الاستدلال القائم فقط على الحقائق الدقيقة والاستنتاجات الدقيقة المبنية على هذه الحقائق يسمى الاعتبارات الصارمة. في الحالات التي يكون فيها من الضروري استخدام حقائق غير مؤكدة لاتخاذ القرارات ، يصبح التفكير الدقيق غير مناسب. لذلك ، فإن إحدى نقاط القوة في أي نظام خبير هي قدرته على تشكيل التفكير في ظروف عدم اليقين بنجاح كما يفعل الخبراء البشريون. هذا المنطق ذو طبيعة فضفاضة. يمكنك التحدث بأمان عن الوجود المنطق الضبابي.

ريبةونتيجة لذلك ، يمكن اعتبار المنطق الضبابي معلومات غير كافية لاتخاذ القرار. يصبح عدم اليقين مشكلة لأنه يمكن أن يعيق إيجاد الحل الأفضل بل ويسبب إيجاد حل سيئ. وتجدر الإشارة إلى أن حل الجودة الموجود في الوقت الفعلي يعتبر غالبًا أكثر قبولًا من الحل الأفضل ، والذي يستغرق وقتًا طويلاً للحساب. على سبيل المثال ، قد يؤدي التأخير في تقديم العلاج لإجراء اختبارات إضافية إلى وفاة المريض دون انتظار المساعدة.

سبب عدم اليقين هو وجود أخطاء مختلفة في المعلومات. التصنيف المبسطيمكن عرض هذه الأخطاء في تقسيمها إلى الأنواع التالية:

• غموض المعلومات ، والذي يرجع حدوثه إلى حقيقة أن بعض المعلومات يمكن تفسيرها بطرق مختلفة ؛
• معلومات غير كاملة بسبب نقص بعض البيانات ؛
• عدم كفاية المعلومات الناتجة عن استخدام البيانات لا يتوافق مع الوضع الحقيقي (الأسباب المحتملة هي أخطاء ذاتية: أكاذيب ، معلومات مضللة ، عطل في المعدات) ؛
• أخطاء القياس التي تنشأ بسبب عدم الامتثال لمتطلبات صحة ودقة معايير العرض الكمي للبيانات ؛
• الأخطاء العشوائية ، والتي تتمثل في التقلبات العشوائية للبيانات بالنسبة لقيمتها المتوسطة (قد يكون السبب: عدم موثوقية المعدات ، والحركة البراونية ، والتأثيرات الحرارية ، وما إلى ذلك).

حتى الآن ، تم تطوير عدد كبير من نظريات عدم اليقين ، حيث تم إجراء محاولة لإزالة بعض أو حتى جميع الأخطاء وتوفير استدلال موثوق به في ظروف عدم اليقين. الأكثر استخدامًا في الممارسة هي النظريات التي تستند إلى التعريف الكلاسيكي للاحتمال والاحتمال اللاحق.

يعد الاحتمال من أقدم وأهم أدوات حل مشاكل الذكاء الاصطناعي. احتمالاهي طريقة كمية لحساب عدم اليقين. ينشأ الاحتمال الكلاسيكي من نظرية اقترحها لأول مرة باسكال وفيرمات عام 1654. منذ ذلك الحين ، تم إنجاز الكثير من العمل في دراسة الاحتمالات وتنفيذ العديد من تطبيقات الاحتمالات في العلوم والتكنولوجيا والأعمال والاقتصاد وغيرها من المجالات.

الاحتمال الكلاسيكي

الاحتمال الكلاسيكييُطلق عليه أيضًا الاحتمال المسبق ، نظرًا لأن تعريفه يشير إلى الأنظمة المثالية. يشير مصطلح "سابق" إلى الاحتمال الذي يتم تحديده "للأحداث" ، دون مراعاة العديد من العوامل التي تحدث في العالم الحقيقي. ينطبق مفهوم الاحتمال المسبق على الأحداث التي تحدث في الأنظمة المثالية المعرضة للتآكل أو لتأثير الأنظمة الأخرى. في النظام المثالي ، يحدث حدوث أي من الأحداث بالطريقة نفسها ، مما يجعل تحليلها أسهل بكثير.

يتم تعريف الصيغة الأساسية للاحتمال الكلاسيكي (P) على النحو التالي:

في هذه الصيغة دبليوهو عدد الأحداث المتوقعة ، و ن- العدد الإجمالي للأحداث ذات الاحتمالات المتساوية التي تكون نتائج محتملة لتجربة أو اختبار. على سبيل المثال ، احتمال الحصول على أي وجه من نرد سداسي الجوانب هو 1/6 ، وسحب أي بطاقة من مجموعة تحتوي على 52 بطاقة مختلفة هو 1/52.

