Sa panahon ng pagkakaroon ng Academy of Sciences sa Russia, tila, isa sa mga pinakatanyag na miyembro nito ay ang mathematician na si Leonhard Euler (1707-1783).

Siya ang una na sa kanyang trabaho ay nagsimulang magtayo ng isang pare-parehong edipisyo ng infinitesimal analysis. Pagkatapos lamang ng kanyang pagsasaliksik, na binalangkas sa malalaking volume ng kanyang trilogy na "Introduction to Analysis", "Differential Calculus" at "Integral Calculus", naging ganap na nabuong agham ang pagsusuri - isa sa pinakamalalim mga nakamit na pang-agham sangkatauhan.

Si Leonhard Euler ay ipinanganak sa Basel, Switzerland noong Abril 15, 1707. Ang kanyang ama, si Pavel Euler, ay isang pastor sa Richen (malapit sa Basel) at may ilang kaalaman sa matematika. Inilaan ng ama ang kanyang anak na lalaki para sa isang espirituwal na karera, ngunit siya mismo, na interesado sa matematika, ay nagturo nito sa kanyang anak, umaasa na ito ay magiging kapaki-pakinabang sa kanya bilang isang kawili-wili at kapaki-pakinabang na aralin. Sa pagtatapos ng kanyang pag-aaral sa bahay, ang labing tatlong taong gulang na si Leonard ay ipinadala ng kanyang ama sa Basel upang mag-aral ng pilosopiya.

Sa iba pang mga paksa sa faculty na ito ay pinag-aralan elementarya matematika at astronomiya, na itinuro ni Johann Bernoulli Bernoulli sa lalong madaling panahon napansin ang talento ng batang tagapakinig at nagsimulang mag-aral sa kanya nang hiwalay.

Matapos matanggap ang isang master's degree noong 1723, pagkatapos maghatid ng isang talumpati sa Latin sa pilosopiya nina Descartes at Newton, si Leonard, sa kahilingan ng kanyang ama, ay nagsimulang mag-aral ng mga wikang oriental at teolohiya. Ngunit lalo siyang naaakit sa matematika. Nagsimulang bisitahin ni Euler ang bahay ng kanyang guro, at sa pagitan niya at ng mga anak ni Johann Bernoulli - Nikolai
Daniel - bumangon ang pagkakaibigan na may napakahalagang papel sa buhay ni Euler.

Noong 1725, inanyayahan ang magkapatid na Bernoulli na maging miyembro ng St. Petersburg Academy of Sciences, na itinatag kamakailan ni Empress Catherine I. Nang umalis, nangako si Bernoulli kay Leonard na aabisuhan siya kung may angkop na trabaho para sa kanya sa Russia. Sa susunod na taon, iniulat nila na mayroong isang lugar para sa Euler, ngunit, gayunpaman, bilang isang physiologist sa departamento ng medikal ng akademya. Nang malaman ito, agad na nag-enrol si Leonard bilang isang medikal na estudyante sa Unibersidad ng Basel. Masipag at matagumpay na nag-aaral
Science Faculty of Medicine, naghahanap ng oras si Euler para sa mga pag-aaral sa matematika. Sa panahong ito, nagsulat siya ng isang disertasyon na inilathala nang maglaon, noong 1727, sa Basel, sa pagpapalaganap ng tunog at isang pag-aaral sa paglalagay ng mga palo sa isang barko.

Petersburg ang may pinakamaraming kanais-nais na mga kondisyon para sa pamumulaklak ng henyo ni Euler: materyal na seguridad, ang pagkakataong gawin ang gusto mo, ang pagkakaroon ng taunang journal para sa paglalathala ng mga gawa. Ang pinakamalaking pangkat ng mga espesyalista sa larangan ng mga agham ng matematika sa mundo noon ay nagtrabaho dito, na kinabibilangan ni Daniil Bernoulli (namatay ang kanyang kapatid na si Nikolai noong 1726), ang maraming nalalaman na si H. Goldbach, kung saan konektado si Euler ng mga karaniwang interes sa teorya ng numero at iba pang isyu, ang may-akda ng mga gawa ayon sa trigonometrya F.Kh. Mayer, astronomer at geographer na si Zh.N. Delisle, mathematician at physicist na si G. V. Kraft at iba pa. Mula noon, ang St. Petersburg Academy ay naging isa sa mga pangunahing sentro ng matematika sa mundo.

Ang mga natuklasan ni Euler, na, salamat sa kanyang buhay na buhay na sulat, ay madalas na kilala bago pa mailathala, ang kanyang pangalan ay higit na kilala. Ang kanyang posisyon sa Academy of Sciences ay nagpapabuti: noong 1727 nagsimula siyang magtrabaho kasama ang ranggo ng adjunct, iyon ay, ang junior academician, at noong 1731 siya ay naging isang propesor ng physics, iyon ay, isang buong miyembro ng Academy. Sa 1733 natanggap niya ang upuan ng mas mataas na matematika, na dati nang hawak ni D. Bernoulli, na bumalik sa parehong taon sa Basel. Ang paglaki ng awtoridad ni Euler ay nakakita ng kakaibang pagmuni-muni sa mga liham sa kanya ng kanyang guro na si Johann Bernoulli. Noong 1728, tinukoy ni Bernoulli ang "pinaka natutunan at matalinong binata na si Leonhard Euler", noong 1737 - sa "pinakatanyag at matalinong matematiko", at noong 1745 - sa "walang kapantay na Leonhard Euler - ang pinuno ng mga mathematician."

Noong 1735, kinailangang kumpletuhin ng akademya ang isang napaka mahirap na trabaho sa pamamagitan ng pagkalkula ng trajectory ng isang kometa. Ayon sa mga akademiko, tumagal ng ilang buwan ng paggawa upang magawa ito. Ginawa ito ni Euler sa loob ng tatlong araw at natapos ang trabaho, ngunit bilang isang resulta ay nagkasakit siya ng isang nerbiyos na lagnat na may pamamaga ng kanyang kanang mata, na nawala sa kanya. Di-nagtagal pagkatapos noon, noong 1736, lumitaw ang dalawang volume ng kanyang analytical mechanics. Malaki ang pangangailangan para sa aklat na ito; maraming mga artikulo ang isinulat sa iba't ibang mga katanungan ng mekanika, ngunit walang magandang treatise sa mekanika.

Noong 1738, lumitaw ang dalawang bahagi ng isang panimula sa aritmetika Aleman, noong 1739 - isang bagong teorya ng musika. Pagkatapos, noong 1840, sumulat si Euler ng isang sanaysay tungkol sa pag-agos at pag-agos ng mga dagat, na nakoronahan ng isang-katlo ng premyo ng French Academy; ang iba pang dalawang katlo ay iginawad kina Daniil Bernoulli at Maclaurin para sa mga sanaysay sa parehong paksa.

Sa pagtatapos ng 1740, ang kapangyarihan sa Russia ay nahulog sa mga kamay ng regent na si Anna Leopoldovna at ang kanyang entourage. Isang nakababahalang sitwasyon ang nabuo sa kabisera. Sa oras na ito, nagpasya ang Prussian King Frederick II na buhayin ang Society of Sciences sa Berlin, na itinatag ni Leibniz, na halos hindi aktibo sa loob ng maraming taon. Sa pamamagitan ng kanyang embahador sa Petersburg, inimbitahan ng hari si Euler sa Berlin. Euler, na naniniwalang "nagsimulang lumitaw ang sitwasyon
hindi sigurado," tinanggap niya ang imbitasyon.

Sa Berlin, unang nagtipon si Euler sa paligid niya ng isang maliit na lipunang pang-agham, at pagkatapos ay inanyayahan sa bagong naibalik na Royal Academy of Sciences at hinirang na dean ng departamento ng matematika. Noong 1743 inilathala niya ang lima sa kanyang mga gunita, apat sa kanila sa matematika. Ang isa sa mga gawaing ito ay kapansin-pansin sa dalawang aspeto. Ito ay nagpapahiwatig ng isang paraan upang pagsamahin ang mga rational fraction sa pamamagitan ng pagpapalawak ng mga ito sa
mga partial fraction at, bilang karagdagan, ang karaniwang paraan na ngayon ng pagsasama ng mas mataas na pagkakasunud-sunod na mga linear na ordinaryong equation na may pare-parehong coefficient ay inilarawan.

Sa pangkalahatan, ang karamihan sa gawain ni Euler ay nakatuon sa pagsusuri. Pinasimple at dinagdagan ni Euler ang buong malalaking seksyon ng pagsusuri ng mga infinitesimal, pagsasama ng mga function, ang teorya ng serye, mga differential equation, na nasimulan na bago siya, na nakuha nila ang humigit-kumulang na anyo na higit na napanatili hanggang sa araw na ito. Sinimulan din ni Euler ang isang buong bagong kabanata ng pagsusuri, ang calculus ng mga pagkakaiba-iba. Ang inisyatiba niyang ito ay agad na kinuha ni Lagrange at sa gayon ay nabuo ang isang bagong agham.

Noong 1744, inilathala ni Euler ang tatlong gawa sa paggalaw ng mga bituin sa Berlin: ang una ay ang teorya ng paggalaw ng mga planeta at kometa, na naglalaman ng isang pagtatanghal ng paraan para sa pagtukoy ng mga orbit mula sa ilang mga obserbasyon; ang pangalawa at pangatlo ay tungkol sa paggalaw ng mga kometa.

Si Euler ay nagtalaga ng pitumpu't limang papel sa geometry. Ang ilan sa kanila, bagaman kawili-wili, ay hindi masyadong mahalaga. Ang ilan ay gumawa lamang ng isang panahon. Una, dapat ituring si Euler na isa sa mga pioneer ng pananaliksik sa geometry sa espasyo sa pangkalahatan. Siya ang unang nagbigay ng magkakaugnay na paglalahad ng analytic geometry sa espasyo (sa "Introduction to Analysis") at, sa partikular, ipinakilala ang tinatawag na mga anggulo ng Euler, na ginagawang posible na pag-aralan ang mga pag-ikot.
katawan sa paligid ng punto.

Sa kanyang akda noong 1752 na "Proof of some remarkable properties to which bodies limited by flat faces are subject", nakita ni Euler ang isang kaugnayan sa pagitan ng bilang ng mga vertices, mga gilid at mga mukha ng isang polyhedron: ang kabuuan ng bilang ng mga vertices at mga mukha ay katumbas ng ang bilang ng mga gilid kasama ang dalawa. Ipinagpalagay ni Descartes ang gayong kaugnayan, ngunit pinatunayan ito ni Euler sa kanyang mga alaala. Ito ay, sa isang diwa, ang unang pangunahing teorama sa kasaysayan ng matematika sa topolohiya - ang pinakamalalim na bahagi ng geometry.

Sa pagharap sa mga tanong tungkol sa repraksyon ng mga sinag ng liwanag at pagsulat ng maraming memoir sa paksang ito, naglathala si Euler ng isang sanaysay noong 1762, na nagmumungkahi ng pagtatayo ng mga kumplikadong lente upang mabawasan ang chromatic aberration. Ang English artist na si Doldond, na nakatuklas ng dalawang uri ng salamin na may magkaibang repraksyon, ay sumunod sa mga tagubilin ni Euler at nagtayo ng unang achromatic lens.

Noong 1765, sumulat si Euler ng isang sanaysay kung saan nalutas niya ang mga differential equation ng rotation matibay na katawan, na tinatawag na Euler equation ng pag-ikot ng isang matibay na katawan.

Sumulat ang siyentipiko ng maraming mga gawa sa baluktot at panginginig ng boses ng nababanat na mga baras. Ang mga tanong na ito ay kawili-wili hindi lamang sa matematika kundi pati na rin sa mga praktikal na termino.

Ibinigay ni Frederick the Great ang mga tagubilin ng siyentipiko na puro engineering. Kaya, noong 1749, inutusan niya siya na siyasatin ang Funo Canal sa pagitan ng Havel at Oder at gumawa ng mga rekomendasyon para sa pagwawasto sa mga pagkukulang ng daluyan ng tubig na ito. Sumunod, inutusan siyang ayusin ang suplay ng tubig sa Sanssouci.

Nagresulta ito sa mahigit dalawampung memoir sa hydraulics na isinulat ni Euler sa magkaibang panahon. Ang mga equation ng hydrodynamics ng unang pagkakasunod-sunod na may mga partial derivatives ng mga projection ng velocity, density sa pressure ay tinatawag na Euler's hydrodynamic equation.

Pagkatapos umalis sa St. Petersburg, pinanatili ni Euler ang pinakamalapit na koneksyon sa Russian Academy of Sciences, kabilang ang opisyal: siya ay hinirang na isang honorary member, at isang malaking taunang pensiyon ang natukoy para sa kanya, at siya, sa kanyang bahagi, ay nagsasagawa ng mga obligasyon tungkol sa karagdagang kooperasyon. Bumili siya ng mga libro, pisikal at astronomical na instrumento para sa aming Academy, mga piling empleyado sa ibang mga bansa, na nagbibigay ng mga detalyadong katangian ng mga posibleng kandidato, na-edit ang mathematical department ng mga akademikong tala, kumilos bilang arbiter sa siyentipikong
mga pagtatalo sa pagitan ng mga siyentipiko ng St. Petersburg, nagpadala ng mga paksa para sa mga pang-agham na kumpetisyon, pati na rin ang impormasyon tungkol sa bago mga natuklasang siyentipiko atbp. Ang mga mag-aaral mula sa Russia ay nanirahan sa bahay ni Euler sa Berlin: M. Sofronov, S. Kotelnikov, S. Rumovsky, ang huli ay naging mga akademiko.

Mula sa Berlin, si Euler, sa partikular, ay nakipag-ugnayan kay Lomonosov, kung saan ang gawain ay lubos niyang pinahahalagahan ang masayang kumbinasyon ng teorya at eksperimento. Noong 1747, nagbigay siya ng isang napakatalino na pagsusuri ng mga artikulo ni Lomonosov sa pisika at kimika na ipinadala sa kanya para sa konklusyon, na lubos na nabigo sa maimpluwensyang opisyal ng akademiko na si Schumacher, na labis na nagalit kay Lomonosov.

Sa pakikipagsulatan ni Euler sa kanyang kaibigan na si Goldbach, Academician ng St. Petersburg Academy of Sciences, nakita namin ang dalawang sikat na "Goldbach problems": upang patunayan na ang bawat kakaibang natural na numero ay ang kabuuan ng tatlo mga pangunahing numero, at bawat even na numero ay dalawa. Ang una sa mga pahayag na ito ay napatunayan na sa ating panahon (1937) ng Academician I. M. Vinogradov sa tulong ng isang napaka-kahanga-hangang pamamaraan, habang ang pangalawa ay hindi pa napatunayan sa ngayon.

Si Euler ay hinila pabalik sa Russia. Noong 1766, sa pamamagitan ng embahador sa Berlin, si Prince Dolgorukov, nakatanggap siya ng imbitasyon mula kay Empress Catherine II na bumalik sa Academy of Sciences sa anumang mga termino. Sa kabila ng panghihikayat na manatili, tinanggap niya ang imbitasyon at dumating sa St. Petersburg noong Hunyo.

Binigyan ng Empress si Euler ng pondo para makabili ng bahay. Ang panganay sa kanyang mga anak na lalaki, si Johann Albrecht, ay naging isang akademiko sa larangan ng pisika, si Karl ay kumuha ng mataas na posisyon sa departamento ng medikal, si Christopher, na ipinanganak sa Berlin, si Frederick II ay hindi pinakawalan nang mahabang panahon kasama ang Serbisyong militar, at kinailangan ito ng interbensyon ni Catherine II para makapunta siya sa kanyang ama. Si Christopher ay hinirang na direktor ng Sestroretsk Armory
pabrika.

Noong 1738, si Euler ay naging bulag sa isang mata, at noong 1771, pagkatapos ng isang operasyon, halos nawala ang kanyang paningin at maaari lamang magsulat gamit ang tisa sa isang black board, ngunit salamat sa kanyang mga mag-aaral at katulong. I.A. Euler, A. I. Loksel, V.L. Kraft, S.K. Kotelnikov, M.E. Si Golovin, at higit sa lahat N. I. Fuss, na dumating mula sa Basel, ay patuloy na nagtrabaho nang hindi gaanong masinsinang kaysa dati.

Si Euler, kasama ang kanyang makikinang na kakayahan at kahanga-hangang memorya, ay nagpatuloy sa paggawa, na nagdidikta ng kanyang mga bagong memoir. Mula 1769 hanggang 1783 lamang, si Euler ay nagdikta ng humigit-kumulang 380 na artikulo at sanaysay, at sa kanyang buhay ay sumulat siya ng mga 900 mga gawaing siyentipiko.

Ang akda ni Euler noong 1769 na "On Orthogonal Trajectories" ay naglalaman ng mga makikinang na ideya tungkol sa pagkuha, gamit ang isang function ng isang kumplikadong variable, mula sa mga equation ng dalawang magkaparehong orthogonal na pamilya ng mga kurba sa isang ibabaw (ibig sabihin, tulad ng mga linya bilang meridian at parallel sa isang globo), isang walang katapusang bilang ng iba pang magkaparehong orthogonal na pamilya. Ang gawaing ito ay naging napakahalaga sa kasaysayan ng matematika.

Sa susunod na gawain ng 1771, "Sa mga katawan na ang ibabaw ay maaaring maging isang eroplano," pinatunayan ni Euler ang sikat na teorama na ang anumang ibabaw na maaaring makuha lamang sa pamamagitan ng pagyuko ng eroplano, ngunit hindi ito iniunat at hindi pinipiga ito, kung ito ay hindi conical at hindi cylindrical , ay isang set ng mga tangent sa ilang spatial curve.

Ang parehong kapansin-pansin ay ang gawa ni Euler sa mga projection ng mapa.

