Ja novietojat vienības numura apli uz koordinātu plakne, tad tā punktiem var atrast koordinātas. Skaitļa aplis ir novietots tā, lai tā centrs sakristu ar plaknes sākumpunktu, t.i., punktu O (0; 0).

Parasti uz vienību skaitļa apļa ir atzīmēti punkti, kas atbilst apļa izcelsmei

• ceturtdaļas — 0 vai 2π, π/2, π, (2π)/3,
• vidējās ceturtdaļas — π/4, (3π)/4, (5π)/4, (7π)/4,
• ceturkšņu trešdaļas - π/6, π/3, (2π)/3, (5π)/6, (7π)/6, (4π)/3, (5π)/3, (11π)/6.

Koordinātu plaknē, uz kuras ir norādīta vienības apļa atrašanās vieta, var atrast koordinātas, kas atbilst šiem apļa punktiem.

Kvartālu galu koordinātas ir ļoti viegli atrast. Apļa punktā 0 x koordināte ir 1, bet y koordināte ir 0. Mēs to varam apzīmēt kā A (0) = A (1; 0).

Pirmā ceturkšņa beigas atradīsies uz pozitīvās y ass. Tāpēc B (π/2) = B (0; 1).

Otrā ceturkšņa beigas ir uz negatīvās pusass: C (π) = C (-1; 0).

Trešās ceturtdaļas beigas: D ((2π)/3) = D (0; -1).

Bet kā atrast ceturkšņu viduspunktu koordinātas? Šim nolūkam viņi būvē taisnleņķa trīsstūris. Tās hipotenūza ir segments no apļa centra (vai sākuma) līdz ceturkšņa apļa viduspunktam. Tas ir apļa rādiuss. Tā kā ir vienības aplis, hipotenūza ir vienāda ar 1. Tālāk no riņķa punkta uz jebkuru asi uzvelciet perpendikulu. Lai tas būtu virzienā uz x asi. Rezultāts ir taisnleņķa trīsstūris, kura kāju garumi ir apļa punkta x un y koordinātas.

Ceturtdaļa aplis ir 90º. Un puse ceturtdaļas ir 45º. Tā kā hipotenūza ir novilkta līdz kvadranta viduspunktam, leņķis starp hipotenūzu un kāju, kas stiepjas no sākuma, ir 45º. Bet jebkura trīsstūra leņķu summa ir 180º. Līdz ar to leņķis starp hipotenūzu un otru kāju arī paliek 45º. Tā rezultātā veidojas vienādsānu taisnstūris.

No Pitagora teorēmas iegūstam vienādojumu x 2 + y 2 = 1 2. Tā kā x = y un 1 2 = 1, vienādojums vienkāršojas līdz x 2 + x 2 = 1. To atrisinot, iegūstam x = √½ = 1/√2 = √2/2.

Tādējādi punkta koordinātas M 1 (π/4) = M 1 (√2/2; √2/2).

Pārējo ceturkšņu viduspunktu punktu koordinātēs mainīsies tikai zīmes, un vērtību moduļi paliks nemainīgi, jo taisnleņķa trīsstūris tiks tikai apgriezts. Mēs iegūstam:
M 2 ((3π)/4) = M 2 (-√2/2; √2/2)
M 3 ((5π)/4) = M 3 (-√2/2; -√2/2)
M 4 ((7π)/4) = M 4 (√2/2; -√2/2)

Nosakot riņķa ceturkšņu trešo daļu koordinātas, tiek konstruēts arī taisnleņķa trīsstūris. Ja ņemam punktu π/6 un uzvelkam perpendikulu x asij, tad leņķis starp hipotenūzu un kāju, kas atrodas uz x ass, būs 30º. Ir zināms, ka kāja, kas atrodas pretī 30º leņķim, ir vienāda ar pusi no hipotenūzas. Tas nozīmē, ka esam atraduši y koordinātu, tā ir vienāda ar ½.

Zinot hipotenūzas un vienas kājas garumus, izmantojot Pitagora teorēmu, atrodam otru kāju:
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 = 1 - ¼ = ¾
x = √3/2

Tādējādi T 1 (π/6) = T 1 (√3/2; ½).

Pirmā ceturkšņa otrās trešdaļas punktam (π/3) labāk ir uzzīmēt perpendikulāru pret asi uz y asi. Tad leņķis pie sākuma būs arī 30º. Šeit x koordināta būs vienāda ar ½ un y, attiecīgi, √3/2: T 2 (π/3) = T 2 (½; √3/2).

Citos trešo ceturkšņu punktos koordinātu vērtību zīmes un secība mainīsies. Visiem punktiem, kas atrodas tuvāk x asij, moduļa x koordinātu vērtība būs vienāda ar √3/2. Punktiem, kas atrodas tuvāk y asij, moduļa y vērtība būs vienāda ar √3/2.
T3 ((2π)/3) = T3 (-½; √3/2)
T 4 ((5π)/6) = T 4 (-√3/2; ½)
T 5 ((7π)/6) = T 5 (-√3/2; -½)
T 6 ((4π)/3) = T 6 (-½; -√3/2)
T 7 ((5π)/3) = T 7 (½; -√3/2)
T 8 ((11π)/6) = T 8 (√3/2; -½)

Matemātika ir diezgan sarežģīta zinātne. To pētot, ir ne tikai jārisina piemēri un problēmas, bet arī jāstrādā ar dažādām formām un pat plaknēm. Viena no matemātikā visbiežāk izmantotajām ir koordinātu sistēma plaknē. Pareizs darbs Bērni kopā ar viņu tiek mācīti vairāk nekā vienu gadu. Tāpēc ir svarīgi zināt, kas tas ir un kā ar to pareizi strādāt.

Noskaidrosim, kas tas ir šī sistēma, kādas darbības var veikt ar tās palīdzību, kā arī uzzināt tās galvenās īpašības un iezīmes.

Jēdziena definīcija

Koordinātu plakne ir plakne, kurā ir norādīta noteikta koordinātu sistēma. Šādu plakni nosaka divas taisnas līnijas, kas krustojas taisnā leņķī. Šo līniju krustpunktā ir koordinātu sākumpunkts. Katrs punkts koordinātu plaknē ir norādīts ar skaitļu pāri, ko sauc par koordinātām.

IN skolas kurss Matemātikā skolēniem ir diezgan cieši jāstrādā ar koordinātu sistēmu - uz tās jākonstruē figūras un punkti, jānosaka, kurai plaknei pieder šī vai cita koordināte, kā arī jānosaka punkta koordinātas un jāraksta vai jānosauc tās. Tāpēc parunāsim sīkāk par visām koordinātu iezīmēm. Bet vispirms pieskarsimies radīšanas vēsturei, un tad runāsim par to, kā strādāt koordinātu plaknē.

Vēsturiskais fons

Idejas par koordinātu sistēmas izveidi pastāvēja jau Ptolemaja laikā. Jau toreiz astronomi un matemātiķi domāja par to, kā iemācīties iestatīt punkta stāvokli plaknē. Diemžēl tajā laikā mums nebija zināma koordinātu sistēma, un zinātniekiem bija jāizmanto citas sistēmas.

Sākotnēji viņi noteica punktus, izmantojot platuma un garuma grādus. Uz ilgu laikušī bija viena no visbiežāk izmantotajām metodēm šīs vai citas informācijas ievietošanai kartē. Bet 1637. gadā Renē Dekarts izveidoja savu koordinātu sistēmu, kas vēlāk tika nosaukta pēc “kartēziskās”.

Jau iekšā XVII beigas V. Jēdziens “koordinātu plakne” ir kļuvis plaši izmantots matemātikas pasaulē. Neskatoties uz to, ka kopš šīs sistēmas izveides ir pagājuši vairāki gadsimti, tā joprojām tiek plaši izmantota matemātikā un pat dzīvē.

Koordinātu plaknes piemēri

Pirms runājam par teoriju, mēs sniegsim dažus vizuālus koordinātu plaknes piemērus, lai jūs varētu to iedomāties. Koordinātu sistēmu galvenokārt izmanto šahā. Uz tāfeles katram kvadrātam ir savas koordinātes – viena koordināte ir alfabētiskā, otrā ir ciparu. Ar tās palīdzību jūs varat noteikt konkrēta gabala pozīciju uz tāfeles.

Otrs spilgtākais piemērs ir iemīļotā spēle “Battleship”. Atcerieties, kā spēlējot jūs nosaucat koordinātu, piemēram, B3, tādējādi precīzi norādot, kur jūs mērķējat. Tajā pašā laikā, novietojot kuģus, jūs norādāt punktus koordinātu plaknē.

Šo koordinātu sistēmu plaši izmanto ne tikai matemātikā un loģikas spēlēs, bet arī militārajās lietās, astronomijā, fizikā un daudzās citās zinātnēs.

Koordinātu asis

Kā jau minēts, koordinātu sistēmā ir divas asis. Parunāsim nedaudz par tiem, jo ​​tiem ir liela nozīme.

Pirmā ass ir abscisa – horizontāla. Tas ir apzīmēts kā ( Vērsis). Otrā ass ir ordināta, kas iet vertikāli caur atskaites punktu un tiek apzīmēta kā ( Oy). Tieši šīs divas asis veido koordinātu sistēmu, sadalot plakni četrās ceturtdaļās. Sākums atrodas šo divu asu krustpunktā un iegūst vērtību 0 . Tikai tad, ja plakni veido divas asis, kas krustojas perpendikulāri un kurām ir atskaites punkts, tā ir koordinātu plakne.

Ņemiet vērā arī to, ka katrai no asīm ir savs virziens. Parasti, veidojot koordinātu sistēmu, ir pieņemts norādīt ass virzienu bultiņas formā. Turklāt, veidojot koordinātu plakni, katra no asīm tiek parakstīta.

Ceturtdaļas

Tagad teiksim dažus vārdus par tādu jēdzienu kā koordinātu plaknes ceturtdaļas. Plakne ir sadalīta četrās ceturtdaļās ar divām asīm. Katrai no tām ir savs numurs, un lidmašīnas ir numurētas pretēji pulksteņrādītāja virzienam.

Katram no ceturkšņiem ir savas īpatnības. Tātad pirmajā ceturksnī abscisa un ordināta ir pozitīvas, otrajā ceturksnī abscisa ir negatīva, ordināta ir pozitīva, trešajā gan abscisa, gan ordināta ir negatīvas, ceturtajā abscisa ir pozitīva un ordināta ir negatīva .

Atceroties šīs funkcijas, jūs varat viegli noteikt, kuram ceturksnim pieder konkrētais punkts. Turklāt šī informācija var būt noderīga, ja jums ir jāveic aprēķini, izmantojot Dekarta sistēmu.

Darbs ar koordinātu plakni

Kad esam sapratuši plaknes jēdzienu un runājuši par tās ceturkšņiem, varam pāriet pie tādas problēmas kā darbs ar šo sistēmu, kā arī runāt par to, kā uz tās likt punktus un figūru koordinātas. Koordinātu plaknē tas nav tik grūti, kā varētu šķist no pirmā acu uzmetiena.

Pirmkārt, pati sistēma ir uzbūvēta, tai tiek piemēroti visi svarīgie apzīmējumi. Tad mēs strādājam tieši ar punktiem vai formām. Turklāt, pat veidojot figūras, plaknē vispirms tiek uzzīmēti punkti, un pēc tam tiek zīmētas figūras.

Lidmašīnas konstruēšanas noteikumi

Ja jūs nolemjat sākt iezīmēt formas un punktus uz papīra, jums būs nepieciešama koordinātu plakne. Uz tā ir uzzīmētas punktu koordinātas. Lai izveidotu koordinātu plakni, jums ir nepieciešams tikai lineāls un pildspalva vai zīmulis. Vispirms tiek uzzīmēta horizontālā x ass, pēc tam vertikālā ass. Ir svarīgi atcerēties, ka asis krustojas taisnā leņķī.

Tālāk obligāts priekšmets ir marķēšana. Uz katras ass abos virzienos ir marķēti un marķēti vienības segmenti. Tas tiek darīts, lai pēc tam jūs varētu strādāt ar lidmašīnu maksimāli ērti.

Atzīmējiet punktu

Tagad parunāsim par to, kā uzzīmēt punktu koordinātas koordinātu plaknē. Šie ir pamati, kas jums jāzina, lai veiksmīgi novietotu dažādas formas plaknē un pat atzīmētu vienādojumus.

Veidojot punktus, jāatceras, kā pareizi uzrakstītas to koordinātas. Tātad, parasti, norādot punktu, iekavās tiek ierakstīti divi skaitļi. Pirmais cipars norāda punkta koordinātu pa abscisu asi, otrais - pa ordinātu asi.

Punkts ir jākonstruē šādā veidā. Pirmā atzīme uz ass Vērsis norādīto punktu, pēc tam atzīmējiet punktu uz ass Oy. Tālāk no šiem apzīmējumiem novelciet iedomātas līnijas un atrodiet vietu, kur tie krustojas – tas būs dotais punkts.

Atliek tikai to atzīmēt un parakstīt. Kā redzat, viss ir diezgan vienkāršs un neprasa īpašas prasmes.

Novietojiet figūru

Tagad pāriesim pie jautājuma par figūru konstruēšanu koordinātu plaknē. Lai koordinātu plaknē izveidotu jebkuru figūru, jums jāzina, kā uz tās novietot punktus. Ja jūs zināt, kā to izdarīt, tad figūras novietošana plaknē nav tik sarežģīta.

Pirmkārt, jums būs nepieciešamas figūras punktu koordinātas. Tieši saskaņā ar tiem mēs piemērosim jūsu izvēlētos mūsu koordinātu sistēmu. Apskatīsim taisnstūra, trīsstūra un apļa pielietojumu.

Sāksim ar taisnstūri. To ir diezgan viegli piemērot. Vispirms plaknē ir atzīmēti četri punkti, kas norāda taisnstūra stūrus. Tad visi punkti ir secīgi savienoti viens ar otru.

Trijstūra zīmēšana neatšķiras. Vienīgais, ka tai ir trīs leņķi, kas nozīmē, ka plaknē ir atzīmēti trīs punkti, norādot tās virsotnes.

Attiecībā uz apli jums jāzina divu punktu koordinātas. Pirmais punkts ir apļa centrs, otrais ir punkts, kas norāda tā rādiusu. Šie divi punkti ir attēloti plaknē. Pēc tam paņemiet kompasu un izmēriet attālumu starp diviem punktiem. Kompasa punkts tiek novietots punktā, kas iezīmē centru, un tiek aprakstīts aplis.

Kā redzat, arī šeit nav nekā sarežģīta, galvenais, lai vienmēr pa rokai būtu lineāls un kompass.

Tagad jūs zināt, kā uzzīmēt figūru koordinātas. To izdarīt koordinātu plaknē nav tik grūti, kā varētu šķist no pirmā acu uzmetiena.

Secinājumi

Tātad, mēs esam apskatījuši vienu no interesantākajiem un pamata matemātikas jēdzieniem, ar ko nākas saskarties katram skolēnam.

Mēs esam noskaidrojuši, ka koordinātu plakne ir plakne, ko veido divu asu krustojums. Ar tās palīdzību jūs varat iestatīt punktu koordinātas un zīmēt uz tiem formas. Lidmašīna ir sadalīta ceturtdaļās, no kurām katrai ir savas īpašības.

Galvenā prasme, kas jāattīsta, strādājot ar koordinātu plakni, ir spēja pareizi uzzīmēt uz tās dotos punktus. Lai to izdarītu, jums jāzina pareiza atrašanās vieta asis, ceturkšņu pazīmes, kā arī noteikumi, pēc kuriem nosaka punktu koordinātas.

Mēs ceram, ka mūsu sniegtā informācija bija pieejama un saprotama, kā arī jums bija noderīga un palīdzēja labāk izprast šo tēmu.

Taisnstūra koordinātu sistēmu plaknē nosaka divas savstarpēji perpendikulāras taisnes. Taisnas līnijas sauc par koordinātu asīm (vai koordinātu asis). Šo līniju krustošanās punktu sauc par izcelsmi un apzīmē ar burtu O.

Parasti viena no līnijām ir horizontāla, otra ir vertikāla. Horizontālā līnija tiek apzīmēta kā x-ass (vai Ox) un tiek saukta par abscisu asi, vertikālā līnija ir y-ass (Oy), ko sauc par ordinātu asi. Visa koordinātu sistēma ir apzīmēta ar xOy.

Punkts O katru no asīm sadala divās pusasīs, no kurām viena tiek uzskatīta par pozitīvu (apzīmēta ar bultiņu), otra - negatīva.

Katram plaknes punktam F ir piešķirts skaitļu pāris (x;y) - tā koordinātas.

X koordinātu sauc par abscisu. Tas ir vienāds ar Vērsi, ņemts ar atbilstošu zīmi.

Y koordinātu sauc par ordinātu un ir vienāda ar attālumu no punkta F līdz Oy asij (ar atbilstošu zīmi).

Attālumus starp asīm parasti (bet ne vienmēr) mēra vienā un tajā pašā garuma vienībā.

Punktiem, kas atrodas pa labi no y ass, ir pozitīvas abscises. Punktiem, kas atrodas pa kreisi no ordinātu ass, ir negatīvas abscises. Jebkuram punktam, kas atrodas uz Oy ass, tā x koordināta ir nulle.

Punkti ar pozitīvu ordinātu atrodas virs x ass, un punkti ar negatīvu ordinātu atrodas zemāk. Ja punkts atrodas uz Ox ass, tā y koordināta ir nulle.

Koordinātu asis sadala plakni četrās daļās, kuras sauc par koordinātu ceturtdaļām (vai koordinātu leņķiem vai kvadrantiem).

1 koordinātu ceturksnis kas atrodas xOy koordinātu plaknes augšējā labajā stūrī. Abas pirmajā ceturksnī esošo punktu koordinātas ir pozitīvas.

Pāreja no vienas ceturtdaļas uz otru tiek veikta pretēji pulksteņrādītāja virzienam.

2 koordinātu kvartāls atrodas augšējā kreisajā stūrī. Punktiem, kas atrodas otrajā ceturksnī, ir negatīva abscise un pozitīva ordināta.

3 koordinātu kvartāls atrodas xOy plaknes apakšējā kreisajā kvadrantā. Abas III koordinātu leņķim piederošo punktu koordinātas ir negatīvas.

4 koordinātu kvartāls ir koordinātu plaknes apakšējais labais stūris. Jebkuram punktam no IV ceturkšņa ir pozitīva pirmā koordināta un negatīva otrā.

Punktu atrašanās vietas piemērs taisnstūra koordinātu sistēmā: