Ass ir virziens. Tas nozīmē, ka projekcija uz asi vai uz virzītu līniju tiek uzskatīta par vienādu. Projekcija var būt algebriska vai ģeometriska. Ģeometriskā izteiksmē vektora projekciju uz asi saprot kā vektoru, un algebriskā izteiksmē tas ir skaitlis. Tas ir, tiek izmantoti jēdzieni vektora projekcija uz asi un vektora skaitliskā projekcija uz asi.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ja mums ir L ass un nulles vektors A B →, tad varam konstruēt vektoru A 1 B 1 ⇀, apzīmējot tā punktu A 1 un B 1 projekcijas.

A 1 B → 1 būs vektora A B → projekcija uz L.

1. definīcija

Vektora projekcija uz asi ir vektors, kura sākums un beigas ir dotā vektora sākuma un beigu projekcijas. n p L A B → → ir ierasts apzīmēt projekciju A B → uz L. Lai izveidotu projekciju uz L, perpendikulus nomet uz L.

1. piemērs

Vektora projekcijas piemērs uz asi.

Ieslēgts koordinātu plakne Apmēram x y ir norādīts punkts M 1 (x 1 , y 1). Lai attēlotu punkta M 1 rādiusa vektoru, ir jākonstruē projekcijas uz O x un O y. Mēs iegūstam vektoru (x 1, 0) un (0, y 1) koordinātas.

Ja mēs runājam par par a → projekciju uz ne-nulle b → vai a → projekciju virzienā b → , tad ar to domājam a → projekciju uz asi, ar kuru sakrīt virziens b →. A → projekcija uz taisni, ko nosaka b →, tiek apzīmēta ar n p b → a → → . Ir zināms, ka tad, kad leņķi starp a → un b → , n p b → a → → un b → var uzskatīt par līdzvirziena. Gadījumā, ja leņķis ir neass, n p b → a → → un b → ir pretējos virzienos. Perpendikulitātes situācijā a → un b → un a → ir nulle, a → projekcija virzienā b → ir nulles vektors.

Vektora projekcijas uz asi skaitliskā pazīme ir vektora skaitliskā projekcija uz doto asi.

2. definīcija

Vektora skaitliskā projekcija uz asi ir skaitlis, kas ir vienāds ar dotā vektora garuma reizinājumu ar leņķa kosinusu starp doto vektoru un vektoru, kas nosaka ass virzienu.

A B → skaitliskā projekcija uz L ir apzīmēta ar n p L A B → , bet a → uz b → - n p b → a → .

Pamatojoties uz formulu, iegūstam n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ , no kurienes a → ir vektora garums a → , a ⇀ , b → ^ ir leņķis starp vektoriem a → un b → .

Iegūstam skaitliskās projekcijas aprēķina formulu: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . Tas ir piemērojams zināmiem garumiem a → un b → un leņķim starp tiem. Formula ir piemērojama zināmām koordinātām a → un b →, taču ir arī vienkāršota forma.

2. piemērs

Noskaidrojiet a → skaitlisko projekciju uz taisnes virzienā b →, kuras garums a → ir vienāds ar 8 un leņķis starp tām ir 60 grādi. Pēc nosacījuma mums ir a ⇀ = 8, a ⇀, b → ^ = 60 °. Tātad, aizstāsim skaitliskās vērtības formulā n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4 .

Atbilde: 4.

Ja ir zināms cos (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → · b → , mums ir a → , b → kā a → un b → skalārais reizinājums. Sekojot formulai n p b → a → = a → · cos a ⇀ , b → ^ , varam atrast skaitlisko projekciju a →, kas vērsta gar vektoru b → un iegūt n p b → a → = a → , b → b → . Formula ir līdzvērtīga rindkopas sākumā sniegtajai definīcijai.

3. definīcija

Vektora a → skaitliskā projekcija uz asi, kas sakrīt virzienā ar b → ir vektoru a → un b → skalārās reizinājuma attiecība pret garumu b → . Formula n p b → a → = a → , b → b → ir piemērojama, lai atrastu a → skaitlisko projekciju uz taisni, kas sakrīt virzienā ar b → , ar zināmām a → un b → koordinātām.

