Jauda tiek izmantota, lai vienkāršotu skaitļa reizināšanas darbību. Piemēram, rakstīšanas vietā varat rakstīt 4 5 (\displaystyle 4^(5))(skaidrojums par šo pāreju ir sniegts šī raksta pirmajā sadaļā). Grādi atvieglo garu vai sarežģītu izteiksmju vai vienādojumu rakstīšanu; pakāpes ir arī viegli pievienot un atņemt, kā rezultātā tiek vienkāršota izteiksme vai vienādojums (piemēram, 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Piezīme: ja jāatrisina eksponenciālais vienādojums (šādā vienādojumā nezināmais ir eksponentā), izlasi.

Soļi

Vienkāršu uzdevumu risināšana ar grādiem

Reiziniet eksponenta bāzi ar to skaitu, kas ir vienāds ar eksponentu. Ja jums ir jāatrisina jaudas problēma ar roku, pārrakstiet jaudu kā reizināšanas darbību, kur jaudas bāze tiek reizināta ar sevi. Piemēram, ņemot vērā grādu 3 4 (\displaystyle 3^(4)). Šajā gadījumā jaudas 3 bāze jāreizina ar sevi 4 reizes: 3*3*3*3 (\displaystyle 3*3*3*3). Šeit ir citi piemēri:

Pirmkārt, reiziniet pirmos divus skaitļus. Piemēram, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 (\displeja stils 4*4*4*4*4). Neuztraucieties – aprēķinu process nav tik sarežģīts, kā šķiet no pirmā acu uzmetiena. Vispirms reiziniet pirmos divus četriniekus un pēc tam aizstājiet tos ar rezultātu. Kā šis:

• 4 5 = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 (\displaystyle 4^ (5) = 4 * 4 * 4 * 4 * 4)
  • 4 ∗ 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

1. Reiziniet rezultātu (mūsu piemērā 16) ar nākamo skaitli. Katrs nākamais rezultāts proporcionāli palielināsies. Mūsu piemērā reiziniet 16 ar 4. Šādi:

   • 4 5 = 16 * 4 * 4 * 4 (\displaystyle 4^ (5) = 16 * 4 * 4 * 4)
     • 16 ∗ 4 = 64 (\displeja stils 16*4=64)
   • 4 5 = 64 * 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
     • 64 ∗ 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
   • 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
     • 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • Turpiniet reizināt pirmo divu skaitļu rezultātu ar nākamo skaitli, līdz saņemat galīgo atbildi. Lai to izdarītu, reiziniet pirmos divus skaitļus un pēc tam reiziniet iegūto rezultātu ar nākamo skaitli pēc kārtas. Šī metode ir piemērota jebkuram grādam. Mūsu piemērā jums vajadzētu iegūt: 4 5 = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 = 1024 (\displaystyle 4^ (5) = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 = 1024) .

2. Atrisiniet tālāk norādītās problēmas. Pārbaudiet savu atbildi, izmantojot kalkulatoru.

   • 8 2 (\displaystyle 8^(2))
   • 3 4 (\displaystyle 3^(4))
   • 10 7 (\displaystyle 10^(7))

3. Kalkulatorā meklējiet atslēgu ar apzīmējumu "exp" vai " x n (\displaystyle x^(n))", vai "^". Izmantojot šo taustiņu, jūs paaugstināsit skaitli pakāpē. Ir gandrīz neiespējami manuāli aprēķināt grādu ar lielu rādītāju (piemēram, grādu 9 15 (\displaystyle 9^(15))), taču kalkulators var viegli tikt galā ar šo uzdevumu. Operētājsistēmā Windows 7 standarta kalkulatoru var pārslēgt uz inženierijas režīmu; Lai to izdarītu, noklikšķiniet uz "Skatīt" -> "Inženierzinātne". Lai pārslēgtos uz parasto režīmu, noklikšķiniet uz "View" -> "Normal".

   • Pārbaudiet saņemto atbildi, izmantojot meklētājprogrammu (Google vai Yandex). Izmantojot datora tastatūras taustiņu "^", ievadiet izteiksmi meklētājprogrammā, kas uzreiz parādīs pareizo atbildi (un, iespējams, ieteiks jums izpētīt līdzīgus izteicienus).

