Sveicināti, kaķi! Iepriekšējā reizē mēs detalizēti apspriedām, kas ir saknes (ja neatceraties, iesaku izlasīt). Galvenā atziņa no šīs nodarbības: ir tikai viena universāla sakņu definīcija, kas jums jāzina. Pārējais ir muļķības un laika izšķiešana.

Šodien mēs ejam tālāk. Mācīsimies reizināt saknes, pētīsim dažas problēmas, kas saistītas ar reizināšanu (ja šīs problēmas netiks atrisinātas, tās var kļūt liktenīgas eksāmenā) un pareizi praktizēsimies. Uzkrāj popkornu, iekārtojies ērti un sāksim :)

Arī tu to vēl neesi smēķējis, vai ne?

Nodarbība izvērtās diezgan gara, tāpēc sadalīju to divās daļās:

1. Vispirms apskatīsim reizināšanas noteikumus. Šķiet, ka vāciņš dod mājienu: tas ir tad, kad ir divas saknes, starp tām ir zīme “reizināt” - un mēs vēlamies ar to kaut ko darīt.
2. Tad paskatīsimies uz pretējo situāciju: ir viena liela sakne, bet mēs vēlējāmies to attēlot kā divu vienkāršāku sakņu produktu. Kāpēc tas ir nepieciešams, ir atsevišķs jautājums. Mēs analizēsim tikai algoritmu.

Tie, kas nevar sagaidīt, lai nekavējoties pārietu uz otro daļu, laipni lūdzam. Sāksim ar pārējo secībā.

Reizināšanas pamatnoteikums

Sāksim ar vienkāršāko lietu – klasiskajām kvadrātsaknēm. Tie paši, kas apzīmēti ar $\sqrt(a)$ un $\sqrt(b)$. Viņiem viss ir skaidrs:

Reizināšanas noteikums. Lai reizinātu vienu kvadrātsakni ar citu, jums vienkārši jāreizina to radikālās izteiksmes un jāieraksta rezultāts zem kopējā radikāļa:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

Labajā vai kreisajā pusē esošajiem skaitļiem netiek noteikti nekādi papildu ierobežojumi: ja pastāv saknes faktori, tad pastāv arī produkts.

Piemēri. Apskatīsim uzreiz četrus piemērus ar skaitļiem:

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(līdzināt)\]

Kā redzat, šī noteikuma galvenā nozīme ir iracionālu izteicienu vienkāršošana. Un, ja pirmajā piemērā mēs paši būtu izvilkuši 25 un 4 saknes bez jauniem noteikumiem, tad lietas kļūst sarežģītas: $\sqrt(32)$ un $\sqrt(2)$ netiek uzskatīti par sevi, bet to reizinājums izrādās ideāls kvadrāts, tāpēc tā sakne ir vienāda ar racionālu skaitli.

Īpaši vēlos izcelt pēdējo rindiņu. Tur abas radikālas izteiksmes ir daļskaitļi. Pateicoties produktam, daudzi faktori tiek atcelti, un visa izteiksme pārvēršas par atbilstošu skaitli.

Protams, ne vienmēr viss būs tik skaisti. Reizēm zem saknēm būs pilnīgs bardaks – nav skaidrs, ko ar to darīt un kā pārveidot pēc pavairošanas. Nedaudz vēlāk, kad sāksi pētīt iracionālos vienādojumus un nevienādības, būs visādi mainīgie un funkcijas. Un ļoti bieži problēmu rakstītāji paļaujas uz to, ka jūs atklāsiet dažus atcelšanas nosacījumus vai faktorus, pēc kuriem problēma tiks daudzkārt vienkāršota.

Turklāt nepavisam nav nepieciešams pavairot tieši divas saknes. Jūs varat reizināt trīs, četrus vai pat desmit uzreiz! Tas nemainīs noteikumu. Paskaties:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(līdzināt)\]

Un atkal maza piezīme saskaņā ar otro piemēru. Kā redzat, trešajā faktorā zem saknes ir decimāldaļdaļa - aprēķinu procesā mēs to aizstājam ar parasto, pēc kura viss tiek viegli samazināts. Tātad: es ļoti iesaku atbrīvoties no decimāldaļskaitļiem jebkurās neracionālās izteiksmēs (t.i., kurās ir vismaz viens radikāls simbols). Tas nākotnē ietaupīs daudz laika un nervu.

Bet šī bija liriska atkāpe. Tagad apskatīsim vairāk vispārējs gadījums- kad saknes indikators ir patvaļīgs skaitlis$n$, un ne tikai divi “klasiski”.

Patvaļīga rādītāja gadījums

Tātad, ar kvadrātsaknes izdomāju. Ko darīt ar kubiskajiem? Vai pat ar patvaļīgas pakāpes saknēm $n$? Jā, viss ir vienāds. Noteikums paliek nemainīgs:

Lai reizinātu divas saknes ar pakāpi $n$, pietiek reizināt to radikālas izteiksmes un pēc tam rezultātu ierakstīt zem viena radikāļa.

