Darba teksts ievietots bez attēliem un formulām.
Pilna versija darbs ir pieejams cilnē "Darba faili" PDF formātā

Ievads

Pieaugušo runā jūs, iespējams, dzirdējāt šādu frāzi: "Atstājiet man savas koordinātes." Šis izteiciens nozīmē, ka sarunu biedram ir jāatstāj sava adrese vai tālruņa numurs, kur viņu var atrast. Tie, kas spēlēja “jūras kauju”, izmantoja atbilstošo koordinātu sistēmu. Līdzīga koordinātu sistēma tiek izmantota šahā. Vietas iekšā auditorija kinoteātris ir norādīts ar diviem cipariem: pirmais cipars norāda rindas numuru, bet otrais norāda sēdvietas numuru šajā rindā. Ideja par punkta atrašanās vietas noteikšanu plaknē, izmantojot skaitļus, radās senatnē. Koordinātu sistēma caurstrāvo visu cilvēka praktisko dzīvi un tai ir milzīga praktisks pielietojums. Tāpēc mēs nolēmām izveidot šo projektu, lai paplašinātu savas zināšanas par tēmu " Koordinātu plakne»

Projekta mērķi:

iepazīties ar taisnstūra koordinātu sistēmas rašanās vēsturi plaknē;

ar šo tēmu saistītas ievērojamas personas;

atrast interesantu vēstures fakti;

labi uztver koordinātas ar ausīm; skaidri un precīzi veikt konstrukcijas;

sagatavot prezentāciju.

I nodaļa. Koordinātu plakne

Ideja par punkta atrašanās vietas noteikšanu plaknē, izmantojot skaitļus, radās senatnē - galvenokārt astronomu un ģeogrāfu vidū, veidojot zvaigžņu un ģeogrāfiskās kartes un kalendārus.

§1. Koordinātu izcelsme. Koordinātu sistēma ģeogrāfijā

200 gadus pirms mūsu ēras grieķu zinātnieks Hiparhs ieviesa ģeogrāfiskās koordinātas. Viņš ieteica uzzīmēt paralēles un meridiānus ģeogrāfiskajā kartē un norādīt platumu un garumu ar cipariem. Izmantojot šos divus skaitļus, jūs varat precīzi noteikt salas, ciema, kalna vai akas atrašanās vietu tuksnesī un attēlot tos kartē vai globusā, iemācoties noteikt atvērta pasaule kuģa atrašanās vietas platuma un garuma grādi, jūrnieki varēja izvēlēties sev vajadzīgo virzienu.

Austrumu garums un ziemeļu platums ir apzīmēti ar cipariem ar plus zīmi, bet rietumu garums un dienvidu platums ir apzīmēti ar cipariem ar mīnusa zīmi. Tādējādi ciparu pāris unikāli identificē punktu uz zemeslodes.

Ģeogrāfiskais platums? - leņķis starp svērteni noteiktā punktā un ekvatora plakni, mērot no 0 līdz 90 abās ekvatora pusēs. Ģeogrāfiskais garums? - leņķis starp cauri ejošā meridiāna plakni šis punkts, un meridiāna sākuma plakne (skat. Griničas meridiānu). Garuma grādus no 0 līdz 180 uz austrumiem no meridiāna sākuma sauc par austrumiem, bet uz rietumiem - par rietumiem.

Lai pilsētā atrastu noteiktu objektu, vairumā gadījumu pietiek tikai zināt tā adresi. Grūtības rodas, ja ir jāpaskaidro, kur, piemēram, vasarnīcas gabals, vieta mežā. Ģeogrāfiskās koordinātas ir universāls līdzeklis atrašanās vietas norādīšanai.

Sitot ārkārtas situācija, cilvēkam vispirms ir jāspēj orientēties reljefā. Dažreiz ir nepieciešams noteikt savas atrašanās vietas ģeogrāfiskās koordinātas, piemēram, lai nosūtītu glābšanas dienestam vai citiem mērķiem.

Mūsdienu navigācija standarta aprīkojumā izmanto pasaules koordinātu sistēmu WGS-84. Visi GPS navigatori un lielākie kartogrāfijas projekti internetā darbojas šajā koordinātu sistēmā. Koordinātas WGS-84 sistēmā ir tikpat plaši izmantotas un saprotamas kā universālais laiks. Parasti pieejamā precizitāte, strādājot ar ģeogrāfiskās koordinātas atrodas 5-10 metru augstumā uz zemes.

Ģeogrāfiskās koordinātas ir cipari ar zīmēm (platums no -90° līdz +90°, garums no -180° līdz +180°), un tās var rakstīt dažādas formas: grādos (ddd.ddddd°); grādi un minūtes (ddd° mm.mmm"); grādi, minūtes un sekundes (ddd° mm" ss.s"). Ierakstu veidlapas var viegli pārvērst savā starpā (1 grāds = 60 minūtes, 1 minūte = 60 sekundes ) Lai norādītu koordinātu zīmi, bieži tiek izmantoti burti, pamatojoties uz kardinālo virzienu nosaukumiem: N un A - ziemeļu platums un austrumu garums - pozitīvi skaitļi, S un R - dienvidu platums un rietumu garums - negatīvi skaitļi.

Koordinātu ierakstīšanas forma GRĀDOS ir visērtākā manuālai ievadīšanai un sakrīt ar skaitļa matemātisko apzīmējumu. Daudzos gadījumos priekšroka tiek dota koordinātu ierakstīšanas formai GRĀDOS UN MINŪTĒS. Šis formāts ir iestatīts pēc noklusējuma lielākajā daļā GPS navigatoru, un to parasti izmanto aviācijā un jūrā. Klasiska forma koordinātu ierakstīšana GRĀDOS, MINŪTĒS UN SEKUNDĒS īsti praktiski nerodas.

§2. Koordinātu sistēma astronomijā. Mīti par zvaigznājiem

Kā minēts iepriekš, ideja par punkta atrašanās vietas noteikšanu plaknē, izmantojot skaitļus, radās senos laikos astronomiem, veidojot zvaigžņu kartes. Cilvēkiem bija jāskaita laiks, jāparedz sezonas parādības (plūdmaiņas, sezonālās lietusgāzes, plūdi) un ceļojuma laikā bija jāpārvietojas pa reljefu.