3. piemērs

Dots b → = (- 3 , 4) . Atrodiet skaitlisko projekciju a → = (1, 7) uz L.

Risinājums

Koordinātu plaknē n p b → a → = a → , b → b → ir forma n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 , ar a → = (a x , a y ) un b → = b x , b y . Lai atrastu vektora a → skaitlisko projekciju uz L asi, nepieciešams: n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y b x 2 + b y 2 = 1 · ( - 3) + 7 · 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5.

Atbilde: 5.

4. piemērs

Atrodiet a → projekciju uz L, kas sakrīt ar virzienu b →, kur ir a → = - 2, 3, 1 un b → = (3, - 2, 6). Trīsdimensiju telpa ir norādīta.

Risinājums

Doti a → = a x , a y , a z un b → = b x , b y , b z , mēs aprēķinām skalāro reizinājumu: a ⇀ , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z . Garumu b → atrod, izmantojot formulu b → = b x 2 + b y 2 + b z 2 . No tā izriet, ka skaitliskās projekcijas a → noteikšanas formula būs šāda: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z b x 2 + b y 2 + b z 2 .

Aizvietojiet skaitliskās vērtības: n p L a → = n p b → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .

Atbilde: - 67.

Apskatīsim saikni starp a → uz L un projekcijas garumu a → uz L. Nozīmēsim asi L, pievienojot a → un b → no punkta uz L, pēc kura novelkam perpendikulāru līniju no gala a → uz L un uzvelkam projekciju uz L. Ir 5 attēla varianti:

Pirmkārt gadījums ar a → = n p b → a → → nozīmē a → = n p b → a → → , tātad n p b → a → = a → · cos (a , → b → ^) = a → · cos 0 ° = a → = n p b → a → → .

Otrkārt gadījumā tiek izmantots n p b → a → ⇀ = a → · cos a → , b → , kas nozīmē n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → .

Trešais gadījums izskaidro, ka, ja n p b → a → → = 0 → mēs iegūstam n p b ⇀ a → = a → · cos (a → , b → ^) = a → · cos 90 ° = 0, tad n p b → a → → = 0 un n p b → a → = 0 = n p b → a → → .

Ceturtais gadījums parāda n p b → a → → = a → · cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → · cos (a → , b → ^) , seko n p b → a → = a → · cos ( a → , b → ^) = - n p b → a → → .

Piektais gadījums parāda a ​​→ = n p b → a → → , kas nozīmē a → = n p b → a → → , tāpēc mums ir n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ = a → · cos 180° = - a → = - n p b → a → .

4. definīcija

Vektora a → skaitliskajai projekcijai uz L asi, kas ir vērsta tāpat kā b →, ir šāda vērtība:

• vektora a → projekcijas garums uz L, ar nosacījumu, ka leņķis starp a → un b → ir mazāks par 90 grādiem vai vienāds ar 0: n p b → a → = n p b → a → → ar nosacījumu 0 ≤ (a → , b →) ^< 90 ° ;
• nulle ar nosacījumu, ka a → un b → ir perpendikulāri: n p b → a → = 0, kad (a → , b → ^) = 90 °;
• projekcijas garums a → uz L, reizināts ar -1, ja ir vektoru a → un b → neass vai pagriezts leņķis: n p b → a → = - n p b → a → → ar nosacījumu 90 °< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

5. piemērs

Ņemot vērā projekcijas garumu a → uz L, vienāds ar 2. Atrodiet skaitlisko projekciju a → ar nosacījumu, ka leņķis ir 5 π 6 radiāni.

Risinājums

No nosacījuma ir skaidrs, ka šis leņķis ir neass: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

Atbilde: - 2.

6. piemērs

Dota plakne O x y z ar vektora garumu a → vienāds ar 6 3, b → (- 2, 1, 2) ar 30 grādu leņķi. Atrodiet projekcijas a → koordinātas uz L asi.

