Eserin metni, resim ve formüller olmadan yerleştirilmiştir.
Tam versiyonçalışma, PDF formatında "İş dosyaları" sekmesinde mevcuttur

Tanıtım

Yetişkinlerin konuşmasında şu ifadeyi duyabilirsiniz: "Bana koordinatlarınızı bırakın." Bu ifade, muhatabın bulunabileceği adresini veya telefon numarasını bırakması gerektiği anlamına gelir. "Deniz savaşı" oynayanlarınız uygun koordinat sistemini kullandı. Satrançta da benzer bir koordinat sistemi kullanılır. içindeki yerler konferans salonu sinema iki sayı ile verilir: ilk sayı sıra numarasını, ikincisi ise bu sıradaki koltuk sayısını gösterir. Düzlemdeki bir noktanın konumunu sayıları kullanarak belirleme fikri antik çağda ortaya çıkmıştır. Koordinat sistemi, bir kişinin tüm pratik yaşamına nüfuz eder ve çok büyük bir pratik kullanım. Bu nedenle, konuyla ilgili bilgimizi genişletmek için bu projeyi oluşturmaya karar verdik " Koordinat uçağı»

Proje hedefleri:

bir düzlemde dikdörtgen bir koordinat sisteminin ortaya çıkış tarihini tanımak;

bu konuyla ilgilenen seçkin isimler;

ilginç bulmak tarihsel gerçekler;

koordinatları kulaktan iyi algılar; inşaatları açık ve doğru bir şekilde yapmak;

sunum hazırla.

Bölüm I. Koordinat uçağı

Sayıları kullanarak bir düzlemdeki bir noktanın konumunu belirleme fikri, antik çağda ortaya çıktı - öncelikle yıldız ve coğrafi haritaları, takvimleri derlerken gökbilimciler ve coğrafyacılar arasında.

§bir. Koordinatların kökeni. Coğrafyada koordinat sistemi

MÖ 200 yıl boyunca, Yunan bilim adamı Hipparchus coğrafi koordinatları tanıttı. Bir coğrafi harita üzerinde paraleller ve meridyenler çizmeyi, enlem ve boylamları sayılarla işaretlemeyi önerdi. Bu iki sayı ile bir adanın, köyün, dağın veya bir kuyunun çöldeki konumunu doğru bir şekilde belirleyebilir ve bunları bir harita veya küre üzerinde çizebilirsiniz. dünyayı aç geminin bulunduğu yerin enlem ve boylamı, denizciler ihtiyaç duydukları yönü seçme şansına sahip oldular.

Doğu boylamı ve kuzey enlemi artı işareti olan sayılarla, batı boylamı ve güney enlemi eksi işaretiyle gösterilir. Böylece, işaretli bir sayı çifti, dünya üzerindeki bir noktayı benzersiz bir şekilde tanımlar.

Coğrafi enlem? - belirli bir noktadaki çekül çizgisi ile ekvator düzlemi arasındaki açı, ekvatordan her iki yönde 0'dan 90'a kadar sayılır. coğrafi boylam? - verilen noktadan geçen meridyen düzlemi ile meridyenin başlangıç ​​düzlemi arasındaki açı (bkz. Greenwich meridyeni). 0'dan 180'e meridyenin başlangıcının doğusundaki boylamlara doğu, batı - batı denir.

Şehirde bir nesneyi bulmak için çoğu durumda adresini bilmek yeterlidir. Örneğin, nerede olduğunu açıklamanız gerekirse, zorluklar ortaya çıkar. kır evi alanı, ormanda yer. Coğrafi koordinatlar, bir konumu belirtmek için evrensel bir araç olarak hizmet eder.

vurulduğunda acil Durum, bir kişi her şeyden önce arazide dolaşabilmelidir. Bazen, örneğin kurtarma servisine transfer etmek veya başka amaçlar için bulunduğunuz yerin coğrafi koordinatlarını belirlemek gerekir.

Modern navigasyonda standart olarak dünya koordinat sistemi WGS-84 kullanılmaktadır. İnternetteki tüm GPS navigatörleri ve büyük haritalama projeleri bu koordinat sisteminde çalışır. WGS-84 sistemindeki koordinatlar, evrensel zaman kadar yaygın olarak kullanılır ve herkes tarafından anlaşılır. Coğrafi koordinatlarla çalışırken genel olarak mevcut doğruluk, yerde 5 - 10 metredir.

Coğrafi koordinatlar işaretli sayılardır (enlem -90° ila +90°, boylam -180° ila +180°) ve şu şekilde yazılabilir: çeşitli formlar: derece cinsinden (ddd.dddd°); derece ve dakika (ddd° mm.mmm"); derece, dakika ve saniye (ddd° mm" ss.s"). Kayıt formları kolaylıkla birbirine dönüştürülebilir (1 derece = 60 dakika, 1 dakika = 60 saniye) Koordinatların işaretini belirtmek için, harfler genellikle kardinal noktaların adıyla kullanılır: N ve E - kuzey enlemi ve doğu boylamı - pozitif sayılar, S ve W - güney enlemi ve batı boylamı - negatif sayılar.

DEGREES cinsinden koordinat yazma biçimi, manuel giriş için en uygun olanıdır ve bir sayının matematiksel gösterimi ile örtüşür. DERECE VE DAKİKA koordinat biçimi birçok durumda tercih edilen biçimdir, çoğu GPS navigatöründe varsayılan biçimdir ve havacılıkta ve denizde kullanılan standarttır. Klasik şekil DERECE, DAKİKA VE SANİYE cinsinden koordinat yazmak pek pratik bir kullanım bulmuyor.

§2. Astronomide koordinat sistemi. Takımyıldızlar hakkında mitler

Yukarıda bahsedildiği gibi, bir düzlemdeki bir noktanın konumunu sayıları kullanarak belirleme fikri, eski zamanlarda astronomlar arasında yıldız haritaları derlerken ortaya çıkmıştır. İnsanların zamanı sayması, mevsimsel olayları (gelgitler, gelgitler, mevsimsel yağmurlar, sel) tahmin etmesi gerekiyordu, seyahat ederken arazide gezinmeleri gerekiyordu.