بديهيات نظرية الاحتمالية

يمكن إنشاء نظرية احتمالية رسمية بناءً على ثلاث بديهيات:

جعلت البديهيات المذكورة أعلاه من الممكن وضع الأساس لنظرية الاحتمال ، لكنها لا تأخذ في الاعتبار احتمال وقوع أحداث في أنظمة حقيقية غير مثالية. على عكس النهج المسبق ، في الأنظمة الحقيقية ، لتحديد احتمال وقوع حدث ما ف (ه)، يتم تطبيق طريقة تحديد الاحتمال التجريبي كحد لتوزيع التردد:

الاحتمال المعاكس

في هذه الصيغة و (هـ)يشير إلى تكرار حدوث بعض الأحداث بين نرقم عشر من الملاحظات على النتائج الإجمالية. يسمى هذا النوع من الاحتمالات أيضًا الاحتمال المعاكس، بمعنى آخر. تحديد الاحتمال "بعد الأحداث". أساس تحديد الاحتمال اللاحق هو قياس التردد الذي يحدث به حدث خلال عدد كبير من الاختبارات. على سبيل المثال ، تعريف النوع الاجتماعي لعميل بنك جدير بالائتمان على أساس الخبرة التجريبية.

يمكن أن تؤثر الأحداث غير المتعارضة على بعضها البعض. تصنف مثل هذه الأحداث على أنها معقدة. يمكن حساب احتمالية وقوع أحداث معقدة من خلال تحليل مساحات العينة المقابلة. يمكن تمثيل مساحات العينة هذه باستخدام مخططات Venn ، كما هو موضح في الشكل. 1

الشكل 1 مساحة عينة لحدثين غير متنافيين

يُطلق على احتمال حدوث الحدث A ، الذي يتم تحديده مع مراعاة حقيقة أن الحدث B حدث ، الاحتمال الشرطي ويتم الإشارة إليه ف (أ | ب)... يتم تعريف الاحتمال الشرطي على النحو التالي:

احتمال مسبق

في هذه الصيغة ، الاحتمال ف (ب)يجب ألا تكون صفراً ، وهو احتمال مسبق يتم تحديده قبل معرفة المعلومات الإضافية الأخرى. احتمال مسبقما يستخدم فيما يتعلق باستخدام الاحتمال الشرطي يسمى أحيانًا الاحتمال المطلق.

هناك مشكلة هي في الأساس عكس مشكلة حساب الاحتمال الشرطي. وهو يتألف من تحديد الاحتمال العكسي ، والذي يُظهر احتمالية وقوع حدث سابق ، مع مراعاة تلك الأحداث التي وقعت في المستقبل. في الممارسة العملية ، يتم مواجهة هذا النوع من الاحتمالات في كثير من الأحيان ، على سبيل المثال ، أثناء التشخيص الطبي أو تشخيص المعدات ، حيث يتم اكتشاف أعراض معينة ، والمهمة هي العثور على سبب محتمل.

لحل هذه المشكلة ، نستخدم مبرهنة بايز، الذي سمي على اسم عالم الرياضيات البريطاني توماس بايز في القرن الثامن عشر. تستخدم نظرية بايز على نطاق واسع اليوم لتحليل أشجار القرار في الاقتصاد والعلوم الاجتماعية. يستخدم البحث Bayesian عن الحلول أيضًا في نظام خبراء PROSPECTOR عند تحديد المواقع الواعدة للتنقيب عن المعادن. اكتسب نظام PROSPECTOR شهرة واسعة باعتباره أول نظام خبير ، تم بمساعدته اكتشاف إيداع قيم من الموليبدينوم ، تكلف 100 مليون دولار.

C7 في هذا الشكل الحديث ، صاغ لابلاس نظرية بايز. إن صياغة المشكلة ذاتها تعود إلى توماس بايز. لقد صاغها على أنها معكوس مشكلة برنولي المعروفة. إذا كان برنولي يبحث عن احتمالية حدوث نتائج مختلفة لـ "منحنى" رمي العملة المعدنية ، فإن بايز ، على العكس من ذلك ، سعى إلى تحديد درجة هذا "الانحناء" من خلال النتائج الملاحظة تجريبياً لقذف العملة. لم يكن هناك احتمال مسبق في حله.

على الرغم من أن القاعدة تبدو بسيطة للغاية ، إلا أنه من الصعب تطبيقها عمليًا ، نظرًا لأن الاحتمالات اللاحقة (أو حتى قيم وظائف القرار المبسطة) غير معروفة. يمكن تقدير قيمها. بحكم نظرية بايز ، يمكن التعبير عن الاحتمالات اللاحقة بدلالة الاحتمالات المسبقة ودوال الكثافة بواسطة الصيغة P C، Ix = P C، (P (x I C، / P Cy P xI C،

عند تقييم نتائج التصنيف باستخدام طريقة MDA ، نرى نسبة كبيرة من القرارات الخاطئة للشركات المفلسة (المجموعة 1) - كان من الممكن أن يحصل أحدهم على قرض. يصعب تصنيف الشركات التي لها مركز غير واضح (المجموعة 2) بشكل صحيح ، لأنها في النهاية قد تندرج في المجموعة الأولى أو الثالثة. لا يمكن تحسين الأمر من خلال جعل الاحتمالات السابقة تتماشى مع تصورات البنك لاحتمال انتماء شركة إلى مجموعات مختلفة. كان المؤشر العام لصحة التوقعات 56.6٪ فقط ، ومن المجموعة الأولى تم تصنيف 30٪ فقط بشكل صحيح.

مع المستوى الحالي من التعقيد والتزامن للعمليات الجارية ، فإن النماذج القائمة على العلاقات السببية لها فرص محدودة للتطبيق ، والأحداث التي تحدث حديثًا تغير باستمرار مواصفات جميع المتغيرات (سواء المدرجة وغير المدرجة في النموذج) ، والقيم من الاحتمالات والمدفوعات المسبقة للاستراتيجيات المختلفة غير مؤكدة وتتقلب بسرعة مع التغيرات في النمو الاقتصادي وأسعار الفائدة وأسعار الصرف وربحية المعاملات غير الإقراضية (على سبيل المثال ، عندما تتغير رسوم التشغيل والعمولات).

نظرًا لأنه من المستحيل في الوضع الحقيقي معرفة أي جزء من الشركات الممثلة في عينة عشوائية سيُفلس في غضون عام ، وبما أن مؤلفي النموذجين قيد الدراسة ، كما يمكن الافتراض ، يحددون مستويات التقسيم بناءً على بعض الافتراضات المحددة حول الاحتمالات السابقة للإفلاس وتكلفة الأخطاء ، قمنا بتبسيط إجراءات المقارنة وأدخلنا مستويات الفصل النسبية. بعبارة أخرى ، بالنسبة لكل نموذج ، اعتبرنا أدنى 10٪ من الإشارات التي تم إنشاؤها بواسطة النموذج للعام المقبل بمثابة إشارات إفلاس. في الواقع ، يعني هذا النهج إجمالي احتمالية مسبقة بنسبة 10٪ للإفلاس ونسبة عدد إشارات الإفلاس إلى حالات الإفلاس الحقيقية في الاختبار السابق ، والتي يتم تحديدها باستخدام عتبة التحسين. بالإضافة إلى ذلك ، تتمتع هذه الطريقة بميزة أنها تقلل التشوهات بسبب الفاصل الزمني الكبير بين نشر درجة Altman Z وإجراء التجربة. ربما تغير متوسط ​​المؤشرات خلال هذا الوقت ، وبالتالي يبدو أن تقسيم الشركات إلى شركات قوية وضعيفة ، بناءً على نسبة معينة ، أكثر موثوقية. طاولة يوضح الشكل 9.2 نتائج تجربة للتنبؤ بحالات الإفلاس للعام المقبل مع الإشارة إلى الخطأ لكل نموذج.

بأخذ الاحتمالية السابقة على أنها حقيقة ، قم بتقدير الربح المتوقع في حالة فتح فرع.

نشير بواسطة A. الحدث الذي q 6 [

لنفترض ، على سبيل المثال ، أنه تم تحديد المعلمات التالية: قيمة الاستثمارات الرأسمالية ، وقيمة تكاليف التشغيل وسعر المنتجات النهائية ، والتي ، على التوالي ، يمكن أن تأخذ قيم Кb К2 ، К3 Эь Э2 ، Э3 Ць Ц2 ، Цз- كل من هذه القيم تتوافق مع بعض الاحتمالات المسبقة ، على سبيل المثال ، Кь Эь Ts لها احتمال pt = 0.1 ، بالنسبة لـ K2 ، A2 ، Ts2 ، سيكون الاحتمال p2 = 0.8 ، وبالنسبة لـ K3 ، E3 ، Ts3 - p3 = 0.1.

دع الاحتمال المسبق للحصول في نهاية عملية التصميم على حل تقني يرضي

إذا كان لدى اللاعب 2 أكثر من استراتيجية واحدة في اللعبة D وكانت الاحتمالات السابقة لاستخدامها غير معروفة للاعب 1 ، أو لم يكن من المنطقي التحدث عن هذه الاحتمالات ، فإن كل ما قيل للتو غير قابل للتطبيق.

كما رأينا سابقًا ، تعتمد التغييرات في الاحتمالات السابقة p و q على ضبط الإشارة.

ويترتب على ذلك أنه إذا كان لدينا كيان محايد للمخاطر يعتقد أن خيار الشراء سيكون بقيمة C مع الاحتمال m و j مع الاحتمال (1 - م) ، فإن هذا الكيان سيحسب سعر الخيار الحالي بما يتفق تمامًا مع المعادلة المشتقة. ... لاحظ أننا لم نفترض أبدًا وجود احتمالات مسبقة لحدوث سعر سهم معين ، وبالتالي تقييم الخيار المستقبلي. هذا النهج يسمى تقييم المخاطر المحايدة.

دع م (

الجانب الأيمن من (7.53) ليس كثافة بالمعنى الصحيح ، حيث لم يتم تعريف تكاملها ؛ ومع ذلك ، عند حساب كثافة التوزيع اللاحق للمعلمات باستخدام معادلة بايز ، فإن الصعوبات الشكلية عند العمل مع ( 7.53) إما أنها لا تنشأ ، أو يمكن التغلب عليها بسهولة ... كما سنرى أدناه في القسم 7.3.2 ، يكون الاختيار (7.53) مناسبًا من الناحية التحليلية ويبدو أنه يعكس جيدًا الغياب التام للمعرفة المسبقة حول توزيع المعلمات. ومع ذلك ، فإنه يخفي في الواقع افتراضات قوية جدًا بعدم وجود ارتباط بين المعلمات (يجب عدم الخلط بينه وبين الارتباط بين تقديرات قيم المعلمات ، والتي تعتمد على توزيع عوامل الانحدار وقيمة أ) ، الاحتمال الضئيل للاحتمال المسبق بأن متجه المعلمات يكمن في أي حجم محدد معين ، مهما كانت قيمته ، وما إلى ذلك. يؤدي هذا أحيانًا إلى صعوبات خطيرة في تفسير نتائج تقدير بايز.

ضع في اعتبارك محتوى نظرية بايز من وجهة نظر مختلفة قليلاً. للقيام بذلك ، سنقوم بتدوين جميع النتائج المحتملة لتجربتنا. دع الرموز Н0 ، h تعني النتيجة ، والعملة غير مغطاة وجانبها العلوي هو شعار النبالة. "

أنا مثل V2i ، فإن احتمال النتيجة المحددة سيكون Va X1 / 2 = 1 / 4- أدناه نقدم قائمة بجميع النتائج واحتمالاتها السابقة

لذلك ، في المثال مع عملة معدنية ونرد ، P (Ha) هو الاحتمال السابق ، P (Na K) هو الاحتمال اللاحق ، و P (H Ha) هو الاحتمال.

إذا كان من الممكن الآن اعتبار الاحتمال السابق P (H0) مساوياً لـ 1 أو 0 ، فيقال إن صانع القرار

تخيل الآن أن المجرب يقدم لصانع القرار معلومات موثوقة (أو كاملة) تمامًا حول أي كائن معين لا يتم تغطيته. ومع ذلك ، يجب على صانع القرار أن يدفع مقابل خدمة توصيل مثل هذه المعلومات الموثوقة تمامًا قبل أن يتلقى هذه المعلومات. ماذا ستكون قيمة مثل هذه المعلومات؟ يمكنه أن يتطلع إلى الأمام ويسأل نفسه عما سيفعله ردًا على كل من الرسالتين المحتملتين التي يمكن أن توفرها خدمة معينة ، ويحسب دخله بناءً على الردود التي يتلقاها. إن وزن هذا الدخل باستخدام الاحتمالات السابقة للرسائل المحتملة سيسمح له بتقدير مبلغ دخله المتوقع إذا دفع مبلغًا مقابل معلومات موثوقة تمامًا قبل استلامها فعليًا. نظرًا لأن هذا الدخل المتوقع سيكون أكثر من 0.5 دولار ، أي ما يتوقعه على أساس المعلومات المسبقة وحدها ، فإن الزيادة في الدخل ستكون الحد الأقصى للمبلغ الذي من المنطقي أن يدفعه مقابل خدمة المعلومات.

يجب على الشركة شراء كمية كبيرة من السلع إما اليوم أو غدًا. اليوم سعر المنتج هو 14.5 دولارًا للوحدة. وفقًا للشركة ، سيكون سعرها غدًا إما 10 دولارات أو 20 دولارًا باحتمالية متساوية. دع x يشير إلى سعر الغد ثم الاحتمالات السابقة

في المرحلة الأخيرة ، يتم التحقق من موثوقية اختيار الاحتمالات المسبقة لحدوث ظروف السوق ويتم حساب المنفعة المتوقعة من تحسين هذه الاحتمالات. لهذا ، تم بناء شجرة القرار. إذا ظهرت الحاجة إلى إجراء أبحاث سوقية إضافية ، فمن المستحسن تعليق تنفيذ الإصدار المحدد من المنتج الجديد حتى يتم الحصول على نتائج أكثر موثوقية.

في الممارسة التسويقية لشركة ما ، غالبًا ما يكون من الضروري مقارنة تكاليف الحصول على معلومات جزئية (غير كاملة) وتكاليف الحصول على معلومات جديدة إضافية من أجل اتخاذ قرار أفضل. يجب على المدير (صانع القرار) تقييم إلى أي مدى تغطي الفوائد التي يتم الحصول عليها من المعلومات الإضافية تكاليف الحصول عليها. في هذه الحالة ، يمكن تطبيق نظرية القرار بايزي. البيانات الأولية هي احتمالات مسبقة P (Sk) والاحتمالات الشرطية P (Z Sk) لظهور حالة السوق Z ، بشرط أن يتم افتراض ظهور الحالة 5A. عند استلام معلومات جديدة ، يتم حساب المنفعة المتوقعة لكل استراتيجية ، ثم يتم تحديد الإستراتيجية ذات القيمة القصوى للأداة المتوقعة. بمساعدة المعلومات الجديدة ، يمكن لصانع القرار تصحيح الاحتمالات السابقة P (Sk) ، وهذا مهم للغاية عند اتخاذ القرارات.

الآن ، من المستحسن معرفة احتمال ظهور حالة موضوعية Sk عند تلقي معلومات جديدة. وبالتالي ، من الضروري إيجاد P (Sk Z) ، حيث k ، q = 1 ، n. هذا هو الاحتمال الشرطي وهو الاحتمال السابق المعدل. لحساب P (Sk Z) ، نستخدم صيغة Bayes

لذلك ، حصلنا على احتمالات مسبقة لظهور ظروف السوق الموضوعية. يتم عرض عملية الحساب بأكملها والنتائج التي تم الحصول عليها في الجدول. 9.11 و 9.12.

يتطلب استخدام نهج بايز (6.47) معرفة الاحتمالات المسبقة وكثافات التوزيع الاحتمالية.

باستخدام الخصائص العددية للكائنات التي تم الحصول عليها من AGC ، أجرينا تحليلًا قياسيًا لمميزات متعددة خطية مع نفس الاحتمالات السابقة (تساوي 33٪) لعضوية العنصر. مجموعات. تم تصنيف 41٪ من العدد الإجمالي للحالات بشكل صحيح ، وهذا أفضل قليلاً من دقة 33٪ التي يمكن الحصول عليها إذا تم تعيين كائن عشوائيًا لمجموعة أو أخرى. فاتورة غير مدفوعة. 8.6 أدناه هو جدول تصنيف خاطئ ، يسمى أيضًا مصفوفة الخطأ.

التحدي التالي هو تطوير معيار للاختبار. في معظم الحالات ، يتم أخذ عينات قليلة لتقييم نماذج MDA ، وهذا يزيد من احتمالية ملاءمة النموذج لبيانات الاختبار بشكل وثيق للغاية. تحتوي العينات عادة على نسبة متساوية من الشركات المفلسة وغير المفلسة ، وعادة ما تتوافق البيانات نفسها مع فترات الإفلاس الشديد. هذا يؤدي إلى استنتاج مفاده أن نتائج تقييم النموذج على البيانات الجديدة هي فقط موثوقة. من الجدول. 9.1 يمكن ملاحظة أنه حتى في الاختبارات الأكثر ملاءمة مع البيانات الجديدة (عندما يتم أخذ جميع الأمثلة من نفس الفترة الزمنية ، علاوة على ذلك ، متجانسة من حيث الصناعات وحجم المؤسسة) ، تكون الجودة أسوأ من العينات ، والتي تم استخدامها لتحديد معلمات النموذج. نظرًا لأنه ، من الناحية العملية ، لن يتمكن مستخدمو نماذج التصنيف من ضبط النموذج مع الاحتمالات السابقة الأخرى للإفلاس أو حجم الشركة أو الصناعة ، فقد تكون الجودة الفعلية للنموذج أسوأ. يمكن أن تتدهور الجودة أيضًا نظرًا لوجود عدد قليل من الشركات في العينات المستخدمة لاختبار نماذج MDA التي لم تفلس ولكنها معرضة للخطر. إذا كان هناك فقط أربع أو خمس شركات من هذا القبيل تعيش في خطر ، فإن هذا يشوه الحصة الحقيقية للشركات الخطرة ، ونتيجة لذلك ، يتم التقليل من تكرار أخطاء النوع الثاني.

تم حساب طرق MDA المتضمنة في المقارنة وتحسينها بناءً على معدل إشارة خاطئ قدره 10 1 مع بعض الاحتمالات السابقة وتكاليف الخطأ. أود أن استخدم كمعيار مسبق أقل من 10٪ ، عدد حالات الإفلاس المحتملة بين السكان ، لكن هذا لا يتفق جيدًا مع معايير النماذج. كما أنه يتعارض مع الممارسة حيث لم يؤد خفض العتبة إلى أقل من 10 في المائة إلى الإفلاس. لذلك ، عندما تم خفض حصة الإشارات الخاطئة إلى 7٪ ، توقف مقياس Taffler Z عن تحديد حالات الإفلاس تمامًا ، وواجه نموذج Datastream هذه العقبة عند حوالي 8٪. في المقابل ، تعرفت الشبكة العصبية على حالتين من حالات الإفلاس أقل من مستوى القسمة البالغ 4.5٪ ، أي أن تكون الشبكة قادرة على العمل في بيئة لا يوجد فيها سوى خمس إشارات خاطئة لتعريف إفلاس واحد صحيح. هذا الرقم يمكن مقارنته بأفضل النتائج التي تحصل عليها نماذج MDA في اختبارات سابقة أقل تطلبًا. يؤدي هذا إلى استنتاجين: أولاً ، النماذج العصبية هي طريقة تصنيف موثوقة في قطاع الائتمان ، وثانيًا ، قد يكون استخدام سعر السهم كمتغير مستهدف في التدريب أكثر ربحية من مؤشر الإفلاس / البقاء على قيد الحياة نفسه. يعكس سعر السهم-

بوصة. 3-5 وصف طرق قياس التفضيلات (أوزان) الأحداث المستقبلية ، والتقديرات الكمية لدرجة التفضيل ، ويمكننا حساب الاحتمال غير المشروط لأي نتيجة عينة

1. الاحتمالات الشرطية. الاحتمالات المسبقة واللاحقة. 3

ثانيا - الأحداث المستقلة. 5

ثالثاً: اختبار الفروض الإحصائية. الموثوقية الإحصائية. 7

رابعًا: استخدام اختبار Chi-Square 19

1. تحديد مصداقية الفرق بين مجموعة من الترددات ومجموعة من الاحتمالات. 19

2. تحديد مصداقية الاختلاف بين عدة مجموعات من الترددات. 26

V المهمة المستقلة 33

الدرس رقم 2

1. الاحتمالات الشرطية. الاحتمالات المسبقة واللاحقة.

يتم تعيين المتغير العشوائي بواسطة ثلاثة كائنات: مجموعة من الأحداث الأولية ، ومجموعة من الأحداث ، واحتمال الأحداث. تسمى تلك القيم التي يمكن أن يأخذها المتغير العشوائي الأحداث الابتدائية.يتم استدعاء مجموعات الأحداث الأولية الأحداث... بالنسبة للمتغيرات العددية والمتغيرات العشوائية الأخرى غير المعقدة للغاية ، فإن أي مجموعة معينة من الأحداث الأولية هي حدث.

لنأخذ مثالاً: رمي النرد.

هناك 6 أحداث ابتدائية في المجموع: "نقطة" ، "نقطتان" ، "3 نقاط" ... "6 نقاط". الحدث - أي مجموعة من الأحداث الأولية ، على سبيل المثال ، "زوجي" هو مجموع الأحداث الأولية "نقطتان" و "4 نقاط" و "6 نقاط".

احتمال أي حدث ابتدائي P (A) هو 1/6:

احتمال وقوع حدث هو عدد الأحداث الأولية المتضمنة فيه ، مقسومًا على 6.

في كثير من الأحيان ، بالإضافة إلى الاحتمال المعروف لحدث ما ، هناك بعض المعلومات الإضافية التي تغير هذا الاحتمال. على سبيل المثال ، فتك المرضى. من الذين يدخلون المستشفى يعانون من القرحة المعدية النزفية الحادة حوالي 10٪. ومع ذلك ، إذا كان عمر المريض أكثر من 80 عامًا ، فإن معدل الوفيات هذا هو 30 ٪.

لوصف مثل هذه الحالات ، ما يسمى ب الاحتمالات الشرطية... تم تعيينهم كـ P (A / B) ويقرأون "احتمالية الحدث A معطى الحدث B". لحساب الاحتمال الشرطي ، يتم استخدام الصيغة:

دعنا نعود إلى المثال السابق:

من بين المرضى الذين تم إدخالهم إلى المستشفى الذين يعانون من قرحة المعدة النزفية الحادة ، 20 ٪ هم من المرضى الذين تزيد أعمارهم عن 80 عامًا. علاوة على ذلك ، من بين جميع المرضى ، تبلغ نسبة المرضى المتوفين الذين تزيد أعمارهم عن 80 عامًا 6٪ (تذكر أن نسبة جميع الوفيات 10٪). في هذه الحالة

عند تحديد الاحتمالات الشرطية ، فإن الشروط بداهة(حرفيا - قبل التجربة) و لاحقة(حرفيا - بعد الخبرة) الاحتمالات.

باستخدام الاحتمالات الشرطية ، يمكن للمرء حساب الآخرين من احتمالات واحدة ، على سبيل المثال ، لمبادلة حدث وشرط.

دعونا نفكر في هذه التقنية على سبيل المثال لتحليل العلاقة بين خطر الإصابة بأمراض الروماتيزم (الحمى الروماتيزمية) وأحد المستضدات التي تشكل عامل خطر لها.

تبلغ نسبة الإصابة بالروماتيزم حوالي 1٪. دعنا نحدد وجود الروماتيزم على أنه R + ، بينما P (R +) = 0.01.

سيتم تحديد وجود المستضد على أنه A +. يوجد في 95٪ من مرضى الروماتيزم و 6٪ من غير المصابين به. في تدويننا ، هذه هي: الاحتمالات الشرطية P (A + / R +) = 0.95 و P (A + / R -) = 0.06.

بناءً على هذه الاحتمالات الثلاثة ، سنحدد الاحتمالات الأخرى بالتتابع.

بادئ ذي بدء ، إذا كان معدل الإصابة بالروماتيزم هو P (R +) = 0.01 ، فإن احتمال عدم الإصابة بالمرض هو P (R -) = 1-P (R +) = 0.99.

من صيغة الاحتمال الشرطي ، نجد ذلك

P (A + و R +) = P (A + / R +) * P (R +) = 0.95 * 0.01 = 0.0095 ، أو 0.95٪ من السكان يعانون في نفس الوقت من الروماتيزم ولديهم مستضد.