Risinājums

Pirmkārt, mēs aprēķinām vektora a → skaitlisko projekciju: n p L a → = n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = 6 3 · cos 30 ° = 6 3 · 3 2 = 9 .

Pēc nosacījuma leņķis ir akūts, tad skaitliskā projekcija a → = vektora a → projekcijas garums: n p L a → = n p L a → → = 9. Šis gadījums parāda, ka vektori n p L a → → un b → ir kopīgi virzīti, kas nozīmē, ka ir skaitlis t, kuram ir patiesa vienādība: n p L a → → = t · b → . No šejienes mēs redzam, ka n p L a → → = t · b → , kas nozīmē, ka mēs varam atrast parametra t vērtību: t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3 .

Tad n p L a → → = 3 · b → ar vektora a → projekcijas koordinātām uz L asi, kas vienāda ar b → = (- 2 , 1 , 2) , kur vērtības jāreizina ar 3. Mums ir n p L a → → = (- 6 , 3 , 6) . Atbilde: (- 6, 3, 6).

Jāatkārto iepriekš apgūtā informācija par vektoru kolinearitātes nosacījumu.

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Ļaujiet diviem vektoriem un ir dots telpā. Atliksim no patvaļīga punkta O vektori un . Leņķis starp vektoriem sauc par mazāko no leņķiem. Norādīts .

Apsveriet asi l un uz tā uzzīmējiet vienības vektoru (t.i., vektoru, kura garums ir vienāds ar vienu).

Leņķī starp vektoru un asi l saprast leņķi starp vektoriem un .

Tātad ļaujiet l ir kāda ass un ir vektors.

Apzīmēsim ar A 1 Un B 1 projekcijas uz asi l attiecīgi punkti A Un B. Pieņemsim, ka A 1 ir koordinātas x 1, A B 1- koordinēt x 2 uz ass l.

Tad projekcija vektors uz asi l sauc par atšķirību x 1 – x 2 starp vektora beigu un sākuma projekciju koordinātām uz šo asi.

Vektora projekcija uz asi l mēs apzīmēsim .

Ir skaidrs, ka, ja leņķis starp vektoru un asi l tad pikanti x 2> x 1, un projekcija x 2 – x 1> 0; ja šis leņķis ir neass, tad x 2< x 1 un projekcija x 2 – x 1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси l, Tas x 2= x 1 Un x 2– x 1=0.

Tādējādi vektora projekcija uz asi l ir segmenta garums A 1 B 1, ņemts ar noteiktu zīmi. Tāpēc vektora projekcija uz asi ir skaitlis vai skalārs.

Līdzīgi tiek noteikta viena vektora projekcija uz otru. Šajā gadījumā tiek atrastas šī vektora galu projekcijas uz taisni, uz kuras atrodas 2. vektors.

Apskatīsim dažas pamata lietas projekciju īpašības.

LINEĀRI ATKARĪGAS UN LINEĀRI NEATKARĪGAS VEKTORU SISTĒMAS

Apskatīsim vairākus vektorus.

Lineāra kombinācija no šiem vektoriem ir jebkurš formas vektors , kur ir daži skaitļi. Skaitļus sauc par lineāro kombināciju koeficientiem. Viņi arī saka, ka šajā gadījumā tas tiek lineāri izteikts caur šiem vektoriem, t.i. kas iegūti no tiem, izmantojot lineāras darbības.

Piemēram, ja ir doti trīs vektori, tad šādus vektorus var uzskatīt par to lineāro kombināciju:

Ja vektors tiek attēlots kā dažu vektoru lineāra kombinācija, tad tas tiek uzskatīts par tādu izklāstīts pa šiem vektoriem.

Vektorus sauc lineāri atkarīgi, ja ir skaitļi, ne visi vienādi ar nulli, tā ka . Ir skaidrs, ka dotie vektori būs lineāri atkarīgi, ja kāds no šiem vektoriem ir lineāri izteikts pārējos.

Citādi, t.i. kad attiecība veic tikai tad, kad , šos vektorus sauc lineāri neatkarīgs.

1. teorēma. Jebkuri divi vektori ir lineāri atkarīgi tad un tikai tad, ja tie ir kolineāri.

Pierādījums:

Līdzīgi var pierādīt šādu teorēmu.

2. teorēma. Trīs vektori ir lineāri atkarīgi tad un tikai tad, ja tie ir koplanāri.

Pierādījums.

PAMATS

Pamats ir nulles lineāri neatkarīgu vektoru kolekcija. Pamata elementus apzīmēsim ar .

Iepriekšējā rindkopā mēs redzējām, ka divi nekolineāri vektori plaknē ir lineāri neatkarīgi. Tāpēc saskaņā ar 1. teorēmu no iepriekšējās daļas plaknes bāze ir jebkuri divi nekolineāri vektori šajā plaknē.

Tāpat jebkuri trīs ne-kopplanāri vektori ir lineāri neatkarīgi telpā. Līdz ar to trīs nekopplanārus vektorus saucam par bāzi telpā.

Sekojošais apgalvojums ir patiess.

Teorēma.Ļaujiet dot pamatu telpā. Tad jebkuru vektoru var attēlot kā lineāru kombināciju , Kur x, y, z- daži skaitļi. Šī ir vienīgā sadalīšanās.

Pierādījums.

Tādējādi bāze ļauj katru vektoru unikāli saistīt ar skaitļu trīskāršu - šī vektora izplešanās koeficientiem bāzes vektoros: . Arī pretējais ir taisnība, katriem trim cipariem x, y, z izmantojot bāzi, jūs varat salīdzināt vektoru, ja izveidojat lineāru kombināciju .

Ja pamats un , tad skaitļi x, y, z tiek saukti koordinātas vektors noteiktā bāzē. Vektoru koordinātas tiek apzīmētas ar .

KARTĒZIJAS KOORDINĀTU SISTĒMA

Ļaujiet dot punktu telpā O un trīs nekopplanāri vektori.

Dekarta koordinātu sistēma telpā (plaknē) ir punkta un pamata kopums, t.i. punkta un trīs nekoplanāru vektoru kopums (2 nekolineāri vektori), kas izplūst no šī punkta.

Punkts O sauc par izcelsmi; taisnas līnijas, kas iet caur koordinātu sākumpunktu bāzes vektoru virzienā, sauc par koordinātu asīm - abscisu, ordinātu un aplikācijas asi. Plaknes, kas iet caur koordinātu asīm, sauc par koordinātu plaknēm.

Apsveriet patvaļīgu punktu izvēlētajā koordinātu sistēmā M. Ieviesīsim punktu koordinātu jēdzienu M. Vektors, kas savieno izcelsmi ar punktu M. sauca rādiusa vektors punktus M.

Vektoru atlasītajā bāzē var saistīt ar skaitļu trīskāršu – tā koordinātām: .

Punkta rādiusa vektora koordinātas M. tiek saukti punkta M koordinātas. izskatāmajā koordinātu sistēmā. M(x,y,z). Pirmo koordinātu sauc par abscisu, otro - par ordinātu, bet trešo - par aplikāciju.

Dekarta koordinātas plaknē nosaka līdzīgi. Šeit punktam ir tikai divas koordinātas - abscisa un ordināta.

Ir viegli redzēt, ka konkrētai koordinātu sistēmai katram punktam ir noteiktas koordinātas. No otras puses, katram skaitļu trīskāršam ir unikāls punkts, kuram šie skaitļi ir kā koordinātas.

Ja izvēlētajā koordinātu sistēmā par pamatu ņemtajiem vektoriem ir vienības garums un tie ir pa pāriem perpendikulāri, tad koordinātu sistēmu sauc Dekarta taisnstūrveida.

To ir viegli parādīt.

Vektora virziena kosinusi pilnībā nosaka tā virzienu, bet neko neizsaka par tā garumu.

un uz ass vai kāda cita vektora ir tās ģeometriskās projekcijas un skaitliskās (vai algebriskās) projekcijas jēdzieni. Ģeometriskās projekcijas rezultāts būs vektors, un algebriskās projekcijas rezultāts būs nenegatīvs reālais skaitlis. Bet pirms pāriet pie šiem jēdzieniem, atcerēsimies nepieciešamo informāciju.

Iepriekšēja informācija

Galvenais jēdziens ir pats vektora jēdziens. Lai ieviestu ģeometriskā vektora definīciju, atcerēsimies, kas ir segments. Ieviesīsim šādu definīciju.

1. definīcija

Nogrieznis ir līnijas daļa, kurai ir divas robežas punktu veidā.

Segmentam var būt 2 virzieni. Lai apzīmētu virzienu, vienu no segmenta robežām sauksim par tā sākumu, bet otru robežu par beigām. Virziens ir norādīts no tā sākuma līdz segmenta beigām.

2. definīcija

Par vektoru jeb virzīto segmentu sauksim segmentu, kuram ir zināms, kura no segmenta robežām tiek uzskatīta par sākumu un kura ir tās beigas.

Apzīmējums: ar diviem burtiem: $\overline(AB)$ – (kur $A$ ir tā sākums un $B$ ir tā beigas).

Vienā mazā burtā: $\overline(a)$ (1. att.).

Ieviesīsim vēl dažus jēdzienus, kas saistīti ar vektora jēdzienu.

3. definīcija

Divus vektorus, kas atšķiras no nulles, nosauksim par kolineāriem, ja tie atrodas uz vienas taisnes vai uz taisnēm, kas ir paralēlas viena otrai (2. att.).

4. definīcija

Mēs nosauksim divus vektorus, kas atšķiras no nulles, par kopvirziena vektoriem, ja tie atbilst diviem nosacījumiem:

1. Šie vektori ir kolineāri.
2. Ja tie ir vērsti vienā virzienā (3. att.).

Apzīmējums: $\overline(a)\overline(b)$

5. definīcija

Mēs nosauksim divus vektorus, kas nav nulle, pretēji vērsti, ja tie atbilst diviem nosacījumiem:

1. Šie vektori ir kolineāri.
2. Ja tie ir vērsti dažādos virzienos (4. att.).

Apzīmējums: $\overline(a)↓\overline(d)$

6. definīcija

Vektora $\overline(a)$ garums būs segmenta $a$ garums.

Apzīmējums: $|\overline(a)|$

Pāriesim pie divu vektoru vienādības noteikšanas

7. definīcija

Mēs sauksim divus vektorus par vienādiem, ja tie atbilst diviem nosacījumiem:

1. Tie ir vienvirziena;
2. To garumi ir vienādi (5. att.).

Ģeometriskā projekcija

Kā jau teicām iepriekš, ģeometriskās projekcijas rezultāts būs vektors.

8. definīcija

Vektora $\overline(AB)$ ģeometriskā projekcija uz asi ir vektors, ko iegūst šādi: Vektora $A$ sākuma punkts tiek projicēts uz šīs ass. Iegūstam punktu $A"$ - vēlamā vektora sākumu. Vektora $B$ beigu punkts tiek projicēts uz šo asi. Iegūstam punktu $B"$ - vēlamā vektora beigas. Vektors $\overline(A"B")$ būs vēlamais vektors.

Apskatīsim problēmu:

1. piemērs

Izveidojiet ģeometrisko projekciju $\overline(AB)$ uz $l$ ass, kas parādīta 6. attēlā.

Uzzīmēsim perpendikulu no punkta $A$ uz asi $l$, uz tā iegūstam punktu $A"$. Tālāk no punkta $B$ uz asi $l$ novelkam perpendikulu, iegūstam punktu $B "$ uz tā (7. att.).

