Standart sapma tanımı. Standart sapma nasıl bulunur?

Site bölümleri

Editörün Seçimi:

Reklam

Ev - Araçlar ve malzemeler

Standart sapma, kurumsal dünyada bir konuşma veya sunumda bunu iyi bir şekilde başarabilen insanlara güvenilirlik kazandıran, bunun ne olduğunu bilmeyen ama söylemekten utananlar arasında ise belirsiz bir yanlış anlama bırakan istatistiksel terimlerden biridir. sormak. Aslında yöneticilerin çoğu standart sapma kavramını anlamıyor ve eğer siz de onlardan biriyseniz, yalanla yaşamayı bırakmanın zamanı geldi. Bugünkü makalemde, bu yeterince takdir edilmeyen istatistiksel ölçümün, üzerinde çalıştığınız verileri daha iyi anlamanıza nasıl yardımcı olabileceğini anlatacağım.

Standart sapma neyi ölçer?

İki mağazanın sahibi olduğunuzu düşünün. Kayıpları önlemek için stok bakiyelerini net bir şekilde kontrol etmek önemlidir. Hangi yöneticinin envanteri daha iyi yönettiğini bulmak amacıyla son altı haftalık envanteri analiz etmeye karar veriyorsunuz. Her iki mağazanın ortalama haftalık stok maliyeti yaklaşık olarak aynıdır ve yaklaşık 32 geleneksel birime denk gelmektedir. İlk bakışta ortalama ikinci tur, her iki yöneticinin de benzer performans gösterdiğini gösteriyor.

Ancak ikinci mağazanın faaliyetlerine daha yakından bakarsanız, ortalama değer doğru olmasına rağmen stok değişkenliğinin çok yüksek olduğunu (10'dan 58 USD'ye kadar) göreceksiniz. Dolayısıyla ortalamanın verileri her zaman doğru değerlendirmediği sonucuna varabiliriz. Standart sapmanın devreye girdiği yer burasıdır.

Standart sapma, değerlerin ortalamaya göre nasıl dağıldığını gösterir. Yani ikinci turdaki yayılmanın haftadan haftaya ne kadar büyük olduğunu anlayabilirsiniz.

Örneğimizde ortalamayla birlikte standart sapmayı hesaplamak için Excel'in STDSAPMA fonksiyonunu kullandık.

İlk yönetici durumunda standart sapma 2 idi. Bu bize örneklemdeki her değerin ortalamadan 2 saptığını gösteriyor. Bu iyi mi? Soruya farklı bir açıdan bakalım; 0'lık standart sapma bize örnekteki her değerin ortalamasına eşit olduğunu söyler (bizim durumumuzda 32,2). Dolayısıyla standart sapmanın 2 olması 0'dan pek farklı değildir, bu da çoğu değerin ortalamaya yakın olduğunu gösterir. Standart sapma 0'a ne kadar yakınsa ortalama o kadar güvenilirdir. Ayrıca, 0'a yakın bir standart sapma, verilerdeki değişkenliğin az olduğunu gösterir. Yani, standart sapması 2 olan bir ikinci tur değeri, ilk yöneticinin inanılmaz tutarlılığını gösterir.

İkinci mağazada ise standart sapma 18,9 oldu. Yani ikinci akışın maliyeti ortalama olarak haftadan haftaya ortalama değerden 18,9 oranında sapıyor. Çılgın yayılma! Standart sapma 0'dan ne kadar uzak olursa ortalamanın doğruluğu o kadar az olur. Bizim durumumuzda 18,9 rakamı ortalama değere (haftada 32,8 USD) güvenilemeyeceğini gösteriyor. Bu aynı zamanda bize haftalık ikinci akışın oldukça değişken olduğunu da söylüyor.

Kısaca standart sapma kavramı budur. Diğer önemli istatistiksel ölçümler (Mod, Medyan...) hakkında fikir vermese de aslında standart sapma çoğu istatistiksel hesaplamada çok önemli bir rol oynar. Standart sapma ilkelerini anlamak birçok iş sürecinize ışık tutacaktır.

Standart sapma nasıl hesaplanır?

Artık standart sapma sayısının ne söylediğini biliyoruz. Nasıl hesaplandığını bulalım.

10'dan 70'e kadar olan veri setine 10'luk adımlarla bakalım. Gördüğünüz gibi zaten H2 hücresindeki (turuncu) STANDARDEV fonksiyonunu kullanarak standart sapma değerini hesapladım.

Excel'in 21.6'ya ulaşmak için attığı adımlar aşağıdadır.