Astronomi, yıldızların, gezegenlerin, gök cisimlerinin, yapılarının ve gelişimlerinin bilimidir.

Binlerce yıl geçti, bilim çok ileri adım attı ve insan hala hayran bakışını gece göğünün güzelliğinden ayıramıyor.

Takımyıldızlar, yıldızlı gökyüzünün bölümleri, parlak yıldızların oluşturduğu karakteristik figürlerdir. Tüm gökyüzü, yıldızlar arasında gezinmeyi kolaylaştıran 88 takımyıldızına bölünmüştür. Takımyıldız isimlerinin çoğu antik çağlardan gelmektedir.

En ünlü takımyıldızı Büyükayı'dır. V Antik Mısır“Su aygırı” olarak adlandırıldı ve Kazaklar ona “tasmalı at” adını verdiler, ancak dışarıdan takımyıldız herhangi bir hayvana benzemiyor. Bu ne?

Eski Yunanlılar, Büyükayı ve Küçükayı takımyıldızları hakkında bir efsaneye sahipti. Yüce tanrı Zeus, tanrıça Afrodit'in hizmetkarlarından güzel perisi Calisto'nun isteklerine karşı evlenmeye karar verir. Calisto'yu tanrıçanın zulmünden kurtarmak için Zeus, Calisto'yu sevgili köpeği Ursa Major'a, Ursa Minor'a dönüştürdü ve onları cennete götürdü. Büyükayı ve Küçükayı takımyıldızlarını yıldızlı gökyüzünden koordinat düzlemine aktarın. . Ursa Major Bucket'ın yıldızlarının her birinin kendi adı vardır.

BÜYÜK AYI

KOVA tarafından tanıdım!

Yedi yıldız burada parlıyor

Ve işte onlara ne denir:

DUBHE karanlığı aydınlatır,

Yanında MERAK yanıyor,

Yanında MEGRETS'li FEKDA,

Bir arsız genç adam.

Kalkış için Megrets'ten

ALIOT bulunur,

Ve arkasında - ALCOR ile MITSAR

(Bu ikisi koro halinde parlar).

Kovamızı kapatır

Eşsiz BENETNASH.

O göze işaret ediyor

Takımyıldızına giden yol ÇİZMELER,

Güzel ARCTUR'un parladığı yerde,

Artık herkes fark edecek!

Daha az olmayan güzel efsane Cepheus, Cassiopeia ve Andromeda takımyıldızları hakkında.

Etiyopya bir zamanlar Kral Cepheus tarafından yönetiliyordu. Bir zamanlar karısı Kraliçe Cassiopeia, deniz sakinlerinin - Nereidlerin - önünde güzelliğiyle övünme konusunda ihtiyatsızlığa sahipti. İkincisi, rahatsız, deniz tanrısı Poseidon'a şikayet etti ve denizlerin hükümdarı, Cassiopeia'nın cüretine kızdı, bir deniz canavarı Kita'yı Etiyopya kıyılarına saldı. Krallığını yıkımdan kurtarmak için, Cepheus, kahinin tavsiyesi üzerine, canavara kurban vermeye ve ona yenilmesi için sevgili kızı Andromeda'yı vermeye karar verdi. Andromeda'yı bir kıyı kayasına zincirledi ve kaderinin kararını beklemeye bıraktı.

Bu arada, dünyanın diğer tarafında, efsanevi kahraman Perseus cüretkar bir başarıya imza attı. Gorgonların yaşadığı tenha bir adaya girdi - başlarında saç yerine yılan olan kadın şeklinde inanılmaz canavarlar. Gorgonların görünüşü o kadar korkunçtu ki baktıkları herkes bir anda taşa dönüştü.

Bu canavarların uykusundan yararlanan Perseus, onlardan birinin, Gorgon Medusa'nın kafasını kesti. O anda, at Pegasus Medusa'nın kopmuş bedeninden kanat çırparak çıktı. Perseus bir medusa'nın başını tuttu, Pegasus'a atladı ve havada anavatanına koştu. Etiyopya üzerinden uçarken Andromeda'yı bir kayaya zincirlenmiş halde gördü. Şu anda, balina denizin derinliklerinden çıkmış, avını yutmaya hazırlanıyor. Ancak Keith ile ölümcül bir savaşa giren Perseus, canavarı yendi. Keith'e henüz gücünü kaybetmemiş bir denizanasının kafasını gösterdi ve canavar taşlaşarak bir adaya dönüştü. Perseus'a gelince, Andromeda'nın zincirlerini çözerek onu babasına geri verdi ve mutluluktan etkilenen Cepheus, Andromeda'yı Perseus'a karısı olarak verdi. Böylece, ana karakterleri eski Yunanlılar tarafından cennete yerleştirilen bu hikaye mutlu bir şekilde sona erdi.

Yıldız haritasında sadece babası, annesi ve kocasıyla Andromeda'yı değil, aynı zamanda sihirli at Pegasus'u ve tüm sıkıntıların suçlusu canavar Kita'yı da bulabilirsiniz.

Takımyıldızı Cetus, Pegasus ve Andromeda'nın altında bulunur. Ne yazık ki, herhangi bir karakteristik parlak yıldız tarafından işaretlenmemiştir ve bu nedenle küçük takımyıldızların sayısına aittir.

§3. Resimde dikdörtgen koordinatlar fikrini kullanma.

Dikdörtgen koordinatlar fikrini kare bir ızgara (palet) şeklinde uygulamanın izleri, Eski Mısır'ın mezar odalarından birinin duvarında tasvir edilmiştir. Ramses'in babası piramidinin mezar odasında duvarda bir kareler ağı var. Onların yardımıyla görüntü büyütülmüş bir biçimde aktarıldı. Dikdörtgen ızgaralar da Rönesans sanatçıları tarafından kullanılmıştır.