   Pakāpju saskaitīšana, atņemšana, reizināšana

   1. Jūs varat pievienot un atņemt grādus tikai tad, ja tiem ir vienādas bāzes. Ja jums ir jāpievieno jaudas ar vienādām bāzēm un eksponentiem, tad saskaitīšanas darbību varat aizstāt ar reizināšanas darbību. Piemēram, ņemot vērā izteiksmi 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). Atcerieties, ka grāds 4 5 (\displaystyle 4^(5)) var attēlot formā 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); Tādējādi 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displeja stils 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(kur 1+1 =2). Tas ir, saskaitiet līdzīgu grādu skaitu un pēc tam reiziniet šo grādu ar šo skaitli. Mūsu piemērā paaugstiniet 4 līdz piektajai pakāpei un pēc tam reiziniet iegūto rezultātu ar 2. Atcerieties, ka saskaitīšanas darbību var aizstāt ar reizināšanas darbību, piemēram, 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). Šeit ir citi piemēri:

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 45 (\displeja stils 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5–4 5 + 2 = 2 (\displeja stils 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. Reizinot pakāpes ar vienu un to pašu bāzi, tiek pievienoti to eksponenti (bāze nemainās). Piemēram, ņemot vērā izteiksmi x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). Šajā gadījumā jums vienkārši jāpievieno indikatori, atstājot bāzi nemainīgu. Tādējādi x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). Šeit ir šī noteikuma vizuāls skaidrojums:

      Paaugstinot jaudu līdz pakāpei, eksponenti tiek reizināti. Piemēram, tiek piešķirts grāds. Tā kā eksponenti tiek reizināti, tad (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displeja stils (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). Šī noteikuma būtība ir tāda, ka jūs reizinat ar pakāpēm (x 2) (\displaystyle (x^(2))) uz sevi piecas reizes. Kā šis:

      • (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displeja stils (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • Tā kā bāze ir vienāda, eksponenti vienkārši summējas: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displeja stils (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. Jauda ar negatīvu eksponentu jāpārvērš daļdaļā (apgrieztā jauda). Tas nekas, ja tu nezini, kas ir abpusēja grāds. Ja jums tiek piešķirts grāds ar negatīvu eksponentu, piem. 3–2 (\displaystyle 3^(-2)), ierakstiet šo pakāpi daļskaitļa saucējā (skaitītājā ielieciet 1) un eksponentu padariet pozitīvu. Mūsu piemērā: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). Šeit ir citi piemēri:

      Dalot grādus ar vienu un to pašu bāzi, tiek atņemti to eksponenti (bāze nemainās). Dalīšanas darbība ir pretēja reizināšanas darbībai. Piemēram, ņemot vērā izteiksmi 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). Atņemiet eksponentu saucējā no eksponenta skaitītājā (bāzi nemainiet). Tādējādi 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4)))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • Jaudu saucējā var uzrakstīt šādi: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4–2 (\displaystyle 4^(-2)). Atcerieties, ka daļa ir skaitlis (pakāpe, izteiksme) ar negatīvu eksponentu.

   4. Zemāk ir daži izteicieni, kas palīdzēs jums iemācīties atrisināt problēmas ar eksponentiem. Dotie izteicieni aptver šajā sadaļā sniegto materiālu. Lai redzētu atbildi, vienkārši atlasiet tukšo vietu aiz vienādības zīmes.

   Problēmu risināšana ar daļskaitļa eksponentiem

   Pakāpe ar daļēju eksponentu (piemēram, ) tiek pārveidota par saknes darbību. Mūsu piemērā: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x (\displaystyle (\sqrt (x))). Šeit nav nozīmes tam, kāds skaitlis atrodas daļējā eksponenta saucējā. Piemēram, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4)))- ir “x” ceturtā sakne, tas ir x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

   1. Ja eksponents ir nepareiza daļa, tad eksponentu var sadalīt divās pakāpēs, lai vienkāršotu problēmas risinājumu. Šeit nav nekā sarežģīta - vienkārši atcerieties spēku reizināšanas likumu. Piemēram, tiek piešķirts grāds. Pārvērtiet šādu pakāpju saknē, kuras jauda ir vienāda ar daļēja eksponenta saucēju, un pēc tam paaugstiniet šo sakni līdz pakāpei, kas vienāda ar daļējā eksponenta skaitītāju. Lai to izdarītu, atcerieties to 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3)) = (1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1) (3)))*5). Mūsu piemērā:

      • x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
      • x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
      • x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
   2. Dažiem kalkulatoriem ir poga eksponentu aprēķināšanai (vispirms jāievada bāze, pēc tam jānospiež poga un pēc tam jāievada eksponents). To apzīmē kā ^ vai x^y.
   3. Atcerieties, ka jebkurš skaitlis ar pirmo pakāpi ir vienāds ar sevi, piemēram, 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.) Turklāt jebkurš skaitlis, kas reizināts vai dalīts ar vienu, ir vienāds ar sevi, piem. 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5) Un 5/1 = 5 (\displaystyle 5/1=5).
   4. Ziniet, ka jauda 0 0 neeksistē (šādai pakāpei nav risinājuma). Ja jūs mēģināt atrisināt šādu grādu kalkulatorā vai datorā, jūs saņemsit kļūdu. Bet atcerieties, ka jebkurš skaitlis līdz nulles pakāpei ir 1, piemēram, 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.)
   5. Augstākajā matemātikā, kas darbojas ar iedomātiem skaitļiem: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax), Kur i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); e ir konstante, kas aptuveni vienāda ar 2,7; a ir patvaļīga konstante. Šīs vienlīdzības pierādījumus var atrast jebkurā augstākās matemātikas mācību grāmatā.

   Brīdinājumi

   • Palielinoties eksponentam, tā vērtība ievērojami palielinās. Tātad, ja atbilde jums šķiet nepareiza, tā patiesībā var būt pareiza. To var pārbaudīt, uzzīmējot jebkuru eksponenciālā funkcija piemēram, 2x.

Paaugstināšana negatīvā pakāpē ir viens no matemātikas pamatelementiem, ar ko bieži nākas saskarties algebrisko uzdevumu risināšanā. Tālāk ir sniegtas detalizētas instrukcijas.

Kā paaugstināt līdz negatīvam spēkam - teorija

Paaugstinot skaitli līdz parastajai pakāpei, mēs tā vērtību vairākas reizes reizinām. Piemēram, 3 3 = 3 × 3 × 3 = 27. Ar negatīvu daļskaitli ir otrādi. Vispārējā forma pēc formulas tas izskatīsies šādi: a -n = 1/a n. Tādējādi, lai palielinātu skaitli negatīvā pakāpē, jums tas ir jādala ar doto skaitli, bet ar pozitīvu pakāpju.

Kā paaugstināt līdz negatīvam pakāpēm - piemēri parastajiem skaitļiem

Paturot prātā iepriekš minēto noteikumu, atrisināsim dažus piemērus.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Atbilde: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Atbilde -4 -2 = 1/16.

Bet kāpēc atbildes pirmajā un otrajā piemērā ir vienādas? Fakts ir tāds, ka, būvējot negatīvs skaitlis līdz vienmērīgai pakāpei (2, 4, 6 utt.), zīme kļūst pozitīva. Ja grāds būtu vienmērīgs, tad mīnuss paliktu:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Kā palielināt līdz negatīvai pakāpei - skaitļi no 0 līdz 1

Atgādiniet, ka, ja skaitlis no 0 līdz 1 tiek palielināts līdz pozitīvai pakāpei, vērtība samazinās, palielinoties jaudai. Tā, piemēram, 0,5 2 = 0,25. 0.25

3. piemērs: Aprēķiniet 0,5 -2
Risinājums: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1 × 4/1 = 4.
Atbilde: 0,5 -2 = 4

Analīze (darbību secība):

• Mēs tulkojam decimālzīme 0,5 līdz daļējai 1/2. Tādā veidā ir vieglāk.
  Palieliniet 1/2 līdz negatīvai pakāpei. 1/(2) -2. Sadaliet 1 ar 1/(2) 2, iegūstam 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

4. piemērs: Aprēķiniet 0,5 -3
Risinājums: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

5. piemērs: Aprēķināt -0,5 -3
Risinājums: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Atbilde: -0,5 -3 = -8

Pamatojoties uz 4. un 5. piemēru, mēs varam izdarīt vairākus secinājumus:

• Pozitīvam skaitlim diapazonā no 0 līdz 1 (4. piemērs), kas paaugstināts līdz negatīvam pakāpēm, nav svarīgi, vai pakāpe ir pāra vai nepāra, izteiksmes vērtība būs pozitīva. Turklāt, jo augstāka pakāpe, jo lielāka vērtība.
• Negatīvam skaitlim diapazonā no 0 līdz 1 (5. piemērs), kas paaugstināts līdz negatīvam pakāpēm, nav svarīgi, vai pakāpe ir pāra vai nepāra, izteiksmes vērtība būs negatīva. Šajā gadījumā, jo augstāka pakāpe, jo zemāka vērtība.

Kā paaugstināt negatīvā pakāpē - pakāpju daļskaitļa formā

Šāda veida izteiksmēm ir šāda forma: a -m/n, kur a ir regulārs skaitlis, m ir pakāpes skaitītājs, n ir pakāpes saucējs.

Apskatīsim piemēru:
Aprēķināt: 8 -1/3

Risinājums (darbību secība):

• Atcerēsimies noteikumu par skaitļa paaugstināšanu negatīvā pakāpē. Mēs iegūstam: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
• Ievērojiet, ka saucēja skaitlis 8 ir daļskaitļa pakāpē. Daļējās jaudas aprēķina vispārīgā forma ir šāda: a m/n = n √8 m.
• Tādējādi 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Mēs saņemam kuba sakne no astoņiem, kas ir vienāds ar 2. No šejienes 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• Atbilde: 8 -1/3 = 2

No skolas mēs visi zinām likumu par eksponenci: jebkurš skaitlis ar eksponentu N ir vienāds ar rezultātu, reizinot šo skaitli ar N reižu skaitu. Citiem vārdiem sakot, 7 līdz 3 pakāpei ir 7, kas reizināts ar sevi trīs reizes, tas ir, 343. Vēl viens noteikums ir tāds, ka, paaugstinot jebkuru daudzumu līdz pakāpei 0, tiek iegūts viens, bet negatīva lieluma palielināšana ir parastas palielināšanas rezultāts. jauda, ​​ja tā ir pāra, un tas pats rezultāts ar mīnusa zīmi, ja tas ir nepāra.

Noteikumi sniedz arī atbildi uz to, kā pacelt skaitli negatīvā pakāpē. Lai to izdarītu, jums parastajā veidā jāpalielina vajadzīgā vērtība par indikatora moduli un pēc tam jāsadala vienība ar rezultātu.

No šiem noteikumiem kļūst skaidrs, ka, lai veiktu reālus uzdevumus, kas saistīti ar lielu daudzumu, būs nepieciešama klātbūtne tehniskajiem līdzekļiem. Manuāli varat reizināt ar sevi maksimālo skaitļu diapazonu līdz divdesmit līdz trīsdesmit un pēc tam ne vairāk kā trīs vai četras reizes. Nemaz nerunājot par dalītu ar rezultātu. Tāpēc tiem, kam nav pie rokas speciāla inženiertehniskā kalkulatora, mēs jums pateiksim, kā programmā Excel palielināt skaitli līdz negatīvam pakāpēm.

Problēmu risināšana programmā Excel

Lai atrisinātu problēmas ar būvniecību Excel grādsļauj izmantot vienu no divām iespējām.

Pirmais ir formulas izmantošana ar standarta “vāka” zīmi. Ievadiet darblapas šūnās šādus datus:

Tādā pašā veidā jūs varat palielināt vēlamo vērtību līdz jebkurai pakāpei - negatīvai, daļējai. Darīsim to šādas darbības un atbildiet uz jautājumu, kā palielināt skaitli negatīvā pakāpē. Piemērs:

Jūs varat labot =B2^-C2 tieši formulā.

Otra iespēja ir izmantot gatavu funkciju “Grādi”, kas ņem divus nepieciešamos argumentus - skaitli un eksponentu. Lai sāktu to lietot, ievietojiet vienādības zīmi (=) jebkurā brīvā šūnā, norādot formulas sākumu, un ievadiet iepriekš minētos vārdus. Atliek tikai atlasīt divas šūnas, kas piedalīsies darbībā (vai manuāli norādīt konkrētus skaitļus) un nospiest taustiņu Enter. Apskatīsim dažus vienkāršus piemērus.

Kā redzat, nav nekas sarežģīts tajā, kā, izmantojot programmu Excel, palielināt skaitli līdz negatīvam un līdz regulāram pakāpim. Galu galā, lai atrisinātu šo problēmu, varat izmantot gan pazīstamo “vāka” simbolu, gan programmā iebūvēto funkciju, kuru ir viegli atcerēties. Tas ir neapšaubāms pluss!

Pāriesim pie sarežģītākiem piemēriem. Atcerēsimies noteikumu par to, kā palielināt skaitli līdz negatīvam daļskaitlim, un mēs redzēsim, ka šī problēma ir ļoti viegli atrisināma programmā Excel.

Frakcionālie rādītāji

Īsāk sakot, algoritms skaitļa aprēķināšanai ar daļēju eksponentu ir šāds.

1. Pārvērst daļu par pareizu vai nepareizu daļskaitli.
2. Palieliniet mūsu skaitli līdz iegūtās konvertētās daļas skaitītājam.
3. No iepriekšējā punktā iegūtā skaitļa aprēķiniet sakni ar nosacījumu, ka saknes eksponents būs pirmajā posmā iegūtās daļas saucējs.

Piekrītu, ka arī darbojoties ar maziem cipariem un pareizās frakcijasŠādi aprēķini var aizņemt daudz laika. Labi, ka Excel izklājlapu procesoram ir vienalga, kāds skaitlis tiek palielināts līdz kādai jaudai. Mēģiniet Excel darblapā atrisināt šādu piemēru:

Izmantojot iepriekš minētos noteikumus, varat pārbaudīt un pārliecināties, vai aprēķins tika veikts pareizi.

Mūsu raksta beigās tabulas veidā ar formulām un rezultātiem parādīsim vairākus piemērus, kā palielināt skaitli negatīvā pakāpē, kā arī vairākus piemērus darbībai ar daļskaitļiem un pakāpēm.

Tabulas piemērs

Skatiet tālāk norādītos piemērus savā Excel darblapā. Lai viss darbotos pareizi, kopējot formulu ir jāizmanto jaukta atsauce. Labojiet kolonnas numuru, kurā ir paceļamais numurs, un rindas numuru, kurā ir rādītājs. Jūsu formulai vajadzētu izskatīties apmēram šādi: “=$B4^C$3”.

Lūdzu, ņemiet vērā, ka pozitīvus skaitļus (pat ne-veselus skaitļus) var aprēķināt bez problēmām jebkuram eksponentam. Nav problēmu ar skaitļu palielināšanu līdz veseliem skaitļiem. Bet negatīva skaitļa paaugstināšana līdz daļējai pakāpei jums izrādīsies kļūda, jo nav iespējams ievērot mūsu raksta sākumā norādīto noteikumu par negatīvu skaitļu palielināšanu, jo paritāte ir raksturīga tikai VESELAm skaitlim.

Skaitlis, kas palielināts līdz pakāpei Viņi izsauc numuru, kas tiek reizināts ar sevi vairākas reizes.

Skaitļa spēks ar negatīvu vērtību (a–n) var noteikt līdzīgi tam, kā tiek noteikta tā paša skaitļa ar pozitīvu eksponentu jauda (a n) . Tomēr tas prasa arī papildu definīciju. Formula ir definēta šādi:

a-n = (1/a n)

Skaitļu negatīvo pakāpju īpašības ir līdzīgas pakāpēm ar pozitīvu eksponentu. Iesniegtais vienādojums a m/a n= a m-n var būt godīgi kā

« Nekur, tāpat kā matemātikā, secinājumu skaidrība un precizitāte neļauj cilvēkam izkļūt no atbildes, runājot ap jautājumu.».

A. D. Aleksandrovs

plkst n vairāk m , un ar m vairāk n . Apskatīsim piemēru: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .

Vispirms jums ir jānosaka skaitlis, kas darbojas kā grāda definīcija. b=a(-n) . Šajā piemērā -n ir eksponents b - vēlamā skaitliskā vērtība, a - grāda bāze dabiskā formā skaitliskā vērtība. Pēc tam nosakiet moduli, tas ir, negatīva skaitļa absolūto vērtību, kas darbojas kā eksponents. Aprēķiniet dotā relatīvā skaitļa jaudu absolūtais skaitlis, kā indikators. Pakāpes vērtību nosaka, dalot vienu ar iegūto skaitli.

Rīsi. 1

Apsveriet skaitļa jaudu ar negatīvu daļskaitli. Iedomāsimies, ka skaitlis a ir jebkurš pozitīvs skaitlis, skaitļi n Un m - veseli skaitļi. Saskaņā ar definīciju a , kas tiek pacelts līdz spēkam - vienāds ar vienu dalītu ar tādu pašu skaitli ar pozitīvu jaudu (1. attēls). Ja skaitļa jauda ir daļa, tad šādos gadījumos tiek izmantoti tikai skaitļi ar pozitīviem eksponentiem.

Vērts atcerēties ka nulle nekad nevar būt skaitļa eksponents (dalīšanas ar nulli noteikums).

Šāda jēdziena kā skaitļa izplatība kļuva par tādām manipulācijām kā mērījumu aprēķini, kā arī matemātikas kā zinātnes attīstība. Negatīvo vērtību ieviešana bija saistīta ar algebras attīstību, kas deva vispārīgi risinājumi aritmētiskās problēmas, neatkarīgi no to konkrētās nozīmes un sākotnējiem skaitliskiem datiem. Indijā vēl 6.-11.gadsimtā negatīvi skaitļi tika sistemātiski izmantoti, risinot problēmas, un tika interpretēti tāpat kā mūsdienās. Eiropas zinātnē negatīvos skaitļus sāka plaši izmantot, pateicoties R. Dekartam, kurš sniedza negatīvu skaitļu ģeometrisku interpretāciju kā segmentu virzienus. Tas bija Dekarts, kurš ierosināja apzīmēt skaitli, kas palielināts līdz pakāpei, lai to parādītu kā divstāvu formulu a n .

var atrast, izmantojot reizināšanu. Piemēram: 5+5+5+5+5+5=5x6. Tiek uzskatīts, ka šāda izteiksme ir tāda, ka vienādu vārdu summa tiek salocīta produktā. Un otrādi, ja mēs lasām šo vienādību no labās uz kreiso pusi, mēs atklājam, ka esam paplašinājuši vienādu terminu summu. Līdzīgi varat sakļaut vairāku vienādu koeficientu reizinājumu 5x5x5x5x5x5=5 6.

Tas ir, tā vietā, lai reizinātu sešus identiskus koeficientus 5x5x5x5x5x5, viņi raksta 5 6 un saka "pieci līdz sestajai pakāpei".

Izteiksme 5 6 ir skaitļa pakāpe, kur:

5 - grādu bāze;

6 - eksponents.

Tiek sauktas darbības, ar kurām vienādu faktoru reizinājums tiek reducēts līdz pakāpei celšana pie varas.

Parasti grādu ar bāzi “a” un eksponentu “n” raksta šādi

Palielināt skaitli a līdz pakāpei n nozīmē atrast n faktoru reizinājumu, no kuriem katrs ir vienāds ar a

Ja pakāpes “a” bāze ir vienāda ar 1, tad jebkura naturāla skaitļa n pakāpes vērtība būs vienāda ar 1. Piemēram, 1 5 =1, 1 256 =1

Ja paaugstināsit skaitli “a” līdz pirmā pakāpe, tad mēs iegūstam pašu skaitli a: a 1 = a

Ja paaugstināsiet jebkuru skaitli līdz nulle grādu, tad aprēķinu rezultātā iegūstam vienu. a 0 = 1

Skaitļa otrā un trešā pakāpe tiek uzskatīta par īpašu. Viņi izdomāja tiem vārdus: sauc otro pakāpi kvadrātā skaitlis, trešais - kubsšis numurs.

Jebkuru skaitli var palielināt līdz pakāpei - pozitīvai, negatīvai vai nullei. Šajā gadījumā netiek piemēroti šādi noteikumi:

Atrodot pozitīva skaitļa jaudu, rezultāts ir pozitīvs skaitlis.

Aprēķinot nulli pret dabisko jaudu, mēs iegūstam nulli.

x m · x n = x m + n

piemēram: 7 1,7 7 - 0,9 = 7 1,7 + (- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8

Uz sadalīt pilnvaras ar vienādām bāzēm Mēs nemainām bāzi, bet atņemam eksponentus:

x m / x n = x m - n , Kur, m > n,

piemēram: 13 3,8 / 13 -0,2 = 13 (3,8 -0,2) = 13 3,6

Aprēķinot varas paaugstināšana par varu Mēs nemainām bāzi, bet reizinām eksponentus vienu ar otru.

(pie m ) n = y m n

piemēram: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

(X · y) n = x n · g m ,

piemēram: (2 3) 3 = 2 n 3 m,

Veicot aprēķinus saskaņā ar daļdaļas paaugstināšana līdz pakāpei mēs paaugstinām daļskaitļa skaitītāju un saucēju līdz noteiktai pakāpei

(x/y)n = x n / g n

piemēram: (2/5) 3 = (2/5) · (2/5) · (2/5) = 2 3/5 3.

Aprēķinu secība, strādājot ar izteiksmēm, kas satur grādu.

Veicot izteiksmju aprēķinus bez iekavām, bet saturošajiem pakāpēm, vispirms tās veic kāpināšanu, tad reizināšanu un dalīšanu un tikai tad saskaitīšanas un atņemšanas darbības.

Ja jums ir jāaprēķina izteiksme, kas satur iekavas, vispirms veiciet aprēķinus iekavās iepriekš norādītajā secībā un pēc tam pārējās darbības tādā pašā secībā no kreisās uz labo.

Ļoti plaši praktiskajos aprēķinos aprēķinu vienkāršošanai tiek izmantotas gatavas pilnvaru tabulas.

Nodarbība un prezentācija par tēmu: "Eksponents ar negatīvu eksponentu. Problēmu risināšanas definīcija un piemēri"

Papildu materiāli
Cienījamie lietotāji, neaizmirstiet atstāt savus komentārus, atsauksmes, vēlmes. Visi materiāli ir pārbaudīti ar pretvīrusu programmu.

Mācību līdzekļi un simulatori Interneta veikalā Integral 8. klasei
Rokasgrāmata mācību grāmatai Muravins G.K.    Mācību grāmatas rokasgrāmata, autors Alimov Sh.A.

Pakāpes noteikšana ar negatīvu eksponentu

Mēs labi zinām, ka jebkurš skaitlis līdz nullei ir vienāds ar vienu. $a^0=1$, $a≠0$.
Rodas jautājums, kas notiek, ja jūs paaugstināsit skaitli negatīvā pakāpē? Piemēram, ar ko būs vienāds skaitlis $2^(-2)$?
Pirmie matemātiķi, kas uzdeva šo jautājumu, nolēma, ka nav vērts izgudrot riteni no jauna, un labi, ka visas grādu īpašības palika nemainīgas. Tas ir, reizinot pakāpes ar vienu un to pašu bāzi, eksponenti summējas.
Apskatīsim šo gadījumu: $2^3*2^(-3)=2^(3-3)=2^0=1$.
Mēs atklājām, ka šādu skaitļu reizinājumam vajadzētu dot vienu. Produkta vienību iegūst, reizinot apgrieztos skaitļus, tas ir, $2^(-3)=\frac(1)(2^3)$.

Šādas argumentācijas rezultātā tika izveidota šāda definīcija.
Definīcija. Ja $n$ – dabiskais skaitlis un $a≠0$, tad spēkā ir vienādība: $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$.

Svarīga identitāte, ko bieži izmanto, ir: $(\frac(a)(b))^(-n)=(\frac(b)(a))^n$.
Jo īpaši $(\frac(1)(a))^(-n)=a^n$.

Risinājumu piemēri

Risinājums.
Apskatīsim katru terminu atsevišķi.
1. $2^(-3)=\frac(1)(2^3)=\frac(1)(2*2*2)=\frac(1)(8)$.
2. $(\frac(2)(5))^(-2)=(\frac(5)(2))^2=\frac(5^2)(2^2)=\frac(25) (4) $.
3. $8^(-1)=\frac(1)(8)$.
Atliek veikt saskaitīšanas un atņemšanas darbības: $\frac(1)(8)+\frac(25)(4)-\frac(1)(8)=\frac(25)(4)=6\frac( 1) (4) $.
Atbilde: $6\frac(1)(4)$.

2. piemērs.
Attēlojiet doto skaitli kā pakāpju pirmskaitlis$\frac(1)(729)$.

Risinājums.
Acīmredzot $\frac(1)(729)=729^(-1)$.
Taču 729 nav pirmskaitlis, kas beidzas ar 9. Var pieņemt, ka šis skaitlis ir trīs pakāpes pakāpe. Konsekventi sadaliet 729 ar 3.
1) $\frac(729)(3)=243 $;
2) $\frac(243)(3)=81$;
3) $\frac(81)(3)=27$;
4) $\frac(27)(3)=9$;
5) $\frac(9)(3)=3$;
6) $\frac(3)(3)=1$.
Tika veiktas sešas operācijas, un tas nozīmē: $729=3^6$.
Mūsu uzdevumam:
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
Atbilde: $3^(-6)$.

3. piemērs. Izteiciet izteiksmi kā pakāpju: $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))$.
Risinājums. Pirmā darbība vienmēr tiek veikta iekavās, pēc tam reizināšana $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))= \frac (a^6*a^(-10))((a^5)^(-1))=\frac(a^((-4)))(a^((-5)))= a^ (-4-(-5))=a^(-4+5)=a$.
Atbilde: $a$.

4. piemērs. Pierādiet identitāti:
$(\frac(y^2 (xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)*\frac(y^2(x^(-2) )+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y)):\frac(1-x^(-1) y)(xy^(-1) +1)=\frac(x-y)(x+y)$.

Risinājums.
Kreisajā pusē mēs aplūkojam katru faktoru iekavās atsevišķi.
1. $\frac(y^2(xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)=\frac(y^2(\frac(x) )(y)-1)^2)(x(1+\frac(y)(x))^2) =\frac(y^2(\frac(x^2)(y^2)-2\ frac(x)(y)+1))(x(1+2\frac(y)(x)+\frac(y^2)(x^2)))=\frac(x^2-2xy+ y ^2)(x+2y+\frac(y^2)(x))=\frac(x^2-2xy+y^2)(\frac(x^2+2xy+y^2)(x)) =\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))$.
2. $\frac(y^2(x^(-2)+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))=\frac(y^ 2(\frac(1)(x^2)+\frac(1)(y^2)))(x(\frac(x)(y)+\frac(y)(x))) =\frac (\frac(y^2)(x^2)+1)(\frac(x^2)(y)+y)=\frac(\frac(y^2+x^2)(x^2) )((\frac(x^2+y^2)(y)))=\frac(y^2+x^2)(x^2) *\frac(y)(x^2+y^2 )=\frac(y)(x^2)$.
3. $\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))*\frac(y)(x^2)=\frac(y(x) ^2-2xy+y^2))(x(x^2+2xy+y^2))=\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2)$.
4. Pārejam pie daļskaitļa, ar kuru mēs dalām.
$\frac(1-x^(-1)y)(xy^(-1)+1)=\frac(1-\frac(y)(x))(\frac(x)(y)+1 )=\frac(\frac(x-y)(x))(\frac(x+y)(y))=\frac(x-y)(x)*\frac(y)(x+y)=\frac( y(x-y))(x(x+y))$.
5. Veiksim dalīšanu.
$\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2):\frac(y(x-y))(x(x+y))=\frac(y(x-y)^2)( x(x+y)^2)*\frac(x(x+y))(y(x-y))=\frac(x-y)(x+y)$.
Mēs ieguvām pareizo identitāti, kas mums bija jāpierāda.

Nodarbības beigās mēs vēlreiz pierakstīsim noteikumus darbam ar pakāpēm, šeit eksponents ir vesels skaitlis.
$a^s*a^t=a^(s+t)$.
$\frac(a^s)(a^t)=a^(s-t)$.
$(a^s)^t=a^(st)$.
$(ab)^s=a^s*b^s$.
$(\frac(a)(b))^s=\frac(a^s)(b^s)$.

Problēmas, kas jārisina patstāvīgi

Paaugstināšana līdz negatīvai pakāpei ir viens no matemātikas pamatelementiem un bieži sastopams algebrisko uzdevumu risināšanā. Tālāk ir sniegtas detalizētas instrukcijas.

Kā paaugstināt līdz negatīvam spēkam - teorija

Paaugstinot skaitli līdz parastajai pakāpei, mēs tā vērtību vairākas reizes reizinām. Piemēram, 3 3 = 3 × 3 × 3 = 27. Ar negatīvu daļskaitli ir otrādi. Formulas vispārīgā forma būs šāda: a -n = 1/a n. Tādējādi, lai palielinātu skaitli negatīvā pakāpē, jums tas ir jādala ar doto skaitli, bet ar pozitīvu pakāpju.

Kā paaugstināt līdz negatīvam pakāpēm - piemēri parastajiem skaitļiem

Paturot prātā iepriekš minēto noteikumu, atrisināsim dažus piemērus.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Atbilde: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Atbilde -4 -2 = 1/16.

Bet kāpēc atbildes pirmajā un otrajā piemērā ir vienādas? Fakts ir tāds, ka, ja negatīvs skaitlis tiek palielināts līdz pat pakāpei (2, 4, 6 utt.), zīme kļūst pozitīva. Ja grāds būtu vienmērīgs, tad mīnuss paliktu:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Kā palielināt skaitļus no 0 līdz 1 līdz negatīvai pakāpei

Atgādiniet, ka, ja skaitlis no 0 līdz 1 tiek palielināts līdz pozitīvai pakāpei, vērtība samazinās, palielinoties jaudai. Tā, piemēram, 0,5 2 = 0,25. 0.25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

3. piemērs: Aprēķiniet 0,5 -2
Risinājums: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1 × 4/1 = 4.
Atbilde: 0,5 -2 = 4

Analīze (darbību secība):

• Pārvērtiet decimāldaļu 0,5 uz daļskaitli 1/2. Tādā veidā ir vieglāk.
  Palieliniet 1/2 līdz negatīvai pakāpei. 1/(2) -2. Sadaliet 1 ar 1/(2) 2, iegūstam 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

4. piemērs: Aprēķiniet 0,5 -3
Risinājums: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

5. piemērs: Aprēķināt -0,5 -3
Risinājums: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Atbilde: -0,5 -3 = -8

Pamatojoties uz 4. un 5. piemēru, mēs varam izdarīt vairākus secinājumus:

• Pozitīvam skaitlim diapazonā no 0 līdz 1 (4. piemērs), kas paaugstināts līdz negatīvam pakāpēm, nav svarīgi, vai pakāpe ir pāra vai nepāra, izteiksmes vērtība būs pozitīva. Turklāt, jo augstāka pakāpe, jo lielāka vērtība.
• Negatīvam skaitlim diapazonā no 0 līdz 1 (5. piemērs), kas paaugstināts līdz negatīvam pakāpēm, nav svarīgi, vai pakāpe ir pāra vai nepāra, izteiksmes vērtība būs negatīva. Šajā gadījumā, jo augstāka pakāpe, jo zemāka vērtība.

Kā paaugstināt negatīvā pakāpē - pakāpju daļskaitļa formā

Šāda veida izteiksmēm ir šāda forma: a -m/n, kur a ir regulārs skaitlis, m ir pakāpes skaitītājs, n ir pakāpes saucējs.

Apskatīsim piemēru:
Aprēķināt: 8 -1/3

Risinājums (darbību secība):

• Atcerēsimies noteikumu par skaitļa paaugstināšanu negatīvā pakāpē. Mēs iegūstam: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
• Ievērojiet, ka saucēja skaitlis 8 ir daļskaitļa pakāpē. Daļējās jaudas aprēķina vispārīgā forma ir šāda: a m/n = n √8 m.
• Tādējādi 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Mēs iegūstam astoņu kuba sakni, kas ir vienāda ar 2. No šejienes 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• Atbilde: 8 -1/3 = 2