Daha iyi anlaşılması için tüm hesaplamaların görselleştirildiğini lütfen unutmayın. Aslında Excel'de hesaplama anında gerçekleşir ve tüm adımlar perde arkasında bırakılır.

İlk olarak Excel örnek ortalamayı bulur. Bizim durumumuzda ortalama 40 olarak ortaya çıktı ve bir sonraki adımda bu değer her numune değerinden çıkarıldı. Elde edilen her farkın karesi alınır ve toplanır. Elimizde 2800'e eşit bir toplam var ve bu rakamın örnek eleman sayısı eksi 1'e bölünmesi gerekiyor. 7 elemana sahip olduğumuz için 2800'ü 6'ya bölmemiz gerektiği ortaya çıkıyor. Elde edilen sonuçtan karekökü buluyoruz, bu rakam standart sapma olacaktır.

Görselleştirmeyi kullanarak standart sapmayı hesaplama ilkesini tam olarak bilmeyenler için, bu değeri bulmanın matematiksel bir yorumunu vereceğim.

Excel'de standart sapmayı hesaplamak için işlevler

Excel'in çeşitli standart sapma formülleri vardır. Tek yapmanız gereken =STDEV yazmanız ve kendiniz göreceksiniz.

STDEV.V ve STDEV.G işlevlerinin (listedeki birinci ve ikinci işlevler), daha önceki sürümlerle uyumluluk amacıyla tutulan STDSAPMA ve STDSAPMA işlevlerini (listedeki beşinci ve altıncı işlevler) sırasıyla kopyaladığını belirtmek gerekir. Excel'in sürümleri.

Genel olarak .B ve .G fonksiyonlarının sonlarındaki farklılık, bir örneklemin veya popülasyonun standart sapmasının hesaplanması prensibini gösterir. Bu iki dizi arasındaki farkı daha önceki yazımda anlatmıştım.

STANDART DEĞER ve STANDART DEVAL işlevlerinin (listedeki üçüncü ve dördüncü işlevler) bir özelliği, bir dizinin standart sapmasını hesaplarken mantıksal ve metin değerleri. Metin ve gerçek boolean değerleri 1, false boolean değerleri ise 0'dır. Bu iki fonksiyona ihtiyaç duyacağım bir durumu hayal edemiyorum, bu yüzden bunların göz ardı edilebileceğini düşünüyorum.

Standart sapma, tanımlayıcı istatistiklerden değişkenliğin klasik bir göstergesidir.

Standart Sapma, ortalama standart sapma, Standart sapma, örneklem standart sapması (İng. standart sapma, STD, STDev), tanımlayıcı istatistiklerde dağılımın çok yaygın bir göstergesidir. Ama çünkü teknik analiz istatistiklere benzer; bu gösterge, analiz edilen enstrümanın fiyatının zaman içindeki dağılım derecesini tespit etmek için teknik analizde kullanılabilir (ve kullanılmalıdır). Yunan sembolü Sigma "σ" ile gösterilir.

Standart sapmayı kullanmamıza izin verdikleri için Karl Gauss ve Pearson'a teşekkür ederiz.

Kullanma teknik analizde standart sapma, bunu çeviriyoruz "dağılım indeksi"" V "volatilite göstergesi“Anlamı koruyor ama terimleri değiştiriyor.

Standart sapma nedir

Ancak ara yardımcı hesaplamaların yanı sıra, bağımsız hesaplama için standart sapma oldukça kabul edilebilir ve teknik analizdeki uygulamalar. Dergimizin aktif bir okuyucusunun belirttiği gibi dulavratotu, “ Yurt içi işlem merkezlerinin standart göstergelerine standart sapmanın neden dahil edilmediğini hala anlamıyorum«.

Gerçekten mi, standart sapma, bir enstrümanın değişkenliğini klasik ve "saf" bir şekilde ölçebilir. Ancak ne yazık ki bu gösterge menkul kıymet analizlerinde çok yaygın değildir.

Standart sapmanın uygulanması

Standart sapmanın manuel olarak hesaplanması çok ilginç değil, ancak deneyim için faydalıdır. Standart sapma ifade edilebilir formül STD=√[(∑(x-x ) 2)/n] , bu, numunenin elemanları ile ortalama arasındaki farkların karelerinin toplamının numunedeki eleman sayısına bölünmesiyle elde edilen kök gibi görünür.

Örnekteki element sayısı 30'u geçerse kök altındaki kesrin paydası n-1 değerini alır. Aksi halde n kullanılır.

