Topik "Berbilang" dipelajari dalam gred 5 sekolah Menengah. Matlamatnya adalah untuk meningkatkan kemahiran pengiraan matematik bertulis dan lisan. Dalam pelajaran ini, konsep baharu diperkenalkan - "nombor berbilang" dan "pembahagi", teknik mencari pembahagi dan gandaan nombor asli, dan kebolehan mencari LCM dalam pelbagai cara diamalkan.

Topik ini sangat penting. Pengetahuan mengenainya boleh digunakan semasa menyelesaikan contoh dengan pecahan. Untuk melakukan ini, anda perlu mencari penyebut biasa dengan mengira gandaan sepunya terkecil (LCM).

Gandaan A ialah integer yang boleh dibahagi dengan A tanpa baki.

Setiap nombor asli mempunyai nombor gandaan yang tidak terhingga. Ia sendiri dianggap paling kecil. Gandaan tidak boleh kurang daripada nombor itu sendiri.

Anda perlu membuktikan bahawa nombor 125 ialah gandaan 5. Untuk melakukan ini, anda perlu membahagikan nombor pertama dengan yang kedua. Jika 125 boleh dibahagi dengan 5 tanpa baki, maka jawapannya ialah ya.

Kaedah ini terpakai untuk nombor kecil.

Terdapat kes khas apabila mengira LOC.

1. Jika anda perlu mencari gandaan sepunya bagi 2 nombor (contohnya, 80 dan 20), di mana satu daripadanya (80) boleh dibahagikan dengan yang lain (20), maka nombor ini (80) ialah gandaan terkecil daripada ini. dua nombor.

LCM(80, 20) = 80.

2. Jika dua tidak mempunyai pembahagi sepunya, maka kita boleh mengatakan bahawa LCM mereka adalah hasil darab kedua-dua nombor ini.

LCM(6, 7) = 42.

Mari kita lihat contoh terakhir. 6 dan 7 berhubung dengan 42 ialah pembahagi. Mereka membahagi gandaan nombor tanpa baki.

Dalam contoh ini, 6 dan 7 ialah faktor berpasangan. Hasil darab mereka adalah sama dengan nombor berbilang terbanyak (42).

Nombor dipanggil perdana jika ia boleh dibahagikan dengan sendirinya sahaja atau dengan 1 (3:1=3; 3:3=1). Selebihnya dipanggil komposit.

Contoh lain melibatkan penentuan sama ada 9 ialah pembahagi 42.

42:9=4 (baki 6)

Jawapan: 9 bukan pembahagi 42 kerana jawapan mempunyai baki.

Pembahagi berbeza daripada gandaan kerana pembahagi ialah nombor yang nombor asli dibahagikan, dan gandaan itu sendiri boleh dibahagikan dengan nombor ini.

Terbesar pembahagi biasa nombor a Dan b, didarab dengan gandaan terkecilnya, akan memberikan hasil darab nombor itu sendiri a Dan b.

Iaitu: gcd (a, b) x gcd (a, b) = a x b.

Gandaan sepunya untuk nombor yang lebih kompleks didapati dengan cara berikut.

Sebagai contoh, cari LCM untuk 168, 180, 3024.

Kami memfaktorkan nombor ini ke dalam faktor perdana dan menulisnya sebagai hasil darab kuasa:

168=2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

LCM(168, 180, 3024) = 15120.

Tanda-tanda pembahagian nombor asli.

Nombor yang boleh dibahagi dengan 2 tanpa baki dipanggilmalah .

Nombor yang tidak boleh dibahagi sama rata dengan 2 dipanggilganjil .

Uji kebolehbahagi dengan 2

Jika nombor asli berakhir dengan digit genap, maka nombor ini boleh dibahagi dengan 2 tanpa baki, dan jika nombor berakhir dengan digit ganjil, maka nombor ini tidak boleh dibahagi sama rata dengan 2.

Contohnya, nombor 60 , 30 8 , 8 4 boleh dibahagi dengan 2 tanpa baki, dan nombornya ialah 51 , 8 5 , 16 7 tidak boleh dibahagikan dengan 2 tanpa baki.

Uji kebolehbahagi dengan 3

Jika jumlah digit sesuatu nombor boleh dibahagi dengan 3, maka nombor itu boleh dibahagikan dengan 3; Jika jumlah digit sesuatu nombor tidak boleh dibahagi dengan 3, maka nombor itu tidak boleh dibahagikan dengan 3.