Kopumā nekas sarežģīts. Izņemot to, ka aprēķinu apjoms var būt lielāks. Apskatīsim pāris piemērus:

Piemēri. Aprēķināt produktus:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0.16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\ frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3)) ))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(līdzināt)\]

Un atkal uzmanība otrajam izteicienam. Mēs vairojam kubu saknes, atbrīvoties no decimālzīme un rezultātā mēs iegūstam skaitļu 625 un 25 reizinājumu saucējā Tas ir diezgan liels skaits- Personīgi es nevaru uzreiz aprēķināt, ar ko tas ir vienāds.

Tāpēc mēs vienkārši izolējām precīzu kubu skaitītājā un saucējā un pēc tam izmantojām vienu no $n$th saknes galvenajām īpašībām (vai, ja vēlaties, definīciju):

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\left| a\right|. \\ \end(līdzināt)\]

Šādas “mahinācijas” var ietaupīt daudz laika eksāmenā vai pārbaudes darbs, tāpēc atcerieties:

Nesteidzieties reizināt skaitļus, izmantojot radikālas izteiksmes. Vispirms pārbaudiet: ja nu tur ir “šifrēta” precīza jebkuras izteiksmes pakāpe?

Neskatoties uz šīs piezīmes acīmredzamību, man jāatzīst, ka lielākā daļa nesagatavotu studentu neredz precīzus grādus tukšajā diapazonā. Tā vietā viņi visu reizina un tad brīnās: kāpēc viņi ieguva tik brutālus skaitļus?

Tomēr tas viss ir mazuļu runāšana, salīdzinot ar to, ko mēs tagad pētīsim.

Sakņu reizināšana ar dažādiem eksponentiem

Labi, tagad mēs varam reizināt saknes ar tiem pašiem rādītājiem. Ko darīt, ja rādītāji atšķiras? Teiksim, kā reizināt parastu $\sqrt(2)$ ar tādu muļķību kā $\sqrt(23)$? Vai to vispār ir iespējams izdarīt?

Jā protams var. Viss tiek darīts pēc šādas formulas:

Noteikums par sakņu pavairošanu. Lai reizinātu $\sqrt[n](a)$ ar $\sqrt[p](b)$, pietiek ar šādu pārveidošanu:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Tomēr šī formula darbojas tikai tad, ja radikālas izteiksmes nav negatīvas. Šī ir ļoti svarīga piezīme, pie kuras mēs atgriezīsimies nedaudz vēlāk.

Pagaidām apskatīsim pāris piemērus:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot 8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \end(līdzināt)\]

Kā redzat, nekas sarežģīts. Tagad izdomāsim, no kurienes radusies nenegatīvisma prasība un kas notiks, ja to pārkāpsim :)

Kāpēc radikālām izteiksmēm jābūt nenegatīvām?

Protams, tu vari būt līdzīgs skolas skolotāji un ar gudru izskatu citējiet mācību grāmatu:

Nenegatīvisma prasība ir saistīta ar dažādām pāra un nepāra pakāpes sakņu definīcijām (attiecīgi arī to definīcijas jomas ir atšķirīgas).

Nu ir kļuvis skaidrāks? Personīgi, lasot šīs muļķības 8. klasē, es sapratu apmēram tā: "Nenegatīvisma prasība ir saistīta ar *#&^@(*#@^#)~%" - īsi sakot, es sapratu. tajā laikā neko nesapratu. :)

Tāpēc tagad es visu izskaidrošu normālā veidā.

Vispirms noskaidrosim, no kurienes nāk iepriekš minētā reizināšanas formula. Lai to izdarītu, ļaujiet man atgādināt vienu svarīgu saknes īpašību:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Citiem vārdiem sakot, mēs varam viegli paaugstināt radikālo izteiksmi uz jebkuru dabiskais grāds$k$ - šajā gadījumā saknes eksponents būs jāreizina ar tādu pašu jaudu. Tāpēc mēs varam viegli reducēt jebkuras saknes līdz kopējam eksponentam un pēc tam tās reizināt. Šeit nāk reizināšanas formula:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Bet ir viena problēma, kas krasi ierobežo visu šo formulu izmantošanu. Apsveriet šo skaitli:

Saskaņā ar tikko doto formulu mēs varam pievienot jebkuru grādu. Mēģināsim pievienot $k=2$:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

Mīnusu noņēmām tieši tāpēc, ka kvadrāts sadedzina mīnusu (tāpat kā jebkura cita pāra pakāpe). Tagad veiksim apgriezto transformāciju: “samaziniet” divus eksponentā un jaudā. Galu galā jebkuru vienlīdzību var lasīt gan no kreisās uz labo, gan no labās uz kreiso:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\bultiņa pa labi \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](a); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \end(līdzināt)\]

Bet tad izrādās, ka tās ir kaut kādas muļķības:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

Tas nevar notikt, jo $\sqrt(-5) \lt 0$ un $\sqrt(5) \gt 0$. Tas nozīmē, ka pāra pakāpēm un negatīviem skaitļiem mūsu formula vairs nedarbojas. Pēc tam mums ir divas iespējas:

1. Sit sienu un apgalvot, ka matemātika ir stulba zinātne, kur “ir daži noteikumi, bet tie ir neprecīzi”;
2. Ieviest papildu ierobežojumus, saskaņā ar kuriem formula kļūs 100% efektīva.

Pirmajā variantā mums būs pastāvīgi jāķer “nestrādājoši” gadījumi - tas ir sarežģīti, laikietilpīgi un parasti ir slikti. Tāpēc matemātiķi deva priekšroku otrajam variantam :)

Bet neuztraucieties! Praksē šis ierobežojums nekādi neietekmē aprēķinus, jo visas aprakstītās problēmas attiecas tikai uz nepāra pakāpes saknēm, un no tām var ņemt mīnusus.

Tāpēc formulēsim vēl vienu noteikumu, kas kopumā attiecas uz visām darbībām ar saknēm:

Pirms sakņu pavairošanas pārliecinieties, ka radikālās izteiksmes nav negatīvas.

Piemērs. Skaitlī $\sqrt(-5)$ varat noņemt mīnusu zem saknes zīmes - tad viss būs normāli:

\[\begin(salīdzināt) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\bultiņa pa labi \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(līdzināt)\]

Vai jūtat atšķirību? Ja atstājat mīnusu zem saknes, tad, kad radikālā izteiksme ir kvadrātā, tā pazudīs, un sāksies blēņas. Un, ja vispirms izņemat mīnusu, tad varat izveidot/noņemt kvadrātu, līdz kļūstat zils - skaitlis paliks negatīvs :)

Tādējādi vispareizākais un visvairāk uzticams veids sakņu reizināšana ir šāda:

1. Noņemiet visus negatīvos no radikāļiem. Mīnusi pastāv tikai nepāra daudzveidības saknēs - tos var novietot saknes priekšā un, ja nepieciešams, samazināt (piemēram, ja ir divi no šiem mīnusiem).
2. Veiciet reizināšanu saskaņā ar noteikumiem, kas tika apspriesti iepriekš šodienas nodarbībā. Ja sakņu rādītāji ir vienādi, mēs vienkārši reizinām radikālas izteiksmes. Un, ja tie atšķiras, mēs izmantojam ļaunuma formulu \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
3. 3.Izbaudi rezultātu un labas atzīmes. :)

Nu? Praktizēsimies?

1. piemērs. Vienkāršojiet izteiksmi:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3) ) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=- \ sqrt(64)=-4; \end(līdzināt)\]

Šis ir vienkāršākais variants: saknes ir vienādas un nepāra, vienīgā problēma ir tā, ka otrais faktors ir negatīvs. Mēs izņemam šo mīnusu no attēla, pēc kura viss ir viegli aprēķināts.

2. piemērs. Vienkāršojiet izteiksmi:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( līdzināt)\]

Šeit daudzus mulsinātu fakts, ka iznākums izrādījās neracionāls skaitlis. Jā, tas notiek: mēs nevarējām pilnībā atbrīvoties no saknes, bet vismaz mēs ievērojami vienkāršojām izteiksmi.

3. piemērs. Vienkāršojiet izteiksmi:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left(((() a)^(4)) \labais))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(līdzināt)\]

Es vēlos pievērst jūsu uzmanību šim uzdevumam. Šeit ir divi punkti:

1. Sakne nav konkrēts skaitlis vai pakāpe, bet gan mainīgais $a$. No pirmā acu uzmetiena tas ir nedaudz neparasti, taču patiesībā, risinot matemātikas uzdevumus, visbiežāk nākas saskarties ar mainīgajiem.
2. Galu galā mums izdevās “samazināt” radikālo rādītāju un radikālas izteiksmes pakāpi. Tas notiek diezgan bieži. Un tas nozīmē, ka bija iespējams ievērojami vienkāršot aprēķinus, ja neizmantojāt pamatformulu.

Piemēram, varat rīkoties šādi:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a)^() 4)) \labais))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \\beigt(līdzināt)\]

Faktiski visas transformācijas tika veiktas tikai ar otro radikāli. Un, ja jūs detalizēti neaprakstīsit visus starpposmus, tad galu galā aprēķinu apjoms tiks ievērojami samazināts.

Faktiski mēs jau esam saskārušies ar līdzīgu uzdevumu iepriekš, kad atrisinājām piemēru $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Tagad to var uzrakstīt daudz vienkāršāk:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \end(līdzināt)\]

Nu, mēs esam sakārtojuši sakņu pavairošanu. Tagad apsveriet apgriezto darbību: ko darīt, ja zem saknes ir produkts?

