Ang isang pahayag ay isang mas kumplikadong pormasyon kaysa sa isang pangalan. Kapag nabubulok namin ang mga pahayag sa mas simpleng bahagi, palagi kaming nakakakuha ng ilang partikular na pangalan. Sabihin, ang pahayag na "Ang araw ay isang bituin" ay kinabibilangan ng mga pangalang "Araw" at "bituin" bilang mga bahagi nito.

Pahayag - isang pangungusap na may wastong gramatika, pinagsama ang kahulugan (nilalaman) na ipinahahayag nito at pagiging totoo o mali.

Ang konsepto ng pagbigkas ay isa sa mga orihinal, mga pangunahing konsepto makabagong lohika. Dahil dito hindi ito pinapayagan tumpak na kahulugan, pantay na naaangkop sa iba't ibang seksyon nito.

Itinuturing na totoo ang isang pahayag kung ang paglalarawang ibinibigay nito ay tumutugma sa totoong sitwasyon, at mali kung hindi ito tumutugma dito. Ang "True" at "false" ay tinatawag na "truth-values ​​​​of statements."

Mula sa mga indibidwal na pahayag iba't ibang paraan maaari kang bumuo ng mga bagong pahayag. Halimbawa, mula sa mga pahayag na "Ang hangin ay umiihip" at "Umuulan" ang isa ay maaaring bumuo ng mas kumplikadong mga pahayag na "Ang hangin ay umiihip at umuulan", "Ang hangin ay umiihip o umuulan", "Kung ito ay umuulan, tapos umiihip ang hangin”, atbp.

Ang pahayag ay tinatawag simple, maliban kung kasama nito ang iba pang mga pahayag bilang mga bahagi nito.

Ang pahayag ay tinatawag kumplikado, kung ito ay nakuha gamit ang mga lohikal na pang-ugnay mula sa iba pang mas simpleng mga pahayag.

Isaalang-alang natin ang pinaka mahahalagang paraan pagtatayo kumplikadong mga pahayag.

Negatibong pahayag ay binubuo ng isang paunang pahayag at isang negasyon, kadalasang ipinapahayag ng mga salitang "hindi", "hindi totoo iyon". Kaya ang negatibong pahayag ay isang kumplikadong pahayag: kabilang dito bilang bahagi nito ang isang pahayag na naiiba dito. Halimbawa, ang negasyon ng pahayag na "10 ay isang even na numero" ay ang pahayag na "10 ay hindi isang even na numero" (o: "Ito ay hindi totoo na 10 ay isang even number").

Tukuyin natin ang mga pahayag na may mga titik A, B, C,... Ang buong kahulugan ng konsepto ng negasyon ng isang pahayag ay ibinibigay ng kondisyon: kung ang pahayag A ay totoo, ang negasyon nito ay mali, at kung A ay mali, ang negasyon nito ay totoo. Halimbawa, dahil ang pahayag na "1 ay isang positibong integer" ay totoo, ang negation nito na "1 ay hindi isang positibong integer" ay mali, at dahil ang "1 ay isang prime number" ay mali, ang negasyon nito na "1 ay hindi isang prime number " ay totoo.

Ang pag-uugnay ng dalawang pahayag gamit ang salitang "at" ay gumagawa ng isang komplikadong pahayag na tinatawag pang-ugnay. Ang mga pahayag na konektado sa ganitong paraan ay tinatawag na "mga miyembro ng isang pang-ugnay."

Halimbawa, kung ang mga pahayag na "Mainit ngayon" at "Malamig kahapon" ay pinagsama sa ganitong paraan, makukuha mo ang pang-ugnay na "Ngayon ay mainit at kahapon ay malamig."

Ang isang pang-ugnay ay totoo lamang kung ang parehong mga pahayag na kasama dito ay totoo; kung hindi bababa sa isa sa mga miyembro nito ang mali, kung gayon ang buong pang-ugnay ay mali.

Sa karaniwang wika, ang dalawang pahayag ay pinag-uugnay ng pang-ugnay na "at" kapag sila ay nauugnay sa isa't isa sa nilalaman o kahulugan. Ang likas na katangian ng koneksyon na ito ay hindi lubos na malinaw, ngunit malinaw na hindi namin isasaalang-alang ang pang-ugnay na "Siya ay naglalakad sa isang amerikana, at ako ay naglalakad sa unibersidad" bilang isang expression na may kahulugan at maaaring totoo o mali. Kahit na ang mga pahayag na "2 ay isang pangunahing numero" at "Moscow ay Malaking lungsod” ay totoo, hindi namin hilig na isaalang-alang ang kanilang conjunction na “2 ay isang pangunahing numero at ang Moscow ay isang malaking lungsod” na totoo, dahil ang mga constituent na pahayag ay hindi magkakaugnay sa kahulugan. Sa pamamagitan ng pagpapasimple ng kahulugan ng conjunction at iba pang lohikal na mga connective at, para sa layuning ito, pag-abandona sa hindi malinaw na konsepto ng "koneksyon ng mga pahayag ayon sa kahulugan," ginagawa ng lohika ang kahulugan ng mga connective na ito na mas malawak at mas tiyak.

Ang pag-uugnay ng dalawang pahayag gamit ang salitang "o" ay nagbibigay disjunction mga pahayag na ito. Ang mga pahayag na bumubuo ng disjunction ay tinatawag na "mga miyembro ng disjunction."

Ang salitang "o" ay may dalawang magkaibang kahulugan sa pang-araw-araw na wika. Minsan nangangahulugang "isa o isa o pareho," at kung minsan ay "isa o isa pa, ngunit hindi pareho." Halimbawa, ang pahayag na "Sa season na ito gusto kong pumunta sa " reyna ng Spades"o sa "Aida" ay nagbibigay-daan para sa posibilidad ng pagbisita sa onera ng dalawang beses. Ang pahayag na "Nag-aaral siya sa Moscow o Yaroslavl University" ay nagpapahiwatig na ang taong binanggit ay nag-aaral sa isa lamang sa mga unibersidad na ito.

Ang unang kahulugan ng "o" ay tinatawag hindi eksklusibo. Sa ganitong kahulugan, ang disjunction ng dalawang pahayag ay nangangahulugan na kahit isa sa mga pahayag na ito ay totoo, hindi alintana kung pareho silang totoo o hindi. Kinuha sa pangalawa eksklusibo o sa isang mahigpit na kahulugan, ang disjunction ng dalawang pahayag ay nagsasaad na ang isa sa mga pahayag ay totoo at ang pangalawa ay mali.

Ang di-eksklusibong disjunction ay totoo kapag ang kahit isa sa mga constituent na pahayag nito ay tama, at mali lamang kapag ang mga miyembro nito ay mali.

Ang isang eksklusibong disjunction ay totoo kapag isa lamang sa mga termino nito ang tama, at ito ay mali kapag pareho ang mga termino nito ay totoo o pareho ay mali.

Sa lohika at matematika, ang salitang "o" ay halos palaging ginagamit sa isang di-eksklusibong kahulugan.

May kondisyong pahayag - isang kumplikadong pahayag, kadalasang binubuo gamit ang pang-uugnay na "kung..., kung gayon..." at nagtatatag ng isang pangyayari, estado, atbp. ay sa isang kahulugan o iba pang batayan o kondisyon para sa iba.

Halimbawa: "Kung may apoy, may usok", "Kung ang isang numero ay nahahati sa 9, ito ay nahahati sa 3", atbp.

Ang isang kondisyong pahayag ay binubuo ng dalawang mas simpleng pahayag. Ang pinangungunahan ng salitang "kung" ay tinatawag batayan, o nauna(nakaraan), ang pahayag na darating pagkatapos ng salitang "na" ay tinatawag kahihinatnan, o kinahinatnan(kasunod).

Sa pamamagitan ng pagpapatibay ng isang kondisyon na pahayag, una sa lahat ay nangangahulugan kami na hindi maaaring kung ano ang sinabi sa batayan nito ay nagaganap, at kung ano ang sinabi sa kahihinatnan ay wala. Sa madaling salita, hindi maaaring mangyari na ang antecedent ay totoo at ang kahihinatnan ay mali.

Sa mga tuntunin ng isang kondisyon na pahayag, ang mga konsepto ng sapat at kinakailangang mga kondisyon ay karaniwang tinukoy: ang antecedent (lupa) ay isang sapat na kondisyon para sa kahihinatnan (bunga), at ang kahihinatnan ay kinakailangang kondisyon para sa antesedent. Halimbawa, ang katotohanan ng kondisyonal na pahayag na "Kung ang pagpili ay makatwiran, kung gayon ang pinakamahusay sa mga magagamit na alternatibo ay pipiliin" ay nangangahulugan na ang katwiran ay isang sapat na dahilan para sa pagpili ng pinakamahusay sa mga magagamit na mga pagpipilian at na ang pagpili ng naturang opsyon ay isang kinakailangang kondisyon para sa pagiging makatwiran nito.

Ang isang tipikal na function ng isang conditional na pahayag ay upang bigyang-katwiran ang isang pahayag sa pamamagitan ng pagtukoy sa isa pang pahayag. Halimbawa, ang katotohanan na ang pilak ay electrically conductive ay maaaring makatwiran sa pamamagitan ng pagtukoy sa katotohanan na ito ay isang metal: "Kung ang pilak ay isang metal, ito ay electrically conductive."