Sebagai contoh, mari kita ketahui sama ada nombor 2772825 boleh dibahagi dengan 3. Untuk melakukan ini, mari kita hitung jumlah digit nombor ini: 2+7+7+2+8+2+5 = 33 - boleh dibahagi dengan 3. Ini bermakna nombor 2772825 boleh dibahagi dengan 3.

Ujian pembahagian sebanyak 5

Jika rekod nombor asli berakhir dengan digit 0 atau 5, maka nombor ini boleh dibahagikan dengan 5 tanpa baki Jika rekod nombor berakhir dengan digit lain, maka nombor itu tidak boleh dibahagikan dengan 5 tanpa baki.

Contohnya, nombor 15 , 3 0 , 176 5 , 47530 0 boleh dibahagi dengan 5 tanpa baki, dan nombornya ialah 17 , 37 8 , 9 1 jangan kongsi.

Ujian pembahagian sebanyak 9

Jika jumlah digit sesuatu nombor boleh dibahagi dengan 9, maka nombor itu boleh dibahagikan dengan 9; Jika jumlah digit sesuatu nombor tidak boleh dibahagi dengan 9, maka nombor itu tidak boleh dibahagikan dengan 9.

Sebagai contoh, mari kita ketahui sama ada nombor 5402070 boleh dibahagikan dengan 9. Untuk melakukan ini, mari kita hitung jumlah digit nombor ini: 5+4+0+2+0+7+0 = 16 - tidak boleh dibahagikan dengan 9 Ini bermakna nombor 5402070 tidak boleh dibahagikan dengan 9.

Ujian pembahagian sebanyak 10

Jika nombor asli berakhir dengan digit 0, maka nombor ini boleh dibahagi dengan 10 tanpa baki Jika nombor asli berakhir dengan digit lain, maka ia tidak boleh dibahagi sama rata dengan 10.

Sebagai contoh, nombor 40 , 17 0 , 1409 0 boleh dibahagi dengan 10 tanpa baki, dan nombor 17 , 9 3 , 1430 7 - jangan kongsi.

Peraturan untuk mencari pembahagi sepunya terbesar (GCD).

Untuk mencari pembahagi sepunya terbesar bagi beberapa nombor asli, anda perlu:

2) daripada faktor yang termasuk dalam pengembangan salah satu nombor ini, potong yang tidak termasuk dalam pengembangan nombor lain;

3) cari hasil darab faktor yang tinggal.

Contoh. Mari cari GCD (48;36). Mari kita gunakan peraturan.

1. Mari kita memfaktorkan nombor 48 dan 36 menjadi faktor perdana.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

36 = 2 · 2 · 3 · 3

2. Daripada faktor-faktor yang termasuk dalam pengembangan nombor 48, kami memadamkan faktor-faktor yang tidak termasuk dalam pengembangan nombor 36.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

Faktor selebihnya ialah 2, 2 dan 3.

3. Darabkan baki faktor dan dapatkan 12. Nombor ini adalah pembahagi sepunya terbesar bagi nombor 48 dan 36.

GCD (48;36) = 2· 2 · 3 = 12.

Peraturan untuk mencari gandaan sepunya terkecil (LCM).

Untuk mencari gandaan sepunya terkecil beberapa nombor asli, anda perlu:

1) faktorkan mereka ke dalam faktor utama;

2) tuliskan faktor-faktor yang termasuk dalam pengembangan salah satu nombor;

3) menambah kepada mereka faktor yang hilang daripada pengembangan nombor yang tinggal;

4) cari hasil darab faktor yang terhasil.

Contoh. Mari cari LOC (75;60). Mari kita gunakan peraturan.

1. Mari kita memfaktorkan nombor 75 dan 60 menjadi faktor perdana.

75 = 3 · 5 · 5

60 = 2 · 2 · 3 · 3

2. Mari kita tuliskan faktor-faktor yang termasuk dalam pengembangan nombor 75: 3, 5, 5.

LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · …

3. Tambahkan kepada mereka faktor yang hilang daripada pengembangan nombor 60, i.e. 2, 2.

LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2

4. Cari hasil darab faktor yang terhasil

LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2 = 300.

Mari kita mula mengkaji gandaan sepunya terkecil bagi dua atau lebih nombor. Dalam bahagian ini kita akan mentakrifkan istilah, pertimbangkan teorem yang mewujudkan hubungan antara gandaan sepunya terkecil dan pembahagi sepunya terbesar, dan berikan contoh penyelesaian masalah.

