es Izteiksmes, kurās kopā ar burtiem var izmantot ciparus, aritmētiskos simbolus un iekavas, sauc par algebriskām izteiksmēm.

Algebrisko izteiksmju piemēri:

2m -n; 3 · (2a + b); 0,24x; 0,3a -b · (4a + 2b); a 2 – 2ab;

Tā kā burtu algebriskajā izteiksmē var aizstāt ar dažādiem cipariem, burtu sauc par mainīgo, bet pašu algebrisko izteiksmi sauc par izteiksmi ar mainīgo.

II. Ja algebriskajā izteiksmē burti (mainīgie) tiek aizstāti ar to vērtībām un tiek veiktas norādītās darbības, tad iegūto skaitli sauc par algebriskās izteiksmes vērtību.

Piemēri.

Atrodiet izteiciena nozīmi:

1) a + 2b -c ar a = -2; b = 10; c = -3,5.

2) |x| + |y| -|z| pie x = -8; y = -5; z = 6..

Risinājums

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

1) a + 2b -c ar a = -2; b = 10; c = -3,5. Mainīgo vietā aizstāsim to vērtības. Mēs iegūstam: 2) |x| + |y| -|z| pie x = -8; y = -5; z = 6. Aizstājiet norādītās vērtības. Atcerieties, ka modulis negatīvs skaitlis ir vienāds ar tā pretējo skaitli un moduli pozitīvs skaitlis

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

vienāds ar šo skaitli. Mēs iegūstam: III.

Burta (mainīgā) vērtības, kurām ir jēga algebriskajai izteiksmei, sauc par burta (mainīgā) pieļaujamajām vērtībām.

Piemēri. Kurām mainīgā vērtībām izteiksmei nav jēgas?

Piemērā 1) šī vērtība ir a = 0. Patiešām, ja aizvietojat 0, nevis a, tad skaitlis 6 būs jādala ar 0, taču to nevar izdarīt. Atbilde: izteiksmei 1) nav jēgas, ja a = 0.

Piemērā 2) x saucējs ir 4 = 0 pie x = 4, tāpēc šo vērtību x = 4 nevar ņemt. Atbilde: izteiksmei 2) nav jēgas, ja x = 4.

3. piemērā saucējs ir x + 2 = 0, kad x = -2. Atbilde: izteiksmei 3) nav jēgas, ja x = -2.

4. piemērā saucējs ir 5 -|x| = 0 |x| = 5. Un kopš |5| = 5 un |-5| = 5, tad jūs nevarat ņemt x = 5 un x = -5. Atbilde: izteiksmei 4) nav jēgas pie x = -5 un pie x = 5.
IV. Tiek uzskatīts, ka divas izteiksmes ir identiski vienādas, ja jebkurām mainīgo lielumu pieļaujamajām vērtībām atbilstošās šo izteiksmju vērtības ir vienādas.

Piemērs: 5 (a – b) un 5a – 5b arī ir vienādi, jo vienādība 5 (a – b) = 5a – 5b būs patiesa jebkurai a un b vērtībai. Vienādība 5 (a – b) = 5a – 5b ir identitāte.

Identitāte ir vienādība, kas ir spēkā visām tajā iekļauto mainīgo lielumu pieļaujamajām vērtībām. Jums jau zināmo identitāšu piemēri ir, piemēram, saskaitīšanas un reizināšanas īpašības un sadales īpašība.

Vienas izteiksmes aizstāšanu ar citu identiski vienādu izteiksmi sauc par identitātes transformāciju vai vienkārši izteiksmes transformāciju. Identiskas izteiksmju transformācijas ar mainīgajiem tiek veiktas, pamatojoties uz skaitļu darbību īpašībām.

Piemēri.

a) pārvērst izteiksmi par identiski vienādu, izmantojot reizināšanas sadales īpašību:

1) 10·(1,2x + 2,3 g); 2) 1,5·(a -2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).

2) |x| + |y| -|z| pie x = -8; y = -5; z = 6.. Atcerēsimies reizināšanas sadales īpašību (likumu):

(a+b)c=ac+bc(reizināšanas sadalījuma likums attiecībā pret saskaitīšanu: lai divu skaitļu summu reizinātu ar trešo skaitli, katru terminu var reizināt ar šo skaitli un pievienot iegūtos rezultātus).
(a-b) c=a c-b c(reizināšanas sadales likums attiecībā pret atņemšanu: lai divu skaitļu starpību reizinātu ar trešo skaitli, var reizināt un atņemt ar šo skaitli atsevišķi un atņemt otro no pirmā rezultāta).

1) 10·(1,2 x + 2,3 g) = 10 · 1,2 x + 10 · 2,3 g = 12 x + 23 g.

2) 1,5·(a -2b + 4c) = 1,5a -3b + 6c.

3) a·(6m -2n + k) = 6am -2an +ak.

b) pārveidojiet izteiksmi par identiski vienādu, izmantojot saskaitīšanas komutatīvās un asociatīvās īpašības (likumus):

4) x + 4,5 +2x + 6,5; 5) (3a + 2,1) + 7,8; 6) 5,4 s -3 -2,5 -2,3 s.

