6.1. TEMEL KAVRAMLAR VE TANIMLAR

Çeşitli matematik ve fizik, biyoloji ve tıp problemlerini çözerken, çoğu zaman bir formül şeklinde fonksiyonel bir bağımlılık hemen kurmak mümkün değildir. değişkenler Bu, incelenen süreci açıklar. Genellikle, bağımsız değişken ve bilinmeyen fonksiyona ek olarak türevlerini de içeren denklemler kullanılmalıdır.

Tanım. Bağımsız bir değişkeni, bilinmeyen bir fonksiyonu ve onun çeşitli derecelerdeki türevlerini ilişkilendiren denkleme denir. diferansiyel.

Bilinmeyen işlev genellikle gösterilir y(x) ya da sadece y, ve türevleri y", y" vb.

Diğer gösterimler de mümkündür, örneğin: eğer y= x(t), o zaman x"(t), x""(t) türevleridir ve t bağımsız bir değişkendir.

Tanım. Fonksiyon bir değişkene bağlıysa, diferansiyel denklem adi olarak adlandırılır. Genel form adi diferansiyel denklem:

veya

Fonksiyonlar F ve f bazı argümanlar içermeyebilir, ancak denklemlerin diferansiyel olabilmesi için bir türevin varlığı esastır.

Tanım.diferansiyel denklemin sırası içerdiği en yüksek türevin sırasıdır.

Örneğin, x 2 y"- y= 0, y" + günah x= 0 birinci dereceden denklemlerdir ve y"+ 2 y"+ 5 y= x ikinci dereceden bir denklemdir.

Diferansiyel denklemleri çözerken, keyfi bir sabitin görünümü ile ilişkili olan entegrasyon işlemi kullanılır. Entegrasyon eylemi uygulanırsa n kez, o zaman, açıkçası, çözüm içerecektir n keyfi sabitler.

6.2. BİRİNCİ DERECEK DİFERANSİYEL DENKLEMLER

Genel form birinci mertebeden diferansiyel denklem ifade ile tanımlanır

Denklem açıkça içermeyebilir x ve y, ama mutlaka y" içerir.

Denklem şu şekilde yazılabilirse

daha sonra türevine göre çözülmüş birinci dereceden bir diferansiyel denklem elde ederiz.

Tanım. Birinci mertebeden diferansiyel denklemin (6.3) (veya (6.4)) genel çözümü, çözüm kümesidir. , nerede İle keyfi bir sabittir.

Bir diferansiyel denklemi çözmek için çizilen grafiğe denir. integral eğrisi.

keyfi bir sabit vermek İle farklı değerler, özel çözümler elde etmek mümkündür. Yüzeyde xOy genel çözüm, her bir özel çözüme karşılık gelen bir integral eğriler ailesidir.

bir nokta koyarsan A(x0, y0), integral eğrinin içinden geçmesi gereken, daha sonra, kural olarak, fonksiyonlar kümesinden biri seçilebilir - özel bir çözüm.

Tanım.özel karar Bir diferansiyel denklemin çözümü, keyfi sabitler içermeyen çözümüdür.

Eğer bir genel bir çözümdür, sonra koşuldan

kalıcı bulabilirsin İLE. Koşul denir başlangıç ​​koşulu.

Başlangıç ​​koşulunu sağlayan bir diferansiyel denklem (6.3) veya (6.4) için özel bir çözüm bulma sorunu de isminde Cauchy sorunu. Bu sorunun her zaman bir çözümü var mı? Cevap aşağıdaki teoremde yer almaktadır.

Cauchy teoremi(varlık teoremi ve çözümün tekliği). Diferansiyel denklemde olsun y"= f(x, y) işlev f(x, y) ve onun

kısmi türev bazılarında tanımlı ve sürekli

alanlar D, nokta içeren Daha sonra bölgede D mevcut

tek karar başlangıç ​​koşulunu sağlayan denklem de

Cauchy teoremi, belirli koşullar altında benzersiz bir integral eğrisi olduğunu belirtir. y= f(x), bir noktadan geçmek Teoremin koşullarının sağlanmadığı noktalar

kediler denir özel. Bu noktalarda kırılmalar f(x, y) veya.