Maaaring isipin ng isa kung ano ang isang paghahayag para sa mga mathematician noong panahong iyon ay hindi bababa sa trabaho ni Euler sa kurbada ng mga ibabaw at sa mga nabubuong ibabaw. Ang mga papel kung saan pinag-aaralan ni Euler ang mga surface mapping na nagpapanatili ng pagkakatulad sa maliit (conformal mappings), batay sa teorya ng mga function ng isang complex variable,
At ang gawain sa polyhedra ay nagsimula ng isang ganap na bagong bahagi ng geometry at, sa pagiging prinsipyo at lalim nito, ay katumbas ng mga natuklasan ni Euclid.

Ang kawalang-pagod at pagpupursige ni Euler sa siyentipikong pananaliksik ay ganoon na lamang na noong 1773, nang masunog ang kanyang bahay at halos lahat ng ari-arian ng kanyang pamilya ay nasawi, ipinagpatuloy niya ang pagdidikta sa kanyang pananaliksik kahit na matapos ang kasawiang ito. Di-nagtagal pagkatapos ng sunog, ang isang bihasang oculist, si Baron Wentzel, ay nagsagawa ng operasyon ng katarata, ngunit hindi nakayanan ni Euler ang tamang oras nang hindi nagbabasa at naging ganap na bulag.

Sa parehong taon, 1773, namatay ang asawa ni Euler, kung kanino siya nanirahan sa loob ng apatnapung taon. Pagkaraan ng tatlong taon, pinakasalan niya ang kanyang kapatid na si Salome Gsell. Ang nakakainggit na kalusugan at isang masayang karakter ay nakatulong kay Euler na “mapaglabanan ang mga suntok ng kapalaran na nahulog sa kanyang kapalaran. Palaging isang pantay na kalooban, malambot at natural na kagalakan, isang uri ng mabait na pangungutya, ang kakayahang makipag-usap nang walang muwang at nakakatuwang pakikipag-usap sa kanya kaya
kaaya-aya pati na rin ang kanais-nais ... "Siya ay minsan sumiklab, ngunit" siya ay hindi
kayang magtanim ng galit sa isang tao sa mahabang panahon.. ”- paggunita ni N. Fuss.

Si Euler ay patuloy na napapalibutan ng maraming mga apo, madalas na isang bata ang nakaupo sa kanyang mga bisig, at isang pusa ang nakahiga sa kanyang leeg. Siya mismo ay nagtrabaho sa mga bata sa matematika. At ang lahat ng ito ay hindi humadlang sa kanya na magtrabaho.

Noong Setyembre 18, 1783, namatay si Euler sa apoplexy sa presensya ng kanyang mga katulong, mga propesor na sina Kraft at Leksel. Siya ay inilibing sa Smolensk Lutheran cemetery.Inutusan ng Academy ang sikat na iskultor na si Zh.D. Si Rashett, na kilalang-kilala si Euler, ay nakatanggap ng marble bust ng namatay, at ipinakita ni Prinsesa Dashkova ang isang marble pedestal.

Hanggang sa katapusan ng ika-18 siglo, I.A. Si Euler, na pinalitan ng N.I. Si Fuss, na nagpakasal sa anak na babae ng huli, at noong 1826 ang anak ni Fuss na si Pavel Nikolaevich, upang ang organisasyonal na bahagi ng buhay ng Academy sa loob ng halos isang daang taon ay namamahala sa mga inapo ni Leonhard Euler. Ang mga tradisyon ng Euler ay nagkaroon din ng malakas na impluwensya sa mga mag-aaral.
Chebyshev: A.M. Lyapunova, A.N. Korkina, E.I. Zolotareva, A.A. Markov at iba pa, na tinukoy ang mga pangunahing tampok ng paaralang matematika ng St. Petersburg.

Walang siyentipiko na ang pangalan ay binanggit sa pang-edukasyon na panitikan sa matematika na kasingdalas ng pangalan ni Euler. Kahit sa mataas na paaralan, ang logarithms at trigonometry ay pinag-aaralan pa rin sa isang malaking lawak "ayon kay Euler."

Natagpuan ni Euler ang mga patunay ng lahat ng teorema ni Fermat, ipinakita ang kasinungalingan ng isa sa mga ito, at pinatunayan ang tanyag na Huling Teorama ni Fermat para sa "tatlo" at "apat". Pinatunayan din niya na ang anumang prime number ng form na 4n + 1 ay palaging nabubulok sa kabuuan ng mga parisukat ng iba pang dalawang numero.

Si Euler ay nagsimulang patuloy na bumuo ng teorya ng elementarya. Simula sa teorya ng mga nalalabi sa kapangyarihan, pagkatapos ay lumipat siya sa mga parisukat na nalalabi. Ito ang tinatawag na quadratic law of reciprocity. Si Euler ay gumugol din ng maraming taon sa paglutas ng mga hindi tiyak na equation ng ikalawang antas sa dalawang hindi alam.

Sa lahat ng tatlong pangunahing tanong na ito, na sa loob ng higit sa dalawang siglo matapos mabuo ni Euler ang karamihan sa teorya ng elementarya, napakalayo ang narating ng siyentipiko, ngunit sa lahat ng tatlo ay nabigo siya. Nakatanggap sina Gauss at Lagrange ng kumpletong patunay.

Sinimulan din ni Euler ang paglikha ng pangalawang bahagi ng teorya ng mga numero - ang analytic theory ng mga numero, kung saan ang pinakamalalim na lihim ng mga integer, halimbawa, ang pamamahagi ng mga prime number sa isang serye ng lahat ng natural na numero, ay nakuha mula sa pagsasaalang-alang ng ang mga katangian ng ilang analytic function.

Ang teorya ng analytic number na nilikha ni Euler ay patuloy na umuunlad ngayon.