Latince "perspektif" kelimesi "açıkça görmek" anlamına gelir. V güzel Sanatlar doğrusal perspektif, nesnelerin boyutlarındaki belirgin değişikliklere göre bir düzlem üzerindeki görüntüsüdür. temel modern teori perspektifler, Rönesans'ın büyük sanatçıları - Leonardo da Vinci, Albrecht Dürer ve diğerleri tarafından atıldı. Dürer'in gravürlerinden biri (Şekil 3), üzerine kare bir ızgara uygulanmış camdan hayattan bir çizim yöntemini göstermektedir. Bu süreç şu şekilde tarif edilebilir: Pencerenin önünde durursanız ve bakış açınızı değiştirmeden camın arkasında görünen her şeyi daire içine alırsanız, sonuçta ortaya çıkan çizim, uzayın perspektif bir görüntüsü olacaktır.

Kare ızgara desenlerine dayalı gibi görünen Mısır tasarım yöntemleri. V Mısır sanatı Ressamların ve heykeltıraşların, belirlenen oranları korumak için boyanması veya oyulması gereken duvara ilk önce bir ızgara çizdiğini gösteren çok sayıda örnek vardır. Bu ızgaraların basit sayısal oranları, tüm büyük hesaplamaların merkezinde yer alır. Sanat Eserleri Mısırlılar.

Aynı yöntem, Leonardo da Vinci de dahil olmak üzere birçok Rönesans sanatçısı tarafından kullanılmıştır. Eski Mısır'da bu, Marlborough Down'daki modelle yakın bağlantısıyla pekiştirilen Büyük Piramit'te somutlaştırıldı.

Mısırlı sanatçı işe başlarken duvara düz çizgilerden oluşan bir ızgara çizdi ve ardından figürleri dikkatlice üzerine aktardı. Ancak geometrik düzen, doğayı ayrıntılı bir doğrulukla yeniden yaratmasını engellemedi. Her balığın, her kuşun görünümü, modern zoologların türlerini kolayca belirleyebilecekleri doğrulukla aktarılır. Şekil 4, resimdeki kompozisyonun bir detayını göstermektedir - Khnumhotep'in ağına yakalanmış kuşların olduğu bir ağaç. Sanatçının elinin hareketine yalnızca becerilerinin rezervleri değil, aynı zamanda doğanın ana hatlarına duyarlı bir göz de rehberlik etti.

Şekil 4 Akasyadaki kuşlar

Bölüm II. Matematikte koordinat yöntemi

§bir. Matematikte koordinatların uygulanması. liyakat

Fransız matematikçi René Descartes

Uzun zamandır sadece coğrafya "dünyanın tanımı" - bu harika buluşu kullandı ve sadece 14. yüzyılda Fransız matematikçi Nicolas Orem (1323-1382) onu "arazi ölçümü" - geometriye uygulamaya çalıştı. Uçağı dikdörtgen bir ızgarayla kaplamayı ve şimdi apsis ve ordinat dediğimiz şeyi enlem ve boylam olarak adlandırmayı önerdi.

Bu başarılı yeniliğe dayanarak, geometriyi cebirle birleştiren koordinat yöntemi ortaya çıktı. Bu yöntemin yaratılmasındaki ana değer, büyük Fransız matematikçi René Descartes'e (1596 - 1650) aittir. Onuruna, böyle bir koordinat sistemine Kartezyen denir ve bu noktadan "sıfır enlemine" - apsis eksenine "ve "sıfır meridyen" - koordinat eksenine olan mesafelerle düzlemdeki herhangi bir noktanın konumunu belirtir.

Ancak, 17. yüzyılın (1596 - 1650) bu parlak Fransız bilim adamı ve düşünürü, yaşamdaki yerini hemen bulamadı. Soylu bir ailede dünyaya gelen Descartes, iyi bir eğitim. 1606'da babası onu La Fleche'deki Cizvit Koleji'ne gönderdi. Descartes'ın sağlığının pek iyi olmadığı göz önüne alındığında, bu katı rejiminde kendisine bazı müsamahalar verildi. Eğitim kurumuÖrneğin, diğerlerinden daha geç kalkmalarına izin verildi. Kolejde çok fazla bilgi edinen Descartes, aynı zamanda, hayatı boyunca koruduğu skolastik felsefe için bir antipati ile doluydu.

Descartes, kolejden mezun olduktan sonra eğitimine devam etti. 1616'da Poitiers Üniversitesi'nde hukuk alanında lisans derecesi aldı. 1617'de Descartes orduya katıldı ve Avrupa'da çok seyahat etti.

1619'un Descartes için önemli bir yıl olduğu bilimsel olarak kanıtlandı.

Günlüğünde yazdığı gibi, yeni bir “şaşırtıcı bilim”in temelleri bu sırada kendisine ifşa edildi. Büyük olasılıkla, Descartes evrensel olanın keşfini düşünmüştü. bilimsel yöntem daha sonra çeşitli disiplinlerde verimli bir şekilde uygulamıştır.

1620'lerde Descartes, onun aracılığıyla matematikçi M. Mersenne ile tanıştı. uzun yıllar tüm Avrupa bilim topluluğu ile “temas halinde”.

1628'de Descartes, 15 yıldan fazla bir süre Hollanda'ya yerleşti, ancak herhangi bir yere yerleşmedi, ancak ikamet yerini yaklaşık iki düzine kez değiştirdi.

1633'te Galileo'nun kilise tarafından kınandığını öğrenen Descartes, evrenin doğal kökeninin fikirlerini maddenin mekanik yasalarına göre özetleyen doğal-felsefi eseri The World'ü yayınlamayı reddediyor.

1637'de Fransızca Descartes'ın Metod Üzerine Söylev'i yayınlandı ve birçoklarının inandığı gibi modern Avrupa felsefesi onunla başladı.

Descartes'ın 1649'da yayınlanan son felsefi eseri Ruhun Tutkuları da Avrupa düşüncesini büyük ölçüde etkilemiştir.Aynı yıl İsveç Kraliçesi Christina'nın daveti üzerine Descartes İsveç'e gitti. Sert iklim ve olağandışı rejim (kraliçe, derslerini vermek ve diğer görevleri yerine getirmek için Descartes'ı sabah 5'te kalkmaya zorladı) Descartes'ın sağlığına zarar verdi ve üşüttükten sonra, Descartes'ın sağlığını bozdu.

pnömoniden öldü.

