Penyebut pecahan aritmetik a / b ialah nombor b, yang menunjukkan saiz pecahan unit dari mana pecahan itu tersusun. Penyebut pecahan algebra A / B dipanggil ungkapan algebra B. Untuk melakukan aritmetik dengan pecahan, ia mesti dikurangkan kepada penyebut sepunya terendah.

Anda perlu

• Untuk bekerja dengan pecahan algebra dan mencari penyebut sepunya terendah, anda perlu tahu cara memfaktorkan polinomial.

Arahan

Mari kita pertimbangkan untuk mengurangkan dua pecahan aritmetik n/m dan s/t kepada penyebut sepunya terkecil, dengan n, m, s, t ialah integer. Jelaslah bahawa kedua-dua pecahan ini boleh dikurangkan kepada sebarang penyebut yang boleh dibahagi dengan m dan t. Tetapi mereka cuba membawa kepada penyebut biasa terendah. Ia sama dengan gandaan sepunya terkecil bagi penyebut m dan t pecahan yang diberi. Gandaan terkecil (LMK) bagi suatu nombor ialah bilangan terkecil yang boleh dibahagikan dengan semua nombor yang diberi pada masa yang sama. Itu. dalam kes kita, kita perlu mencari gandaan sepunya terkecil bagi nombor m dan t. Ditandakan sebagai LCM (m, t). Seterusnya, pecahan didarab dengan yang sepadan: (n/m) * (LCM (m, t) / m), (s/t) * (LCM (m, t) / t).

Mari cari penyebut sepunya terendah bagi tiga pecahan: 4/5, 7/8, 11/14. Mula-mula, mari kembangkan penyebut 5, 8, 14: 5 = 1 * 5, 8 = 2 * 2 * 2 = 2^3, 14 = 2 * 7. Seterusnya, hitung LCM (5, 8, 14) dengan mendarab semua nombor dimasukkan ke dalam sekurang-kurangnya satu pengembangan. LCM (5, 8, 14) = 5 * 2^3 * 7 = 280. Perhatikan bahawa jika faktor berlaku dalam pengembangan beberapa nombor (faktor 2 dalam pengembangan penyebut 8 dan 14), maka kita ambil faktor itu kepada ijazah yang lebih tinggi (2^3 dalam kes kami).

Jadi, yang umum diterima. Ia bersamaan dengan 280 = 5 * 56 = 8 * 35 = 14 * 20. Di sini kita mendapat nombor yang kita perlukan untuk mendarab pecahan dengan penyebut yang sepadan untuk membawanya ke penyebut biasa terendah. Kami mendapat 4/5 = 56 * (4/5) = 224/280, 7/8 = 35 * (7/8) = 245/280, 11/14 = 20 * (11/14) = 220/280.

Pengurangan pecahan algebra kepada penyebut sepunya terendah dilakukan secara analogi dengan pecahan aritmetik. Untuk kejelasan, mari kita lihat masalah menggunakan contoh. Biarkan dua pecahan (2 * x) / (9 * y^2 + 6 * y + 1) dan (x^2 + 1) / (3 * y^2 + 4 * y + 1) diberi. Mari kita memfaktorkan kedua-dua penyebut. Ambil perhatian bahawa penyebut pecahan pertama ialah kuasa dua sempurna: 9 * y^2 + 6 * y + 1 = (3 * y + 1)^2. Untuk

Tetapi banyak nombor asli juga boleh dibahagikan dengan nombor asli yang lain.

Sebagai contoh:

Nombor 12 boleh dibahagi dengan 1, dengan 2, dengan 3, dengan 4, dengan 6, dengan 12;

Nombor 36 boleh dibahagi dengan 1, dengan 2, dengan 3, dengan 4, dengan 6, dengan 12, dengan 18, dengan 36.

Nombor yang nombor itu boleh dibahagikan dengan keseluruhan (untuk 12 ini adalah 1, 2, 3, 4, 6 dan 12) dipanggil pembahagi nombor. Pembahagi nombor asli a- ialah nombor asli yang membahagi nombor tertentu a tanpa jejak. Nombor asli yang mempunyai lebih daripada dua pembahagi dipanggil komposit .

Sila ambil perhatian bahawa nombor 12 dan 36 mempunyai faktor sepunya. Nombor-nombor ini ialah: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Pembahagi terbesar bagi nombor ini ialah 12. Pembahagi sepunya bagi kedua-dua nombor ini a Dan b- ini ialah nombor di mana kedua-dua nombor yang diberi dibahagikan tanpa baki a Dan b.

Gandaan sepunya beberapa nombor ialah nombor yang boleh dibahagi dengan setiap nombor ini. Sebagai contoh, nombor 9, 18 dan 45 mempunyai gandaan sepunya 180. Tetapi 90 dan 360 juga adalah gandaan sepunya mereka. Di antara semua gandaan sepunya sentiasa ada yang terkecil, dalam dalam kes ini ini ialah 90. Nombor ini dipanggil yang paling kecilberbilang sepunya (CMM).

LCM sentiasa nombor asli yang mesti lebih besar daripada nombor terbesar yang ditakrifkan.

Gandaan sepunya terkecil (LCM). Hartanah.

Komutatif:

pergaulan:

Khususnya, jika dan ialah nombor koprima, maka:

Gandaan sepunya terkecil bagi dua integer m Dan n ialah pembahagi semua gandaan sepunya yang lain m Dan n. Selain itu, set gandaan sepunya m, n bertepatan dengan set gandaan untuk LCM( m, n).

Asimtotik untuk boleh dinyatakan dalam beberapa fungsi teori nombor.

Jadi, Fungsi Chebyshev. Dan:

Ini berikutan daripada definisi dan sifat fungsi Landau g(n).

Apakah yang berikut daripada hukum taburan nombor perdana.

Mencari gandaan sepunya terkecil (LCM).

NOC( a, b) boleh dikira dalam beberapa cara:

1. Jika pembahagi sepunya terbesar diketahui, anda boleh menggunakan sambungannya dengan LCM:

2. Biarkan penguraian kanonik kedua-dua nombor menjadi faktor perdana diketahui:

di mana p 1 ,...,p k- pelbagai nombor perdana, A d 1 ,...,d k Dan e 1 ,...,e k— integer bukan negatif (ia boleh menjadi sifar jika perdana sepadan tiada dalam pengembangan).

Kemudian NOC ( a,b) dikira dengan formula:

Dalam erti kata lain, penguraian LCM mengandungi semua faktor perdana yang termasuk dalam sekurang-kurangnya satu daripada penguraian nombor. a, b, dan yang terbesar daripada dua eksponen pengganda ini diambil.

Contoh:

Mengira gandaan sepunya terkecil bagi beberapa nombor boleh dikurangkan kepada beberapa pengiraan berurutan bagi LCM bagi dua nombor:

peraturan. Untuk mencari LCM bagi satu siri nombor, anda memerlukan:

- menguraikan nombor kepada faktor perdana;

- pindahkan penguraian terbesar (hasil daripada faktor bilangan terbesar yang diberikan) kepada faktor produk yang diingini, dan kemudian tambah faktor daripada penguraian nombor lain yang tidak muncul dalam nombor pertama atau muncul di dalamnya lebih sedikit kali;

— hasil darab faktor perdana akan menjadi LCM nombor yang diberikan.

Mana-mana dua atau lebih nombor asli mempunyai LCM mereka sendiri. Jika nombor bukan gandaan antara satu sama lain atau tidak mempunyai faktor yang sama dalam pengembangan, maka LCM mereka adalah sama dengan hasil darab nombor ini.

Faktor perdana nombor 28 (2, 2, 7) ditambah dengan faktor 3 (nombor 21), hasil darab (84) akan nombor terkecil, yang boleh dibahagi dengan 21 dan 28.

Faktor perdana bagi nombor terbesar 30 ditambah dengan faktor 5 daripada nombor 25, hasil darab 150 yang terhasil adalah lebih besar daripada nombor terbesar 30 dan boleh dibahagikan dengan semua nombor yang diberi tanpa baki. Ini adalah hasil terkecil yang mungkin (150, 250, 300...) yang merupakan gandaan semua nombor yang diberikan.

Nombor 2,3,11,37 ialah nombor perdana, jadi LCM mereka adalah sama dengan hasil darab nombor yang diberikan.

peraturan. Untuk mengira LCM nombor perdana, anda perlu mendarab semua nombor ini bersama-sama.

Pilihan lain:

Untuk mencari gandaan sepunya terkecil (LCM) beberapa nombor yang anda perlukan:

1) mewakili setiap nombor sebagai hasil darab faktor perdananya, contohnya:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) tuliskan kuasa semua faktor utama:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) tuliskan semua pembahagi utama (pendarab) bagi setiap nombor ini;

4) pilih tahap terbesar setiap daripada mereka, yang terdapat dalam semua pengembangan nombor ini;

5) gandakan kuasa ini.

Contoh. Cari LCM nombor: 168, 180 dan 3024.

Penyelesaian. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Kami menulis kuasa terbesar dari semua pembahagi utama dan melipatgandakannya:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Kebanyakan operasi dengan pecahan algebra, seperti penambahan dan penolakan, memerlukan terlebih dahulu menukar pecahan ini kepada penyebut yang sama. Penyebut sedemikian juga sering dilambangkan dengan frasa " penyebut biasa" Dalam topik ini, kita akan melihat definisi konsep "penyebut sepunya bagi pecahan algebra" dan "penyebut sepunya terkecil bagi pecahan algebra (LCD)", pertimbangkan algoritma untuk mencari penyebut sepunya titik demi titik dan menyelesaikan beberapa masalah pada topik.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Penyebut sepunya bagi pecahan algebra

Jika kita bercakap tentang pecahan biasa, maka penyebut biasa ialah nombor yang boleh dibahagikan dengan mana-mana penyebut pecahan asal. Untuk pecahan biasa 1 2 Dan 5 9 nombor 36 boleh menjadi penyebut biasa, kerana ia boleh dibahagikan dengan 2 dan 9 tanpa baki.

Penyebut sepunya bagi pecahan algebra ditentukan dengan cara yang sama, hanya polinomial digunakan sebagai ganti nombor, kerana ia adalah pengangka dan penyebut bagi pecahan algebra.

Definisi 1

Penyebut sepunya bagi pecahan algebra ialah polinomial yang boleh dibahagi dengan penyebut sebarang pecahan.

Disebabkan oleh keanehan pecahan algebra, yang akan dibincangkan di bawah, kita selalunya akan berurusan dengan penyebut biasa yang diwakili sebagai hasil darab dan bukannya sebagai polinomial piawai.

Contoh 1

Polinomial ditulis sebagai produk 3 x 2 (x + 1), sepadan dengan polinomial bentuk piawai 3 x 3 + 3 x 2. Polinomial ini boleh menjadi penyebut sepunya bagi pecahan algebra 2 x, - 3 x y x 2 dan y + 3 x + 1, disebabkan fakta bahawa ia boleh dibahagikan dengan x, pada x 2 dan seterusnya x+1. Maklumat tentang pembahagian polinomial tersedia dalam topik sumber kami yang sepadan.

Penyebut biasa terkecil (LCD)

Bagi pecahan algebra yang diberi, bilangan penyebut sepunya boleh menjadi tak terhingga.

Contoh 2

Mari kita ambil sebagai contoh pecahan 1 2 x dan x + 1 x 2 + 3. Penyebut biasa mereka ialah 2 x (x 2 + 3), serta − 2 x (x 2 + 3), serta x (x 2 + 3), serta 6, 4 x (x 2 + 3) (y + y 4), serta − 31 x 5 (x 2 + 3) 3, dan sebagainya.

Apabila menyelesaikan masalah, anda boleh membuat kerja anda lebih mudah dengan menggunakan penyebut biasa, yang mempunyai bentuk paling mudah di antara keseluruhan set penyebut. Penyebut ini sering dirujuk sebagai penyebut biasa terendah.

Definisi 2

Penyebut sepunya terkecil bagi pecahan algebra ialah penyebut sepunya bagi pecahan algebra, yang mempunyai bentuk termudah.

Ngomong-ngomong, istilah "penyebut biasa terendah" tidak diterima umum, jadi lebih baik untuk menghadkan diri kita kepada istilah "penyebut biasa". Dan itulah sebabnya.

Terdahulu kami menumpukan perhatian anda pada frasa “penyebut yang paling banyak jenis mudah" Maksud utama frasa ini adalah seperti berikut: penyebut bagi bentuk termudah mesti membahagi tanpa baki sebarang penyebut sepunya data dalam keadaan masalah pecahan algebra. Dalam kes ini, dalam produk, yang merupakan penyebut biasa pecahan, pelbagai pekali berangka boleh digunakan.

Contoh 3

Mari kita ambil pecahan 1 2 · x dan x + 1 x 2 + 3 . Kami telah mengetahui bahawa paling mudah bagi kami untuk bekerja dengan penyebut biasa dalam bentuk 2 · x · (x 2 + 3). Juga, penyebut sepunya untuk kedua-dua pecahan ini boleh x (x 2 + 3), yang tidak mengandungi pekali berangka. Persoalannya ialah yang manakah antara dua penyebut sepunya ini dianggap sebagai penyebut terkecil bagi pecahan tersebut. Tiada jawapan yang pasti, oleh itu adalah lebih tepat untuk bercakap tentang penyebut biasa, dan bekerja dengan pilihan yang paling mudah untuk digunakan. Jadi, kita boleh menggunakan penyebut biasa seperti x 2 (x 2 + 3) (y + y 4) atau − 15 x 5 (x 2 + 3) 3 yang mempunyai lebih rupa yang kompleks, tetapi mungkin lebih sukar untuk mengambil tindakan dengan mereka.

Mencari penyebut sepunya pecahan algebra: algoritma tindakan

Katakan kita mempunyai beberapa pecahan algebra yang mana kita perlu mencari penyebut sepunya. Untuk menyelesaikan masalah ini kita boleh menggunakan algoritma tindakan berikut. Mula-mula kita perlu memfaktorkan penyebut pecahan asal. Kemudian kami mengarang karya di mana kami menyertakan secara berurutan:

• semua faktor daripada penyebut pecahan pertama berserta kuasa;
• semua faktor yang terdapat dalam penyebut pecahan kedua, tetapi yang tidak terdapat dalam hasil bertulis atau darjahnya tidak mencukupi;
• semua faktor yang hilang daripada penyebut pecahan ketiga, dan seterusnya.

Hasil darab yang terhasil akan menjadi penyebut sepunya bagi pecahan algebra.

Sebagai faktor produk, kita boleh mengambil semua penyebut pecahan yang diberikan dalam pernyataan masalah. Walau bagaimanapun, pengganda yang akan kita perolehi akhirnya akan jauh dari NCD dalam maksud dan penggunaannya akan menjadi tidak rasional.

Contoh 4

Tentukan penyebut sepunya bagi pecahan 1 x 2 y, 5 x + 1 dan y - 3 x 5 y.

Penyelesaian

Dalam kes ini, kita tidak perlu memfaktorkan penyebut pecahan asal. Oleh itu, kami akan mula menggunakan algoritma dengan mengarang kerja.

Daripada penyebut pecahan pertama kita ambil pengganda x 2 y, daripada penyebut pecahan kedua pengganda x+1. Kami mendapat produk x 2 y (x + 1).

Penyebut pecahan ketiga boleh memberi kita pendaraban x 5 y, bagaimanapun, produk yang kami susun sebelum ini sudah mempunyai faktor x 2 Dan y. Oleh itu, kami menambah lagi x 5 − 2 = x 3. Kami mendapat produk x 2 y (x + 1) x 3, yang boleh dikurangkan kepada bentuk x 5 y (x + 1). Ini akan menjadi NOZ pecahan algebra kami.

Jawapan: x 5 · y · (x + 1) .

Sekarang mari kita lihat contoh masalah di mana penyebut pecahan algebra mengandungi faktor berangka integer. Dalam kes sedemikian, kami juga mengikuti algoritma, setelah sebelumnya menguraikan faktor berangka integer kepada faktor mudah.

Contoh 5

Cari penyebut sepunya bagi pecahan 1 12 x dan 1 90 x 2.

Penyelesaian

Membahagi nombor dalam penyebut pecahan kepada faktor perdana, kita mendapat 1 2 2 3 x dan 1 2 3 2 5 x 2. Sekarang kita boleh meneruskan untuk menyusun penyebut biasa. Untuk melakukan ini, daripada penyebut pecahan pertama kita mengambil produk 2 2 3 x dan tambah padanya faktor 3, 5 dan x daripada penyebut pecahan kedua. Kita mendapatkan 2 2 3 x 3 5 x = 180 x 2. Ini adalah penyebut biasa kita.

Jawapan: 180 x 2.

Jika anda melihat dengan teliti pada keputusan dua contoh yang dianalisis, anda akan melihat bahawa penyebut sepunya bagi pecahan mengandungi semua faktor yang terdapat dalam pengembangan penyebut, dan jika faktor tertentu terdapat dalam beberapa penyebut, maka ia diambil. dengan eksponen terbesar yang ada. Dan jika penyebut mempunyai pekali integer, maka penyebut sepunya mengandungi faktor berangka yang sama dengan gandaan sepunya terkecil bagi pekali berangka ini.

Contoh 6

Penyebut kedua-dua pecahan algebra 1 12 x dan 1 90 x 2 mempunyai faktor x. Dalam kes kedua, faktor x adalah kuasa dua. Untuk mencipta penyebut biasa, kita perlu mengambil faktor ini ke tahap yang paling besar, i.e. x 2. Tiada pengganda lain dengan pembolehubah. Pekali berangka integer bagi pecahan asal 12 Dan 90 , dan gandaan sepunya terkecil mereka ialah 180 . Ternyata penyebut biasa yang dikehendaki mempunyai bentuk 180 x 2.

Sekarang kita boleh menulis algoritma lain untuk mencari faktor sepunya pecahan algebra. Untuk ini kami:

• faktorkan penyebut semua pecahan;
• kami menyusun hasil darab semua faktor huruf (jika terdapat faktor dalam beberapa pengembangan, kami mengambil pilihan dengan eksponen terbesar);
• kami menambah LCM bagi pekali berangka pengembangan kepada produk yang terhasil.

Algoritma yang diberikan adalah setara, jadi mana-mana daripadanya boleh digunakan untuk menyelesaikan masalah. Adalah penting untuk memberi perhatian kepada perincian.

Terdapat kes apabila faktor sepunya dalam penyebut pecahan mungkin tidak dapat dilihat di sebalik pekali berangka. Di sini adalah dinasihatkan untuk meletakkan pekali berangka pada kuasa pembolehubah yang lebih tinggi daripada kurungan dalam setiap faktor yang terdapat dalam penyebut.

Contoh 7

Apakah penyebut sepunya yang dimiliki oleh pecahan 3 5 - x dan 5 - x · y 2 2 · x - 10?

Penyelesaian

Dalam kes pertama, tolak satu mesti dikeluarkan dari kurungan. Kami mendapat 3 - x - 5 . Kami mendarabkan pengangka dan penyebut dengan - 1 untuk menghilangkan tolak dalam penyebut: - 3 x - 5.

Dalam kes kedua, kami meletakkan dua daripada kurungan. Ini membolehkan kita memperoleh pecahan 5 - x · y 2 2 · x - 5.

Jelaslah bahawa penyebut sepunya bagi pecahan algebra ini - 3 x - 5 dan 5 - x · y 2 2 · x - 5 ialah 2 (x − 5).

Jawapan:2 (x − 5).

Data dalam keadaan masalah pecahan mungkin mempunyai pekali pecahan. Dalam kes ini, anda mesti terlebih dahulu menyingkirkan pekali pecahan dengan mendarabkan pengangka dan penyebut dengan nombor tertentu.

Contoh 8

Permudahkan pecahan algebra 1 2 · x + 1 1 14 · x 2 + 1 7 dan - 2 2 3 · x 2 + 1 1 3 , kemudian tentukan penyebut sepunya mereka.

Penyelesaian

Mari kita hapuskan pekali pecahan dengan mendarabkan pengangka dan penyebut dalam kes pertama dengan 14, dalam kes kedua dengan 3. Kita mendapatkan:

1 2 x + 1 1 14 x 2 + 1 7 = 14 1 2 x + 1 14 1 14 x 2 + 1 7 = 7 x + 1 x 2 + 2 dan - 2 2 3 x 2 + 1 1 3 = 3 · - 2 3 · 2 3 · x 2 + 4 3 = - 6 2 · x 2 + 4 = - 6 2 · x 2 + 2 .

Selepas transformasi, menjadi jelas bahawa penyebut biasa ialah 2 (x 2 + 2).

Jawapan: 2 (x 2 + 2).

Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter

Gandaan ialah nombor yang boleh dibahagi dengan nombor tertentu tanpa baki. Gandaan sepunya terkecil (LCM) bagi kumpulan nombor ialah nombor terkecil yang boleh dibahagi dengan setiap nombor dalam kumpulan tanpa meninggalkan baki. Untuk mencari gandaan sepunya terkecil, anda perlu mencari faktor perdana bagi nombor yang diberi. LCM juga boleh dikira menggunakan beberapa kaedah lain yang digunakan untuk kumpulan dua atau lebih nombor.

Langkah-langkah

Siri gandaan

Lihatlah nombor ini. Kaedah yang diterangkan di sini paling sesuai digunakan apabila diberi dua nombor, setiap satunya kurang daripada 10. Jika nombor yang lebih besar diberikan, gunakan kaedah yang berbeza.

• Sebagai contoh, cari gandaan sepunya terkecil bagi 5 dan 8. Ini adalah nombor kecil, jadi anda boleh menggunakan kaedah ini.

1. Gandaan ialah nombor yang boleh dibahagi dengan nombor tertentu tanpa baki. Gandaan boleh didapati dalam jadual pendaraban.

   • Sebagai contoh, nombor gandaan 5 ialah: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Tulis satu siri nombor yang merupakan gandaan nombor pertama. Lakukan ini di bawah gandaan nombor pertama untuk membandingkan dua set nombor.

   • Sebagai contoh, nombor gandaan 8 ialah: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, dan 64.

3. Cari nombor terkecil yang terdapat dalam kedua-dua set gandaan. Anda mungkin perlu menulis siri gandaan yang panjang untuk mencari jumlah nombor. Nombor terkecil yang terdapat dalam kedua-dua set gandaan ialah gandaan sepunya terkecil.

   • Sebagai contoh, nombor terkecil yang muncul dalam siri gandaan 5 dan 8 ialah nombor 40. Oleh itu, 40 ialah gandaan sepunya terkecil bagi 5 dan 8.

   Pemfaktoran perdana

   1. Lihatlah nombor ini. Kaedah yang diterangkan di sini paling sesuai digunakan apabila diberi dua nombor, setiap satunya lebih besar daripada 10. Jika nombor yang lebih kecil diberikan, gunakan kaedah yang berbeza.

      • Sebagai contoh, cari gandaan sepunya terkecil bagi nombor 20 dan 84. Setiap nombor lebih besar daripada 10, jadi anda boleh menggunakan kaedah ini.

   2. Faktorkan nombor pertama kepada faktor perdana. Iaitu, anda perlu mencari nombor perdana sedemikian yang, apabila didarab, akan menghasilkan nombor tertentu. Setelah anda menemui faktor utama, tuliskannya sebagai kesamaan.

      • Sebagai contoh, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 10=20) Dan 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). Oleh itu, faktor mudah nombor 20 ialah nombor 2, 2 dan 5. Tuliskannya sebagai ungkapan: .

   3. Faktorkan nombor kedua kepada faktor perdana. Lakukan ini dengan cara yang sama seperti anda memfaktorkan nombor pertama, iaitu, mencari nombor perdana yang, apabila didarab, akan menghasilkan nombor yang diberikan.

      • Sebagai contoh, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42) Dan 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). Oleh itu, faktor perdana bagi nombor 84 ialah nombor 2, 7, 3 dan 2. Tuliskannya sebagai ungkapan: .

   4. Tuliskan faktor sepunya bagi kedua-dua nombor. Tulis faktor tersebut sebagai operasi darab. Semasa anda menulis setiap faktor, pangkah dalam kedua-dua ungkapan (ungkapan yang menerangkan pemfaktoran nombor kepada faktor perdana).

      • Sebagai contoh, kedua-dua nombor mempunyai faktor sepunya 2, jadi tulis 2 × (\displaystyle 2\times ) dan potong 2 dalam kedua-dua ungkapan.
      • Persamaan kedua-dua nombor ialah satu lagi faktor 2, jadi tulis 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2) dan potong 2 kedua dalam kedua-dua ungkapan.

   5. Tambahkan baki faktor pada operasi pendaraban. Ini adalah faktor yang tidak dicoret dalam kedua-dua ungkapan, iaitu faktor yang tidak lazim bagi kedua-dua nombor.

      • Sebagai contoh, dalam ungkapan 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\times 2\times 5) Kedua-dua (2) dicoret kerana ia adalah faktor sepunya. Faktor 5 tidak dicoret, jadi tulis operasi pendaraban seperti ini: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\times 2\times 5)
      • Dalam ungkapan 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\kali 7\kali 3\kali 2) kedua-dua dua (2) juga dicoret. Faktor 7 dan 3 tidak dicoret, jadi tulis operasi pendaraban seperti ini: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3).

   6. Kira gandaan sepunya terkecil. Untuk melakukan ini, darabkan nombor dalam operasi pendaraban bertulis.

      • Sebagai contoh, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\gaya paparan 2\kali 2\kali 5\kali 7\kali 3=420). Jadi gandaan sepunya terkecil bagi 20 dan 84 ialah 420.

   Mencari faktor sepunya

   1. Lukis grid seperti untuk permainan tic-tac-toe. Grid sedemikian terdiri daripada dua garis selari yang bersilang (pada sudut tegak) dengan dua garis selari yang lain. Ini akan memberi anda tiga baris dan tiga lajur (grid kelihatan seperti ikon #). Tulis nombor pertama pada baris pertama dan lajur kedua. Tulis nombor kedua di baris pertama dan lajur ketiga.

      • Sebagai contoh, cari gandaan sepunya terkecil bagi nombor 18 dan 30. Tulis nombor 18 pada baris pertama dan lajur kedua, dan tulis nombor 30 pada baris pertama dan lajur ketiga.

   2. Cari pembahagi sepunya bagi kedua-dua nombor. Tuliskannya di baris pertama dan lajur pertama. Adalah lebih baik untuk mencari faktor utama, tetapi ini bukan satu keperluan.

      • Contohnya, 18 dan 30 ialah nombor genap, jadi faktor sepunya ialah 2. Jadi tulis 2 di baris pertama dan lajur pertama.

   3. Bahagikan setiap nombor dengan pembahagi pertama. Tuliskan setiap hasil bahagi di bawah nombor yang sesuai. Hasil bahagi ialah hasil pembahagian dua nombor.

      • Sebagai contoh, 18 ÷ 2 = 9 (\gaya paparan 18\div 2=9), jadi tulis 9 di bawah 18.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), jadi tulis 15 di bawah 30.

   4. Cari pembahagi sepunya bagi kedua-dua hasil bahagi. Jika tiada pembahagi sedemikian, langkau dua langkah seterusnya. Jika tidak, tulis pembahagi di baris kedua dan lajur pertama.

      • Sebagai contoh, 9 dan 15 boleh dibahagikan dengan 3, jadi tulis 3 di baris kedua dan lajur pertama.

   5. Bahagikan setiap hasil bahagi dengan pembahagi kedua. Tulis setiap hasil pembahagian di bawah hasil bahagi yang sepadan.

      • Sebagai contoh, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), jadi tulis 3 di bawah 9.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\gaya paparan 15\div 3=5), jadi tulis 5 di bawah 15.

   6. Jika perlu, tambahkan sel tambahan pada grid. Ulangi langkah yang diterangkan sehingga hasil bahagi mempunyai pembahagi sepunya.

   7. Bulatkan nombor dalam lajur pertama dan baris terakhir grid. Kemudian tulis nombor yang dipilih sebagai operasi darab.

      • Sebagai contoh, nombor 2 dan 3 berada di lajur pertama, dan nombor 3 dan 5 berada di baris terakhir, jadi tulis operasi pendaraban seperti ini: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5).

   8. Cari hasil darab nombor. Ini akan mengira gandaan sepunya terkecil bagi dua nombor yang diberikan.

      • Sebagai contoh, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5=90). Jadi gandaan sepunya terkecil bagi 18 dan 30 ialah 90.

   Algoritma Euclid

   1. Ingat istilah yang dikaitkan dengan operasi bahagi. Dividen ialah nombor yang dibahagi. Pembahagi ialah nombor yang dibahagi dengan. Hasil bahagi ialah hasil pembahagian dua nombor. Baki ialah nombor yang tinggal apabila dua nombor dibahagikan.

      • Sebagai contoh, dalam ungkapan 15 ÷ 6 = 2 (\gaya paparan 15\div 6=2) ost. 3:
        15 ialah dividen
        6 ialah pembahagi
        2 ialah hasil bagi
        3 ialah baki.

Pembahagi sepunya terbesar

Definisi 2

Jika nombor asli a boleh dibahagi dengan nombor asli $b$, maka $b$ dipanggil pembahagi $a$, dan $a$ dipanggil gandaan $b$.

Biarkan $a$ dan $b$ ialah nombor asli. Nombor $c$ dipanggil pembahagi sepunya bagi kedua-dua $a$ dan $b$.

Set pembahagi sepunya bagi nombor $a$ dan $b$ adalah terhingga, kerana tiada pembahagi ini boleh lebih besar daripada $a$. Ini bermakna di antara pembahagi ini terdapat pembahagi terbesar, yang dipanggil pembahagi sepunya terbesar bagi nombor $a$ dan $b$ dan dilambangkan dengan tatatanda berikut:

$GCD\(a;b)\ atau \D\(a;b)$

Untuk mencari pembahagi sepunya terbesar bagi dua nombor yang anda perlukan:

1. Cari hasil darab nombor yang terdapat dalam langkah 2. Nombor yang terhasil akan menjadi pembahagi sepunya terbesar yang dikehendaki.

Contoh 1

Cari gcd bagi nombor $121$ dan $132.$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Pilih nombor yang termasuk dalam pengembangan nombor ini

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Cari hasil darab nombor yang terdapat dalam langkah 2. Nombor yang terhasil akan menjadi pembahagi sepunya terbesar yang dikehendaki.

$GCD=2\cdot 11=22$

Contoh 2

Cari gcd bagi monomial $63$ dan $81$.

Kami akan mencari mengikut algoritma yang dibentangkan. Untuk ini:

Mari kita faktorkan nombor menjadi faktor perdana

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Kami memilih nombor yang termasuk dalam pengembangan nombor ini

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Mari cari hasil darab nombor yang terdapat dalam langkah 2. Nombor yang terhasil akan menjadi pembahagi sepunya terbesar yang dikehendaki.

$GCD=3\cdot 3=9$

Anda boleh mencari gcd bagi dua nombor dengan cara lain, menggunakan set pembahagi nombor.

Contoh 3

Cari gcd bagi nombor $48$ dan $60$.

Penyelesaian:

Mari cari set pembahagi nombor $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

Sekarang mari cari set pembahagi nombor $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\kanan\) $

Mari cari persilangan set ini: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - set ini akan menentukan set pembahagi sepunya bagi nombor $48$ dan $60 $. Elemen terbesar dalam set yang diberikan nombornya ialah $12$. Ini bermakna pembahagi sepunya terbesar bagi nombor $48$ dan $60$ ialah $12$.

Definisi NPL

Definisi 3

Gandaan sepunya bagi nombor asli$a$ dan $b$ ialah nombor asli yang merupakan gandaan bagi kedua-dua $a$ dan $b$.

Gandaan sepunya nombor ialah nombor yang boleh dibahagikan dengan nombor asal tanpa baki Contohnya, untuk nombor $25$ dan $50$, gandaan sepunya ialah nombor $50,100,150,200, dsb.

Gandaan sepunya terkecil akan dipanggil gandaan sepunya terkecil dan akan dilambangkan dengan LCM$(a;b)$ atau K$(a;b).$

Untuk mencari LCM bagi dua nombor, anda perlu:

1. Faktorkan nombor menjadi faktor perdana
2. Tuliskan faktor yang merupakan sebahagian daripada nombor pertama dan tambahkan kepada mereka faktor yang merupakan sebahagian daripada kedua dan bukan sebahagian daripada yang pertama

Contoh 4

Cari LCM bagi nombor $99$ dan $77$.

Kami akan mencari mengikut algoritma yang dibentangkan. Untuk ini

Faktorkan nombor menjadi faktor perdana

$99=3\cdot 3\cdot 11$

Tuliskan faktor-faktor yang termasuk dalam yang pertama

tambahkan kepada mereka pengganda yang merupakan sebahagian daripada yang kedua dan bukan sebahagian daripada yang pertama

Cari hasil darab nombor yang terdapat dalam langkah 2. Nombor yang terhasil ialah gandaan sepunya terkecil yang dikehendaki

$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Menyusun senarai pembahagi nombor selalunya merupakan tugas yang sangat memerlukan tenaga kerja. Terdapat cara untuk mencari GCD yang dipanggil algoritma Euclidean.

Pernyataan yang berdasarkan algoritma Euclidean:

Jika $a$ dan $b$ ialah nombor asli, dan $a\vdots b$, maka $D(a;b)=b$

Jika $a$ dan $b$ ialah nombor asli seperti $b

Menggunakan $D(a;b)= D(a-b;b)$, kita boleh mengurangkan nombor yang dipertimbangkan secara berturut-turut sehingga kita mencapai sepasang nombor supaya satu daripadanya boleh dibahagikan dengan yang lain. Maka yang lebih kecil daripada nombor ini akan menjadi pembahagi sepunya terbesar yang dikehendaki untuk nombor $a$ dan $b$.

Sifat GCD dan LCM

1. Sebarang gandaan sepunya bagi $a$ dan $b$ boleh dibahagi dengan K$(a;b)$
2. Jika $a\vdots b$ , maka К$(a;b)=a$

Jika K$(a;b)=k$ dan $m$ ialah nombor asli, maka K$(am;bm)=km$

Jika $d$ ialah pembahagi sepunya untuk $a$ dan $b$, maka K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

Jika $a\vdots c$ dan $b\vdots c$ , maka $\frac(ab)(c)$ ialah gandaan sepunya bagi $a$ dan $b$

Untuk sebarang nombor asli $a$ dan $b$ kesamaan dipegang

$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

Mana-mana pembahagi sepunya bagi nombor $a$ dan $b$ ialah pembahagi nombor $D(a;b)$