Ang koneksyon sa pagitan ng nagpapatunay at ang makatwiran (pundasyon at kahihinatnan) na ipinahayag ng isang kondisyon na pahayag ay mahirap tukuyin sa pangkalahatang pananaw, at minsan lang medyo malinaw ang kalikasan nito. Ang koneksyon na ito ay maaaring, una, isang koneksyon ng lohikal na kahihinatnan na nagaganap sa pagitan ng mga lugar at ang pagtatapos ng isang tamang konklusyon ("Kung ang lahat ng nabubuhay na multicellular na nilalang ay mortal, at ang dikya ay tulad ng isang nilalang, kung gayon ito ay mortal"); pangalawa, ayon sa batas ng kalikasan ("Kung ang isang katawan ay napapailalim sa alitan, magsisimula itong uminit"); pangatlo, isang sanhi na koneksyon ("Kung ang Buwan ay nasa node ng orbit nito sa bagong buwan, solar eclipse"); pang-apat, kaayusan sa lipunan, tuntunin, tradisyon, atbp. (“Kung nagbabago ang lipunan, nagbabago rin ang tao”, “Kung makatwiran ang payo, dapat itong ipatupad”).

Ang koneksyon na ipinahayag ng isang kondisyon na pahayag ay kadalasang sinasamahan ng paniniwala na ang kahihinatnan ay "sumusunod" sa isang tiyak na pangangailangan mula sa dahilan at na mayroong ilang pangkalahatang batas, na nagawang bumalangkas kung saan, lohikal nating mahihinuha ang kahihinatnan mula sa dahilan. .

Halimbawa, ang kondisyonal na pahayag na "Kung ang bismuth ay isang metal ay plastik" ay tila ipinapalagay ang pangkalahatang batas na "Walang mga metal ay plastik", na ginagawang ang kahihinatnan ng pahayag na ito ay isang lohikal na kahihinatnan ng nauuna nito.

Parehong sa ordinaryong wika at sa wika ng agham, ang isang kondisyonal na pahayag, bilang karagdagan sa tungkulin ng pagbibigay-katwiran, ay maaari ding magsagawa ng ilang iba pang mga gawain: upang bumalangkas ng isang kundisyon na hindi nauugnay sa anumang ipinahiwatig na pangkalahatang batas o tuntunin ("Kung Gusto ko, puputulin ko ang aking balabal”); itala ang anumang pagkakasunud-sunod ("Kung ang nakaraang tag-araw ay tuyo, kung gayon sa taong ito ay maulan"); ipahayag ang hindi paniniwala sa isang kakaibang anyo ("Kung malulutas mo ang problemang ito, patunayan ko ang huling teorama ni Fermat"); pagsalungat ("Kung ang isang elderberry ay lumalaki sa hardin, kung gayon ang isang lalaki ay nakatira sa Kyiv"), atbp. Ang multiplicity at heterogeneity ng mga function ng isang conditional statement ay makabuluhang nagpapakumplikado sa pagsusuri nito.

Ang paggamit ng mga conditional na pahayag ay nauugnay sa ilang sikolohikal na salik. Kaya, kadalasan ay bumubuo lamang tayo ng gayong pahayag kung hindi natin alam nang may katiyakan kung totoo o mali ang antecedent at consequent nito. Kung hindi, ang paggamit nito ay tila hindi natural ("Kung ang cotton wool ay metal, ito ay isang electrical conductor").

Ang conditional statement ay napaka malawak na aplikasyon sa lahat ng larangan ng pangangatwiran. Sa lohika ito ay karaniwang kinakatawan ng implikatibong pahayag, o implikasyon. Kasabay nito, ang lohika ay naglilinaw, nag-systematize at nagpapasimple sa paggamit ng "kung..., kung gayon...", pinalaya ito mula sa impluwensya ng mga sikolohikal na kadahilanan.

Ang lohika ay nakuha, sa partikular, mula sa katotohanan na ang koneksyon sa pagitan ng dahilan at kahihinatnan, katangian ng isang kondisyon na pahayag, depende sa konteksto, ay maaaring ipahayag gamit ang hindi lamang "kung..., kung gayon...", kundi pati na rin ang iba ibig sabihin ng linggwistika. Halimbawa, "Dahil ang tubig ay isang likido, nagpapadala ito ng presyon sa lahat ng direksyon nang pantay-pantay," "Kahit na ang plasticine ay hindi isang metal, ito ay plastik," "Kung ang kahoy ay metal, ito ay magiging electrically conductive," atbp. Ang mga ito at ang mga katulad na pahayag ay kinakatawan sa wika ng lohika sa pamamagitan ng implikasyon, bagaman ang paggamit ng "kung..., kung gayon..." sa mga ito ay hindi magiging ganap na natural.

Sa pamamagitan ng paggigiit ng isang implikasyon, iginiit namin na hindi maaaring mangyari na ang batayan nito ay naroroon at ang kahihinatnan nito ay wala. Sa madaling salita, ang isang implikasyon ay mali lamang kung ang dahilan nito ay totoo at ang kahihinatnan nito ay mali.

Ipinapalagay ng kahulugang ito, tulad ng mga naunang kahulugan ng mga nag-uugnay, na ang bawat pahayag ay alinman sa totoo o mali at ang halaga ng katotohanan ng isang kumplikadong pahayag ay nakasalalay lamang sa mga halaga ng katotohanan ng mga nasasakupan na pahayag at sa paraan ng kanilang pagkakaugnay.

Ang isang implikasyon ay totoo kapag ang dahilan at ang kinahinatnan nito ay totoo o mali; ito ay totoo kung ang dahilan nito ay mali at ang kahihinatnan nito ay totoo. Sa ikaapat na kaso lamang, kapag ang dahilan ay totoo at ang resulta ay mali, ang implikasyon ay mali.

Ito ay hindi ipinahiwatig na ang mga pahayag A At SA ay kahit papaano ay nauugnay sa isa't isa sa nilalaman. Kung totoo SA pahayag "kung A, yun SA" totoo kahit na A tama o mali at ito ay konektado sa kahulugan sa SA o hindi.

Halimbawa, ang mga sumusunod na pahayag ay itinuturing na totoo: "Kung may buhay sa Araw, kung gayon ang dalawa at dalawa ay katumbas ng apat," "Kung ang Volga ay isang lawa, kung gayon ang Tokyo ay isang malaking nayon," atbp. Ang isang kondisyon na pahayag ay totoo rin kapag A mali, at muli walang malasakit, totoo SA o hindi at ito ba ay nauugnay sa nilalaman sa A o hindi. Kabilang sa mga totoong pahayag ang: "Kung ang Araw ay isang cube, kung gayon ang Earth ay isang tatsulok," "Kung dalawa at dalawa ay katumbas ng lima, kung gayon ang Tokyo ay isang maliit na lungsod," atbp.

Sa ordinaryong pangangatwiran, ang lahat ng mga pahayag na ito ay malamang na hindi maituturing na makabuluhan, higit na hindi totoo.

Bagama't kapaki-pakinabang ang implikasyon para sa maraming layunin, hindi ito ganap na naaayon sa karaniwang pag-unawa sa kondisyonal na koneksyon. Sinasaklaw ng implikasyon ang maraming mahahalagang katangian ng lohikal na pag-uugali ng isang kondisyong pahayag, ngunit sa parehong oras ay hindi ito sapat na paglalarawan nito.

Sa huling kalahating siglo nagkaroon ng masiglang pagtatangka na repormahin ang teorya ng implikasyon. Kasabay nito, hindi ito isang tanong ng pag-abandona sa inilarawan na konsepto ng implikasyon, ngunit sa pagpapakilala, kasama nito, ng isa pang konsepto na isinasaalang-alang hindi lamang ang mga halaga ng katotohanan ng mga pahayag, kundi pati na rin ang kanilang koneksyon sa nilalaman.

Malapit na nauugnay sa implikasyon pagkakapantay-pantay, minsan tinatawag na "double implication".

Ang equivalence ay isang kumplikadong pahayag na "A kung at kung B lamang", na nabuo mula sa mga pahayag ng Li B at nabubulok sa dalawang implikasyon: "kung A, pagkatapos B", at "kung B, kung gayon A". Halimbawa: "Ang isang tatsulok ay equilateral kung at kung ito ay equiangular." Ang terminong "katumbas" ay tumutukoy din sa nag-uugnay na "..., kung at kung...", sa tulong kung saan ang isang ibinigay na kumplikadong pahayag ay nabuo mula sa dalawang pahayag. Sa halip na "kung at kung lamang", "kung at kung lamang", "kung at kung lamang", atbp. ay maaaring gamitin para sa layuning ito.

Kung ang mga lohikal na pag-uugnay ay tinukoy sa mga tuntunin ng katotohanan at kasinungalingan, ang isang katumbas ay totoo kung at kung ang parehong bumubuo ng mga pahayag ay may parehong halaga ng katotohanan, i.e. kapag pareho silang totoo o pareho silang mali. Alinsunod dito, ang isang katumbas ay mali kapag ang isa sa mga pahayag na kasama dito ay tama at ang isa ay mali.

Lohika ng panukala , tinatawag ding propositional logic, ay isang sangay ng matematika at lohika na nag-aaral ng mga lohikal na anyo ng mga kumplikadong pahayag na binuo mula sa simple o elementarya na mga pahayag gamit ang mga lohikal na operasyon.

Ang propositional logic ay nag-abstract mula sa nilalaman ng mga pahayag at pinag-aaralan ang kanilang katotohanan na halaga, iyon ay, kung ang pahayag ay totoo o mali.

Ang larawan sa itaas ay isang paglalarawan ng isang phenomenon na kilala bilang Liar Paradox. Kasabay nito, sa opinyon ng may-akda ng proyekto, ang mga naturang kabalintunaan ay posible lamang sa mga kapaligiran na hindi malaya sa mga problema sa pulitika, kung saan ang isang tao ay maaaring matawag na isang sinungaling. Sa natural na multi-layered na mundo ang paksa ng "katotohanan" o "maling" mga indibidwal na pahayag lamang ang sinusuri . At mamaya sa araling ito ay ipakikilala sa iyo ang pagkakataong suriin ang maraming pahayag sa paksang ito para sa iyong sarili (at pagkatapos ay tingnan ang mga tamang sagot). Kabilang ang mga kumplikadong pahayag kung saan ang mga mas simple ay magkakaugnay ng mga palatandaan ng mga lohikal na operasyon. Ngunit una, isaalang-alang natin ang mga operasyong ito sa mga pahayag mismo.