Gandaan sepunya – definisi, contoh

Dalam topik ini, kita hanya akan berminat dalam gandaan sepunya integer selain sifar.

Definisi 1

Gandaan sepunya bagi integer ialah integer yang merupakan gandaan semua nombor yang diberi. Malah, ia adalah sebarang integer yang boleh dibahagikan dengan mana-mana nombor yang diberikan.

Takrif gandaan sepunya merujuk kepada dua, tiga, atau lebih integer.

Contoh 1

Mengikut definisi yang diberikan di atas, gandaan sepunya bagi nombor 12 ialah 3 dan 2. Juga, nombor 12 akan menjadi gandaan sepunya bagi nombor 2, 3 dan 4. Nombor 12 dan -12 ialah gandaan sepunya bagi nombor ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.

Pada masa yang sama, gandaan sepunya bagi nombor 2 dan 3 ialah nombor 12, 6, − 24, 72, 468, − 100,010,004 dan siri keseluruhan yang lain.

Jika kita mengambil nombor yang boleh dibahagikan dengan nombor pertama pasangan dan tidak boleh dibahagikan dengan kedua, maka nombor tersebut tidak akan menjadi gandaan sepunya. Jadi, untuk nombor 2 dan 3, nombor 16, − 27, 5009, 27001 tidak akan menjadi gandaan sepunya.

0 ialah gandaan sepunya bagi mana-mana set integer selain sifar.

Jika kita mengimbas kembali harta boleh bahagi berkenaan dengan nombor berlawanan, maka ternyata beberapa integer k akan menjadi gandaan sepunya nombor ini, sama seperti nombor - k. Ini bermakna pembahagi biasa boleh sama ada positif atau negatif.

Adakah mungkin untuk mencari LCM untuk semua nombor?

Gandaan sepunya boleh didapati untuk sebarang integer.

Contoh 2

Kiranya kita diberi k integer a 1 , a 2 , … , a k. Nombor yang kita dapat apabila mendarab nombor a 1 · a 2 · … · a k mengikut harta pembahagian, ia akan dibahagikan kepada setiap faktor yang dimasukkan ke dalam produk asal. Ini bermakna hasil darab nombor a 1 , a 2 , … , a k ialah gandaan sepunya terkecil bagi nombor ini.

Berapakah bilangan gandaan sepunya yang boleh dimiliki oleh integer ini?

Sekumpulan integer boleh mempunyai sejumlah besar gandaan sepunya. Malah, bilangan mereka tidak terhingga.

Contoh 3

Katakan kita mempunyai beberapa nombor k. Kemudian hasil darab nombor k · z, dengan z ialah integer, akan menjadi gandaan sepunya bagi nombor k dan z. Memandangkan bilangan nombor adalah tak terhingga, bilangan gandaan sepunya adalah tak terhingga.

Gandaan Sepunya Terkecil (LCM) – Definisi, Notasi dan Contoh

Mari kita ingat konsep bilangan terkecil bagi set yang diberikan nombor, yang kami lihat dalam bahagian "Membanding Nombor Bulat". Dengan mengambil kira konsep ini, kami merumuskan takrif gandaan sepunya terkecil, yang mempunyai kepentingan praktikal yang paling besar antara semua gandaan sepunya.

Definisi 2

Gandaan sepunya terkecil bagi integer yang diberikan ialah gandaan sepunya positif terkecil bagi nombor ini.

Gandaan sepunya terkecil wujud untuk sebarang bilangan nombor yang diberikan. Singkatan yang paling biasa digunakan untuk konsep dalam kesusasteraan rujukan ialah NOC. Notasi pendek untuk nombor gandaan sepunya terkecil a 1 , a 2 , … , a k akan mempunyai borang LOC (a 1 , a 2 , … , a k).

Contoh 4

Gandaan sepunya terkecil bagi 6 dan 7 ialah 42. Itu. LCM(6, 7) = 42. Gandaan sepunya terkecil daripada empat nombor 2, 12, 15 dan 3 ialah 60. Notasi pendek akan kelihatan seperti LCM (- 2, 12, 15, 3) = 60.

Gandaan sepunya terkecil tidak jelas untuk semua kumpulan nombor yang diberikan. Selalunya ia perlu dikira.

Hubungan antara NOC dan GCD

Gandaan sepunya terkecil dan pembahagi sepunya terbesar adalah berkaitan. Hubungan antara konsep ditubuhkan oleh teorem.