Adım adım standart sapma hesaplaması:

veri örneğinin aritmetik ortalamasını hesaplayın
bu ortalamayı her örnek öğeden çıkarın
ortaya çıkan tüm farklılıkların karesini alıyoruz
ortaya çıkan tüm kareleri topla
elde edilen miktarı numunedeki elementlerin sayısına bölün (veya n>30 ise n-1'e bölün)
elde edilen bölümün karekökünü hesaplayın (buna denir) dağılım)

Wikipedia'dan materyal - özgür ansiklopedi

Standart sapma(eş anlamlılar: standart sapma, standart sapma, kare sapma; ilgili terimler: standart sapma, standart yayılma) - olasılık teorisi ve istatistikte, rastgele bir değişkenin değerlerinin matematiksel beklentisine göre dağılımının en yaygın göstergesi. Sınırlı değer örnekleri dizileri için matematiksel beklentiörnek popülasyonun aritmetik ortalaması kullanılır.

Temel bilgiler

Ortalama standart sapma rastgele değişkenin kendi birimlerinde ölçülür ve aritmetik ortalamanın standart hatasını hesaplarken, güven aralıkları oluştururken, hipotezleri istatistiksel olarak test ederken, rastgele değişkenler arasındaki doğrusal ilişkiyi ölçerken kullanılır. Bir rastgele değişkenin varyansının karekökü olarak tanımlanır.

Standart sapma:

$\sigma=\sqrt(\frac(1)(n)\sum_(i=1)^n\left(x_i-\bar(x)\right)^2).$

Standart Sapma(rastgele bir değişkenin standart sapmasının tahmini X varyansının tarafsız bir tahminine dayanan matematiksel beklentisine göre) $S$ :

$s=\sqrt(\frac(n)(n-1)\sigma^2)=\sqrt(\frac(1)(n-1)\sum_(i=1)^n\left(x_i-\bar (x)\sağ)^2);$

Üç sigma kuralı

Üç sigma kuralı ( $3\sigma$ ) - normal olarak dağıtılan bir rastgele değişkenin neredeyse tüm değerleri aralıkta yer alır $\left(\bar(x)-3\sigma;\bar(x)+3\sigma\right)$ . Daha kesin olarak - yaklaşık 0,9973 olasılıkla, normal olarak dağıtılan bir rastgele değişkenin değeri belirtilen aralıkta yer alır (değerin $\bar(x)$ doğrudur ve numune işleme sonucunda elde edilmemiştir).

Gerçek değer ise $\bar(x)$ bilinmiyorsa kullanmamalısınız $\sigma$ , A S. Böylece üç sigma kuralı üç kuralına dönüştürülür. S .

Standart sapma değerinin yorumlanması

Standart sapmanın daha büyük bir değeri, sunulan sette değerlerin daha büyük bir yayılımını gösterir. ortalama boyutçokluklar; buna göre daha küçük bir değer, kümedeki değerlerin ortalama değer etrafında gruplandığını gösterir.

Örneğin üç sayı kümemiz var: (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14) ve (6, 6, 8, 8). Her üç kümenin de ortalama değerleri 7'ye ve standart sapmaları sırasıyla 7, 5 ve 1'e eşittir. Son kümenin küçük bir standart sapması vardır, çünkü kümedeki değerler ortalama değer etrafında gruplandırılmıştır; ilk set en fazlasına sahip büyük değer standart sapma - küme içindeki değerler ortalama değerden büyük ölçüde farklıdır.

Genel anlamda standart sapma bir belirsizlik ölçüsü olarak düşünülebilir. Örneğin fizikte standart sapma, bir niceliğin ardışık ölçümlerinin hatasını belirlemek için kullanılır. Bu değer, teori tarafından tahmin edilen değerle karşılaştırıldığında incelenen olgunun makullüğünü belirlemek için çok önemlidir: ölçümlerin ortalama değeri teorinin tahmin ettiği değerlerden büyük ölçüde farklıysa (büyük standart sapma), daha sonra elde edilen değerler veya bunları elde etme yöntemi yeniden kontrol edilmelidir.

Pratik Uygulama

Uygulamada standart sapma, bir kümedeki değerlerin ortalama değerden ne kadar farklı olabileceğini tahmin etmenize olanak tanır.

Ekonomi ve finans

Portföy getirisinin standart sapması $\sigma =\sqrt(D[X])$ portföy riski ile tanımlanır.