Descartes tarafından tanıtılan geleneğe göre, bir noktanın "enlemi" x harfi, "boylam" - y harfi ile gösterilir.

Bir yer belirlemenin birçok yolu bu sisteme dayanmaktadır.

Örneğin, bir sinema biletinde iki numara vardır: bir sıra ve bir koltuk - salondaki bir koltuğun koordinatları olarak kabul edilebilirler.

Satrançta da benzer koordinatlar kabul edilir. Rakamlardan biri yerine bir harf alınır: dikey hücre sıraları harflerle gösterilir Latin alfabesi, ve yatay - sayılar. Böylece satranç tahtasının her hücresine bir çift harf ve sayı atanır ve satranç oyuncuları oyunlarını yazma fırsatı bulur. Konstantin Simonov, "Bir Topçunun Oğlu" adlı şiirinde koordinatların kullanımı hakkında yazıyor.

Bütün gece, bir sarkaç gibi yürüyorum

Binbaşı gözlerini kapatmadı,

Sabah radyoda iken

İlk sinyal geldi:

"Sorun değil, anladım

Almanlar beni terk etti

Koordinatlar (3;10),

Aksine, hadi ateş edelim!

silahlar yüklendi

Binbaşı her şeyi kendisi hesapladı.

Ve bir kükreme ile ilk voleybolu

Dağlara vurdular.

Ve yine radyodaki sinyal:

"Almanlar bana hak veriyor,

Koordinatlar (5; 10),

Daha fazla ateş!

Toprak ve kayalar uçtu

Bir duman sütunu yükseldi.

Sanki şimdi oradan

Kimse sağ çıkamaz.

Radyodaki üçüncü sinyal:

"Çevremdeki Almanlar,

Koordinatlar (4; 10),

Ateşi boşvermeyin.

Binbaşı duyduğunda sarardı:

(4;10) - sadece

Lyonka'sının olduğu yer

Şimdi oturmalı.

Konstantin Simonov "Bir topçu oğlu"

§2. Koordinat sisteminin icadı hakkında efsaneler

Descartes'ın adını taşıyan koordinat sisteminin icadıyla ilgili çeşitli efsaneler vardır.

efsane 1

Böyle bir hikaye zamanımıza kadar geldi.

Paris tiyatrolarını ziyaret eden Descartes, seyircilerin oditoryumda temel bir dağılım düzeninin olmayışından kaynaklanan kafa karışıklığı, münakaşalar ve bazen düelloya meydan okumalara şaşırmaktan asla bıkmadı. Önerdiği, her yere bir sıra numarası ve kenardan bir seri numarası aldığı numaralandırma sistemi, tüm çekişme nedenlerini derhal ortadan kaldırdı ve Paris yüksek sosyetesinde bir sıçrama yaptı.

efsane2. Bir keresinde Rene Descartes bütün gün yatakta yattı, bir şeyler düşündü ve bir sinek vızıldadı ve konsantre olmasına izin vermedi. Herhangi bir anda sineğin konumunu matematiksel olarak nasıl tanımlayacağını düşünmeye başladı, böylece ıskalamadan savuşturabilirdi. Ve ... insanlık tarihinin en büyük icatlarından biri olan Kartezyen koordinatları buldu.

Markovtsev Yu.

Bir zamanlar yabancı bir şehirde

Genç Descartes geldi.

Çok acıkmıştı.

Soğuk bir Mart ayıydı.

yoldan geçen birine dönmeye karar verdi

Descartes, titremeyi yatıştırmaya çalışarak:

Otel nerede lütfen?

Ve bayan açıklamaya başladı:

- sütçüye git

Sonra fırına, arkasına

çingene iğne satıyor

Ve fareler ve fareler için zehir,

onları kesin bul

Peynirler, bisküviler, meyveler

Ve rengarenk ipekler...

Bütün bu açıklamaları dinledim

Soğuktan titreyen Descartes.

Gerçekten yemek istedi

- Dükkanların arkasında bir eczane var

(eczacı bıyıklı bir İsveçli var),

Ve kilise, yüzyılın başında

Evli, öyle görünüyor ki, büyükbabam ...

Hanım bir an sustuğunda,

Aniden hizmetçisi dedi ki:

- Üç blok düz yürü

Ve iki sağa. Köşeden giriş.

Bu, Descartes'a koordinatlar fikrini veren olayla ilgili üçüncü uzun hikaye.

Çözüm

Projemizi oluştururken koordinat düzleminin bilim ve bilimin çeşitli alanlarında kullanımını öğrendik. Günlük yaşam, koordinat düzleminin kökeninin tarihinden ve bu buluşa büyük katkı sağlayan matematikçilerden bazı bilgiler. Çalışmayı yazarken topladığımız materyal, okul çevresinin sınıfında olduğu gibi kullanılabilir. ek malzeme derslere. Bütün bunlar öğrencilerin ilgisini çekebilir ve öğrenme sürecini aydınlatabilir.

Ve şu sözlerle bitirmek istiyoruz:

“Hayatınızı bir koordinat düzlemi olarak hayal edin. Y ekseni toplumdaki konumunuzdur. X ekseni ileriye, hedefe, hayalinize doğru ilerliyor. Ve bildiğimiz gibi, sonsuzdur… aşağı düşebiliriz, eksiye doğru gitgide daha derine inebiliriz, sıfırda kalabilir ve hiçbir şey yapamayız, kesinlikle hiçbir şey. Kalkabiliriz, düşebiliriz, ileri gidebiliriz veya geri gidebiliriz ve hepsi çünkü tüm hayatımız bir koordinat düzlemi ve burada en önemli şey koordinatınızın ne olduğu ... "

bibliyografya

Glazer G.I. Okulda matematik tarihi: - M.: Eğitim, 1981. - 239 s., hasta.

Lyatker Ya.A. Descartes. M.: Düşünce, 1975. - (Geçmişin düşünürleri)

Matvievskaya G.P. Rene Descartes, 1596-1650. Moskova: Nauka, 1976.

