1
/
5
تنبع أهمية التوزيع الطبيعي في العديد من مجالات العلوم (على سبيل المثال ، في الإحصاء الرياضي والفيزياء الإحصائية) من نظرية الحد المركزي لنظرية الاحتمالات. إذا كانت نتيجة الملاحظة هي مجموع العديد من الكميات العشوائية المترابطة بشكل ضعيف ، كل منها يقدم مساهمة صغيرة في المجموع الكلي ، ثم مع زيادة في عدد المصطلحات ، فإن توزيع النتيجة المركزية والنتيجة الطبيعية يميل إلى الطبيعي. هذا القانون من نظرية الاحتمالية له نتيجة التوزيع الواسع للتوزيع الطبيعي ، والذي كان أحد أسباب اسمه.
الخصائص
لحظات
إذا كانت المتغيرات عشوائية X 1 (displaystyle X_ (1))و X 2 (displaystyle X_ (2))مستقل وموزع بشكل طبيعي مع التوقعات الرياضية μ 1 (displaystyle mu _ (1))و μ 2 (displaystyle mu _ (2))والفروق σ 1 2 (displaystyle sigma _ (1) ^ (2))و σ 2 2 (displaystyle sigma _ (2) ^ (2))وفقًا لذلك ، إذن X 1 + X 2 (displaystyle X_ (1) + X_ (2))لديها أيضا توزيع طبيعي مع التوقع μ 1 + μ 2 (displaystyle mu _ (1) + mu _ (2))والتباين σ 1 2 + 2 2. (displaystyle sigma _ (1) ^ (2) + sigma _ (2) ^ (2).)هذا يعني أنه يمكن تمثيل متغير عشوائي عادي كمجموع عدد تعسفي من المتغيرات العشوائية العادية المستقلة.
أقصى إنتروبيا
التوزيع الطبيعي له أقصى إنتروبيا تفاضلية بين جميع التوزيعات المستمرة ، والتي لا يتجاوز تباينها قيمة معينة.
نمذجة القيم العادية شبه العشوائية
تعتمد أبسط طرق النمذجة التقريبية على نظرية الحد المركزي. وبالتحديد ، إذا أضفنا العديد من الكميات المستقلة الموزعة بشكل متماثل مع تباين محدود ، فسيتم توزيع المجموع تقريبابخير. على سبيل المثال ، إذا قمت بإضافة 100 معيار مستقل بالتساويالمتغيرات العشوائية الموزعة ، فسيكون توزيع المجموع تقريبيًا عادي.
للتوليد البرمجي للمتغيرات شبه العشوائية الموزعة بشكل طبيعي ، يفضل استخدام تحويل Box-Muller. يسمح لك بتوليد كمية واحدة موزعة بشكل طبيعي بناءً على كمية واحدة موزعة بشكل موحد.
التوزيع الطبيعي في الطبيعة والتطبيقات
التوزيع الطبيعي شائع في الطبيعة. على سبيل المثال ، تم تصميم المتغيرات العشوائية التالية بشكل جيد من خلال التوزيع الطبيعي:
- انحراف عند التصوير.
- أخطاء القياس (ومع ذلك ، فإن أخطاء بعض أدوات القياس ليس لها توزيعات عادية).
- بعض خصائص الكائنات الحية في السكان.
هذا التوزيع واسع الانتشار لأنه توزيع مستمر لا نهائي قابل للقسمة مع تباين محدود. لذلك ، يقترب البعض الآخر منه في النهاية ، على سبيل المثال ، ذات الحدين وبواسون. هذا التوزيع يحاكي العديد من العمليات الفيزيائية غير الحتمية.
العلاقة مع التوزيعات الأخرى
- التوزيع الطبيعي هو توزيع بيرسون من النوع الحادي عشر.
- نسبة زوج من المتغيرات العشوائية المعيارية المستقلة الموزعة بشكل طبيعي لها توزيع كوشي. هذا هو ، إذا كان المتغير العشوائي X (displaystyle X)هي علاقة X = Y / Z (\ displaystyle X = Y / Z)(أين Y (displaystyle Y)و ض (displaystyle Z)هي متغيرات عشوائية عادية عادية) ، ثم سيكون لها توزيع كوشي.
- لو ض 1، ...، ض ك (displaystyle z_ (1) ، ldots ، z_ (k))- المتغيرات العشوائية العادية المستقلة بشكل مشترك ، أي ض i ∼ N (0، 1) (displaystyle z_ (i) sim N left (0،1 right))، ثم المتغير العشوائي س = ض 1 2 + ... + ض ك 2 (displaystyle x = z_ (1) ^ (2) + ldots + z_ (k) ^ (2))له توزيع مربع كاي مع درجة k من الحرية.