Teorem 1

Gandaan sepunya terkecil bagi dua integer positif a dan b adalah sama dengan hasil darab a dan b dibahagikan dengan pembahagi sepunya terbesar a dan b, iaitu, LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b ).

Bukti 1

Katakan kita mempunyai beberapa nombor M, iaitu gandaan nombor a dan b. Jika nombor M boleh dibahagi dengan a, terdapat juga beberapa integer z , di mana persamaan itu benar M = a k. Mengikut takrif kebolehbahagi, jika M boleh dibahagi dengan b, maka a · k dibahagikan dengan b.

Jika kita memperkenalkan tatatanda baharu untuk gcd (a, b) sebagai d, maka kita boleh menggunakan persamaan a = a 1 d dan b = b 1 · d. Dalam kes ini, kedua-dua kesamaan akan menjadi nombor perdana secara relatif.

Kami telah pun menetapkan di atas itu a · k dibahagikan dengan b. Sekarang syarat ini boleh ditulis seperti berikut:
a 1 d k dibahagikan dengan b 1 d, yang bersamaan dengan syarat a 1 k dibahagikan dengan b 1 mengikut sifat boleh bahagi.

Mengikut sifat nombor koprima, jika a 1 Dan b 1– nombor koprima, a 1 tidak boleh dibahagikan dengan b 1 walaupun pada hakikatnya a 1 k dibahagikan dengan b 1, Itu b 1 mesti dikongsi k.

Dalam kes ini, adalah wajar untuk menganggap bahawa terdapat nombor t, untuk yang mana k = b 1 t, dan sejak b 1 = b: d, Itu k = b: d t.

Sekarang bukannya k mari kita gantikan kepada kesaksamaan M = a k ungkapan bentuk b: d t. Ini membolehkan kita mencapai kesaksamaan M = a b: d t. Pada t = 1 kita boleh mendapat gandaan sepunya terkecil positif bagi a dan b , sama rata a b: d, dengan syarat nombor a dan b positif.

Jadi kami membuktikan bahawa LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).

Mewujudkan sambungan antara LCM dan GCD membolehkan anda mencari gandaan sepunya terkecil melalui pembahagi sepunya terbesar bagi dua atau lebih nombor tertentu.

Definisi 3

Teorem mempunyai dua akibat penting:

• gandaan gandaan sepunya terkecil bagi dua nombor adalah sama dengan gandaan sepunya bagi dua nombor tersebut;
• gandaan sepunya terkecil bagi nombor positif saling perdana a dan b adalah sama dengan hasil darabnya.

Tidak sukar untuk membuktikan kedua-dua fakta ini. Sebarang gandaan sepunya M bagi nombor a dan b ditakrifkan oleh kesamaan M = LCM (a, b) · t untuk beberapa nilai integer t. Oleh kerana a dan b adalah secara relatifnya perdana, maka gcd (a, b) = 1, oleh itu, gcd (a, b) = a · b: gcd (a, b) = a · b: 1 = a · b.

Gandaan sepunya terkecil bagi tiga atau lebih nombor

Untuk mencari gandaan sepunya terkecil bagi beberapa nombor, adalah perlu untuk mencari KPK dua nombor secara berurutan.

Teorem 2

Mari kita berpura-pura itu a 1 , a 2 , … , a k ialah beberapa integer positif. Untuk mengira LCM m k nombor ini, kita perlu mengira secara berurutan m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = NOC(m 2 , a 3) , … , m k = NOC(m k - 1 , a k) .

Bukti 2

Konsekuensi pertama daripada teorem pertama yang dibincangkan dalam topik ini akan membantu kita membuktikan kesahihan teorem kedua. Penalaran adalah berdasarkan algoritma berikut:

• gandaan sepunya nombor a 1 Dan a 2 bertepatan dengan gandaan LCM mereka, sebenarnya, ia bertepatan dengan gandaan nombor itu m 2;
• gandaan sepunya nombor a 1, a 2 Dan a 3 m 2 Dan a 3 m 3;
• gandaan sepunya nombor a 1 , a 2 , … , a k bertepatan dengan gandaan sepunya nombor m k - 1 Dan a k, oleh itu, bertepatan dengan gandaan nombor m k;
• disebabkan oleh fakta bahawa gandaan positif terkecil nombor m k ialah nombor itu sendiri m k, maka gandaan sepunya terkecil bagi nombor itu a 1 , a 2 , … , a k ialah m k.