Astronomija ir zinātne par zvaigznēm, planētām, debess ķermeņiem, to uzbūvi un attīstību.

Ir pagājuši tūkstošiem gadu, zinātne ir gājusi tālu uz priekšu, bet cilvēki joprojām nevar atraut acis no naksnīgo debesu skaistuma.

Zvaigznāji ir zvaigžņoto debesu apgabali, raksturīgas figūras, ko veido spilgtas zvaigznes. Visas debesis ir sadalītas 88 zvaigznājos, kas atvieglo navigāciju starp zvaigznēm. Lielākā daļa zvaigznāju nosaukumu nāk no senatnes.

Slavenākais zvaigznājs ir Ursa Major. IN Senā Ēģipte to sauca par "nīlzirgu", un kazahi to sauca par "zirgu pie pavadas", lai gan ārēji zvaigznājs nelīdzinās ne vienam, ne otram dzīvniekam. kā tas ir?

Senajiem grieķiem bija leģenda par Lielās un Mazās zvaigznes zvaigznājiem. Visvarenais dievs Zevs nolēma apprecēties ar skaisto nimfu Kalisto, vienu no dievietes Afrodītes kalpiem, pretēji pēdējās vēlēšanās. Lai glābtu Kalisto no dievietes vajāšanas, Zevs pārvērta Kalisto par Ursa Major, viņas mīļoto suni par Ursa Minor un paņēma viņus uz debesīm. Pārvietojiet zvaigznājus Lielā un Mazā zvaigzne no zvaigžņotajām debesīm uz koordinātu plakni. . Katrai no Lielā Lāča zvaigznēm ir savs vārds.

URSA LIELS

Es to atpazinu pēc BUCKET!

Šeit mirdz septiņas zvaigznes

Lūk, kādi ir viņu vārdi:

DUBHE apgaismo tumsu,

MERAK deg viņam blakus,

Sānos ir FEKDA ar MEGRETZ,

Drosmīgs puisis.

No MEGRETZ uz izbraukšanu

ALIOT atrodas

Un aiz viņa - MITZAR ar ALCOR

(Šie divi spīd unisonā.)

Mūsu kauss aizveras

Nesalīdzināms BENETNASH.

Viņš norāda uz aci

Ceļš uz zvaigznāju BOOTES,

Kur mirdz skaistais ARKTŪRS,

Tagad visi viņu pamanīs!

Ne mazāk skaista leģenda par Cefeusa, Kasiopejas un Andromedas zvaigznājiem.

Etiopiju savulaik valdīja karalis Kefejs. Kādu dienu viņa sievai, karalienei Kasiopejai, bija neapdomība izrādīt savu skaistumu jūras iemītniekiem - nereīdiem. Pēdējais, aizvainots, sūdzējās jūras dievam Poseidonam, un jūru valdnieks, Kasiopejas nekaunības saniknots, Etiopijas krastos izlaida jūras briesmoni – Vali. Lai glābtu savu valstību no iznīcināšanas, Kefeuss pēc orākula ieteikuma nolēma upurēt briesmonim un dot viņam aprišanai savu mīļoto meitu Andromedu. Viņš pieķēdēja Andromedu pie piekrastes klints un pameta viņu, gaidot viņas likteņa lēmumu.

Un šajā laikā, otrā pasaules malā, mītiskais varonis Persejs paveica drosmīgu varoņdarbu. Viņš iekļuva nomaļā salā, kur dzīvoja gorgoni – apbrīnojami briesmoņi sieviešu izskatā, kuru galvās matu vietā mētājās čūskas. Gorgonu skatiens bija tik šausmīgs, ka visi, uz kuriem viņi skatījās, acumirklī pārvērtās akmenī.

Izmantojot šo briesmoņu miegu, Persejs vienam no tiem, Gorgon Medusa, nocirta galvu. Tajā brīdī zirgs Pegass izlidoja no atdalītā Medūzas ķermeņa. Pērsejs satvēra medūzas galvu, uzlēca Pegazam un pa gaisu metās uz savu dzimteni. Kad viņš lidoja pāri Etiopijai, viņš redzēja Andromedu pieķēdētu pie klints. Šajā brīdī valis jau bija iznācis no jūras dzīlēm, gatavojoties norīt savu upuri. Bet Persejs, steidzoties mirstīgajā cīņā ar Kītu, uzvarēja briesmoni. Viņš parādīja Kītam medūzas galvu, kas vēl nebija zaudējusi spēkus, un briesmonis pārakmeņojās, pārvēršoties par salu. Kas attiecas uz Perseju, atlaidis Andromedu no ķēdes, viņš to atdeva viņas tēvam, un Kefejs, aizkustināts no laimes, atdeva Andromedu par sievu Persejam. Tā laimīgi beidzās šis stāsts, kura galvenos varoņus senie grieķi ievietoja debesīs.

Zvaigžņu kartē var atrast ne tikai Andromedu ar savu tēvu, māti un vīru, bet arī maģisko zirgu Pegazu un visu nepatikšanu vaininieku - briesmoni Kītu.

Cetus zvaigznājs atrodas zem Pegaza un Andromedas. Diemžēl tas nav iezīmēts ar raksturīgām spilgtām zvaigznēm un tāpēc pieder pie mazāko zvaigznāju skaita.

§3. Taisnstūra koordinātu idejas izmantošana glezniecībā.

Taisnstūra koordinātu idejas pielietojuma pēdas kvadrātveida režģa (paletes) veidā ir attēlotas uz vienas no Senās Ēģiptes apbedīšanas kamerām. Tēva Ramzesa piramīdas apbedīšanas kamerā pie sienas ir izveidots laukumu tīkls. Ar viņu palīdzību attēls tiek pārsūtīts palielinātā formā. Renesanses mākslinieki izmantoja arī taisnstūrveida režģi.

Vārds "perspektīva" latīņu valodā nozīmē "redzēt skaidri". IN tēlotājmāksla lineārā perspektīva ir objektu attēls plaknē saskaņā ar redzamajām to lieluma izmaiņām. Pamats mūsdienu teorija perspektīvas lika lielie renesanses mākslinieki - Leonardo da Vinči, Albrehts Durers un citi. Vienā no Durera gravējumiem (3. att.) attēlota metode, kā zīmēt no dzīves caur stiklu ar uzliktu kvadrātveida režģi. Šo procesu var raksturot šādi: ja jūs stāvat loga priekšā un, nemainot skatu, apvelkat uz stikla visu, kas ir redzams aiz tā, tad iegūtais zīmējums būs perspektīvs telpas attēls.

Ēģiptes dizaina metodes, kas, šķiet, ir balstītas uz kvadrātveida režģa modeļiem. Ēģiptes mākslā ir daudz piemēru, kas liecina, ka mākslinieki un tēlnieki vispirms uz sienas uzzīmēja režģi, kas bija jākrāso vai jāizgrebj, lai saglabātu noteiktās proporcijas. Šo režģu vienkāršās skaitliskās attiecības ir visu lielisko pamatā mākslas darbiēģiptieši

To pašu metodi izmantoja daudzi renesanses mākslinieki, tostarp Leonardo da Vinči. Senajā Ēģiptē tas tika iemiesots Lielajā piramīdā, ko pastiprina tās ciešā saikne ar rakstu Marlborough Down.

Uzsākot darbu, ēģiptiešu mākslinieks sienu izklāja ar taisnu līniju režģi un pēc tam uzmanīgi pārnesa uz tās figūras. Bet ģeometriskā sakārtotība viņam netraucēja atjaunot dabu ar detalizētu precizitāti. Katras zivs, katra putna izskats tiek nodots tik patiesi, ka mūsdienu zoologi var viegli noteikt to sugu. 4. attēlā redzama kompozīcijas detaļa no ilustrācijas - koks ar putniem, kas ieķerti Khnumhotep tīklā. Mākslinieka rokas kustību vadīja ne tikai prasmju rezerves, bet arī dabas aprisēm jūtīgā acs.

Att.4 Putni uz akācijas

II nodaļa. Koordinātu metode matemātikā

§1. Koordinātu pielietojums matemātikā. Nopelni

Franču matemātiķis Renē Dekarts

Uz ilgu laiku Tikai ģeogrāfija - "zemes apraksts" - izmantoja šo brīnišķīgo izgudrojumu, un tikai 14. gadsimtā franču matemātiķis Nikolass Oresme (1323-1382) mēģināja to piemērot "zemes mērīšanai" - ģeometrijai. Viņš ierosināja pārklāt plakni ar taisnstūrveida režģi un saukt par platumu un garumu to, ko mēs tagad saucam par abscisu un ordinātu.

Pamatojoties uz šo veiksmīgo jauninājumu, radās koordinātu metode, kas saistīja ģeometriju ar algebru. Galvenais nopelns šīs metodes izveidē pieder izcilajam franču matemātiķim Renē Dekartam (1596 - 1650). Viņam par godu šādu koordinātu sistēmu sauc par Dekartu, kas norāda jebkura plaknes punkta atrašanās vietu pēc attālumiem no šī punkta līdz “nulles platuma grādam” - abscisu asij un “nulles meridiānam” - ordinātu asij.

Tomēr šis izcilais franču zinātnieks un 17. gadsimta (1596 - 1650) domātājs ne uzreiz atrada savu vietu dzīvē. Dzimis dižciltīgā ģimenē, Dekarts saņēma laba izglītība. 1606. gadā viņa tēvs viņu nosūtīja uz La Flèche jezuītu koledžu. Ņemot vērā Dekarta ne pārāk labo veselību, viņam tika dota zināma piekāpšanās stingrajā režīmā izglītības iestāde, piemēram, viņiem bija atļauts piecelties vēlāk nekā citiem. Ieguvis daudz zināšanu koledžā, Dekartu tajā pašā laikā pārņēma antipātijas pret sholastisko filozofiju, kuras viņš saglabāja visu mūžu.

Pēc koledžas beigšanas Dekarts turpināja izglītību. 1616. gadā Puatjē universitātē viņš ieguva tiesību zinātņu bakalaura grādu. 1617. gadā Dekarts iestājās armijā un daudz ceļoja pa visu Eiropu.

1619. gads Dekartam izrādījās zinātniski nozīmīgs gads.

Tieši šajā laikā, kā viņš pats rakstīja savā dienasgrāmatā, viņam atklājās jaunas “vispārsteidzošākās zinātnes” pamati. Visticamāk, Dekarts bija domājis par universāluma atklāšanu zinātniskā metode, ko viņš pēc tam auglīgi pielietoja dažādās disciplīnās.

1620. gados Dekarts iepazinās ar matemātiķi M. Mersennu, caur kuru viņš daudzus gadus“uzturēja sakarus” ar visu Eiropas zinātnieku aprindām.

1628. gadā Dekarts Nīderlandē apmetās uz dzīvi vairāk nekā 15 gadus, taču neapmetās nevienā vietā, bet mainīja dzīvesvietu aptuveni divus desmitus reižu.

1633. gadā, uzzinājis par Galileja nosodījumu no baznīcas puses, Dekarts atteicās publicēt savu dabas filozofisko darbu “Pasaule”, kurā izklāstītas idejas par Visuma dabisko izcelsmi saskaņā ar matērijas mehāniskajiem likumiem.

1637. gadā franču valoda Tiek izdots Dekarta darbs “Diskurss par metodi”, ar kuru, kā daudzi uzskata, aizsākās mūsdienu Eiropas filozofija.

Lielu ietekmi uz Eiropas domu atstāja arī 1649. gadā izdotais Dekarta pēdējais filozofiskais darbs "Dvēseles kaislības". Tajā pašā gadā pēc Zviedrijas karalienes Kristīnas uzaicinājuma Dekarts devās uz Zviedriju. Bargais klimats un neparastais režīms (karaliene piespieda Dekartu celties pulksten 5:00, lai sniegtu viņai stundas un veiktu citus uzdevumus) iedragāja Dekarta veselību, un viņš, saaukstējies,

nomira no pneimonijas.

Saskaņā ar Dekarta ieviesto tradīciju punkta “platums” tiek apzīmēts ar burtu x, “garums” ar burtu y.

Šīs sistēmas pamatā ir daudzi veidi, kā norādīt vietu.

Piemēram, uz kino biļetes ir divi cipari: rinda un sēdvieta – tos var uzskatīt par sēdvietas koordinātām teātrī.

Līdzīgas koordinātas tiek pieņemtas šahā. Viena no skaitļiem vietā tiek ņemts burts: vertikālās šūnu rindas tiek apzīmētas ar burtiem Latīņu alfabēts, un horizontālie - skaitļos. Tādējādi katram šaha galdiņa laukumam tiek piešķirts burtu un ciparu pāris, un šahisti var ierakstīt savas partijas. Konstantīns Simonovs raksta par koordinātu izmantošanu dzejolī “Artilērista dēls”.

Visu nakti staigājot kā svārsts,

Majors neaizvēra acis,

Uz redzēšanos radio no rīta

Atnāca pirmais signāls:

"Tas ir labi, es tur nokļuvu,

Vācieši ir pa kreisi no manis,

Koordinātas (3;10),

Drīz atlaidīsim uguni!

Ieroči ir pielādēti

Majors pats visu aprēķināja.

Un ar rūkoņu pirmās zalves

Viņi skāra kalnus.

Un atkal signāls radio:

"Vāciešiem ir lielāka taisnība nekā man,

Koordinātas (5; 10),

Drīzumā vairāk uguns!

Zeme un akmeņi lidoja,

Dūmi cēlās kolonnā.

Likās, ka tagad no turienes

Dzīvs neviens neaizies.

Trešais radio signāls:

"Vācieši ir man apkārt,

Koordinātas (4; 10),

Netaupiet uguni.

Majors nobālēja, kad dzirdēja:

(4;10) - tikai

Vieta, kur viņa Lionka

Tagad jāsēž.

Konstantīns Simonovs "Artilērista dēls"

§2. Leģendas par koordinātu sistēmas izgudrošanu

Ir vairākas leģendas par koordinātu sistēmas izgudrošanu, kas nes Dekarta vārdu.

Leģenda 1

Šis stāsts ir sasniedzis mūsu laiku.

Apmeklējot Parīzes teātrus, Dekarts nekad nav noguris brīnīties par apjukumu, strīdiem un dažkārt pat izaicinājumiem duelī, ko izraisīja elementāras skatītāju sadales kārtības trūkums skatītāju zālē. Viņa piedāvātā numerācijas sistēma, kurā katrs sēdeklis saņēma rindas numuru un sērijas numuru no malas, nekavējoties novērsa visus strīdus iemeslus un radīja patiesu sensāciju Parīzes augstajā sabiedrībā.

Leģenda 2. Kādu dienu Renē Dekarts visu dienu gulēja gultā, par kaut ko domādams, un apkārt zumēja muša un neļāva viņam koncentrēties. Viņš sāka domāt par to, kā matemātiski aprakstīt mušas stāvokli jebkurā brīdī, lai varētu to nocirst, nepalaižot garām. Un...viņš izdomāja Dekarta koordinātas, vienu no lielākajiem izgudrojumiem cilvēces vēsturē.

Markovcevs Ju.

Reiz nepazīstamā pilsētā

Ieradās jaunais Dekarts.

Viņu šausmīgi mocīja bads.

Tas bija vēss marta mēnesis.

Nolēmu pajautāt kādam garāmgājējam

Dekarts, cenšoties nomierināt trīci:

Kur atrodas viesnīca, pastāstiet man?

Un dāma sāka skaidrot:

- Iet uz piena veikalu

Tad uz maiznīcu, aiz tās

Čigāniete pārdod piespraudes

Un inde žurkām un pelēm,

Jūs tos noteikti atradīsit

Sieri, cepumi, augļi

Un krāsaini zīds...

Es klausījos visus šos skaidrojumus

Dekarts, drebuļi no aukstuma.

Viņš ļoti gribēja ēst

- Aiz veikaliem ir aptieka

(tur farmaceits ir ūsains zviedrs),

Un baznīca, kur gadsimta sākumā

Šķiet, ka mans vectēvs ir precējies...

Kad kundze uz mirkli apklusa,

Pēkšņi viņas kalps sacīja:

- Ejiet taisni trīs kvartālus

Un divi pa labi. Ieeja no stūra.

Šī ir trešā pasaka par incidentu, kas Dekartam radīja ideju par koordinātēm.

Secinājums

Veidojot savu projektu, uzzinājām par koordinātu plaknes izmantošanu dažādās zinātnes jomās un ikdiena, nedaudz informācijas no koordinātu plaknes izcelsmes vēstures un matemātiķiem, kuri devuši lielu ieguldījumu šī izgudrojuma izveidē. Materiālu, ko apkopojām darba rakstīšanas laikā, var izmantot skolas pulciņa nodarbībās kā papildu materiāls uz nodarbībām. Tas viss var ieinteresēt skolēnus un paspilgtināt mācību procesu.

Un mēs vēlamies beigt ar šiem vārdiem:

“Iedomājieties savu dzīvi kā koordinātu plakni. Y ass ir jūsu pozīcija sabiedrībā. X ass virzās uz priekšu, uz mērķi, uz jūsu sapni. Un, kā zināms, tas ir bezgalīgi... mēs varam nokrist, arvien tālāk ieejot mīnusā, varam palikt uz nulles un neko nedarīt, pilnīgi neko. Mēs varam piecelties, mēs varam krist, mēs varam iet uz priekšu vai atgriezties, un tas viss tāpēc, ka visa mūsu dzīve ir koordinātu plakne, un šeit vissvarīgākais ir tas, kāda ir jūsu koordināte...”

Izmantotās literatūras saraksts

Glazer G.I. Matemātikas vēsture skolā: - M.: Prosveshchenie, 1981. - 239 lpp., ill.