- إذا كان متغير عشوائي X (displaystyle X)يخضع لتوزيع لوغاريتمي طبيعي ، فإن اللوغاريتم الطبيعي له توزيع طبيعي. هذا هو ، إذا X ∼ L o g N (μ، σ 2) (displaystyle X sim mathrm (LogN) left (mu، sigma ^ (2) right))، من ثم Y = ln (X) ∼ N (μ، σ 2) (displaystyle Y = ln left (X right) sim mathrm (N) left (mu، sigma ^ (2) right ))... على العكس من ذلك ، إذا Y ∼ N (μ، σ 2) (displaystyle Y sim mathrm (N) left (mu ، sigma ^ (2) right))، من ثم X = exp (Y) ∼ L og N (μ، σ 2) (displaystyle X = exp left (Y right) sim mathrm (LogN) left (mu، sigma ^ (2) \ حق)).
- نسبة مربعات اثنين من المتغيرات العشوائية العادية لديها
يلعب قانون التوزيع الطبيعي (غالبًا ما يسمى قانون غاوس) دورًا مهمًا للغاية في نظرية الاحتمالات ويحتل مكانة خاصة بين قوانين التوزيع الأخرى. هذا هو قانون التوزيع الأكثر شيوعًا في الممارسة. السمة الرئيسية التي تميز القانون العادي عن القوانين الأخرى هي أنه قانون مقيد ، يتم التعامل معه بواسطة قوانين التوزيع الأخرى في ظل ظروف نموذجية متكررة للغاية.
يمكن إثبات أن مجموع عدد كبير بما فيه الكفاية من المتغيرات العشوائية المستقلة (أو التي تعتمد بشكل ضعيف) ، والتي تخضع لأي قوانين توزيع (تخضع لبعض القيود الفضفاضة للغاية) ، تخضع تقريبًا للقانون العادي ، وهذا هو الأكثر دقة كلما زادت يتم تلخيص المتغيرات العشوائية. يمكن تمثيل معظم المتغيرات العشوائية التي تمت مواجهتها في الممارسة ، مثل ، على سبيل المثال ، أخطاء القياس ، وأخطاء التصوير ، وما إلى ذلك ، كمجموع لعدد كبير جدًا من المصطلحات الصغيرة نسبيًا - الأخطاء الأولية ، كل منها ناتج عن فعل قضية منفصلة مستقلة عن الآخرين. ... مهما كانت قوانين التوزيع التي تخضع لأخطاء أولية فردية ، فإن ميزات هذه التوزيعات في مجموع عدد كبير من المصطلحات تكون متساوية ، ويتضح أن المجموع يخضع لقانون قريب من المعتاد. القيد الرئيسي المفروض على الأخطاء المجمعة هو أنها تلعب جميعًا دورًا صغيرًا نسبيًا في المجموع الكلي. إذا لم يتم استيفاء هذا الشرط ، وعلى سبيل المثال ، تبين أن أحد الأخطاء العشوائية كان في تأثيره على المجموع السائد بشكل حاد على جميع الأخطاء الأخرى ، فإن قانون التوزيع لهذا الخطأ السائد سيفرض تأثيره على المجموع ويحدد قانون التوزيع الخاص به في سماته الرئيسية.
سيتم النظر في النظريات التي تحدد القانون العادي كحد لمجموع المصطلحات العشوائية الصغيرة المنتظمة المستقلة بمزيد من التفصيل في الفصل 13.
يتميز قانون التوزيع العادي بكثافة احتمالية للشكل:
منحنى التوزيع الطبيعي له شكل متماثل متماثل (الشكل 6.1.1). الحد الأقصى لإحداثيات المنحنى ، يساوي ، يتوافق مع النقطة ؛ مع زيادة المسافة من النقطة ، تنخفض كثافة التوزيع ، وعند اقترب المنحنى بشكل مقارب من محور الإحداثي.
دعونا نتعرف على معنى المعلمات العددية والمضمنة في التعبير عن القانون العادي (6.1.1) ؛ دعنا نثبت أن الكمية ليست سوى توقع رياضي ، والكمية هي الانحراف المعياري للكمية. للقيام بذلك ، سنقوم بحساب الخصائص العددية الرئيسية للكمية - التوقع الرياضي والتباين.