Ini adalah bagaimana kami membuktikan teorem.

Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter

Kalkulator dalam talian membolehkan anda mencari dengan cepat pembahagi sepunya terbesar dan gandaan sepunya terkecil untuk dua atau mana-mana nombor nombor lain.

Kalkulator untuk mencari GCD dan LCM

Cari GCD dan LOC

Menjumpai GCD dan LOC: 6433

Cara menggunakan kalkulator

• Masukkan nombor dalam medan input
• Jika anda memasukkan aksara yang salah, medan input akan diserlahkan dengan warna merah
• klik butang "Cari GCD dan LOC".

Bagaimana untuk memasukkan nombor

• Nombor dimasukkan dipisahkan oleh ruang, noktah atau koma
• Panjang nombor yang dimasukkan tidak terhad, jadi mencari GCD dan LCM bagi nombor panjang tidaklah sukar

Apakah GCD dan NOC?

Pembahagi sepunya terbesar beberapa nombor ialah integer semula jadi terbesar di mana semua nombor asal boleh dibahagikan tanpa baki. Pembahagi sepunya terbesar disingkatkan sebagai GCD.
Gandaan sepunya terkecil beberapa nombor ialah nombor terkecil, yang boleh dibahagi dengan setiap nombor asal tanpa baki. Gandaan sepunya terkecil disingkatkan sebagai NOC.

Bagaimana untuk menyemak bahawa nombor boleh dibahagikan dengan nombor lain tanpa baki?

Untuk mengetahui sama ada satu nombor boleh dibahagi dengan yang lain tanpa baki, anda boleh menggunakan beberapa sifat kebolehbahagi nombor. Kemudian, dengan menggabungkannya, anda boleh menyemak kebolehpecahan sebahagian daripadanya dan gabungannya.

Beberapa tanda pembahagian nombor

1. Ujian kebolehbahagiaan untuk nombor dengan 2
Untuk menentukan sama ada nombor boleh dibahagikan dengan dua (sama ada genap), cukup untuk melihat digit terakhir nombor ini: jika ia sama dengan 0, 2, 4, 6 atau 8, maka nombor itu adalah genap, yang bermaksud ia boleh dibahagikan dengan 2.
Contoh: tentukan sama ada nombor 34938 boleh dibahagi dengan 2.
Penyelesaian: Kami melihat digit terakhir: 8 - ini bermakna nombor itu boleh dibahagikan dengan dua.

2. Ujian kebolehbahagiaan untuk nombor dengan 3
Suatu nombor boleh dibahagi dengan 3 apabila jumlah digitnya boleh dibahagi dengan tiga. Oleh itu, untuk menentukan sama ada nombor boleh dibahagi dengan 3, anda perlu mengira jumlah digit dan menyemak sama ada ia boleh dibahagikan dengan 3. Walaupun jumlah digit itu sangat besar, anda boleh mengulangi proses yang sama sekali lagi.
Contoh: tentukan sama ada nombor 34938 boleh dibahagi dengan 3.
Penyelesaian: Kami mengira jumlah nombor: 3+4+9+3+8 = 27. 27 boleh dibahagi dengan 3, yang bermaksud nombor itu boleh dibahagi dengan tiga.

3. Ujian kebolehbahagiaan untuk nombor dengan 5
Suatu nombor boleh dibahagi dengan 5 apabila digit terakhirnya ialah sifar atau lima.
Contoh: tentukan sama ada nombor 34938 boleh dibahagi dengan 5.
Penyelesaian: lihat digit terakhir: 8 bermakna nombor itu TIDAK boleh dibahagikan dengan lima.

4. Ujian kebolehbahagiaan untuk nombor dengan 9
Tanda ini hampir sama dengan tanda boleh bahagi dengan tiga: nombor boleh dibahagi dengan 9 apabila jumlah digitnya boleh dibahagikan dengan 9.
Contoh: tentukan sama ada nombor 34938 boleh dibahagi dengan 9.
Penyelesaian: Kami mengira jumlah nombor: 3+4+9+3+8 = 27. 27 boleh dibahagi dengan 9, yang bermaksud nombor itu boleh dibahagikan dengan sembilan.

Bagaimana untuk mencari GCD dan LCM bagi dua nombor

Bagaimana untuk mencari gcd dua nombor

Paling dengan cara yang mudah Mengira pembahagi sepunya terbesar bagi dua nombor ialah mencari semua pembahagi yang mungkin bagi nombor-nombor ini dan pilih yang terbesar daripadanya.