Great Soviet Encyclopedia: Euler (Euler) Leonhard, mathematician, mekaniko at physicist. Genus. sa pamilya ng isang mahirap na pastor na si Paul Euler. Natanggap niya ang kanyang edukasyon muna mula sa kanyang ama (na noong kanyang kabataan ay nag-aral ng matematika sa ilalim ng patnubay ni J. Bernoulli), at noong 1720-24 sa Unibersidad ng Basel, kung saan siya nag-aral sa mga lektura sa matematika ni I. Bernoulli.
Sa con. 1726 E. ay inanyayahan sa St. Petersburg Academy of Sciences at noong Mayo 1727 ay dumating sa St. Petersburg. Sa bagong organisadong akademya E. natagpuan ang mga kanais-nais na kondisyon para sa aktibidad na pang-agham, na nagpapahintulot sa kanya na agad na magsimulang mag-aral ng matematika at mekanika. Para sa 14 na taon ng unang yugto ng kanyang buhay sa St. Petersburg E. naghanda para sa publikasyon tungkol sa 80 mga gawa at nai-publish ng higit sa 50. Sa St. Petersburg, nag-aral siya ng Russian.
E. lumahok sa maraming aktibidad ng St. Petersburg Academy of Sciences. Nagbigay siya ng mga lektura sa mga mag-aaral ng unibersidad na pang-akademiko, lumahok sa iba't ibang mga teknikal na eksaminasyon, nagtrabaho sa pag-compile ng mga mapa ng Russia, isinulat ang pampublikong magagamit na "Gabay sa Arithmetic" (German edition 1738-40, Russian translation ch. 1-2, 1740). Sa mga espesyal na tagubilin mula sa akademya, naghanda si E. para sa publikasyong Marine Science (mga bahagi 1–2, 1749), isang pangunahing gawain sa teorya ng paggawa ng barko at nabigasyon.
Noong 1741, tinanggap ni E. ang alok ng hari ng Prussian na si Frederick II na lumipat sa Berlin, kung saan gaganapin ang muling pagsasaayos ng Academy of Sciences. Sa Berlin Academy of Sciences, pumalit si E. bilang direktor ng klase ng matematika at miyembro ng lupon, at pagkamatay ng unang pangulo nito, si P.L. Si Maupertuis sa loob ng ilang taon (mula noong 1759) ay talagang pinamunuan ang akademya. Sa loob ng 25 taon ng kanyang buhay sa Berlin, naghanda siya ng humigit-kumulang 300 mga gawa, kasama ng mga ito ang ilang malalaking monograph.
Ang pamumuhay sa Berlin, E. ay hindi tumigil sa pagtatrabaho nang masinsinan para sa St. Petersburg Academy of Sciences, na pinananatili ang titulo ng honorary member nito. Nagsagawa siya ng malawak na pang-agham at pang-agham-organisasyon na sulat, sa partikular, na tumutugma sa M.V. Lomonosov, na lubos niyang pinahahalagahan. E. na-edit ang matematikal na departamento ng Russian akademikong pang-agham na katawan, kung saan sa panahong ito ay nai-publish niya ang halos kasing dami ng mga artikulo tulad ng sa "Memoirs" ng Berlin Academy of Sciences. Siya ay aktibong lumahok sa pagsasanay ng mga Russian mathematician; ang mga hinaharap na akademiko na si S.K. ay ipinadala sa Berlin upang mag-aral sa ilalim ng kanyang pamumuno. Kotelnikov, S.Ya. Rumovsky at M. Sofronov. E. ay nagbigay ng malaking tulong sa St. Petersburg Academy of Sciences, pagkuha para sa kanya siyentipikong panitikan at kagamitan, pakikipag-ayos sa mga kandidato para sa mga posisyon sa akademya, atbp.
Hulyo 17 (28), 1766 E. bumalik sa St. Petersburg kasama ang kanyang pamilya. Sa kabila ng kanyang katandaan at halos ganap na pagkabulag na sumapit sa kanya, siya ay nagtrabaho nang produktibo hanggang sa katapusan ng kanyang buhay. Sa loob ng 17 taon ng kaniyang ikalawang pananatili sa St. Petersburg, naghanda siya ng mga 400 obra, kasama ng mga ito ang ilang malalaking aklat. E. patuloy na lumahok sa gawaing pang-organisasyon ng akademya. Noong 1776, isa siya sa mga eksperto sa proyekto ng isang solong-arko na tulay sa kabila ng Neva, na iminungkahi ng I.P. Kulibin, at isa sa buong komisyon ang nagbigay ng malawak na suporta sa proyekto.
Merit E. bilang pinakamalaking scientist at organizer siyentipikong pananaliksik tumanggap ng mataas na papuri sa panahon ng kanyang buhay. Bilang karagdagan sa mga akademya ng St. Petersburg at Berlin, miyembro siya ng pinakamalaking institusyong pang-agham: ang Paris Academy of Sciences, ang Royal Society of London at iba pa.
Isa sa mga natatanging tampok ng pagkamalikhain E. - ang pambihirang produktibidad nito. Sa panahon lamang ng buhay ni E., humigit-kumulang 550 sa kanyang mga aklat at artikulo ang nai-publish (ang listahan ng mga gawa ni E. ay naglalaman ng humigit-kumulang 850 mga pamagat). Noong 1909, ang Swiss Society of Natural Sciences ay nagsimulang maglathala ng kumpletong mga gawa ng E., na natapos noong 1975; ito ay binubuo ng 72 tomo. Ang malaking interes ay ang napakalaking pang-agham na sulat na E. (mga 3,000 titik), bahagyang nai-publish pa rin.
Ang hanay ng mga pag-aaral ni E. ay hindi pangkaraniwang malawak, na sumasaklaw sa lahat ng mga departamento ng kontemporaryong matematika at mekanika, ang teorya ng pagkalastiko, matematikal na pisika, optika, teorya ng musika, teorya ng makina, ballistics, agham ng dagat, negosyo ng insurance, atbp. Humigit-kumulang 3/5 ng gawain ni E. ay nauugnay sa matematika, ang natitirang 2/5 pangunahin sa mga aplikasyon nito. Ang kanyang mga resulta at ang mga resulta na nakuha ng iba, E. systematized sa isang bilang ng mga klasikong monographs, nakasulat na may kamangha-manghang kalinawan at ibinigay na may mahalagang mga halimbawa. Ito ay, halimbawa, “Mechanics, or the Science of Motion, Set Out Analytically” (vol. 1-2, 1736), “Introduction to Analysis” (vol. 1-2, 1748), “Differential Calculus” (1755). ), "Theory motion of a rigid body" (1765), "Universal Arithmetic" (vol. 1-2, 1768-69), na dumaan sa humigit-kumulang 30 edisyon sa 6 na wika, "Integral Calculus" (vol. 1-3 , 1768-70, v. 4 , 1794) at iba pa. Noong ika-18 siglo, at bahagyang noong ika-19 na siglo. magagamit sa publiko "Mga liham sa iba't ibang pisikal at pilosopikal na bagay, na isinulat sa isang prinsesa ng Aleman ..." (mga bahagi 1-3, 1768-74), na dumaan sa mahigit 40 edisyon sa 10 wika, ay nakakuha ng napakalaking katanyagan. Karamihan sa nilalaman ng mga monograp ni E. ay isinama noon sa mga aklat-aralin para sa mas mataas at bahagyang sekondaryang paaralan. Imposibleng ilista ang lahat ng theorems, pamamaraan at formula ng E. na ginamit hanggang ngayon, kung saan iilan lamang ang lumilitaw sa literatura sa ilalim ng kanyang pangalan [tingnan, halimbawa, ang Euler na paraan ng mga putol na linya, ang Euler substitution , ang Euler constant, ang Euler equation, ang Euler equation (sa hydromechanics), ang Euler formula, Euler function, Euler number sa mathematics, Euler number, Euler-Maclaurin formula, Euler-Fourier formula, Euler na katangian, Euler integrals, Euler angles ].
Sa "Mechanics" E. unang binalangkas ang dynamics ng punto gamit ang mathematical analysis. Sa 1st volume ng gawaing ito, ang malayang paggalaw ng isang punto sa ilalim ng pagkilos ng iba't ibang pwersa, kapwa sa vacuum at sa isang daluyan na may pagtutol, ay isinasaalang-alang; sa ika-2 - ang paggalaw ng isang punto kasama ang isang naibigay na linya o kasama ang isang ibinigay na ibabaw; pinakamahalaga para sa pagbuo ng celestial mechanics ay nagkaroon ng isang kabanata sa paggalaw ng isang punto sa ilalim ng pagkilos ng isang sentro. pwersa. Noong 1744 una siyang nagbalangkas ng tama mekanikal na prinsipyo hindi bababa sa pagkilos at ipinakita ang mga unang aplikasyon nito. Sa "The Theory of Motion of a Rigid Body" binuo ni E. ang kinematics at dynamics ng isang matibay na katawan at ibinigay ang equation ng pag-ikot nito sa paligid ng isang nakapirming punto, na naglalagay ng pundasyon para sa teorya ng mga gyroscope. Sa kanyang teorya ng barko E. gumawa ng isang mahalagang kontribusyon sa teorya ng katatagan. Ang mga natuklasan ni E. ay makabuluhan sa celestial mechanics (halimbawa, sa theory of the motion of the moon), continuum mechanics (ang mga pangunahing equation ng motion ng ideal fluid sa anyo ng E. at sa tinatawag na Lagrange mga variable, mga oscillation ng gas sa mga tubo, atbp.). Sa optika, ibinigay ni E. (1747) ang formula para sa isang biconvex lens at iminungkahi ang isang paraan para sa pagkalkula ng refractive index ng isang medium. E. sumunod sa wave theory ng liwanag. Pinaniwalaan niya iyon iba't ibang kulay tumutugma sa iba't ibang wavelength ng liwanag. E. iminungkahing mga paraan upang maalis ang chromatic aberrations ng mga lente at sa ikatlong bahagi ng "Dioptrics" ay nagbigay ng mga pamamaraan para sa pagkalkula ng mga optical na bahagi ng mikroskopyo. E. nakatuon ang isang malawak na serye ng mga gawa, na nagsimula noong 1748, sa matematikal na pisika: mga problema ng vibration ng isang string, plato, lamad, atbp. espesyal. function, differential geometry, atbp. Marami sa mga pagtuklas sa matematika ni E. ay nakapaloob sa mga akdang ito.
Ang pangunahing negosyo ng E. bilang isang matematiko ay ang pagbuo ng mathematical analysis. Inilatag niya ang mga pundasyon ng ilang mga disiplina sa matematika, na nasa kanilang kamusmusan o ganap na wala sa infinitesimal calculus ng I. Newton, G.V. Leibniz, J. at I. Bernoulli. Kaya, si E. ang unang nagpakilala ng mga function ng isang komplikadong argumento ("Introduction to Analysis", v. 1) at pinag-aralan ang mga katangian ng basic elementary functions ng complex variable (exponential, logarithmic at trigonometric functions); sa partikular, nagmula siya ng mga pormula na may kaugnayan sa mga function ng trigonometriko sa exponential. Trabaho E. sa direksyong ito ay minarkahan ang simula ng teorya ng mga pag-andar ng isang kumplikadong variable.
Si E. ay ang lumikha ng calculus of variations, na inilarawan sa akdang "Paraan ng paghahanap ng mga hubog na linya na may mga katangian ng maximum o minimum ..." (1744). Matapos ang gawain ni J. Lagrange, higit pang binuo ni E. ang calculus ng mga pagkakaiba-iba sa "Integral Calculus" at isang bilang ng mga artikulo. Ang paraan kung saan dinala ni E. noong 1744 kinakailangang kondisyon extremum ng functional - ang Euler equation, ay ang prototype ng mga direktang pamamaraan ng calculus ng mga pagkakaiba-iba ng ika-20 siglo. E. nilikha bilang isang independiyenteng disiplina ang teorya ng mga ordinaryong differential equation at inilatag ang mga pundasyon para sa teorya ng partial differential equation. Narito siya ay nagmamay-ari ng isang malaking bilang ng mga pagtuklas: ang klasikal na paraan ng paglutas linear na equation na may pare-parehong mga coefficient, ang paraan ng pagkakaiba-iba ng mga arbitrary na constant, ang pagpapaliwanag ng mga pangunahing katangian ng Riccati equation, ang pagsasama ng mga linear equation na may mga variable na coefficient gamit ang infinite series, pamantayan para sa mga espesyal na solusyon, ang doktrina ng integrating factor, iba't ibang tinatayang pamamaraan at isang bilang ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga partial differential equation. ibig sabihin. bahagi ng mga resultang ito E. na nakolekta sa kanyang "Integral Calculus".
Pinayaman din ni E. ang differential at integral calculus sa makitid na kahulugan ng salita (halimbawa, ang doktrina ng pagbabago ng mga variable, ang theorem sa homogenous na function, ang konsepto ng double integral at ang pagkalkula ng maraming espesyal na integral). Sa "Differential Calculus" ipinahayag at sinuportahan ni E. kasama ng mga halimbawa ang kanyang paniniwala sa kapakinabangan ng paggamit ng magkakaibang serye at mga iminungkahing pamamaraan para sa pangkalahatan na pagbubuod ng mga serye, na inaasahan ang mga ideya ng modernong mahigpit na teorya ng magkakaibang serye, na nilikha sa pagliko ng ika-19. at ika-20 siglo. Sa karagdagan, E. natanggap sa teorya ng serye ng maraming mga tiyak na mga resulta. Binuksan niya ang tinatawag. ang Euler-Maclaurin summation formula, iminungkahi ang pagbabago ng mga serye na nagtataglay ng kanyang pangalan, tinukoy ang mga kabuuan ng isang malaking bilang ng mga serye, at ipinakilala ang mga bagong mahahalagang uri ng serye sa matematika (halimbawa, trigonometriko serye). Kaakibat din nito ang pananaliksik ni E. sa teorya ng patuloy na mga praksiyon at iba pang mga prosesong walang hanggan.
E. ay ang nagtatag ng teorya ng mga espesyal na pag-andar. Una niyang sinimulan na isaalang-alang ang sine at cosine bilang mga function, at hindi bilang mga segment sa isang bilog. Nakuha niya ang halos lahat ng mga klasikal na pagpapalawak ng elementarya na mga function sa walang katapusang serye at mga produkto. Sa kanyang mga gawa, nilikha ang teorya ng gamma function. Inimbestigahan niya ang mga katangian ng elliptic integral, hyperbolic at cylindrical function, ang zeta function, ilang theta function, integral logarithm, at mahahalagang klase ng mga espesyal na polynomial.
Ayon kay P.L. Inilatag ni Chebyshev, E. ang pundasyon para sa lahat ng pananaliksik na bumubuo sa pangkalahatang bahagi ng teorya ng numero, kung saan nabibilang ang mahigit 100 memoir ng E. Kaya, pinatunayan ni E. ang isang bilang ng mga pahayag na ginawa ni P. Fermat (tingnan, halimbawa, Ang maliit na teorama ni Fermat), na binuo ang mga pundasyon ng teorya ng mga nalalabi at ang teorya ng mga parisukat na anyo, natuklasan (ngunit hindi napatunayan) ang parisukat na batas ng katumbasan (tingnan ang Quadratic Residue) at nag-imbestiga ng ilang mga problema sa pagsusuri ng Diophantine. Sa kanyang mga gawa sa paghahati ng mga numero sa mga termino at sa teorya ng mga pangunahing numero E. unang ginamit ang mga pamamaraan ng pagsusuri, kaya ang lumikha ng analytic theory ng mga numero. Sa partikular, ipinakilala niya ang zeta function at pinatunayan ang tinatawag na. Ang pagkakakilanlan ni E., na nag-uugnay sa mga prime number sa lahat ng natural na numero.
Mahusay na merito E. at sa iba pang larangan ng matematika. Sa algebra, nagmamay-ari siya ng mga gawa sa solusyon sa mga radical ng mga equation mas mataas na antas at tungkol sa mga equation na may dalawang hindi alam, pati na rin ang tinatawag na. E.'s identity tungkol sa apat na parisukat. E. makabuluhang advanced analytic geometry, lalo na ang teorya ng second-order surface. Sa differential geometry, pinag-aralan niya nang detalyado ang mga katangian ng mga geodesic na linya, sa unang pagkakataon ay inilapat ang natural na mga equation ng mga kurba, at higit sa lahat, inilatag niya ang mga pundasyon ng teorya ng mga ibabaw. Ipinakilala niya ang konsepto ng mga pangunahing direksyon sa isang punto sa isang ibabaw, pinatunayan ang kanilang orthogonality, nagmula ng isang pormula para sa curvature ng anumang normal na seksyon, nagsimulang pag-aralan ang mga nabubuong ibabaw, atbp.; sa isang posthumously published work (1862), bahagyang inasahan niya ang pananaliksik ni K.F. Gauss sa panloob na geometry ng mga ibabaw. E. ay engaged at otd. mga tanong ng topology at pinatunayan, halimbawa, ang isang mahalagang teorama sa matambok polyhedra. Ang E.-mathematician ay madalas na nailalarawan bilang isang makinang na "calculator". Sa katunayan, siya ay isang hindi maunahang master ng pormal na kalkulasyon at pagbabago; sa kanyang mga gawa, maraming mathematical formula at simbolo ang natanggap. modernong hitsura(halimbawa, pagmamay-ari niya ang mga pagtatalaga para sa e at p). Gayunpaman, ang E. ay hindi lamang isang pambihirang kapangyarihan na "computer". Ipinakilala niya ang ilang malalalim na ideya sa agham, na ngayon ay mahigpit na pinatutunayan at nagsisilbing halimbawa ng lalim ng pagtagos sa paksa ng pananaliksik.
Ayon kay P.S. Si Laplace, E. ay isang guro ng mga mathematician noong ikalawang kalahati ng ika-18 siglo. Mula sa kanyang mga gawa ay direktang ipinadala sa iba't ibang pag-aaral ng P.S. Laplace, J.L. Lagrange, G. Monge, A. M. Legendre, K.F. Gauss, mamaya O. Cauchy, M.V. Ostrogradsky, P. L. Chebyshev at iba pa. Ang mga Russian mathematician ay lubos na pinahahalagahan ang gawain ni E., at ang mga numero ng paaralan ng Chebyshev ay nakita sa E. ang kanilang ideolohikal na hinalinhan sa kanyang patuloy na kahulugan ng pagiging konkreto, sa kanyang interes sa mga partikular na mahirap na problema na nangangailangan ng pagbuo ng mga bagong pamamaraan. , sa pagsisikap na makakuha ng mga solusyon sa mga problema sa form na kumpletong mga algorithm na nagbibigay-daan sa paghahanap ng sagot sa anumang kinakailangang antas ng katumpakan.

