تعني التحولات الأولية للصفوف (الأعمدة) في المصفوفة الإجراءات التالية:

1. إعادة ترتيب صفين (أعمدة).
2. ضرب جميع عناصر الصف (العمود) بعدد ما $ a \ neq 0 $.
3. مجموع كل عناصر صف واحد (عمود) مع العناصر المقابلة لصف آخر (عمود) ، مضروبًا في عدد حقيقي.

إذا طبقنا بعض التحويل الأولي على صفوف أو أعمدة المصفوفة $ A $ ، فسنحصل على مصفوفة جديدة $ B $. في هذه الحالة ، $ \ rang (A) = \ rang (B) $ ، أي التحولات الأولية لا تغير رتبة المصفوفة.

إذا كان $ \ rang A = \ rang B $ ، فسيتم استدعاء المصفوفتين $ A $ و $ B $ ما يعادل... حقيقة أن المصفوفة $ A $ تعادل المصفوفة $ B $ تتم كتابتها على النحو التالي: $ A \ sim B $.

غالبًا ما يتم استخدام الترميز التالي: $ A \ rightarrow B $ ، مما يعني أن المصفوفة $ B $ يتم الحصول عليها من المصفوفة $ A $ باستخدام بعض التحويلات الأولية.

عند العثور على الترتيب باستخدام طريقة Gaussian ، يمكنك العمل مع كل من الصفوف والأعمدة. يعتبر العمل مع السلاسل أكثر ملاءمة ، لذلك ، في الأمثلة الموجودة في هذه الصفحة ، يتم إجراء التحويلات على سلاسل المصفوفة.

لاحظ أن التحويل لا يغير رتبة المصفوفة ، أي $ \ رن (A) = \ رن (A ^ T) $. في بعض الحالات ، تكون هذه الخاصية ملائمة للاستخدام (انظر المثال رقم 3) ، لأنه ، إذا لزم الأمر ، من السهل إنشاء أعمدة للصفوف والعكس صحيح.

وصف موجز للخوارزمية

دعنا نقدم بعض المصطلحات. خط الصفر- سلسلة ، كل عناصرها تساوي الصفر. سلسلة غير صفرية- سلسلة ، يكون عنصر واحد منها على الأقل غير صفري. العنصر الرائدتسمى السلسلة غير الصفرية العنصر الأول (العد من اليسار إلى اليمين) غير الصفري. على سبيل المثال ، في السطر $ (0 ؛ 0 ؛ 5 ؛ -9 ؛ 0) $ ، سيكون العنصر الأول هو العنصر الثالث (يساوي 5).

رتبة أي مصفوفة صفرية هي 0 ، لذلك سننظر في مصفوفات أخرى غير الصفر. الهدف النهائي من تحويلات المصفوفة هو جعلها تتقدم. رتبة المصفوفة المتدرجة تساوي عدد الصفوف غير الصفرية.

تتكون الطريقة المدروسة لإيجاد رتبة المصفوفة من عدة خطوات. تستخدم الخطوة الأولى السطر الأول ، وتستخدم الخطوة الثانية السطر الثاني ، وهكذا. عندما تحت الصف الذي نستخدمه في الخطوة الحالية ، تبقى صفوف صفرية فقط ، أو لا توجد صفوف على الإطلاق ، تتوقف الخوارزمية ، لأن المصفوفة الناتجة ستتدرج.

الآن دعنا ننتقل إلى تلك التحولات على السلاسل التي يتم إجراؤها في كل خطوة من الخوارزمية. لنفترض أنه تحت السطر الحالي ، الذي نحتاج إلى استخدامه في هذه الخطوة ، هناك سطور غير صفرية ، و $ k $ هو رقم العنصر الأول في السطر الحالي ، و $ k _ (\ min) $ هو الأصغر من أرقام العناصر الرائدة لتلك الخطوط التي تقع أسفل الخط الحالي ...

• إذا كان $ k \ lt (k _ (\ min)) $ ، فانتقل إلى الخطوة التالية من الخوارزمية ، أي لاستخدام السطر التالي.
• إذا كان $ k = k _ (\ min) $ ، فإننا نخرج صفرًا من العناصر المحورية لتلك الصفوف الأساسية التي يكون رقمها المحوري $ k _ (\ min) $. إذا ظهرت صفر صفوف ، فإننا ننقلها إلى أسفل المصفوفة. ثم ننتقل إلى الخطوة التالية من الخوارزمية.
• إذا كان $ k \ gt (k _ (\ min)) $ ، فإننا نستبدل السطر الحالي بأحد هذه الأسطر أدناه ، ورقمه المحوري هو $ k _ (\ min) $. بعد ذلك ، نخرج صفرًا من العناصر المحورية لتلك الصفوف الأساسية التي يكون رقمها المحوري $ k _ (\ min) $. إذا لم تكن هناك مثل هذه الخطوط ، فانتقل إلى الخطوة التالية من الخوارزمية. إذا ظهرت صفر صفوف ، فإننا ننقلها إلى أسفل المصفوفة.

كيف يتم صفير العناصر المحورية بالضبط ، سننظر في الممارسة العملية. تشير الأحرف $ r $ (من كلمة "row") إلى الصفوف: $ r_1 $ هو الصف الأول ، و $ r_2 $ هو الصف الثاني ، وهكذا. تشير الأحرف $ c $ (من الكلمة "عمود") إلى الأعمدة: $ c_1 $ - العمود الأول ، $ c_2 $ - العمود الثاني ، وهكذا.

في الأمثلة الموجودة في هذه الصفحة ، سأستخدم $ k $ للإشارة إلى الرقم المحوري للسطر الحالي ، وسيتم استخدام $ k _ (\ min) $ للإشارة إلى أصغر رقم محوري للأسطر الموجودة أسفل السطر الحالي.

مثال 1

ابحث عن رتبة المصفوفة $ A = \ left (\ begin (array) (ccccc) -2 & 3 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 4 & -11 & -5 & 12 & 18 \\ -9 & 6 & 0 & -2 & 21 \\ -5 & 5 & 1 & 1 & 1 \ end (مجموعة) \ يمين) $.

الخطوة الأولى

في الخطوة الأولى ، نعمل مع السطر الأول. في الصف الأول من المصفوفة المعطاة ، يكون العنصر الرئيسي هو الأول ، أي الرقم المحوري للسطر الأول $ k = 1 $. لنلقِ نظرة على الخطوط الموجودة أسفل السطر الأول. العناصر البادئة في هذه السطور مرقمة 4 و 1 و 1 و 1. أصغر هذه الأرقام هو $ k _ (\ min) = 1 $. نظرًا لأن $ k = k _ (\ min) $ ، فإننا نخرج صفرًا من العناصر المحورية لتلك الصفوف الأساسية التي يكون رقمها المحوري $ k _ (\ min) $. بمعنى آخر ، تحتاج إلى صفر من العناصر الرئيسية للخطوط الثالثة والرابعة والخامسة.

من حيث المبدأ ، يمكنك البدء بصفر العناصر المذكورة أعلاه ، ولكن بالنسبة لتلك التحويلات التي يتم إجراؤها إلى الصفر ، يكون مناسبًا عندما يكون العنصر الأول في السلسلة المستخدمة واحدًا. هذا ليس ضروريًا ، ولكنه يجعل الحسابات بسيطة للغاية. لدينا الرقم -2 كعنصر رئيسي في السطر الأول. هناك عدة خيارات لاستبدال الرقم "غير الملائم" برقم واحد (أو رقم (-1)). يمكنك ، على سبيل المثال ، ضرب السطر الأول في 2 ، ثم طرح السطر الخامس من السطر الأول. أو يمكنك ببساطة تبديل العمودين الأول والثالث. بعد إعادة ترتيب العمودين # 1 و # 3 ، نحصل على مصفوفة جديدة تعادل المصفوفة المعطاة $ A $:

$$ \ يسار (\ start (مجموعة) (ccccc) -2 & 3 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 4 & -11 & -5 & 12 & 18 \ \ -9 & 6 & 0 & -2 & 21 \\ -5 & 5 & 1 & 1 & 1 \ end (مجموعة) \ يمين) \ ظرف (c_1 \ leftrightarrow (c_3)) (\ sim) \ left (\ ابدأ (مجموعة) (ccccc) \ boldred (1) & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ \ normblue (-5) & -11 & 4 & 12 & 18 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ \ normgreen (1) & 5 & -5 & 1 & 1 \ end (array) \ right) $$

العنصر الرئيسي في السطر الأول هو واحد. لم يتغير الرقم المحوري للسطر الأول: $ k = 1 $. أرقام العناصر الرئيسية للخطوط الموجودة أسفل الأول هي كما يلي: 4 ، 1 ، 2 ، 1. أصغر رقم هو $ k _ (\ min) = 1 $. نظرًا لأن $ k = k _ (\ min) $ ، فإننا نخرج صفرًا من العناصر المحورية لتلك الصفوف الأساسية التي يكون رقمها المحوري $ k _ (\ min) $. هذا يعني أنك بحاجة إلى صفر من العناصر الرئيسية للخطين الثالث والخامس. يتم تمييز هذه العناصر باللونين الأزرق والأخضر.