Mari kita pertimbangkan kaedah ini menggunakan contoh mencari GCD(28, 36):

1. Kami memfaktorkan kedua-dua nombor: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
2. Kami mencari faktor sepunya, iaitu faktor yang kedua-dua nombor mempunyai: 1, 2 dan 2.
3. Kami mengira hasil darab faktor ini: 1 2 2 = 4 - ini adalah pembahagi sepunya terbesar bagi nombor 28 dan 36.

Bagaimana untuk mencari LCM bagi dua nombor

Terdapat dua cara yang paling biasa untuk mencari gandaan terkecil daripada dua nombor. Kaedah pertama ialah anda boleh menulis gandaan pertama bagi dua nombor, dan kemudian memilih antara mereka nombor yang akan menjadi biasa kepada kedua-dua nombor dan pada masa yang sama yang terkecil. Dan yang kedua ialah mencari gcd nombor ini. Mari kita pertimbangkan sahaja.

Untuk mengira LCM, anda perlu mengira hasil darab nombor asal dan kemudian membahagikannya dengan GCD yang ditemui sebelum ini. Mari kita cari LCM untuk nombor 28 dan 36 yang sama:

1. Cari hasil darab nombor 28 dan 36: 28·36 = 1008
2. GCD(28, 36), seperti yang telah diketahui, adalah sama dengan 4
3. LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

Mencari GCD dan LCM untuk beberapa nombor

Pembahagi sepunya terbesar boleh didapati untuk beberapa nombor, bukan hanya dua. Untuk tujuan ini, nombor yang ditemui untuk pembahagi sepunya terbesar difaktorkan ke dalam faktor perdana, maka hasil darab faktor sepunya ditemui. faktor utama nombor-nombor ini. Anda juga boleh menggunakan hubungan berikut untuk mencari gcd beberapa nombor: GCD(a, b, c) = GCD(GCD(a, b), c).

Hubungan yang serupa digunakan untuk gandaan sepunya terkecil: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Contoh: cari GCD dan LCM untuk nombor 12, 32 dan 36.

1. Mula-mula, mari kita memfaktorkan nombor: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
2. Mari cari faktor sepunya: 1, 2 dan 2.
3. Produk mereka akan memberikan GCD: 1·2·2 = 4
4. Sekarang mari kita cari LCM: untuk melakukan ini, mari kita cari LCM(12, 32): 12·32 / 4 = 96 .
5. Untuk mencari LCM bagi ketiga-tiga nombor, anda perlu mencari GCD(96, 36): 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , GCD = 1·2· 2 3 = 12.
6. LCM(12, 32, 36) = 96·36 / 12 = 288.

Mari kita teruskan perbualan tentang gandaan sepunya terkecil, yang kita mulakan dalam bahagian "LCM - gandaan sepunya terkecil, definisi, contoh." Dalam topik ini, kita akan melihat cara untuk mencari LCM bagi tiga atau lebih nombor, dan kita akan melihat persoalan tentang cara mencari LCM bagi nombor negatif.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Mengira Gandaan Sepunya Terkecil (LCM) melalui GCD

Kami telah pun mewujudkan hubungan antara gandaan sepunya terkecil dan pembahagi sepunya terbesar. Sekarang mari kita pelajari cara menentukan LCM melalui GCD. Mula-mula, mari kita fikirkan cara melakukan ini untuk nombor positif.

Definisi 1

Anda boleh mencari gandaan sepunya terkecil melalui pembahagi sepunya terbesar menggunakan formula LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).

Contoh 1

Anda perlu mencari LCM bagi nombor 126 dan 70.

Penyelesaian

Mari kita ambil a = 126, b = 70. Mari kita gantikan nilai ke dalam formula untuk mengira gandaan sepunya terkecil melalui pembahagi sepunya terbesar LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Cari gcd nombor 70 dan 126. Untuk ini kita memerlukan algoritma Euclidean: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, oleh itu GCD (126 , 70) = 14 .

Mari kita hitung LCM: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Jawapan: LCM(126, 70) = 630.

Contoh 2

Cari nombor 68 dan 34.

Penyelesaian

GCD masuk dalam kes ini Ini tidak sukar, kerana 68 boleh dibahagi dengan 34. Mari kita hitung gandaan sepunya terkecil menggunakan formula: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Jawapan: LCM(68, 34) = 68.

Dalam contoh ini, kami menggunakan peraturan untuk mencari gandaan sepunya terkecil bagi integer positif a dan b: jika nombor pertama boleh dibahagi dengan kedua, LCM nombor tersebut akan sama dengan nombor pertama.

Mencari LCM dengan memfaktorkan nombor ke dalam faktor perdana

Sekarang mari kita lihat kaedah mencari LCM, yang berdasarkan pemfaktoran nombor menjadi faktor perdana.

Definisi 2

Untuk mencari gandaan sepunya terkecil, kita perlu melakukan beberapa langkah mudah:

• kita menyusun hasil darab semua faktor perdana bagi nombor yang kita perlukan untuk mencari LCM;
• kami mengecualikan semua faktor utama daripada produk terhasilnya;
• produk yang diperoleh selepas menghapuskan faktor perdana sepunya akan sama dengan LCM nombor yang diberikan.

Kaedah mencari gandaan sepunya terkecil ini adalah berdasarkan kesamaan LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b). Jika anda melihat formula, ia akan menjadi jelas: hasil darab nombor a dan b adalah sama dengan hasil darab semua faktor yang mengambil bahagian dalam penguraian dua nombor ini. Dalam kes ini, gcd bagi dua nombor adalah sama dengan hasil darab semua faktor perdana yang hadir secara serentak dalam pemfaktoran kedua-dua nombor ini.

Contoh 3

Kami mempunyai dua nombor 75 dan 210. Kita boleh memfaktorkannya seperti berikut: 75 = 3 5 5 Dan 210 = 2 3 5 7. Jika anda mengarang hasil darab semua faktor bagi dua nombor asal, anda akan mendapat: 2 3 3 5 5 5 7.

Jika kita mengecualikan faktor sepunya kepada kedua-dua nombor 3 dan 5, kita mendapat hasil darab dalam bentuk berikut: 2 3 5 5 7 = 1050. Produk ini akan menjadi LCM kami untuk nombor 75 dan 210.

Contoh 4

Cari LCM nombor 441 Dan 700 , memfaktorkan kedua-dua nombor menjadi faktor perdana.

Penyelesaian

Mari kita cari semua faktor perdana bagi nombor yang diberikan dalam keadaan:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Kami mendapat dua rantai nombor: 441 = 3 3 7 7 dan 700 = 2 2 5 5 7.

Hasil darab semua faktor yang mengambil bahagian dalam penguraian nombor ini akan mempunyai bentuk: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Mari cari faktor biasa. Ini adalah nombor 7. Mari kecualikan ia daripada jumlah produk: 2 2 3 3 5 5 7 7. Ternyata NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Jawapan: LOC(441, 700) = 44,100.

Mari kita berikan satu lagi rumusan kaedah untuk mencari LCM dengan menguraikan nombor menjadi faktor perdana.

Definisi 3

Sebelum ini, kami mengecualikan daripada jumlah bilangan faktor yang sama kepada kedua-dua nombor. Sekarang kita akan melakukannya secara berbeza:

• Mari kita faktorkan kedua-dua nombor menjadi faktor perdana:
• tambah kepada hasil darab faktor perdana nombor pertama dengan faktor yang hilang bagi nombor kedua;
• kami memperoleh produk, yang akan menjadi LCM yang dikehendaki bagi dua nombor.

Contoh 5

Mari kita kembali ke nombor 75 dan 210, yang mana kita sudah mencari LCM dalam salah satu contoh sebelumnya. Mari kita pecahkan kepada faktor mudah: 75 = 3 5 5 Dan 210 = 2 3 5 7. Kepada hasil darab faktor 3, 5 dan 5 nombor 75 menambah faktor yang hilang 2 Dan 7 nombor 210. Kita mendapatkan: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . Ini ialah LCM bagi nombor 75 dan 210.

Contoh 6

Ia adalah perlu untuk mengira LCM bagi nombor 84 dan 648.

Penyelesaian

Mari kita faktorkan nombor daripada keadaan menjadi faktor mudah: 84 = 2 2 3 7 Dan 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Mari kita tambahkan pada hasil darab faktor 2, 2, 3 dan 7 nombor 84 hilang faktor 2, 3, 3 dan
3 nombor 648. Kami mendapat produk 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. Ini ialah gandaan sepunya terkecil bagi 84 dan 648.

Jawapan: LCM(84, 648) = 4,536.

Mencari LCM bagi tiga atau lebih nombor

Tidak kira berapa banyak nombor yang kita hadapi, algoritma tindakan kita akan sentiasa sama: kita akan mencari LCM bagi dua nombor secara berurutan. Terdapat teorem untuk kes ini.

Teorem 1

Mari kita andaikan kita mempunyai integer a 1 , a 2 , … , a k. NOC m k nombor ini didapati dengan mengira secara berurutan m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k).

Sekarang mari kita lihat bagaimana teorem boleh digunakan untuk menyelesaikan masalah tertentu.

Contoh 7

Anda perlu mengira gandaan sepunya terkecil bagi empat nombor 140, 9, 54 dan 250 .

Penyelesaian

Mari kita perkenalkan notasi: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Mari kita mulakan dengan mengira m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9). Mari gunakan algoritma Euclidean untuk mengira GCD bagi nombor 140 dan 9: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Kami mendapat: GCD (140, 9) = 1, GCD (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1,260. Oleh itu, m 2 = 1,260.

Sekarang mari kita hitung menggunakan algoritma yang sama m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). Semasa pengiraan kita memperoleh m 3 = 3 780.

Apa yang perlu kita lakukan ialah mengira m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250). Kami mengikuti algoritma yang sama. Kami mendapat m 4 = 94 500.

LCM bagi empat nombor daripada keadaan contoh ialah 94500.

Jawapan: NOC (140, 9, 54, 250) = 94,500.

Seperti yang anda lihat, pengiraan adalah mudah, tetapi agak intensif buruh. Untuk menjimatkan masa, anda boleh pergi dengan cara lain.

Definisi 4

Kami menawarkan kepada anda algoritma tindakan berikut:

• kita menguraikan semua nombor kepada faktor perdana;
• kepada hasil darab faktor nombor pertama kita tambah faktor yang hilang daripada hasil darab nombor kedua;
• kepada produk yang diperoleh pada peringkat sebelumnya kami menambah faktor yang hilang bagi nombor ketiga, dsb.;
• produk yang terhasil akan menjadi gandaan sepunya terkecil semua nombor daripada keadaan.

Contoh 8

Anda perlu mencari LCM bagi lima nombor 84, 6, 48, 7, 143.

Penyelesaian

Mari faktorkan semua lima nombor menjadi faktor perdana: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Nombor perdana, iaitu nombor 7, tidak boleh difaktorkan ke dalam faktor perdana. Nombor sedemikian bertepatan dengan penguraiannya menjadi faktor perdana.

Sekarang mari kita ambil hasil darab faktor perdana 2, 2, 3 dan 7 bagi nombor 84 dan tambahkan kepada mereka faktor yang hilang bagi nombor kedua. Kami menguraikan nombor 6 kepada 2 dan 3. Faktor ini sudah ada dalam hasil darab nombor pertama. Oleh itu, kami meninggalkan mereka.

Kami terus menambah pengganda yang hilang. Mari kita beralih kepada nombor 48, dari hasil darab faktor utamanya kita ambil 2 dan 2. Kemudian kita menambah faktor perdana 7 daripada nombor keempat dan faktor 11 dan 13 daripada nombor kelima. Kami dapat: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48,048. Ini ialah gandaan sepunya terkecil daripada lima nombor asal.

Jawapan: LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48,048.

Mencari gandaan sepunya terkecil bagi nombor negatif

Untuk mencari gandaan sepunya terkecil nombor negatif, nombor ini mesti digantikan dengan nombor dengan tanda bertentangan, dan kemudian jalankan pengiraan menggunakan algoritma di atas.

Contoh 9

LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) dan LCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888).

Tindakan sedemikian adalah dibenarkan kerana jika kita menerimanya a Dan − a- nombor berlawanan,
kemudian set gandaan nombor a sepadan dengan set gandaan nombor − a.

Contoh 10

Ia adalah perlu untuk mengira LCM nombor negatif − 145 Dan − 45 .

Penyelesaian

Mari kita ganti nombor − 145 Dan − 45 kepada nombor berlawanan mereka 145 Dan 45 . Sekarang, menggunakan algoritma, kami mengira LCM (145, 45) = 145 · 45: GCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1,305, setelah sebelumnya menentukan GCD menggunakan algoritma Euclidean.

Kami mendapat bahawa LCM nombor ialah - 145 dan − 45 sama 1 305 .

Jawapan: LCM (− 145, − 45) = 1,305.

Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter