5.1. Konsep saiz purata

Nilai purata - Ini adalah penunjuk umum yang mencirikan tahap tipikal fenomena. Ia menyatakan nilai ciri per unit populasi.

Purata sentiasa menyamaratakan variasi kuantitatif sesuatu sifat, i.e. dalam nilai purata, perbezaan individu antara unit dalam populasi disebabkan oleh keadaan rawak dihapuskan. Tidak seperti rata-rata nilai mutlak, yang mencirikan tahap ciri unit individu populasi, tidak membenarkan seseorang membandingkan nilai ciri antara unit yang dimiliki oleh populasi yang berbeza. Jadi, jika anda perlu membandingkan tahap imbuhan pekerja di dua perusahaan, maka anda tidak boleh membandingkan dua pekerja dari perusahaan yang berbeza atas dasar ini. Pampasan pekerja yang dipilih untuk perbandingan mungkin tidak tipikal untuk perusahaan ini. Jika kita membandingkan saiz dana gaji di perusahaan yang sedang dipertimbangkan, bilangan pekerja tidak diambil kira dan, oleh itu, adalah mustahil untuk menentukan di mana tahap gaji lebih tinggi. Akhirnya, hanya penunjuk purata boleh dibandingkan, i.e. Berapakah purata pendapatan seorang pekerja di setiap perusahaan? Oleh itu, terdapat keperluan untuk mengira nilai purata sebagai ciri umum populasi.

Mengira purata adalah salah satu teknik generalisasi biasa; penunjuk purata menafikan apa yang biasa (tipikal) untuk semua unit populasi yang dikaji, sementara pada masa yang sama ia mengabaikan perbezaan unit individu. Dalam setiap fenomena dan perkembangannya terdapat gabungan peluang dan keperluan. Apabila mengira purata, disebabkan tindakan undang-undang nombor besar, rawak membatalkan dan mengimbangi, jadi adalah mungkin untuk mengabstrak daripada ciri-ciri fenomena yang tidak penting, dari nilai kuantitatif ciri dalam setiap kes tertentu . Keupayaan untuk mengabstraksi dari rawak nilai individu dan turun naik terletak pada nilai saintifik purata sebagai ciri umum agregat.

Agar purata benar-benar mewakili, ia mesti dikira dengan mengambil kira prinsip tertentu.

Mari lihat beberapa prinsip umum aplikasi nilai purata.
1. Purata mesti ditentukan untuk populasi yang terdiri daripada unit homogen secara kualitatif.
2. Purata mesti dikira untuk populasi yang terdiri daripada mencukupi nombor besar unit.
3. Purata mesti dikira untuk populasi yang unitnya berada dalam keadaan normal dan semula jadi.
4. Purata perlu dikira dengan mengambil kira kandungan ekonomi penunjuk yang dikaji.

5.2. Jenis purata dan kaedah untuk mengiranya

Sekarang mari kita pertimbangkan jenis nilai purata, ciri pengiraannya dan kawasan penggunaannya. Nilai purata dibahagikan kepada dua kelas besar: purata kuasa, purata struktur.

KEPADA purata kuasa Ini termasuk jenis yang paling terkenal dan kerap digunakan, seperti min geometri, min aritmetik dan min kuadratik.

Sebagai purata struktur mod dan median dipertimbangkan.

Mari fokus pada purata kuasa. Purata kuasa, bergantung pada pembentangan data sumber, boleh menjadi mudah atau berwajaran. Purata sederhana Ia dikira berdasarkan data tidak terkumpul dan mempunyai bentuk umum berikut:

dengan X i ialah varian (nilai) bagi ciri yang dipuratakan;

n – pilihan nombor.

Purata berwajaran dikira berdasarkan data terkumpul dan mempunyai rupa umum

,

di mana X i ialah varian (nilai) bagi ciri yang dipuratakan atau nilai tengah bagi selang di mana varian itu diukur;
m - indeks darjah purata;
f i – kekerapan menunjukkan berapa kali ia berlaku nilai i-e ciri purata.

Mari kita berikan sebagai contoh pengiraan purata umur pelajar dalam kumpulan 20 orang:

Kami mengira purata umur menggunakan formula purata mudah:

Mari kumpulkan data sumber. Kita mendapatkan barisan seterusnya pengedaran:

Hasil daripada pengumpulan, kami memperoleh penunjuk baharu - kekerapan, menunjukkan bilangan pelajar berumur X tahun. Oleh itu, purata umur pelajar dalam kumpulan akan dikira menggunakan formula purata wajaran:

Formula am untuk mengira purata kuasa mempunyai eksponen (m). Bergantung pada nilai yang diperlukan, jenis purata kuasa berikut dibezakan:
min harmonik jika m = -1;
min geometri, jika m -> 0;
min aritmetik jika m = 1;
min kuasa dua jika m = 2;
purata padu jika m = 3.

Formula untuk purata kuasa diberikan dalam Jadual. 4.4.

Jika anda mengira semua jenis purata untuk data awal yang sama, maka nilainya akan berubah menjadi berbeza. Peraturan majoriti purata digunakan di sini: apabila eksponen m meningkat, nilai purata yang sepadan juga meningkat:

Dalam amalan statistik, min aritmetik dan min wajaran harmonik digunakan lebih kerap daripada jenis purata wajaran lain.

Jadual 5.1

Jenis kuasa bermakna

Macam kuasa purata	Indeks ijazah (m)	Formula pengiraan
		Mudah	Ditimbang
Harmonik	-1
Geometrik	0
Aritmetik	1
Kuadratik	2
Kubik	3

Min harmonik mempunyai lebih banyak reka bentuk yang kompleks daripada min aritmetik. Purata harmonik digunakan untuk pengiraan apabila bukan unit populasi - pembawa ciri - digunakan sebagai pemberat, tetapi hasil darab unit ini dengan nilai ciri (iaitu m = Xf). Mudah harmonik purata harus digunakan dalam kes menentukan, sebagai contoh, kos purata buruh, masa, bahan seunit pengeluaran, setiap satu bahagian untuk dua (tiga, empat, dll.) perusahaan, pekerja yang terlibat dalam pembuatan yang sama jenis produk, bahagian yang sama, produk.

Keperluan utama untuk formula pengiraan nilai purata ialah semua peringkat pengiraan mempunyai justifikasi bermakna yang sebenar; purata yang terhasil harus menggantikan nilai individu ciri untuk setiap objek tanpa mengganggu hubungan antara penunjuk individu dan ringkasan. Dalam erti kata lain, nilai purata mesti dikira supaya apabila setiap nilai individu penunjuk purata digantikan dengan nilai puratanya, beberapa penunjuk ringkasan akhir kekal tidak berubah, topik berkaitan atau dengan cara lain dengan purata . Jumlah ini dipanggil mentakrifkan kerana sifat hubungannya dengan nilai individu menentukan formula khusus untuk mengira nilai purata. Mari kita tunjukkan peraturan ini menggunakan contoh min geometri.

Rumus min geometri

digunakan paling kerap apabila mengira nilai purata berdasarkan dinamik relatif individu.

Purata geometri digunakan jika urutan dinamik relatif rantai diberikan, menunjukkan, sebagai contoh, peningkatan dalam pengeluaran berbanding tahap tahun sebelumnya: i 1, i 2, i 3,..., i n. Adalah jelas bahawa jumlah pengeluaran dalam tahun lepas ditentukan oleh tahap awalnya (q 0) dan peningkatan seterusnya sepanjang tahun:

q n =q 0 × i 1 × i 2 ×...×i n .

Mengambil q n sebagai penunjuk penentu dan menggantikan nilai individu penunjuk dinamik dengan nilai purata, kita sampai pada hubungan

Dari sini

5.3. Purata struktur

Jenis purata khas - purata struktur - digunakan untuk mengkaji struktur dalaman siri pengedaran nilai atribut, serta untuk menganggar nilai purata (jenis kuasa), jika pengiraannya tidak dapat dijalankan mengikut data statistik yang tersedia (contohnya, jika dalam contoh dianggap tiada data pada kedua-dua volum pengeluaran dan jumlah kos untuk kumpulan perusahaan) .

Penunjuk paling kerap digunakan sebagai purata struktur fesyen - nilai atribut yang paling kerap diulang – dan median – nilai ciri yang membahagikan urutan tertib nilainya kepada dua bahagian yang sama. Akibatnya, untuk separuh daripada unit dalam populasi nilai atribut tidak melebihi tahap median, dan untuk separuh lagi ia tidak kurang daripadanya.

Jika ciri yang dikaji mempunyai nilai diskret, maka tiada kesukaran tertentu dalam mengira mod dan median. Jika data pada nilai atribut X dibentangkan dalam bentuk selang tertib perubahannya (siri selang), pengiraan mod dan median menjadi agak rumit. Oleh kerana nilai median membahagikan keseluruhan populasi kepada dua bahagian yang sama, ia berakhir dalam salah satu selang ciri X. Dengan menggunakan interpolasi, nilai median ditemui dalam selang median ini:

,

di mana X Me ialah had bawah selang median;
h Me – nilainya;
(Jumlah m)/2 – separuh daripada jumlah nombor pemerhatian atau separuh isipadu penunjuk yang digunakan sebagai pemberat dalam formula untuk mengira nilai purata (dalam istilah mutlak atau relatif);
S Me-1 – jumlah pemerhatian (atau isipadu atribut pemberat) terkumpul sebelum permulaan selang median;
m Me – bilangan cerapan atau isipadu ciri pemberat dalam selang median (juga dalam istilah mutlak atau relatif).

Dalam contoh kami, walaupun tiga nilai median boleh diperolehi - berdasarkan ciri-ciri bilangan perusahaan, jumlah pengeluaran dan jumlah keseluruhan kos pengeluaran:

Oleh itu, dalam separuh daripada perusahaan kos seunit pengeluaran melebihi 125.19 ribu rubel, separuh daripada jumlah keseluruhan produk dihasilkan dengan kos setiap produk lebih daripada 124.79 ribu rubel. dan 50% daripada jumlah kos terbentuk apabila kos satu produk melebihi 125.07 ribu rubel. Perhatikan juga bahawa terdapat kecenderungan tertentu ke arah peningkatan kos, kerana Me 2 = 124.79 ribu rubel, dan tahap purata ialah 123.15 ribu rubel.

Apabila mengira nilai modal ciri berdasarkan data siri selang, adalah perlu untuk memberi perhatian kepada fakta bahawa selang adalah sama, kerana penunjuk kebolehulangan nilai ciri X bergantung pada ini siri selang dengan selang yang sama, magnitud mod ditentukan sebagai

dengan X Mo ialah nilai yang lebih rendah bagi selang modal;
m Mo – bilangan cerapan atau isipadu ciri pemberat dalam selang modal (dalam istilah mutlak atau relatif);
m Mo -1 – sama untuk selang sebelum modal satu;
m Mo+1 – sama untuk selang selepas modal satu;
h – nilai selang perubahan ciri dalam kumpulan.

Sebagai contoh kita, kita boleh mengira tiga makna modal berdasarkan bilangan perusahaan, jumlah pengeluaran dan jumlah kos. Dalam ketiga-tiga kes, selang modal adalah sama, kerana untuk selang yang sama bilangan perusahaan, jumlah pengeluaran, dan jumlah kos pengeluaran adalah terbesar:

Oleh itu, selalunya terdapat perusahaan dengan tahap kos 126.75 ribu rubel, selalunya produk dihasilkan dengan tahap kos 126.69 ribu rubel, dan selalunya kos pengeluaran dijelaskan oleh tahap kos 123.73 ribu rubel.

5.4. Penunjuk variasi

Keadaan khusus di mana setiap objek yang dikaji terletak, serta ciri-cirinya pembangunan sendiri(sosial, ekonomi, dsb.) dinyatakan oleh tahap berangka yang sepadan bagi penunjuk statistik. Oleh itu, variasi, mereka. percanggahan antara tahap penunjuk yang sama dalam objek yang berbeza, mempunyai sifat objektif dan membantu memahami intipati fenomena yang dikaji.

Terdapat beberapa kaedah yang digunakan untuk mengukur variasi dalam statistik.

Yang paling mudah ialah mengira penunjuk julat variasi H sebagai perbezaan antara nilai maksimum (X max) dan minimum (X min) ciri yang diperhatikan:

H=X maks - X min .

Walau bagaimanapun, julat variasi hanya menunjukkan nilai ekstrem sifat tersebut. Kebolehulangan nilai perantaraan tidak diambil kira di sini.

Ciri yang lebih ketat ialah penunjuk kebolehubahan berbanding dengan tahap purata atribut. Penunjuk paling mudah jenis ini ialah sisihan linear purata L sebagai purata nilai aritmetik sisihan mutlak sesuatu ciri daripada tahap puratanya:

Jika nilai individu X boleh diulang, gunakan formula min aritmetik berwajaran:

(Ingat itu jumlah algebra sisihan daripada tahap purata ialah sifar.)

Purata sisihan linear didapati aplikasi yang luas pada latihan. Dengan bantuannya, sebagai contoh, komposisi pekerja, irama pengeluaran, keseragaman bekalan bahan dianalisis, dan sistem insentif bahan dibangunkan. Tetapi, malangnya, penunjuk ini merumitkan pengiraan kebarangkalian dan merumitkan penggunaan kaedah statistik matematik. Oleh itu, dalam statistik kajian saintifik penunjuk yang paling kerap digunakan untuk mengukur variasi ialah kelainan.

Varians bagi ciri (s 2) ditentukan berdasarkan min kuasa kuadratik:

.

Penunjuk s sama dengan dipanggil sisihan piawai.

Dalam teori umum statistik, penunjuk serakan ialah anggaran penunjuk teori kebarangkalian dengan nama yang sama dan (sebagai jumlah sisihan kuasa dua) anggaran serakan dalam statistik matematik, yang memungkinkan untuk menggunakan peruntukan ini. disiplin teori untuk analisis proses sosio-ekonomi.

Jika variasi dianggarkan daripada sebilangan kecil pemerhatian yang diambil daripada populasi yang tidak terhad, maka nilai purata ciri ditentukan dengan beberapa ralat. Nilai serakan yang dikira ternyata beralih ke arah penurunan. Untuk mendapatkan anggaran tidak berat sebelah, varians sampel yang diperoleh menggunakan formula yang diberikan sebelum ini mesti didarab dengan nilai n / (n - 1). Akibatnya, dengan sebilangan kecil pemerhatian (< 30) дисперсию признака рекомендуется вычислять по формуле

Biasanya, sudah untuk n > (15÷20), percanggahan antara anggaran berat sebelah dan tidak berat sebelah menjadi tidak ketara. Atas sebab yang sama, bias biasanya tidak diambil kira dalam formula untuk menambah varians.

Jika beberapa sampel diambil daripada populasi umum dan setiap kali nilai purata sesuatu ciri ditentukan, maka timbul masalah untuk menilai kebolehubahan purata. Anggarkan varians nilai purata ia adalah mungkin berdasarkan hanya satu pemerhatian sampel menggunakan formula

,

di mana n ialah saiz sampel; s 2 – varians ciri yang dikira daripada data sampel.

Magnitud dipanggil ralat pensampelan purata dan merupakan ciri sisihan nilai purata sampel atribut X daripada nilai purata sebenar. Penunjuk ralat purata digunakan untuk menilai kebolehpercayaan hasil pemerhatian sampel.

Penunjuk serakan relatif. Untuk mencirikan ukuran kebolehubahan ciri yang dikaji, penunjuk kebolehubahan dikira dalam nilai relatif. Mereka memungkinkan untuk membandingkan sifat serakan dalam taburan yang berbeza (unit pemerhatian yang berbeza dengan ciri yang sama dalam dua populasi, dengan makna yang berbeza purata, apabila membandingkan populasi yang berbeza). Pengiraan penunjuk ukuran serakan relatif dijalankan sebagai nisbah penunjuk serakan mutlak kepada min aritmetik, didarab dengan 100%.

1. Pekali ayunan mencerminkan turun naik relatif nilai ekstrem ciri sekitar purata

.

2. Penutupan linear relatif mencirikan perkadaran nilai purata tanda sisihan mutlak daripada nilai purata

.

3. Pekali variasi:

ialah ukuran kebolehubahan yang paling biasa digunakan untuk menilai tipikal nilai purata.

Dalam statistik, populasi dengan pekali variasi lebih besar daripada 30-35% dianggap heterogen.

Kaedah menilai variasi ini juga mempunyai kelemahan yang ketara. Malah, biarlah, sebagai contoh, populasi asal pekerja dengan pengalaman purata 15 tahun, dengan sisihan piawai s = 10 tahun, "bertambah tua" selama 15 tahun lagi. Sekarang = 30 tahun, dan purata sisihan piawai masih sama dengan 10. Populasi heterogen sebelum ini (10/15 × 100 = 66.7%), dengan itu menjadi agak homogen dari semasa ke semasa (10/30 × 100 = 33.3%).

Boyarsky A.Ya. Kajian teori dalam statistik: Sat. saintifik Trudov. – M.: Statistik, 1974. ms 19–57.

Sifat paling penting bagi purata ialah ia mencerminkan perkara biasa kepada semua unit populasi yang dikaji. Nilai-nilai ciri unit individu populasi berbeza-beza di bawah pengaruh banyak faktor, di antaranya mungkin terdapat asas dan rawak. Intipati purata terletak pada fakta bahawa ia saling mengimbangi penyimpangan dalam nilai atribut, yang disebabkan oleh tindakan faktor rawak, dan terkumpul (mengambil kira) perubahan yang disebabkan oleh tindakan faktor utama. . Ini membolehkan purata mencerminkan tahap tipikal sifat dan abstrak daripada ciri individu, wujud dalam unit individu.

Agar purata benar-benar mewakili, ia mesti dikira dengan mengambil kira prinsip tertentu.

Prinsip asas menggunakan purata.

1. Purata mesti ditentukan untuk populasi yang terdiri daripada unit homogen secara kualitatif.

2. Purata mesti dikira untuk populasi yang terdiri daripada bilangan unit yang cukup besar.

3. Purata perlu dikira untuk populasi dalam keadaan pegun (apabila faktor yang mempengaruhi tidak berubah atau tidak berubah dengan ketara).

4. Purata perlu dikira dengan mengambil kira kandungan ekonomi penunjuk yang dikaji.

Pengiraan kebanyakan penunjuk statistik khusus adalah berdasarkan penggunaan:

· purata agregat;

· kuasa purata (harmonik, geometri, aritmetik, kuadratik, kubik);

· purata kronologi (lihat bahagian).

Semua purata, kecuali purata agregat, boleh dikira dalam dua cara - sebagai wajaran atau tidak wajaran.

Agregat purata. Formula yang digunakan ialah:

di mana w i= x i* f i;

x i- pilihan ke-i ciri dipuratakan;

f i, - berat i- pilihan ke.

Kuasa sederhana. DALAM Pandangan umum formula untuk pengiraan:

mana ada ijazah k– jenis kuasa sederhana.

Nilai purata yang dikira berdasarkan purata kuasa untuk data awal yang sama adalah tidak sama. Apabila eksponen k meningkat, nilai purata yang sepadan juga meningkat:

Purata kronologi. Untuk siri masa seketika dengan selang masa yang sama antara tarikh, ia dikira menggunakan formula:

,

di mana x 1 Dan Xn nilai penunjuk pada tarikh mula dan tamat.

Formula untuk mengira purata kuasa

Contoh. Mengikut jadual. 2.1 memerlukan pengiraan purata gaji bagi ketiga-tiga perusahaan secara keseluruhan.

Jadual 2.1

Gaji perusahaan JSC

khusus formula pengiraan bergantung pada data dalam jadual. 7 adalah yang asli. Sehubungan itu, pilihan berikut adalah mungkin: data dari lajur 1 (bilangan pekerja) dan 2 (gaji bulanan); atau - 1 (bilangan PPP) dan 3 (purata gaji); atau 2 (gaji bulanan) dan 3 (gaji purata).

Jika hanya data lajur 1 dan 2 tersedia. Keputusan lajur ini mengandungi nilai yang diperlukan untuk mengira purata yang dikehendaki. Formula agregat purata digunakan:

Jika hanya data lajur 1 dan 3 tersedia, maka penyebut nisbah asal diketahui, tetapi pengangkanya tidak diketahui. Bagaimanapun, tabung gaji boleh diperolehi dengan mendarabkan purata gaji dengan bilangan tenaga pengajar. Oleh itu, purata keseluruhan boleh dikira menggunakan formula berwajaran purata aritmetik:

Ia mesti diambil kira bahawa berat ( f i) dalam sesetengah kes mungkin hasil daripada dua atau tiga nilai.

Di samping itu, purata juga digunakan dalam amalan statistik. aritmetik tidak berwajaran:

di mana n ialah isipadu populasi.

Purata ini digunakan apabila pemberat ( f i) tiada (setiap varian ciri berlaku sekali sahaja) atau sama antara satu sama lain.

Sekiranya terdapat hanya data dari lajur 2 dan 3., iaitu pengangka nisbah asal diketahui, tetapi penyebutnya tidak diketahui. Bilangan pekerja setiap perusahaan boleh diperoleh dengan membahagikan senarai gaji dengan gaji purata. Kemudian purata gaji bagi ketiga-tiga perusahaan secara keseluruhan dikira menggunakan formula min harmonik berwajaran:

Jika beratnya sama ( f i) pengiraan purata boleh dibuat oleh min harmonik tidak berwajaran:

Dalam contoh kami, kami gunakan bentuk yang berbeza purata, tetapi mendapat jawapan yang sama. Ini disebabkan oleh fakta bahawa untuk data tertentu setiap kali nisbah awal purata yang sama dilaksanakan.

Penunjuk purata boleh dikira menggunakan siri variasi diskret dan selang. Dalam kes ini, pengiraan dibuat menggunakan purata aritmetik berwajaran. Untuk siri diskret, formula ini digunakan dengan cara yang sama seperti dalam contoh di atas. Dalam siri selang, titik tengah selang ditentukan untuk pengiraan.

Contoh. Mengikut jadual. 2.2 kita menentukan amaun purata pendapatan kewangan per kapita sebulan di rantau bersyarat.

Jadual 2.2

Data awal (siri variasi)

Untuk mencari nilai purata dalam Excel (tidak kira sama ada ia adalah angka, teks, peratusan atau nilai lain), terdapat banyak fungsi. Dan setiap daripada mereka mempunyai ciri dan kelebihan tersendiri. Sesungguhnya, dalam tugas ini syarat-syarat tertentu mungkin ditetapkan.

Sebagai contoh, nilai purata siri nombor dalam Excel dikira menggunakan fungsi statistik. Anda juga boleh memasukkan formula anda sendiri secara manual. Mari kita pertimbangkan pelbagai pilihan.

Bagaimana untuk mencari min aritmetik nombor?

Untuk mencari min aritmetik, anda perlu menjumlahkan semua nombor dalam set dan membahagikan hasil tambah dengan kuantiti. Sebagai contoh, gred pelajar dalam sains komputer: 3, 4, 3, 5, 5. Apa yang termasuk dalam suku: 4. Kami mendapati min aritmetik menggunakan formula: =(3+4+3+5+5) /5.

Bagaimana untuk melakukan ini dengan cepat menggunakan fungsi Excel? Mari kita ambil contoh siri nombor rawak dalam barisan:

Atau: buat sel aktif dan hanya masukkan formula secara manual: =AVERAGE(A1:A8).

Sekarang mari kita lihat apa lagi fungsi AVERAGE boleh lakukan.

Mari cari min aritmetik bagi dua nombor pertama dan tiga nombor terakhir. Formula: =PURATA(A1:B1,F1:H1). Keputusan:

Purata keadaan

Syarat untuk mencari min aritmetik boleh menjadi kriteria berangka atau satu teks. Kami akan menggunakan fungsi: =AVERAGEIF().

Cari min aritmetik bagi nombor yang lebih besar daripada atau sama dengan 10.

Fungsi: =AVERAGEIF(A1:A8,">=10")

Argumen ketiga - "Julat purata" - ditinggalkan. Pertama sekali, ia tidak diperlukan. Kedua, julat yang dianalisis oleh program mengandungi SAHAJA nilai angka. Sel yang dinyatakan dalam hujah pertama akan dicari mengikut syarat yang dinyatakan dalam hujah kedua.

Perhatian!

Kriteria carian boleh ditentukan dalam sel. Dan buat pautan kepadanya dalam formula.

Mari cari nilai purata nombor menggunakan kriteria teks. Sebagai contoh, purata jualan "jadual" produk.

Fungsi akan kelihatan seperti ini: =AVERAGEIF($A$2:$A$12,A7,$B$2:$B$12). Julat – lajur dengan nama produk. Kriteria carian ialah pautan ke sel dengan perkataan "jadual" (anda boleh memasukkan perkataan "jadual" dan bukannya pautan A7). Julat purata - sel-sel dari mana data akan diambil untuk mengira nilai purata.

Hasil daripada pengiraan fungsi, kami memperoleh nilai berikut:

Perhatian!

Untuk kriteria teks (syarat), julat purata mesti ditentukan.

Bagaimana untuk mengira harga purata wajaran dalam Excel?

Menggunakan formula SUMPRODUCT, kami mengetahui jumlah hasil selepas menjual keseluruhan kuantiti barang. Dan fungsi SUM merumuskan kuantiti barang. Dengan membahagikan jumlah hasil daripada jualan barangan dengan jumlah unit barang, kami mendapati harga purata wajaran. Penunjuk ini mengambil kira "berat" setiap harga. Bahagiannya dalam jumlah jisim nilai.

Sisihan piawai: formula dalam Excel

Terdapat sisihan piawai untuk populasi umum dan untuk sampel. Dalam kes pertama, ini adalah punca varians umum. Dalam kedua, daripada varians sampel.

Untuk mengira penunjuk statistik ini, formula penyebaran disusun. Akar diekstrak daripadanya. Tetapi dalam Excel terdapat fungsi sedia untuk mencari sisihan piawai.

Sisihan piawai terikat pada skala data sumber. Ini tidak mencukupi untuk perwakilan kiasan variasi julat yang dianalisis. Untuk mendapatkan tahap relatif serakan data, pekali variasi dikira:

sisihan piawai / min aritmetik

Formula dalam Excel kelihatan seperti ini:

STDEV (julat nilai) / AVERAGE (julat nilai).

Pekali variasi dikira sebagai peratusan. Oleh itu, kami menetapkan format peratusan dalam sel.

Ciri-ciri unit agregat statistik adalah berbeza dalam maksudnya, sebagai contoh, gaji pekerja dalam profesion yang sama sesebuah perusahaan tidak sama untuk tempoh masa yang sama, harga pasaran untuk produk yang sama, hasil tanaman di daerah itu. ladang, dsb. Oleh itu, untuk menentukan nilai ciri yang menjadi ciri keseluruhan populasi unit yang dikaji, nilai purata dikira.
nilai purata – ini adalah ciri umum bagi satu set nilai individu daripada beberapa ciri kuantitatif.

Populasi yang dikaji secara kuantitatif terdiri daripada nilai individu; mereka dipengaruhi oleh sebab biasa, dan keadaan individu. Dalam nilai purata, ciri sisihan nilai individu dibatalkan. Purata, sebagai fungsi set nilai individu, mewakili keseluruhan agregat dengan satu nilai dan mencerminkan perkara biasa kepada semua unitnya.

Purata yang dikira untuk populasi yang terdiri daripada unit homogen secara kualitatif dipanggil purata biasa. Sebagai contoh, anda boleh mengira purata gaji bulanan pekerja kumpulan profesional tertentu (pelombong, doktor, pustakawan). Sudah tentu, tahap gaji bulanan pelombong, disebabkan oleh perbezaan dalam kelayakan mereka, tempoh perkhidmatan, masa bekerja sebulan dan banyak faktor lain, berbeza antara satu sama lain dan dari tahap gaji purata. Walau bagaimanapun, tahap purata mencerminkan faktor utama yang mempengaruhi tahap gaji, dan perbezaan yang timbul disebabkan oleh ciri-ciri individu pekerja dibatalkan. Gaji purata mencerminkan tahap imbuhan biasa untuk jenis pekerja tertentu. Mendapatkan purata biasa harus didahului dengan analisis tentang seberapa homogen secara kualitatif populasi yang diberikan. Jika set itu terdiri daripada mereka bahagian individu, ia harus dibahagikan kepada kumpulan biasa (suhu purata di hospital).

Nilai purata yang digunakan sebagai ciri untuk populasi heterogen dipanggil purata sistem. Sebagai contoh, purata keluaran dalam negara kasar (KDNK) per kapita, purata penggunaan pelbagai kumpulan barangan setiap orang dan nilai lain yang serupa, mewakili ciri umum negara sebagai sistem ekonomi yang bersatu.

Purata mesti dikira untuk populasi yang terdiri daripada bilangan unit yang cukup besar. Pematuhan dengan syarat ini adalah perlu untuk undang-undang bilangan besar berkuat kuasa, akibatnya sisihan rawak nilai individu dari arah aliran umum dibatalkan bersama.

Jenis purata dan kaedah untuk mengiranya

Pilihan jenis purata ditentukan oleh kandungan ekonomi penunjuk tertentu dan data sumber. Walau bagaimanapun, sebarang nilai purata mesti dikira supaya apabila ia menggantikan setiap variasi ciri purata, yang terakhir, generalisasi, atau, seperti yang biasa dipanggil, tidak berubah. penunjuk yang menentukan, yang dikaitkan dengan penunjuk purata. Sebagai contoh, apabila menggantikan kelajuan sebenar pada bahagian individu laluan dengan kelajuan puratanya, jumlah jarak yang dilalui tidak seharusnya berubah. kenderaan pada masa yang sama; apabila menggantikan gaji sebenar pekerja individu sesebuah perusahaan dengan gaji purata, dana gaji tidak sepatutnya berubah. Akibatnya, dalam setiap kes tertentu, bergantung kepada sifat data yang tersedia, hanya terdapat satu nilai purata sebenar penunjuk yang mencukupi untuk sifat dan intipati fenomena sosio-ekonomi yang dikaji.
Yang paling biasa digunakan ialah min aritmetik, min harmonik, min geometri, min kuadratik dan min padu.
Purata yang disenaraikan tergolong dalam kelas penenang purata dan digabungkan dengan formula am:
,
di manakah nilai purata ciri yang dikaji;
m - indeks darjah purata;
– nilai semasa (varian) ciri yang dipuratakan;
n – bilangan ciri.
Bergantung pada nilai eksponen m, jenis purata kuasa berikut dibezakan:
apabila m = -1 – min harmonik;
pada m = 0 – min geometri;
untuk m = 1 – min aritmetik;
untuk m = 2 – punca min kuasa dua;
pada m = 3 – padu purata.
Apabila menggunakan data awal yang sama, semakin besar eksponen m dalam formula di atas, semakin besar lebih nilai saiz purata:
.
Sifat purata kuasa ini meningkat dengan peningkatan eksponen bagi fungsi penentu dipanggil peraturan majoriti purata.
Setiap purata yang ditanda boleh mengambil dua bentuk: ringkas Dan berwajaran.
Bentuk sederhana sederhana digunakan apabila purata dikira daripada data primer (tidak terkumpul). Bentuk tertimbang– apabila mengira purata berdasarkan data sekunder (berkumpulan).

Aritmetik min

Purata aritmetik digunakan apabila isipadu populasi ialah jumlah semua nilai individu dengan ciri yang berbeza-beza. Perlu diingat bahawa jika jenis purata tidak dinyatakan, purata aritmetik diandaikan. Formula logiknya kelihatan seperti:

Min aritmetik mudah dikira berdasarkan data tidak terkumpul mengikut formula:
atau ,
di manakah nilai individu ciri;
j ialah nombor siri unit cerapan, yang dicirikan oleh nilai ;
N – bilangan unit cerapan (isipadu populasi).
Contoh. Kuliah "Ringkasan dan pengelompokan data statistik" meneliti hasil pemerhatian pengalaman kerja sepasukan 10 orang. Mari kita hitung purata pengalaman kerja pekerja pasukan. 5, 3, 5, 4, 3, 4, 5, 4, 2, 4.

Menggunakan formula min aritmetik yang mudah, kita juga boleh mengira purata dalam siri kronologi, jika selang masa yang mana nilai ciri dibentangkan adalah sama.
Contoh. Jumlah produk yang dijual untuk suku pertama berjumlah 47 den. unit, untuk yang kedua 54, untuk yang ketiga 65 dan untuk yang keempat 58 den. unit Purata pusing ganti suku tahunan ialah (47+54+65+58)/4 = 56 den. unit
Jika penunjuk seketika diberikan dalam siri kronologi, maka apabila mengira purata ia digantikan dengan separuh jumlah nilai pada permulaan dan akhir tempoh.
Jika terdapat lebih daripada dua momen dan selang antara keduanya adalah sama, maka purata dikira menggunakan formula untuk purata kronologi

,
di mana n ialah bilangan titik masa
Dalam kes apabila data dikumpulkan mengikut nilai ciri (iaitu, siri pengedaran variasi diskret telah dibina) dengan berwajaran purata aritmetik dikira menggunakan sama ada frekuensi atau kekerapan pemerhatian nilai tertentu bagi sesuatu ciri, yang bilangannya (k) adalah ketara kurang bilangan pemerhatian (N) .
,
,
di mana k ialah bilangan kumpulan siri variasi,
i – nombor kumpulan siri variasi.
Oleh kerana , a , kami memperoleh formula yang digunakan untuk pengiraan praktikal:
Dan
Contoh. Mari kita hitung purata tempoh perkhidmatan pasukan kerja dalam baris berkumpulan.
a) menggunakan frekuensi:

b) menggunakan frekuensi:

Dalam kes apabila data dikumpulkan mengikut selang , iaitu dibentangkan dalam bentuk siri taburan selang apabila mengira min aritmetik, tengah selang diambil sebagai nilai ciri, berdasarkan andaian bahawa pengedaran seragam unit populasi pada selang waktu tertentu. Pengiraan dilakukan menggunakan formula:
Dan
di manakah pertengahan selang: ,
di mana dan ialah sempadan bawah dan atas selang (dengan syarat sempadan atas selang tertentu bertepatan dengan sempadan bawah selang seterusnya).

Contoh. Mari kita hitung min aritmetik bagi siri variasi selang yang dibina berdasarkan hasil kajian gaji tahunan 30 pekerja (lihat kuliah "Ringkasan dan pengumpulan data statistik").
Jadual 1 – Taburan siri variasi selang.

UAH atau UAH
Maksud aritmetik yang dikira berdasarkan data sumber dan siri variasi selang mungkin tidak bertepatan kerana taburan nilai atribut yang tidak sekata dalam selang. Dalam kes ini, untuk pengiraan yang lebih tepat bagi min aritmetik berwajaran, seseorang itu seharusnya tidak menggunakan pertengahan selang, tetapi cara aritmetik mudah yang dikira untuk setiap kumpulan ( purata kumpulan). Purata yang dikira daripada kumpulan bermakna menggunakan formula pengiraan wajaran dipanggil purata am.
Purata aritmetik mempunyai beberapa sifat.
1. Jumlah sisihan daripada pilihan purata ialah sifar:
.
2. Jika semua nilai opsyen meningkat atau menurun dengan jumlah A, maka nilai purata meningkat atau menurun dengan jumlah A yang sama:

3. Jika setiap pilihan dinaikkan atau dikurangkan sebanyak B kali, maka nilai purata juga akan meningkat atau menurun dengan bilangan kali yang sama:
atau
4. Jumlah hasil pilihan dengan frekuensi adalah sama dengan hasil darab nilai purata dengan jumlah frekuensi:

5. Jika semua frekuensi dibahagikan atau didarab dengan sebarang nombor, maka min aritmetik tidak akan berubah:

6) jika dalam semua selang frekuensi adalah sama antara satu sama lain, maka min aritmetik berwajaran adalah sama dengan min aritmetik mudah:
,
di mana k ialah bilangan kumpulan siri variasi.

Menggunakan sifat purata membolehkan anda memudahkan pengiraannya.
Mari kita andaikan bahawa semua pilihan (x) dikurangkan terlebih dahulu dengan nombor A yang sama, dan kemudian dikurangkan dengan faktor B. Penyederhanaan terbesar dicapai apabila nilai tengah selang dengan frekuensi tertinggi dipilih sebagai A, dan nilai selang (untuk siri dengan selang yang sama) dipilih sebagai B. Kuantiti A dipanggil asalan, jadi kaedah pengiraan purata ini dipanggil cara b rujukan ohm daripada sifar bersyarat atau cara detik.
Selepas transformasi sedemikian, kami memperoleh siri pengedaran variasi baharu, yang variannya sama dengan . Min aritmetik mereka, dipanggil detik pesanan pertama, dinyatakan oleh formula dan, mengikut sifat kedua dan ketiga, min aritmetik adalah sama dengan min versi asal, dikurangkan dahulu dengan A, dan kemudian dengan B kali, i.e.
Untuk mendapatkan purata sebenar(purata siri asal) anda perlu mendarab momen tertib pertama dengan B dan menambah A:

Pengiraan min aritmetik menggunakan kaedah momen digambarkan oleh data dalam Jadual. 2.
Jadual 2 – Taburan pekerja kedai kilang mengikut tempoh perkhidmatan

Mencari detik pesanan pertama . Kemudian, mengetahui bahawa A = 17.5 dan B = 5, kami mengira purata tempoh perkhidmatan pekerja bengkel:
tahun

Maksud harmonik
Seperti yang ditunjukkan di atas, min aritmetik digunakan untuk mengira nilai purata ciri dalam kes di mana variannya x dan frekuensinya f diketahui.
Jika maklumat statistik tidak mengandungi frekuensi f untuk pilihan individu x populasi, tetapi dibentangkan sebagai produk mereka, formula digunakan min harmonik berwajaran. Untuk mengira purata, mari kita nyatakan di mana . Menggantikan ungkapan ini ke dalam formula untuk purata wajaran aritmetik, kami memperoleh formula untuk purata wajaran harmonik:
,
di manakah isipadu (berat) nilai atribut penunjuk dalam selang bernombor i (i=1,2, …, k).

Oleh itu, min harmonik digunakan dalam kes di mana bukan pilihan itu sendiri yang tertakluk kepada penjumlahan, tetapi timbal baliknya: .
Dalam kes di mana berat setiap pilihan adalah sama dengan satu, i.e. nilai individu bagi ciri songsang berlaku sekali, digunakan bermakna mudah harmonik:
,
di mana varian individu bagi ciri songsang, berlaku sekali;
N – pilihan nombor.
Jika terdapat purata harmonik untuk dua bahagian populasi, maka purata keseluruhan untuk keseluruhan populasi dikira menggunakan formula:

dan dipanggil min harmonik berwajaran bagi min kumpulan.

Contoh. Semasa berdagang di pertukaran mata wang, tiga transaksi telah dibuat pada jam pertama operasi. Data mengenai jumlah jualan Hryvnia dan kadar pertukaran Hryvnia berbanding dolar AS diberikan dalam jadual. 3 (lajur 2 dan 3). Tentukan kadar pertukaran purata Hryvnia berbanding dolar AS untuk jam pertama dagangan.
Jadual 3 – Data tentang kemajuan dagangan pada pertukaran mata wang asing

Purata kadar pertukaran dolar ditentukan oleh nisbah jumlah Hryvnia yang dijual semasa semua urus niaga kepada jumlah dolar yang diperoleh hasil daripada urus niaga yang sama. Jumlah akhir penjualan Hryvnia diketahui dari lajur 2 jadual, dan bilangan dolar yang dibeli dalam setiap transaksi ditentukan dengan membahagikan jumlah penjualan Hryvnia dengan kadar pertukarannya (lajur 4). Sejumlah $22 juta telah dibeli dalam tiga transaksi. Ini bermakna bahawa kadar pertukaran purata Hryvnia untuk satu dolar adalah
.
Nilai yang terhasil adalah nyata, kerana menggantikannya dengan kadar pertukaran Hryvnia sebenar dalam urus niaga tidak akan mengubah jumlah akhir jualan Hryvnia, yang berfungsi sebagai penunjuk yang menentukan: juta UAH
Jika min aritmetik digunakan untuk pengiraan, i.e. Hryvnia, kemudian pada kadar pertukaran untuk pembelian 22 juta dolar. ia akan menjadi perlu untuk membelanjakan 110.660.000 UAH, yang tidak benar.

Purata geometri
Purata geometri digunakan untuk menganalisis dinamik fenomena dan membolehkan seseorang menentukan pekali pertumbuhan purata. Apabila mengira min geometri, nilai individu ciri adalah penunjuk relatif dinamik, dibina dalam bentuk nilai rantai, sebagai nisbah setiap tahap kepada yang sebelumnya.
Purata geometri mudah dikira menggunakan formula:
,
di manakah tanda produk,
N – bilangan nilai purata.
Contoh. Bilangan jenayah berdaftar dalam tempoh 4 tahun meningkat sebanyak 1.57 kali, termasuk untuk yang pertama – 1.08 kali, untuk yang ke-2 – 1.1 kali, untuk yang ke-3 – 1.18 dan untuk yang ke-4 – 1.12 kali. Kemudian purata kadar pertumbuhan tahunan bilangan jenayah ialah: , i.e. bilangan jenayah berdaftar meningkat setiap tahun dengan purata 12%.

1,8
-0,8
0,2
1,0
1,4

1
3
4
1
1

3,24
0,64
0,04
1
1,96

3,24
1,92
0,16
1
1,96