Ljatkers A. Dekarts. M.: Mysl, 1975. - (Pagātnes domātāji)

Matvievskaja G. P. Renē Dekarts, 1596-1650. M.: Nauka, 1976. gads.

A. Savins. Koordinātas Kvants. 1977. 9.nr

Matemātika - laikraksta “Pirmais septembris” pielikums, Nr.7, Nr.20, Nr.17, 2003, Nr.11, 2000.g.

Siegel F.Yu. Zvaigžņu alfabēts: rokasgrāmata studentiem. - M.: Izglītība, 1981. - 191 lpp., ilustr.

Stīvs Pārkers, Nikolass Heriss. Ilustrēta enciklopēdija bērniem. Visuma noslēpumi. Harkova Belgorod. 2008. gads

Materiāli no vietnes http://istina.rin.ru/

Lidmašīnā. Lai viens ir x, otrs y. Un lai šīs līnijas būtu savstarpēji perpendikulāras (tas ir, krustojas taisnā leņķī). Turklāt to krustpunkts būs abu līniju koordinātu sākumpunkts, un vienības segments ir vienāds (1. att.).

Tātad mēs saņēmām taisnstūra koordinātu sistēma, un mūsu plakne ir kļuvusi par koordinātu plakni. Taisnes x un y sauc par koordinātu asīm. Turklāt x ass ir abscisu ass, bet y ass ir ordinātu ass. Šādu plakni parasti apzīmē ar asu nosaukumiem un atskaites punktu - xOy. Tiek saukta arī taisnstūra koordinātu sistēma Dekarta koordinātu sistēma, kopš franču matemātiķis un filozofs Renē Dekarts pirmo reizi sāka to aktīvi izmantot.

Taisni leņķi tiek izsauktas taisnes x un y koordinātu leņķi. Katram stūrim ir savs numurs, kā parādīts attēlā. 2.

Tātad, kad mēs runājām par koordinātu līniju, katram šīs līnijas punktam bija viena koordināta. Tagad tas mēs runājam par par koordinātu plakni, tad katram šīs plaknes punktam jau būs divas koordinātes. Viens atbilst taisnei x (šo koordinātu sauc abscisa), otrs atbilst taisnei y (šo koordinātu sauc ordināta). Tas ir rakstīts šādi: M(x;y), kur x ir abscisa un y ir ordināta. Lasīt šādi: "Punkts M ar koordinātām x, y."

Kā noteikt punkta koordinātas plaknē?
Tagad mēs zinām, ka katram plaknes punktam ir divas koordinātas. Lai uzzinātu tā koordinātas, caur šo punktu ir jānovelk divas taisnas līnijas, kas ir perpendikulāras koordinātu asīm. Šo līniju krustošanās punkti ar koordinātu asīm būs vajadzīgās koordinātas. Tā, piemēram, attēlā. 3 mēs noteicām, ka punkta M koordinātas ir 5 un 3.

Kā izveidot punktu plaknē, izmantojot tā koordinātas?
Gadās arī tā, ka mēs jau zinām plaknes punkta koordinātas. Un mums ir jāatrod tā atrašanās vieta. Pieņemsim, ka punkta koordinātas ir (-2;5). Tas ir, abscisa ir vienāda ar -2, un ordināta ir vienāda ar 5. Paņemiet punktu uz x līnijas (abscisu ass) ar koordinātu -2 un novelciet caur to taisnu līniju a paralēli y asij. Ņemiet vērā, ka jebkuram šīs līnijas punktam abscisa ir -2. Tagad uz y līnijas (ordinātu ass) atradīsim punktu ar koordinātu 5 un novelkam cauri taisnu līniju b paralēli x asij. Ņemiet vērā, ka jebkuram šīs taisnes punktam ordināta būs vienāda ar 5. Taisņu a un b krustpunktā būs punkts ar koordinātām (-2;5). Apzīmēsim to ar burtu P (4. att.).

Piebildīsim arī, ka taisne a, kuras visiem punktiem ir abscisa -2, ir dota ar vienādojumu
x = -2 vai ka x = -2 ir līnijas a vienādojums. Ērtības labad mēs varam teikt nevis "taisne, ko dod vienādojums x = -2", bet vienkārši "taisne x = -2". Patiešām, jebkuram punktam taisnē vienādība x = -2 ir patiesa. Un taisne b, kuras visiem punktiem ir ordināta 5, savukārt tiek dota ar vienādojumu y = 5 vai ka y = 5 ir taisnes b vienādojums.

Ja plaknē izveidojam divas savstarpēji perpendikulāras skaitliskās asis: VĒRSIS Un OY, tad viņus sauks koordinātu asis. Horizontālā ass VĒRSIS sauca x-ass(ass x), vertikālā ass OY - y ass(ass y).

Punkts O, kas stāv asu krustpunktā, sauc izcelsmi. Tas ir nulles punkts abām asīm. Pozitīvi skaitļi ir attēloti uz abscisu ass ar punktiem pa labi un uz ordinātu ass ar punktiem uz augšu no nulles punkts. Negatīvie skaitļi ir attēloti ar punktiem pa kreisi un uz leju no koordinātu (punktu) sākuma O). Tiek izsaukta plakne, uz kuras atrodas koordinātu asis koordinātu plakne.

Koordinātu asis sadala plakni četrās daļās, ko sauc ceturkšņos vai kvadranti. Šos ceturkšņus pieņemts numurēt ar romiešu cipariem tādā secībā, kādā tie numurēti zīmējumā.

Punkta koordinātas plaknē

Ja ņemam patvaļīgu punktu koordinātu plaknē A un no tā novilkt perpendikulu uz koordinātu asīm, tad perpendikulu pamati nokritīs uz diviem skaitļiem. Skaitlis, uz kuru tiek izsaukti vertikālie perpendikulārie punkti abscisu punkts A. Skaitlis, kuram horizontālie perpendikulārie punkti ir - punkta ordinātas A.

Uz zīmējuma punkta abscisa A ir vienāds ar 3, un ordināta ir 5.

Abscisu un ordinātu sauc par konkrētā plaknes punkta koordinātām.

