|
Ņemot vērā metodiskais materiāls ir tikai atsaucei un attiecas uz plašu tēmu loku. Rakstā ir sniegts pārskats par pamata elementārfunkciju grafikiem un apskatīta vissvarīgākā problēma - kā pareizi un ĀTRI izveidot grafiku. Augstākās matemātikas studiju gaitā bez zināšanām par elementārfunkciju grafikiem būs grūti, tāpēc ir ļoti svarīgi atcerēties, kā izskatās parabolas, hiperbolas, sinusa, kosinusa uc grafiki, un atcerēties dažus funkciju nozīmi. Mēs arī runāsim par dažām galveno funkciju īpašībām. Es nepretendēju uz materiālu pilnīgumu un zinātnisku pamatīgumu, uzsvars tiks likts, pirmkārt, uz praksi - tām lietām, ar kurām cilvēks sastopas burtiski ik uz soļa, jebkurā augstākās matemātikas tēmā. Manekenu diagrammas? Tā varētu teikt.
Daudzo lasītāju lūgumu dēļ noklikšķināms satura rādītājs:
Turklāt par šo tēmu ir īpaši īss konspekts
– apgūsti 16 veidu diagrammas, izpētot SEŠAS lappuses!
Ja nopietni, seši, pat es biju pārsteigts. Šajā kopsavilkumā ir uzlabota grafika, un tas ir pieejams par nominālo samaksu. Failu ir ērti izdrukāt, lai grafiki vienmēr būtu pa rokai. Paldies par atbalstu projektam!
Un sāksim uzreiz:
Kā pareizi konstruēt koordinātu asis?
Praksē kontroldarbus skolēni gandrīz vienmēr aizpilda atsevišķās burtnīcās, kas izklātas kvadrātā. Kāpēc jums ir nepieciešami rūtaini marķējumi? Galu galā darbu principā var veikt uz A4 formāta loksnēm. Un būris ir nepieciešams tieši kvalitatīvai un precīzai rasējumu noformēšanai.
Jebkurš funkciju grafika rasējums sākas ar koordinātu asīm.
Zīmējumi var būt divdimensiju vai trīsdimensiju.
Vispirms apskatīsim divdimensiju gadījumu Dekarta taisnstūra koordinātu sistēma:
1) Zīmēt koordinātu asis. Asi sauc x-ass
, un ass ir y ass
. Mēs vienmēr cenšamies tos uzzīmēt glīts un nav greizs. Bultām nevajadzētu līdzināties arī papa Karlo bārdai.
2) Mēs parakstām asis ar lieliem burtiem “X” un “Y”. Neaizmirstiet marķēt cirvjus.
3) Iestatiet mērogu gar asīm: uzzīmē nulli un divus vieniniekus. Veidojot zīmējumu, ērtākais un biežāk izmantotais mērogs ir: 1 vienība = 2 šūnas (zīmējums pa kreisi) - ja iespējams, pie tā pieturieties. Tomēr ik pa laikam gadās, ka zīmējums neiederas piezīmjdatora lapā – tad samazinām mērogu: 1 vienība = 1 šūna (zīmējums pa labi). Tas notiek reti, bet gadās, ka zīmējuma mērogs ir jāsamazina (vai jāpalielina) vēl vairāk
NAV VAJADZĪGS “ložmetējs” …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …. Par koordinātu plakne nav piemineklis Dekartam, un students nav balodis. Mēs ieliekam nulle Un divas vienības gar asīm. Dažkārt vietā mērvienības, ir ērti “atzīmēt” citas vērtības, piemēram, “divi” uz abscisu ass un “trīs” uz ordinātu ass - un šī sistēma (0, 2 un 3) arī unikāli definēs koordinātu režģi.
Labāk ir aplēst rasējuma aptuvenos izmērus PIRMS rasējuma konstruēšanas. Tātad, piemēram, ja uzdevums prasa uzzīmēt trīsstūri ar virsotnēm , , , tad ir pilnīgi skaidrs, ka populārā skala 1 vienība = 2 šūnas nedarbosies. Kāpēc? Apskatīsim būtību - šeit būs jāmēra piecpadsmit centimetri uz leju, un, acīmredzot, zīmējums neietilps (vai tik tikko ietilps) piezīmjdatora lapā. Tāpēc mēs nekavējoties izvēlamies mazāku mērogu: 1 vienība = 1 šūna.
Starp citu, apmēram centimetri un piezīmju grāmatiņas šūnas. Vai tā ir taisnība, ka 30 piezīmju grāmatiņas šūnās ir 15 centimetri? Izklaidei izmēriet savā piezīmju grāmatiņā ar lineālu 15 centimetrus. PSRS tā varēja būt taisnība... Interesanti atzīmēt, ka, mērot šos vienādus centimetrus horizontāli un vertikāli, rezultāti (šūnās) būs atšķirīgi! Stingri sakot, mūsdienu piezīmju grāmatiņas nav rūtainas, bet taisnstūrveida. Tas var šķist muļķīgi, bet zīmēt, piemēram, apli ar kompasu šādās situācijās ir ļoti neērti. Godīgi sakot, šādos brīžos jūs sākat domāt par biedra Staļina pareizību, kurš tika nosūtīts uz nometnēm, lai veiktu kapraču darbu ražošanā, nemaz nerunājot par vietējo automobiļu rūpniecību, krītošām lidmašīnām vai sprāgstošām spēkstacijām.