Ang propositional logic ay ginagamit sa computer science at programming sa anyo ng pagdedeklara ng mga lohikal na variable at pagtatalaga sa kanila ng mga lohikal na halaga na "false" o "true", kung saan nakasalalay ang kurso ng karagdagang pagpapatupad ng programa. Sa maliliit na programa kung saan isang boolean variable lang ang kasangkot, ang boolean variable ay kadalasang binibigyan ng pangalan gaya ng "flag" at ang ibig sabihin ay "flag is up" kapag ang value ng variable ay "true" at "flag is down." ang halaga ng variable na ito ay "false". Sa malalaking programa, kung saan mayroong ilan o kahit na maraming mga lohikal na variable, ang mga propesyonal ay kinakailangang makabuo ng mga pangalan para sa mga lohikal na variable sa anyo ng mga pahayag at semantic load, na nakikilala ang mga ito mula sa iba pang mga lohikal na variable at naiintindihan ng ibang mga propesyonal na magbabasa ng teksto ng programang ito.

Kaya, ang isang lohikal na variable na may pangalang "UserRegistered" (o ang English-language na analogue nito) ay maaaring ideklara sa anyo ng isang pahayag, na maaaring italaga ng lohikal na halaga na "true" kung ang mga kondisyon ay natugunan na ang data ng pagpaparehistro ay ipinadala. ng user at ang data na ito ay kinikilala bilang wasto ng program. Sa karagdagang mga kalkulasyon, ang mga halaga ng mga variable ay maaaring magbago depende sa lohikal na halaga (totoo o mali) ng UserRegistered variable. Sa ibang mga kaso, ang isang variable, halimbawa, na may pangalang "Higit sa Tatlong Araw na Natitira Bago ang Araw", ay maaaring italaga ang halagang "True" bago ang isang partikular na bloke ng mga kalkulasyon, at sa panahon ng karagdagang pagpapatupad ng programa ang halagang ito ay maaaring na-save o binago sa "false" at ang pag-usad ng karagdagang pagpapatupad ay nakasalalay sa halaga ng mga variable na programang ito.

Kung ang isang programa ay gumagamit ng ilang mga lohikal na variable, ang mga pangalan kung saan ay may anyo ng mga pahayag, at mas kumplikadong mga pahayag ay binuo mula sa kanila, kung gayon ito ay mas madaling bumuo ng programa kung, bago bumuo nito, isulat namin ang lahat ng mga operasyon mula sa mga pahayag sa anyo ng mga pormula na ginamit sa lohika ng pahayag kaysa sa ginagawa natin sa araling ito ang ating gagawin.

Mga lohikal na operasyon sa mga pahayag

Para sa mga pahayag sa matematika, ang isa ay palaging makakapili sa pagitan ng dalawang magkaibang alternatibo, "totoo" at "mali," ngunit para sa mga pahayag na ginawa sa "berbal" na wika, ang mga konsepto ng "katotohanan" at "mali" ay medyo mas malabo. Gayunpaman, halimbawa, ang mga verbal na anyo tulad ng "Umuwi ka na" at "Umuulan ba?" Samakatuwid ito ay malinaw na ang mga pahayag ay mga verbal na anyo kung saan ang isang bagay ay nakasaad . Ang mga pangungusap na patanong o padamdam, apela, pati na rin ang mga kahilingan o kahilingan ay hindi mga pahayag. Hindi sila masusuri sa mga halagang "totoo" at "mali".

Ang mga pahayag, sa kabaligtaran, ay maaaring ituring bilang mga dami na maaaring magkaroon ng dalawang kahulugan: "totoo" at "mali".

Halimbawa, ang mga sumusunod na paghatol ay ibinigay: "ang aso ay isang hayop", "Ang Paris ay ang kabisera ng Italya", "3

Ang una sa mga pahayag na ito ay maaaring masuri gamit ang simbolo na "totoo", ang pangalawa ay may "mali", ang pangatlo ay may "totoo" at ang ikaapat ay may "mali". Ang interpretasyong ito ng mga pahayag ay ang paksa ng propositional algebra. Magsasaad kami ng mga pahayag na may malalaking titik may mga letrang Latin A, B, ..., at ang kanilang mga kahulugan, iyon ay, totoo at mali, ayon sa pagkakabanggit AT At L. Sa ordinaryong pananalita, ginagamit ang mga koneksyon sa pagitan ng mga pahayag na "at", "o" at iba pa.

Ang mga koneksyon na ito ay nagpapahintulot, sa pamamagitan ng pagkonekta ng iba't ibang mga pahayag sa isa't isa, upang bumuo ng mga bagong pahayag - kumplikadong mga pahayag . Halimbawa, ang nag-uugnay na "at". Hayaang ibigay ang mga pahayag: " π higit sa 3" at ang pahayag na " π mas mababa sa 4". Maaari kang mag-ayos ng isang bagong - kumplikadong pahayag " π higit sa 3 at π mas mababa sa 4". Pahayag "kung π hindi makatwiran noon π Ang ² ay hindi rin makatwiran" ay nakuha sa pamamagitan ng pag-uugnay ng dalawang pahayag sa nag-uugnay na "kung - pagkatapos". Panghuli, maaari tayong makakuha mula sa anumang pahayag ng bago - isang kumplikadong pahayag - sa pamamagitan ng pagtanggi sa orihinal na pahayag.

Isinasaalang-alang ang mga pahayag bilang mga dami na may kahulugan AT At L, tutukuyin pa natin lohikal na operasyon sa mga pahayag , na nagpapahintulot sa amin na makakuha ng mga bagong kumplikadong pahayag mula sa mga pahayag na ito.

Hayaang magbigay ng dalawang arbitraryong pahayag A At B.

1 . Ang unang lohikal na operasyon sa mga pahayag na ito - conjunction - ay kumakatawan sa pagbuo ng isang bagong pahayag, na ating tutukuyin A ∧ B at alin ang totoo kung at kung lamang A At B ay totoo. Sa ordinaryong pagsasalita, ang operasyong ito ay tumutugma sa koneksyon ng mga pahayag na may nag-uugnay na "at".

Talahanayan ng katotohanan para sa pagsasama:

2 . Pangalawang lohikal na operasyon sa mga pahayag A At B- disjunction na ipinahayag bilang A ∨ B, ay tinukoy bilang mga sumusunod: ito ay totoo kung at kung hindi bababa sa isa sa mga orihinal na pahayag ay totoo. Sa ordinaryong pagsasalita, ang operasyong ito ay tumutugma sa pagkonekta ng mga pahayag na may nag-uugnay na "o". Gayunpaman, dito mayroon tayong hindi naghahati na "o", na nauunawaan sa kahulugan ng "alinman o" kapag A At B pareho ay hindi maaaring totoo. Sa pagtukoy ng propositional logic A ∨ B totoo pareho kung isa lamang sa mga pahayag ang totoo, at kung ang parehong mga pahayag ay totoo A At B.

Talahanayan ng katotohanan para sa disjunction:

3 . Ang ikatlong lohikal na operasyon sa mga pahayag A At B, ipinahayag bilang A → B; ang pahayag na nakuha ay mali kung at kung lamang A totoo, pero B mali. A tinawag sa pamamagitan ng parsela , B - kahihinatnan , at ang pahayag A → B - sumusunod , tinatawag ding implikasyon. Sa ordinaryong pagsasalita, ang operasyong ito ay tumutugma sa "kung-pagkatapos" na nag-uugnay: "kung A, Iyon B". Ngunit sa depinisyon ng propositional logic, ang pahayag na ito ay palaging totoo kahit na ang pahayag ay totoo o mali. B. Ang sitwasyong ito ay maaaring madaling ibalangkas tulad ng sumusunod: "mula sa huwad ang lahat ay sumusunod." Sa turn, kung A totoo, pero B ay mali, pagkatapos ay ang buong pahayag A → B mali. Magiging totoo ito kung at kung A, At B ay totoo. Sa madaling sabi, ito ay mabubuo tulad ng sumusunod: "ang mali ay hindi maaaring sumunod sa totoo."

Talahanayan ng katotohanan na dapat sundin (implikasyon):

4 . Ang ikaapat na lohikal na operasyon sa mga pahayag, mas tiyak sa isang pahayag, ay tinatawag na negasyon ng isang pahayag A at tinutukoy ng ~ A(maaari mo ring mahanap ang paggamit ng hindi ang simbolo ~, ngunit ang simbolo ¬, pati na rin ang isang overscore sa itaas A). ~ A may pahayag na mali kapag A totoo, at totoo kapag A mali.

Talahanayan ng katotohanan para sa pagtanggi:

5 . At sa wakas, ang ikalimang lohikal na operasyon sa mga pahayag ay tinatawag na equivalence at tinutukoy A ↔ B. Ang resultang pahayag A ↔ B ang isang pahayag ay totoo kung at kung lamang A At B pareho ang totoo o pareho ang mali.

Talahanayan ng katotohanan para sa equivalence:

Karamihan sa mga programming language ay may mga espesyal na simbolo upang tukuyin ang mga lohikal na kahulugan ng mga pahayag na nakasulat sa halos lahat ng mga wika bilang totoo at mali.

