المتضمنة في جميع الأحداث الأولية التي تم تضمينها في وقت واحد في استخدام التعريف (4.3) وتعريف منتج الأحداث ، لدينا:

في نفس الوقت ووفقًا لتعريف مجموع الأحداث ومع (4.3) لدينا

من (4.6) و (4.7) و (4.8) نحصل على صيغة إضافة الاحتمالات (لحدثين):

يمكن تعميم الصيغة (4.9) لإضافة الاحتمالات على حالة عدد تعسفي من المصطلحات (انظر ، على سبيل المثال ، 183 ، ص 105):

حيث يتم حساب "الإضافات" في شكل مجموع احتمالات النموذج

والتجميع على الجانب الأيمن ، من الواضح ، بشرط أن تكون جميعها مختلفة. في الحالة الخاصة ، عندما يتكون النظام الذي يهمنا فقط من أحداث غير متوافقة ، تكون جميع منتجات النموذج

ستكون أحداثًا فارغة (أو مستحيلة) ، وبناءً على ذلك ، تعطي الصيغة (4.9)

احتمالية حاصل ضرب الأحداث (نظرية الضرب الاحتمالية). احتمال مشروط.

دعونا نفكر في المواقف التي تستبعد فيها حالة محددة مسبقًا أو تثبيت حدث معين قد حدث بالفعل من قائمة بعض الأحداث الأولية المحتملة للفضاء الاحتمالي الذي تم تحليله. لذلك ، عند تحليل مجموعة من المنتجات ذات الإنتاج الضخم N والتي تحتوي على منتجات من الدرجات الأولى والثانية والثالثة والرابعة ، فإننا نعتبر الفضاء الاحتمالي مع النتائج الأولية واحتمالاتها ، على التوالي (هنا يعني الحدث الذي أخذ المنتج عشوائيًا منه تحولت المجموعة إلى أصناف). لنفترض أن شروط فرز المنتجات هي أنه في مرحلة ما ، يتم فصل منتجات الدرجة الأولى عن عامة السكان وجميع الاستنتاجات الاحتمالية (وعلى وجه الخصوص ، حساب احتمالات الأحداث المختلفة) علينا أن نبنيها فيما يتعلق إلى السكان المخفضين ، الذين يتألفون فقط من منتجات الصف الثاني والثالث والرابع. في مثل هذه الحالات ، من المعتاد التحدث عن الاحتمالات الشرطية ، أي عن الاحتمالات المحسوبة في ظل حالة حدث معين وقع بالفعل. في هذه الحالة ، يكون مثل هذا الحدث المحقق حدثًا ، أي أن الحدث الذي يتكون في أي منتج يتم استخراجه عشوائيًا يكون إما من الدرجة الثانية أو الثالثة أو الرابعة. لذلك ، إذا كنا مهتمين بحساب الاحتمال الشرطي للحدث A (بشرط أن يكون الحدث B قد حدث بالفعل) ، على سبيل المثال ، في حقيقة أن المنتج المستخرج عشوائيًا تبين أنه من الدرجة الثانية أو الثالثة ، إذن ، من الواضح ، يمكن تحديد هذا الاحتمال الشرطي (نشير إليه) بالعلاقة التالية:

نظرًا لأنه من السهل أن نفهم من هذا المثال ، فإن حساب الاحتمالات الشرطية ، في جوهره ، هو انتقال إلى آخر ، يتم اقتطاعه بواسطة شرط معين في فضاء الأحداث الأولية ، عندما تكون نسبة احتمالات الأحداث الأولية في الفضاء المقطوع تظل كما هي في النسخة الأصلية (الأوسع) ، ولكن يتم تطبيعها جميعًا (مقسومة على) بحيث يتم استيفاء متطلبات التطبيع (4.2) في مساحة الاحتمالات الجديدة أيضًا. بالطبع ، لا يمكن للمرء إدخال المصطلحات مع الاحتمالات الشرطية ، ولكن ببساطة استخدام جهاز الاحتمالات العادية ("غير المشروطة") في الفضاء الجديد. الكتابة من حيث احتمالات الفضاء "القديم" مفيدة في تلك الحالات عندما ، وفقًا لظروف مشكلة معينة ، يجب أن نتذكر دائمًا وجود مساحة أولية أوسع من الأحداث الأولية.

نحصل على صيغة الاحتمال الشرطي في الحالة العامة. دع B يكون حدثًا (غير فارغ) ، N يعتبر أنه قد حدث بالفعل ("الشرط") ، حدث ، يتم حساب الاحتمال الشرطي له. يتكون الفضاء الجديد (المبتور) للأحداث الأولية Q فقط من الأحداث الأولية المدرجة في B ، وبالتالي ، يتم تحديد احتمالاتها (مع حالة التطبيع) من خلال العلاقات

حسب التعريف ، الاحتمال هو احتمال وقوع الحدث A في مساحة الاحتمال "المقطوعة" ، وبالتالي ، وفقًا لـ (4.3) و (4.10)

أو ، وهو نفس الشيء ،

عادة ما تسمى الصيغ المكافئة (4.11) و (4.11 ") معادلة الاحتمال الشرطي وقاعدة مضاعفة الاحتمالات ، على التوالي.