للتخلص من العناصر المطلوبة إلى الصفر ، سنقوم بعمليات باستخدام صفوف المصفوفة. سأكتب هذه العمليات بشكل منفصل:

$$ \ start (المحاذاة) & r_3- \ frac (\ normblue (-5)) (\ boldred (1)) \ cdot (r_1) = r_3 + 5r_1 ؛ \\ & r_5- \ frac (\ normgreen (1) ) (\ boldred (1)) \ cdot (r_1) = r_5-r_1. نهاية (محاذاة) $$

يعني السجل $ r_3 + 5r_1 $ أن العناصر المقابلة من السطر الأول ، مضروبة في خمسة ، قد تمت إضافتها إلى عناصر السطر الثالث. النتيجة مكتوبة في مكان الصف الثالث في مصفوفة جديدة. إذا ظهرت صعوبات في الأداء الشفوي لمثل هذه العملية ، فيمكن تنفيذ هذا الإجراء بشكل منفصل:

$$ r_3 + 5r_1 = (- 5 ؛ \ ؛ - 11 ؛ \ ؛ 4 ؛ \ ؛ 12 ؛ \ ؛ 18) +5 \ cdot (1 ؛ \ ؛ 3 ؛ \ ؛ - 2 ؛ \ ؛ 0 ؛ \ ؛ - 4) = \\ = (- 5 ؛ \ ؛ - 11 ؛ \ ؛ 4 ؛ \ ؛ 12 ؛ \ ؛ 18) + (5 ؛ \ ؛ 15 ؛ \ ؛ - 10 ؛ \ ؛ 0 ؛ \ ؛ - 20) = (0 ؛ \ ؛ 4 ؛ \ ؛ - 6 ؛ \ ؛ 12 ؛ \ ؛ - 2). $$

الإجراء $ r_5-r_1 $ مشابه. نتيجة لتحويلات الأوتار ، نحصل على المصفوفة التالية:

$$ \ يسار (\ start (مجموعة) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ -5 & -11 & 4 & 12 & 18 \ \ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 1 & 5 & -5 & 1 & 1 \ end (array) \ right) \ start (array) (l) \ phantom (0) \\ \ phantom ( 0) \\ r_3 + 5r_1 \\ \ phantom (0) \\ r_5-r_1 \ end (مجموعة) \ sim \ left (\ begin (array) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 4 & -6 & 12 & -2 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \ نهاية (مجموعة) \ حق) $$

في هذه المرحلة ، يمكن اعتبار الخطوة الأولى كاملة. نظرًا لوجود خطوط غير صفرية تحت السطر الأول ، فأنت بحاجة إلى مواصلة العمل. التحذير الوحيد: في الصف الثالث من المصفوفة الناتجة ، يتم تقسيم جميع العناصر بالكامل على 2. لتقليل الأرقام وتبسيط حساباتنا ، نقوم بضرب عناصر الصف الثالث في $ \ frac (1) (2) $ ، ثم انتقل إلى الخطوة الثانية:

$$ \ يسار (\ start (مجموعة) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 4 & -6 & 12 & -2 \ \ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \ end (مجموعة) \ يمين) \ ابدأ (مجموعة) (l) \ فانتوم (0) \\ \ فانتوم ( 0) \\ 1/2 \ cdot (r_3) \\ \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \ end (array) \ sim \ left (\ begin (array) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 2 & -3 & 6 & -1 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & - 3 & 1 & 5 \ نهاية (مجموعة) \ يمين) $$

الخطوة الثانية

في الخطوة الثانية ، نتعامل مع السطر الثاني. في الصف الثاني من المصفوفة ، المسافة البادئة هي العنصر الرابع ، أي الرقم المحوري للسطر الثاني $ k = 4 $. لنلقِ نظرة على الخطوط الموجودة أسفل السطر الثاني. العناصر البادئة في هذه الأسطر مرقمة 2 و 2 و 2. أصغر هذه الأرقام هو $ k _ (\ min) = 2 $. نظرًا لأن $ k \ gt (k _ (\ min)) $ ، فأنت بحاجة إلى تبديل السطر الثاني الحالي بأحد هذه الأسطر التي يكون رقمها المحوري $ k _ (\ min) $. بمعنى آخر ، تحتاج إلى تغيير السطر الثاني بالثالث أو الرابع أو الخامس. سأختار السطر الخامس (هذا سوف يتجنب ظهور الكسور) ، أي تبديل الخطين الخامس والثاني:

$$ \ يسار (\ start (مجموعة) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 2 & -3 & 6 & -1 \ \ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \ end (مجموعة) \ يمين) \ ظاهر (r_2 \ leftrightarrow (r_5)) (\ sim) \ left (\ ابدأ (مجموعة) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & \ boldred (2) & -3 & 1 & 5 \\ 0 & \ normblue (2) & -3 & 6 & - 1 \\ 0 & \ normgreen (6) & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \ end (array) \ right) $$

لنلق نظرة على السطر الثاني مرة أخرى. الآن العنصر الرئيسي هو العنصر الثاني (يتم تمييزه باللون الأحمر) ، أي دولار ك = 2 دولار. أصغر عدد من الأرقام المحورية للصفوف الأساسية (أي من الأرقام 2 و 2 و 4) سيكون $ k _ (\ min) = 2 $. نظرًا لأن $ k = k _ (\ min) $ ، فإننا نخرج صفرًا من العناصر المحورية لتلك الصفوف الأساسية التي يكون رقمها المحوري $ k _ (\ min) $. هذا يعني أنك بحاجة إلى صفر من العناصر الأساسية للخطين الثالث والرابع. يتم تمييز هذه العناصر باللونين الأزرق والأخضر.

لاحظ أنه في الخطوة السابقة ، تم جعل 1 العنصر البادئ للصف الحالي باستخدام تبديل العمود. تم القيام بذلك لتجنب العمل مع الكسور. هنا ، أيضًا ، يمكنك وضع واحد في مكان محور الصف الثاني: على سبيل المثال ، عن طريق تبديل العمودين الثاني والرابع. ومع ذلك ، لن نفعل ذلك ، لأن الكسور لن تظهر على أي حال. ستكون الإجراءات ذات السلاسل كما يلي:

$$ \ start (المحاذاة) & r_3- \ frac (\ normblue (2)) (\ boldred (2)) \ cdot (r_2) = r_3-r_2 ؛ \\ & r_4- \ frac (\ normgreen (6)) (\ boldred (2)) \ cdot (r_2) = r_4-3r_2. نهاية (محاذاة) $$

عند إجراء العمليات المشار إليها ، نصل إلى المصفوفة التالية:

$$ \ يسار (\ start (مجموعة) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 2 & -3 & 6 & -1 \ \ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \ end (array) \ right) \ start (array) (l) \ phantom (0) \\ \ phantom ( 0) \\ r_3-r_2 \\ r_4-3r_2 \\ \ phantom (0) \ end (array) \ sim \ left (\ begin (array) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \ 0 & 0 & 0 & -5 & 6 \ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \ end (مجموعة ) حق) $$

الخطوة الثانية اكتملت الآن. نظرًا لوجود خطوط غير صفرية تحت السطر الثاني ، ننتقل إلى الخطوة الثالثة.