Ya birkaç integral eğri tekil bir noktadan geçer ya da hiçbiri geçmez.

Tanım.(6.3), (6.4) şeklinde çözüm bulunursa f(x, y, c)= 0, y'ye göre izin verilmez, o zaman denir ortak integral diferansiyel denklem.

Cauchy teoremi yalnızca bir çözümün var olduğunu garanti eder. Bir çözüm bulmak için tek bir yöntem olmadığı için, yalnızca bazı türlerde integrallenebilen birinci mertebeden diferansiyel denklemleri ele alacağız. kareler.

Tanım. diferansiyel denklem denir dörtgenlerde integrallenebilir,çözüm arayışı, işlevlerin entegrasyonuna indirgenirse.

6.2.1. Ayrılabilir değişkenli birinci mertebeden diferansiyel denklemler

Tanım. Birinci mertebeden diferansiyel denkleme denklem denir. ayrılabilir değişkenler,

(6.5) denkleminin sağ tarafı, her biri sadece bir değişkene bağlı olan iki fonksiyonun ürünüdür.

Örneğin, denklem ayırmalı bir denklemdir

değişkenleri geçmek
ve denklem

(6.5) şeklinde temsil edilemez.

Verilen , (6.5) olarak yeniden yazıyoruz

Bu denklemden, diferansiyellerin yalnızca karşılık gelen değişkene bağlı fonksiyonları içerdiği, ayrılmış değişkenlere sahip bir diferansiyel denklem elde ederiz:

Terimi terime entegre ederek,

nerede C= C 2 - C 1 keyfi bir sabittir. (6.6) ifadesi, (6.5) denkleminin genel integralidir.

Denklemin (6.5) her iki bölümünü de 'ye bölerek, aşağıdaki çözümleri kaybedebiliriz: Gerçekten, eğer de

o zamanlar (6.5) denkleminin bir çözümü olduğu açıktır.

örnek 1 tatmin edici denklemin bir çözümünü bulun

koşul: y= 6 x= 2 (y(2) = 6).

Karar. değiştirelim de" o zaman için . Her iki tarafı da çarpın

dx, daha fazla entegrasyonda ayrılmak imkansız olduğundan dx paydada:

ve sonra her iki parçayı da bölerek denklemi elde ederiz,

hangi entegre edilebilir. Entegre ediyoruz:

Sonra ; kuvvetlendirerek, y = C elde ederiz. (x + 1) - ob-

çözüm.

İlk verilere dayanarak, bunları genel çözümde değiştirerek keyfi bir sabit belirleriz.

sonunda anladık y= 2(x + 1) özel bir çözümdür. Ayrılabilir değişkenlerle denklem çözmenin birkaç örneğini daha düşünün.

Örnek 2 Denklemin çözümünü bulun

Karar. Verilen , alırız .

Denklemin her iki tarafını da entegre ettiğimizde,

nerede

Örnek 3 Denklemin çözümünü bulun Karar. Denklemin her iki bölümünü, diferansiyel işaret altındaki değişkenle örtüşmeyen bir değişkene bağlı olan faktörlere böleriz, yani ve entegre edin. sonra alırız

ve sonunda

Örnek 4 Denklemin çözümünü bulun

Karar. Ne alacağımızı bilmek. Bölüm-

lim değişkenleri. Sonra

Entegrasyon, elde ederiz

Yorum.Örnek 1 ve 2'de istenen fonksiyon y açıkça ifade edildi (genel çözüm). Örnek 3 ve 4'te - örtük olarak (genel integral). Gelecekte, kararın şekli belirtilmeyecek.

Örnek 5 Denklemin çözümünü bulun Karar.

Örnek 6 Denklemin çözümünü bulun doyurucu

koşul y(e)= 1.