Ibuod natin ang nasa itaas. Lohika ng panukala pag-aaral ng mga koneksyon na ganap na tinutukoy ng paraan kung saan ang ilang mga pahayag ay binuo mula sa iba, na tinatawag na elementarya. Sa kasong ito, ang mga elementarya na pahayag ay itinuturing na buo, hindi nabubulok sa mga bahagi.

I-systematize natin sa talahanayan sa ibaba ang mga pangalan, notasyon at kahulugan ng mga lohikal na operasyon sa mga pahayag (malapit na nating kailanganin muli ang mga ito upang malutas ang mga halimbawa).

Totoo para sa mga lohikal na operasyon mga batas ng lohika ng algebra, na maaaring magamit upang pasimplehin ang mga expression ng Boolean. Dapat pansinin na sa proposisyonal na lohika ang isang abstract mula sa semantikong nilalaman ng isang pahayag at nililimitahan ang sarili sa pagsasaalang-alang nito mula sa posisyon na ito ay tama o mali.

Halimbawa 1.

1) (2 = 2) AT (7 = 7) ;

2) Hindi(15;

3) ("Pine" = "Oak") O ("Cherry" = "Maple");

4) Hindi("Pine" = "Oak") );

5) (Hindi(15 20);

6) (“Ibinigay ang mga mata upang makakita”) At (“Sa ilalim ng ikatlong palapag ay ang ikalawang palapag”);

7) (6/2 = 3) O (7*5 = 20) .

1) Ang kahulugan ng pahayag sa unang bracket ay "totoo", ang kahulugan ng expression sa pangalawang bracket ay totoo din. Ang parehong mga pahayag ay konektado sa pamamagitan ng lohikal na operasyon na "AT" (tingnan ang mga patakaran para sa operasyong ito sa itaas), samakatuwid ang lohikal na halaga ng buong pahayag na ito ay "totoo".

2) Ang kahulugan ng pahayag sa mga bracket ay "false". Bago ang pahayag na ito ay mayroong lohikal na operasyon ng negasyon, samakatuwid ang lohikal na kahulugan ng buong pahayag na ito ay "totoo".

3) Ang kahulugan ng pahayag sa unang bracket ay "false", ang kahulugan ng pahayag sa pangalawang bracket ay "false" din. Ang mga pahayag ay konektado sa pamamagitan ng lohikal na operasyong "OR" at wala sa mga pahayag ang may halagang "true". Samakatuwid, ang lohikal na kahulugan ng buong pahayag na ito ay "mali."

4) Ang kahulugan ng pahayag sa mga bracket ay "false". Ang pahayag na ito ay nauuna sa lohikal na operasyon ng negation. Samakatuwid, ang lohikal na kahulugan ng buong pahayag na ito ay "totoo".

5) Ang pahayag sa mga panloob na bracket ay tinatanggihan sa unang mga bracket. Ang pahayag na ito sa mga panloob na bracket ay may kahulugang "maling", samakatuwid ang negasyon nito ay magkakaroon ng lohikal na kahulugang "totoo". Ang pahayag sa pangalawang bracket ay nangangahulugang "mali". Ang dalawang pahayag na ito ay konektado sa pamamagitan ng lohikal na operasyon na "AT", iyon ay, "totoo AT mali" ay nakuha. Samakatuwid, ang lohikal na kahulugan ng buong pahayag na ito ay "mali."

6) Ang kahulugan ng pahayag sa unang bracket ay "totoo", ang kahulugan ng pahayag sa ikalawang bracket ay "totoo" din. Ang dalawang pahayag na ito ay konektado sa pamamagitan ng lohikal na operasyon na "AT", iyon ay, "totoo AT katotohanan" ay nakuha. Samakatuwid, ang lohikal na kahulugan ng buong ibinigay na pahayag ay "totoo."

7) Ang kahulugan ng pahayag sa unang mga bracket ay "totoo". Ang kahulugan ng pahayag sa ikalawang bracket ay "false". Ang dalawang pahayag na ito ay konektado ng lohikal na operasyong "OR", iyon ay, ang resulta ay "true OR false". Samakatuwid, ang lohikal na kahulugan ng buong ibinigay na pahayag ay "totoo."

Halimbawa 2. Isulat ang mga sumusunod na kumplikadong pahayag gamit ang mga lohikal na operasyon:

1) "Ang user ay hindi nakarehistro";

2) "Linggo ngayon at may mga empleyadong nasa trabaho";

3) "Ang gumagamit ay nakarehistro kung at kung ang data na isinumite ng gumagamit ay itinuturing na wasto."

1) p- solong pahayag na "Nakarehistro ang gumagamit", lohikal na operasyon: ;

2) p- nag-iisang pahayag na "Linggo ngayon", q- "Ang ilang mga empleyado ay nasa trabaho", lohikal na operasyon: ;

3) p- isang pahayag na "Nakarehistro ang gumagamit", q- "Ang data na ipinadala ng user ay natagpuang wasto", lohikal na operasyon: .

Lutasin ang mga halimbawa ng propositional logic sa iyong sarili, at pagkatapos ay tingnan ang mga solusyon

Halimbawa 3. Kalkulahin ang mga lohikal na halaga ng mga sumusunod na pahayag:

1) (“May 70 segundo sa isang minuto”) O (“Isang tumatakbong orasan ang nagsasabi ng oras”);

2) (28 > 7) AT (300/5 = 60) ;

3) ("TV - de-koryenteng kasangkapan") At ("Glass - kahoy");

4) Hindi((300 > 100) O ("Maaari mong pawiin ang iyong uhaw sa tubig"));

5) (75 < 81) → (88 = 88) .

Halimbawa 4. Isulat ang mga sumusunod na kumplikadong pahayag gamit ang mga lohikal na operasyon at kalkulahin ang kanilang mga lohikal na halaga:

1) "Kung ang orasan ay nagpapakita ng oras nang hindi tama, maaari kang makarating sa klase sa maling oras";

2) "Sa salamin makikita mo ang iyong repleksyon at ang Paris, ang kabisera ng USA";

Halimbawa 5. Tukuyin ang Boolean Value ng isang Expression

(p → q) ↔ (r → s) ,

p = "278 > 5" ,

q= "Mansanas = Orange",

p = "0 = 9" ,

s= "Natatakpan ng sumbrero ang ulo".

Mga formula ng lohika ng panukala

Ang konsepto ng lohikal na anyo ng isang kumplikadong pahayag ay nilinaw gamit ang konsepto mga pormula ng lohika ng panukala .

Sa mga halimbawa 1 at 2 natutunan naming magsulat ng mga kumplikadong pahayag gamit ang mga lohikal na operasyon. Sa totoo lang, ang mga ito ay tinatawag na propositional logic formula.

Upang tukuyin ang mga pahayag, tulad ng sa nabanggit na halimbawa, patuloy naming gagamitin ang mga titik

p, q, r, ..., p 1 , q 1 , r 1 , ...

Gagampanan ng mga titik na ito ang papel ng mga variable na kumukuha ng mga halaga ng katotohanan na "totoo" at "mali" bilang mga halaga. Ang mga variable na ito ay tinatawag ding propositional variable. Tatawagan pa natin sila elementarya na mga pormula o mga atomo .

Upang makabuo ng mga propositional logic formula, bilang karagdagan sa mga titik na ipinahiwatig sa itaas, ang mga palatandaan ng mga lohikal na operasyon ay ginagamit.

~, ∧, ∨, →, ↔,

pati na rin ang mga simbolo na nagbibigay ng posibilidad ng hindi malabo na pagbabasa ng mga formula - kaliwa at kanang mga bracket.

Konsepto mga pormula ng lohika ng panukala tukuyin natin ito tulad ng sumusunod:

1) elementarya formula (atoms) ay mga formula ng propositional logic;

2) kung A At B- mga proposisyonal na logic formula, pagkatapos ay ~ A , (A ∧ B) , (A ∨ B) , (A → B) , (A ↔ B) ay mga formula din ng propositional logic;

3) ang mga expression lamang na iyon ay mga formula ng propositional logic kung saan ito ay sumusunod mula sa 1) at 2).

Ang kahulugan ng isang propositional logic formula ay naglalaman ng isang listahan ng mga panuntunan para sa pagbuo ng mga formula na ito. Ayon sa kahulugan, ang bawat propositional logic formula ay alinman sa isang atom o nabuo mula sa mga atom bilang resulta ng pare-parehong aplikasyon ng panuntunan 2).

Halimbawa 6. Hayaan p- solong pahayag (atom) "Lahat ng mga rational na numero ay totoo", q- "Ang ilang totoong numero ay mga rational na numero" r- "Ang ilang mga makatwirang numero ay totoo." Isalin ang mga sumusunod na formula ng propositional logic sa anyo ng verbal statement:

6) .

1) "walang tunay na mga numero na makatwiran";

2) "kung hindi lahat ng mga rational na numero ay totoo, hindi makatwirang mga numero, na may bisa";

3) "kung ang lahat ng mga rational na numero ay totoo, kung gayon ang ilang mga tunay na numero ay mga rational na numero at ang ilang mga rational na numero ay totoo";

4) "lahat ng mga tunay na numero ay mga rational na numero at ang ilang mga tunay na numero ay mga rational na numero at ang ilang mga rational na numero ay tunay na mga numero";

5) "lahat ng mga rational na numero ay totoo kung at kung hindi ito ang kaso na hindi lahat ng mga rational na numero ay totoo";

6) "Hindi ito ang kaso na hindi lahat ng mga rational na numero ay totoo at walang tunay na mga numero na makatuwiran o walang mga rational na numero na totoo."

Halimbawa 7. Gumawa ng talahanayan ng katotohanan para sa propositional logic formula , na maaaring italaga sa talahanayan f .