Skaitļa kvadrantsaknes izvilkšana nav vienīgā darbība, ko var veikt ar šo matemātisko parādību. Tāpat kā parastie skaitļi, kvadrātsaknes saskaita un atņem.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kvadrātsakņu pievienošanas un atņemšanas noteikumi

Tādas darbības kā kvadrātsakņu saskaitīšana un atņemšana ir iespējamas tikai tad, ja radikālā izteiksme ir vienāda.

1. piemērs

Varat pievienot vai atņemt izteiksmes 2 3 un 6 3, bet ne 56 Un 9 4. Ja ir iespējams vienkāršot izteiksmi un reducēt to līdz saknēm ar to pašu radikāli, tad vienkāršojiet un pēc tam pievienojiet vai atņemiet.

Darbības ar saknēm: pamati

6 50 - 2 8 + 5 12

Darbības algoritms:

1. Vienkāršojiet radikālo izteiksmi. Lai to izdarītu, radikālā izteiksme ir jāsadala 2 faktoros, no kuriem viens ir kvadrātskaitlis (skaitlis, no kura tiek iegūta visa kvadrātsakne, piemēram, 25 vai 9).
2. Tad jums ir jāņem kvadrāta skaitļa sakne un ierakstiet iegūto vērtību pirms saknes zīmes. Lūdzu, ņemiet vērā, ka otrais faktors tiek ievadīts zem saknes zīmes.
3. Pēc vienkāršošanas procesa ir nepieciešams uzsvērt saknes ar vienādām radikālām izteiksmēm - tikai tās var pievienot un atņemt.
4. Saknēm ar vienādām radikālām izteiksmēm ir nepieciešams pievienot vai atņemt faktorus, kas parādās pirms saknes zīmes. Radikālā izteiksme paliek nemainīga. Jūs nevarat pievienot vai atņemt radikālus skaitļus!

1. padoms

Ja jums ir piemērs ar liels skaits identiskas radikālas izteiksmes, tad pasvītrojiet šādas izteiksmes ar vienu, dubultu un trīskāršu līniju, lai atvieglotu aprēķina procesu.

3. piemērs

Mēģināsim atrisināt šo piemēru:

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2. Vispirms jums jāsadala 50 2 faktoros 25 un 2, pēc tam ņem 25 sakni, kas ir vienāda ar 5, un 5 no saknes apakšas. Pēc tam jums jāreizina 5 ar 6 (koeficients saknē) un jāsaņem 30 2.

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2. Vispirms jums ir jāsadala 8 2 faktoros: 4 un 2. Pēc tam ņemiet sakni no 4, kas ir vienāds ar 2, un izņemiet 2 no zem saknes. Pēc tam jums jāreizina 2 ar 2 (koeficients saknē) un jāsaņem 4 2.

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3. Vispirms jums ir jāsadala 12 2 faktoros: 4 un 3. Pēc tam izņemiet 4 sakni, kas ir vienāda ar 2, un noņemiet to no saknes. Pēc tam jums jāreizina 2 ar 5 (koeficients saknē) un jāsaņem 10 3.

Vienkāršošanas rezultāts: 30 2 - 4 2 + 10 3

30 2 - 4 2 + 10 3 = (30 - 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

Rezultātā mēs redzējām, cik daudz identisku radikālu izteiksmju satur šajā piemērā. Tagad praktizēsimies ar citiem piemēriem.

4. piemērs

• Vienkāršosim (45) . Koeficients 45: (45) = (9 × 5) ;
• Mēs izņemam 3 no zem saknes (9 = 3): 45 = 3 5;
• Saskaitiet faktorus saknēs: 3 5 + 4 5 = 7 5.

5. piemērs

6 40 - 3 10 + 5:

• Vienkāršosim 6 40. Mēs koeficientu 40: 6 40 = 6 (4 × 10) ;
• Mēs izņemam 2 no zem saknes (4 = 2): 6 40 = 6 (4 × 10) = (6 × 2) 10 ;
• Sareizinām faktorus, kas parādās saknes priekšā: 12 10 ;
• Izteicienu rakstām vienkāršotā formā: 12 10 - 3 10 + 5 ;
• Tā kā pirmajiem diviem terminiem ir vienādi radikālie skaitļi, mēs varam tos atņemt: (12 - 3) 10 = 9 10 + 5.

6. piemērs

Kā redzam, radikālos skaitļus nav iespējams vienkāršot, tāpēc piemērā meklējam terminus ar vienādiem radikāļiem, veicam matemātiskas darbības (saskaitām, atņemam utt.) un ierakstām rezultātu:

(9 - 4) 5 - 2 3 = 5 5 - 2 3 .