Karar. Denklemi formda yazıyoruz

Denklemin her iki tarafını ile çarparak dx ve üzerinde, alırız

Denklemin her iki tarafını da entegre ederek (sağdaki integral kısımlar tarafından alınır), şunu elde ederiz:

Ama koşula göre y= 1 x= e. Sonra

Bulunan değerleri değiştirin İle genel bir çözüme:

Elde edilen ifadeye diferansiyel denklemin özel çözümü denir.

6.2.2. Birinci mertebeden homojen diferansiyel denklemler

Tanım. Birinci dereceden diferansiyel denklem denir homojen olarak temsil edilebilirse

Homojen bir denklemi çözmek için bir algoritma sunuyoruz.

1. Bunun yerine y yeni bir işlev tanıtın Sonra ve dolayısıyla

2. İşlev açısından sen denklem (6.7) şeklini alır

yani değiştirme azalır homojen denklem ayrılabilir değişkenleri olan bir denkleme.

3. Denklemi (6.8) çözerek önce u'yu buluruz, sonra y= ux.

örnek 1 denklemi çözün Karar. Denklemi formda yazıyoruz

Bir ikame yapıyoruz:
Sonra

değiştirelim

dx ile çarpın: Bölünür x ve üzerinde o zamanlar

Denklemin her iki parçasını karşılık gelen değişkenlere göre entegre ederek,

veya eski değişkenlere dönersek, sonunda

Örnek 2denklemi çözün Karar.İzin vermek o zamanlar

Denklemin her iki tarafını da x2: Parantezleri açalım ve terimleri yeniden düzenleyelim:

Eski değişkenlere geçerek nihai sonuca varıyoruz:

Örnek 3Denklemin çözümünü bulun verilen

Karar.Standart bir değiştirme gerçekleştirme alırız

veya

veya

Yani özel çözüm forma sahiptir Örnek 4 Denklemin çözümünü bulun

Karar.

Örnek 5Denklemin çözümünü bulun Karar.

Bağımsız iş

Ayrılabilir değişkenli diferansiyel denklemlere çözüm bulun (1-9).

Homojen diferansiyel denklemlere bir çözüm bulun (9-18).

6.2.3. Birinci mertebeden diferansiyel denklemlerin bazı uygulamaları

Radyoaktif bozunma sorunu

Ra'nın (radyum) zamanın her anında bozunma hızı, mevcut kütlesiyle orantılıdır. İlk anda Ra olduğu ve Ra'nın yarı ömrünün 1590 yıl olduğu biliniyorsa, Ra'nın radyoaktif bozunma yasasını bulun.

Karar.Şu anda kütlesi Ra olsun x= x(t) g ve O zaman Ra'nın bozunma oranı

göreve göre

nerede k

Son denklemdeki değişkenleri ayırarak ve entegre ederek,

nerede

belirlemek için C başlangıç ​​koşulunu kullanırız: .

Sonra ve bu nedenle,

orantı faktörü k ek koşuldan belirlenir:

Sahibiz

Buradan ve istenilen formül

Bakterilerin üreme oranı sorunu

Bakterilerin üreme hızı sayıları ile orantılıdır. İlk anda 100 bakteri vardı. 3 saat içinde sayıları ikiye katlandı. Bakteri sayısının zamana bağımlılığını bulun. 9 saat içinde bakteri sayısı kaç kat artar?

Karar.İzin vermek x- şu anda bakteri sayısı t. Daha sonra duruma göre,

nerede k- orantılılık katsayısı.

Buradan Şu halden bilinmektedir. . Anlamına geliyor,

Ek koşuldan . Sonra

Gerekli işlev:

Yani, t= 9 x= 800, yani 9 saat içinde bakteri sayısı 8 kat arttı.

Enzim miktarını artırma görevi

Bira mayasının kültüründe, aktif enzimin büyüme hızı, başlangıç ​​miktarı ile orantılıdır. x. Başlangıç ​​enzim miktarı a bir saat içinde ikiye katlandı. Bağımlılık bul

x(t).

Karar. Koşul olarak, sürecin diferansiyel denklemi şu şekildedir:

buradan

Ancak . Anlamına geliyor, C= a ve daha sonra

Ayrıca bilinmektedir ki

Buradan,

6.3. İKİNCİ mertebeden DİFERANSİYEL DENKLEMLER

6.3.1. Temel konseptler

Tanım.İkinci dereceden diferansiyel denklem bağımsız değişkeni, istenen fonksiyonu ve birinci ve ikinci türevlerini birleştiren ilişkiye denir.

Özel durumlarda, denklemde x bulunmayabilir, de veya y". Bununla birlikte, ikinci dereceden denklem mutlaka y" içermelidir. Genel durumda, ikinci mertebeden diferansiyel denklem şu şekilde yazılır:

veya mümkünse ikinci türev için izin verilen biçimde:

Birinci dereceden bir denklem durumunda olduğu gibi, ikinci dereceden bir denklemin genel ve özel bir çözümü olabilir. Genel çözüm şöyle görünür:

Özel bir çözüm bulma

başlangıç ​​koşulları altında - verilen

numarası) denir Cauchy sorunu. Geometrik olarak bu, integral eğrisini bulmanın gerekli olduğu anlamına gelir. de= y(x), Belirli bir noktadan geçen ve bu noktada bir teğete sahip olmak, ki bu yaklaşık

pozitif eksen yönüne sahip çatallar Öküz verilen açı. e. (Şekil 6.1). Denklemin (6.10) sağ tarafı ise, Cauchy probleminin benzersiz bir çözümü vardır. hazırlıksız

süreksizdir ve göre sürekli kısmi türevleri vardır sen, sen" başlangıç ​​noktasının bazı mahallelerinde

sabit bulmak için belirli bir çözüme dahil edildiğinde, sistemin izin vermesi gerekir

Pirinç. 6.1. integral eğrisi

I. Adi diferansiyel denklemler

1.1. Temel kavramlar ve tanımlar

Diferansiyel denklem, bağımsız bir değişkeni ilişkilendiren bir denklemdir. x, istenilen fonksiyon y ve türevleri veya diferansiyelleri.

Sembolik olarak diferansiyel denklem aşağıdaki gibi yazılır:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y(n))=0

İstenen fonksiyon bir bağımsız değişkene bağlıysa, diferansiyel denklem sıradan olarak adlandırılır.

Diferansiyel denklemi çözerek bu denklemi bir özdeşliğe dönüştüren fonksiyona denir.

diferansiyel denklemin sırası bu denklemdeki en yüksek türevin mertebesidir

Örnekler

1. Birinci mertebeden diferansiyel denklemi düşünün

Bu denklemin çözümü y = 5 ln x fonksiyonudur. Nitekim ikame ederek y" denkleme, bir özdeşlik elde ederiz.

Ve bu, y = 5 ln x– fonksiyonunun bu diferansiyel denklemin çözümü olduğu anlamına gelir.

2. İkinci mertebeden diferansiyel denklemi düşünün y" - 5y" + 6y = 0. Fonksiyon bu denklemin çözümüdür.

Gerçekten, .

Bu ifadeleri denklemde yerine koyarsak: , - özdeşlik elde ederiz.

Bu da fonksiyonun bu diferansiyel denklemin çözümü olduğu anlamına gelir.

Diferansiyel denklemlerin entegrasyonu diferansiyel denklemlere çözüm bulma sürecidir.

diferansiyel denklemin genel çözümü formun bir fonksiyonu denir , denklemin sırası kadar bağımsız keyfi sabit içerir.

Diferansiyel denklemin kısmi çözümü keyfi sabitlerin farklı sayısal değerleri için genel çözümden elde edilen çözüme denir. İsteğe bağlı sabitlerin değerleri, argüman ve işlevin belirli başlangıç ​​değerlerinde bulunur.

Bir diferansiyel denklemin belirli bir çözümünün grafiğine denir. integral eğrisi.

Örnekler

1. Birinci dereceden bir diferansiyel denklemin belirli bir çözümünü bulun

xdx + ydy = 0, Eğer y= 4'te x = 3.

Karar. Denklemin her iki tarafını da entegre edersek,

Yorum. Entegrasyonun bir sonucu olarak elde edilen keyfi bir sabit C, daha sonraki dönüşümler için uygun herhangi bir biçimde temsil edilebilir. Bu durumda, dairenin kanonik denklemi dikkate alındığında, formda keyfi bir sabit С temsil etmek uygundur.

diferansiyel denklemin genel çözümüdür.

Başlangıç ​​koşullarını sağlayan bir denklemin özel çözümü y = 4'te x = 3, genel çözüme başlangıç ​​koşullarının yerine konmasıyla genelden bulunur: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

Genel çözümde C=5 yerine koyarsak, x2+y2 = 5 2 .

Bu, verilen başlangıç ​​koşulları altında genel çözümden elde edilen diferansiyel denklemin özel bir çözümüdür.

2. Diferansiyel denklemin genel çözümünü bulun

Bu denklemin çözümü, C'nin keyfi bir sabit olduğu formun herhangi bir fonksiyonudur. Gerçekten de, denklemleri değiştirerek şunu elde ederiz: , .

Bu nedenle, bu diferansiyel denklemin sonsuz sayıda çözümü vardır, çünkü C sabitinin farklı değerleri için eşitlik, denklemin farklı çözümlerini belirler.

Örneğin, doğrudan ikame yoluyla, işlevlerin doğrulandığı doğrulanabilir. denklemin çözümleridir.

Denklemin belirli bir çözümünü bulmanın gerekli olduğu bir problem y" = f(x, y) başlangıç ​​koşulunun sağlanması y(x0) = y0, Cauchy problemi olarak adlandırılır.

denklem çözümü y" = f(x, y), başlangıç ​​koşulunun sağlanması, y(x0) = y0, Cauchy probleminin çözümü olarak adlandırılır.

Cauchy probleminin çözümü basit bir geometrik anlama sahiptir. Nitekim bu tanımlara göre Cauchy problemini çözmek için y" = f(x, y) verilen y(x0) = y0, denklemin integral eğrisini bulmak anlamına gelir y" = f(x, y) belirli bir noktadan geçen M0 (x0,0).

II. Birinci mertebeden diferansiyel denklemler

2.1. Temel konseptler

Birinci dereceden bir diferansiyel denklem, formun bir denklemidir. F(x,y,y") = 0.

Birinci mertebeden diferansiyel denklem, birinci türevi içerir ve daha yüksek mertebeden türevleri içermez.

denklem y" = f(x, y) türevine göre çözülen birinci mertebeden denklem denir.

Birinci dereceden bir diferansiyel denklemin genel çözümü, bir keyfi sabit içeren formun bir fonksiyonudur.

Misal. Birinci dereceden bir diferansiyel denklem düşünün.

Bu denklemin çözümü fonksiyondur.

Gerçekten de, bu denklemde değeriyle yer değiştirirsek, şunu elde ederiz:

yani 3x=3x

Bu nedenle fonksiyon, herhangi bir C sabiti için denklemin genel bir çözümüdür.

Bu denklemin başlangıç ​​koşulunu sağlayan özel bir çözümünü bulunuz. y(1)=1 Başlangıç ​​koşullarının değiştirilmesi x=1, y=1 denklemin genel çözümüne, nereden elde ederiz C=0.

Böylece, elde edilen değeri bu denklemde yerine koyarak genel olandan özel bir çözüm elde ederiz. C=0özel bir karardır.

2.2. Ayrılabilir değişkenli diferansiyel denklemler

Ayrılabilir değişkenleri olan bir diferansiyel denklem, aşağıdaki formun bir denklemidir: y"=f(x)g(y) veya diferansiyeller yoluyla, nerede f(x) ve g(y) verilen fonksiyonlardır.

Bunlar için y, bunun için denklem y"=f(x)g(y) denkleme eşdeğerdir değişkenin olduğu y yalnızca sol tarafta bulunur ve x değişkeni yalnızca sağ tarafta bulunur. Denklemde diyorlar ki y"=f(x)g(y değişkenleri ayırmak.

Tip denklemi ayrılmış değişken denklemi denir.

Denklemin her iki bölümünü de entegre ettikten sonra üzerinde x, alırız G(y) = F(x) + C denklemin genel çözümü, burada g(y) ve f(x) sırasıyla fonksiyonların bazı ters türevleridir ve f(x), C keyfi sabit.

Ayrılabilir değişkenlerle birinci dereceden bir diferansiyel denklemi çözmek için algoritma

örnek 1

denklemi çözün y" = xy

Karar. Bir fonksiyonun türevi y" ile değiştirin

değişkenleri ayırıyoruz

Eşitliğin her iki bölümünü de entegre edelim:

Örnek 2

2yy" = 1- 3x 2, Eğer y 0 = 3 de x0 = 1

Bu ayrılmış bir değişken denklemidir. Diferansiyellerde gösterelim. Bunu yapmak için, bu denklemi formda yeniden yazıyoruz. Buradan

Son eşitliğin her iki parçasını da entegre ederek buluruz.

Başlangıç ​​değerlerinin değiştirilmesi x 0 = 1, y 0 = 3 bulmak İle 9=1-1+C, yani C = 9.

Bu nedenle, istenen kısmi integral veya

Örnek 3

Bir noktadan geçen eğri için bir denklem yazın M(2;-3) ve eğimli bir teğeti olan

Karar. duruma göre

Bu ayrılabilir bir değişken denklemidir. Değişkenleri bölerek şunu elde ederiz:

Denklemin her iki parçasını da entegre ederek şunu elde ederiz:

Başlangıç ​​koşulları kullanılarak, x=2 ve y=-3 bulmak C:

Bu nedenle, istenen denklem forma sahiptir

2.3. Birinci mertebeden lineer diferansiyel denklemler

Birinci mertebeden lineer diferansiyel denklem, formun bir denklemidir. y" = f(x)y + g(x)

nerede f(x) ve g(x)- verilen bazı işlevler.

Eğer bir g(x)=0 daha sonra lineer diferansiyel denklem homojen olarak adlandırılır ve şu şekildedir: y" = f(x)y

Eğer o zaman denklem y" = f(x)y + g(x) heterojen denir.

Lineer homojen diferansiyel denklemin genel çözümü y" = f(x)y formül tarafından verilen: nerede İle keyfi bir sabittir.

özellikle, eğer C \u003d 0, o zaman çözüm y=0 Doğrusal homojen denklem şu şekildeyse y" = ky nerede k bir sabit ise, genel çözümü şu şekildedir: .

Lineer homojen olmayan bir diferansiyel denklemin genel çözümü y" = f(x)y + g(x) formül tarafından verilen ,

onlar. karşılık gelen lineer homojen denklemin genel çözümü ile bu denklemin özel çözümünün toplamına eşittir.

Formun doğrusal homojen olmayan bir denklemi için y" = kx + b,

nerede k ve b- bazı sayılar ve belirli bir çözüm sabit bir fonksiyon olacaktır. Bu nedenle, genel çözüm forma sahiptir.

Misal. denklemi çözün y" + 2y +3 = 0

Karar. Denklemi formda temsil ediyoruz y" = -2y - 3 nerede k=-2, b=-3 Genel çözüm formülle verilir.

Bu nedenle, burada C keyfi bir sabittir.

2.4. Birinci mertebeden lineer diferansiyel denklemlerin Bernoulli yöntemi ile çözümü

Birinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemin Genel Çözümünü Bulma y" = f(x)y + g(x) ikame kullanarak ayrılmış değişkenlerle iki diferansiyel denklemi çözmeye indirger y=uv, nerede sen ve v- bilinmeyen işlevler x. Bu çözüm yöntemine Bernoulli yöntemi denir.

Birinci mertebeden lineer diferansiyel denklemi çözmek için algoritma

y" = f(x)y + g(x)

1. Bir değişiklik girin y=uv.

2. Bu eşitliği farklılaştırın y"=u"v + uv"

3. İkame y ve y" bu denklemde: u"v + uv" =f(x)uv + g(x) veya u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Denklemin terimlerini şu şekilde gruplandırın: sen parantezlerden çıkarın:

5. Köşeli ayraçtan sıfıra eşitleyerek fonksiyonu bulun

Bu ayrılabilir bir denklemdir:

Değişkenleri bölün ve şunu elde edin:

Neresi . .

6. Alınan değeri değiştirin v denkleme (4. maddeden):

ve fonksiyonu bulun Bu ayrılabilir bir denklemdir:

7. Genel çözümü şu şekilde yazın: , yani .

örnek 1

Denklemin belirli bir çözümünü bulun y" = -2y +3 = 0 Eğer y=1 de x=0

Karar. ikame ile çözelim y=uv,.y"=u"v + uv"

değiştirme y ve y" bu denklemde, elde ederiz

Denklemin sol tarafında ikinci ve üçüncü terimleri gruplayarak ortak çarpanı çıkarıyoruz. sen parantez dışında

Parantez içindeki ifadeyi sıfıra eşitleriz ve ortaya çıkan denklemi çözdükten sonra işlevi buluruz. v = v(x)

Ayrılmış değişkenleri olan bir denklemimiz var. Bu denklemin her iki parçasını da entegre ediyoruz: Fonksiyonu bulun v:

Elde edilen değeri değiştirin v denkleme girersek:

Bu ayrılmış bir değişken denklemidir. Denklemin her iki bölümünü de entegre ediyoruz: fonksiyonu bulalım u = u(x,c) Genel bir çözüm bulalım: Başlangıç ​​koşullarını sağlayan denklemin özel bir çözümünü bulalım. y=1 de x=0:

III. Daha yüksek mertebeden diferansiyel denklemler

3.1. Temel kavramlar ve tanımlar

İkinci dereceden bir diferansiyel denklem, ikinci dereceden daha yüksek olmayan türevleri içeren bir denklemdir. Genel durumda, ikinci mertebeden diferansiyel denklem şu şekilde yazılır: F(x,y,y",y") = 0

İkinci dereceden bir diferansiyel denklemin genel çözümü, iki keyfi sabit içeren formun bir fonksiyonudur. C1 ve C2.

İkinci dereceden bir diferansiyel denklemin özel bir çözümü, bazı keyfi sabit değerleri için genel olandan elde edilen bir çözümdür. C1 ve C2.

3.2. İkinci mertebeden lineer homojen diferansiyel denklemler sabit oranlar.

Sabit katsayılı ikinci mertebeden lineer homojen diferansiyel denklem formun denklemi denir y" + py" + qy = 0, nerede p ve q sabit değerlerdir.

Sabit katsayılı ikinci dereceden homojen diferansiyel denklemleri çözmek için algoritma

1. Diferansiyel denklemi şu şekilde yazın: y" + py" + qy = 0.

2. Belirten karakteristik denklemini oluşturun y" vasıtasıyla r2, y" vasıtasıyla r, y 1: r2 + pr +q = 0

Ya türev ile ilgili olarak zaten çözülmüştür ya da türev ile ilgili olarak çözülebilirler. .

Aralıktaki türdeki diferansiyel denklemlerin genel çözümü X verilen , bu eşitliğin her iki tarafının integrali alınarak bulunabilir.

Almak .

Belirsiz integralin özelliklerine bakarsak, istenen genel çözümü buluruz:

y = F(x) + C,

nerede f(x)- biri ters türev fonksiyonlar f(x) arasında X, a İle keyfi bir sabittir.