Dažādu līniju un virsmu projicēšana uz plaknes ļauj veidot vizuālu objektu tēlu zīmējuma veidā. Aplūkosim taisnstūra projekciju, kurā projicējošie stari ir perpendikulāri projekcijas plaknei. VEKTORA PROJEKCIJA LADNĒ aplūkosim vektoru = (3.22. att.), kas atrodas starp perpendikuliem, kas izlaisti no tā sākuma un beigām.

Rīsi. 3.23. Vektora vektora projekcija uz asi.

Vektoru algebrā bieži vien ir nepieciešams vektoru projicēt uz ASS, tas ir, uz taisnas līnijas, kurai ir noteikta orientācija. Šāda projektēšana ir vienkārša, ja vektors un L ass atrodas vienā plaknē (3.23. att.). Tomēr uzdevums kļūst grūtāks, ja šis nosacījums nav izpildīts. Konstruēsim vektora projekciju uz asi, kad vektors un ass neatrodas vienā plaknē (3.24. att.).

Rīsi. 3.24. Vektora projicēšana uz asi
vispārējā gadījumā.

Caur vektora galiem novelkam plaknes, kas ir perpendikulāras taisnei L. Krustojumā ar šo taisni šīs plaknes nosaka divus punktus A1 un B1 - vektoru, ko sauksim par šī vektora vektorprojekciju. Vektora projekcijas atrašanas problēmu var atrisināt vienkāršāk, ja vektoru novieto vienā plaknē ar asi, ko var izdarīt, jo vektoru algebrā tiek ņemti vērā brīvie vektori.

Kopā ar vektora projekciju pastāv arī SKALĀRA PROJEKCIJA, kas ir vienāda ar vektora projekcijas moduli, ja vektora projekcija sakrīt ar L ass orientāciju, un ir vienāda ar tās pretējo vērtību, ja vektora projekcija un L asij ir pretēja orientācija. Mēs apzīmēsim skalāro projekciju:

Vektoru un skalārās projekcijas praksē ne vienmēr ir terminoloģiski stingri nodalītas. Parasti tiek lietots termins “vektora projekcija”, kas nozīmē vektora skalāro projekciju. Pieņemot lēmumu, ir skaidri jānošķir šie jēdzieni. Ievērojot iedibināto tradīciju, lietosim terminus “vektorprojekcija”, kas nozīmē skalārā projekcija, un “vektoru projekcija” - atbilstoši iedibinātajai nozīmei.

Pierādīsim teorēmu, kas ļauj aprēķināt dotā vektora skalāro projekciju.

5. TEORĒMA. Vektora projekcija uz L asi ir vienāda ar tā moduļa reizinājumu un leņķa starp vektoru un asi kosinusu, tas ir

(3.5)

Rīsi. 3.25. Vektora un skalāra atrašana
Vektoru projekcijas uz L asi
(un L ass ir vienādi orientētas).

APLIECINĀJUMS. Vispirms veiksim konstrukcijas, kas ļauj mums atrast leņķi G Starp vektoru un L asi. Leņķis būs vēlamais leņķis. Nozīmēsim divas plaknes caur punktiem A un O, kas ir perpendikulāras L asij.

Tā kā L ass un taisne MN ir paralēlas.

Izcelsim divus vektora un L ass relatīvās pozīcijas gadījumus.

1. Ļaujiet vektora projekcijai un L asi orientēties vienādi (3.25. att.). Tad atbilstošā skalārā projekcija .

2. Lai un L ir orientēti dažādos virzienos (3.26. att.).

Rīsi. 3.26. Vektora atrašana un vektora skalārās projekcijas uz L asi (un L ass ir orientēta pretējos virzienos).

Tādējādi abos gadījumos teorēma ir patiesa.

6. TEORĒMA. Ja vektora sākumpunkts ir novests uz noteiktu punktu uz L ass, un šī ass atrodas s plaknē, vektors veido leņķi ar vektora projekciju uz s plaknes un leņķi ar vektoru. projekcija uz L asi, turklāt pašas vektoru projekcijas veido viena ar otru leņķi , Tas