Punkta koordinātas ir ierakstītas iekavās pa labi no punkta apzīmējuma. Vispirms raksta abscisu, pēc tam ordinātu. Tātad ierakstiet A(3; 5) nozīmē, ka punkta abscisa A ir vienāds ar trīs, un ordināta ir piecas.

Punkta koordinātas ir skaitļi, kas nosaka tā atrašanās vietu plaknē.

Ja punkts atrodas uz x ass, tad tā ordināta ir nulle (piemēram, punkts B ar koordinātām -2 un 0). Ja punkts atrodas uz ordinātu ass, tad tā abscisa ir vienāda ar nulli (piemēram, punkts C ar koordinātām 0 un -4).

Izcelsme - punkts O- gan abscisa, gan ordināta ir vienāda ar nulli: O (0; 0).

Šo koordinātu sistēmu sauc taisnstūrveida vai Dekarta.

1.§ Koordinātu sistēma: definīcija un uzbūves metode

Šajā nodarbībā iepazīsimies ar jēdzieniem “koordinātu sistēma”, “koordinātu plakne”, “koordinātu asis”, kā arī iemācīsimies konstruēt punktus plaknē, izmantojot koordinātas.

Ņemsim koordinātu taisni x ar sākuma punktu O, pozitīvu virzienu un vienības segmentu.

Caur koordinātu sākumpunktu, koordinātu līnijas x punktu O, mēs novelkam citu koordinātu līniju y, perpendikulāri x, iestatām pozitīvo virzienu uz augšu, vienības segments ir vienāds. Tādējādi mēs esam izveidojuši koordinātu sistēmu.

Sniegsim definīciju:

Divas savstarpēji perpendikulāras koordinātu taisnes, kas krustojas punktā, kas ir katras no tām koordinātu sākumpunkts, veido koordinātu sistēmu.

§ 2 Koordinātu ass un koordinātu plakne

Taisnes, kas veido koordinātu sistēmu, sauc par koordinātu asīm, kurām katrai ir savs nosaukums: koordinātu līnija x ir abscisu ass, koordinātu līnija y ir ordinātu ass.

Plakni, uz kuras ir izvēlēta koordinātu sistēma, sauc par koordinātu plakni.

Aprakstīto koordinātu sistēmu sauc par taisnstūrveida. To bieži sauc par Dekarta koordinātu sistēmu par godu franču filozofam un matemātiķim Renē Dekartam.

Katram koordinātu plaknes punktam ir divas koordinātes, kuras var noteikt, nometot perpendikulu no punkta uz koordinātu ass. Plaknes punkta koordinātas ir skaitļu pāris, no kuriem pirmais skaitlis ir abscisa, otrais ir ordinātas. Abscisa ir perpendikulāra x asij, ordināta ir perpendikulāra y asij.

Atzīmēsim punktu A koordinātu plaknē un no tā novelkam perpendikulu uz koordinātu sistēmas asīm.

Pa perpendikulāri abscisu asij (x-ass) nosakām punkta A abscisu, tas ir vienāds ar 4, punkta A ordināts - pa perpendikulu ordinātu asij (y-ass) ir 3. Koordinātas no mūsu punkta ir 4 un 3. A (4;3). Tādējādi koordinātas var atrast jebkuram punktam koordinātu plaknē.

§ 3 Punkta uzbūve plaknē

Kā konstruēt punktu plaknē ar dotām koordinātām, t.i. Izmantojot plaknes punkta koordinātas, noteikt tā pozīciju? IN šajā gadījumā tiek veiktas darbības apgrieztā secībā. Ieslēgts koordinātu asis atrodiet atbilstošos punktus dotās koordinātas, caur kuru novelkam taisnas līnijas, kas ir perpendikulāras x un y asīm. Perpendikulu krustpunkts būs vēlamais, t.i. punkts ar noteiktām koordinātām.

Izpildīsim uzdevumu: koordinātu plaknē konstruēsim punktu M (2;-3).

Lai to izdarītu, uz x ass atrodiet punktu ar koordinātu 2 un caur šo punktu novelciet taisnu līniju, kas ir perpendikulāra x asij. Uz ordinātu ass atrodam punktu ar koordinātu -3, caur to novelkam taisni, kas ir perpendikulāra y asij. Perpendikulāru līniju krustpunkts būs dotais punkts M.

Tagad apskatīsim dažus īpašus gadījumus.

Atzīmēsim koordinātu plaknē punktus A (0; 2), B (0; -3), C (0; 4).

Šo punktu abscises ir vienādas ar 0. Attēlā redzams, ka visi punkti atrodas uz ordinātu ass.

Līdz ar to punkti, kuru abscises ir vienādas ar nulli, atrodas uz ordinātu ass.

Apmainīsim šo punktu koordinātas.

Rezultāts būs A (2;0), B (-3;0) C (4; 0). Šajā gadījumā visas ordinātas ir vienādas ar 0 un punkti atrodas uz x ass.

Tas nozīmē, ka punkti, kuru ordinātas ir vienādas ar nulli, atrodas uz abscisu ass.

Apskatīsim vēl divus gadījumus.

Koordinātu plaknē atzīmējiet punktus M (3; 2), N (3; -1), P (3; -4).

Ir viegli redzēt, ka visas punktu abscises ir vienādas. Ja šie punkti ir savienoti, jūs iegūstat taisnu līniju, kas ir paralēla ordinātu asij un perpendikulāra abscisu asij.

Secinājums liecina par sevi: punkti, kuriem ir vienāda abscisa, atrodas uz vienas taisnes, kas ir paralēla ordinātu asij un perpendikulāra abscisu asij.

Ja apmainīsiet punktu M, N, P koordinātas, iegūstat M (2; 3), N (-1; 3), P (-4; 3). Punktu ordinātas būs vienādas. Šajā gadījumā, ja savienojat šos punktus, jūs iegūstat taisnu līniju, kas ir paralēla abscisu asij un perpendikulāra ordinātu asij.

Tādējādi punkti ar vienādu ordinātu atrodas uz vienas taisnes, kas ir paralēla abscisu asij un ir perpendikulāra ordinātu asij.

Šajā nodarbībā jūs iepazināties ar jēdzieniem "koordinātu sistēma", "koordinātu plakne", "koordinātu asis - abscisu ass un ordinātu ass". Mēs iemācījāmies atrast punkta koordinātas koordinātu plaknē un mācījāmies konstruēt punktus plaknē, izmantojot tās koordinātas.

Izmantotās literatūras saraksts:

1. Matemātika. 6. klase: stundu plāni I.I. mācību grāmatai. Zubareva, A.G. Mordkovičs // autors-sastādītājs L.A. Topiliņa. - Mnemosyne, 2009.
2. Matemātika. 6. klase: mācību grāmata skolēniem izglītības iestādēm. I.I. Zubareva, A.G. Mordkovičs - M.: Mnemosyne, 2013.
3. Matemātika. 6. klase: mācību grāmata vispārējās izglītības iestādēm/G.V. Dorofejevs, I.F. Šarigins, S.B. Suvorovs un citi/rediģēja G.V. Dorofejeva, I.F. Šarigina; Krievijas Zinātņu akadēmija, Krievijas Izglītības akadēmija. - M.: "Apgaismība", 2010
4. Matemātikas rokasgrāmata - http://lyudmilanik.com.ua
5. Studentu ceļvedis vidusskola http://shkolo.ru

Matemātika ir diezgan sarežģīta zinātne. To pētot, ir ne tikai jārisina piemēri un problēmas, bet arī jāstrādā ar dažādām formām un pat plaknēm. Viena no matemātikā visbiežāk izmantotajām ir koordinātu sistēma plaknē. Pareizs darbs Bērni kopā ar viņu tiek mācīti vairāk nekā vienu gadu. Tāpēc ir svarīgi zināt, kas tas ir un kā ar to pareizi strādāt.

Izdomāsim, kas ir šī sistēma, kādas darbības var veikt ar tās palīdzību, kā arī uzzināsim tās galvenās īpašības un iezīmes.

Jēdziena definīcija

Koordinātu plakne ir plakne, kurā ir norādīta noteikta koordinātu sistēma. Šādu plakni nosaka divas taisnas līnijas, kas krustojas taisnā leņķī. Šo līniju krustpunktā ir koordinātu sākumpunkts. Katrs punkts koordinātu plaknē ir norādīts ar skaitļu pāri, ko sauc par koordinātām.

IN skolas kurss Matemātikā skolēniem ir diezgan cieši jāstrādā ar koordinātu sistēmu - uz tās jābūvē figūras un punkti, jānosaka, kurai plaknei pieder šī vai cita koordināte, kā arī jānosaka punkta koordinātas un jāraksta vai jānosauc tās. Tāpēc parunāsim sīkāk par visām koordinātu iezīmēm. Bet vispirms pieskarsimies radīšanas vēsturei, un tad runāsim par to, kā strādāt koordinātu plaknē.

Vēsturiskais fons

Idejas par koordinātu sistēmas izveidi pastāvēja jau Ptolemaja laikā. Jau toreiz astronomi un matemātiķi domāja par to, kā iemācīties iestatīt punkta stāvokli plaknē. Diemžēl tajā laikā mums nebija zināma koordinātu sistēma, un zinātniekiem bija jāizmanto citas sistēmas.

Sākotnēji viņi noteica punktus, izmantojot platuma un garuma grādus. Ilgu laiku šī bija viena no visbiežāk izmantotajām metodēm šīs vai citas informācijas attēlošanai kartē. Bet 1637. gadā Renē Dekarts izveidoja savu koordinātu sistēmu, kas vēlāk tika nosaukta pēc “kartēziskās”.

Jau iekšā XVII beigas V. Jēdziens “koordinātu plakne” ir kļuvis plaši izmantots matemātikas pasaulē. Neskatoties uz to, ka kopš šīs sistēmas izveides ir pagājuši vairāki gadsimti, tā joprojām tiek plaši izmantota matemātikā un pat dzīvē.

Koordinātu plaknes piemēri

Pirms runājam par teoriju, mēs sniegsim dažus vizuālus koordinātu plaknes piemērus, lai jūs varētu to iedomāties. Koordinātu sistēmu galvenokārt izmanto šahā. Uz tāfeles katram kvadrātam ir savas koordinātes – viena koordināte ir alfabētiskā, otrā ir ciparu. Ar tās palīdzību jūs varat noteikt konkrēta gabala pozīciju uz tāfeles.

Otrs spilgtākais piemērs ir iemīļotā spēle “Battleship”. Atcerieties, kā spēlējot jūs nosaucat koordinātu, piemēram, B3, tādējādi precīzi norādot, kur jūs mērķējat. Tajā pašā laikā, novietojot kuģus, jūs norādāt punktus koordinātu plaknē.

Šo koordinātu sistēmu plaši izmanto ne tikai matemātikā un loģikas spēlēs, bet arī militārajās lietās, astronomijā, fizikā un daudzās citās zinātnēs.

Koordinātu asis

Kā jau minēts, koordinātu sistēmā ir divas asis. Parunāsim nedaudz par tiem, jo ​​tiem ir liela nozīme.

Pirmā ass ir abscisa - horizontāla. Tas ir apzīmēts kā ( Vērsis). Otrā ass ir ordināta, kas iet vertikāli caur atskaites punktu un tiek apzīmēta kā ( Oy). Tieši šīs divas asis veido koordinātu sistēmu, sadalot plakni četrās ceturtdaļās. Sākums atrodas šo divu asu krustpunktā un iegūst vērtību 0 . Tikai tad, ja plakni veido divas asis, kas krustojas perpendikulāri un kurām ir atskaites punkts, tā ir koordinātu plakne.

Ņemiet vērā arī to, ka katrai no asīm ir savs virziens. Parasti, veidojot koordinātu sistēmu, ir pieņemts norādīt ass virzienu bultiņas formā. Turklāt, veidojot koordinātu plakni, katra no asīm tiek parakstīta.