Piemēri. Piemērosim pievienošanas likumus (īpašības):

a+b=b+a(komutatīvs: terminu pārkārtošana summu nemaina).
(a+b)+c=a+(b+c)(kombinatīvs: lai divu vārdu summai pievienotu trešo skaitli, pirmajam skaitlim var pievienot otrā un trešā summa).

4) x + 4,5 +2x + 6,5 = (x + 2x) + (4,5 + 6,5) = 3x + 11.

5) (3a + 2,1) + 7,8 = 3a + (2,1 + 7,8) = 3a + 9,9.

6) 6) 5,4 s -3 -2,5 -2,3 s = (5,4 s -2,3 s) + (-3 -2,5) = 3,1 s -5,5.

V) Pārvērtiet izteiksmi par identiski vienādu, izmantojot reizināšanas komutatīvās un asociatīvās īpašības (likumus):

7) 4 · X · (-2,5); 8) -3,5 · 2у · (-1); 9) 3a · (-3) · 2s.

Piemēri. Piemērosim reizināšanas likumus (īpašības):

a·b=b·a(komutatīvs: faktoru pārkārtošana produktu nemaina).
(a b) c=a (b c)(kombinatīvs: lai reizinātu divu skaitļu reizinājumu ar trešo skaitli, pirmo skaitli var reizināt ar otrā un trešā reizinājumu).

7) 4 · X · (-2,5) = -4 · 2,5 · x = -10x.

8) -3,5 · 2у · (-1) = 7у.

9) 3a · (-3) · 2c = -18ac.

Ja algebrisko izteiksmi uzrāda reducējamas daļskaitļa formā, tad, izmantojot daļskaitļu samazināšanas noteikumu, to var vienkāršot, t.i. aizstāt to ar identiski vienādu vienkāršāku izteiksmi.

Piemēri.

Piemēri. Vienkāršojiet, izmantojot frakciju samazināšanu. Daļas samazināšana nozīmē dalīt tā skaitītāju un saucēju ar tādu pašu skaitli (izteiksmi), kas nav nulle. Frakcija 10) tiks samazināta par 3b ; frakcija 11) tiks samazināta par A un daļa 12) tiks samazināta par 7n

. Mēs iegūstam:

Formulu izveidošanai tiek izmantotas algebriskās izteiksmes. Formula ir algebriska izteiksme, kas rakstīta kā vienādība un izsaka attiecības starp diviem vai vairākiem mainīgajiem. Piemērs: jums zināmā ceļa formula s=v t

(s - nobrauktais attālums, v - ātrums, t - laiks). Atcerieties, kādas citas formulas jūs zināt.

1. lapa no 1 1 Izteiksme ir visplašākais matemātiskais termins. Būtībā šajā zinātnē viss sastāv no tiem, un visas darbības tiek veiktas arī ar tiem. Cits jautājums ir par to, ka atkarībā no konkrētā veida tie tiek izmantoti pilnībā dažādas metodes un metodes. Tātad, darbs ar trigonometriju, daļām vai logaritmiem ir trīs dažādas darbības

. Izteiksme, kurai nav jēgas, var būt viena no diviem veidiem: skaitliska vai algebriska. Bet ko šis jēdziens nozīmē, kā izskatās tā piemērs un citi punkti, tiks apspriesti tālāk.

Skaitliskās izteiksmes

Ja izteiksme sastāv no skaitļiem, iekavām, plusiem un mīnusiem un citiem aritmētisko darbību simboliem, to droši var saukt par skaitlisko. Kas ir diezgan loģiski: jums vienkārši vēlreiz jāaplūko tā pirmais nosauktais komponents. Skaitliskā izteiksme var būt jebkas: galvenais, lai tajā nebūtu burtu. Un sadaļā "jebkas". viss ir saprotams: no vienkārša skaitļa, kas stāv viens pats, līdz milzīgam to sarakstam un aritmētisko darbību pazīmēm, kurām nepieciešams vēlāk aprēķināt gala rezultātu. Arī frakcija ir skaitliskā izteiksme, ja tajā nav a, b, c, d utt., tad tas ir pavisam cits tips, par kuru tiks runāts nedaudz vēlāk.

Nosacījumi izteiksmei, kurai nav jēgas

Kad uzdevums sākas ar vārdu "aprēķināt", mēs varam runāt par transformāciju. Lieta tāda, ka šī darbība ne vienmēr ir ieteicama: nav tā, ka tā ir ļoti vajadzīga, ja priekšplānā izvirzās izteiciens, kam nav jēgas. Piemēri ir bezgala pārsteidzoši: dažreiz, lai saprastu, ka tas mūs ir apsteidzis, mums ilgi un garlaicīgi jāver vaļā iekavas un jāskaita-skaita-skaita...

Galvenais, kas jāatceras, ir tas, ka nav nozīmes izteicieniem, kuru gala rezultāts ir saistīts ar darbību, kas ir aizliegta matemātikā. Ja pavisam godīgi, tad pati transformācija kļūst bezjēdzīga, bet, lai to noskaidrotu, tā vispirms ir jāveic. Tāds paradokss!

Slavenākais, bet ne mazāk svarīgs aizliegtais matemātiskā darbība- tas ir dalījums ar nulli.

Tāpēc, piemēram, šeit ir izteiciens, kam nav jēgas:

(17+11):(5+4-10+1).