تطبيق الاستبدال المتغير
من السهل التحقق من أن أول فترتين في الصيغة (6.1.2) يساوي صفرًا ؛ والثاني هو تكامل أويلر-بواسون المعروف:
. (6.1.3)
بالتالي،
أولئك. المعلمة هي التوقع الرياضي للقيمة. غالبًا ما تسمى هذه المعلمة ، خاصة في مهام التصوير ، بمركز التشتت (يُشار إليه اختصارًا باسم c. R.).
دعنا نحسب تباين الكمية:
.
إعادة تطبيق البديل المتغير
التكامل بالأجزاء ، نحصل على:
المصطلح الأول في الأقواس المتعرجة يساوي صفرًا (لأنه عند الانخفاضات أسرع من أي درجة زيادات) ، فإن المصطلح الثاني بالصيغة (6.1.3) يساوي ، من أين
وبالتالي ، فإن المعلمة في الصيغة (6.1.1) ليست سوى الانحراف المعياري للقيمة.
دعونا نكتشف معنى المعلمات والتوزيع الطبيعي. يُرى مباشرة من الصيغة (6.1.1) أن مركز تناظر التوزيع هو مركز الانتثار. يتضح هذا من حقيقة أنه عندما تتغير علامة الفرق إلى العكس ، فإن التعبير (6.1.1) لا يتغير. إذا قمت بتغيير مركز التشتت ، فسوف يتحول منحنى التوزيع على طول الإحداثي دون تغيير شكله (الشكل 6.1.2). يميز مركز الانتثار موضع التوزيع على محور الإحداثي.
أبعاد مركز التشتت هي نفس أبعاد المتغير العشوائي.
لا تميز المعلمة الموضع ، بل تحدد شكل منحنى التوزيع ذاته. هذه هي خاصية التشتت. يكون الإحداثي الأكبر لمنحنى التوزيع متناسبًا عكسيًا ؛ عند الزيادة ، ينخفض الحد الأقصى للتنسيق. نظرًا لأن مساحة منحنى التوزيع يجب أن تظل دائمًا مساوية للوحدة ، فعند الزيادة ، يصبح منحنى التوزيع أكثر تسطحًا ، ويمتد على طول الإحداثي ؛ على العكس من ذلك ، مع الانخفاض ، يمتد منحنى التوزيع لأعلى ، ويتقلص في نفس الوقت من الجانبين ، ويصبح أشبه بالإبرة. في التين. يوضح الشكل 6.1.3 ثلاثة منحنيات عادية (I ، II ، III) عند ؛ من بين هؤلاء ، المنحنى I يتوافق مع أكبر قيمة ومنحنى III إلى أصغر قيمة. يعادل تغيير المعلمة تغيير مقياس منحنى التوزيع - زيادة المقياس على طول محور واحد ونفس الانخفاض على طول المحور الآخر.
من أمثلة المتغيرات العشوائية الموزعة وفقًا للقانون العادي ارتفاع الشخص ، كتلة سمكة أحد الأنواع التي تم صيدها. التوزيع الطبيعي يعني ما يلي
: هناك قيم الطول البشري ، وكتلة نوع واحد من الأسماك ، والتي يُنظر إليها بشكل حدسي على أنها "طبيعية" (ولكن في الواقع - متوسط) ، وهي موجودة في عينة كبيرة بدرجة كافية أكثر بكثير من تلك التي تختلف في اتجاه أكبر أو أصغر.
يمكن تسمية التوزيع الاحتمالي العادي لمتغير عشوائي مستمر (أحيانًا - التوزيع الغوسي) على شكل جرس نظرًا لحقيقة أن دالة الكثافة لهذا التوزيع ، المتماثلة حول المتوسط ، تشبه إلى حد بعيد قطع الجرس (المنحنى الأحمر في الشكل أعلاه).
إن احتمال تلبية قيم معينة في العينة يساوي مساحة الشكل تحت المنحنى ، وفي حالة التوزيع الطبيعي ، نرى أنه تحت الجزء العلوي من "الجرس" ، والذي يتوافق مع القيم تميل إلى الوسط ، والمساحة ، وبالتالي الاحتمال ، أكبر من تحت الحواف. وبالتالي ، نحصل على نفس الشيء الذي قيل بالفعل: احتمال مقابلة شخص ذي ارتفاع "طبيعي" ، أو اصطياد سمكة ذات وزن "طبيعي" أعلى من تلك التي تختلف في الاتجاه الأكبر أو الأصغر. في كثير من حالات الممارسة ، يتم توزيع أخطاء القياس وفقًا لقانون قريب من المعتاد.
دعنا نتحدث مرة أخرى عن الشكل الموجود في بداية الدرس ، والذي يوضح دالة الكثافة للتوزيع الطبيعي. تم الحصول على الرسم البياني لهذه الوظيفة من خلال حساب عينة بيانات معينة في حزمة البرامج STATISTICA... على ذلك ، تمثل أعمدة المدرج التكراري فواصل زمنية لقيم العينة ، والتي يكون توزيعها قريبًا (أو ، كما يقولون في الإحصائيات ، يختلف اختلافًا كبيرًا عن) إلى الرسم البياني الفعلي لوظيفة الكثافة للتوزيع الطبيعي ، وهو أحمر منحنى. يوضح الرسم البياني أن هذا المنحنى يتخذ شكل الجرس بالفعل.
يعتبر التوزيع الطبيعي ذا قيمة من نواحٍ عديدة نظرًا لحقيقة أن معرفة التوقع الرياضي فقط لمتغير عشوائي مستمر والانحراف المعياري ، يمكن للمرء حساب أي احتمال مرتبط بهذه الكمية.
يتميز التوزيع الطبيعي أيضًا بكونه أحد أسهل الطرق للاستخدام. الاختبارات الإحصائية المستخدمة لاختبار الفرضيات الإحصائية - اختبار t للطالب- يمكن استخدامها فقط عندما تخضع بيانات العينة لقانون التوزيع العادي.
دالة الكثافة للتوزيع الطبيعي لمتغير عشوائي مستمريمكن العثور عليها بالصيغة:
,
أين x- قيمة المتغير - الوسط - الانحراف المعياري ، ه= 2.71828 ... قاعدة اللوغاريتم الطبيعي ، = 3.1416 ...
خصائص وظيفة كثافة التوزيع الطبيعي
التغييرات في المتوسط تحرك منحنى التوزيع الطبيعي في اتجاه المحور ثور... إذا زاد ، يتحرك المنحنى إلى اليمين ، وإذا انخفض ، ثم إلى اليسار.
إذا تغير الانحراف المعياري ، يتغير ارتفاع قمة المنحنى. مع زيادة الانحراف المعياري ، يكون الجزء العلوي من المنحنى أعلى ؛ مع الانخفاض ، يكون أقل.
احتمالية الوصول إلى قيمة متغير عشوائي يتم توزيعه بشكل طبيعي في فترة زمنية معينة
بالفعل في هذا القسم ، سنبدأ في حل المشكلات العملية ، والتي يشار إلى معناها في العنوان. دعونا نحلل الفرص التي توفرها النظرية لحل المشكلات. نقطة البداية لحساب احتمال وجود متغير عشوائي يتم توزيعه بشكل طبيعي ضمن فترة زمنية معينة هي دالة التوزيع العادي التراكمي.
دالة التوزيع العادية التراكمية:
.
ومع ذلك ، من الصعب الحصول على جداول لكل مجموعة ممكنة من الانحراف المتوسط والانحراف المعياري. لذلك ، فإن إحدى أبسط الطرق لحساب احتمال المتغير العشوائي الموزع بشكل طبيعي في فترة زمنية معينة هي استخدام جداول الاحتمالات لتوزيع عادي معياري.
التطبيع أو التطبيع هو التوزيع الطبيعيومتوسطها والانحراف المعياري.
دالة الكثافة للتوزيع الطبيعي القياسي:
.
دالة تراكمية للتوزيع العادي القياسي:
.
يوضح الشكل أدناه الوظيفة التراكمية للتوزيع العادي القياسي ، والتي تم الحصول على الرسم البياني لها من خلال حساب عينة بيانات معينة في حزمة البرامج STATISTICA... الرسم البياني نفسه هو منحنى أحمر ، وقيم العينة تقترب منه.
لتكبير الصورة يمكنك النقر عليها بزر الفأرة الأيسر.
يعني توحيد المتغير العشوائي الانتقال من الوحدات الأصلية المستخدمة في المهمة إلى الوحدات القياسية. يتم التوحيد وفقًا للصيغة
من الناحية العملية ، غالبًا ما تكون جميع القيم الممكنة للمتغير العشوائي غير معروفة ، لذلك لا يمكن تحديد المتوسط والانحراف المعياري بدقة. يتم استبدالها بالمتوسط الحسابي للملاحظات والانحراف المعياري س... الكمية ضيعبر عن انحراف قيم متغير عشوائي عن المتوسط الحسابي عند قياس الانحرافات المعيارية.
فتح الفاصل
يحتوي جدول الاحتمالات للتوزيع الطبيعي القياسي ، الموجود في كل كتاب تقريبًا عن الإحصاء ، على احتمالات أن يكون لمتغير عشوائي توزيع عادي معياري ضسيأخذ قيمة أقل من رقم معين ض... أي أنه سيقع في الفترة المفتوحة من سالب ما لا نهاية إلى ض... على سبيل المثال ، احتمال أن تكون الكمية ضأقل من 1.5 يساوي 0.93319.
مثال 1.تقوم الشركة بتصنيع الأجزاء التي يتم توزيع عمرها عادة بمتوسط قيمة 1000 وانحراف معياري يبلغ 200 ساعة.
بالنسبة للجزء المختار عشوائيًا ، احسب احتمال أن تكون مدة خدمته 900 ساعة على الأقل.
حل. دعنا نقدم الترميز الأول:
البحث عن الاحتمالات.
قيم المتغير العشوائي موجودة في الفاصل الزمني المفتوح. لكننا نعرف كيفية حساب احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي قيمة أقل من قيمة معينة ، ووفقًا لظروف المشكلة ، يلزم إيجاد قيمة معطاة أو مساوية لها. هذا هو الجزء الآخر من الفضاء تحت منحنى كثافة الجرس. لذلك ، من أجل العثور على الاحتمال المطلوب ، من الضروري طرح الاحتمال المذكور من الوحدة الاحتمالية المذكورة أن المتغير العشوائي سيأخذ قيمة أقل من 900 معطى:
الآن يحتاج المتغير العشوائي إلى أن يكون معياريًا.
نواصل تقديم التدوين:
ض = (X ≤ 900)
;
x= 900 - قيمة معينة لمتغير عشوائي ؛
μ
= 1000 - متوسط القيمة ؛
σ
= 200 - الانحراف المعياري.
بناءً على هذه المعطيات ، فإن شروط المشكلة هي:
.
وفقًا لجداول المتغير العشوائي القياسي (حدود الفاصل) ض= −0.5 يتوافق مع احتمال 0.30854. اطرحها من الوحدة واحصل على المطلوب في بيان المشكلة:
لذا ، فإن احتمال أن يستمر جزء ما لمدة 900 ساعة على الأقل هو 69٪.
يمكن الحصول على هذا الاحتمال باستخدام دالة MS Excel NORM.DIST (قيمة القيمة التكاملية هي 1):
ص(X≥900) = 1 - ص(X≤900) = 1 - NORM.DIST (900 ؛ 1000 ؛ 200 ؛ 1) = 1 - 0.3085 = 0.6915.
حول العمليات الحسابية في MS Excel - في إحدى الفقرات اللاحقة من هذا الدرس.
مثال 2.في بعض المدن ، يكون متوسط دخل الأسرة السنوي متغيرًا عشوائيًا يتم توزيعه عادةً بمتوسط قيمة 300000 وانحراف معياري قدره 50000. ومن المعروف أن دخل 40٪ من العائلات أقل من أ... أوجد القيمة أ.
حل. في هذه المشكلة ، 40٪ ليس أكثر من احتمال أن يأخذ متغير عشوائي قيمة من فاصل مفتوح أقل من قيمة معينة يشير إليها الحرف أ.
للعثور على القيمة أ، أولاً نؤلف دالة متكاملة:
حسب حالة المشكلة
μ
= 300000 - متوسط القيمة ؛
σ
= 50000 - الانحراف المعياري ؛
x = أ- القيمة المراد إيجادها.
يؤلف المساواة
.
وفقًا للجداول الإحصائية ، نجد أن الاحتمال 0.40 يتوافق مع قيمة حد الفترة ض = −0,25
.
لذلك نحن نصنع المساواة
وابحث عن حلها:
أ = 287300
.
الإجابة: 40٪ من الأسر لديها دخل أقل من 287300.
فاصل مغلق
في العديد من المسائل ، من الضروري إيجاد احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي الموزع عادةً قيمة في الفاصل الزمني ض 1 ل ض 2. أي أنه سيقع في الفترة المغلقة. لحل مثل هذه المشاكل ، من الضروري أن نجد في الجدول الاحتمالات المقابلة لحدود الفترة ، ثم إيجاد الفرق بين هذه الاحتمالات. يتطلب هذا طرح القيمة الأصغر من القيمة الأكبر. فيما يلي أمثلة على حلول لهذه المشكلات الشائعة ، ويُقترح حلها بشكل مستقل ، ومن ثم يمكنك رؤية الحلول والإجابات الصحيحة.
مثال 3.ربح المشروع لفترة معينة هو متغير عشوائي يخضع لقانون التوزيع العادي بمتوسط قيمة 0.5 مليون. وانحراف معياري 0.354. حدد بدقة منزلتين عشريتين احتمالية أن يكون ربح المؤسسة من 0.4 إلى 0.6 c.u.
مثال 4.طول الجزء المراد تصنيعه هو متغير عشوائي يتم توزيعه وفقًا للقانون العادي مع المعلمات μ
= 10 و σ
= 0.071. أوجد ، بدقة منزلتين عشريتين ، احتمال الزواج إذا كانت الأبعاد المسموح بها للجزء يجب أن تكون 10 ± 0.05.
تلميح: في هذه المشكلة ، بالإضافة إلى إيجاد احتمال وقوع متغير عشوائي في فترة مغلقة (احتمال الحصول على جزء غير معيب) ، يلزم اتخاذ إجراء آخر.
يسمح لك بتحديد احتمالية أن تكون القيمة المعيارية ضليس أقل -zولا اكثر + ض، أين ض- قيمة تم اختيارها عشوائياً لمتغير عشوائي معياري.
طريقة تقريبية للتحقق من طبيعية التوزيع
تعتمد الطريقة التقريبية للتحقق من الحالة الطبيعية لتوزيع قيم العينة على ما يلي خاصية التوزيع الطبيعي: معامل عدم التناسق β
1
ومعامل التفرطح β
2
يساوي الصفر.
معامل عدم التماثل β
1
يميز عدديًا تناظر التوزيع التجريبي بالنسبة إلى المتوسط. إذا كان معامل الانحراف صفرًا ، فإن المتوسط الحسابي والوسيط والوضع متساويان: ويكون منحنى كثافة التوزيع متماثلًا حول المتوسط. إذا كان معامل عدم التناسق أقل من الصفر (β
1
< 0
) ، ثم المتوسط الحسابي أقل من الوسيط ، والوسيط ، بدوره ، أقل من الوضع () و انحرف المنحنى إلى اليمين (مقارنة بالتوزيع الطبيعي). إذا كان معامل عدم التماثل أكبر من الصفر (β
1
> 0
) ، فإن المتوسط الحسابي أكبر من الوسيط ، والوسيط ، بدوره ، أكبر من الوضع () و انحرف المنحنى إلى اليسار (مقارنة بالتوزيع الطبيعي).
معامل التفرطح β
2
يميز تركيز التوزيع التجريبي حول الوسط الحسابي في اتجاه المحور أويودرجة ذروة منحنى كثافة التوزيع. إذا كان معامل التفرطح أكبر من الصفر ، فإن المنحنى يكون أكثر استطالة (مقارنة بالتوزيع الطبيعي)على طول المحور أوي(الرسم البياني ذروته أكثر). إذا كان معامل التفرطح أقل من الصفر ، فإن المنحنى يكون أكثر تسطيحًا (مقارنة بالتوزيع الطبيعي)على طول المحور أوي(الرسم البياني أكثر حدة).
يمكن حساب عامل الانحراف باستخدام وظيفة MS Excel SKOS. إذا كنت تتحقق من مجموعة بيانات واحدة ، فأنت بحاجة إلى إدخال نطاق البيانات في مربع واحد "رقم".
يمكن حساب معامل التفرطح باستخدام دالة MS Excel EXCESS. عند فحص مصفوفة بيانات واحدة ، يكفي أيضًا إدخال نطاق البيانات في مربع "رقم" واحد.
لذلك ، كما نعلم بالفعل ، مع التوزيع الطبيعي ، فإن معاملات الانحراف والتفرطح تساوي الصفر. ولكن ماذا لو حصلنا على معاملات الانحراف تساوي -0.14 و 0.22 و 0.43 ومعاملات التفرطح تساوي 0.17 و -0.31 و 0.55؟ السؤال عادل تمامًا ، لأننا في الممارسة العملية لا نتعامل إلا مع القيم التقريبية والانتقائية لعدم التماثل والتفرطح ، والتي تخضع لبعض التشتت الحتمي الذي لا يمكن السيطرة عليه. لذلك ، من المستحيل اشتراط المساواة الصارمة بين هذه المعاملات إلى الصفر ، يجب أن تكون قريبة بدرجة كافية من الصفر. لكن ماذا يعني ذلك - كفى؟
مطلوب مقارنة القيم التجريبية التي تم الحصول عليها مع القيم المقبولة. للقيام بذلك ، تحتاج إلى التحقق من عدم المساواة التالية (قارن قيم المعاملات في المعامل بالقيم الحرجة - حدود منطقة اختبار الفرضية).
لمعامل عدم التناسق β
1
.
) يلعب دورًا مهمًا بشكل خاص في نظرية الاحتمالات وغالبًا ما يستخدم في حل المشكلات العملية. ميزته الرئيسية هي أنه قانون مقيد ، يتم التعامل معه من خلال قوانين التوزيع الأخرى في ظل ظروف نموذجية متكررة جدًا. على سبيل المثال ، مجموع عدد كبير بما فيه الكفاية من المتغيرات العشوائية المستقلة (أو ضعيفة الاعتماد) يخضع تقريبًا للقانون العادي ، ويتم ذلك بشكل أكثر دقة يتم تلخيص المتغيرات العشوائية.
لقد ثبت تجريبياً أن أخطاء القياس ، والانحرافات في الأبعاد الهندسية وموضع عناصر هيكل المبنى أثناء تصنيعها وتركيبها ، وتغير الخصائص الفيزيائية والميكانيكية للمواد والأحمال التي تعمل على هياكل المباني تخضع للقانون العادي.
يخضع التوزيع الغاوسي لجميع القيم العشوائية تقريبًا ، وينجم انحرافها عن القيم المتوسطة عن مجموعة كبيرة من العوامل العشوائية ، كل منها غير مهم بشكل فردي (نظرية الحد المركزي).
التوزيع الطبيعييسمى توزيع المتغير العشوائي المستمر ، حيث كثافة الاحتمال لها شكل (الشكل 18.1).
أرز. 18.1. قانون التوزيع الطبيعي لـ 1< a 2 .
حيث أ و هي معلمات التوزيع.
الخصائص الاحتمالية لمتغير عشوائي موزعة وفقًا للقانون العادي هي:
القيمة المتوقعة (18.2)
التشتت (18.3)
الانحراف المعياري (18.4)
معامل عدم التماثل أ = 0(18.5)
إفراط ه= 0. (18.6)
المعلمة σ المدرجة في التوزيع الغوسي تساوي نسبة الجذر إلى التربيع للقيمة العشوائية. الكمية أيحدد موقع مركز التوزيع (انظر الشكل 18.1) ، والقيمة أ- عرض التوزيع (الشكل 18.2) ، أي انتشار إحصائي حول المتوسط.
أرز. 18.2. قانون التوزيع الطبيعي لـ σ 1< σ 2 < σ 3
يتم تحديد احتمال الوقوع في فاصل زمني معين (من x 1 إلى x 2) للتوزيع الطبيعي ، كما هو الحال في جميع الحالات ، من خلال تكامل كثافة الاحتمال (18.1) ، والذي لا يتم التعبير عنه من حيث الوظائف الأولية وهو ممثلة بوظيفة خاصة تسمى وظيفة لابلاس (جزء لا يتجزأ من الاحتمالات).
أحد تمثيلات تكامل الاحتمالات:
الكمية ومسمى كمية.
يمكن ملاحظة أن Ф (х) دالة فردية ، أي Ф (-х) =-(х) .
يتم حساب قيم هذه الوظيفة وتقديمها في شكل جداول في الأدبيات الفنية والتعليمية.
يمكن التعبير عن دالة التوزيع للقانون العادي (الشكل 18.3) من خلال تكامل الاحتمالات:
أرز. 18.2. وظيفة قانون التوزيع الطبيعي.
احتمالية إصابة متغير عشوائي موزعة وفقًا للقانون العادي في الفترة من NS.إلى x ، يتم تحديده من خلال التعبير:
تجدر الإشارة إلى أن
Ф (0) = 0 ؛ Ф (∞) = 0.5 ؛ Ф (-) = -0.5.
عند حل المشكلات العملية المتعلقة بالتوزيع ، غالبًا ما يكون من الضروري مراعاة احتمال الوقوع في فاصل زمني متماثل فيما يتعلق بالتوقع الرياضي ، إذا كان طول هذه الفترة ، أي إذا كان الفاصل الزمني نفسه له حدود من إلى ، فلدينا:
عند حل المشكلات العملية ، يتم التعبير عن حدود انحرافات القيم العشوائية من حيث المعيار ، وهو الانحراف بين الجذر والمتوسط التربيعي ، مضروبًا في عامل يحدد حدود منطقة الانحرافات للمتغير العشوائي.
بأخذ واستخدام الصيغة (18.10) والجدول Ф (х) (الملحق رقم 1) ، نحصل على
تظهر هذه الصيغأنه إذا كان لمتغير عشوائي توزيع طبيعي ، فإن احتمال انحرافه عن قيمته المتوسطة بما لا يزيد عن هو 68.27٪ ، ولا يزيد عن 2σ - 95.45٪ ولا يزيد عن 3σ - 99.73٪.
نظرًا لأن قيمة 0.9973 قريبة من الوحدة ، فمن المستحيل عمليًا أن ينحرف التوزيع الطبيعي لمتغير عشوائي عن التوقع الرياضي بأكثر من 3 درجات. هذه القاعدة ، التي تنطبق فقط على التوزيع الطبيعي ، تسمى قاعدة سيجما الثلاثة. كسرها لديه فرصة ف = 1 - 0.9973 = 0.0027. يتم استخدام هذه القاعدة عند تحديد حدود الانحرافات المسموح بها للتفاوتات في الخصائص الهندسية للمنتجات والهياكل.
عشوائيًا ، إذا كان من الممكن ، نتيجة للتجربة ، أن تأخذ قيمًا حقيقية مع احتمالات معينة. أكثر الخصائص شمولاً وشمولاً للمتغير العشوائي هي قانون التوزيع. قانون التوزيع هو دالة (جدول ، رسم بياني ، معادلة) تسمح لك بتحديد احتمال أن يأخذ متغير عشوائي X قيمة معينة xi أو يقع في فترة زمنية معينة. إذا كان للمتغير العشوائي قانون توزيع معين ، فإنهم يقولون إنه يتم توزيعه وفقًا لهذا القانون أو يخضع لقانون التوزيع هذا.
كل قانون التوزيعهي بعض الوظائف التي تصف متغيرًا عشوائيًا تمامًا من وجهة نظر احتمالية. في الممارسة العملية ، غالبًا ما يتم الحكم على توزيع احتمالية المتغير العشوائي X فقط من خلال نتائج الاختبار.
التوزيع الطبيعي
التوزيع الطبيعييُطلق عليه أيضًا التوزيع الغاوسي ، وهو توزيع احتمالي يلعب دورًا حاسمًا في العديد من مجالات المعرفة ، وخاصة الفيزياء. تخضع الكمية المادية للتوزيع الطبيعي عندما تتأثر بعدد كبير من التداخل العشوائي. من الواضح أن مثل هذا الموقف شائع للغاية ، لذلك يمكننا القول أنه من بين جميع التوزيعات ، في الطبيعة ، يكون التوزيع الطبيعي هو الأكثر شيوعًا - ومن هنا أحد أسمائها.
يعتمد التوزيع الطبيعي على معاملين - الإزاحة والمقياس ، أي من وجهة نظر رياضية ، ليس توزيعًا واحدًا ، بل عائلة كاملة منهم. تتوافق قيم المعلمات مع قيم المتوسط (التوقع الرياضي) والانتشار (الانحراف المعياري).
التوزيع الطبيعي القياسي هو توزيع عادي مع توقع 0 وانحراف معياري قدره 1.
معامل عدم التماثل
يكون معامل الانحراف موجبًا إذا كان الذيل الأيمن للتوزيع أطول من اليسار ، وسالب بخلاف ذلك.
إذا كان التوزيع متماثلًا فيما يتعلق بالتوقع الرياضي ، فإن معامل الانحراف الخاص به هو صفر.
يتم استخدام معامل الانحراف في العينة لاختبار التوزيع من أجل التناظر ، وكذلك لاختبار أولي تقريبي للحالة الطبيعية. يسمح بالرفض ، لكنه لا يسمح بقبول فرضية الحالة الطبيعية.
معامل التفرطح
معامل التفرطح (معامل الذروة) هو مقياس حدة ذروة توزيع متغير عشوائي.
تم إدخال "ناقص ثلاثة" في نهاية الصيغة لجعل معامل التفرطح للتوزيع الطبيعي يساوي صفرًا. يكون موجبًا إذا كانت ذروة التوزيع بالقرب من التوقع الرياضي حادة وسلبية إذا كان الرأس سلسًا.
لحظات متغير عشوائي
لحظة المتغير العشوائي هي خاصية عددية لتوزيع متغير عشوائي معين.