خطوة ثالثة

في الخطوة الثالثة ، نعمل مع السطر الثالث. في الصف الثالث من المصفوفة ، العنصر الرئيسي هو الرابع ، أي الرقم المحوري للصف الثالث $ k = 4 $. لنلقِ نظرة على الخطوط الموجودة أسفل السطر الثالث. العناصر البادئة في هذه السطور مرقمة 4 و 4 ، وأصغرها $ k _ (\ min) = 4 $. نظرًا لأن $ k = k _ (\ min) $ ، فإننا نخرج صفرًا من العناصر المحورية لتلك الصفوف الأساسية التي يكون رقمها المحوري $ k _ (\ min) $. هذا يعني أنك تحتاج إلى صفر من العناصر الأساسية للخط الرابع والخامس. التحولات التي يتم إجراؤها لهذا الغرض تشبه تمامًا تلك التي تم إجراؤها سابقًا:

$$ \ يسار (\ start (مجموعة) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & -5 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \ end (array) \ right) \ start (array) (l) \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \\ r_4 + r_3 \\ r_5-r_3 \ end (مجموعة) \ sim \ left (\ begin (array) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ نهاية (مجموعة) \ يمين) $$

لا يوجد سوى خطوط صفرية تحت السطر الثالث. هذا يعني أن التحويل قد اكتمل. لقد أحضرنا المصفوفة إلى شكل متدرج. نظرًا لأن المصفوفة المصغرة تحتوي على ثلاثة صفوف غير صفرية ، فإن رتبتها هي 3. وبالتالي ، فإن رتبة المصفوفة الأصلية هي أيضًا ثلاثة ، أي ، $ \ رن A = 3 دولارات. الحل الكامل بدون تفسير هو:

$$ \ يسار (\ start (مجموعة) (ccccc) -2 & 3 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 4 & -11 & -5 & 12 & 18 \ \ -9 & 6 & 0 & -2 & 21 \\ -5 & 5 & 1 & 1 & 1 \ end (مجموعة) \ يمين) \ ظرف (c_1 \ leftrightarrow (c_3)) (\ sim) \ left (\ تبدأ (مجموعة) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ -5 & -11 & 4 & 12 & 18 \\ 0 & 6 & - 9 & -2 & 21 \\ 1 & 5 & -5 & 1 & 1 \ end (array) \ right) \ start (array) (l) \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \\ r_3 + 5r_1 \\ \ وهمي (0) \\ r_5-r_1 \ end (مجموعة) \ sim $$ $$ \ sim \ left (\ begin (array) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 4 & -6 & 12 & -2 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \ نهاية (مجموعة) \ يمين) \ تبدأ (مجموعة) (ل) \ فانتوم (0) \ \ فانتوم (0) \ 1/2 \ cdot (r_3) \ \ فانتوم (0) \ \ فانتوم (0) \ end (مجموعة) \ sim \ left (\ start (array) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 2 & -3 & 6 & -1 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \ end (مجموعة) \ يمين) \ ظاهر (r_2 \ leftrightarrow (r_5)) (\ sim ) \ left (\ start (array) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \ \ 0 & 2 & -3 & 6 & -1 \ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \ نهاية (مجموعة) \ يمين) \ ابدأ (مجموعة) (l) \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \\ r_3-r_2 \\ r_4-3r_2 \\ \ phantom (0) \ end (array) \ sim $$ $$ \ sim \ left (\ start (مجموعة) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & - 5 & ​​6 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \ end (array) \ right) \ start (array) (l) \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \\ \ phantom ( 0) \\ r_4 + r_3 \\ r_5-r_3 \ end (مجموعة) \ sim \ left (\ begin (array) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ end (array) \ right) $$

إجابة: $ \ رن A = 3 دولارات.

مثال رقم 2

أوجد رتبة المصفوفة $ A = \ left (\ begin (array) (ccccc) 11 & -13 & 61 & 10 & -11 \\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2 \\ -3 & 5 & -17 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \ end (مجموعة) \ يمين) $.

هذه المصفوفة ليست صفراً ، ما يعني أن مرتبتها أكبر من الصفر. دعنا ننتقل إلى الخطوة الأولى من الخوارزمية.

الخطوة الأولى

في الخطوة الأولى ، نعمل مع السطر الأول. في الصف الأول من المصفوفة المعطاة ، يكون العنصر الرئيسي هو الأول ، أي الرقم المحوري للسطر الأول $ k = 1 $. لنلقِ نظرة على الخطوط الموجودة أسفل السطر الأول. العناصر الرئيسية في هذه السطور مرقمة 1 ، أي أصغر رقم محوري للخطوط الأساسية هو $ k _ (\ min) = 1 $. نظرًا لأن $ k = k _ (\ min) $ ، من الضروري استبعاد العناصر المحورية لهذه الصفوف الأساسية التي يكون رقمها المحوري $ k _ (\ min) $. بمعنى آخر ، تحتاج إلى صفر من العناصر الرئيسية للخطوط الثانية والثالثة والرابعة.

لتسهيل العمليات الحسابية ، سنجعل العنصر الرئيسي في السطر الأول واحدًا. في المثال السابق ، قمنا بتبديل الأعمدة ، لكن هذا الإجراء لن يعمل مع هذه المصفوفة - لا توجد عناصر مساوية لعنصر واحد في هذه المصفوفة. لنقم بإجراء إضافي واحد: $ r_1-5r_2 $. ثم سيكون محور الصف الأول 1.

$$ \ يسار (\ start (مجموعة) (ccccc) 11 & -13 & 61 & 10 & -11 \\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2 \\ -3 & 5 & -17 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \ end (array) \ right) \ start (array) (l) r_1-5r_2 \\ \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \ end (array) \ sim \ left (\ start (array) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2 \\ -3 & 5 & ​​-17 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \ end (مجموعة) \ حق) $$

العنصر الرئيسي في السطر الأول هو واحد. دعنا نستبعد العناصر الرئيسية للصفوف الأساسية:

$$ \ يسار (\ start (مجموعة) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2 \\ -3 & 5 & -17 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \ end (array) \ right) \ start (array) (l) \ phantom (0) \\ r_2-2r_1 \\ r_3 + 3r_1 \\ r_4-4r_1 \ نهاية (مجموعة) \ sim \ left (\ start (array) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & -4 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 12 & 0 & 7 & -4 \ end (مجموعة) \ يمين) $$

الخطوة الأولى قد انتهت. نظرًا لوجود خطوط غير صفرية تحت السطر الأول ، فأنت بحاجة إلى مواصلة العمل.

الخطوة الثانية

في الخطوة الثانية ، نتعامل مع السطر الثاني. في الصف الثاني من المصفوفة ، العنصر الرئيسي هو الثاني ، أي الرقم المحوري للسطر الثاني $ k = 2 $. العناصر البادئة في الأسطر أدناه لها نفس الرقم 2 ، لذا $ k _ (\ min) = 2 $. نظرًا لأن $ k = k _ (\ min) $ ، فإننا نخرج صفرًا من العناصر المحورية لتلك الصفوف الأساسية التي يكون رقمها المحوري $ k _ (\ min) $. هذا يعني أنك بحاجة إلى صفر من العناصر الأساسية للخطين الثالث والرابع.

$$ \ يسار (\ start (مجموعة) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & -4 & 1 & -2 & 0 \ \ 0 & 12 & 0 & 7 & -4 \ نهاية (مجموعة) \ يمين) \ ابدأ (مجموعة) (l) \ فانتوم (0) \ \ فانتوم (0) \ r_3 + r_2 \ r_4-3r_2 \ نهاية (مجموعة) \ sim \ left (\ start (array) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & -4 \ end (مجموعة) \ يمين) $$

ظهر سطر فارغ. دعنا نسقطها في أسفل المصفوفة:

$$ \ يسار (\ ابدأ (مجموعة) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 3 & 1 & -4 \ end (array) \ right) \ overet (r_3 \ leftrightarrow (r_4)) (\ sim) \ left (\ begin (array) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ end (مجموعة) \ يمين) $$

الخطوة الثانية اكتملت الآن. لاحظ أننا حصلنا بالفعل على مصفوفة متدرجة. ومع ذلك ، يمكننا إنهاء الخوارزمية رسميًا. نظرًا لوجود أسطر غير صفرية تحت السطر الثاني ، يجب أن تنتقل إلى الخطوة الثالثة وتعمل مع السطر الثالث ، لكن لا توجد أسطر غير صفرية تحت السطر الثالث. لذلك ، اكتمل التحويل.