بطريقة مماثلة

P (A + و R -) = P (A + / R -) * P (R -) = 0.06 * 0.99 = 0.0594 ، أو 5.94٪ من السكان يحملون المستضد ، لكن لا يصابون بالروماتيزم.

نظرًا لأن كل شخص لديه مستضد إما مصاب بالروماتيزم أو لا يمرض (ولكن ليس كلاهما في نفس الوقت) ، فإن مجموع الاحتمالين الأخيرين يعطي تواتر نقل المستضد في المجتمع ككل:

الفوسفور (A +) = P (A + u R +) + P (A + u R -) = 0.0095 + 0.0594 = 0.0689

وفقًا لذلك ، فإن نسبة الأشخاص الذين ليس لديهم مستضد تساوي

الفوسفور (أ -) = 1- الفوسفور (أ +) = 0.9311

بما أن نسبة الإصابة بالروماتيزم 1٪ ، ونسبة المصابين بالمستضد والروماتيزم 0.95٪ ، فإن نسبة المصابين بالروماتيزم ولا يوجد مستضد تساوي:

الفوسفور (A - و R +) = الفوسفور (R +) - الفوسفور (A + و R +) = 0.01 - 0.0095 = 0.0005

الآن سوف نتحرك في الاتجاه المعاكس ، ننتقل من احتمالات الأحداث ومجموعاتها إلى الاحتمالات الشرطية. وفقًا لصيغة الاحتمال الشرطي الأولي ، P (A + / R +) = P (R + and A +) / P (A +) = 0.0095 / 0.06890.1379 ، أو ما يقرب من 13.8 ٪ من الأشخاص الذين يحملون المستضد يمرضون الروماتيزم. نظرًا لأن معدل الإصابة بالسكان ككل هو 1 ٪ فقط ، فإن حقيقة اكتشاف مستضد تزيد من احتمالية الإصابة بالروماتيزم بنسبة 14 مرة.

وبالمثل ، P (R + / A -) = P (R + و A -) / P (A -) = 0.0005 / 0.9311-0.000054 ، أي حقيقة أنه لم يتم اكتشاف أي مستضد أثناء الاختبار يقلل من احتمالية الإصابة بالروماتيزم 19 مرة.

لنقم بتنسيق هذه المهمة في جدول بيانات Excel:

يمكنك مشاهدة عملية بناء جدول picture2 \ p2-1.gif

يتم تقييم الحدث العشوائي برقم يحدد شدة مظهر هذا الحدث. هذا الرقم يسمى احتمالاالتطورات ف () ... احتمال وقوع حدث ابتدائي هو ... احتمالية وقوع حدث ما هي مقياس رقمي لدرجة الموضوعية ، إمكانية حدوث هذا الحدث. كلما زاد الاحتمال ، زاد احتمال وقوع الحدث.

أي حدث يطابق مساحة النتيجة بأكملها سيسمى حدث موثوق، بمعنى آخر. مثل هذا الحدث الذي ، نتيجة للتجربة ، يجب أن يحدث بالضرورة (على سبيل المثال ، سقوط أي عدد من النقاط من 1 إلى 6 على النرد). إذا كان الحدث لا ينتمي إلى المجموعة س، ثم يعتبر مستحيل(على سبيل المثال ، ظهور عدد من النقاط أكبر من 6 على نرد). احتمال وقوع حدث مستحيل هو 0 ، واحتمال حدوث حدث معين هو 1. جميع الأحداث الأخرى لها احتمالية من 0 إلى 1.

التطورات هو وتسمى ضد، لو هيأتي عندما لا يأتي ... على سبيل المثال ، الحدث ه- "خسارة عدد زوجي من النقاط" ، ثم الحدث - "خسارة عدد فردي من النقاط". حدثان ه 1 و ه 2 وتسمى تتعارضإذا لم تكن هناك نتيجة مشتركة لكلا الحدثين.

لتحديد احتمالات الأحداث العشوائية ، يتم استخدام الطرق المباشرة أو غير المباشرة. عند حساب الاحتمال مباشرة ، يتم تمييز مخططات الحساب المسبق واللاحق ، متى إجراء ملاحظات (تجارب) أو حساب مسبق لعدد التجارب مالذي تجلى فيه الحدث ، والعدد الإجمالي للتجارب التي أجريت ن... تعتمد الطرق غير المباشرة على النظرية البديهية. نظرًا لتعريف الأحداث على أنها مجموعات ، يمكن إجراء جميع العمليات النظرية عليها. تم اقتراح نظرية المجموعات والتحليل الوظيفي من قبل الأكاديمي أ. وشكلت Kolmogorov أساس نظرية الاحتمالية البديهية. هنا مسلمات الاحتمالات.

اكسيومأنا. مجال الحدثF(س) هو جبر المجموعات.

تشير هذه البديهية إلى تشابه بين نظرية المجموعات ونظرية الاحتمالات.

اكسيومII. لكل مجموعةمن عندF(س) الرقم الحقيقي P () ، تسمى احتمالية الحدث:

بشرط س 1 س 2 =  (للأحداث غير المتسقة س 1 و س 2 ) ، أو للعديد من الأحداث غير المتسقة

أين ن- عدد الأحداث الأولية (النتائج المحتملة).

احتمال وقوع حدث عشوائي

أين - احتمالات الأحداث الأولية المدرجة في المجموعة الفرعية .

مثال 1.1 تحديد احتمالية السقوط من كل رقم عند رمي نرد ، أو السقوط من رقم زوجي ، 4 .

حل... احتمال سقوط كل رقم من المجموعة

S = (1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6)
1/6.

احتمال الحصول على رقم زوجي ، أي
={2, 4, 6}, على أساس (1.6) سيكون ف (
) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2 .

احتمال الحصول على رقم  4 ، بمعنى آخر.
= {4, 5, 6 } ,

ف (
) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2.

مهام الدراسة الذاتية

1. يوجد 20 كرة بيضاء و 30 سوداء و 50 كرة حمراء في السلة. أوجد احتمال أن تكون الكرة الأولى التي يتم إخراجها من السلة بيضاء ؛ أسود؛ أحمر.

2. هناك 12 فتى و 10 فتيات في مجموعة الطلاب. ما هو احتمال الغياب في ندوة نظرية الاحتمالات: 1) شاب. 2) بنت. 3) صبيان؟

3. تميزت الأيام الـ 51 خلال العام بحقيقة أن السماء كانت تمطر (أو تتساقط الثلوج) في هذه الأيام. ما هو احتمال تعرضك لخطر الوقوع في المطر (أو الثلج): 1) الذهاب إلى العمل ؛ 2) المشي لمدة 5 أيام؟

4. جعل مشكلة في موضوع هذه المهمة وحلها.

1.1.3. تحديد الاحتمال اللاحق (الاحتمال الإحصائي أو التردد

حدث عشوائي)

عند تحديد الاحتمال مسبقًا ، تم افتراض ذلك متساوية في الاحتمال. هذا ليس صحيحًا دائمًا ، وغالبًا ما يحدث ذلك
في
... افتراض
يؤدي إلى خطأ في التعريف المسبق ف ( ) وفقًا للمخطط المعمول به. لتحديد ، وبشكل عام ف ( ) إجراء الاختبارات المستهدفة. في سياق إجراء مثل هذه الاختبارات (على سبيل المثال ، نتائج الاختبار في الأمثلة 1.2 ، 1.3) في ظل ظروف مختلفة ، وظروف مختلفة ، وتأثيرات ، وعوامل سببية ، أي غير مبال حالات،مختلف النتائج(مظاهر مختلفة لمعلومات الشيء الذي تم فحصه) كل نتيجة اختبار تتوافق مع عنصر واحد أو مجموعة فرعية واحدة جموع س.إذا حددت مبعدد الأحداث المواتية أالنتائج التي تم الحصول عليها نتيجة لذلك نالاختبارات ، الاحتمال اللاحق (الاحتمال الإحصائي أو تكرار حدث عشوائي أ)

بناء على قانون الأعداد الكبيرة ل  أ

أولئك. مع زيادة عدد التجارب ، فإن تكرار حدث عشوائي (احتمالية لاحقة أو إحصائية) يميل إلى احتمال حدوث هذا الحدث.

مثال 1.2 احتمالية الحصول على صورة الوجه عند رمي العملة ، التي يحددها مخطط الحالات ، هي 0.5. مطلوب قلب عملة 10 ، 20 ، 30 ... مرة وتحديد تكرار حدث عشوائي من ذيول بعد كل سلسلة من الاختبارات.

حل... ألقى K. Poisson العملة 24000 مرة ، مع 11998 ذيل. ثم ، بالصيغة (1.7) ، احتمال الحصول على ذيول

.

مهام الدراسة الذاتية

بناء على مادة إحصائية كبيرة ( ن  ) ، تم الحصول على قيم احتمالات ظهور الأحرف الفردية للأبجدية الروسية والمسافة () في النصوص ، والتي ترد في الجدول 1.1.

الجدول 1.1. احتمالية ظهور حروف الأبجدية في النص

خذ صفحة من أي نص وحدد مدى تكرار ظهور الحروف المختلفة في هذه الصفحة. زيادة حجم الاختبارات إلى صفحتين. قارن النتائج التي تم الحصول عليها مع البيانات الواردة في الجدول. تقديم استنتاج.

عند إطلاق النار على الأهداف ، تم الحصول على النتيجة التالية (انظر الجدول 1.2).

الجدول 1.2. نتيجة اطلاق النار الهدف

ما هو احتمال إصابة الهدف من اللقطة الأولى إذا كان حجمه أصغر من عشرة ، أو تسعة ، وما إلى ذلك؟

3. تخطيط وإجراء اختبارات مماثلة لأحداث أخرى. اعرض نتائجهم.