Ceturtdaļas

Tagad teiksim dažus vārdus par tādu jēdzienu kā koordinātu plaknes ceturtdaļas. Plakne ir sadalīta četrās ceturtdaļās ar divām asīm. Katrai no tām ir savs numurs, un lidmašīnas ir numurētas pretēji pulksteņrādītāja virzienam.

Katram no ceturkšņiem ir savas īpatnības. Tātad pirmajā ceturksnī abscisa un ordināta ir pozitīvas, otrajā ceturksnī abscisa ir negatīva, ordināta ir pozitīva, trešajā gan abscisa, gan ordināta ir negatīvas, ceturtajā abscisa ir pozitīva un ordināta ir negatīva .

Atceroties šīs funkcijas, jūs varat viegli noteikt, kuram ceturksnim pieder konkrētais punkts. Turklāt šī informācija var būt noderīga, ja jums ir jāveic aprēķini, izmantojot Dekarta sistēmu.

Darbs ar koordinātu plakni

Kad esam sapratuši plaknes jēdzienu un runājuši par tās kvartāliem, varam pāriet pie tādas problēmas kā darbs ar šo sistēmu, kā arī runāt par to, kā uz tās likt punktus un figūru koordinātas. Koordinātu plaknē tas nav tik grūti, kā varētu šķist no pirmā acu uzmetiena.

Pirmkārt, pati sistēma ir uzbūvēta, tai tiek piemēroti visi svarīgie apzīmējumi. Tad mēs strādājam tieši ar punktiem vai formām. Turklāt, pat veidojot figūras, plaknē vispirms tiek uzzīmēti punkti, un pēc tam tiek zīmētas figūras.

Lidmašīnas konstruēšanas noteikumi

Ja jūs nolemjat sākt iezīmēt formas un punktus uz papīra, jums būs nepieciešama koordinātu plakne. Uz tā ir uzzīmētas punktu koordinātas. Lai izveidotu koordinātu plakni, jums ir nepieciešams tikai lineāls un pildspalva vai zīmulis. Vispirms tiek uzzīmēta horizontālā x ass, pēc tam vertikālā ass. Ir svarīgi atcerēties, ka asis krustojas taisnā leņķī.

Tālāk obligāts priekšmets ir marķēšana. Uz katras ass abos virzienos ir marķēti un marķēti vienības segmenti. Tas tiek darīts, lai pēc tam jūs varētu strādāt ar lidmašīnu maksimāli ērti.

Atzīmējiet punktu

Tagad parunāsim par to, kā uzzīmēt punktu koordinātas koordinātu plaknē. Šie ir pamati, kas jums jāzina, lai veiksmīgi novietotu dažādas formas plaknē un pat atzīmētu vienādojumus.

Veidojot punktus, jāatceras, kā pareizi uzrakstītas to koordinātas. Tātad, parasti, norādot punktu, iekavās tiek ierakstīti divi skaitļi. Pirmais cipars norāda punkta koordinātu pa abscisu asi, otrais - pa ordinātu asi.

Punkts ir jākonstruē šādā veidā. Pirmā atzīme uz ass Vērsis norādīto punktu, pēc tam atzīmējiet punktu uz ass Oy. Tālāk no šiem apzīmējumiem novelciet iedomātas līnijas un atrodiet vietu, kur tie krustojas – tas būs dotais punkts.

Atliek tikai to atzīmēt un parakstīt. Kā redzat, viss ir diezgan vienkāršs un neprasa īpašas prasmes.

Novietojiet figūru

Tagad pāriesim pie jautājuma par figūru konstruēšanu koordinātu plaknē. Lai koordinātu plaknē izveidotu jebkuru figūru, jums jāzina, kā uz tās novietot punktus. Ja jūs zināt, kā to izdarīt, tad figūras novietošana plaknē nav tik sarežģīta.

Pirmkārt, jums būs nepieciešamas figūras punktu koordinātas. Tieši saskaņā ar tiem mēs piemērosim jūsu izvēlētos mūsu koordinātu sistēmu. Apskatīsim taisnstūra, trīsstūra un apļa pielietojumu.

Sāksim ar taisnstūri. To ir diezgan viegli piemērot. Pirmkārt, plaknē ir atzīmēti četri punkti, kas norāda taisnstūra stūrus. Tad visi punkti ir secīgi savienoti viens ar otru.

Trijstūra zīmēšana neatšķiras. Vienīgais, ka tai ir trīs leņķi, kas nozīmē, ka plaknē ir atzīmēti trīs punkti, norādot tās virsotnes.

Attiecībā uz apli jums jāzina divu punktu koordinātas. Pirmais punkts ir apļa centrs, otrais ir punkts, kas norāda tā rādiusu. Šie divi punkti ir attēloti plaknē. Pēc tam paņemiet kompasu un izmēriet attālumu starp diviem punktiem. Kompasa punkts tiek novietots punktā, kas iezīmē centru, un tiek aprakstīts aplis.

Kā redzat, arī šeit nav nekā sarežģīta, galvenais, lai vienmēr pa rokai būtu lineāls un kompass.

Tagad jūs zināt, kā uzzīmēt figūru koordinātas. To izdarīt koordinātu plaknē nav tik grūti, kā varētu šķist no pirmā acu uzmetiena.

Secinājumi

Tātad, mēs esam apskatījuši vienu no interesantākajiem un pamata matemātikas jēdzieniem, ar ko nākas saskarties katram skolēnam.

Mēs esam noskaidrojuši, ka koordinātu plakne ir plakne, ko veido divu asu krustojums. Ar tās palīdzību jūs varat iestatīt punktu koordinātas un zīmēt uz tiem formas. Lidmašīna ir sadalīta ceturtdaļās, no kurām katrai ir savas īpašības.

Galvenā prasme, kas jāattīsta, strādājot ar koordinātu plakni, ir spēja pareizi uzzīmēt uz tās dotos punktus. Lai to izdarītu, jums jāzina pareiza atrašanās vieta asis, ceturkšņu pazīmes, kā arī noteikumi, pēc kuriem nosaka punktu koordinātas.

Mēs ceram, ka mūsu sniegtā informācija bija pieejama un saprotama, kā arī bija noderīga jums un palīdzēja labāk izprast šo tēmu.