بالمناسبة ، المصفوفة التي تلقيناها هي شبه منحرف. المصفوفة شبه المنحرفة هي حالة خاصة لمصفوفة متدرجة.

نظرًا لأن هذه المصفوفة تحتوي على ثلاثة صفوف غير صفرية ، فإن رتبتها هي 3. وبالتالي ، فإن رتبة المصفوفة الأصلية هي أيضًا ثلاثة ، أي ، رن (أ) = 3 دولارات. الحل الكامل بدون تفسير هو:

$$ \ يسار (\ start (مجموعة) (ccccc) 11 & -13 & 61 & 10 & -11 \\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2 \\ -3 & 5 & -17 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \ end (array) \ right) \ start (array) (l) r_1-5r_2 \\ \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \ end (array) \ sim \ left (\ start (array) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2 \\ -3 & 5 & ​​-17 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \ نهاية (مجموعة) \ يمين) \ ابدأ (مجموعة) (l) \ فانتوم (0) \\ r_2-2r_1 \ \ r_3 + 3r_1 \\ r_4-4r_1 \ end (مجموعة) \ sim $$ $$ \ يسار (\ start (مجموعة) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & -4 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 12 & 0 & 7 & -4 \ end (array) \ right) \ begin (array) (l) \ phantom (0) \\ \ وهمي (0) \\ r_3 + r_2 \\ r_4-3r_2 \ end (مجموعة) \ sim \ left (\ start (array) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & -4 \ end (مجموعة) \ يمين) \ ظاهر (r_3 \ leftrightarrow (r_4)) ( \ sim) \ left (\ start (array) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & -4 \ \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ نهاية (مجموعة) \ يمين) $$

إجابة: $ \ رن A = 3 دولارات.

مثال رقم 3

ابحث عن رتبة المصفوفة $ A = \ left (\ begin (array) (ccc) 0 & 2 & -4 \\ -1 & -4 & 5 \\ 3 & 1 & 7 \\ 0 & 5 & -10 \\ 2 & 3 & 0 \ end (مجموعة) \ يمين) $.

في بعض الأحيان في عملية الحل يكون من المناسب تبديل المصفوفة. نظرًا لأن رتبة المصفوفة المنقولة تساوي رتبة المصفوفة الأصلية ، فإن مثل هذه العملية مقبولة تمامًا. هذا المثال سوف ينظر في مثل هذه الحالة فقط. أثناء عمليات التحويل ، ستظهر سلسلتان متطابقتان $ (0 ؛ \ ؛ 1 ؛ \ ؛ - 2) $ (الأولى والرابعة). من حيث المبدأ ، يمكنك تنفيذ الإجراء $ r_4-r_1 $ ، ثم السطر الرابع سيكون صفريًا ، لكن هذا سيؤدي فقط إلى إطالة الحل بسجل واحد ، لذلك لن نقوم بتصفير السطر الرابع.

$$ \ يسار (\ start (مجموعة) (ccc) 0 & 2 & -4 \\ -1 & -4 & 5 \\ 3 & 1 & 7 \\ 0 & 5 & -10 \\ 2 & 3 & 0 \ نهاية (صفيف) \ يمين) \ ابدأ (صفيف) (l) 1/2 \ cdot (r_1) \ \ فانتوم (0) \ \ فانتوم (0) \ 1/5 \ cdot (r_4) \ \ فانتوم (0) \ نهاية (صفيف) \ سيم \ يسار (\ ابدأ (مجموعة) (ccc) 0 & 1 & -2 \ -1 & -4 & 5 \ 3 & 1 & 7 \ 0 & 1 & -2 \\ 2 & 3 & 0 \ end (مجموعة) \ يمين) \ sim $$ $$ \ sim \ left (\ start (array) (ccccc) 0 & -1 & 3 & 0 & 2 \\ 1 & -4 & 1 & 1 & 3 \\ -2 & 5 & 7 & - 2 & 0 \ نهاية (مجموعة) \ يمين) \ زائدة (r_1 \ leftrightarrow (r_2)) (\ sim) \ left (\ start ( صفيف) (ccccc) 1 & -4 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 3 & 0 & 2 \\ -2 & 5 & 7 & -2 & 0 \ end (array) \ right) \ begin (صفيف) (ل) \ فانتوم (0) \ \ فانتوم (0) \ r_3 + 2r_1 \ نهاية (صفيف) \ سيم $$ $$ \ يسار (\ ابدأ (مجموعة) (ccccc) 1 & -4 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 3 & 0 & 2 \\ 0 & -3 & 9 & 0 & 6 \ نهاية (مجموعة) \ يمين) \ ابدأ (مجموعة) (l) \ فانتوم (0) \\ \ phantom (0) \\ r_3-3r_2 \ end (مجموعة) \ sim \ left (\ start (array) (ccccc) 1 & -4 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 3 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ end (مجموعة) \ يمين) $$

رتبة المصفوفة المحولة هي 2 ، وبالتالي فإن رتبة المصفوفة الأصلية هي $ \ rang (A) = 2 $. من حيث المبدأ ، كان من الممكن العثور على الترتيب دون تبديل المصفوفة: استبدل الصف الأول بالصف الثاني أو الثالث أو الخامس واستمر في التحولات المعتادة بالصفوف. تسمح طريقة اختزال المصفوفة إلى شكل متدرج بالتغيرات في عملية الحل.

إجابة: $ \ رن A = 2 دولار.

مثال رقم 4

ابحث عن رتبة المصفوفة $ A = \ left (\ start (array) (cccccc) 0 & -1 & 2 & -4 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 5 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 10 & 0 & -4 & 1 \ end (مجموعة) \ يمين) $.

هذه المصفوفة ليست خالية ، أي. رتبتها أكبر من الصفر. دعنا ننتقل إلى الخطوة الأولى من الخوارزمية.

الخطوة الأولى

في الخطوة الأولى ، نعمل مع السطر الأول. في الصف الأول من المصفوفة المعطاة ، يكون العنصر الرئيسي هو الثاني ، أي الرقم المحوري للسطر الأول $ k = 2 $. ضع في اعتبارك الخطوط الموجودة أسفل السطر الأول. العناصر الرائدة في هذه السطور مرقمة 3 ، أي أصغر رقم محوري للخطوط الأساسية هو $ k _ (\ min) = 3 $. منذ $ k \ lt (k _ (\ min)) $ ، ننتقل إلى الخطوة التالية من الخوارزمية.

الخطوة الثانية

في الخطوة الثانية ، نتعامل مع السطر الثاني. في السطر الثاني ، العنصر الرئيسي هو الثالث ، أي الرقم المحوري للسطر الثاني $ k = 3 $. يوجد أسفل السطر الثاني سطر ثالث فقط ، والرقم المحوري له هو 3 ، لذلك $ k _ (\ min) = 3 $. بما أن $ k = k _ (\ min) $ ، فإننا نحذف العنصر الأول للصف الثالث صفرًا:

$$ \ يسار (\ start (array) (cccccc) 0 & -1 & 2 & -4 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 5 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 10 & 0 & - 4 & 1 \ end (array) \ right) \ start (array) (l) \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \\ r_3-2r_2 \ end (array) \ sim \ left (\ begin (array) ) (cccccc) 0 & - 1 & 2 & -4 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 5 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & -8 & -5 \ end (مجموعة) \ حق) $$

تلقى مصفوفة متدرجة. رتبة المصفوفة المحولة ، ومن ثم رتبة المصفوفة الأصلية ، هي 3.

إجابة: $ \ رن A = 3 دولارات.