Solusyon. Nagsisimula kaming mag-compile ng isang talahanayan ng katotohanan sa pamamagitan ng pagtatala ng mga halaga ("true" o "false") para sa mga solong pahayag (atoms) p , q At r. Ang lahat ng posibleng mga halaga ay nakasulat sa walong hanay ng talahanayan. Dagdag pa, kapag tinutukoy ang mga halaga ng operasyon ng implikasyon at lumipat sa kanan sa talahanayan, naaalala namin na ang halaga ay katumbas ng "false" kapag ang "false" ay sumusunod mula sa "true".

Tandaan na walang atom ang may anyo na ~ A , (A ∧ B) , (A ∨ B) , (A → B) , (A ↔ B). Ang mga kumplikadong formula ay may ganitong uri.

Ang bilang ng mga panaklong sa mga propositional logic formula ay maaaring mabawasan kung tatanggapin natin iyon

1) sa kumplikadong pormula aalisin namin ang panlabas na pares ng mga bracket;

2) ayusin natin ang mga palatandaan ng mga lohikal na operasyon "sa pagkakasunud-sunod ng pangunguna":

↔, →, ∨, ∧, ~ .

Sa listahang ito, ang ↔ sign ang may pinakamalaking saklaw at ang ~ sign ang may pinakamaliit na saklaw. Ang saklaw ng isang sign ng operasyon ay tumutukoy sa mga bahagi ng formula ng propositional logic kung saan inilalapat ang paglitaw ng sign na ito na pinag-uusapan (kung saan ito kumikilos). Kaya, posible na alisin sa anumang formula ang mga pares ng mga bracket na maaaring maibalik, na isinasaalang-alang ang "pagkakasunod-sunod ng pangunguna". At kapag nire-restore ang mga panaklong, una ang lahat ng mga panaklong na may kaugnayan sa lahat ng paglitaw ng sign ~ ay inilalagay (kami ay gumagalaw mula kaliwa papuntang kanan), pagkatapos ay sa lahat ng paglitaw ng sign ∧, at iba pa.

Halimbawa 8. Ibalik ang mga panaklong sa propositional logic formula B ↔ ~ C ∨ D ∧ A .

Solusyon. Ang mga bracket ay naibalik nang sunud-sunod tulad ng sumusunod:

B ↔ (~ C) ∨ D ∧ A

B ↔ (~ C) ∨ (D ∧ A)

B ↔ ((~ C) ∨ (D ∧ A))

(B ↔ ((~ C) ∨ (D ∧ A)))

Hindi lahat ng propositional logic formula ay maaaring isulat nang walang panaklong. Halimbawa, sa mga formula A → (B → C) at ~( A → B) hindi posible ang karagdagang pagbubukod ng mga bracket.

Tautologies at kontradiksyon

Ang mga lohikal na tautologies (o simpleng tautologies) ay mga pormula ng proposisyonal na lohika na kung ang mga titik ay arbitraryong papalitan ng mga pahayag (totoo o mali), ang resulta ay palaging magiging totoong pahayag.

Dahil ang katotohanan o kamalian ng mga kumplikadong pahayag ay nakasalalay lamang sa mga kahulugan, at hindi sa nilalaman ng mga pahayag, na ang bawat isa ay tumutugma sa isang tiyak na titik, pagkatapos ay suriin kung ang isang ibinigay na pahayag ay isang tautolohiya ay maaaring gawin sa sumusunod na paraan. Sa expression na pinag-aaralan, ang mga halaga 1 at 0 (ayon sa pagkakabanggit ay "totoo" at "mali") ay pinapalitan para sa mga titik sa lahat ng posibleng paraan at ang mga lohikal na halaga ng mga expression ay kinakalkula gamit ang mga lohikal na operasyon. Kung ang lahat ng mga halagang ito ay katumbas ng 1, kung gayon ang expression sa ilalim ng pag-aaral ay isang tautolohiya, at kung ang hindi bababa sa isang pagpapalit ay nagbibigay ng 0, kung gayon ito ay hindi isang tautolohiya.

Kaya, ang isang propositional logic formula na kumukuha ng value na "totoo" para sa anumang pamamahagi ng mga halaga ng mga atom na kasama sa formula na ito ay tinatawag magkapareho sa totoong formula o tautolohiya .

Ang kabaligtaran na kahulugan ay isang lohikal na kontradiksyon. Kung ang lahat ng mga halaga ng mga pahayag ay katumbas ng 0, kung gayon ang expression ay isang lohikal na kontradiksyon.

Kaya, ang isang propositional logic formula na kumukuha ng halaga na "false" para sa anumang pamamahagi ng mga halaga ng mga atom na kasama sa formula na ito ay tinatawag magkaparehong maling formula o kontradiksyon .

Bilang karagdagan sa mga tautologies at lohikal na kontradiksyon, may mga formula ng proposisyonal na lohika na hindi tautologies o kontradiksyon.

Halimbawa 9. Bumuo ng talahanayan ng katotohanan para sa isang propositional logic formula at tukuyin kung ito ay isang tautolohiya, isang kontradiksyon, o alinman.

Solusyon. Gumawa tayo ng talahanayan ng katotohanan:

Sa mga kahulugan ng implikasyon ay wala kaming mahanap na linya kung saan ang "false" ay sumusunod mula sa "true". Ang lahat ng mga halaga ng orihinal na pahayag ay katumbas ng "totoo". Dahil dito, ang formula na ito ng propositional logic ay isang tautolohiya.

Simple at kumplikadong mga pahayag, logical variable at logical constants, logical negation, logical multiplication, logical addition, truth table para sa logical operations

Upang i-automate ang mga proseso ng impormasyon, kinakailangan na hindi lamang maipakita ang impormasyon nang pantay iba't ibang uri(numeric, text, graphic, sound) sa anyo ng mga sequence ng mga zero at isa, ngunit din upang matukoy ang mga aksyon na maaaring isagawa sa impormasyon. Ang pagpapatupad ng mga naturang aksyon ay isinasagawa alinsunod sa mga patakaran na namamahala sa proseso ng pag-iisip. Sa madaling salita, alinsunod sa mga batas ng lohika. Ang terminong "lohika" ay nagmula sa sinaunang salitang Griyego1 O§08 , ibig sabihin ay "kaisipan, pangangatwiran, batas." Ang aghamlohikapag-aaral ng mga batas at anyo ng pag-iisip, mga pamamaraan ng ebidensya.

Upang ilarawan ang pangangatwiran at mga panuntunan para sa pagsasagawa ng mga aksyon na may impormasyon, ginagamit ang isang espesyal na wika na pinagtibay sa lohika ng matematika. Ang pangangatwiran ay batay sa mga espesyal na pangungusap na tinatawag na mga pahayag. Palaging iginigiit o itinatanggi ng mga pahayag ang isang bagay tungkol sa mga bagay, ang kanilang mga katangian at ugnayan sa pagitan ng mga bagay. Ang pahayag ay anumang proposisyon kung saan masasabi kung ito ay totoo o mali. Ang mga pahayag ay maaari lamang maging mga pangungusap na paturol. Ang mga interrogative o motivating na pangungusap ay hindi mga pahayag.

Pahayag - isang panukalang nabuo sa anyo ng isang pangungusap na paturol, kung saan masasabi kung ito ay totoo o mali.

Halimbawa, mga pangungusap na patanong"Sa anong taon ang unang salaysay na binanggit ng Moscow?" at "Ano ang external memory ng computer?" o ang pangungusap na insentibo na "Sundin ang mga panuntunang pangkaligtasan sa computer lab" ay hindi mga pahayag. Mga pangungusap na nagsasalaysay "Ang unang pagbanggit sa salaysay ng Moscow ay noong 1812", "Ang random na storage device ay panlabas na memorya computer" at "Walang mga panuntunang pangkaligtasan sa computer lab" ay mga pahayag dahil ang mga ito ay mga proposisyon, na ang bawat isa ay masasabing mali. Ang mga totoong pahayag ay ang mga sumusunod na pahayag: "Ang unang pagbanggit ng salaysay ng Moscow ay noong 1147", "Ang hard magnetic disk ay ang panlabas na memorya ng isang computer."

Ang bawat pahayag ay tumutugma lamang sa isa sa dalawang kahulugan: alinman sa "totoo" o "mali", namga lohikal na pare-pareho.Ang tunay na halaga ay karaniwang tinutukoy ng numero 1, at maling halaga- numero 0. Maaaring ipahiwatig ang mga pahayag gamit angmga lohikal na variable,na ginagamit sa malalaking letrang Latin. Ang mga variable ng Boolean ay maaari lamang kumuha ng isa sa dalawang posibleng halaga: true o false. Halimbawa, ang pahayag na "Ang impormasyon sa isang computer ay naka-encode gamit ang dalawang character" ay maaaring tukuyin ng isang lohikal na variableA,at ang pahayag na "Ang printer ay isang storage device" ay maaaring tukuyin ng isang lohikal na variableSA.Dahil ang unang pahayag ay totoo, kung gayonA= 1. Ang notasyong ito ay nangangahulugan na ang pahayagAtotoo. Dahil ang pangalawang pahayag ay hindi totoo, kung gayonB =0. Ang entry na ito ay nangangahulugan na ang pahayag sa ay mali.

Ang mga pahayag ay maaaring simple o kumplikado. Ang pahayag ay tinatawagsimple,kung walang bahagi nito ay isang pahayag. Sa ngayon, ang mga halimbawa ng mga simpleng pahayag ay ibinigay na tinutukoy ng mga lohikal na pagbabago. Sa pamamagitan ng pagbuo ng isang kadena ng pangangatwiran, ang isang tao, gamit ang mga lohikal na operasyon, ay pinagsama mga simpleng kasabihan Vmas mahirap" pahayag.Upang malaman ang kahulugan ng isang komplikadong pahayag ay hindi na kailangang isipin ang nilalaman nito. Sapat na malaman ang kahulugan ng mga simpleng pahayag na bumubuo sa isang kumplikadong pahayag at ang mga patakaran para sa pagsasagawa ng mga lohikal na operasyon.

Lohikal na operasyon - isang aksyon na nagpapahintulot sa iyo na bumuo ng isang kumplikadong pahayag mula sa mga simpleng pahayag.

Ang lahat ng pangangatwiran ng tao, pati na rin ang pagpapatakbo ng mga modernong teknikal na aparato, ay batay sa mga karaniwang aksyon na may impormasyon - tatlong lohikal na operasyon: lohikal na negation (inversion), lohikal na multiplikasyon (conjunction) at lohikal na karagdagan (disjunction).

Lohikal na negasyon ang isang simpleng pahayag ay nakukuha sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga salita"Hindi totoo yan" sa simula ng isang simpleng pahayag.

■ HALIMBAWA 1.May isang simpleng kasabihan: "Crocodiles can fly." Ang magiging resulta ng lohikal na negasyon ay ang pahayag"Hindi totoo 'yan maaaring lumipad ang mga buwaya." Ang kahulugan ng orihinal na pahayag ay "mali", at ang kahulugan ng bago ay "totoo".

■ HALIMBAWA 2.Mayroong isang simpleng pahayag: "Dapat may pangalan ang file." Ang magiging resulta ng lohikal na negasyon ay ang pahayag"Hindi totoo 'yan dapat may pangalan ang file." Ang kahulugan ng orihinal na pahayag ay "totoo", at ang kahulugan ng bagong pahayag ay "mali".

Mapapansin na ang lohikal na negation ng isang pahayag ay totoo kapag ang orihinal na pahayag ay mali, at kabaliktaran, ang lohikal na negation ng isang pahayag ay mali kapag ang orihinal na pahayag ay totoo.

Lohikal na negasyon (inversion) - isang lohikal na operasyon na nag-uugnay ng isang simpleng pahayag sa isang bagong pahayag, ang kahulugan nito ay kabaligtaran sa kahulugan ng orihinal na pahayag.

Tukuyin natin ang isang simpleng pahayag ng isang lohikal na variableA.Pagkatapos ay tutukuyin natin ang lohikal na negasyon ng pahayag na ito bilang HINDIA. Isulat natin ang lahat ng posibleng halaga ng lohikal na variableAat ang kaukulang mga resulta ng lohikal na negation HINDIA sa anyo ng isang talahanayan na tinatawagtalahanayan ng katotohanan para sa lohikal na negation (Talahanayan 40).

Mapapansin mo na sa talahanayan ng katotohanan para sa lohikal na negation, ang zero ay nagbabago sa isa, at ang isa ay nagbabago sa zero.

Lohikal na pagpaparamidalawang payak na pahayag ang nakukuha sa pamamagitan ng pagsasama-sama ng mga pahayag na ito gamit ang pang-ugnayAt.Tingnan natin ang mga halimbawa 3-6 upang makita kung ano ang magiging resulta ng lohikal na pagpaparami.

■ HALIMBAWA3. Mayroong dalawang simpleng pahayag. Isang pahayag - "Nakatira si Carlson sa basement." Ang isa pang kasabihan ay "Si Carlson ay ginagamot ng ice cream."

Ang resulta ng lohikal na pagpaparami ng mga simpleng pahayag na ito ay ang kumplikadong pahayag na "Si Carlson ay nakatira sa silong,AtSi Carlson ay ginagamot ng ice cream." Maaari mong balangkasin ang bagong pahayag nang mas maikli: "Nakatira si Carlson sa basementAtGinagamot ng ice cream." Ang parehong orihinal na mga pahayag ay mali. Ang kahulugan ng bagong tambalang pahayag ay "mali" din.

■ HALIMBAWA 4.Mayroong dalawang simpleng pahayag. Ang unang pahayag ay "Nakatira si Carlson sa basement." Ang pangalawang pahayag ay "Si Carlson ay ginagamot ng jam."

Ang resulta ng lohikal na pagpaparami ng mga simpleng pahayag na ito ay magiging kumplikadong pahayag na "Si Carlson ay nakatira sa basementAtGinagamot ng jam." Ang unang orihinal na pahayag ay mali, at ang pangalawa ay totoo. Ang kahulugan ng bagong tambalang pahayag ay "kasinungalingan."

■ HALIMBAWA 5.Mayroong dalawang simpleng pahayag. Ang unang pahayag ay "Si Carlson ay nakatira sa bubong." Ang pangalawang pahayag ay "Si Carlson ay ginagamot ng ice cream."

Ang resulta ng lohikal na pagpaparami ng mga simpleng pahayag na ito ay ang kumplikadong pahayag na "Nabubuhay si Carlson sa bubongAtGinagamot ng ice cream." Ang unang paunang pahayag ay tama, at ang pangalawa ay mali. Ang kahulugan ng bagong tambalang pahayag na "kasinungalingan".

* HALIMBAWAb. Mayroong dalawang simpleng pahayag. Ang isang kasabihan ay "Si Carlson ay nakatira sa bubong." Isa pang kasabihan: "Si Carlson ay ginagamot ng jam."

Ang resulta ng lohikal na pagpaparami ng mga simpleng pahayag na ito ay ang kumplikadong pahayag na "Nakatira si Carlson sa bubong at ginagamot sa jam." Ang parehong orihinal na mga pahayag ay totoo. Ang kahulugan ng isang bagong kumplikadong pahayag ay "katotohanan".

Mapapansin na ang lohikal na pagpaparami ng dalawang pahayag ay totoo lamang sa isang kaso - kapag ang parehong orihinal na mga pahayag ay totoo.s.

Lohikal na pagpaparami (conjunction) - isang lohikal na operasyon na nag-uugnay ng dalawang simpleng pahayag sa isang bagong pahayag, ang kahulugan nito ay totoo kung at kung ang parehong orihinal na mga pahayag ay totoo.

TRUTH TABLE PARA SA LOGICAL MULTIPLICATION

Talahanayan 41

KungA = 0, SA =0, pagkatapos A at B-0 (tingnan ang halimbawa 3). KungA = 0,7? = 1, pagkataposAATSA -0 (tingnan ang halimbawa 4). Kung/1 = 1,B =0, pagkataposAAt d=0 (tingnan ang halimbawa 5). Kung si L= \, B = \, pagkatapos ay A\\ B = \(tingnan ang halimbawa 6).

Mapapansin mo na ang mga resulta ng lohikal na pagpaparami ay kapareho ng mga resulta ng ordinaryong pagpaparami ng mga zero at isa.

Lohikal na karagdagandalawang payak na pahayag ang nakukuha sa pamamagitan ng pagsasama-sama ng mga pahayag na ito gamit ang pang-ugnayo.Tingnan natin ang mga halimbawa 7-10 upang makita kung ano ang magiging resulta ng lohikal na karagdagan.

HALIMBAWA 7 . Mayroong dalawang simpleng pahayag. Isang pahayag - "Ang komedya na "The Inspector General" ay isinulat ni M. Yu. Ang isa pang pahayag - "Ang komedya na "The Inspector General" ay isinulat ni I. A. Krylov.

Ang resulta ng lohikal na pagdaragdag ng mga simpleng pahayag na ito ay ang kumplikadong pahayag na "Ang komedya na "The Inspector General" ay isinulat ni M. YuoI. A. Krylov." Ang parehong orihinal na mga pahayag ay mali. Ang kahulugan ng bagong tambalang pahayag ay "mali" din.

HALIMBAWA 8. Mayroong dalawang simpleng pahayag. Ang unang pahayag ay "Ang komedya na "The Inspector General" ay isinulat ni M. Yu. Ang pangalawang pahayag ay "Ang komedya na "The Inspector General" ay isinulat ni N.V. Gogol.

Ang resulta ng lohikal na pagdaragdag ng mga simpleng pahayag na itonymagkakaroon ng masalimuot na pahayag na "Ang komedya na "The Inspector General" ay isinulat ni M, K). LermontovoN.V. Gogol." First initial moMali ang pahayag at tama ang pangalawa. Ang kahulugan ng bagong kumplikadong pahayag ay "katotohanan".

HALIMBAWA 9 . Mayroong dalawang simpleng pahayag. Ang unang pahayag ay "Ang tula na "Mtsyri" ay isinulat ni M. Yu. Ang pangalawang pahayag ay "Ang tula na "Mtsyri" ay isinulat ni N.V. Gogol. Ang resulta ng lohikal na pagdaragdag ng mga simpleng pahayag na ito ay ang kumplikadong pahayag na "Ang tula na "Mtsyri" ay isinulat ni M. Yu. Ang unang orihinal na pahayag ay totoo, at ang pangalawa ay mali. Ang kahulugan ng bagong kumplikadong pahayag ay "katotohanan".

HALIMBAWA 10 . Mayroong dalawang simpleng pahayag. Isang pahayag - "A. Sumulat si S. Pushkin ng tula" Isa pang pahayag - "A. Sumulat si S. Pushkin ng tuluyan.” Ang resulta ng lohikal na pagdaragdag ng mga simpleng pahayag na ito ay magiging kumplikadong pahayag na "A. Sumulat si S. Pushkin ng tula o prosa.” Ang parehong orihinal na mga pahayag ay totoo. Ang kahulugan ng bagong tambalang pahayag ay "katotohanan".

Mapapansin na ang lohikal na pagdaragdag ng dalawang pahayag ay mali lamang sa isang kaso - kapag ang parehong paunang pahayag ay mali.

Lohikal na karagdagan (disjunction)- isang lohikal na operasyon na nag-uugnay ng dalawang simpleng pahayag sa isang bagong pahayag, ang kahulugan nito ay mali kung at kung ang parehong orihinal na mga pahayag ay mali.

Tukuyin natin ang isang simpleng pahayag ng lohikal na variable A, at ang iba pang simpleng pahayag ng lohikal na variable B.

Pagkatapos ay tukuyin natin ang lohikal na pagdaragdag ng mga pahayag na ito A O SA

Isulat natin ang lahat ng posibleng mga halaga ng mga lohikal na variable A, B, pati na rin ang kaukulang resulta ng lohikal na karagdagan A O B sa anyo ng isang talahanayan na tinatawag na talahanayan ng katotohanan.

Ang mga operasyong may binary sign ay isinasagawa alinsunod sa mga talahanayan ng katotohanan para sa lohikal na karagdagan

Mapapansin mo na ang mga resulta ng lohikal na karagdagan, maliban sa huling linya, ay nag-tutugma sa mga resulta ng ordinaryong pagdaragdag ng mga zero at isa.

Kaya, gamit ang wika ng lohika, ang pangangatwiran ay maaaring mapalitan ng mga aksyon na may mga pahayag. Ang mga pahayag, sa turn, ay maaaring magtalaga ng binary sign - 0 o 1. Ang mga aksyon na may binary sign ay isinasagawa alinsunod sa mga talahanayan ng katotohanan para sa mga pangunahing lohikal na operasyon ng lohikal na negation, lohikal na multiplikasyon at lohikal na karagdagan (tingnan ang Mga Talahanayan 40-42)

23. Mga Pahayag. Mga lohikal na operasyon

Ang lohikal na pagdaragdag (disjunction) ng dalawang pahayag ay mali

1) kung at kung ang parehong mga pahayag ay totoo

2) kung at kung ang parehong mga pahayag ay mali

3) kapag ang kahit isang pahayag ay totoo

4) kapag hindi bababa sa isang pahayag ang mali

Mga lohikal na expression. Nagsasagawa ng mga lohikal na operasyon

Ang pagsulat ng mga lohikal na expression, priyoridad ng pagsasagawa ng mga lohikal na operasyon, paghahanap ng halaga ng isang lohikal na pagpapahayag, pagsasagawa ng mga lohikal na operasyon na may impormasyon ng iba't ibang uri, lohikal na pagpaparami at lohikal na karagdagan ay bumubuo ng isang kumpletong sistema ng mga lohikal na operasyon, sa tulong ng kung saan maaari mong. bumuo ng anumang kumplikadong pahayag at tukuyin ang katotohanan nito. Kapag naglalarawan ng pangangatwiran gamit ang wika ng matematikal na lohika, ang mga simpleng pahayag ay tinutukoy ng mga lohikal na variable (mga letrang Latin), ang mga kahulugan ng mga pahayag ay tinutukoy ng mga lohikal na pare-pareho (zero o isa), at ang mga lohikal na operasyon ay tinutukoy ng mga espesyal na connective (HINDI, AT, O). Ang isang talaan na pinagsama-sama gamit ang mga naturang variable, constants at connectives ay tinatawag na logical expression.

Ang isang lohikal na expression ay isang simbolikong notasyon sa wika ng matematikal na lohika, na binubuo ng mga lohikal na variable o lohikal na mga pare-pareho na pinagsama ng mga lohikal na operasyon (koneksyon).

Kapag nahanap ang halaga ng isang lohikal na pagpapahayag, ang mga lohikal na operasyon ay ginaganap sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod, ayon sa kanilang priyoridad - unang lohikal na negation, pagkatapos ay lohikal na pagpaparami at pagkatapos lamang ng lohikal na pagdaragdag. Ang mga lohikal na operasyon na may parehong priyoridad ay isinasagawa mula kaliwa hanggang kanan. Ginagamit ang mga panaklong upang baguhin ang pagkakasunud-sunod kung saan isinasagawa ang mga lohikal na operasyon.

■ HALIMBAWA 1. Given a simple true statement A = “Aristotle - sinaunang Griyegong pilosopo" at isang simpleng maling pahayag B = "Si Aristotle ay isang sinaunang pilosopo ng Russia."

Mga aksyon sa impormasyon. Mga Pangunahing Operasyon

kahulugan ng mga kumplikadong pahayag na tumutugma sa mga sumusunod na lohikal na pagpapahayag:

1) HINDI A;

2) A O B;

3) A I (NEV).

Solusyon. 1) Ang resulta ng lohikal na negation ng pahayag A ay ang pahayag na "Hindi totoo na si Aristotle ay isang sinaunang pilosopong Griyego." Dahil ang halaga ng orihinal na pahayag na "totoo" ay A = 1, kung gayon ang halaga ng lohikal na negation ng pahayag na ito na "false" ay HINDI A = 0 (tingnan ang Talahanayan 40). 2) Ang resulta ng lohikal na pagdaragdag ng dalawang pahayag ay ang pahayag na "Si Aristotle ay isang sinaunang Griyego o Aristotle ay isang sinaunang pilosopo ng Russia." Dahil ang halaga ng unang paunang pahayag na "totoo" A = 1, at ang halaga ng pangalawang paunang pahayag na "mali" B = 0, kung gayon ang halaga ng lohikal na pagdaragdag ng mga pahayag na ito ay "totoo" A O B = 1 (tingnan ang Talahanayan 42). 3) Ang resulta ng lohikal na multiplikasyon ng pahayag A at ang lohikal na pagtanggi ng pahayag B ay ang pahayag na "Si Aristotle ay isang sinaunang pilosopong Griyego, at hindi totoo na si Aristotle ay isang sinaunang pilosopo ng Russia." Una, ginagawa namin ang lohikal na negation ng pahayag B. Dahil ang halaga ng orihinal na pahayag na "false" ay B = 0, kung gayon ang halaga ng lohikal na negation ng pahayag na ito na "true" ay HINDI B = 1 (tingnan ang Talahanayan 40). Dahil ang halaga ng unang inisyal na pahayag na "totoo" A = 1 at ang halaga ng lohikal na negation ng pangalawang paunang pahayag na "totoo" HINDI B = 1, kung gayon ang halaga ng lohikal na pagpaparami ng mga pahayag na ito ay "totoo" A AT ( HINDI B) =1

(tingnan ang talahanayan 41)

Sagot. 1) "Kasinungalingan"; 2) "katotohanan"; 3) "katotohanan". Upang mahanap ang kahulugan ng isang kumplikadong pahayag, sapat na malaman ang mga kahulugan ng mga simpleng pahayag na kasama sa kumplikadong pahayag at ang mga patakaran para sa pagsasagawa ng mga lohikal na operasyon na pinagsama ang mga simpleng pahayag na ito.

■ HALIMBAWA 2. Hanapin ang halaga ng lohikal na expression na HINDI A O (0 O 1) AT (HINDI B AT 1), kung ang mga halaga ng mga lohikal na variable A =1, B =0.

Solusyon. 1) Palitan natin ang mga lohikal na variable sa isang lohikal na pagpapahayag ng mga lohikal na pare-pareho. NEAILI(0OR 1)AT(NEVI 1)= =HINDI1O(0OR1)AT(HINDI0AT1).

2) Tukuyin ang pagkakasunud-sunod ng mga lohikal na operasyon alinsunod sa kanilang priyoridad. HE4 1 OR6 (0 OR1 1) AND5 (HEG 0 AND3 1).

Sa ilalim pahayag ay nauunawaan bilang isang pananalitang pangwika kung saan isa lamang sa dalawang bagay ang masasabi: ito ay totoo o mali. Ang mga pahayag, hindi katulad ng mga paghatol, ay walang personal na katangian.

Ang mga tanong, kahilingan, utos, padamdam, indibidwal na salita (maliban sa mga kaso kung ang mga ito ay kinatawan ng mga pahayag gaya ng "gagabi na," "lalamig na," atbp.) ay hindi mga pahayag. Ang katotohanan at kamalian ng mga pahayag ay kanila mga lohikal na halaga.

Ang mga pahayag ay nahahati sa attributive, existential at relational.

Attributive ay tinatawag na mga pahayag kung saan ang isang ari-arian o estado ng isang bagay ay pinagtibay o tinanggihan.

eksistensyal ay mga pahayag na nagpapatunay o tumatanggi sa katotohanan ng pagkakaroon.

Relational ay tinatawag na mga pahayag na nagpapahayag ng mga relasyon sa pagitan ng mga bagay.

Ang mga pahayag, tulad ng kanilang mga lohikal na anyo, ay maaaring maging simple o kumplikado. Kumplikado Ang pahayag ay maaaring hatiin sa mga payak. Simple ang mga pahayag ay hindi nahahati sa mas simple.

Ang isang simpleng attributive na pahayag ay may istraktura na kinabibilangan ng isang paksa, isang panaguri at isang pang-uugnay.

Paksa ang pagbigkas (S) ay ang bahagi ng pagbigkas na nagpapahayag ng paksa ng kaisipan.

panaguri Ang pagbigkas (P) ay bahagi ng isang pahayag na nagpapakita ng tanda ng paksa ng kaisipan, pag-aari nito, estado, relasyon.

Tinatawag ang simuno (S) at panaguri (P). mga tuntunin. bungkos ay nagpapahiwatig ng kaugnayan sa pagitan ng mga termino (S at P).

Ang mga attributive na pahayag ay kadalasang gumagamit ng existential at general quantifier.

Ang mga pahayag ng katangian ay nahahati sa kalidad at dami.

Batay sa kalidad, nahahati sila sa positibo at negatibo. SA sang-ayon ay nagpapahiwatig na ang katangiang maiisip sa panaguri ay kabilang (presence) sa paksa ng pahayag: "S ay P." Halimbawa: "Si Plato ay isang idealistang pilosopo." SA negatibo ay nagpapahiwatig na ang panaguri ay hindi kabilang sa paksa nito: "S ay hindi P."

Batay sa bilang ng mga pahayag, nahahati sila sa iisa, partikular at pangkalahatan. Ito ay tumutukoy sa kabuuan (numero, numero) ng mga indibidwal na bagay na bumubuo sa pangalan ng klase ng paksa.

SA walang asawa Sa mga pahayag, ang paksa ay binubuo ng isang bagay.

Pribado ang mga pahayag ay may anyong: "Ang ilang S ay (hindi) P."

SA pangkalahatan Sa mga pahayag, ang paksa ay sumasaklaw sa lahat ng mga bagay. Ang ganitong mga pahayag ay may anyong: "Lahat ng S ay (hindi) P."

Ang mga pahayag ay inuri ayon sa kalidad at dami. Mayroong 4 na klase ng mga pahayag:

1) unibersal (A) - pangkalahatan sa dami at sang-ayon sa kalidad ("Lahat ng S ay P");

2) pribadong pagsang-ayon (J)- quotient sa dami at afirmative sa kalidad ("Ang ilang mga S ay R");

3) pangkalahatang negatibo (E) - pangkalahatan sa dami at negatibo sa kalidad ("Walang S ay P");

4) bahagyang negatibo (TUNGKOL)- quotient sa dami at negatibo sa kalidad ("Ang ilang S ay hindi P").

Sa bawat klase ng mga pahayag ang ratio ng mga volume S at P (mga termino) ay iba. Sa lohika, ang problema ng relasyon sa pagitan ng mga volume S at P ay tinatawag ang problema sa pamamahagi ng mga termino. Ang isang termino ay ipinamamahagi kung ito ay ganap na kasama sa saklaw ng isa pang termino o ganap na hindi kasama dito.

Sa klase A |Lahat ng S ay P| ang paksa ay ganap na naipamahagi sa panaguri, ngunit ang panaguri ay hindi naipamahagi.

Mga minamahal, natutuwa kaming makita ka sa pahinang ito! Mahal na bisita, posibleng hinahanap mo Simple Quotes na may mga guhit sa paksang ito. Malamig! Natagpuan mo ang iyong hinahanap. Nais namin sa iyo na nakakatuwang pagbabasa at pagpapabuti ng sarili!

Yaong mga patuloy na sumusubok sa kanilang buhay hanggang sa limitasyon, sa malao't madali ay makakamit nila ang kanilang layunin at nagtatapos nito nang kamangha-mangha.

Napagtanto ko na upang maunawaan ang kahulugan ng buhay, ito ay kinakailangan, una sa lahat, upang ang buhay ay hindi maging walang kabuluhan at masama, at pagkatapos ay mangatuwiran upang maunawaan ito. Tolstoy L. N.

Paano mas malakas na pag-ibig, mas walang pagtatanggol siya. Duchess Diana (Marie de Bossac)

Minsan sa isang buhay, ang kapalaran ay kumakatok sa pintuan ng bawat tao, ngunit sa oras na ito ang isang tao ay madalas na nakaupo sa pinakamalapit na pub at hindi nakakarinig ng anumang katok. Mark Twain

Hindi ako natatakot sa isang taong nag-aaral ng 10,000 iba't ibang welga. Natatakot ako sa nag-aaral ng isang suntok ng 10,000 beses.

Araw-araw kitang pinapangarap, iniisip kita sa gabi!

Ang sinumang hindi maaaring magkaroon ng 2/3 ng isang araw para sa kanyang sarili ay dapat tawaging alipin. Friedrich Nietzsche

Isa ako sa mga pumayag na pag-usapan ang kahulugan ng buhay upang maging handa sa pag-edit ng layout sa paksang ito. Eco U.

Desinit in piscem mulier formosa superne - isang babaeng maganda sa itaas ay nagtatapos sa buntot ng isda.

Tayo ay alipin ng ating mga ugali. Baguhin mo ang iyong ugali, magbabago ang iyong buhay. Robert Kiyosaki

Maaari mong abutin ang kaligayahan. Malapit na malapit na! Pero lagi kang lumilingon

Maaari mong palaging patawarin ang iyong sarili sa mga pagkakamali kung mayroon ka lamang lakas ng loob na aminin ang mga ito. Bruce Lee

Ang unang hininga ng pag-ibig ay ang huling hininga ng karunungan. Anthony Brett.

Ang pagkakaibigan ay pag-ibig na walang pakpak. Byron

Kung masasabi ng isang tao kung ano ang pag-ibig, kung gayon hindi niya minahal ang sinuman.

Kung ano man ang gusto mo, halikan mo.

dahil sa maraming tao kaya kong lampasan ang pride at takot ko...

Nagsimula ang aming pag-iibigan sa unang tingin.

Ang selos ay pagtataksil sa pamamagitan ng hinala ng pagkakanulo. V. Krotov

Sa isang natatanging lalaki - gusto kong ulitin ito!

Ang isang romantikong hilig na babae ay naiinis sa pakikipagtalik nang walang pag-ibig. Kaya naman nagmamadali siyang ma-love at first sight. Lydia Yasinskaya

Ang pag-ibig ay nasa loob ng lahat, ngunit ito ay nagkakahalaga na ipakita lamang ito sa mga taong bukas sa iyo.

Ang lihim ng pag-ibig para sa isang tao ay nagsisimula sa sandaling tinitingnan natin siya nang walang pagnanais na angkinin siya, nang walang pagnanais na mamuno sa kanya, nang walang pagnanais na samantalahin ang kanyang mga regalo o ang kanyang pagkatao sa anumang paraan - tinitingnan lang natin at namangha sa kagandahang nahayag sa atin . Anthony, Metropolitan ng Sourozh

Gusto kong mapabilang sa primitive society. Hindi mo kailangang mag-isip tungkol sa pera, tungkol sa hukbo, tungkol sa anumang mga titulo o akademikong degree. Ang mga babae, baka at alipin lamang ang mahalaga.

Kapag hindi komportable para sa isang tao na magsinungaling sa isang tabi, siya ay bumaling sa kabila, at kapag hindi siya komportable na mabuhay, siya ay nagrereklamo lamang. At gumawa ka ng isang pagsisikap at tumalikod. Maxim Gorky

Ang mabagal na kamay ng oras ay nagpapakinis sa mga bundok. Voltaire

Ang mga babae ay may buong puso, maging ang ulo. Jean Paul

Ang iyong halik ay napakatamis na ako ay na-inspire sa kaligayahan!

Ang lalaki ay umabot, tulad ng isang usbong, patungo sa Luminary at nagiging mas matangkad. Nangangarap ng mga imposibleng pangarap, naabot niya ang taas ng langit.

Ang tunay na pagkakaibigan ay mas mabuti kaysa pekeng pag-ibig!

Hindi tayo maaaring bawian ng respeto sa sarili maliban kung ibibigay natin ito kay Gandhi mismo.

Ang pag-ibig ay pagiging makasarili nang magkasama.

Ang kaalaman ay ginagawang mas makabuluhan ang isang tao, at ang mga aksyon ay nagbibigay sa kanya ng liwanag. Ngunit maraming tao ang may posibilidad na tumingin ngunit hindi tumitimbang. T. Carlyle

Sa Russia lang ang tawag nila sa mga mahal sa buhay... My grief!

Ang unrequited love ay hindi pagmamahal, kundi torture!

Ang kasapatan ay ang kakayahang gumawa ng dalawang bagay: tumahimik sa oras at magsalita sa oras.

Ang kaligayahan ay kasama ng tamang paghuhusga, ang tamang paghatol ay kasama ng karanasan, at ang karanasan ay kasama ng maling paghuhusga.

Huwag asahan ang mga bagay na magiging mas madali, mas simple, mas mahusay. Hindi ito gagawin. Laging may mga paghihirap. Matuto kang maging masaya ngayon din. Kung hindi, wala kang oras.

Ang buhay, masaya o hindi masaya, matagumpay o hindi matagumpay, ay lubhang kawili-wili pa rin. B. Shaw

Huwag mong ituring ang iyong sarili na matalino: kung hindi, ang iyong kaluluwa ay babangon sa kapalaluan, at ikaw ay mahuhulog sa mga kamay ng iyong mga kaaway. Anthony the Great

Panliligaw sa kanyang asawa ay tila walang katotohanan sa kanya bilang pangangaso para sa inihaw na laro. Emil Krotky

Mga liham at regalo at makintab na mga larawan, ang pagpapahayag ng lambing ay mahalaga. Ngunit mas mahalaga na makinig sa bawat isa nang harapan; ito ay isang mahusay at pambihirang sining. T. Jansson.

Ang buhay ay nakaayos nang napakademonyo nang may kasanayan na nang hindi alam kung paano mapoot, imposibleng tapat na magmahal. M. Gorky

Ang sarap kapag binibigyan ka lang ng mahal mo ng isang malaking bouquet, ang ganda, damn it!

Nang walang takot, ang mga tao ay nagiging walang ingat na mga hangal na madalas mawalan ng buhay. Isaac Asimov Fantastic Voyage II

Ang kaibigan ay isang kaluluwa na naninirahan sa dalawang katawan. Aristotle

Ang pagiging isang tao na iniisip lamang ang tungkol sa kanyang sarili ay hindi nangangahulugan na gawin ang anumang gusto niya. Nangangahulugan ito ng pagnanais na ang buong mundo ay mamuhay sa paraang gusto mo. — O. Wilde

Ang bawat ina ay dapat mag-ukit ng ilang minuto ng libreng oras para sa kanyang sarili upang maghugas ng mga pinggan.