Padoms:

• Pirms pievienošanas vai atņemšanas ir jāvienkāršo (ja iespējams) radikālas izteiksmes.
• Sakņu pievienošana un atņemšana ar dažādām radikālām izteiksmēm ir stingri aizliegta.
• Nedrīkst pievienot vai atņemt veselu skaitli vai sakni: 3 + (2 x) 1/2 .
• Veicot darbības ar daļskaitļiem, jāatrod skaitlis, kas dalās ar katru saucēju, pēc tam jāsamazina daļskaitļi līdz kopsaucējs, pēc tam pievienojiet skaitītājus un atstājiet saucējus nemainīgus.

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Jūsu privātuma saglabāšana mums ir svarīga. Šī iemesla dēļ mēs esam izstrādājuši Privātuma politiku, kurā aprakstīts, kā mēs izmantojam un uzglabājam jūsu informāciju. Lūdzu, pārskatiet mūsu privātuma praksi un informējiet mūs, ja jums ir kādi jautājumi.

Personiskās informācijas vākšana un izmantošana

Personiskā informācija attiecas uz datiem, kurus var izmantot, lai identificētu vai sazinātos ar konkrētu personu.

Jums var tikt lūgts sniegt savu personisko informāciju jebkurā laikā, kad sazināsieties ar mums.

Tālāk ir sniegti daži piemēri par to, kāda veida personas informāciju mēs varam vākt un kā mēs varam izmantot šādu informāciju.

Kādu personas informāciju mēs apkopojam:

• Kad jūs iesniedzat pieprasījumu vietnē, mēs varam apkopot dažādu informāciju, tostarp jūsu vārdu, tālruņa numuru, adresi e-pasts utt.

Kā mēs izmantojam jūsu personisko informāciju:

• Mūsu apkopotā personas informācija ļauj mums sazināties ar jums un informēt jūs par unikālus piedāvājumus, akcijas un citi pasākumi un gaidāmie pasākumi.
• Laiku pa laikam mēs varam izmantot jūsu personisko informāciju, lai nosūtītu svarīgus paziņojumus un paziņojumus.
• Mēs varam izmantot personas informāciju arī iekšējiem mērķiem, piemēram, auditu, datu analīzes un dažādu pētījumu veikšanai, lai uzlabotu mūsu sniegtos pakalpojumus un sniegtu jums ieteikumus par mūsu pakalpojumiem.
• Ja jūs piedalāties balvu izlozē, konkursā vai līdzīgā akcijā, mēs varam izmantot jūsu sniegto informāciju šādu programmu administrēšanai.

Informācijas izpaušana trešajām personām

Mēs neizpaužam no jums saņemto informāciju trešajām personām.

Izņēmumi:

• Nepieciešamības gadījumā - likumā noteiktajā kārtībā, tiesvedības kārtībā, in tiesa, un/vai pamatojoties uz publiskiem pieprasījumiem vai Krievijas Federācijas valdības aģentūru pieprasījumiem - izpaust savu personisko informāciju. Mēs varam arī izpaust informāciju par jums, ja konstatēsim, ka šāda izpaušana ir nepieciešama vai piemērota drošības, tiesībaizsardzības vai citiem sabiedrībai svarīgiem mērķiem.
• Reorganizācijas, apvienošanas vai pārdošanas gadījumā mēs varam nodot mūsu apkopoto personas informāciju attiecīgajai pēctecei trešajai pusei.

Personiskās informācijas aizsardzība

Mēs veicam piesardzības pasākumus, tostarp administratīvus, tehniskus un fiziskus, lai aizsargātu jūsu personisko informāciju pret pazaudēšanu, zādzību un ļaunprātīgu izmantošanu, kā arī no nesankcionētas piekļuves, izpaušanas, pārveidošanas un iznīcināšanas.

Jūsu privātuma ievērošana uzņēmuma līmenī

Lai nodrošinātu jūsu personiskās informācijas drošību, mēs saviem darbiniekiem paziņojam par privātuma un drošības standartiem un stingri īstenojam privātuma praksi.

Vienkāršākais veids, kā no skaitļa atņemt sakni, ir ar kalkulatoru. Bet, ja jums nav kalkulatora, jums jāzina kvadrātsaknes aprēķināšanas algoritms. Fakts ir tāds, ka zem saknes ir skaitlis kvadrātā. Piemēram, 4 kvadrātā ir 16. Tas ir, kvadrātsakne no 16 būs vienāda ar četriem. Arī 5 kvadrātā ir 25. Tāpēc 25 sakne būs 5. Un tā tālāk.

Ja skaitlis ir mazs, tad to var viegli atņemt mutiski, piemēram, 25 sakne būs vienāda ar 5, bet sakne no 144-12. Jūs varat arī aprēķināt uz kalkulatora, jums ir jāievada numurs un jānoklikšķina uz ikonas;

Kvadrātsakņu tabula palīdzēs arī:

Ir arī sarežģītākas, bet ļoti efektīvas metodes:

Jebkura skaitļa sakni var atņemt, izmantojot kalkulatoru, jo īpaši tāpēc, ka mūsdienās tie ir pieejami katrā tālrunī.

Varat mēģināt aptuveni novērtēt, kā var izrādīties dotais skaitlis, reizinot vienu skaitli ar sevi.



Skaitļa kvadrātsaknes aprēķināšana nav grūta, it īpaši, ja jums ir īpaša tabula. No algebras stundām labi pazīstama tabula. Šo darbību sauc par skaitļa kvadrātsaknes ņemšanu, citiem vārdiem sakot, vienādojuma atrisināšanu. Gandrīz visiem viedtālruņu kalkulatoriem ir funkcija kvadrātsaknes noteikšanai.



Zināma skaitļa kvadrātsaknes ņemšanas rezultāts būs cits skaitlis, kas, paaugstinot līdz otrajai pakāpei (kvadrāts), iegūs to pašu skaitli, ko mēs zinām. Apskatīsim vienu no aprēķinu aprakstiem, kas šķiet īss un skaidrs:







Šeit ir video par šo tēmu:

Ir vairāki veidi, kā aprēķināt skaitļa kvadrātsakni.

Populārākais veids ir izmantot īpašu sakņu tabulu (skatīt zemāk).

Tāpat katram kalkulatoram ir funkcija, ar kuru var uzzināt sakni.

Vai arī izmantojot īpašu formulu.



Ir vairāki veidi, kā iegūt skaitļa kvadrātsakni. Viens no tiem ir ātrākais, izmantojot kalkulatoru.

Bet, ja jums nav kalkulatora, varat to izdarīt manuāli.

Rezultāts būs precīzs.

Princips ir gandrīz tāds pats kā dalīšana ar kolonnu:



















Mēģināsim atrast skaitļa kvadrātsakni bez kalkulatora, piemēram, 190969.







Tādējādi viss ir ārkārtīgi vienkārši. Aprēķinos galvenais ir ievērot noteiktu vienkārši noteikumi un domā loģiski.

Šim nolūkam ir nepieciešama kvadrātu tabula



Piemēram, sakne no 100 = 10, no 20 = 400 no 43 = 1849

Tagad gandrīz visi kalkulatori, tostarp viedtālruņos, var aprēķināt skaitļa kvadrātsakni. BET, ja jums nav kalkulatora, varat atrast skaitļa sakni vairākos vienkāršos veidos:

Sadalīšanās par galvenie faktori



Reaģējiet radikālo skaitli faktoros, kas ir kvadrātskaitļi. Atkarībā no radikālā skaitļa jūs saņemsiet aptuvenu vai precīzu atbildi. Kvadrātskaitļi ir skaitļi, no kuriem var ņemt visu kvadrātsakni. Skaitļa koeficienti, kurus reizinot, iegūst sākotnējo skaitli. Piemēram, skaitļa 8 faktori ir 2 un 4, jo 2 x 4 = 8, skaitļi 25, 36, 49 ir ​​kvadrātskaitļi, jo 25 = 5, 36 = 6, 49 = 7. Kvadrātveida koeficienti ir faktori, kas ir kvadrātveida skaitļi. Vispirms mēģiniet saskaitīt radikālo skaitli kvadrātveida faktoros.

Piemēram, aprēķiniet kvadrātsakni no 400 (ar roku). Vispirms mēģiniet ieskaitīt 400 kvadrātveida koeficientos. 400 ir 100 reizinātājs, tas ir, dalās ar 25 ir kvadrātskaitlis. Dalot 400 ar 25, iegūstat 16, kas arī ir kvadrāta skaitlis. Tādējādi 400 var ieskaitīt kvadrāta koeficientos 25 un 16, tas ir, 25 x 16 = 400.

Pierakstiet to šādi: 400 = (25 x 16).



Dažu terminu reizinājuma kvadrātsakne ir vienāda ar katra termina kvadrātsakņu reizinājumu, tas ir, (a x b) = a x b. Izmantojot šo noteikumu, ņemiet kvadrātsakni no katra kvadrātveida koeficienta un reiziniet rezultātus, lai atrastu atbildi.

Mūsu piemērā ņemiet sakni no 25 un 16.



Ja radikālais skaitlis nesadalās divos kvadrātveida koeficients(un tas notiek vairumā gadījumu), jūs nevarēsit atrast precīzu atbildi vesela skaitļa formā. Bet jūs varat vienkāršot problēmu, sadalot radikālo skaitli kvadrātveida koeficientā un parastā faktorā (skaitlī, no kura nevar ņemt visu kvadrātsakni). Tad jūs ņemsit kvadrātsakni no kvadrātveida koeficienta un pieņemsit kopējā faktora sakni.

Piemēram, aprēķiniet skaitļa 147 kvadrātsakni. Skaitli 147 nevar ieskaitīt divos kvadrātfaktoros, bet to var iedalīt šādos faktoros: 49 un 3. Atrisiniet uzdevumu šādi:



Tagad varat novērtēt saknes vērtību (atrast aptuveno vērtību), salīdzinot to ar kvadrātskaitļu sakņu vērtībām, kas ir vistuvāk (abās skaitļu līnijas pusēs) radikālajam skaitlim. Jūs saņemsiet saknes vērtību kā decimāldaļu, kas jāreizina ar skaitli aiz saknes zīmes.

Atgriezīsimies pie mūsu piemēra. Radikālais skaitlis ir 3. Tam tuvākie kvadrātskaitļi būs skaitļi 1 (1 = 1) un 4 (4 = 2). Tādējādi vērtība 3 atrodas starp 1 un 2. Tā kā 3 vērtība, iespējams, ir tuvāk 2 nekā 1, mūsu aprēķins ir: 3 = 1,7. Mēs reizinām šo vērtību ar skaitli saknes zīmē: 7 x 1,7 = 11,9. Ja veicat matemātiku, izmantojot kalkulatoru, jūs iegūsit 12,13, kas ir diezgan tuvu mūsu atbildei.

Šī metode darbojas arī ar lielu skaitu. Piemēram, apsveriet 35. Radikālais skaitlis ir 35. Tam tuvākie kvadrāta skaitļi ir skaitļi 25 (25 = 5) un 36 (36 = 6). Tādējādi vērtība 35 atrodas starp 5 un 6. Tā kā vērtība 35 ir daudz tuvāka 6 nekā 5 (jo 35 ir tikai 1 mazāka par 36), mēs varam teikt, ka 35 ir nedaudz mazāka par 6. Pārbaude kalkulators mums sniedz atbildi 5,92 - mums bija taisnība.



Vēl viens veids ir radikālo skaitļu iekļaušana primārajos faktoros. Pirmfaktori skaitļiem, kas dalās tikai ar 1 un paši sevi. Uzrakstiet galvenos faktorus virknē un atrodiet identisku faktoru pārus. Šādus faktorus var izņemt no saknes zīmes.

Piemēram, aprēķiniet kvadrātsakni no 45. Radikālo skaitli veidojam primārajos faktoros: 45 = 9 x 5 un 9 = 3 x 3. Tādējādi 45 = (3 x 3 x 5). 3 var izņemt kā saknes zīmi: 45 = 35. Tagad varam novērtēt 5.

Apskatīsim citu piemēru: 88.

= (2 x 4 x 11)

= (2 x 2 x 2 x 11). Jūs saņēmāt trīs reizinātājus ar 2; paņemiet pāris no tiem un pārvietojiet tos tālāk par saknes zīmi.

2(2 x 11) = 22 x 11. Tagad varat novērtēt 2 un 11 un atrast aptuvenu atbildi.

Šis apmācības video var būt arī noderīgs:

Lai iegūtu skaitļa sakni, izmantojiet kalkulatoru vai, ja jums nav piemērota, iesaku doties uz šo vietni un atrisināt problēmu, izmantojot tiešsaistes kalkulators, kas sniegs pareizo vērtību sekundēs.

Sakņu saskaitīšana un atņemšana- viens no visizplatītākajiem “klupšanas akmeņiem” tiem, kuri vidusskolā apgūst matemātikas (algebras) kursus. Taču iemācīties tos pareizi saskaitīt un atņemt ir ļoti svarīgi, jo piemēri par sakņu summu vai starpību ir iekļauti Vienotā valsts eksāmena pamatpārbaudījuma programmā disciplīnā “matemātika”.

Lai apgūtu šādu piemēru risināšanu, ir vajadzīgas divas lietas - jāsaprot noteikumi un arī jāiegūst prakse. Atrisinājis vienu vai divus desmitus tipisku piemēru, students šo prasmi ieviesīs automātismā, un tad viņam vairs nebūs no kā baidīties vienotajā valsts eksāmenā. Aritmētiskās darbības ieteicams sākt apgūt ar saskaitīšanu, jo to saskaitīšana ir nedaudz vienkāršāka nekā atņemšana.

Vienkāršākais veids, kā to izskaidrot, ir izmantot kvadrātsakni kā piemēru. Matemātikā ir vispāratzīts termins “kvadrātēšana”. “Kvadrātēšana” nozīmē noteikta skaitļa vienreizēju reizināšanu ar sevi.. Piemēram, ja jūs kvadrātā 2, jūs saņemsiet 4. Ja jūs kvadrātā 7, jūs saņemsiet 49. Kvadrāts no 9 ir 81. Tātad kvadrātsakne no 4 ir 2, no 49 ir ​​7 un no 81 ir 9.

Parasti šīs tēmas mācīšana matemātikā sākas ar kvadrātsaknēm. Lai to nekavējoties noteiktu, students vidusskola reizināšanas tabula jāzina no galvas. Tiem, kuri stingri nezina šo tabulu, ir jāizmanto padomi. Parasti saknes kvadrāta iegūšanas process no skaitļa ir norādīts tabulas veidā uz daudzu skolu matemātikas klašu vākiem.

Saknes ir šāda veida:

• kvadrāts;
• kubiskais (vai tā sauktā trešā pakāpe);
• ceturtā pakāpe;
• piektā pakāpe.

Papildināšanas noteikumi

Lai veiksmīgi atrisinātu tipisks piemērs, ir jāpatur prātā, ka ne visi saknes skaitļi var sakraut vienu ar otru. Lai tās varētu salocīt, tās ir jāatnes vienots modelis. Ja tas nav iespējams, problēmai nav risinājuma. Šādas problēmas bieži sastopamas arī matemātikas mācību grāmatās kā sava veida lamatas skolēniem.

Papildinājums nav atļauts uzdevumos, ja radikālās izteiksmes atšķiras viena no otras. To var ilustrēt ar skaidru piemēru:

• Skolēns saskaras ar uzdevumu: pievienojiet kvadrātsakni no 4 un 9;
• nepieredzējis students, kurš nezina noteikumu, parasti raksta: "4 sakne + 9 sakne = 13 sakne."
• Ir ļoti viegli pierādīt, ka šis risinājums ir nepareizs. Lai to izdarītu, jāatrod kvadrātsakne no 13 un jāpārbauda, ​​vai piemērs ir pareizi atrisināts;
• izmantojot mikrokalkulatoru, var noteikt, ka tas ir aptuveni 3,6. Tagad atliek tikai pārbaudīt risinājumu;
• sakne no 4=2 un sakne no 9=3;
• Skaitļu “divi” un “trīs” summa ir vienāda ar pieci. Tādējādi šo risinājuma algoritmu var uzskatīt par nepareizu.

Ja saknēm ir vienāda pakāpe, bet atšķirīga skaitliskās izteiksmes, tas tiek izņemts no iekavām un ievietots iekavās divu radikālu izteiksmju summa. Tādējādi tas jau ir iegūts no šīs summas.

Papildināšanas algoritms

Lai pareizi izlemtu vienkāršākais uzdevums, nepieciešams:

1. Nosakiet, kam tieši nepieciešams papildinājums.
2. Uzziniet, vai ir iespējams pievienot vērtības viena otrai, vadoties pēc esošajiem matemātikas noteikumiem.
3. Ja tie nav salokāmi, tie ir jāpārveido, lai tos varētu salocīt.
4. Pēc visu nepieciešamo pārveidojumu veikšanas jums ir jāveic pievienošana un jāpieraksta gatavā atbilde. Atkarībā no piemēra sarežģītības varat veikt saskaitīšanu galvā vai izmantojot mikrokalkulatoru.

Kādas ir līdzīgas saknes

Lai pareizi atrisinātu papildinājuma piemēru, vispirms jādomā, kā to var vienkāršot. Lai to izdarītu, jums ir jābūt pamatzināšanām par to, kas ir līdzība.

Spēja identificēt līdzīgus palīdz ātri atrisināt līdzīgus pievienošanas piemērus, apvienojot tos vienkāršotā formā. Lai vienkāršotu tipisku pievienošanas piemēru, jums ir nepieciešams:

1. Atrodiet līdzīgus un sadaliet tos vienā grupā (vai vairākās grupās).
2. Pārrakstiet esošo piemēru tā, lai saknes, kurām ir viens un tas pats rādītājs, skaidri sekotu viena otrai (to sauc par “grupēšanu”).
3. Tālāk vēlreiz jāraksta izteiksme, šoreiz tā, lai līdzīgi (kuriem ir vienāds rādītājs un tāds pats radikālais skaitlis) sekotu viens otram.

Kad tas ir izdarīts, vienkāršoto piemēru parasti ir viegli atrisināt.

Lai pareizi atrisinātu jebkuru pievienošanas piemēru, jums ir skaidri jāsaprot pievienošanas pamatnoteikumi, kā arī jāzina, kas ir sakne un kāda tā var būt.

Dažkārt šādas problēmas no pirmā acu uzmetiena šķiet ļoti sarežģītas, taču parasti tās viegli atrisina, sagrupējot līdzīgas. Vissvarīgākais ir prakse, un tad skolēns sāks "šķelt problēmas kā riekstus". Sakņu pievienošana ir viena no svarīgākajām matemātikas daļām, tāpēc skolotājiem vajadzētu veltīt pietiekami daudz laika tās apguvei.

Video

Šis video palīdzēs jums saprast vienādojumus ar kvadrātsaknēm.