نؤكد مرة أخرى أن النظر في الاحتمالات الشرطية للأحداث المختلفة تحت نفس الشرط B يكافئ النظر في الاحتمالات العادية في مساحة أخرى (مختصرة) للأحداث الأولية عن طريق إعادة حساب الاحتمالات المقابلة للأحداث الأولية باستخدام الصيغة (4.10). لذلك ، تظل جميع النظريات العامة وقواعد الإجراءات ذات الاحتمالات صالحة للاحتمالات الشرطية إذا تم أخذ هذه الاحتمالات الشرطية تحت نفس الشرط.

استقلال الأحداث.

يتم استدعاء حدثين A و B مستقلين إذا

لتوضيح طبيعة هذا التعريف ، ننتقل إلى نظرية الضرب الاحتمالية (4.11) ونرى ما هي الحالات (4.12) التي تليها. من الواضح أن هذا يمكن أن يحدث عندما يكون الاحتمال الشرطي مساويًا للاحتمال غير المشروط المقابل ، أي ، بشكل تقريبي ، عندما لا تؤثر المعرفة بحدوث الحدث بأي شكل من الأشكال على تقييم فرص حدوث الحدث A.

فيما يلي امتداد تعريف الاستقلال إلى نظام يضم أكثر من حدثين. تسمى الأحداث مستقلة بشكل متبادل إذا كانت لأي أزواج أو ثلاثية أو رباعية ، إلخ. الأحداث المأخوذة عينات من هذه المجموعة من الأحداث ، فإن قواعد الضرب التالية صالحة:

من الواضح أن السطر الأول يعني

(عدد التوليفات من k في اثنين) المعادلتين ، في الثانية - وهكذا ، وبالتالي ، في المجموع ، (4.13) يوحد الشروط. في نفس الوقت ، شروط السطر الأول كافية لضمان استقلالية هذه الأحداث. وعلى الرغم من أن الاستقلالية الزوجية والمتبادلة لنظام الأحداث ، بالمعنى الدقيق للكلمة ، ليست هي نفسها ، فإن الاختلاف بينهما نظري إلى حد ما وليس اهتمامًا عمليًا: أمثلة مهمة عمليًا للأحداث المستقلة الزوجية غير المستقلة بشكل متبادل ، على ما يبدو ، غير موجودة.

تسهل خاصية استقلالية الأحداث إلى حد كبير تحليل الاحتمالات المختلفة المرتبطة بنظام الأحداث قيد الدراسة. يكفي أن نقول أنه في الحالة العامة لوصف احتمالات جميع التوليفات الممكنة لأحداث النظام ، فمن الضروري تحديد احتمالين ، ثم في حالة الاستقلال المتبادل لهذه الأحداث ، تكون احتمالات k فقط كافية

غالبًا ما تصادف الأحداث المستقلة في الواقع المدروس ، ويتم إجراؤها في تجارب (ملاحظات) تتم بشكل مستقل عن بعضها البعض بالمعنى المادي المعتاد.

إنها خاصية استقلالية نتائج أربع رميات متتالية للنرد التي جعلت من الممكن (بمساعدة (4.13)) بسهولة حساب احتمال عدم السقوط (لأي من هذه الرميات) ستة في مشكلة القسم 2.2.1. في الواقع ، بعد أن حدد الحدث أن الستة لم يسقطوا في الرمية (هذا الاحتمال يأتي مباشرة من حقيقة أن الأحداث تستنفد المساحة الإجمالية للأحداث الأولية ولا تتقاطع في أزواج) ، أي

علاوة على ذلك ، باستخدام نظرية إضافة الاحتمالات (فيما يتعلق بالأحداث غير المتسقة ، وهي أحداث) وحساب احتمالية كل منتج من خلال معادلة حاصل ضرب الاحتمالات (4.1 د) ، نحصل على (4.14).

صيغة بايز.

دعونا ننتقل أولاً إلى المشكلة التالية. يوجد في المستودع أجهزة مصنعة من قبل ثلاثة مصانع: 20٪ من الأجهزة الموجودة في المستودع يتم تصنيعها بواسطة المصنع رقم 1 ، و 50٪ - حسب المصنع رقم 2 و 30٪ - حسب المصنع رقم 3. احتمال أن الجهاز سيحتاج إلى إصلاحات خلال فترة الضمان للمنتجات كل مصنع يساوي 0.2 ، على التوالي ؛ 0.1 ؛ 0.3 الجهاز المأخوذ من المستودع لا يحمل علامات المصنع ويحتاج إلى إصلاح (خلال فترة الضمان). ما هو المصنع الذي صنع هذا الجهاز على الأرجح؟ ما هو هذا الاحتمال؟ إذا قمنا بتعيين حدث يتكون من حقيقة أن جهازًا مأخوذًا عن طريق الخطأ من مستودع تبين أنه تم تصنيعه في

استبدال (4.16) و (4.17) في (4.15) نحصل عليها

باستخدام هذه الصيغة ، من السهل حساب الاحتمالات المطلوبة:

وبالتالي ، من المرجح أن الجهاز دون المستوى تم تصنيعه في المصنع رقم 3.

إن إثبات المعادلة (4.18) في حالة وجود نظام كامل للأحداث يتكون من عدد تعسفي k من الأحداث يكرر تمامًا إثبات الصيغة (4.18). في هذا الشكل العام ، الصيغة

يطلق عليها عادة صيغة بايز.