Euler Leonard (1707-1783), mathematician, physicist, mekaniko, astronomer.

Ipinanganak noong Abril 15, 1707 sa Basel (Switzerland). Nagtapos siya sa lokal na gymnasium, nakinig sa mga lektura ni I. Bernoulli sa Unibersidad ng Basel. Noong 1723 nakatanggap siya ng master's degree. Noong 1726, sa imbitasyon ng St. Petersburg Academy of Sciences, siya ay dumating sa Russia at hinirang na pandagdag sa matematika.

Noong 1730 kinuha niya ang upuan ng pisika, at noong 1733 siya ay naging isang akademiko. Sa loob ng 15 taon niya sa Russia, nagawa ni Euler na isulat ang unang aklat-aralin sa mundo sa theoretical mechanics, pati na rin ang kurso sa mathematical navigation at marami pang ibang gawa.

Noong 1741, tinanggap niya ang alok ng Prussian King Frederick II at lumipat sa Berlin. Ngunit kahit na sa oras na iyon, hindi sinira ng siyentipiko ang ugnayan sa St. Petersburg. Noong 1746, tatlong volume ng mga artikulo ni Euler sa ballistics ang nai-publish.

Noong 1749, inilathala niya ang isang dalawang-volume na gawain, na sa unang pagkakataon ay ipinakita ang mga problema ng nabigasyon sa matematikal na anyo. Ang maraming pagtuklas na ginawa ni Euler sa larangan ng mathematical analysis ay kalaunan ay pinagsama-sama sa aklat na An Introduction to the Analysis of Infinitely Small Quantities (1748).

Ang Panimula ay sinundan ng isang treatise sa apat na tomo. Ang 1st volume, na nakatuon sa differential calculus, ay inilathala sa Berlin (1755), at ang natitira, na nakatuon sa integral calculus, sa St. Petersburg (1768-1770).

Sa huling, ika-4 na volume, ang calculus ng mga variation na nilikha nina Euler at J. Lagrange ay isinasaalang-alang. Kasabay nito, sinisiyasat ni Euler ang tanong ng pagpasa ng liwanag sa iba't ibang media at ang epekto ng chromatism na nauugnay dito.

Noong 1747 iminungkahi niya ang isang kumplikadong lente.