İklim

Diyelim ki aynı ortalama maksimum günlük sıcaklığa sahip iki şehir var, ancak biri sahilde, diğeri ise ovada bulunuyor. Kıyıda yer alan şehirlerin birçok farklı maksimum gündüz sıcaklığına sahip olduğu ve iç kesimlerde bulunan şehirlerden daha düşük olduğu bilinmektedir. Bu nedenle, ortalama değerleri aynı olmasına rağmen, bir kıyı kenti için maksimum günlük sıcaklıkların standart sapması, ikinci kentten daha az olacaktır; bu, pratikte her bir kentin maksimum hava sıcaklığının aynı olma ihtimali anlamına gelir. belirli gün yıllık ortalama değer, kıtanın içinde yer alan bir şehir için daha yüksek olan ortalama değerden daha güçlü bir şekilde farklılaşacaktır.

Spor

Atılan ve yenen gol sayısı, gol şansı vb. gibi bazı parametrelere göre değerlendirilen birkaç futbol takımının olduğunu varsayalım. Bu gruptaki en iyi takımın, büyük olasılıkla, en iyi değerlerİle Daha parametreler. Sunulan parametrelerin her biri için takımın standart sapması ne kadar küçük olursa, bu tür takımların sonucu o kadar öngörülebilir olur; Öte yandan takımla büyük değer standart sapma, sonucun tahmin edilmesini zorlaştırır ve bu da bir dengesizlikle açıklanır; örneğin güçlü savunma ancak zayıf saldırı.

Takım parametrelerinin standart sapmasını kullanmak, iki takım arasındaki bir maçın sonucunu bir dereceye kadar tahmin etmeyi, güçlü yönleri değerlendirmeyi ve zayıflıklar emirler ve dolayısıyla seçilen mücadele yöntemleri.

Ayrıca bakınız

"Kök Ortalama Kare Sapması" makalesi hakkında yorum yazın

Edebiyat

Borovikov V.İSTATİSTİK. Bilgisayarda veri analizi sanatı: Profesyoneller için / V. Borovikov. - St.Petersburg. : Peter, 2003. - 688 s. - ISBN 5-272-00078-1..