مثال رقم 5

أوجد رتبة المصفوفة $ A = \ left (\ start (array) (ccccc) 0 & 0 & 0 & 0 & 6 \\ 9 & 0 & 0 & -11 \\ 5 & 2 & 0 & 0 & -5. \ End (مجموعة) \ يمين) $.

في بعض الأحيان يكون من الممكن اختزال المصفوفة إلى مصفوفة متدرجة باستخدام تبديل واحد فقط للصفوف أو الأعمدة. يحدث هذا ، بالطبع ، نادرًا جدًا ، لكن إعادة الترتيب الناجحة يمكن أن تبسط الحل بشكل كبير.

$$ \ يسار (\ start (مجموعة) (ccccc) 0 & 0 & 0 & 0 & 6 \\ 9 & 0 & 0 & 0 & -11 \\ 5 & 2 & 0 & 0 & -5 \ end (مجموعة ) \ right) \ overet (r_1 \ leftrightarrow (r_3)) (\ sim) \ left (\ start (array) (ccccc) 5 & 2 & 0 & 0 & -5 \\ 9 & 0 & 0 & 0 & - 11 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 6 \ end (array) \ right) \ overet (c_1 \ leftrightarrow (c_4)) (\ sim) \ left (\ begin (array) (ccccc) 0 & 2 & 0 & 5 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & 9 & -11 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 6 \ end (array) \ right) $$

تم تقليل المصفوفة إلى متدرجة ، $ \ Rang (A) = 3 $.

إجابة: $ \ رن A = 3 دولارات.

ستناقش هذه المقالة مفهومًا مثل رتبة المصفوفة والمفاهيم الإضافية الضرورية. سنقدم أمثلة وإثباتات لإيجاد رتبة مصفوفة ، ونخبرك أيضًا ما هي المصفوفة الصغرى وسبب أهميتها.

مصفوفة ثانوية

لفهم ما هي رتبة المصفوفة ، من الضروري فهم مفهوم كصغير المصفوفة.

التعريف 1

تحت السن القانونيكمصفوفة الترتيب هي محددات المصفوفة المربعة بالترتيب k × k ، والتي تتكون من عناصر المصفوفة A الموجودة في الصفوف k والأعمدة k المختارة مسبقًا ، مع الحفاظ على موضع عناصر المصفوفة A.

ببساطة ، إذا قمنا في المصفوفة A بحذف الصفوف (pk) والأعمدة (nk) ، ومن العناصر المتبقية ، نقوم بتكوين مصفوفة ، مع الحفاظ على ترتيب عناصر المصفوفة A ، فإن محدد المصفوفة الناتجة هو أمر ثانوي ك من المصفوفة أ.

من المثال ، يترتب على ذلك أن العناصر الثانوية من الدرجة الأولى للمصفوفة A هي عناصر المصفوفة نفسها.

هناك العديد من الأمثلة للقصر من الدرجة الثانية. دعنا نختار صفين وعمودين. على سبيل المثال ، الصف الأول والثاني ، العمود الثالث والرابع.

مع اختيار العناصر هذا ، سيكون الترتيب الثانوي الثاني - 1 3 0 2 = (- 1) × 2 - 3 × 0 = - 2

قاصر آخر من الدرجة الثانية في المصفوفة A هو 0 0 1 1 = 0

دعونا نقدم توضيحا لبناء القصر من الدرجة الثانية من المصفوفة أ:

يتم الحصول على المرتبة الثالثة من خلال حذف العمود الثالث من المصفوفة أ:

0 0 3 1 1 2-1-4 0 = 0 × 1 × 0 + 0 × 2 × (- 1) + 3 × 1 × (- 4) - 3 × 1 × (- 1) - 0 × 1 × 0 - 0 × 2 × (- 4) = - 9

توضيح لكيفية الحصول على الرتبة الثالثة من المصفوفة أ:

بالنسبة لمصفوفة معينة ، لا يوجد قاصر أعلى من الترتيب الثالث ، لأن

ك ≤ م أنا ن (ص ، ن) = م أنا ن (3 ، 4) = 3

كم عدد قاصر الرتبة k للمصفوفة A من الرتبة p × n؟

يتم حساب عدد القاصرين باستخدام الصيغة التالية:

C p k × C n k ، حيث e e C p k = p! ك! (ع - ك)! و C n k = n! ك! (ن - ك)! - عدد التوليفات من p إلى k ، من n إلى k على التوالي.

بعد أن قررنا ما هي صغرى المصفوفة A ، يمكننا المضي قدمًا في تحديد رتبة المصفوفة A.

رتبة المصفوفة: طرق البحث

رتبة المصفوفة - أعلى ترتيب للمصفوفة بخلاف الصفر.

تدوين 1

رتبة (أ) ، Rg (A) ، Rang (A).

من تعريف رتبة المصفوفة والصغرى للمصفوفة ، يتضح أن رتبة المصفوفة الصفرية هي صفر ، وأن رتبة المصفوفة غير الصفرية هي صفرية.

إيجاد مرتبة المصفوفة بالتعريف

حصر القصر - طريقة تعتمد على تحديد رتبة المصفوفة.

خوارزمية الإجراءات عن طريق تعداد القصر :

من الضروري إيجاد رتبة المصفوفة أ من الترتيب ص× ن... إذا كان هناك عنصر واحد على الأقل غير صفري ، فإن رتبة المصفوفة تساوي واحدًا على الأقل ( حيث هي فئة ثانوية من الدرجة الأولى ، والتي لا تساوي الصفر).

ويتبع ذلك تعداد للقصر من الدرجة الثانية. إذا كان كل الأطفال من الرتبة الثانية يساويون صفرًا ، فإن الرتبة تساوي واحدًا. إذا كان هناك قاصر واحد على الأقل ليس صفريًا من الترتيب الثاني ، فمن الضروري الذهاب إلى تعداد القصر من الدرجة الثالثة ، وستكون رتبة المصفوفة ، في هذه الحالة ، مساوية لاثنين على الأقل.

سوف نتصرف بطريقة مماثلة مع مرتبة الترتيب الثالث: إذا كان كل الأطفال الصغار في المصفوفة يساوي صفرًا ، فإن المرتبة ستساوي اثنين. إذا كان هناك قاصر واحد على الأقل ليس صفريًا ، فإن رتبة المصفوفة هي ثلاثة على الأقل. وهكذا ، عن طريق القياس.

مثال 2

أوجد رتبة المصفوفة:

أ = - ١ ١ - ١ - ٢ ٠ ٢ ٢ ٦ ٠ - ٤ ٤ ٣ ١١ ١ - ٧

نظرًا لأن المصفوفة ليست صفرية ، فإن رتبتها تساوي واحدًا على الأقل.

الترتيب الثاني الثانوي - 1 1 2 2 = (- 1) × 2-1 × 2 = 4 ليس صفريًا. ومن ثم فإن مرتبة المصفوفة A هي على الأقل اثنان.

نحن نكرر على القاصرين من الترتيب الثالث: С 3 3 × С 5 3 = 1 5! 3! (5 - 3)! = 10 قطع.

1 1 - 1 2 2 6 4 3 11 = (- 1) × 2 × 11 + 1 × 6 × 4 + (- 1) × 2 × 3 - (- 1) × 2 × 4 - 1 × 2 × 11 - (- 1) × 6 × 3 = 0

1 - 1 - 2 2 6 0 4 11 1 = (- 1) × 6 × 1 + (- 1) × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 11 - (- 2) × 6 × 4 - (- 1) × 2 × 1 - (- 1) × 0 × 11 = 0

1 1 - 2 2 2 0 4 3 1 = (- 1) × 2 × 1 + 1 × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 3 - (- 2) × 2 × 4 - 1 × 2 × 1 - (- 1) × 0 × 3 = 0

1 - 1 0 2 6-4 4 11-7 = (- 1) × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 4 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 4 - ( - 1) × 2 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 11 = 0

1 - 1 0 2 6-4 3 11-7 = 1 × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 3 - (- 1) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 11 = 0

1 - 2 0 2 0 - 4 3 1-7 = 1 × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 1 - 0 × 0 × 3 - (- 2) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 1 = 0

1 - 2 0 6 0-4 11 1-7 = (- 1) × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 11 + 0 × 6 × 1 - 0 × 0 × 11 - ( - 2) × 6 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 1 = 0

الصغرى من الرتبة الثالثة تساوي صفرًا ، وبالتالي فإن رتبة المصفوفة تساوي اثنين.