Noong 1766, bumalik si Euler sa Russia. Ang akdang "Mga Elemento ng Algebra", na inilathala noong 1768, napilitang magdikta ang siyentipiko, dahil sa oras na ito siya ay bulag. Kasabay nito, tatlong volume ng integral calculus, dalawang volume ng mga elemento ng algebra, at mga memoir ("Computation of the Comet 1769", "Calculation of the Solar Eclipse", "New Theory of the Moon", "Navigation", atbp. .) ay nai-publish.

Noong 1775, ang Paris Academy of Sciences, na lumalampas sa batas at may pahintulot ng gobyerno ng Pransya, ay hinirang si Euler bilang ikasiyam nito (dapat may walo lamang) "kaakibat na miyembro".

Si Euler ang may-akda ng higit sa 865 na pagsisiyasat sa pinaka-iba-iba at pinakamahirap na tanong. Siya ay may mahusay at mabungang impluwensya sa pag-unlad ng edukasyong matematika sa Russia noong ika-18 siglo. Ang Petersburg School of Mathematics, na kinabibilangan ng mga Academicians S. K. Kotelnikov, S. Ya Rumovsky, N. I. Fuss, M. E. Golovin, at iba pang mga siyentipiko, sa ilalim ng patnubay ni Euler, ay nagsagawa ng isang malaking gawaing pang-edukasyon, lumikha ng isang malawak at kapansin-pansin para sa oras na panitikan na pang-edukasyon. , nagsagawa ng ilang mga kawili-wiling pag-aaral.

Si Euler ang direktang nagpatunay ng pagkakahanay ng exponential at arctangent sa isang serye (isang hindi direktang patunay sa pamamagitan ng inverse power series ay ibinigay ni Newton at Leibniz sa pagitan ng 1670 at 1680). Ang kanyang paggamit ng serye ng kapangyarihan ay nagpapahintulot sa kanya na malutas ang sikat na problema sa Basel noong 1735 (isang mas mahigpit na patunay ang ginawa niya noong 1741):

Ang geometriko na kahulugan ng formula ni Euler Euler ay nagsimulang gumamit ng mga exponents at logarithms sa analytical proofs. Nagawa niyang palawakin ang logarithmic function sa isang power series at, gamit ang iskedyul na ito, matukoy ang logarithms para sa negatibo at kumplikadong mga numero. Pinalawak din niya ang hanay ng mga kahulugan ng exponential function sa mga kumplikadong numero, at natuklasan ang kaugnayan ng exponent sa trigonometric function. Ang formula ni Euler ay nagsasaad na para sa anumang tunay na numero x ang pagkakapantay-pantay ay pinanghahawakan:

Isang espesyal na kaso ng Euler formula para sa x= ? ay ang pagkakakilanlan ng Euler na may kaugnayan sa limang pangunahing mathematical constants:

e i ? + 1 = 0,

Tinawag ni Richard Feynman na "the most wonderful mathematical formula" .. Noong 1988, ang mga mambabasa ng magazine Mathematical Intelligencer binoto ito "ang pinakamagandang pormula sa matematika sa lahat ng panahon".
Ang kinahinatnan ng Euler Formula ay ang De Moivre formula.
Bilang karagdagan, binuo ni Euler ang teorya ng mga espesyal na transendental na function sa pamamagitan ng pagpapakilala ng gamma function at ipinakilala ang mga bagong pamamaraan para sa paglutas ng mga equation na pang-apat na antas. Nakahanap din siya ng paraan upang kalkulahin ang mga integral na may mga kumplikadong limitasyon, nalampasan ang pag-unlad ng modernong kumplikadong pagsusuri, at sinimulan ang calculus ng mga pagkakaiba-iba, kabilang ang pagkuha ng kanyang sikat na resulta, ang Euler-Lagrange equation.
Si Euler ay isa ring pioneer sa paggamit ng mga analitikong pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa teorya ng numero. Kaya, pinagsama niya ang dalawang disparate na lugar ng matematika at ipinakilala ang isang bagong larangan ng pag-aaral, analytic number theory. Ang simula ay ang paglikha ni Euler ng teorya ng hypergeometric series, Q-Series, hyperbolic trigonometriko function at ang analytic theory ng generalized fractions. Halimbawa, pinatunayan niya ang kawalang-hanggan ng mga prime number gamit ang dissonance ng harmonic series, gumamit ng mga paraan ng pagsusuri upang malaman ang tungkol sa pamamahagi ng mga prime number. Ang gawain ni Euler sa lugar na ito ay humantong sa paglitaw ng isang teorama sa pamamahagi ng mga pangunahing numero.
teorya ng numero
Ang interes ni Euler sa teorya ng numero ay maaaring ipaliwanag sa pamamagitan ng impluwensya ni Christian Goldbach, pangalawa mula sa St. Petersburg Academy. marami maagang trabaho Ang Euler sa teorya ng numero ay batay sa gawain ni Pierre Fermat. Binuo ni Euler ang ilan sa mga ideya ni Fermat, at pinabulaanan ang ilan sa kanyang mga haka-haka.
Ikinonekta ni Euler ang katangian ng pamamahagi ng mga prime number sa mga ideya sa pagsusuri. Pinatunayan niya na ang kabuuan ng mga reciprocal ng mga prime number ay nag-iiba. Sa ganitong paraan, natuklasan niya ang kaugnayan sa pagitan ng Riemann zeta function at prime numbers, ang resulta ay kilala bilang "Euler's identity in number theory".
Pinatunayan ni Euler ang mga pagkakakilanlan ni Newton, ang maliit na teorama ni Fermat, ang dalawang-kuwadradong sum theorem ni Fermat, at gumawa ng makabuluhang kontribusyon sa apat na parisukat na teorama ni Lagrange. Siya rin ang nag-imbento ng Euler function? (N) katumbas ng bilang mga positibong numero na hindi lalampas sa natural N at kung saan ay coprime sa N. Gamit ang mga katangian ng pagpapaandar na ito, ginawang pangkalahatan niya ang maliit na teorama ni Fermat sa tinatawag ngayong teorem ni Euler. Gumawa siya ng makabuluhang kontribusyon sa teorya ng perpektong mga numero, kung saan ang mga mathematician ay nabighani mula pa noong panahon ni Euclid. Si Euler ay gumawa din ng progreso patungo sa prime number theorem at isulong ang quadratic reciprocity hypothesis. Ang dalawang konseptong ito ay itinuturing na mga pangunahing teorema ng teorya ng numero, at ang kanyang mga ideya ay nagbigay daan para sa gawain ni Gauss.
Bago ang 1772, pinatunayan ni Euler na ang 2 31 - 1 = 2147483647 ay isang numero ng Mersenne. Posible na ang bilang na ito ang pinakamalaking kilalang prime hanggang 1867.
teorya ng graph
Noong 1736, nilutas ni Euler ang problemang kilala bilang Seven Bridges of Königsberg. Ang lungsod ng Koenigsberg (ngayon Kaliningrad) sa Prussia ay matatagpuan sa Pregolya River at may kasamang dalawang malalaking isla na konektado sa isa't isa at sa mainland sa pamamagitan ng pitong tulay. Ang problema ay, makakahanap ka ng landas na dumadaan sa bawat tulay nang eksaktong isang beses at babalik sa panimulang punto. Ang sagot ay hindi: walang Euler cycle. Ang pahayag na ito ay itinuturing na unang teorama ng teorya ng graph, sa partikular, sa teorya ng mga planar graph.
Pinatunayan din ni Euler ang formula V – E + F= 2, na nag-uugnay sa bilang ng mga vertices, gilid, at mukha ng isang convex polyhedron, at, dahil dito, mga planar graph (para sa mga planar graph V – E + F= 1). Ang kaliwang bahagi ng formula, na kilala ngayon bilang Euler na katangian ng isang graph (o iba pang mathematical object), na nauugnay sa konsepto ng genus ng isang surface.
Ang pag-aaral at paglalahat ng formula na ito, lalo na nina Cauchy at L "Huillier, ay ang mga simula ng topology.
Applied Mathematics
Kabilang sa mga pinakamalaking tagumpay ni Euler ay ang mga analytical na solusyon sa mga praktikal na problema, ang paglalarawan ng maraming aplikasyon ng mga numero ng Bernoulli, serye ng Fourier, Venn diagram (kilala rin bilang Euler circles) Mga numero ng Euler, constants e at?, patuloy na mga fraction at integral.
Pinagsama niya ang differential calculus ni Leibniz sa paraan ng fluxions ni Newton, at lumikha ng mga tool na nagpadali sa paglalapat ng pagsusuri sa mga pisikal na problema. Gumawa siya ng mahusay na mga hakbang sa pagpapabuti ng numerical approximation ng integrals, naimbento ang kilala ngayon bilang Euler method at ang Euler-Maclaurin formula. Isinulong din niya ang paggamit ng mga differential equation, lalo na sa pamamagitan ng pagpapakilala ng Euler-Mascheroni constant:

Isa sa pinaka-hindi pangkaraniwang interes ni Euler ay ang paggamit ng mga ideya sa matematika sa musika. Noong 1739 siya ay sumulat Tentamen novae theoriae musicae, umaasa na sa wakas ay isama ang teorya ng musika sa matematika. Ang bahaging ito ng kanyang trabaho, gayunpaman, ay hindi nakatanggap ng malawak na atensyon at minsan ay tinawag na "masyadong mathematical para sa mga musikero at napaka musika para sa mga mathematician".
Physics
Si Leonhard Euler ay gumawa ng isang makabuluhang kontribusyon sa pag-unlad ng mga mekanika, lalo na, sa solusyon ng problema ng pag-ikot ng isang matibay na katawan. Ang diskarte ni Euler ay nauugnay sa mga konsepto ng mga anggulo ng Euler at kinematic equation ni Euler. Noong 1757, inilathala ni Euler ang kanyang memoir na Principes generaux du mouvement des fluides ( Pangkalahatang mga prinsipyo motion of fluids), kung saan isinulat niya ang mga equation ng motion ng isang incompressible ideal fluid, na tinatawag na Euler equation. Ang resulta ng trabaho sa problema ng deformation ng beam sa panahon ng paglo-load ay ang mga equation ng Euler-Bernoulli, na kalaunan ay natagpuan ang aplikasyon sa agham ng engineering, lalo na sa disenyo ng mga tulay.
Nagtrabaho si Euler sa mga pangkalahatang problema sa mekanika, na binuo ang prinsipyo ng Maupertuis. Ang mga equation ng Lagrangian mechanics ay madalas na tinatawag na Euler-Lagrange equation.
Inilapat ni Euler ang mga binuong pamamaraan ng matematika upang malutas ang mga problema ng celestial mechanics. Ang kanyang trabaho sa lugar na ito ay nakatanggap ng ilang mga parangal mula sa Paris Academy of Sciences. Kabilang sa kanyang mga nagawa ay ang pagtukoy nang may mahusay na katumpakan sa mga orbit ng mga kometa at iba pang mga celestial na katawan, na nagpapaliwanag sa likas na katangian ng mga kometa, at pagkalkula ng paralaks ng Araw. Ang mga kalkulasyon ni Euler ay isang makabuluhang kontribusyon sa pagbuo ng tumpak na mga talahanayan ng mga latitude.
Ang kontribusyon ni Euler sa optika ay napakahalaga para sa kanyang panahon. Tinanggihan niya ang noo'y nangingibabaw na teorya ng liwanag ni Newton. Ang gawain ni Euler sa buong 1740s ay nakatulong sa pagtatatag ng teorya ng alon ng liwanag ni Christian Huygens.
Astronomiya
Karamihan sa mga astronomical na kasulatan ni Euler ay nakatuon sa mga paksang isyu ng celestial mechanics noong panahong iyon, gayundin ang spherical, praktikal at nautical na astronomiya, ang teorya ng tides, ang teorya ng astronomical na klima, repraksyon ng liwanag sa atmospera ng mundo, paralaks at aberasyon, at ang pag-ikot ng Earth. Sa larangan ng celestial mechanics, gumawa si Euler ng malaking kontribusyon sa teorya ng perturbed motion. Noon pang 1746 ay kinakalkula niya ang mga pagganyak ng buwan at naglathala ng mga talahanayan ng buwan. Kasabay nina A. K. Clairaut at J. L. D. "Alambert at hiwalay sa kanila, si Euler ay bumuo ng mga pangkalahatang teorya ng paggalaw ng buwan, kung saan siya ay pinag-aralan ng isang napaka mataas na presisyon. Ang unang teorya, kung saan ang paraan ng pagpapalawak ng nais na mga coordinate sa serye sa mga kapangyarihan ng maliliit na mga parameter at pagbibigay ng isang bahagyang pag-unlad ng analytical na paraan ng pagkakaiba-iba ng mga elemento ng orbital, ay inilathala noong 1753. Ang teoryang ito ay ginamit ni TI Maier sa pag-compile ng mataas -mga talahanayan ng katumpakan ng paggalaw ng buwan. Ang isang perpektong teorya ng analitikal, kung saan ang isang numerical na pag-unlad ng pamamaraan ay ibinigay at ang mga talahanayan ay kinakalkula, ay itinakda sa isang akdang inilathala sa St. Petersburg noong 1772 sa Latin. Ang pinaikling pagsasalin nito sa Russian sa ilalim ng pamagat na "The New Theory of the Motion of the Moon" ay isinagawa ni AN Krylov at inilathala noong 1934. Ang mga pamamaraan ng computational na iminungkahi ni Euler para sa pagkuha ng tumpak na ephemeris ng Buwan at mga planeta, partikular na ang hugis-parihaba coordinate axes na ipinakilala niya, na pare-parehong pinaikot, at pagkatapos ay malawakang ginamit ni J.V. Gill. Ayon sa MF Subbotin, naging isa sila sa pinakamahalagang mapagkukunan ng karagdagang pag-unlad sa lahat ng celestial mechanics. Ang malawak na mga pagkakataon para sa paggamit ng mga pamamaraang ito ay lumitaw sa pagdating ng mga computer. Modernong tumpak at buong teorya Ang paggalaw ng buwan ay nilikha noong 1895-1908 ni E. W. Brown. Ang gawain nina Euler at Gill ay nagbigay ng pangkalahatang teorya ng mga di-linear na oscillations, na gumaganap ng mahalagang papel sa modernong agham at teknolohiya.
Malaking kahalagahan para sa astronomy ang gawa ni Euler na "On the Improvement of the Objective Glass of Spotting Scopes" (1747), kung saan ipinakita niya na sa pamamagitan ng pagsasama-sama ng dalawang lente ng salamin na may iba't ibang repraktibo na kapangyarihan, isang achromatic na layunin ay maaaring malikha. Sa ilalim ng impluwensya ng gawa ni Euler, ang unang lens ng ganitong uri ay ginawa ng Ingles na optiko na si J. Dollond noong 1758.

Si Leonhard Euler ay isa sa ang pinakadakilang mathematician sa lahat ng oras - ay nakikilala sa pamamagitan ng isang hindi mapigilan na pananabik para sa kaalaman at hindi mapigilan na enerhiya. Maraming mga klasikal na teorema sa lahat ng larangan ng matematika ang ipinangalan sa kanya.

Si Leonhard Euler ay ipinanganak sa Basel, Switzerland noong Abril 15, 1707. Si Paul Euler - ang ama ng bata - ay isang pastor at nangarap na ang kanyang anak ay susunod sa kanyang mga yapak. Mula sa mga unang taon ng kanyang buhay, tinuruan niya si Leonard ng lahat ng uri ng agham, na gustong itanim sa kanya ang pananabik para sa bagong kaalaman. Nagpakita si Euler ng isang espesyal na talento para sa mga tiyak na bagay, at ang kanyang ama ay agad na nagsimulang bumuo ng kanyang mga kakayahan. Si Paul mismo ay nagtalaga ng halos lahat ng kanyang libreng oras sa matematika, at sa kanyang kabataan ay dumalo pa siya sa mga aralin ng sikat na Jacob Bernoulli.

Ang home schooling ay naging matibay na pundasyon para sa karagdagang edukasyon ng batang lalaki. Nang makapasok siya sa gymnasium ng Basel, lahat ng mga paksa ay ibinigay sa kanya nang may pambihirang kadalian. Gayunpaman, ang antas ng pagtuturo sa sekondaryang paaralan ay nag-iwan ng maraming nais, at si Euler ay nagsimulang maghanap ng mga bagong pagkakataon upang makakuha ng kaalaman. Sa edad na 13, pumasok si Leonard sa Unibersidad ng Basel sa Faculty of Liberal Arts. Kaya nakakakuha siya sa mga lektura sa matematika ng nakababatang kapatid ni Jacob Bernoulli - Johann.

Napansin ng propesor ang isang may kakayahang mag-aaral at nagtalaga ng mga indibidwal na aralin kay Euler. Sa ilalim ng mahigpit na patnubay ni Bernoulli, nakilala ng batang lalaki ang pinaka kumplikadong mga gawa ng mahusay na mga matematiko, natututong maunawaan at pag-aralan ang mga ito. Ang pamamaraang ito sa pag-aaral ay nagbigay-daan kay Leonard na makatanggap ng kanyang unang degree sa edad na 16, nang makapagsagawa siya ng isang paghahambing na pagsusuri ng mga gawa nina Descartes at Newton sa Latin. Kaya naging master of arts si Euler.

Matapos makapagtapos sa unibersidad, muling nakialam si Paul sa pag-aaral ng kanyang anak. Dahil sigurado na magiging pari si Leonard, pinilit siya ng kanyang ama na mag-aral ng mga wika: Hebrew at Greek. Hindi nakamit ni Euler ang maraming tagumpay, kaya kinailangan ng kanyang ama na tanggapin ang kanyang pagkahilig sa matematika. Gayunpaman, ang 17-taong-gulang na batang lalaki ay hindi makahanap ng trabaho sa kanyang espesyalidad - lahat ng mga lugar sa unibersidad ay inookupahan. Siya ay patuloy na bumisita sa bahay ni Propesor Bernoulli at nagkakaroon ng malapit na pagkakaibigan sa kanyang mga anak na lalaki: sina Daniel at Nikolai.

Noong 1727, kasunod ng magkakapatid na Bernoulli, umalis ang siyentipiko patungong St. Petersburg. Dito si Euler ay naging pandagdag ng mas mataas na matematika. Noong 1730, inalok si Leonhard Euler ng upuan ng pisika, at noong Enero 1731 siya ay naging propesor. Mula noong 1733, sa ilalim ng kanyang pamumuno, mayroon nang departamento ng mas mataas na matematika. Sa loob ng 14 na taon na ginugol sa St. Petersburg, nag-publish siya ng mga gawa sa haydrolika, nabigasyon, mekanika, kartograpya at, siyempre, matematika. Sa kabuuan, mayroon siyang higit sa 70 siyentipikong papel sa kanyang kredito. Sa Kanluran, tiyak na kinikilala si Euler bilang isang siyentipikong Ruso. Ang mga Swiss roots ni Leonard ay nagpapaalala sa kanilang sarili lamang sa kanyang personal na buhay - nagpakasal siya sa isang Swiss na babae, si Katerina Gzel.

Petersburg Academy of Sciences sa oras na iyon ay maaaring magyabang ng isang natatanging kawani ng pagtuturo. Ang mga kilalang siyentipiko tulad ng J. German, D. Bernoulli, H. Goldbach at marami pang iba ay nagtuturo at nagsasagawa ng mga aktibidad na pang-agham dito. Ang nasabing kumpanya ay nagpapahintulot kay Euler na suriin ang kanyang pananaliksik hangga't maaari, at ang siyentipiko ay nag-publish ng higit pa at higit pang mga bagong gawa sa mga publikasyon ng Academy. Ang pinakamahalaga sa kanila ay ang dalawang-volume na Mechanics.

Si Frederick II, bilang Hari ng Prussia, ay nagpasya na buksan ang Berlin Academy sa batayan ng Society of Sciences. Inaanyayahan niya si Euler na magtrabaho sa Berlin para sa isang napaka kanais-nais na mga kondisyon. Noong 1841, nagpasya ang siyentipiko na lumipat, gayunpaman, aktibong nakipag-ugnayan siya sa mga siyentipikong Ruso, lalo na, kay Lomonosov. Sa Berlin, nakilala ni Leonard Euler ang presidente ng Academy of Sciences Moreau de Maupertuis at talagang naging kanyang kinatawan - madalas na nagkakasakit si Moreau, at tinutupad ni Euler ang kanyang mga tungkulin.

Sa Alemanya, ang siyentipiko ay patuloy na nagtatrabaho sa larangan ng teorya ng numero, pagsusuri sa matematika at calculus ng mga pagkakaiba-iba, nalalapat ng isang bagong diskarte sa pag-aaral ng geometry. Ang resulta ng pananaliksik ni Euler ay isang bagong agham - topology. Kasabay nito, ang paggawa ng mga barko at celestial mechanics ay nahulog sa larangan ng mga interes ni Leonard. Sa huli, nakamit niya ang walang uliran na tagumpay - lumikha siya ng isang teorya ng paggalaw ng Buwan, na isinasaalang-alang ang pang-akit ng Araw.

Hindi natanggap ni Euler ang pinakahihintay na post ng presidente ng Academy, na naging isa sa mga pangunahing dahilan ng kanyang pagbabalik sa St. Narito siya ay mainit na tinanggap ng patroness ng mga agham - Catherine II. Ang siyentipiko ay masigasig na nagsimulang magtrabaho para sa ikabubuti ng Russia.

Ang edad ay naramdaman ang sarili, at sa edad na 60 si Euler ay halos ganap na nawala ang kanyang paningin, gayunpaman, hindi niya pinipigilan ang kanyang aktibidad na pang-agham. Pagkabalik, nakapag-print siya ng 200 sanaysay sa iba't ibang larangan ng agham.

Ang unang asawa ni Leonard ay namatay sa ilang sandali matapos ang paglipat, at makalipas ang ilang taon, pinakasalan siya ng siyentipiko. kapatid na babae Salome-Abigail Gzel. Ang kanyang mga anak ay kumuha ng pagkamamamayan ng Russia.

Lubos na pinahahalagahan ng pamahalaan ang mga nagawa ng siyentipiko at ang kanyang kontribusyon sa pag-unlad ng agham. Kahit na huminto sa kanilang aktibidad na pang-agham, si Euler at ang kanyang pamilya ay ganap na nabigyan ng lahat ng kailangan sa gastos ng estado. Namatay si Leonhard Euler noong 1783 sa St. Petersburg sa edad na 75. Sa panahong ito, mayroon na siyang 5 anak at 26 na apo. Pagkatapos ng kanyang sarili, nag-iwan siya ng 800 artikulong pang-agham at 72 na tomo na nakatuon sa iba't ibang larangan ng agham.

Sa panahon ng kanyang pang-agham na karera, itinatag ni Leonhard Euler ang teorya ng mga function na may mga kumplikadong variable, ordinaryong differential equation, at partial differential equation. Siya ay naging isang pioneer sa calculus ng mga pagkakaiba-iba at topology, naglapat ng mga bagong pamamaraan ng pagsasama. Maraming theorems ng algebra at number theory ang ipinangalan sa kanya, na kalaunan ay naging classical.

Gamit ang mga resulta ng Stirling at Newton, natuklasan ni Euler noong 1732 (kasabay ng MacLaren) ang pangkalahatang batas ng pagbubuod. Sa madaling salita, ipinahayag niya ang partial sum, integral at derivative ng infinite series sn= ∑ u (k) sa pamamagitan ng serye na may karaniwang terminong u (n). Sinusuri ang data na nakuha, pati na rin ang ratio ng Bernoulli na mga numero B2n+2:B2n, natukoy ni Euler na ang seryeng ito- divergent, gayunpaman, nagawang kalkulahin ang tinatayang halaga nito. Para dito, ginamit ng siyentipiko ang kabuuan ng lahat ng miyembro ng serye, na bumababa. Ang pagtuklas na ito ay humantong sa konsepto ng isang asymptotic series, kung saan maraming sikat na mathematician ang nagtalaga ng kanilang mga gawa. Kabilang sa mga ito ay Laplace, Legendre, Lagrange, Poisson at Cauchy. Ang pormula ng Euler-McLaren ay naging batayan ng teorya ng may hangganang pagkakaiba.

Nabighani sa gawa ni d'Alembert, nagsimulang mag-aral si Euler ng string theory. Sa kanyang artikulong "On Vibration of a String", nakahanap ang scientist ng pangkalahatang solusyon sa equation ng oscillation, na kumukuha ng paunang bilis bilang zero. Ito ay may anyo na y \u003d φ (x + at) + ψ (x - at), kung saan ang a ay pare-pareho, at bahagyang naiiba sa solusyon ni d'Alembert. Gayunpaman, noong 1766, natagpuan din ni Euler ang kanyang sariling pamamaraan, na sa kalaunan ay isasama sa kanyang "Integral Calculus" (1770). Upang gawin ito, ipinakilala niya ang mga bagong coordinate, na nagdala ng equation sa isang mas simpleng anyo para sa pagsasama: u \u003d x + sa, v \u003d x - sa. Sa modernong mga aklat-aralin differential equation ang naturang mga coordinate ay tinatawag na katangian at malawakang ginagamit para sa iba't ibang uri ng mga kalkulasyon.

Isa sa mga pangunahing natuklasan ni Euler ay ang pormula na ipinangalan sa kanya. Ito ay nagsasaad na para sa anumang tunay na x, ang pagkakapantay-pantay na eix= cosx + isinx (i ay ang haka-haka na yunit, e ang base ng natural na logarithm) ay totoo. Kaya, ikinonekta ng siyentipiko ang trigonometric function at ang complex exponent. Ang formula ay nai-publish sa aklat na "Introduction to the analysis of infinitesimals" (1748). Sa pagpapatuloy ng pananaliksik sa lugar na ito, nakuha ni Euler ang exponential form ng isang kumplikadong numero ng form na z = reiφ.

Bilang karagdagan, lubos niyang pinasimple at pinaikli ang mathematical notation - ipinakilala niya ang notasyon para sa mga function na trigonometriko: tg x, ctg x, sec x, cosec x at siya ang unang itinuring ang mga ito bilang mga function ng isang numerical argument, na naging batayan ng modernong trigonometrya.

Bilang Laplace nang maglaon ay nakipagtalo, lahat ng mga mathematician noong ika-18 siglo ay nag-aral kay Euler. Gayunpaman, kahit na pagkatapos ng ilang siglo, ang kanyang mga pamamaraan sa matematika ay ginagamit sa mga gawaing pandagat, ballistics, optika, teorya ng musika at insurance.