Ja, izmantojot vienkāršus aprēķinus, mēs samazinām otro iekavu līdz vienam ciparam, tad tā būs nulle.

Pēc tāda paša principa šim izteicienam tiek piešķirts “goda nosaukums”:

(5-18):(19-4-20+5).

Algebriskās izteiksmes

Šī ir tā pati skaitliskā izteiksme, ja tai ir pievienoti aizliegtie burti. Tad tas kļūst par pilntiesīgu algebrisku. Tas var būt arī visu izmēru un formu. Algebriskā izteiksme ir plašāks jēdziens, kas ietver iepriekšējo. Taču sarunu bija jēga sākt nevis ar to, bet ar skaitli, lai būtu skaidrāk un vieglāk saprotami. Galu galā, vai algebriskajai izteiksmei ir jēga, tas nav ļoti sarežģīts jautājums, bet gan tas, kam ir vairāk skaidrojumu.

Kāpēc tas tā ir?

Burtiska izteiksme vai izteiksme ar mainīgajiem ir sinonīmi. Pirmais termins ir viegli izskaidrojams: galu galā tajā ir burti! Otrais arī nav gadsimta noslēpums: burtu vietā var aizstāt dažādi skaitļi, kā rezultātā izteiciena nozīme mainīsies. Nav grūti uzminēt, ka burti šajā gadījumā ir mainīgie. Pēc analoģijas skaitļi ir konstantes.

Un šeit mēs atgriežamies pie galvenās tēmas: bezjēdzīgi?

Algebrisko izteiksmju piemēri, kuriem nav jēgas

Algebriskās izteiksmes bezjēdzības nosacījums ir tāds pats kā skaitliskajai izteiksmei, tikai ar vienu izņēmumu jeb, precīzāk sakot, papildinājumu. Konvertējot un aprēķinot gala rezultātu, jāņem vērā mainīgie, tāpēc netiek uzdots jautājums “kurai izteiksmei nav jēgas?”, bet gan “pie kādas mainīgā vērtības šai izteiksmei nebūs jēgas?” un "vai ir mainīgā vērtība, pie kuras izteiksmei vairs nebūs jēgas?"

Piemēram, (18-3):(a+11-9).

Iepriekš minētajai izteiksmei nav jēgas, ja a ir vienāds ar -2.

Bet par (a+3):(12-4-8) varam droši teikt, ka šis ir izteiciens, kam nav jēgas nevienam a.

Tādā pašā veidā neatkarīgi no tā, ko b jūs aizstājat izteiksmē (b - 11): (12+1), tam joprojām būs jēga.

Tipiskas problēmas par tēmu "Izteiciens, kam nav jēgas"

7. klase šo tēmu apgūst, cita starpā, matemātikā, un uzdevumi par to nereti tiek atrasti gan uzreiz pēc attiecīgās stundas, gan kā “viltības” jautājums moduļos un eksāmenos.

Lūk, kāpēc tas ir jāapsver tipiski uzdevumi un metodes to risināšanai.

1. piemērs.

Vai izteiksmei ir jēga:

(23+11):(43-17+24-11-39)?

Visi aprēķini ir jāveic iekavās un izteiksme jāievada formā:

Gala rezultāts satur tāpēc izteiciens ir bezjēdzīgs.

2. piemērs.

Kādiem izteicieniem nav jēgas?

1) (9+3)/(4+5+3-12);

2) 44/(12-19+7);

3) (6+45)/(12+55-73).

Jāaprēķina galīgā vērtība katram no izteicieniem.

Atbilde: 1; 2.

3. piemērs.

Atrodiet pieņemamo vērtību diapazonu šādām izteiksmēm:

1) (11-4)/(b+17);

2) 12/ (14-b+11).

Pieļaujamo vērtību diapazons (APV) ir visi šie skaitļi, tos aizstājot mainīga izteiksme būs jēga.

Tas ir, uzdevums izklausās šādi: atrodiet vērtības, kurās nebūs dalījuma ar nulli.

1) b є (-∞;-17) & (-17; + ∞) vai b>-17 & b<-17, или b≠-17, что значит - выражение имеет смысл при всех b, кроме -17.

2) b є (-∞;25) & (25; + ∞) vai b> 25 & b<25, или b≠25, что значит - выражение имеет смысл при всех b кроме 25.

4. piemērs.

Ar kādām vērtībām tālāk norādītajai izteiksmei nebūs jēgas?

Otrā iekava ir vienāda ar nulli, ja spēle ir vienāda ar -3.

Atbilde: y=-3

4. piemērs.

Kurai no izteiksmēm nav jēgas tikai pie x = -14?

1) 14:(x - 14);

2) (3+8x):(14+x);

3) (x/(14+x)):(7/8)).

2 un 3, jo pirmajā gadījumā, ja aizstājat x = -14, tad otrā iekava būs vienāda ar -28, nevis nulle, kā tas izklausās bezjēdzīgas izteiksmes definīcijā.

5. piemērs.

Izdomājiet un pierakstiet izteiksmi, kurai nav jēgas.

18/(2-46+17-33+45+15).

Algebriskas izteiksmes ar diviem mainīgajiem

Neskatoties uz to, ka visiem izteicieniem, kuriem nav jēgas, ir viena un tā pati būtība, ir dažādi to sarežģītības līmeņi. Tātad, mēs varam teikt, ka skaitliskie piemēri ir vienkārši piemēri, jo tie ir vieglāki nekā algebriskie. Mainīgo lielumu skaits pēdējā palielina risināšanas grūtības. Bet tiem nevajadzētu izskatīties vienādi: galvenais ir atcerēties vispārējo risinājuma principu un to pielietot neatkarīgi no tā, vai piemērs ir līdzīgs standarta problēmai vai tam ir daži nezināmi papildinājumi.

Piemēram, var rasties jautājums, kā atrisināt šādu uzdevumu.

Atrodiet un pierakstiet skaitļu pāri, kas ir nederīgi izteiksmei:

(x 3 - x 2 g 3 + 13x - 38 g)/(12x 2 - y).

Iespējamās atbildes:

Bet patiesībā tas tikai izskatās biedējoši un apgrūtinoši, jo patiesībā tajā ir tas, kas ir zināms jau sen: kvadrātveida un kubu skaitļi, dažas aritmētiskas darbības, piemēram, dalīšana, reizināšana, atņemšana un saskaitīšana. Ērtības labad, starp citu, problēmu var samazināt līdz daļējai formai.

Iegūtās daļas skaitītājs nav apmierināts: (x 3 - x 2 y 3 + 13x - 38y). Tas ir fakts. Bet ir vēl viens laimes iemesls: jums pat nav jāpieskaras, lai atrisinātu uzdevumu! Saskaņā ar iepriekš apspriesto definīciju jūs nevarat dalīt ar nulli, un tas, kas tieši tiks dalīts ar to, ir pilnīgi mazsvarīgi. Tāpēc mēs atstājam šo izteiksmi nemainīgu un aizstājam skaitļu pārus no šīm opcijām saucējā. Jau trešais punkts lieliski iederas, pārvēršot nelielu kronšteinu par nulli. Bet tur apstāties ir slikts ieteikums, jo varētu būt piemērots kaut kas cits. Patiešām: arī piektais punkts labi iederas un atbilst apstākļiem.

Mēs pierakstām atbildi: 3 un 5.

Nobeigumā

Kā redzat, šī tēma ir ļoti interesanta un nav īpaši sarežģīta. To izdomāt nebūs grūti. Bet tas nekad nenāk par ļaunu praktizēt pāris piemērus!

Izteiksme ir visplašākais matemātiskais termins. Būtībā šajā zinātnē viss sastāv no tiem, un visas darbības tiek veiktas arī ar tiem. Cits jautājums ir par to, ka atkarībā no konkrētā veida tiek izmantotas pilnīgi dažādas metodes un paņēmieni. Tātad darbs ar trigonometriju, daļām vai logaritmiem ir trīs dažādas darbības. Izteiksme, kurai nav jēgas, var būt viena no diviem veidiem: skaitliska vai algebriska. Bet ko šis jēdziens nozīmē, kā izskatās tā piemērs un citi punkti, tiks apspriesti tālāk.

Skaitliskās izteiksmes

Skaitliskās izteiksmes

Skaitliskā izteiksme var būt jebkas: galvenais, lai tajā nebūtu burtu. Un ar “jebko” šajā gadījumā mēs saprotam visu: no vienkārša skaitļa, kas stāv viens pats, līdz milzīgam to sarakstam un aritmētisko darbību pazīmēm, kurām nepieciešams vēlāks gala rezultāta aprēķins. Daļskaitlis ir arī skaitliska izteiksme, ja tajā nav neviena a, b, c, d utt., jo tad tas ir pavisam cits veids, par kuru tiks runāts nedaudz vēlāk.

Nosacījumi izteiksmei, kurai nav jēgas

Kad uzdevums sākas ar vārdu "aprēķināt", mēs varam runāt par transformāciju. Lieta tāda, ka šī darbība ne vienmēr ir ieteicama: nav tā, ka tā ir ļoti vajadzīga, ja priekšplānā izvirzās izteiciens, kam nav jēgas. Piemēri ir bezgala pārsteidzoši: dažreiz, lai saprastu, ka tas mūs ir apsteidzis, mums ilgi un garlaicīgi jāver vaļā iekavas un jāskaita-skaita-skaita...

Galvenais, kas jāatceras, ir tas, ka nav nozīmes izteicieniem, kuru gala rezultāts ir saistīts ar darbību, kas ir aizliegta matemātikā. Ja pavisam godīgi, tad pati transformācija kļūst bezjēdzīga, bet, lai to noskaidrotu, tā vispirms ir jāveic. Tāds paradokss!

Slavenākā, bet ne mazāk svarīga aizliegtā matemātiskā darbība ir dalīšana ar nulli.

Tāpēc, piemēram, šeit ir izteiciens, kam nav jēgas:

(17+11):(5+4-10+1).

Ja, izmantojot vienkāršus aprēķinus, mēs samazinām otro iekavu līdz vienam ciparam, tad tā būs nulle.

Pēc tāda paša principa šim izteicienam tiek piešķirts “goda nosaukums”:

(5-18):(19-4-20+5).

Algebriskās izteiksmes

Šī ir tā pati skaitliskā izteiksme, ja tai ir pievienoti aizliegtie burti. Tad tas kļūst par pilntiesīgu algebrisku. Tas var būt arī visu izmēru un formu. Algebriskā izteiksme ir plašāks jēdziens, kas ietver iepriekšējo. Taču sarunu bija jēga sākt nevis ar to, bet ar skaitli, lai būtu skaidrāk un vieglāk saprotami. Galu galā, vai algebriskajai izteiksmei ir jēga, tas nav ļoti sarežģīts jautājums, bet gan tas, kam ir vairāk skaidrojumu.

Kāpēc tas tā ir?

Burtiska izteiksme vai izteiksme ar mainīgajiem ir sinonīmi. Pirmais termins ir viegli izskaidrojams: galu galā tajā ir burti! Otrais arī nav gadsimta noslēpums: burtu vietā var aizstāt dažādus ciparus, kā rezultātā izteiciena nozīme mainīsies. Nav grūti uzminēt, ka burti šajā gadījumā ir mainīgie. Pēc analoģijas skaitļi ir konstantes.

Un šeit mēs atgriežamies pie galvenās tēmas: kas ir izteiciens, kam nav nozīmes?

Algebrisko izteiksmju piemēri, kuriem nav jēgas

Algebriskās izteiksmes bezjēdzības nosacījums ir tāds pats kā skaitliskajai izteiksmei, tikai ar vienu izņēmumu jeb, precīzāk sakot, papildinājumu. Konvertējot un aprēķinot gala rezultātu, jāņem vērā mainīgie, tāpēc netiek uzdots jautājums “kurai izteiksmei nav jēgas?”, bet gan “pie kādas mainīgā vērtības šai izteiksmei nebūs jēgas?” un "vai ir mainīgā vērtība, pie kuras izteiksmei vairs nebūs jēgas?"

Piemēram, (18-3):(a+11-9).

Iepriekš minētajai izteiksmei nav jēgas, ja a ir vienāds ar -2.

Bet par (a+3):(12-4-8) varam droši teikt, ka šis ir izteiciens, kam nav jēgas nevienam a.

Tādā pašā veidā neatkarīgi no tā, ko b jūs aizstājat izteiksmē (b - 11): (12+1), tam joprojām būs jēga.

Tipiskas problēmas par tēmu "Izteiciens, kam nav jēgas"

7. klase šo tēmu apgūst, cita starpā, matemātikā, un uzdevumi par to nereti tiek atrasti gan uzreiz pēc attiecīgās stundas, gan kā “viltības” jautājums moduļos un eksāmenos.

Tāpēc ir vērts apsvērt tipiskas problēmas un to risināšanas metodes.

1. piemērs.

Vai izteiksmei ir jēga:

(23+11):(43-17+24-11-39)?

Visi aprēķini ir jāveic iekavās un izteiksme jāievada formā:

Gala rezultāts satur dalījumu ar nulli, tāpēc izteiksmei nav nozīmes.

2. piemērs.

Kādiem izteicieniem nav jēgas?

1) (9+3)/(4+5+3-12);

2) 44/(12-19+7);

3) (6+45)/(12+55-73).

Katrai izteiksmei jāaprēķina galīgā vērtība.

Atbilde: 1; 2.

3. piemērs.

Atrodiet pieņemamo vērtību diapazonu šādām izteiksmēm:

1) (11-4)/(b+17);

2) 12/ (14-b+11).

Pieļaujamo vērtību diapazons (VA) ir visi tie skaitļi, kurus, aizstājot mainīgo vietā, izteiksmei būs jēga.

Tas ir, uzdevums izklausās šādi: atrodiet vērtības, kurās nebūs dalījuma ar nulli.

1) b є (-∞;-17) & (-17; + ∞) vai b>-17 & b<-17, или b≠-17, что значит - выражение имеет смысл при всех b, кроме -17.

2) b є (-∞;25) & (25; + ∞) vai b> 25 & b<25, или b≠25, что значит - выражение имеет смысл при всех b кроме 25.

4. piemērs.

Ar kādām vērtībām tālāk norādītajai izteiksmei nebūs jēgas?

Otrā iekava ir vienāda ar nulli, ja spēle ir vienāda ar -3.

Atbilde: y=-3

4. piemērs.

Kurai no izteiksmēm nav jēgas tikai pie x = -14?

1) 14:(x - 14);

2) (3+8x):(14+x);

3) (x/(14+x)):(7/8)).

2 un 3, jo pirmajā gadījumā, ja aizstājat x = -14, tad otrā iekava būs vienāda ar -28, nevis nulle, kā tas izklausās bezjēdzīgas izteiksmes definīcijā.

5. piemērs.

Izdomājiet un pierakstiet izteiksmi, kurai nav jēgas.

18/(2-46+17-33+45+15).

Algebriskas izteiksmes ar diviem mainīgajiem

Neskatoties uz to, ka visiem izteicieniem, kuriem nav jēgas, ir viena un tā pati būtība, ir dažādi to sarežģītības līmeņi. Tātad, mēs varam teikt, ka skaitliskie ir vienkārši piemēri, jo tie ir vieglāki nekā algebriskie. Mainīgo lielumu skaits pēdējā palielina risināšanas grūtības. Bet tiem nevajadzētu būt mulsinošam pēc izskata: galvenais ir atcerēties vispārējo risinājuma principu un to pielietot neatkarīgi no tā, vai piemērs ir līdzīgs standarta problēmai vai tam ir kādi nezināmi papildinājumi.

Piemēram, var rasties jautājums, kā atrisināt šādu uzdevumu.

Atrodiet un pierakstiet skaitļu pāri, kas ir nederīgi izteiksmei:

(x3 - x2y3 + 13x - 38g)/(12x2 - y).

Iespējamās atbildes:

Bet patiesībā tas tikai izskatās biedējoši un apgrūtinoši, jo patiesībā tajā ir tas, kas ir zināms jau sen: kvadrātveida un kubu skaitļi, dažas aritmētiskas darbības, piemēram, dalīšana, reizināšana, atņemšana un saskaitīšana. Ērtības labad, starp citu, problēmu var samazināt līdz daļējai formai.

Iegūtās daļas skaitītājs nav apmierināts: (x3 - x2y3 + 13x - 38y). Tas ir fakts. Bet ir vēl viens laimes iemesls: jums pat nav jāpieskaras, lai atrisinātu uzdevumu! Saskaņā ar iepriekš apspriesto definīciju jūs nevarat dalīt ar nulli, un tas, kas tieši tiks dalīts ar to, ir pilnīgi mazsvarīgi. Tāpēc mēs atstājam šo izteiksmi nemainīgu un aizstājam skaitļu pārus no šīm opcijām saucējā. Jau trešais punkts lieliski iederas, pārvēršot nelielu kronšteinu par nulli. Bet tur apstāties ir slikts ieteikums, jo varētu būt piemērots kaut kas cits. Patiešām: arī piektais punkts labi iederas un atbilst apstākļiem.

Mēs pierakstām atbildi: 3 un 5.

Nobeigumā

Kā redzat, šī tēma ir ļoti interesanta un nav īpaši sarežģīta. To izdomāt nebūs grūti. Bet tas nekad nenāk par ļaunu praktizēt pāris piemērus!

Studējot tēmu par ciparu, burtu izteiksmēm un izteicieniem ar mainīgajiem, jums jāpievērš uzmanība jēdzienam izteiksmes vērtība. Šajā rakstā mēs atbildēsim uz jautājumu, kāda ir skaitliskās izteiksmes vērtība un ko sauc par burtiskās izteiksmes vērtību un izteiksmi ar mainīgajiem atlasītajām mainīgo vērtībām. Lai precizētu šīs definīcijas, mēs sniedzam piemērus.

Lapas navigācija.

Kāda ir skaitliskās izteiksmes vērtība?

Iepazīšanās ar skaitliskām izteiksmēm sākas gandrīz no pirmajām matemātikas stundām skolā. Gandrīz uzreiz tiek ieviests jēdziens “skaitliskās izteiksmes vērtība”. Tas attiecas uz izteiksmēm, kas sastāv no skaitļiem, kas savienoti ar aritmētisko darbību zīmēm (+, −, ·, :). Sniegsim atbilstošo definīciju.

Definīcija.

Skaitliskās izteiksmes vērtība– tas ir skaitlis, kas tiek iegūts pēc visu darbību veikšanas sākotnējā skaitliskā izteiksmē.

Piemēram, apsveriet skaitlisko izteiksmi 1+2. Pabeidzot, mēs iegūstam skaitli 3, kas ir skaitliskās izteiksmes 1+2 vērtība.

Bieži vien frāzē “skaitliskās izteiksmes nozīme” vārds “ciparu” tiek izlaists un vienkārši tiek pateikts “izteikuma nozīme”, jo joprojām ir skaidrs, par kādu izteiciena nozīmi tiek runāts.

Iepriekš minētā izteiksmes nozīmes definīcija attiecas arī uz sarežģītāka tipa skaitliskām izteiksmēm, kuras tiek apgūtas vidusskolā. Šeit jāatzīmē, ka jūs varat saskarties ar skaitliskām izteiksmēm, kuru vērtības nevar norādīt. Tas ir tāpēc, ka dažos izteicienos nav iespējams veikt ierakstītās darbības. Piemēram, tāpēc mēs nevaram norādīt izteiksmes vērtību 3:(2−2) . Tādas skaitliskās izteiksmes sauc izteicieni, kuriem nav jēgas.

Bieži vien praksē interesē ne tik daudz skaitliskā izteiksme, cik tās nozīme. Tas nozīmē, ka rodas uzdevums noteikt dotā izteiksmes nozīmi. Šajā gadījumā viņi parasti saka, ka jums ir jāatrod izteiksmes vērtība. Šajā rakstā detalizēti aplūkots dažādu veidu skaitlisko izteiksmju vērtību atrašanas process, kā arī aplūkoti daudzi piemēri ar detalizētiem risinājumu aprakstiem.

Literāro un mainīgo izteicienu nozīme

Papildus skaitliskām izteiksmēm tiek pētītas burtiskās izteiksmes, tas ir, izteiksmes, kurās kopā ar cipariem ir viens vai vairāki burti. Burti burtiskā izteiksmē var attēlot dažādus skaitļus, un, ja burti tiek aizstāti ar šiem cipariem, burtiskā izteiksme kļūst par skaitlisku izteiksmi.

Definīcija.

Tiek saukti skaitļi, kas aizstāj burtus burtiskā izteiksmē šo burtu nozīme, un tiek izsaukta iegūtās skaitliskās izteiksmes vērtība burtu izteiksmes vērtība dotajām burtu vērtībām.

Tātad par burtiskiem izteicieniem runā ne tikai par burtiskā izteiksmes nozīmi, bet arī par burtiskā izteiksmes nozīmi, ņemot vērā burtu dotās (dotās, norādītās utt.) vērtības.

Sniegsim piemēru. Ņemsim burtisku izteiksmi 2·a+b. Dotas burtu a un b vērtības, piemēram, a=1 un b=6. Aizstājot burtus sākotnējā izteiksmē ar to vērtībām, iegūstam skaitlisko izteiksmi formā 2·1+6, tās vērtība ir 8. Tādējādi skaitlis 8 ir burtu izteiksmes 2·a+b vērtība dotajām burtu a=1 un b=6 vērtībām. Ja tiktu norādītas citas burtu vērtības, mēs iegūtu burtu izteiksmes vērtību šīm burtu vērtībām. Piemēram, ar a=5 un b=1 mums ir vērtība 2·5+1=11.

Vidusskolas algebrā burtiem burtu izteiksmēs ir atļauts iegūt dažādas nozīmes, šādus burtus sauc par mainīgajiem, bet burtu izteiksmes sauc par izteiksmēm ar mainīgajiem. Šīm izteiksmēm izvēlētajām mainīgo vērtībām tiek ieviests izteiksmes vērtības jēdziens ar mainīgajiem. Noskaidrosim, kas tas ir.

Definīcija.

Izteiksmes vērtība ar mainīgajiem atlasītajām mainīgo vērtībām ir skaitliskās izteiksmes vērtība, kas iegūta pēc atlasīto mainīgo vērtību aizstāšanas sākotnējā izteiksmē.

Paskaidrosim norādīto definīciju ar piemēru. Aplūkosim izteiksmi ar mainīgajiem x un y formā 3·x·y+y. Ņemsim x=2 un y=4, aizstājam šīs mainīgās vērtības sākotnējā izteiksmē un iegūstam skaitlisko izteiksmi 3·2·4+4. Aprēķināsim šīs izteiksmes vērtību: 3·2·4+4=24+4=28. Atrastā vērtība 28 ir sākotnējās izteiksmes vērtība ar mainīgajiem 3·x·y+y izvēlētajām mainīgo x=2 un y=4 vērtībām.

Ja atlasāt citas mainīgā vērtības, piemēram, x=5 un y=0, tad šīs atlasītās mainīgā vērtības atbildīs mainīgā izteiksmes vērtībai, kas vienāda ar 3·5·0+0=0.

Var atzīmēt, ka dažkārt dažādas atlasītās mainīgo vērtības var radīt vienādas izteiksmes vērtības. Piemēram, ja x=9 un y=1 izteiksmes 3 x y+y vērtība ir 28 (kopš 3 9 1+1=27+1=28), un iepriekš mēs parādījām, ka tā pati vērtība ir izteiksme ar mainīgajiem ir x=2 un y=4 .

Mainīgās vērtības var izvēlēties no tām atbilstošajām vērtībām pieļaujamo vērtību diapazoni. Pretējā gadījumā, aizstājot šo mainīgo vērtības sākotnējā izteiksmē, jūs iegūsit skaitlisku izteiksmi, kurai nav jēgas. Piemēram, ja izvēlaties x=0 un aizstājat šo vērtību izteiksmē 1/x, jūs iegūsit skaitlisko izteiksmi 1/0, kam nav jēgas, jo dalīšana ar nulli nav definēta.

Atliek tikai piebilst, ka ir izteiksmes ar mainīgajiem, kuru vērtības nav atkarīgas no tajos iekļauto mainīgo vērtībām. Piemēram, izteiksmes vērtība ar mainīgo x formā 2+x−x nav atkarīga no šī mainīgā vērtības, tā ir vienāda ar 2 jebkurai mainīgā x vērtībai no tā pieļaujamo vērtību diapazona , kas šajā gadījumā ir visu reālo skaitļu kopa.

Atsauces.

• Matemātika: mācību grāmata 5. klasei. vispārējā izglītība iestādes / N. Ya Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. izd., dzēsts. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 lpp.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
• Algebra: mācību grāmata 7. klasei vispārējā izglītība iestādes / [Yu. N. Makaričevs, N. G. Mindjuks, K. I. Neškovs, S. B. Suvorova]; rediģēja S. A. Teļakovskis. - 17. izd. - M.: Izglītība, 2008. - 240 lpp. : slim. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: mācību grāmata 8. klasei. vispārējā izglītība iestādes / [Yu. N. Makaričevs, N. G. Mindjuks, K. I. Neškovs, S. B. Suvorova]; rediģēja S. A. Teļakovskis. - 16. izd. - M.: Izglītība, 2008. - 271 lpp. : slim. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Skaitliskā izteiksme– tas ir jebkurš skaitļu, aritmētisko simbolu un iekavu ieraksts. Skaitliskā izteiksme var vienkārši sastāvēt no viena skaitļa. Atcerieties, ka pamata aritmētiskās darbības ir “saskaitīšana”, “atņemšana”, “reizināšana” un “dalīšana”. Šīs darbības atbilst zīmēm “+”, “-”, “∙”, “:”.

Protams, lai mēs iegūtu skaitlisku izteiksmi, skaitļu un aritmētisko simbolu pierakstam ir jābūt jēgpilnam. Tā, piemēram, šādu ierakstu 5: + ∙ nevar saukt par skaitlisku izteiksmi, jo tā ir nejauša simbolu kopa, kurai nav nozīmes. Gluži pretēji, 5 + 8 ∙ 9 jau ir reāla skaitliska izteiksme.

Skaitliskās izteiksmes vērtība.

Uzreiz teiksim, ja veiksim darbības, kas norādītas skaitliskā izteiksmē, tad rezultātā iegūsim skaitli. Šo numuru sauc skaitliskās izteiksmes vērtība.

Mēģināsim aprēķināt, ko mēs iegūsim, veicot mūsu piemēra darbības. Atbilstoši aritmētisko darbību veikšanas secībai vispirms veicam reizināšanas darbību. Reiziniet 8 ar 9. Mēs iegūstam 72. Tagad pievienojiet 72 un 5. Mēs iegūstam 77.
Tātad, 77 - nozīmē skaitliskā izteiksme 5 + 8 ∙ 9.

Skaitliskā vienlīdzība.

Varat to uzrakstīt šādi: 5 + 8 ∙ 9 = 77. Šeit mēs pirmo reizi izmantojām zīmi “=” (“Vienāds”). Tiek izsaukts šāds apzīmējums, kurā divas skaitliskās izteiksmes ir atdalītas ar zīmi “=”. skaitliskā vienlīdzība. Turklāt, ja vienādības kreisās un labās puses vērtības sakrīt, tad vienlīdzību sauc uzticīgs. 5 + 8 ∙ 9 = 77 – pareiza vienlīdzība.
Ja mēs rakstām 5 + 8 ∙ 9 = 100, tad tas jau būs viltus vienlīdzība, jo šīs vienlīdzības kreisās un labās puses vērtības vairs nesakrīt.

Jāpiebilst, ka skaitliskā izteiksmē varam izmantot arī iekavas. Iekavas ietekmē darbību veikšanas secību. Tātad, piemēram, modificēsim mūsu piemēru, pievienojot iekavas: (5 + 8) ∙ 9. Tagad jums vispirms jāpievieno 5 un 8. Mēs iegūstam 13. Un pēc tam reiziniet 13 ar 9. Mēs iegūstam 117. Tādējādi (5) + 8) ∙ 9 = 117.
117 – nozīmē skaitliskā izteiksme (5 + 8) ∙ 9.

Lai pareizi nolasītu izteiksmi, jums ir jānosaka, kura darbība tiek veikta pēdējā, lai aprēķinātu dotās skaitliskās izteiksmes vērtību. Tātad, ja pēdējā darbība ir atņemšana, tad izteiksmi sauc par “starpību”. Attiecīgi, ja pēdējā darbība ir summa - “summa”, dalīšana – “daļņa”, reizināšana – “produkts”, kāpināšana – “jauda”.

Piemēram, skaitliskā izteiksme (1+5)(10-3) skan šādi: “skaitļu 1 un 5 summas un skaitļu 10 un 3 starpības reizinājums”.

Skaitlisko izteiksmju piemēri.

Šeit ir sarežģītākas skaitliskās izteiksmes piemērs:

\[\left(\frac(1)(4)+3.75 \right):\frac(1.25+3.47+4.75-1.47)(4\centerdot 0.5)\]

Iekavās ir izteiksme $\frac(1)(4)+3.75$ . Pārvērtiet decimāldaļu 3,75 par parasto daļskaitli.

3,75 ASV dolāri=3\frac(75)(100)=3\frac(3)(4) $

Tātad, $\frac(1)(4)+3.75=\frac(1)(4)+3\frac(3)(4)=4$

Tālāk daļskaitļa skaitītājā \[\frac(1,25+3,47+4,75-1,47)(4\centerdot 0,5)\] mums ir izteiksme 1,25+3,47+4,75-1,47. Lai vienkāršotu šo izteiksmi, mēs izmantojam komutatīvo saskaitīšanas likumu, kas nosaka: "Summa nemainās, mainot terminu vietas." Tas ir, 1,25+3,47+4,75-1,47=1,25+4,75+3,47-1,47=6+2=8.

Daļas saucējā izteiksme $4\centerdot 0.5=4\centerdot \frac(1)(2)=4:2=2$

Mēs saņemam $\left(\frac(1)(4)+3.75 \right):\frac(1.25+3.47+4.75-1.47)(4\centerdot 0.5)=4: \frac(8)(2)=4:4 =1 $

Kad skaitliskām izteiksmēm nav jēgas?

Apskatīsim citu piemēru. Daļas saucējā $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$ izteiksmes $3\centerdot 3-9$ vērtība ir 0. Un, kā zināms, dalīšana ar nulli nav iespējama. Tāpēc daļai $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$ nav nozīmes. Tiek uzskatīts, ka skaitliskām izteiksmēm, kurām nav nozīmes, “nav nozīmes”.

Ja skaitliskā izteiksmē papildus cipariem izmantosim arī burtus, tad būs