إجابة : المرتبة (أ) = 2.

إيجاد مرتبة المصفوفة بطريقة الحد الأدنى للقصر

طريقة القاصرين الحدودية - طريقة تسمح لك بالحصول على نتيجة بعمل حسابي أقل.

مواجهة القاصر - الترتيب الصغرى M ok (k + 1) - الترتيب الثالث للمصفوفة A ، الذي يحد المصفوفة M من الرتبة k للمصفوفة A ، إذا كانت المصفوفة التي تتوافق مع M ok "تحتوي على" المصفوفة التي تتوافق مع طفيفة M.

ببساطة ، يتم الحصول على المصفوفة التي تتوافق مع الحد الصغير M من المصفوفة المقابلة للصغرى الحدودية M o k عن طريق حذف عناصر من صف واحد وعمود واحد.

مثال 3

أوجد رتبة المصفوفة:

أ = 1 2 0 - 1 3 - 2 0 3 7 1 3 4 - 2 1 1 0 0 3 6 5

لإيجاد الرتبة ، نأخذ المرتبة الثانية من الدرجة الثانية М = 2 - 1 4 1

نكتب كل القاصرين المجاورين:

1 2 - 1 - 2 0 7 3 4 1 , 2 0 - 1 0 3 7 4 - 2 1 , 2 - 1 3 0 7 1 4 1 1 , 1 2 - 1 3 4 1 0 0 6 , 2 0 - 1 4 - 2 1 0 3 6 , 2 - 1 3 4 1 1 0 6 5 .

لإثبات طريقة تجاور القاصرين ، نقدم نظرية لا تتطلب صياغتها أساس إثبات.

نظرية 1

إذا كان كل الصغار الذين يحدون الرتبة k-th من المصفوفة A من الرتبة p في n يساوي صفرًا ، فإن كل العناصر الثانوية في الترتيب (k + 1) للمصفوفة A تساوي صفرًا.

خوارزمية الإجراءات :

للعثور على مرتبة المصفوفة ، ليس من الضروري التكرار على جميع القاصرين ؛ يكفي النظر إلى الحدود.

إذا كانت الحدود الصغرى تساوي صفرًا ، فإن رتبة المصفوفة تساوي صفرًا. إذا كان هناك قاصر واحد على الأقل لا يساوي الصفر ، فإننا نعتبر القاصرين المجاورين.

إذا كانت جميعها صفراً ، فإن المرتبة (أ) هي اثنان. إذا كان هناك قاصر واحد على الأقل ليس صفراً على الحدود ، فإننا ننتقل إلى دراسة القاصرين المجاورين له. وهكذا ، بطريقة مماثلة.

مثال 4

أوجد رتبة المصفوفة بطريقة الحدود القاصر

أ = 2 1 0 - 1 3 4 2 1 0 - 1 2 1 1 1 - 4 0 0 2 4 - 14

كيفية حل؟

بما أن العنصر a 11 في المصفوفة A لا يساوي صفرًا ، فإننا نأخذ عنصرًا ثانويًا من الترتيب الأول. لنبدأ في البحث عن قاصر حد غير صفري:

2 1 4 2 = 2 × 2-1 × 4 = 0 2 0 4 1 = 2 × 1 - 0 × 4 = 2

وجدنا حدًا ثانويًا حدًا ثانويًا لا يساوي صفرًا 2 0 4 1.

دعونا نكرر على الحدود القاصرين - (هناك (4 - 2) × (5 - 2) = 6 قطع).

2 1 0 4 2 1 2 1 1 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 2 1 1 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 2 1 - 4 = 0 ; 2 1 0 4 2 1 0 0 2 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 0 2 4 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 0 2 - 14 = 0

إجابة : المرتبة (أ) = 2.

إيجاد رتبة مصفوفة بطريقة غاوس (باستخدام التحولات الأولية)

لنتذكر ما هي التحولات الأولية.

التحولات الأولية:

• عن طريق إعادة ترتيب صفوف (أعمدة) المصفوفة ؛
• بضرب جميع عناصر أي صف (عمود) من المصفوفة بعدد تعسفي غير صفري ك ؛

عن طريق إضافة عناصر أي صف (عمود) تتوافق مع صف آخر (عمود) من المصفوفة ، والتي يتم ضربها برقم تعسفي ك.

التعريف 5

إيجاد رتبة مصفوفة بطريقة غاوس - طريقة تعتمد على نظرية تكافؤ المصفوفات: إذا تم الحصول على المصفوفة B من المصفوفة A باستخدام عدد محدود من التحويلات الأولية ، فإن الرتبة (A) = الرتبة (B).

صحة هذا البيان يتبع من تعريف المصفوفة:

• في حالة تبديل صفوف أو أعمدة المصفوفة ، علامة التغييرات المحددة لها. إذا كانت تساوي الصفر ، فإنها تظل مساوية للصفر عند إعادة ترتيب الصفوف أو الأعمدة ؛
• في حالة ضرب جميع عناصر أي صف (عمود) من المصفوفة برقم تعسفي ك ، والذي لا يساوي الصفر ، فإن محدد المصفوفة الناتجة يساوي محدد المصفوفة الأصلية ، والذي يتم ضربه بواسطة k ؛

في حالة إضافة عناصر صف أو عمود معين من المصفوفة ، فإن العناصر المقابلة لصف أو عمود آخر ، والتي يتم ضربها بالرقم k ، لا تغير محددها.

جوهر طريقة التحولات الأولية : اختزل المصفوفة التي يمكن إيجاد رتبتها إلى شبه منحرف باستخدام التحولات الأولية.

لماذا؟

من السهل جدًا العثور على ترتيب المصفوفات من هذا النوع. إنه يساوي عدد الصفوف التي تحتوي على عنصر واحد على الأقل ليس صفريًا. وبما أن الرتبة لا تتغير أثناء التحولات الأولية ، فستكون هذه هي رتبة المصفوفة.

دعنا نوضح هذه العملية:

• للمصفوفات المستطيلة A بالترتيب p في n ، عدد صفوفها أكبر من عدد الأعمدة:

A ~ 1 ب 12 ب 13 ⋯ ب 1 ن - 1 ب 1 ن 0 1 ب 23 ⋯ ب 2 ن - 2 ب 2 ن ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 مليار - 1 ن 0 0 0 0 1 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 0، R ank (A) = n

А ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 kb 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 kb 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 1 bkk + 1 ⋯ bkn 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0، R ank (A) = k

• للمصفوفات المستطيلة A بالترتيب p في n ، وعدد صفوفها أقل من عدد الأعمدة:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 pb 1 p + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 pb 2 p + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 1 bpp + 1 ⋯ bpn ، R ank (A) = ص

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 kb 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 kb 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 1 bkk + 1 ⋯ bkn 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 0

• للمصفوفات المربعة A من أجل n بواسطة n:

A ~ 1 ب 12 ب 13 ⋯ ب 1 ن - 1 ب 1 ن 0 1 ب 23 ⋯ ب 2 ن - 1 ب 2 ن ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 1 مليار - 1 ن 0 0 0 0 1 ، R ank (A) = n

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 kb 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 kb 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 1 bkk + 1 ⋯ bkn 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0، R ank (A) = k، k< n

مثال 5

أوجد رتبة المصفوفة أ باستخدام التحولات الأولية:

أ = ٢ ١ - ٢ ٦ ٣ ٠ ٠ - ١ ١ - ١ ٢ - ٧ ٥ - ٢ ٤ - ١٥ ٧ ٢ - ٤ ١١

كيفية حل؟

نظرًا لأن العنصر a 11 ليس صفريًا ، فمن الضروري ضرب عناصر الصف الأول من المصفوفة A في 1 a 11 = 1 2:

أ = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2-7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~

أضف إلى عناصر الصف الثاني العناصر المقابلة للصف الأول ، والتي يتم ضربها في (-3). إلى عناصر السطر الثالث ، أضف عناصر السطر الأول ، والتي يتم ضربها ب (-1):

~ أ (1) = 1 1 2-1 3 3 0 0-1 1-1 2-7 5-2 4-15 7 2-4 11 ~ A (2) = = 1 1 2-1 3 3 + 1 (- 3) 0 + 1 2 (- 3) 0 + (- 1) (- 3) - 1 + 3 (- 3) 1 + 1 (- 3) - 1 + 1 2 (- 3) 2 + (- 1) (- 1) - 7 + 3 (- 1) 5 + 1 (- 5) - 2 + 1 2 (- 5) 4 + (- 1) (- 5) - 15 + 3 (- 5) 7 + 1 (- 7) 2 + 1 2 (- 7) - 4 + (- 1) (- 7) 11 + 3 (- 7) =

1 1 2 - 1 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10

العنصر a 22 (2) ليس صفريًا ، لذلك نضرب عناصر الصف الثاني من المصفوفة A في A (2) في a 1 a 22 (2) = - 2 3:

أ (3) = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10 ~ A (4) = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 0 - 9 2 + 1 9 2 9 + (- 2) 9 2 - 30 + 20 3 × 9 2 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

• أضف إلى عناصر الصف الثالث من المصفوفة الناتجة العناصر المقابلة للصف الثاني ، والتي يتم ضربها في 3 2 ؛
• إلى عناصر الصف الرابع - عناصر الصف الثاني ، والتي يتم ضربها في 9 2 ؛
• لعناصر الصف الخامس - عناصر الصف الثاني ، والتي يتم ضربها في 3 2.

كل عناصر الصف صفر. وهكذا ، بمساعدة التحولات الأولية ، قمنا بإحضار المصفوفة إلى شكل شبه منحرف ، والذي من خلاله يتبين أن R a n k (A (4)) = 2. ومن ثم فإن مرتبة المصفوفة الأصلية تساوي أيضًا اثنين.

تعليق

إذا قمت بإجراء تحويلات أولية ، فلن يُسمح بالقيم التقريبية!

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl + Enter

تعريف. حسب رتبة المصفوفةهو الحد الأقصى لعدد الخطوط المستقلة خطيًا التي تعتبر متجهات.

النظرية 1 في رتبة مصفوفة. حسب رتبة المصفوفةهو الحد الأقصى لترتيب صغرى غير صفرية من المصفوفة.

لقد قمنا بالفعل بتحليل مفهوم القاصر في الدرس باستخدام المحددات ، والآن سنعممه. دعونا نأخذ في المصفوفة بعض الصفوف وبعض الأعمدة ، وهذا "بعض" يجب أن يكون أقل من عدد صفوف وأعمدة المصفوفة ، وبالنسبة للصفوف والأعمدة ، يجب أن يكون هذا "البعض" هو نفس العدد. ثم عند تقاطع بعض الصفوف وعدد الأعمدة ستكون هناك مصفوفة ذات ترتيب أدنى من المصفوفة الأصلية. سيكون محدد هذه المصفوفة هو الترتيب الثانوي k إذا تم الإشارة إلى "بعض" المذكورة (عدد الصفوف والأعمدة) بواسطة k.

تعريف.تحت السن القانوني ( ص+1) الترتيب الذي يقع ضمنه القاصر المختار ص- يسمى الترتيب الحدودي لقاصر معين.

الأكثر استخداما هما إيجاد مرتبة المصفوفة... هو - هي على الحدود مع طريق القاصرينو طريقة التحولات الأولية(بطريقة غاوس).

يتم استخدام النظرية التالية لطريقة القاصرين الحدودية.

النظرية 2 في رتبة مصفوفة.إذا كان من الممكن تكوين قاصر من عناصر المصفوفة صالترتيب ، لا يساوي الصفر ، ثم رتبة المصفوفة ص.

في طريقة التحولات الأولية ، يتم استخدام الخاصية التالية:

إذا تم الحصول على مصفوفة شبه منحرف ، عن طريق التحولات الأولية ، والتي تعادل المصفوفة الأصلية رتبة هذه المصفوفةهو عدد الأسطر الموجودة فيه ، باستثناء الأسطر التي تتكون بالكامل من الأصفار.

إيجاد مرتبة المصفوفة بطريقة الحد الأدنى للقصر

القاصر المجاور هو قاصر من رتبة أعلى فيما يتعلق بقاصر معين ، إذا كان هذا القاصر من رتبة أعلى يحتوي على قاصر معين.

على سبيل المثال ، بالنظر إلى المصفوفة

لنأخذ قاصرًا

سيكون الحد الأدنى للقصر التاليين:

خوارزمية لإيجاد رتبة مصفوفةالتالي.

1. ابحث عن قاصرين غير صفريين من الدرجة الثانية. إذا كانت كل الصغار من الدرجة الثانية تساوي صفرًا ، فإن رتبة المصفوفة ستكون مساوية لواحد ( ص =1 ).

2. إذا كان هناك قاصر واحد على الأقل من الدرجة الثانية لا يساوي الصفر ، فقم بتكوين قاصر من الدرجة الثالثة الحدودية. إذا كانت كل الحدود الصغرى من الرتبة الثالثة تساوي صفرًا ، فإن رتبة المصفوفة تساوي اثنين ( ص =2 ).

3. إذا كان أحد القاصرين الحدودي من الرتبة الثالثة على الأقل لا يساوي صفرًا ، فإننا نكوّن القاصرين الحدوديين. إذا كانت كل الحدود الصغرى من الرتبة الرابعة تساوي صفرًا ، فإن رتبة المصفوفة هي ثلاثة ( ص =2 ).

4. استمر طالما أن حجم المصفوفة يسمح بذلك.

مثال 1.أوجد مرتبة المصفوفة

.

حل. الصغرى من الدرجة الثانية .

نحن نضعها في إطار. سيكون هناك أربعة قاصرين على الحدود:

,

,

وبالتالي ، فإن جميع القاصرين الحدودي من الرتبة الثالثة يساوي صفرًا ، وبالتالي فإن رتبة هذه المصفوفة تساوي اثنين ( ص =2 ).

مثال 2.أوجد مرتبة المصفوفة

حل. رتبة هذه المصفوفة هي 1 ، لأن جميع القاصرين من الدرجة الثانية في هذه المصفوفة يساوي الصفر (في هذا ، كما في حالات القاصرين المتاخمين في المثالين التاليين ، الطلاب الأعزاء مدعوون للتحقق بأنفسهم ، ربما باستخدام قواعد حساب المحددات) ، وبين العناصر الثانوية من الدرجة الأولى ، أي من بين عناصر المصفوفة ، لا يساوي الصفر.

مثال 3.أوجد مرتبة المصفوفة

حل. الصغرى من الرتبة الثانية من هذه المصفوفة ، في جميع الصغرى من الرتبة الثالثة من هذه المصفوفة تساوي صفرًا. إذن ، رتبة هذه المصفوفة هي اثنان.

مثال 4.أوجد مرتبة المصفوفة

حل. رتبة هذه المصفوفة هي 3 ، لأن الصغرى من الدرجة الثالثة الوحيدة في هذه المصفوفة هي 3.

إيجاد مرتبة المصفوفة بطريقة التحولات الأولية (طريقة غاوس)

بالفعل في المثال 1 ، يمكن ملاحظة أن مشكلة تحديد رتبة المصفوفة بطريقة تحديد حدود القصر تتطلب حساب عدد كبير من المحددات. ومع ذلك ، هناك طريقة للحفاظ على مقدار الحساب إلى الحد الأدنى. تعتمد هذه الطريقة على استخدام تحويلات المصفوفة الأولية وتسمى أيضًا طريقة غاوس.

تُفهم تحويلات المصفوفة الأولية على أنها العمليات التالية:

1) ضرب أي صف أو أي عمود في المصفوفة في عدد غير الصفر ؛

2) إضافة العناصر المقابلة لصف أو عمود آخر إلى عناصر أي صف أو أي عمود في المصفوفة ، مضروبة في نفس العدد ؛

3) تبديل صفين أو عمودين من المصفوفة ؛

4) إزالة خطوط "الصفر" ، أي تلك التي تساوي جميع عناصرها صفرًا ؛

5) حذف جميع الأسطر المتناسبة باستثناء واحد.

نظرية.لا يغير التحويل الأولي رتبة المصفوفة. بمعنى آخر ، إذا استخدمنا التحويلات الأولية من المصفوفة أذهب إلى المصفوفة ب، من ثم .

صفوف الأعمدة). تسمى عدة صفوف (أعمدة) مستقلة خطيًا إذا لم يكن من الممكن التعبير عن أي منها خطيًا من حيث الصفوف الأخرى. دائمًا ما تساوي رتبة نظام الصف مرتبة نظام الأعمدة ، ويسمى هذا الرقم رتبة المصفوفة.

رتبة المصفوفة هي الأعلى من بين جميع القاصرين غير الصفري المحتملين في هذه المصفوفة. رتبة مصفوفة صفرية بأي حجم هي صفر. إذا كانت كل الرتب الثانوية من الدرجة الثانية تساوي صفرًا ، فإن المرتبة تكون واحدة ، وهكذا.

رتبة المصفوفة هي أبعاد الصورة خافت ⁡ (im ⁡ (A)) (displaystyle dim (operatorname (im) (A)))عامل التشغيل الخطي الذي تقابله المصفوفة.

عادة رتبة المصفوفة أ (displaystyle A)يعني رن ⁡ أ (displaystyle operatorname (Rang) A), r ⁡ أ (displaystyle operatorname (r) A), rg ⁡ A (displaystyle operatorname (rg) A)أو الرتبة ⁡ أ (displaystyle operatorname (رتبة) A)... الخيار الأخير نموذجي للغة الإنجليزية ، في حين أن النوعين الأولين مخصصان للألمانية والفرنسية وعدد من اللغات الأخرى.

كليات يوتيوب

• 1 / 5

  اسمحوا أن تكون مصفوفة مستطيلة.

  ثم ، حسب التعريف ، رتبة المصفوفة أ (displaystyle A)هو:

  نظرية (حول صحة تعريف الرتب).دع كل القصر من المصفوفة أ م × n (displaystyle A_ (m times n))ترتيب ك (displaystyle k)يساوي الصفر ( م ل = 0 (displaystyle M_ (k) = 0)). ثم ∀ م ل + 1 = 0 (displaystyle forall M_ (k + 1) = 0)إذا كانوا موجودين.

  التعريفات ذات الصلة

  الخصائص

  • النظرية (حول الأساسيات الثانوية):اسمحوا ان r = رن ⁡ A، M r (\ displaystyle r = \ operatorname (Rang) A، M_ (r))- القاعدة الصغرى للمصفوفة أ (displaystyle A)، من ثم:
  • سماد:
  • نظرية (ثبات الرتبة في ظل التحولات الأولية):دعونا نقدم ترميزًا للمصفوفات التي تم الحصول عليها من بعضها البعض من خلال التحويلات الأولية. ثم تكون العبارة التالية صحيحة: If أ ∼ ب (displaystyle A sim B)ثم رتبهم متساوية.
  • نظرية كرونيكر - كابيلي:يكون نظام المعادلات الجبرية الخطية متسقًا إذا وفقط إذا كانت مرتبة المصفوفة الرئيسية مساوية لمصفوفة المصفوفة الممتدة. خاصه:
    • عدد المتغيرات الرئيسية للنظام يساوي رتبة النظام.
    • سيتم تحديد نظام مشترك (حله فريد) إذا كانت رتبة النظام مساوية لعدد جميع متغيراته.
  • عدم المساواة سيلفستر:لو أو بمصفوفات الحجم م × نو ن × ك، من ثم
  رن ⁡ أ ب رانج ⁡ أ + رانج ⁡ ب - n (displaystyle operatorname (rang) AB geq operatorname (rang) A + operatorname (rang) B-n)

  هذه حالة خاصة من عدم المساواة التالية.

  • عدم المساواة فروبينيوس:إذا تم تعريف AB ، BC ، ABC جيدًا ، إذن
  رن ⁡ أ ب ج ≥ رانج ⁡ أ ب + رن ⁡ ب ج - رن ⁡ ب (displaystyle operatorname (rang) ABC geq operatorname (rang) AB + operatorname (rang) BC- operatorname (rang) B)

  التحول الخطي ورتبة المصفوفة

  اسمحوا ان أ (displaystyle A)- مصفوفة الحجم م × n (displaystyle m times n)فوق الميدان ج (displaystyle C)(أو ص (displaystyle R)). اسمحوا ان T (displaystyle T)- التحويل الخطي المقابل أ (displaystyle A)على أساس قياسي هذا يعني انه T (x) = A x (\ displaystyle T (x) = Ax). رتبة المصفوفة أ (displaystyle A) هو بُعد نطاق قيم التحول T (displaystyle T).

  أساليب

  توجد عدة طرق لإيجاد رتبة المصفوفة:

  • طريقة التحويل الأولي
  رتبة المصفوفة تساوي عدد الصفوف غير الصفرية في المصفوفة بعد تصغيرها إلى شكل متدرج باستخدام تحويلات أولية على صفوف المصفوفة.
  • طريقة القاصرين الحدودية
  دع المصفوفة أ (displaystyle A)وجدت طفيفة غير صفرية ك (displaystyle k)الترتيب م (displaystyle M)... ضع في اعتبارك كل القصر (ك + 1) (displaystyle (k + 1))- الترتيب الثاني بما في ذلك (الحدودي) القاصر م (displaystyle M)؛ إذا كانت جميعها تساوي صفرًا ، فإن رتبة المصفوفة هي ك (displaystyle k)... خلاف ذلك ، هناك واحد غير صفري بين القاصرين المجاورين ، ويتم تكرار الإجراء بأكمله.

  أي مصفوفة أترتيب م × نيمكن اعتبارها مجموعة مناقلات الصف أو نناقلات العمود.

  حسب الرتبةالمصفوفات أترتيب م × نهو الحد الأقصى لعدد متجهات العمود المستقلة خطيًا أو متجهات الصف.

  إذا كانت رتبة المصفوفة أيساوي صثم يكتب:

  إيجاد مرتبة المصفوفة

  اسمحوا ان أمصفوفة أمر تعسفي م× ن... لإيجاد مرتبة المصفوفة أتطبيق طريقة القضاء Gaussian عليه.

  لاحظ أنه إذا كان المحور في مرحلة ما من الاستبعاد يساوي صفرًا ، فإننا نبدل هذا الخط بالخط الذي يكون فيه المحور غير صفري. إذا اتضح أنه لا يوجد مثل هذا الصف ، فانتقل إلى العمود التالي ، إلخ.

  بعد التحرك المباشر لاستبعاد Gauss ، نحصل على مصفوفة ، تكون عناصرها تحت القطر الرئيسي مساوية للصفر. بالإضافة إلى ذلك ، قد يكون هناك متجهات خط صفري.

  سيكون عدد متجهات الصف غير الصفرية هو رتبة المصفوفة أ.

  دعونا نفكر في كل هذا بأمثلة بسيطة.

  مثال 1.

  ضرب الصف الأول في 4 وإضافة الصف الثاني وضرب الصف الأول في 2 وإضافة الصف الثالث لدينا:

  

  يتم ضرب السطر الثاني في -1 وإضافته إلى السطر الثالث:

  

  حصلنا على صفين غير صفريين ، وبالتالي فإن رتبة المصفوفة هي 2.

  مثال 2.

  ابحث عن رتبة المصفوفة التالية:

  

  اضرب السطر الأول في -2 وأضف السطر الثاني. وبالمثل ، نخرج صفرًا من عناصر الصفين الثالث والرابع من العمود الأول:

  

  لنقم بوضع صفر من عناصر الصفين الثالث والرابع من العمود الثاني عن طريق إضافة الصفوف المقابلة إلى الصف الثاني مضروبًا في -1.