Lütfen çoğu görevde aralığın X belirtme. Bu, herkes için bir çözüm bulunması gerektiği anlamına gelir. x, bunun için ve istenen işlev y, ve orijinal denklem mantıklı.

Başlangıç ​​koşulunu sağlayan bir diferansiyel denklemin belirli bir çözümünü hesaplamanız gerekiyorsa y(x0) = y0, daha sonra genel integrali hesapladıktan sonra y = F(x) + C, sabitin değerini belirlemek hala gereklidir C=C0 başlangıç ​​koşulu kullanılır. Yani, bir sabit C=C0 denklemden belirlenir F(x 0) + C = y 0, ve diferansiyel denklemin istenen özel çözümü şu şekilde olacaktır:

y = F(x) + C0.

Bir örnek düşünün:

Diferansiyel denklemin genel çözümünü bulun, sonucun doğruluğunu kontrol edin. Bu denklemin başlangıç ​​koşulunu sağlayacak özel bir çözümünü bulalım.

Karar:

Verilen diferansiyel denklemi entegre ettikten sonra şunu elde ederiz:

.

Bu integrali parçalara göre entegrasyon yöntemiyle alıyoruz:

O., diferansiyel denklemin genel bir çözümüdür.

Sonucun doğru olduğundan emin olmak için kontrol edelim. Bunu yapmak için bulduğumuz çözümü verilen denklemde yerine koyarız:

.

yani, orijinal denklem bir özdeşliğe dönüşür:

bu nedenle diferansiyel denklemin genel çözümü doğru olarak belirlenmiştir.

Bulduğumuz çözüm, argümanın her gerçek değeri için diferansiyel denklemin genel çözümüdür. x.

Geriye, başlangıç ​​koşulunu sağlayacak olan ODE'nin belirli bir çözümünü hesaplamak kalıyor. Başka bir deyişle, sabitin değerini hesaplamak gerekir. İle, eşitliğin doğru olacağı:

.

.

Ardından, ikame C = 2 ODE'nin genel çözümüne, başlangıç ​​koşulunu sağlayan diferansiyel denklemin özel bir çözümünü elde ederiz:

.

Adi diferansiyel denklem denklemin 2 bölümünü aşağıdakilere bölerek türev ile ilgili olarak çözülebilir f(x). Bu dönüşüm, eğer eşdeğer olacaktır f(x) hiçbiri için sıfıra gitmez x diferansiyel denklemin integrasyon aralığından X.

Argümanın bazı değerleri için durumlar muhtemeldir. x ∈ X fonksiyonlar f(x) ve g(x) aynı anda sıfıra çevirin. İçin benzer değerler x diferansiyel denklemin genel çözümü herhangi bir fonksiyondur y, bunlarda tanımlanmıştır, çünkü .

Argümanın bazı değerleri için ise x ∈ X koşul karşılanmıştır, yani bu durumda ODE'nin hiçbir çözümü yoktur.

diğerleri için x aralıktan X diferansiyel denklemin genel çözümü, dönüştürülmüş denklemden belirlenir.

Örneklere bakalım:

örnek 1

ODE'nin genel çözümünü bulalım: .

Karar.

Temel temel işlevlerin özelliklerinden, doğal logaritma işlevinin, argümanın negatif olmayan değerleri için tanımlandığı, dolayısıyla ifadenin alanı olduğu açıktır. günlük(x+3) bir aralık var x > -3 . Bu nedenle, verilen diferansiyel denklem için mantıklı x > -3 . Argümanın bu değerleri ile ifade x + 3 kaybolmaz, bu nedenle türev ile ilgili olarak ODE'yi 2 parçaya bölerek çözebiliriz. x + 3.

alırız .

Daha sonra, türevle ilgili olarak çözülen sonuçtaki diferansiyel denklemi entegre ederiz: . Bu integrali almak için, diferansiyelin işareti altında toplama yöntemini kullanıyoruz.