A. Savin. koordinatlar Kuantum. 1977. Sayı 9

Matematik - "Birinci Eylül" gazetesine ek, No. 7, No. 20, No. 17, 2003, No. 11, 2000.

Siegel F.Yu. Yıldız alfabesi: Öğrenciler için bir rehber. - M.: Aydınlanma, 1981. - 191 s., İllus.

Steve Parker, Nicholas Harris. Çocuklar için resimli ansiklopedi. Evrenin sırları. Harkov Belgorod. 2008

http://istina.rin.ru/ sitesinden materyaller

Yüzeyde. Biri x diğeri y olsun. Ve bu doğruların karşılıklı olarak dik olmasına izin verin (yani, dik açıyla kesişsin). Ayrıca, kesişme noktaları her iki doğrunun koordinatlarının orijini olacaktır ve birim segment aynıdır (Şekil 1).

Yani biz var dikdörtgen koordinat sistemi, ve uçağımız bir koordinat oldu. x ve y çizgilerine koordinat eksenleri denir. Ayrıca, x ekseni apsis eksenidir ve y ekseni de ordinat eksenidir. Böyle bir düzlem genellikle eksenlerin adı ve referans noktası - xOy ile belirtilir. Dikdörtgen koordinat sistemi de denir Kartezyen koordinat sistemi, ilk defa Fransız matematikçi ve filozof Rene Descartes tarafından aktif olarak kullanılmaya başlandı.

Dikdörtgen köşeler x ve y doğrularından oluşan çizgilere denir koordinat açıları. Şekilde gösterildiği gibi her köşenin kendi numarası vardır. 2.

Koordinat doğrusundan bahsettiğimizde, bu doğru üzerindeki her noktanın bir koordinatı vardı. Şimdi söz konusu koordinat düzlemi hakkında, o zaman bu düzlemin her noktasının zaten iki koordinatı olacaktır. Biri x satırına karşılık gelir (bu koordinat apsis), diğeri y satırına karşılık gelir (bu koordinat ordinat). Bu şekilde yazılır: M(x;y), burada x apsis ve y ordinattır. Şu şekilde okunur: "X, y koordinatlarına sahip M noktası."

Uçaktaki bir noktanın koordinatları nasıl belirlenir?
Artık uçaktaki her noktanın iki koordinatı olduğunu biliyoruz. Koordinatlarını bulmak için bu noktadan koordinat eksenlerine dik iki düz çizgi çizmemiz yeterlidir. Bu doğruların koordinat eksenleri ile kesiştiği noktalar istenilen koordinatlar olacaktır. Yani, örneğin, Şekil 1'de. 3, M noktasının koordinatlarının 5 ve 3 olduğunu belirledik.

Koordinatlarına göre bir düzlemde bir nokta nasıl oluşturulur?
Ayrıca, düzlemdeki bir noktanın koordinatlarını zaten biliyoruz. Ve yerini bulmamız gerekiyor. Diyelim ki (-2; 5) noktasının koordinatları elimizde. Yani, apsis -2 ve ordinat 5'tir. x-çizgisi (apsis ekseni) üzerinde koordinatı -2 olan bir nokta alalım ve içinden y eksenine paralel bir a çizgisi çizelim. Bu doğru üzerindeki herhangi bir noktanın -2'ye eşit bir apsise sahip olacağına dikkat edin. Şimdi y doğrusu (y ekseni) üzerinde koordinatı 5 olan bir nokta bulalım ve içinden x eksenine paralel bir b doğrusu çizelim. Bu doğru üzerindeki herhangi bir noktanın 5'e eşit bir ordinata sahip olacağına dikkat edin. a ve b doğrularının kesiştiği noktada koordinatları (-2; 5) olan bir nokta olacaktır. Bunu P harfi ile gösteriyoruz (Şekil 4).

Tüm noktaları apsisi -2 olan a doğrusunun denklemle verildiğini de ekleyelim.
x = -2 veya bu x = -2, a çizgisinin denklemidir. Kolaylık sağlamak için, “x \u003d -2 denklemi tarafından verilen düz çizgi” değil, sadece “x \u003d -2 düz çizgi” diyebiliriz. Gerçekten de, a çizgisinin herhangi bir noktası için x = -2 eşitliği doğrudur. Ve tüm noktaları ordinatı 5 olan b düz çizgisi sırayla y = 5 denklemi tarafından verilir veya y = 5, b düz çizgisinin denklemidir.

Bir düzlemde birbirine dik iki sayısal eksen oluşturursak: ÖKÜZ ve OY, sonra çağrılacaklar koordinat eksenleri. Yatay eksen ÖKÜZ aranan x ekseni(eksen x), dikey eksen OY - y ekseni(eksen y).

Nokta Ö eksenlerin kesişme noktasında duran, denir Menşei. Her iki eksen için sıfır noktasıdır. pozitif sayılar apsis ekseninde sağdaki noktalarla ve ordinat ekseninde - yukarıdan noktalarla gösterilir sıfır noktası. negatif sayılar koordinatların başlangıç ​​noktasının solundaki ve aşağısındaki noktalarla temsil edilirler (noktalar Ö). Koordinat eksenlerinin bulunduğu düzleme denir. koordinat uçağı.

Koordinat eksenleri, düzlemi dört parçaya böler. çeyrek veya kadranlar. Bu çeyreklerin çizimde numaralandıkları sıraya göre Romen rakamlarıyla numaralandırılması adettendir.

Düzlemdeki nokta koordinatları

Koordinat düzleminde rastgele bir nokta alırsak A ve ondan koordinat eksenlerine dikler çizin, ardından diklerin tabanları iki sayı üzerinde olacaktır. Dikey dik ile gösterilen sayıya denir apsis noktası A. Yatay dikin gösterdiği sayı - nokta ordinatı A.

Noktanın apsisinin çizimi üzerine A 3 ve ordinat 5'tir.

Apsis ve ordinat, düzlemdeki belirli bir noktanın koordinatları olarak adlandırılır.

Nokta koordinatları, nokta tanımlamasının sağında parantez içinde yazılır. Önce apsis, ardından ordinat yazılır. Yani kayıt A(3; 5) noktanın apsisi anlamına gelir Aüçe eşittir ve ordinat beştir.

Bir noktanın koordinatları, onun düzlemdeki konumunu belirleyen sayılardır.

Nokta x ekseni üzerindeyse, ordinatı sıfırdır (örneğin, nokta B koordinatları -2 ve 0 ile). Nokta y ekseni üzerindeyse, apsisi sıfırdır (örneğin, nokta C 0 ve -4 koordinatları ile).

Menşe - nokta Ö- hem apsisi hem de ordinatı sıfıra eşit: Ö (0; 0).

Bu koordinat sistemine denir. dikdörtgen veya Kartezyen.

§ 1 Koordinat sistemi: tanım ve yapım yöntemi

Bu dersimizde "koordinat sistemi", "koordinat düzlemi", "koordinat eksenleri" kavramlarını tanıyacağız, koordinatlara göre bir düzlemde noktaların nasıl oluşturulacağını öğreneceğiz.

O başlangıç ​​noktası, pozitif yön ve birim parçası ile x koordinat doğrusunu alın.

X koordinat çizgisinin O noktası üzerinden, x'e dik başka bir y koordinat çizgisi çiziyoruz, pozitif yönü yukarı doğru ayarladık, birim segment aynı. Böylece bir koordinat sistemi kurduk.

Bir tanım verelim:

Her birinin orijini olan noktada kesişen karşılıklı olarak dik iki koordinat çizgisi bir koordinat sistemi oluşturur.

§ 2 Koordinat ekseni ve koordinat düzlemi

Koordinat sistemini oluşturan çizgilere, her birinin kendi adı olan koordinat eksenleri denir: x koordinat çizgisi apsis ekseni, y koordinat çizgisi ise koordinat eksenidir.

Koordinat sisteminin seçildiği düzleme koordinat düzlemi denir.

Tanımlanan koordinat sistemine dikdörtgen denir. Genellikle Fransız filozof ve matematikçi René Descartes'ın onuruna Kartezyen koordinat sistemi olarak adlandırılır.

Koordinat düzleminin her noktasının iki koordinatı vardır ve bu koordinatlar noktadan koordinat ekseni üzerindeki dikler düşürülerek belirlenebilir. Düzlemdeki bir noktanın koordinatları, ilk sayının apsis, ikinci sayının ordinat olduğu bir çift sayıdır. Apsis, x eksenine dik olanı, ordinat ise y eksenine dik olanı gösterir.

A noktasını koordinat düzleminde işaretliyoruz, ondan koordinat sisteminin eksenlerine dikler çiziyoruz.

Apsis eksenine (x ekseni) dik olarak, A noktasının apsisini belirleriz, 4'e eşittir, A noktasının ordinatı - ordinat eksenine dik (y ekseni) 3'tür. nokta 4 ve 3. A (4; 3). Böylece koordinat düzlemindeki herhangi bir nokta için koordinatlar bulunabilir.

§ 3 Uçakta bir noktanın inşası

Ve verilen koordinatlara sahip bir düzlemde bir noktanın nasıl oluşturulacağı, yani. düzlemdeki bir noktanın koordinatlarından konumunu belirlemek? Bu durumda, eylemler şu şekilde gerçekleştirilir: Ters sipariş. Üzerinde koordinat eksenleri karşılık gelen noktaları bulun verilen koordinatlar içinden x ve y eksenlerine dik çizgiler çiziyoruz. Dikeylerin kesişme noktası istenen nokta olacaktır, yani. koordinatları verilen nokta.

Görevi tamamlayalım: koordinat düzleminde bir M (2; -3) noktası oluşturun.

Bunu yapmak için, x ekseninde 2 koordinatlı bir nokta buluyoruz, bu noktadan x eksenine dik bir düz çizgi çiziyoruz. Y ekseninde -3 koordinatlı bir nokta buluyoruz, içinden y eksenine dik bir çizgi çiziyoruz. Dikey çizgilerin kesişme noktası verilen M noktası olacaktır.

Şimdi birkaç özel duruma bakalım.

Koordinat düzleminde A (0; 2), B (0; -3), C (0; 4) noktalarını işaretliyoruz.

Bu noktaların apsisleri 0'a eşittir. Şekil tüm noktaların y ekseni üzerinde olduğunu göstermektedir.

Bu nedenle apsisi sıfır olan noktalar y ekseni üzerindedir.

Bu noktaların koordinatlarını değiştirelim.

A (2; 0), B (-3; 0) C (4; 0) alın. Bu durumda tüm koordinatlar 0'dır ve noktalar x ekseni üzerindedir.

Bu, koordinatları sıfıra eşit olan noktaların apsis ekseni üzerinde olduğu anlamına gelir.

İki vakayı daha ele alalım.

Koordinat düzleminde M (3; 2), N (3; -1), P (3; -4) noktalarını işaretleyin.

Noktaların tüm apsislerinin aynı olduğunu görmek kolaydır. Bu noktalar bağlanırsa, ordinat eksenine paralel ve apsis eksenine dik bir düz çizgi elde edersiniz.

Sonuç kendini gösteriyor: Aynı apsise sahip noktalar, ordinat eksenine paralel ve apsis eksenine dik olan aynı düz çizgi üzerinde uzanır.

M, N, P noktalarının koordinatlarını yerlerde değiştirirsek, M (2; 3), N (-1; 3), P (-4; 3) elde ederiz. Noktaların koordinatları aynı olacaktır. Bu durumda, bu noktaları birleştirirseniz, apsis eksenine paralel ve ordinat eksenine dik bir düz çizgi elde edersiniz.

Böylece, aynı doğru üzerinde aynı ordinata sahip noktalar apsis eksenine paralel ve ordinat eksenine diktir.

Bu derste "koordinat sistemi", "koordinat düzlemi", "koordinat eksenleri - apsis ekseni ve y ekseni" kavramlarını öğrendiniz. Koordinat düzleminde bir noktanın koordinatlarının nasıl bulunacağını öğrendik ve koordinatlarına göre bir düzlemde noktaların nasıl oluşturulacağını öğrendik.

Kullanılan literatür listesi:

1. Matematik. 6. Sınıf: I.I.'nin ders kitabı için ders planları Zubareva, A.G. Mordkovich // yazar-derleyici L.A. Topilin. – Mnemosyne, 2009.
2. Matematik. 6. sınıf: öğrenci ders kitabı Eğitim Kurumları. I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich.- M.: Mnemozina, 2013.
3. Matematik. 6. Sınıf: eğitim kurumları için ders kitabı / G.V. Dorofeev, I.F. Sharygin, S.B. Suvorov ve diğerleri / G.V. Dorofeeva, I.F. Sharygin; Rusya Bilimler Akademisi, Rusya Eğitim Akademisi. - M.: "Aydınlanma", 2010
4. Matematik El Kitabı - http://lyudmilanik.com.ua
5. Ortaokuldaki öğrenciler için el kitabı http://shkolo.ru

Matematik oldukça karmaşık bir bilimdir. Onu incelemek, sadece örnekleri ve problemleri çözmekle kalmayıp, aynı zamanda çeşitli figürlerle ve hatta uçaklarla da çalışmak zorundadır. Matematikte en çok kullanılanlardan biri düzlemdeki koordinat sistemidir. Uygun çalışmaçocukları ile birlikte bir yıldan fazla eğitim görmektedir. Bu nedenle, ne olduğunu ve onunla nasıl doğru çalışılacağını bilmek önemlidir.

Ne olduğunu bulalım bu sistem, yardımı ile hangi eylemlerin gerçekleştirilebileceğini ve ayrıca ana özelliklerini ve özelliklerini öğrenin.

kavram tanımı

Koordinat düzlemi, üzerinde belirli bir koordinat sisteminin tanımlandığı bir düzlemdir. Böyle bir düzlem, dik açıyla kesişen iki düz çizgi ile tanımlanır. Bu çizgilerin kesişme noktası koordinatların başlangıç ​​noktasıdır. Koordinat düzlemindeki her nokta, koordinat adı verilen bir çift sayı ile verilir.

Okul matematik dersinde, öğrenciler koordinat sistemi ile oldukça yakından çalışmak zorundadır - üzerinde şekiller ve noktalar oluşturmak, bunun veya bu koordinatın hangi düzleme ait olduğunu belirlemek ve ayrıca noktanın koordinatlarını belirlemek ve bunları yazmak veya adlandırmak. Bu nedenle, koordinatların tüm özellikleri hakkında daha ayrıntılı konuşalım. Ama önce yaratılış tarihine değinelim, ardından koordinat düzleminde nasıl çalışacağımızdan bahsedelim.

Geçmiş referansı

Bir koordinat sistemi oluşturmaya ilişkin fikirler Ptolemy zamanlarındaydı. O zaman bile, gökbilimciler ve matematikçiler, bir noktanın konumunu uçakta nasıl ayarlayacaklarını nasıl öğreneceklerini düşünüyorlardı. Ne yazık ki o zamanlar bildiğimiz bir koordinat sistemi yoktu ve bilim adamları başka sistemleri kullanmak zorunda kaldılar.

Başlangıçta, enlem ve boylam belirterek noktalar belirlerler. Uzun bir süre, şu veya bu bilgiyi haritalamanın en çok kullanılan yollarından biriydi. Ancak 1637'de Rene Descartes, daha sonra "Kartezyen" olarak adlandırılan kendi koordinat sistemini yarattı.

zaten geç XVII v. "koordinat düzlemi" kavramı matematik dünyasında yaygın olarak kullanılmaya başlandı. Bu sistemin yaratılmasından bu yana birkaç yüzyıl geçmesine rağmen, matematikte ve hatta hayatta hala yaygın olarak kullanılmaktadır.

Koordinat düzlemi örnekleri

Teoriden bahsetmeden önce, hayal edebilmeniz için koordinat düzleminin bazı açıklayıcı örneklerini vereceğiz. Koordinat sistemi öncelikle satrançta kullanılır. Tahtada, her karenin kendi koordinatları vardır - bir harf koordinatı, ikincisi - dijital. Onun yardımıyla, belirli bir parçanın tahtadaki konumunu belirleyebilirsiniz.

En çarpıcı ikinci örnek ise sevilen oyun "Battleship". Oynarken, bir koordinatı nasıl adlandırdığınızı, örneğin B3'ü, böylece tam olarak nereye nişan aldığınızı gösterdiğinizi unutmayın. Aynı zamanda gemileri yerleştirirken koordinat düzleminde noktalar belirlersiniz.

Bu koordinat sistemi sadece matematikte, mantık oyunlarında değil, askerlik, astronomi, fizik ve diğer birçok bilimde de yaygın olarak kullanılmaktadır.

koordinat eksenleri

Daha önce belirtildiği gibi, koordinat sisteminde iki eksen ayırt edilir. Oldukça önemli oldukları için onlardan biraz bahsedelim.

İlk eksen - apsis - yataydır. olarak gösterilir ( Öküz). İkinci eksen, referans noktasından dikey olarak geçen ve ( Oy). Koordinat sistemini oluşturan bu iki eksen, düzlemi dörde böler. Orijin, bu iki eksenin kesişme noktasında bulunur ve değeri alır. 0 . Yalnızca düzlem, dik olarak kesişen ve bir referans noktasına sahip iki eksenden oluşuyorsa, bu bir koordinat düzlemidir.

Ayrıca eksenlerin her birinin kendi yönüne sahip olduğunu unutmayın. Genellikle, bir koordinat sistemi oluştururken, eksenin yönünü bir ok şeklinde belirtmek gelenekseldir. Ayrıca koordinat düzlemi oluşturulurken eksenlerin her biri işaretlenir.

çeyrek

Şimdi koordinat düzleminin çeyrekleri gibi bir kavram hakkında birkaç söz söyleyelim. Düzlem iki eksenle dörde bölünmüştür. Uçakların numaralandırılması saat yönünün tersine iken, her birinin kendi numarası vardır.

Mahallelerin her birinin kendine has özellikleri vardır. Yani ilk çeyrekte apsis ve ordinat pozitif, ikinci çeyrekte apsis negatif, ordinat pozitif, üçüncüde hem apsis hem de ordinat negatif, dördüncüde apsis pozitif ve ordinat negatiftir.

Bu özellikleri hatırlayarak belirli bir noktanın hangi çeyreğe ait olduğunu kolayca belirleyebilirsiniz. Ayrıca Kartezyen sistemi kullanarak hesaplamalar yapmak zorunda kalırsanız bu bilgiler işinize yarayabilir.

Koordinat düzlemi ile çalışma

Uçak kavramını ele alıp çeyreklerinden bahsettiğimizde, bu sistemle çalışmak gibi bir probleme geçebilir ve ayrıca üzerine noktaların, rakamların koordinatlarının nasıl koyulacağından bahsedebiliriz. Koordinat düzleminde bu, ilk bakışta göründüğü kadar zor değildir.

Her şeyden önce, sistemin kendisi inşa edilir, tüm önemli tanımlamalar ona uygulanır. Sonra doğrudan noktalar veya rakamlarla çalışma var. Bu durumda, şekiller oluştururken bile, önce düzleme noktalar uygulanır ve daha sonra şekiller zaten çizilir.

Bir uçak inşa etme kuralları

Kağıt üzerinde şekilleri ve noktaları işaretlemeye karar verirseniz, bir koordinat düzlemine ihtiyacınız olacaktır. Noktaların koordinatları üzerine çizilir. Bir koordinat düzlemi oluşturmak için sadece bir cetvele ve bir kaleme veya kurşun kaleme ihtiyacınız var. İlk önce yatay apsis, ardından dikey - ordinat çizilir. Eksenlerin dik açılarda kesiştiğini hatırlamak önemlidir.

Sonraki zorunlu madde işaret ediyor. Birimler-segmanlar her iki yönde de eksenlerin her birinde işaretlenir ve imzalanır. Bu, daha sonra uçakla maksimum rahatlıkla çalışabilmeniz için yapılır.

Bir noktayı işaretleme

Şimdi koordinat düzleminde noktaların koordinatlarının nasıl çizileceğinden bahsedelim. Düzlemde çeşitli şekilleri başarılı bir şekilde yerleştirmek ve hatta denklemleri işaretlemek için bilmeniz gereken temel bilgiler budur.

Noktaları oluştururken, koordinatlarının nasıl doğru bir şekilde kaydedildiğini hatırlamalıyız. Bu nedenle, genellikle bir nokta belirlenirken, parantez içinde iki sayı yazılır. İlk basamak, apsis ekseni boyunca noktanın koordinatını, ikincisi - ordinat ekseni boyunca gösterir.

Nokta bu şekilde inşa edilmelidir. Önce eksende işaretle Öküz verilen noktayı, ardından eksende bir noktayı işaretleyin Oy. Ardından, bu gösterimlerden hayali çizgiler çizin ve kesişme yerlerini bulun - bu verilen nokta olacaktır.

Tek yapmanız gereken işaretlemek ve imzalamak. Gördüğünüz gibi, her şey oldukça basit ve özel beceriler gerektirmiyor.

Şekil Yerleştirme

Şimdi koordinat düzleminde rakamların inşası gibi bir soruya geçelim. Koordinat düzleminde herhangi bir figürü inşa etmek için, üzerine nasıl nokta yerleştirileceğini bilmelisiniz. Bunu nasıl yapacağınızı biliyorsanız, o zaman bir rakamı uçağa yerleştirmek o kadar zor değil.

Her şeyden önce, şeklin noktalarının koordinatlarına ihtiyacınız olacak. Koordinat sistemimize seçtiklerinizi üzerlerine uygulayacağız.Bir dikdörtgen, üçgen ve daire çizelim.

Bir dikdörtgenle başlayalım. Uygulaması oldukça kolaydır. İlk olarak, düzleme dikdörtgenin köşelerini gösteren dört nokta uygulanır. Daha sonra tüm noktalar sırayla birbirine bağlanır.

Bir üçgen çizmek farklı değil. Tek şey, üç köşeye sahip olmasıdır, bu, düzleme köşelerini gösteren üç noktanın uygulandığı anlamına gelir.

Çemberle ilgili olarak, burada iki noktanın koordinatlarını bilmelisiniz. İlk nokta dairenin merkezi, ikincisi yarıçapı gösteren noktadır. Bu iki nokta bir düzlemde çizilir. Daha sonra bir pusula alınır, iki nokta arasındaki mesafe ölçülür. Pusulanın noktası, merkezi gösteren bir noktaya yerleştirilir ve bir daire tanımlanır.

Gördüğünüz gibi, burada da karmaşık bir şey yok, asıl mesele her zaman bir cetvel ve bir pusulanın el altında olmasıdır.

Artık şekil koordinatlarını nasıl çizeceğinizi biliyorsunuz. Koordinat düzleminde, ilk bakışta göründüğü gibi bunu yapmak o kadar zor değil.

sonuçlar

Bu yüzden, her öğrencinin uğraşması gereken matematik için en ilginç ve temel kavramlardan birini sizinle birlikte düşündük.

Koordinat düzleminin iki eksenin kesişmesiyle oluşan düzlem olduğunu öğrendik. Onun yardımıyla noktaların koordinatlarını ayarlayabilir, üzerine şekiller koyabilirsiniz. Uçak, her biri kendi özelliklerine sahip olan mahallelere bölünmüştür.

Koordinat düzlemi ile çalışırken geliştirilmesi gereken temel beceri, üzerinde verilen noktaları doğru bir şekilde çizebilme yeteneğidir. Bunun için bilmeniz gerekir doğru konum eksenler, çeyreklerin özellikleri ve noktaların koordinatlarının ayarlandığı kurallar.

Sağladığımız bilgilerin erişilebilir ve anlaşılır olduğunu ve ayrıca sizin için yararlı olduğunu ve bu konuyu daha iyi anlamanıza yardımcı olduğunu umuyoruz.