İstatistiksel göstergeler

Tanımlayıcı
istatistikler

İstatistiksel
çıktı ve
muayene
hipotezler







Genel derecelendirme

Korelasyon ve
gerileme

Grafik
yöntemler

Standart Sapmayı karakterize eden bir alıntı

Ve kapıyı hızla açarak kararlı adımlarla balkona çıktı. Konuşma aniden kesildi, şapkalar ve kepler çıkarıldı ve tüm gözler dışarı çıkan konta çevrildi.
- Merhaba arkadaşlar! - sayı hızlı ve yüksek sesle söyledi. - Geldiğiniz için teşekkür ederim. Şimdi size geleceğim ama öncelikle kötü adamla ilgilenmemiz gerekiyor. Moskova'yı öldüren haini cezalandırmamız gerekiyor. Beni bekle! “Ve kont kapıyı sertçe çarparak aynı hızla odasına döndü.
Kalabalıktan bir zevk mırıltısı yayıldı. “Bu onun tüm kötüleri kontrol edeceği anlamına geliyor! Ve sen Fransızca dersin... o sana tüm mesafeyi verir!” - insanlar sanki inanç eksikliğinden dolayı birbirlerini suçluyormuş gibi dediler.
Birkaç dakika sonra bir subay aceleyle ön kapıdan çıktı, bir şeyler sipariş etti ve ejderhalar ayağa kalktı. Balkondaki kalabalık heyecanla verandaya doğru ilerledi. Öfkeli, hızlı adımlarla verandaya çıkan Rostopchin, sanki birini arıyormuş gibi aceleyle etrafına baktı.
-Nerede o? - dedi kont ve bunu söylediği anda evin köşesinden iki ejderhanın arasından uzun ince boyunlu, kafası yarı tıraşlı ve büyümüş genç bir adamın çıktığını gördü. Bu genç adam, bir zamanlar şık, mavi kumaş kaplı, eski püskü tilki koyun derisi bir ceket ve kirli mahkum harem pantolonu giymiş, temizlenmemiş, yıpranmış ince çizmelerin içine tıkılmıştı. İnce, zayıf bacaklarına ağır bir şekilde asılı olan prangalar, genç adamın tereddütlü yürüyüşünü zorlaştırıyordu.
- A! - dedi Rastopchin, bakışlarını aceleyle tilki koyun derisi paltolu genç adamdan çevirerek ve verandanın alt basamağını işaret ederek. - Buraya koy! “Prangalarını şakırdatan genç adam, koyun derisi paltosunun ütülü yakasını parmağıyla tutarak belirtilen basamağa ağır bir şekilde adım attı, uzun boynunu iki kez çevirdi ve içini çekerek ince, çalışmayan ellerini karnının önünde kavuşturdu. teslimiyetçi bir jestle.
Genç adam basamakta yerini alırken sessizlik birkaç saniye devam etti. Sadece arka sıralarda tek bir yere sıkışan insanlardan inlemeler, inlemeler, sarsıntılar ve hareket eden ayak sesleri duyuldu.
Belirtilen yerde durmasını bekleyen Rastopchin kaşlarını çattı ve eliyle yüzünü ovuşturdu.
- Çocuklar! - dedi Rastopchin metalik çınlayan bir sesle, - bu adam, Vereshchagin, Moskova'nın yok olduğu aynı alçaktır.
Tilki koyun derisi paltolu genç bir adam itaatkar bir pozda duruyordu, ellerini karnının önünde birleştirip hafifçe eğilmişti. Tıraşlı kafası yüzünden şekli bozulan bir deri bir kemik, umutsuz ifadesi üzgündü. Sayımın ilk kelimelerini söylerken yavaşça başını kaldırdı ve sanki ona bir şey söylemek istiyormuş ya da en azından onunla göz göze gelmek istiyormuş gibi sayıma baktı. Ama Rastopchin ona bakmadı. Genç adamın ip gibi uzun ince boynunda kulağın arkasındaki damar gerginleşerek maviye döndü ve bir anda yüzü kırmızıya döndü.
Bütün gözler ona odaklanmıştı. Kalabalığa baktı ve sanki insanların yüzlerinde okuduğu ifadeden cesaret almış gibi üzgün ve çekingen bir şekilde gülümsedi ve tekrar başını eğerek ayaklarını basamakta düzeltti.
Rastopchin eşit ve keskin bir sesle, "Çarına ve anavatanına ihanet etti, kendisini Bonaparte'a teslim etti, tüm Ruslar arasında Rusların adını lekeleyen tek kişi o ve Moskova onun yüzünden yok oluyor" dedi; ama aniden aynı itaatkâr pozda durmaya devam eden Vereshchagin'e hızla baktı. Sanki bu bakış onu patlatmış gibi, elini kaldırarak neredeyse bağırarak halka dönerek: "Onunla yargını hallet!" Onu sana veriyorum!
İnsanlar sessizdi ve yalnızca birbirlerine daha da yakınlaştılar. Birbirimize sarılmak, bu enfeksiyonlu havasızlığı solumak, hareket edecek gücü bulamamak ve bilinmeyen, anlaşılmaz ve korkunç bir şeyi beklemek dayanılmaz hale geldi. Ön sıralarda duran, önlerinde olup biten her şeyi korku dolu gözlerle gören ve duyan insanlar. açık gözlerle ağızları açık, tüm güçlerini kullanarak arkalarındakilerin sırtlarına olan baskısını bastırdılar.
-Dövün onu!.. Hain ölsün, Rus'un adını lekelemesin! - diye bağırdı Rastopchin. - Yakut! Ben emrediyorum! “Sözleri değil, Rastopchin'in sesinin öfkeli sesini duyan kalabalık inledi ve ileri doğru ilerledi, ancak tekrar durdu.
Tekrar oluşan anlık sessizliğin ortasında Vereshchagin'in ürkek ve aynı zamanda teatral sesi, "Say!.." dedi. "Kont, üstümüzde bir tanrı var..." dedi Vereshchagin başını kaldırarak ve ince boynundaki kalın damar yine kanla doldu ve renk hızla belirip yüzünden kaçtı. Söylemek istediğini bitirmedi.
- Doğrayın onu! Emrediyorum!.. - diye bağırdı Rastopchin, aniden Vereshchagin gibi solgunlaştı.
- Kılıçlar dışarı! - memur, kılıcını kendisi çekerek ejderhalara bağırdı.
Daha da güçlü bir başka dalga insanların arasından geçti ve ön sıralara ulaşan bu dalga, ön sıraları sarsarak hareket ettirdi ve onları verandanın merdivenlerine kadar getirdi. Vereshchagin'in yanında, yüzünde taşlaşmış bir ifade olan ve elini kaldırmış uzun boylu bir adam duruyordu.
- Yakut! - Neredeyse bir subay ejderhalara fısıldadı ve askerlerden biri aniden öfkeyle çarpık bir yüzle Vereshchagin'in kafasına kör bir kılıçla vurdu.
"A!" - Vereshchagin kısaca ve şaşkınlıkla bağırdı, korkuyla etrafına baktı ve sanki bunun ona neden yapıldığını anlamıyormuş gibi. Kalabalıkta aynı şaşkınlık ve dehşet iniltisi dolaştı.
"Aman Tanrım!" – birinin üzücü ünlemi duyuldu.
Ancak Vereshchagin'in kaçtığı şaşkınlık çığlığının ardından acı içinde acınası bir çığlık attı ve bu çığlık onu mahvetti. Bu kadar uzandı en yüksek derece engellemek insani duygu Hala kalabalığı tutan kişi anında içeri girdi. Suç başlamıştı, tamamlanması gerekiyordu. Acınası sitem iniltisi, kalabalığın tehditkar ve öfkeli kükremesi tarafından bastırıldı. Gemileri parçalayan son yedinci dalga gibi, bu durdurulamayan son dalga da arka saflardan yükseldi, ön saflara ulaştı, onları devirdi ve her şeyi yuttu. Saldıran ejderha, darbesini tekrarlamak istedi. Vereshchagin bir korku çığlığı atarak elleriyle kendini koruyarak insanlara doğru koştu. Çarptığı uzun boylu adam, elleriyle Vereshchagin'in ince boynunu yakaladı ve çılgın bir çığlık atarak kükreyen insan kalabalığının ayaklarının altına düştü.
Bazıları Vereshchagin'i dövüp parçaladı, diğerleri uzun ve küçüktü. Ezilen insanların ve uzun boylu adamı kurtarmaya çalışanların çığlıkları kalabalığın öfkesini uyandırmaktan başka işe yaramadı. Ejderhalar uzun bir süre boyunca kanlar içinde, yarı ölünceye kadar dövülmüş fabrika işçisini serbest bırakamadı. Ve Vereshchagin'i döven, boğan ve parçalayan insanlar, kalabalığın bir kez başladıktan sonra işi tamamlamaya çalıştığı tüm hummalı aceleye rağmen uzun bir süre onu öldüremedi; ama kalabalık, ortada tek bir kütle gibi, bir yandan diğer yana sallanarak onları her taraftan bastırdı ve onlara onu bitirme veya fırlatma fırsatı vermedi.

Beklenti ve varyans

Rasgele bir değişkeni ölçelim N kez örneğin rüzgar hızını on kez ölçüyoruz ve ortalama değeri bulmak istiyoruz. Ortalama değerin dağılım fonksiyonuyla ilişkisi nedir?

Zarları çok sayıda atacağız. Her atışta zar üzerinde görünecek puanların sayısı rastgele bir değişkendir ve 1'den 6'ya kadar herhangi bir doğal değeri alabilir. Tüm zar atışları için hesaplanan düşen puanların aritmetik ortalaması da bir rastgele değişkendir, ancak büyükler için Nçok spesifik bir sayıya yönelir - matematiksel beklenti M x. İÇİNDE bu durumda M x = 3,5.

Bu değeri nasıl elde ettiniz? içeri gir N Testler, 1 puan aldığınızda, 2 puan aldığınızda vb. Sonra ne zaman N→ ∞ Bir puanın atıldığı sonuçların sayısı, Benzer şekilde, Dolayısıyla

Modeli 4.5. Zar

Şimdi rastgele değişkenin dağılım yasasını bildiğimizi varsayalım. X yani rastgele değişkenin olduğunu biliyoruz. X değer alabilir X 1 , X 2 , ..., xk olasılıklarla P 1 , P 2 , ..., pk.

Beklenti M x rastgele değişken X eşittir:

Cevap. 2,8.

Matematiksel beklenti her zaman bazı rastgele değişkenlerin makul bir tahmini değildir. Yani ortalamayı tahmin etmek için ücretler Medyan kavramını, yani maaş alan kişi sayısının medyandan daha düşük ve daha büyük olmasını sağlayacak bir değeri kullanmak daha mantıklıdır.

Medyan rastgele değişkene sayı denir X 1/2 öyle ki P (X < X 1/2) = 1/2.

Başka bir deyişle olasılık P 1 rastgele değişken X daha küçük olacak X 1/2 ve olasılık P 2 rastgele değişken X daha büyük olacak X 1/2 özdeştir ve 1/2'ye eşittir. Medyan tüm dağılımlar için benzersiz bir şekilde belirlenmemiştir.

Rastgele değişkene dönelim X değer alabilen X 1 , X 2 , ..., xk olasılıklarla P 1 , P 2 , ..., pk.

Varyans rastgele değişken X Bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisinden karesel sapmasının ortalama değerine denir:

Örnek 2

Önceki örneğin koşulları altında rastgele değişkenin varyansını ve standart sapmasını hesaplayın X.

Cevap. 0,16, 0,4.

Modeli 4.6. Bir hedefe ateş etmek

Örnek 3

İlk atışta zarın üzerinde beliren puan sayısı, medyan, matematiksel beklenti, varyans ve olasılık dağılımını bulun. standart sapma.

Herhangi bir kenarın düşme olasılığı eşit olduğundan dağılım şöyle görünecektir:

Standart sapma Değerin ortalama değerden sapmasının çok büyük olduğu görülmektedir.

Matematiksel beklentinin özellikleri:

Bağımsız rastgele değişkenlerin toplamının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir:

Örnek 4

İki zarda atılan puanların toplamı ve çarpımının matematiksel beklentisini bulun.

Örnek 3'te bir küp için şunu bulduk: M (X) = 3,5. Yani iki küp için

Dispersiyon özellikleri:

Bağımsız rastgele değişkenlerin toplamının varyansı, varyansların toplamına eşittir:

Dx + sen = Dx + Dy.

izin ver N atılan zarların üzerinde yuvarlanır sen puan. Daha sonra

Bu sonuç yalnızca zar atışları için geçerli değildir. Çoğu durumda matematiksel beklentinin ampirik olarak ölçülmesinin doğruluğunu belirler. Artan ölçüm sayısıyla birlikte görüleceği üzere N değerlerin ortalama etrafında yayılması yani standart sapma orantılı olarak azalır

Bir rastgele değişkenin varyansı, bu rastgele değişkenin karesinin matematiksel beklentisiyle aşağıdaki ilişkiyle ilişkilidir:

Bu eşitliğin her iki tarafının matematiksel beklentilerini bulalım. Tanım gereği,

Matematiksel beklentilerin özelliğine göre eşitliğin sağ tarafının matematiksel beklentisi şuna eşittir:

Standart sapma

Standart sapma eşittir karekök dağılımdan:
İncelenen popülasyonun yeterince büyük bir hacmi için (n > 30) standart sapmayı belirlerken aşağıdaki formüller kullanılır:

İlgili bilgiler.

Hipotezlerin istatistiksel olarak test edilmesinde, rastgele değişkenler arasındaki doğrusal bir ilişki ölçülürken.

Standart sapma:

Standart Sapma(rastgele değişken Zemin, etrafımızdaki duvarlar ve tavanın standart sapmasının tahmini, X varyansının tarafsız bir tahminine dayanan matematiksel beklentisine göre):

dağılım nerede; - Zemin, etrafımızdaki duvarlar ve tavan, Ben seçimin inci unsuru; - numune boyutu; - numunenin aritmetik ortalaması:

Her iki tahminin de taraflı olduğunu belirtmek gerekir. İÇİNDE genel durum Tarafsız bir tahmin yapmak mümkün değildir. Ancak tarafsız varyans tahminine dayalı tahmin tutarlıdır.

Üç sigma kuralı

Üç sigma kuralı() - normal olarak dağıtılan bir rastgele değişkenin neredeyse tüm değerleri aralıkta yer alır. Daha kesin olarak - %99,7'den az olmayan bir güvenle, normal olarak dağıtılan bir rastgele değişkenin değeri, belirtilen aralıkta yer alır (değerin doğru olması ve numune işlemenin bir sonucu olarak elde edilmemesi koşuluyla).

Eğer gerçek değeri bilinmiyorsa o zaman Zemini, etrafımızdaki duvarları ve tavanı kullanmamalıyız. S. Böylece üç sigma kuralı, üç kat, etrafımızdaki duvarlar ve tavan kuralına dönüşüyor. S .

Standart sapma değerinin yorumlanması

Büyük bir standart sapma değeri, sunulan setteki değerlerin, setin ortalama değeri ile geniş bir yayılımını gösterir; buna göre küçük bir değer, kümedeki değerlerin ortalama değer etrafında gruplandığını gösterir.

Örneğin üç sayı kümemiz var: (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14) ve (6, 6, 8, 8). Her üç kümenin de ortalama değerleri 7'ye ve standart sapmaları sırasıyla 7, 5 ve 1'e eşittir. Son kümenin küçük bir standart sapması vardır, çünkü kümedeki değerler ortalama değer etrafında gruplandırılmıştır; ilk set en büyük standart sapma değerine sahiptir - setin içindeki değerler ortalama değerden büyük ölçüde farklıdır.

Pratik Uygulama

Uygulamada standart sapma, bir kümedeki değerlerin ortalama değerden ne kadar farklı olabileceğini belirlemenizi sağlar.

İklim

Diyelim ki aynı ortalama maksimum günlük sıcaklığa sahip iki şehir var, ancak biri sahilde, diğeri ise iç kesimlerde. Kıyıda yer alan şehirlerin birçok farklı maksimum gündüz sıcaklığına sahip olduğu ve iç kesimlerde bulunan şehirlerden daha düşük olduğu bilinmektedir. Bu nedenle, bu değerin ortalama değeri aynı olmasına rağmen, bir kıyı kenti için maksimum günlük sıcaklıkların standart sapması, ikinci şehre göre daha az olacaktır; bu, pratikte maksimum hava sıcaklığının aynı bölgede olma ihtimali anlamına gelir. yılın herhangi bir gününde ortalama değerden farklı olarak iç kesimlerde bulunan bir şehir için daha yüksek olacaktır.

Spor

Atılan ve yenen gol sayısı, gol şansı vb. gibi bazı parametrelere göre derecelendirilen birkaç futbol takımının olduğunu varsayalım. Bu gruptaki en iyi takımın daha iyi değerlere sahip olması muhtemeldir. daha fazla sayıda parametre üzerinde Sunulan parametrelerin her biri için takımın standart sapması ne kadar küçük olursa, bu tür takımların sonucu o kadar öngörülebilir olur; Öte yandan, standart sapması büyük olan bir takımın sonucunu tahmin etmek zordur ve bu da dengesizlikle açıklanır; örneğin güçlü bir savunma ama zayıf bir atak.

Takım parametrelerinin standart sapmasını kullanmak, iki takım arasındaki bir maçın sonucunu bir dereceye kadar tahmin etmeyi, takımların güçlü ve zayıf yönlerini ve dolayısıyla seçilen dövüş yöntemlerini değerlendirmeyi mümkün kılar.

Teknik analiz

Ayrıca bakınız

Edebiyat

Bu makalenin silinmesi önerilmiştir.

Sebeplerin bir açıklaması ve ilgili tartışma sayfada bulunabilir. Vikipedi: Silinecek/17 Aralık 2012.
Tartışma süreci tamamlanmadan makaleyi iyileştirmeyi deneyebilirsiniz ancak içeriği yeniden adlandırmaktan veya silmekten kaçınmalısınız; daha fazla ayrıntı için ilerideki eylem kılavuzuna bakın.
Tartışmanın sonuna kadar silme işaretini kaldırmayın. Yöneticiler: bağlantılar burada, geçmiş (son değiştirilme), günlükler, silme.

* Borovikov, V.İSTATİSTİK. Bilgisayarda veri analizi sanatı: Profesyoneller için / V. Borovikov. - St.Petersburg. : Peter, 2003. - 688 s. - ISBN 5-272-00078-1.

İstatistiksel göstergeler

Tanımlayıcı
istatistikler

Sürekli
veri

Kayma faktörü	Ortalama (Aritmetik, Geometrik, Harmonik) Medyan Mod Aralığı
Varyasyon	Rütbe · Standart sapma· Değişim katsayısı · Kantil (Onluk, Yüzdelik/Yüzdelik/Yüzdelik)
Anlar	Beklenti · Varyans · Çarpıklık · Basıklık

ayrık
veri

Frekans · Olasılık tablosu

İstatistiksel
çıktı ve
muayene
hipotezler

İstatistiksel çözüm	Güven Aralığı (Frequentist Olasılık) Güvenilirlik Aralığı (Bayes Çıkarımı) İstatistiksel Anlamlılık Meta-Analizi
Planlama deney	Nüfus · Örnekleme tasarımı · Alan örneklemesi · Çoğaltma · Kümeleme · Hassasiyet ve özgüllük
Örnek boyutu	İstatistiksel güç · Etki ölçüsü · Standart hata
Genel derecelendirme	Bayes çözüm tahmini ·

Okumak:

Neden deniz dalgalarında bir fırtına hayal ediyorsunuz? Bütçe ile yerleşimlerin muhasebeleştirilmesi Bir tavada süzme peynirden cheesecake - kabarık cheesecake için klasik tarifler 500 g süzme peynirden Cheesecake Kuru erikli siyah inci salatası Kuru erikli siyah inci salatası Domates salçası tarifleri ile Lecho