Runājot par kvalitāti, vai īss ieteikums par kancelejas precēm. Mūsdienās lielākā daļa pārdošanā esošo piezīmjdatoru ir, maigi izsakoties, pilnīgas muļķības. Tā iemesla dēļ, ka tie kļūst slapji, un ne tikai no gēla pildspalvām, bet arī no lodīšu pildspalvām! Viņi ietaupa naudu uz papīra. Reģistrācijai testiem Es iesaku izmantot piezīmju grāmatiņas no Arhangeļskas celulozes un papīra rūpnīcas (18 loksnes, režģis) vai “Pjateročka”, lai gan tās ir dārgākas. Vēlams izvēlēties gēla pildspalvu pat lētākā ķīniešu gēla pildspalva ir daudz labāka par lodīšu pildspalvu, kas vai nu nosmērē, vai saplēš papīru. Vienīgais "konkurētspējīgais" lodīšu pildspalva manā atmiņā ir "Ērihs Krauze". Viņa raksta skaidri, skaisti un konsekventi – vai ar pilnu kodolu, vai ar gandrīz tukšu.
Turklāt: Rakstā ir apskatīts taisnstūra koordinātu sistēmas redzējums caur analītiskās ģeometrijas acīm Vektoru lineārā (ne)atkarība. Vektoru bāze, detalizēta informācija par koordinēt ceturkšņus var atrast nodarbības otrajā rindkopā Lineārās nevienādības.
3D korpuss
Šeit ir gandrīz tas pats.
1) Uzzīmējiet koordinātu asis. Standarta: ass piemērot
– vērsta uz augšu, ass – vērsta pa labi, ass – vērsta uz leju pa kreisi stingri 45 grādu leņķī.
2) Marķējiet asis.
3) Iestatiet mērogu gar asīm. Mērogs gar asi ir divas reizes mazāks nekā skala gar pārējām asīm. Ņemiet vērā arī to, ka labajā zīmējumā es izmantoju nestandarta "iecirtumu" gar asi (šī iespēja jau tika minēts iepriekš). Manā skatījumā tas ir precīzāk, ātrāk un estētiski pievilcīgāk - nav jāmeklē mikroskopa šūnas vidu un “skulbēta” vienība tuvu koordinātu izcelsmei.
Veicot 3D zīmējumu, atkal dodiet priekšroku mērogam
1 vienība = 2 šūnas (zīmējums kreisajā pusē).
Kam domāti visi šie noteikumi? Noteikumi ir radīti, lai tos pārkāptu. To es tagad darīšu. Fakts ir tāds, ka turpmākos raksta rasējumus es veidošu programmā Excel, un koordinātu asis no viedokļa izskatīsies nepareizas pareizs dizains. Es varētu zīmēt visus grafikus ar roku, taču patiesībā ir biedējoši tos zīmēt, jo programma Excel nelabprāt tās zīmē daudz precīzāk.
Grafiki un elementāru funkciju pamatīpašības
Lineāru funkciju nosaka vienādojums. Lineāro funkciju grafiks ir tiešā veidā. Lai izveidotu taisnu līniju, pietiek zināt divus punktus.
1. piemērs
Izveidojiet funkcijas grafiku. Atradīsim divus punktus. Kā vienu no punktiem ir izdevīgi izvēlēties nulli.
Ja, tad
Ņemsim vēl vienu punktu, piemēram, 1.
Ja, tad
Veicot uzdevumus, punktu koordinātas parasti tiek apkopotas tabulā:
Un pašas vērtības tiek aprēķinātas mutiski vai uz melnraksta, kalkulatora.
Ir atrasti divi punkti, veidosim zīmējumu:
Sagatavojot zīmējumu, mēs vienmēr parakstām grafiku.
Būtu lietderīgi atgādināt īpašus lineāras funkcijas gadījumus:
Ievērojiet, kā es ievietoju parakstus, paraksti nedrīkst pieļaut neatbilstības, pētot zīmējumu. IN šajā gadījumā Bija ārkārtīgi nevēlami likt parakstu blakus līniju krustošanās punktam vai apakšā pa labi starp grafikiem.
1) Formas () lineāro funkciju sauc par tiešo proporcionalitāti. Piemēram,. Tiešās proporcionalitātes grafiks vienmēr iet caur izcelsmi. Tādējādi tiek vienkāršota taisnas līnijas konstruēšana - pietiek atrast tikai vienu punktu.
2) Formas vienādojums norāda taisni, kas ir paralēla asij, jo īpaši pati asi ir dota ar vienādojumu. Funkcijas grafiks tiek konstruēts uzreiz, neatrodot nevienu punktu. Tas nozīmē, ka ieraksts ir jāsaprot šādi: "y vienmēr ir vienāds ar –4 jebkurai x vērtībai."
3) Formas vienādojums norāda taisni, kas ir paralēla asij, jo īpaši pati asi ir dota ar vienādojumu. Tūlīt tiek uzzīmēts arī funkcijas grafiks. Ieraksts jāsaprot šādi: “x vienmēr jebkurai y vērtībai ir vienāds ar 1.”
Daži jautās, kāpēc atcerēties 6. klasi?! Tā tas ir, varbūt tā ir, bet prakses gadu laikā esmu saticis labu duci studentu, kuri bija neizpratnē par uzdevumu izveidot grafiku, piemēram, vai.
Taisnas līnijas izveidošana ir visizplatītākā darbība, veidojot zīmējumus.
Taisne tiek detalizēti apspriesta analītiskās ģeometrijas gaitā, un interesenti var atsaukties uz rakstu Taisnes vienādojums plaknē.
Kvadrātiskās, kubiskās funkcijas grafiks, polinoma grafiks
Parabola. Grafiks kvadrātiskā funkcija  () apzīmē parabolu. Apsveriet slaveno gadījumu:
Atgādināsim dažas funkcijas īpašības.
Tātad, mūsu vienādojuma risinājums: – tieši šajā punktā atrodas parabolas virsotne. Kāpēc tas tā ir, var atrast teorētiskajā rakstā par atvasinājumu un nodarbībā par funkcijas ekstrēmām. Tikmēr aprēķināsim atbilstošo “Y” vērtību:
Tādējādi virsotne atrodas punktā
Tagad mēs atrodam citus punktus, vienlaikus nekaunīgi izmantojot parabolas simetriju. Jāatzīmē, ka funkcija  – nav pat, bet, neskatoties uz to, neviens neatcēla parabolas simetriju.
Kādā secībā atrast atlikušos punktus, domāju, ka būs skaidrs no fināla tabulas:
Šo konstruēšanas algoritmu tēlaini var saukt par “shuttle” jeb “turp un atpakaļ” principu ar Anfisu Čehovu.
Izveidosim zīmējumu:
No apskatītajiem grafikiem nāk prātā vēl viena noderīga funkcija:
Kvadrātiskajai funkcijai  () patiesība ir šāda:
Ja , tad parabolas zari ir vērsti uz augšu.
Ja , tad parabolas zari ir vērsti uz leju.
Padziļinātas zināšanas par līkni var iegūt nodarbībā Hiperbola un parabola.
Funkcija dod kubisko parabolu. Šeit ir zīmējums, kas pazīstams no skolas:
Uzskaitīsim galvenās funkcijas īpašības
Funkcijas grafiks
Tas attēlo vienu no parabolas atzariem. Izveidosim zīmējumu:
Funkcijas galvenās īpašības:
Šajā gadījumā ass ir vertikālā asimptote
hiperbolas grafikam pie .
Būtu RUPJA kļūda, ja, veidojot zīmējumu, jūs bezrūpīgi ļautu grafam krustoties ar asimptotu.
Arī vienpusējās robežas mums norāda, ka hiperbola nav ierobežots no augšas Un nav ierobežots no apakšas.
Apskatīsim funkciju bezgalībā: , tas ir, ja mēs sākam virzīties pa asi pa kreisi (vai pa labi) līdz bezgalībai, tad “spēles” būs sakārtotā solī bezgala tuvu tuvojas nullei un attiecīgi hiperbolas zari bezgala tuvu tuvinies asij.
Tātad ass ir horizontālā asimptote
funkcijas grafikam, ja “x” tiecas uz plus vai mīnus bezgalību.
Funkcija ir nepāra, un tāpēc hiperbola ir simetriska attiecībā pret izcelsmi. Šis fakts ir acīmredzams no zīmējuma, turklāt tas ir viegli pārbaudāms analītiski:  .
Formas () funkcijas grafiks attēlo divus hiperbolas atzarus.
Ja , tad hiperbola atrodas pirmajā un trešajā koordinātu ceturtdaļā(skat. attēlu augstāk).
Ja , tad hiperbola atrodas otrajā un ceturtajā koordinātu ceturtdaļā.
Norādīto hiperbolas atrašanās vietu ir viegli analizēt no grafiku ģeometrisko transformāciju viedokļa.
3. piemērs
Izveidojiet hiperbolas labo atzaru
Mēs izmantojam punktveida konstruēšanas metodi, un ir izdevīgi izvēlēties vērtības tā, lai tās būtu dalāmas ar veselumu:
Izveidosim zīmējumu:
Šeit nebūs grūti konstruēt hiperbolas kreiso zaru. Aptuveni runājot, punktu pa punkta konstruēšanas tabulā katram skaitlim prātīgi pievienojam mīnusu, saliekam atbilstošos punktus un uzzīmējam otro zaru.
Detalizēta ģeometriskā informācija par aplūkoto līniju atrodama rakstā Hiperbola un parabola.
Eksponenciālās funkcijas grafiks
Šajā sadaļā nekavējoties aplūkošu eksponenciālo funkciju, jo augstākās matemātikas uzdevumos 95% gadījumu parādās eksponenciālais.
Atgādināšu, ka tas ir iracionāls skaitlis: , tas būs nepieciešams, veidojot grafu, kuru patiesībā es veidošu bez ceremonijām. Droši vien pietiek ar trim punktiem:
Pagaidām atstāsim funkcijas grafiku, par to vairāk vēlāk.
Funkcijas galvenās īpašības:
Funkciju grafiki utt. būtībā izskatās vienādi.
Man jāsaka, ka otrs gadījums praksē notiek retāk, bet tas notiek, tāpēc es uzskatīju par nepieciešamu to iekļaut šajā rakstā.
Logaritmiskās funkcijas grafiks
Apsveriet funkciju ar naturālu logaritmu.
Izveidosim punktu pa punktam zīmējumu:
Ja esat aizmirsis, kas ir logaritms, lūdzu, skatiet savas skolas mācību grāmatas.
Funkcijas galvenās īpašības:
Definīcijas joma: 
Vērtību diapazons: .
Funkcija nav ierobežota no augšas:  , lai arī lēni, bet logaritma atzars iet uz augšu līdz bezgalībai.
Apskatīsim funkcijas darbību, kas ir tuvu nullei labajā pusē:  . Tātad ass ir vertikālā asimptote
funkcijas grafikam kā “x” no labās puses ir tendence uz nulli.
Ir obligāti jāzina un jāatceras logaritma tipiskā vērtība: .
Principā logaritma grafiks līdz bāzei izskatās tāpat: , , (decimālais logaritms līdz 10. bāzei) utt. Turklāt, jo lielāka ir bāze, jo plakanāks būs grafiks.
Mēs šo lietu neapskatīsim. Es neatceros, kad pēdējo reizi izveidoju grafiku, izmantojot šādu pamatu. Un logaritms, šķiet, ir ļoti rets viesis augstākās matemātikas uzdevumos.
Šīs rindkopas beigās es pateikšu vēl vienu faktu: Eksponenciālā funkcija un logaritmiskā funkcija– tās ir divas savstarpēji apgrieztas funkcijas. Ja paskatās uz logaritma grafiku, jūs varat redzēt, ka tas ir viens un tas pats eksponents, tikai tas atrodas nedaudz savādāk.
Trigonometrisko funkciju grafiki
Kur skolā sākas trigonometriskās mokas? Pareizi. No sinusa
Uzzīmēsim funkciju
Šo līniju sauc sinusoidāls.
Atgādināšu, ka “pi” ir iracionāls skaitlis: , un trigonometrijā tas liek acis mirdzēt.
Funkcijas galvenās īpašības:
Šī funkcija ir periodiski ar periodu. Ko tas nozīmē? Apskatīsim segmentu. Pa kreisi un pa labi no tā bezgalīgi atkārtojas tieši tas pats diagrammas fragments.
Definīcijas joma: , tas ir, jebkurai “x” vērtībai ir sinusa vērtība.
Vērtību diapazons: . Funkcija ir ierobežots: , tas ir, visi “spēlētāji” stingri atrodas segmentā .
Tas nenotiek: vai, precīzāk, tas notiek, bet šiem vienādojumiem nav atrisinājuma. |
Parabola. Kvadrātfunkcijas () grafiks ir parabola. Apsveriet kanonisko gadījumu:
Atgādināsim dažas funkcijas īpašības.
Definīcijas domēns ir jebkurš reāls skaitlis (jebkura “x” vērtība). Ko tas nozīmē? Neatkarīgi no tā, kuru ass punktu mēs izvēlamies, katram “x” ir parabolas punkts. Matemātiski tas ir uzrakstīts šādi: . Jebkuras funkcijas definīcijas apgabals parasti tiek apzīmēts ar vai . Burts apzīmē reālu skaitļu kopu vai, vienkāršāk sakot, "jebkuru X" (kad darbs tiek rakstīts piezīmju grāmatiņā, viņi raksta nevis cirtainu, bet treknu burtu R).
Diapazons ir visu vērtību kopa, ko var iegūt mainīgais “y”. Šajā gadījumā: – visu kopa pozitīvas vērtības, ieskaitot nulli. Vērtību diapazons parasti tiek apzīmēts ar vai .
Funkcija ir pat Ja funkcija ir pāra, tad tās grafiks ir simetrisks pret asi. Tas ir ļoti noderīgs īpašums, kas būtiski vienkāršo grafa uzbūvi, kā jau drīzumā redzēsim. Analītiski funkcijas paritāti izsaka nosacījums. Kā pārbaudīt jebkuras funkcijas paritāti? Tā vietā vienādojumā ir jāaizstāj . Parabolas gadījumā pārbaude izskatās šādi: tas nozīmē, ka funkcija ir pāra.
Funkcija nav ierobežots no augšas. Analītiski rekvizītu raksta šādi: . Šeit, starp citu, ir funkcijas robežas ģeometriskās nozīmes piemērs: ja mēs ejam pa asi (pa kreisi vai pa labi) līdz bezgalībai, tad parabolas zari (kas nozīmē "Y") virzīsies uz augšu uz nenoteiktu laiku līdz “plus bezgalībai”.
Plkst funkciju robežu izpēte Ieteicams saprast robežas ģeometrisko nozīmi.
Nav nejaušība, ka tik detalizēti aprakstīju funkcijas īpašības, visas iepriekš minētās lietas ir noderīgi zināt un atcerēties, veidojot funkciju grafikus, kā arī pētot funkciju grafikus.
2. piemērs
Grafiksējiet funkciju 
.
Šajā piemērā mēs aplūkosim svarīgu tehnisku problēmu: Kā ātri izveidot parabolu? Praktiskajos uzdevumos ļoti bieži rodas nepieciešamība zīmēt parabolu, it īpaši aprēķinot figūras laukums, izmantojot noteiktais integrālis
. Tāpēc ir ieteicams iemācīties ātri, minimāli zaudējot laiku, pabeigt zīmējumu. Es piedāvāju šādu konstruēšanas algoritmu.
Vispirms atrodam parabolas virsotni. Lai to izdarītu, ņemiet pirmo atvasinājumu un pielīdziniet to nullei:
Ja jums slikti ar atvasinājumiem, jums vajadzētu izlasīt mācību Kā atrast atvasinājumu?
Tātad, mūsu vienādojuma risinājums: – tieši šajā punktā atrodas parabolas virsotne. Mēs aprēķinām atbilstošo “Y” vērtību:
Tādējādi virsotne atrodas punktā
Tagad mēs atrodam citus punktus, vienlaikus nekaunīgi izmantojot parabolas simetriju. Jāatzīmē, ka funkcija – nav pat, bet, neskatoties uz to, neviens neatcēla parabolas simetriju.
Kādā secībā atrast atlikušos punktus, domāju, ka būs skaidrs no fināla tabulas:
Šo konstruēšanas algoritmu tēlaini var saukt par “shuttle”. Varbūt ne visi saprot atspoles būtību, tad salīdzinājumam es atgādinu slaveno TV šovu “turp un atpakaļ ar Anfisu Čehovu”.
Izveidosim zīmējumu:
No apskatītajiem grafikiem nāk prātā vēl viena noderīga funkcija:
Kvadrātiskajai funkcijai () ir taisnība:
Ja , tad parabolas zari ir vērsti uz augšu.
Ja , tad parabolas zari ir vērsti uz leju.
Kubiskā parabola
Funkcija dod kubisko parabolu. Šeit ir zīmējums, kas pazīstams no skolas:
Uzskaitīsim galvenās funkcijas īpašības
Definīcijas domēns ir jebkurš reāls skaitlis: .
Vērtību diapazons – jebkurš reāls skaitlis: .
Funkcija ir nepāra. Ja funkcija ir nepāra, tad tās grafiks ir simetrisks attiecībā pret izcelsmi. Analītiski funkcijas dīvainību izsaka nosacījums 
. Lai to izdarītu, mēs pārbaudīsim kubisko funkciju, un “X” vietā mēs aizstājam “mīnus X”:
, kas nozīmē, ka funkcija ir nepāra.
Funkcija nav ierobežots. Funkciju ierobežojumu valodā to var uzrakstīt šādi:
Tāpat efektīvāk ir izveidot kubisku parabolu, izmantojot Anfisas Čehovas atspoles algoritmu:
Protams, jūs esat pamanījuši, kur vēl izpaužas funkcijas dīvainība. Ja mēs to atrastu 
, tad aprēķinot nekas nav jāskaita, mēs automātiski pierakstām, ka . Šī funkcija attiecas uz jebkuru nepāra funkciju.
Tagad parunāsim nedaudz par polinomu grafikiem.
Jebkura trešās pakāpes polinoma grafiks 
() būtībā ir šāda forma:
Šajā piemērā augstākās pakāpes koeficients ir , tāpēc grafiks tiek pagriezts “apgriezti”. 5., 7., 9. un citu nepāra pakāpes polinomu grafikiem būtībā ir tāds pats izskats. Jo augstāka pakāpe, jo vairāk starpposma “zagibulīnu”.
4., 6. un citu pāra pakāpju polinomiem pamatā ir šādas formas grafiks:
Šīs zināšanas ir noderīgas, pētot funkciju grafikus.
Funkcijas grafiks
Izveidosim zīmējumu:
Funkcijas galvenās īpašības:
Darbības joma: .
Vērtību diapazons: .
Tas ir, funkcijas grafiks pilnībā atrodas pirmajā koordinātu kvadrantā.
Funkcija nav ierobežots no augšas. Vai izmantojot ierobežojumu: 
Veidojot vienkāršākos grafikus ar saknēm, ir piemērota arī punktveida veidošanas metode, un ir izdevīgi izvēlēties šādas “x” vērtības, lai tiktu izvilkta visa sakne:
Patiesībā es gribētu vairāk apskatīt piemērus ar saknēm, piemēram, bet tie ir daudz retāk. Es koncentrējos uz biežāk sastopamiem gadījumiem, un, kā liecina prakse, kaut kas tāds ir jābūvē daudz biežāk. Ja rodas vajadzība noskaidrot, kā izskatās grafiki ar citām saknēm, tad iesaku papētīt skolas mācību grāmata vai matemātikas uzziņu grāmata.
Hiperbolas grafiks
Atkal mēs atceramies triviālo “skolas” hiperbolu.
Izveidosim zīmējumu:
Funkcijas galvenās īpašības:
Darbības joma: .
Vērtību diapazons: .
Apzīmējums nozīmē: "jebkurš reāls skaitlis, izņemot nulli"
Kādā brīdī funkcija cieš no bezgalīgas pārtraukuma. Vai izmantojot vienpusējs ierobežojumi: , . Parunāsim nedaudz par vienpusējiem ierobežojumiem. Ieraksts nozīmē, ka mēs bezgala tuvu tuvojoties asij nullei pa kreisi. Kā darbojas grafiks? Tas nolaižas līdz mīnus bezgalībai, bezgala tuvu tuvojas asij. Tieši šis fakts ir rakstīts kā robeža. Tāpat apzīmējums nozīmē, ka mēs bezgala tuvu tuvojoties asij nullei pareizi. Šajā gadījumā hiperbolas atzars palielinās līdz plus bezgalībai, bezgala tuvu tuvojas asij. Vai īsumā: .
laipns
Kur Citiem vārdiem sakot, kubisko funkciju nosaka trešās pakāpes polinoms.
Analītiskās īpašības
Pieteikums
Kubiskā parabola dažreiz tiek izmantota, lai aprēķinātu pārejas līkni transportā, jo tās aprēķins ir daudz vienkāršāks nekā klotoīda izveidošana.
Skatīt arī
Uzrakstiet atsauksmi par rakstu "Kubiskā funkcija"
Piezīmes
Literatūra
- L. S. Pontrjagins, // “Kvants”, 1984, 3. nr.
- I. N. Bronšteins, K. A. Semendjajevs, “Matemātikas rokasgrāmata”, apgāds “Nauka”, M. 1967, 1. lpp. 84
Fragments, kas raksturo kubisko funkciju
- Nu, lai kam tas domāts...
Tobrīd Petja, kurai neviens nepievērsa uzmanību, piegāja pie tēva un sarkanā, lūstošā balsī, dažreiz raupjā, dažreiz tievā, sacīja:
"Nu, tagad, tēt, es apņēmīgi teikšu - un māmiņa arī, kā jūs vēlaties - es noteikti teikšu, ka jūs mani ielaidīsit." militārais dienests, jo es nevaru... tas arī viss...
Grāfiene šausmās pacēla acis pret debesīm, satvēra rokas un dusmīgi pievērsās vīram.
- Tātad es piekritu! - viņa teica.
Taču grāfs uzreiz atguvās no sajūsmas.
"Nu, labi," viņš teica. - Lūk, vēl viens karotājs! Izbeidziet muļķības: jums ir jāmācās.
– Tās nav muļķības, tēt. Fedja Oboļenska ir jaunāka par mani un arī nāk, un pats galvenais, es joprojām neko nevaru iemācīties tagad, kad ... - Petja apstājās, nosarka, līdz nosvīda un teica: - kad tēvzeme ir apdraudēta.
- Pilnīgs, pilnīgs, muļķības...
– Bet tu pats teici, ka mēs visu upurēsim.
"Petija, es tev saku, klusē," grāfs kliedza, atskatīdamies uz sievu, kura, nobālējusi, ar saspringtām acīm skatījās uz savu jaunāko dēlu.
- Un es tev saku. Tātad Pjotrs Kirillovičs teiks...
"Es jums saku, tas ir muļķības, piens vēl nav izžuvis, bet viņš vēlas doties militārajā dienestā!" Nu, labi, es jums saku,” un grāfs, paņēmis līdzi papīrus, lai, iespējams, vēlreiz tos izlasītu kabinetā pirms atpūšas, izgāja no telpas.
- Pjotr Kirillovič, iesim uzpīpēt...
Pjērs bija apmulsis un neizlēmīgs. Natašas neparasti spilgtās un dzīvās acis, pastāvīgi pievēršoties viņam vairāk nekā sirsnīgi, ieveda viņu šādā stāvoklī.
- Nē, es domāju, ka es iešu mājās...
- Tas ir kā doties mājās, bet tu gribēji pavadīt vakaru ar mums... Un tad tu nāci reti. Un šī manējā...” grāfs labsirdīgi teica, norādot uz Natašu, „viņa ir jautra tikai tad, kad ir kopā ar tevi...”
"Jā, es aizmirsu... Man noteikti jādodas mājās... Ko darīt..." Pjērs steidzīgi sacīja.
"Nu, ardievu," teica grāfs, pilnībā izejot no istabas.
- Kāpēc tu ej prom? Kāpēc tu esi sarūgtināts? Kāpēc?..” Nataša jautāja Pjēram, izaicinoši skatoties viņam acīs.
"Jo es tevi mīlu! - viņš gribēja teikt, bet viņš to neteica, viņš nosarka, līdz raudāja un nolaida acis.
- Tāpēc, ka man ir labāk pie tevis braukt retāk... Jo... nē, man vienkārši ir darīšana.
- Kāpēc? nē, saki man,” Nataša apņēmīgi iesāka un pēkšņi apklusa. Viņi abi bailīgi un neizpratnē saskatījās. Viņš mēģināja pasmaidīt, bet nespēja: viņa smaids pauda ciešanas, un viņš klusi noskūpstīja viņas roku un aizgāja.
Pjērs nolēma vairs neapmeklēt Rostovus ar sevi. Petja, saņēmusi izšķirošu atteikumu, devās uz savu istabu un tur, noslēdzoties no visiem, rūgti raudāja. Viņi visu darīja tā, it kā neko nebūtu pamanījuši, kad viņš pie tējas nāca kluss un drūms, ar asaru notraipītām acīm.
Nākamajā dienā ieradās suverēns. Vairāki Rostovas pagalmi lūdza aizbraukt pie cara. Torīt Petja ilgi saģērbās, izķemmēja matus un sakārtoja apkakles kā lielajām. Viņš sarauca pieri spoguļa priekšā, izdarīja žestus, paraustīja plecus un beidzot, nevienam neko neteicis, uzvilka cepuri un izgāja no mājas no aizmugures lieveņa, cenšoties, lai viņu nepamana. Petja nolēma doties tieši uz vietu, kur atradās suverēns un tieši paskaidrot kādam kambarkungam (Petijai šķita, ka suverēnu vienmēr ieskauj kambarkungi), ka viņš, grāfs Rostovs, neskatoties uz savu jaunību, vēlas kalpot tēvzemei, ka jaunatnei. nevarēja būt šķērslis dievbijībai un tam, ka viņš ir gatavs... Petja, gatavojoties, sagatavoja daudz brīnišķīgu vārdu, ko teiktu kambarkungam.
Parabola. Kvadrātfunkcijas () grafiks ir parabola. Apsveriet kanonisko gadījumu:
Atgādināsim dažas funkcijas īpašības.
Definīcijas domēns ir jebkurš reāls skaitlis (jebkura “x” vērtība). Ko tas nozīmē? Neatkarīgi no tā, kuru ass punktu mēs izvēlamies, katram “x” ir parabolas punkts. Matemātiski tas ir uzrakstīts šādi: . Jebkuras funkcijas definīcijas apgabals parasti tiek apzīmēts ar vai . Burts apzīmē reālu skaitļu kopu vai, vienkāršāk sakot, "jebkuru X" (kad darbs tiek rakstīts piezīmju grāmatiņā, viņi raksta nevis cirtainu, bet treknu burtu R).
Diapazons ir visu vērtību kopa, ko var iegūt mainīgais “y”. Šajā gadījumā: – visu pozitīvo vērtību kopa, ieskaitot nulli. Vērtību diapazons parasti tiek apzīmēts ar vai .
Funkcija ir pat Ja funkcija ir pāra, tad tās grafiks ir simetrisks pret asi. Tas ir ļoti noderīgs īpašums, kas ievērojami vienkāršo grafika veidošanu, kā mēs redzēsim tuvākajā laikā. Analītiski funkcijas paritāti izsaka nosacījums. Kā pārbaudīt jebkuras funkcijas paritāti? Tā vietā vienādojumā ir jāaizstāj . Parabolas gadījumā pārbaude izskatās šādi: tas nozīmē, ka funkcija ir pāra.
Funkcija nav ierobežots no augšas. Analītiski rekvizītu raksta šādi: . Šeit, starp citu, ir funkcijas robežas ģeometriskās nozīmes piemērs: ja mēs ejam pa asi (pa kreisi vai pa labi) līdz bezgalībai, tad parabolas zari (kas nozīmē "Y") virzīsies uz augšu uz nenoteiktu laiku līdz “plus bezgalībai”.
Plkst funkciju robežu izpēte Ieteicams saprast robežas ģeometrisko nozīmi.
Nav nejaušība, ka tik detalizēti aprakstīju funkcijas īpašības, visas iepriekš minētās lietas ir noderīgi zināt un atcerēties, veidojot funkciju grafikus, kā arī pētot funkciju grafikus.
2. piemērs
Grafiksējiet funkciju 
.
Šajā piemērā mēs aplūkosim svarīgu tehnisku problēmu: Kā ātri izveidot parabolu? Praktiskajos uzdevumos ļoti bieži rodas nepieciešamība zīmēt parabolu, jo īpaši, aprēķinot figūras laukumu, izmantojot noteiktu integrāli. Tāpēc ir ieteicams iemācīties ātri, minimāli zaudējot laiku, pabeigt zīmējumu. Es piedāvāju šādu konstruēšanas algoritmu.
Vispirms atrodam parabolas virsotni. Lai to izdarītu, ņemiet pirmo atvasinājumu un pielīdziniet to nullei:
Ja jums slikti ar atvasinājumiem, jums vajadzētu izlasīt mācību Kā atrast atvasinājumu?
Tātad, mūsu vienādojuma risinājums: – tieši šajā punktā atrodas parabolas virsotne. Mēs aprēķinām atbilstošo “Y” vērtību:
Tādējādi virsotne atrodas punktā
Tagad mēs atrodam citus punktus, vienlaikus nekaunīgi izmantojot parabolas simetriju. Jāatzīmē, ka funkcija – nav pat, bet, neskatoties uz to, neviens neatcēla parabolas simetriju.
Kādā secībā atrast atlikušos punktus, domāju, ka būs skaidrs no fināla tabulas:
Šo konstruēšanas algoritmu tēlaini var saukt par “shuttle”. Varbūt ne visi saprot atspoles būtību, tad salīdzinājumam es atgādinu slaveno TV šovu “turp un atpakaļ ar Anfisu Čehovu”.
Izveidosim zīmējumu:
No apskatītajiem grafikiem nāk prātā vēl viena noderīga funkcija:
Kvadrātiskajai funkcijai () ir taisnība:
Ja , tad parabolas zari ir vērsti uz augšu.
Ja , tad parabolas zari ir vērsti uz leju.
Kubiskā parabola
Funkcija dod kubisko parabolu. Šeit ir zīmējums, kas pazīstams no skolas:
Uzskaitīsim galvenās funkcijas īpašības
Definīcijas domēns ir jebkurš reāls skaitlis: .
Vērtību diapazons – jebkurš reāls skaitlis: .
Funkcija ir nepāra. Ja funkcija ir nepāra, tad tās grafiks ir simetrisks attiecībā pret izcelsmi. Analītiski funkcijas dīvainību izsaka nosacījums 
. Lai to izdarītu, mēs pārbaudīsim kubisko funkciju, un “X” vietā mēs aizstājam “mīnus X”:
, kas nozīmē, ka funkcija ir nepāra.
Funkcija nav ierobežots. Funkciju ierobežojumu valodā to var uzrakstīt šādi:
Tāpat efektīvāk ir izveidot kubisku parabolu, izmantojot Anfisas Čehovas atspoles algoritmu:
Protams, jūs esat pamanījuši, kur vēl izpaužas funkcijas dīvainība. Ja mēs to atrastu 
, tad aprēķinot nekas nav jāskaita, mēs automātiski pierakstām, ka . Šī funkcija attiecas uz jebkuru nepāra funkciju.
Tagad parunāsim nedaudz par polinomu grafikiem.
Jebkura trešās pakāpes polinoma grafiks 
() būtībā ir šāda forma:
Šajā piemērā augstākās pakāpes koeficients ir , tāpēc grafiks tiek pagriezts “apgriezti”. 5., 7., 9. un citu nepāra pakāpes polinomu grafikiem būtībā ir tāds pats izskats. Jo augstāka pakāpe, jo vairāk starpposma “zagibulīnu”.
4., 6. un citu pāra pakāpju polinomiem pamatā ir šādas formas grafiks:
Šīs zināšanas ir noderīgas, pētot funkciju grafikus.
Funkcijas grafiks
Izveidosim zīmējumu:
Funkcijas galvenās īpašības:
Darbības joma: .
Vērtību diapazons: .
Tas ir, funkcijas grafiks pilnībā atrodas pirmajā koordinātu kvadrantā.
Funkcija nav ierobežots no augšas. Vai izmantojot ierobežojumu: 
Veidojot vienkāršākos grafikus ar saknēm, ir piemērota arī punktveida veidošanas metode, un ir izdevīgi izvēlēties šādas “x” vērtības, lai tiktu izvilkta visa sakne:
Funkciju y=x^2 sauc par kvadrātfunkciju. Kvadrātfunkcijas grafiks ir parabola. Vispārējs skats Parabola ir parādīta attēlā zemāk.
Kvadrātiskā funkcija
1. attēls. Parabolas vispārējs skats
Kā redzams no grafika, tas ir simetrisks pret Oy asi. Oy asi sauc par parabolas simetrijas asi. Tas nozīmē, ka, ja grafikā zīmējat taisnu līniju, kas ir paralēla Vērša asij virs šīs ass. Tad tas krustos parabolu divos punktos. Attālums no šiem punktiem līdz Oy asij būs vienāds.
Simetrijas ass sadala parabolas grafiku divās daļās. Šīs daļas sauc par parabolas zariem. Un parabolas punktu, kas atrodas uz simetrijas ass, sauc par parabolas virsotni. Tas ir, simetrijas ass iet caur parabolas virsotni. Šī punkta koordinātas ir (0;0).
Kvadrātfunkcijas pamatīpašības
1. Ja x =0, y=0 un y>0 pie x0
2. Minimālā vērtība kvadrātfunkcija sasniedz savu virsotni. Ymin pie x=0; Jāņem vērā arī tas maksimālā vērtība funkcija neeksistē.
3. Funkcija samazinās pēc intervāla (-∞;0] un palielinās pēc intervāla)
