Doti 8 faktoringa polinomu piemēri. Tie ietver kvadrātvienādojumu risināšanas piemērus, savstarpējo polinomu piemērus un trešās un ceturtās pakāpes polinomu veselu skaitļu sakņu atrašanas piemērus.

1. Piemēri ar kvadrātvienādojuma atrisināšanu

Piemērs 1.1

x 4 x 3 — 6 x 2.

Risinājums

Mēs izņemam x 2 ārpus iekavām:
.
2 + x - 6 = 0:
.
Vienādojuma saknes:
, .

.

Atbilde

Piemērs 1.2

Trešās pakāpes polinoms:
x 3 + 6 x 2 + 9 x.

Risinājums

Izņemsim x no iekavām:
.
Izlemsim kvadrātvienādojums x 2 + 6 x + 9 = 0:
Tās diskriminants: .
Tā kā diskriminants ir nulle, vienādojuma saknes ir vairākas: ;
.

No tā iegūstam polinoma faktorizāciju:
.

Atbilde

Piemērs 1.3

Piektās pakāpes polinoms koeficients:
x 5–2 x 4 + 10 x 3.

Risinājums

Mēs izņemam x 3 ārpus iekavām:
.
Kvadrātvienādojuma x atrisināšana 2 - 2 x + 10 = 0.
Tās diskriminants: .
Tā kā diskriminants mazāks par nulli, tad vienādojuma saknes ir sarežģītas: ;
, .

Polinoma faktorizācijai ir šāda forma:
.

Ja mūs interesē faktorizēšana ar reāliem koeficientiem, tad:
.

Atbilde

Faktoringa polinomu piemēri, izmantojot formulas

Piemēri ar bikvadrātiskajiem polinomiem

Piemērs 2.1

Bikvadrātiskā polinoma koeficients:
x 4 + x 2–20.

Risinājums

Izmantosim formulas:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
a 2 - b 2 = (a - b) (a + b).

;
.

Atbilde

Piemērs 2.2

Palieliniet polinomu, kas tiek reducēts līdz bikvadrātiskajam:
x 8 + x 4 + 1.

Risinājums

Izmantosim formulas:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
a 2 - b 2 = (a - b) (a + b):

;

;
.

Atbilde

Piemērs 2.3 ar atkārtotu polinomu

Reciprokā polinoma koeficients:
.

Risinājums

Abpusējam polinomam ir nepāra pakāpe. Tāpēc tai ir sakne x = - 1 . Sadaliet polinomu ar x -(-1) = x + 1
.
.
, ;
;


;
.

Atbilde

Rezultātā mēs iegūstam:

Veiksim aizstāšanu:

Faktoringa polinomu piemēri ar veselu skaitļu saknēm
.

Risinājums

Piemērs 3.1

6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 .
Polinoma koeficients:;
Pieņemsim, ka vienādojums;
(-6) 3 - 6 · (-6) 2 + 11 · (-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6 · (-3) 2 + 11 · (-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6 · (-2) 2 + 11 · (-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6 · (-1) 2 + 11 · (-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0.

3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0
x 1 = 1 6 3–6 6 2 + 11 6–6 = 60 2 = 2 6 3–6 6 2 + 11 6–6 = 60 3 = 3 .
Tātad, mēs atradām trīs saknes:
.

Atbilde

, x

Faktoringa polinomu piemēri ar veselu skaitļu saknēm
.

Risinājums

Piemērs 3.1

Tā kā sākotnējais polinoms ir trešās pakāpes, tam ir ne vairāk kā trīs saknes. Tā kā mēs atradām trīs saknes, tās ir vienkāršas. Tad 2 Piemērs 3.2
-2, -1, 1, 2 .
ir vismaz viena vesela sakne. Tad tas ir skaitļa dalītājs
(biedrs bez x). Tas ir, visa sakne var būt viens no skaitļiem: 6 ;
Mēs aizstājam šīs vērtības pa vienai: 0 ;
(-2) 4 + 2 · (-2) 3 + 3 · (-2) 3 + 4 · (-2) + 2 =;
(-1) 4 + 2 · (-1) 3 + 3 · (-1) 3 + 4 · (-1) + 2 = .
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12 2 Piemērs 3.2
1, 2, -1, -2 .
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54 -1 :
.

Ja pieņemam, ka šim vienādojumam ir vesela skaitļa sakne, tad tas ir skaitļa dalītājs 2 = -1 Aizstāsim x =
.

Tātad, mēs esam atraduši citu sakni x 2 + 2 = 0 .

Varētu, tāpat kā iepriekšējā gadījumā, dalīt polinomu ar , bet terminus sagrupēsim:

Tā kā vienādojums x

nav reālu sakņu, tad polinoma faktorizācijai ir forma.

Atradīsim kvadrātvienādojuma sakņu summu un reizinājumu. Izmantojot formulas (59.8) iepriekšminētā vienādojuma saknēm, iegūstam (pirmā vienādība ir acīmredzama, otro iegūst pēc vienkārša aprēķina, ko lasītājs veiks patstāvīgi; ir ērti izmantot formulu divu skaitļu summas reizināšanai ar to starpību). Ir pierādīts sekojošais

Vietas teorēma. Dotā kvadrātvienādojuma sakņu summa ir vienāda ar otro koeficientu c

pretēja zīme

, un to produkts ir vienāds ar brīvo terminu.

Nereducēta kvadrātvienādojuma gadījumā formulas (60.1) izteiksmes jāaizstāj ar formulām (60.1) un jāiegūst forma

1. piemērs. Sastādiet kvadrātvienādojumu, izmantojot tā saknes:

Risinājums, a) Mēs atklājam, ka vienādojumam ir forma

Piemērs 2. Atrodiet vienādojuma sakņu kvadrātu summu, neatrisinot pašu vienādojumu.

Risinājums. Ir zināma sakņu summa un reizinājums. Atveidosim kvadrātsakņu summu formā

un saņemam

No Vietas formulām ir viegli iegūt formulu

kas mums bija jāiegūst.

Iepriekš minētais Vietas formulu atvasinājums lasītājam ir pazīstams no algebras kursa vidusskola. Citu secinājumu var izdarīt, izmantojot Bezout teorēmu un polinoma faktorizāciju (51., 52. punkts).

Ļaujiet vienādojuma saknēm tad būt vispārējs noteikums(52.2) vienādojuma kreisajā pusē esošais trinomāls ir faktorizēts:

Atverot iekavas šīs identiskās vienādības labajā pusē, mēs iegūstam

un, salīdzinot koeficientus ar vienādām pakāpēm, mēs iegūsim Vietas formulu (60.1).

Šīs atvasināšanas priekšrocība ir tā, ka to var attiecināt arī uz vienādojumiem augstākas pakāpes lai caur tā saknēm (neatrodot pašas saknes!) iegūtu izteiksmes vienādojuma koeficientiem. Piemēram, ja dotā kubiskā vienādojuma saknes

būtība ir tāda, ka saskaņā ar vienādību (52.2) mēs atrodam

(mūsu gadījumā, atverot iekavas vienādības labajā pusē un savācot koeficientus dažādās pakāpēs, mēs iegūstam

Pasaule ir iegremdēta milzīgā skaitā skaitļu. Jebkuri aprēķini notiek ar viņu palīdzību.

Cilvēki mācās skaitļus, lai turpmākajā dzīvē netiktu maldināti. Ir nepieciešams veltīt milzīgu laiku, lai izglītotos un aprēķinātu savu budžetu.

Matemātika ir precīza zinātne, kurai ir liela loma dzīvē. Skolā bērni mācās skaitļus un pēc tam darbības ar tiem.

Darbības ar skaitļiem ir pilnīgi atšķirīgas: reizināšana, paplašināšana, saskaitīšana un citas. Matemātikas izpētē papildus vienkāršām formulām tiek izmantotas arī sarežģītākas darbības. Ir milzīgs skaits formulu, ar kurām var uzzināt jebkuras vērtības.

Skolā, tiklīdz parādās algebra, studenta dzīvei tiek pievienotas vienkāršošanas formulas. Ir vienādojumi, kuros ir divi nezināmi skaitļi, bet atrodiet vienkāršā veidā tas nedarbosies. Trinomiāls ir trīs monomālu kombinācija, izmantojot vienkāršu atņemšanas un saskaitīšanas metodi. Trinomiāls tiek atrisināts, izmantojot Vietas teorēmu un diskriminantu.

Kvadrātiskā trinoma faktorēšanas formula

Ir divi pareizi un vienkāršus risinājumus piemērs:

• diskriminējošs;
• Vietas teorēma.

Kvadrātveida trinominam ir nezināms kvadrāts un arī skaitlis bez kvadrāta. Pirmā problēmas risināšanas iespēja izmanto Vietas formulu. Tā ir vienkārša formula, ja skaitļi, kas stāv pirms nezināmā, būs minimālā vērtība.

Citiem vienādojumiem, kur skaitlis ir pirms nezināmā, vienādojums ir jāatrisina, izmantojot diskriminantu. Tas ir sarežģītāks risinājums, taču diskriminants tiek izmantots daudz biežāk nekā Vietas teorēma.

Sākotnēji, lai atrastu visu vienādojumu mainīgie jāpiemēro jāpaaugstina līdz 0. Piemēra atrisinājumu var pārbaudīt un noskaidrot, vai skaitļi ir pareizi noregulēti.

Diskriminējošais

1. Nepieciešams vienādojumu pielīdzināt 0.

2. Katrs skaitlis pirms x tiks saukts par skaitļiem a, b, c. Tā kā pirmā kvadrāta x priekšā nav skaitļa, tas ir vienāds ar 1.

3. Tagad vienādojuma risinājums sākas ar diskriminantu:

4. Tagad esam atraduši diskriminantu un atrodam divus x. Atšķirība ir tāda, ka vienā gadījumā pirms b tiks pievienots plus, bet otrā - mīnuss:

5. Atrisinot divus skaitļus, rezultāti bija -2 un -1. Aizstājiet sākotnējo vienādojumu:

6. Šajā piemērā izrādījās divi pareizie varianti. Ja abi risinājumi atbilst, tad katrs no tiem ir patiess.

Izmantojot diskriminantu, tiek atrisināti arī sarežģītāki vienādojumi. Bet, ja pati diskriminējošā vērtība ir mazāka par 0, tad piemērs ir nepareizs. Veicot meklēšanu, diskriminants vienmēr atrodas saknē, un negatīva vērtība nevar būt saknē.

Vietas teorēma

To izmanto vieglu uzdevumu risināšanai, kur pirms pirmā x nav skaitļa, tas ir, a=1. Ja opcija atbilst, tad aprēķins tiek veikts, izmantojot Vietas teorēmu.

Lai atrisinātu jebkuru trinomu jāpaaugstina vienādojums līdz 0. Diskriminanta un Vietas teorēmas pirmie soļi neatšķiras.

2. Tagad sākas atšķirības starp abām metodēm. Vietas teorēma izmanto ne tikai “sauso” aprēķinu, bet arī loģiku un intuīciju. Katram ciparam ir savs burts a, b, c. Teorēma izmanto divu skaitļu summu un reizinājumu.

Atcerieties! Skaitlim b vienmēr ir pretēja zīme pievienojot, bet cipars paliek nemainīgs!

Datu vērtību aizstāšana piemērā , mēs iegūstam:

3. Izmantojot loģikas metodi, aizvietojam piemērotākos skaitļus. Apsvērsim visus iespējamos risinājumus:

1. Skaitļi ir 1 un 2. Saskaitot, mēs iegūstam 3, bet, ja mēs reizinām, mēs nesaņemam 4. Neder.
2. Vērtība 2 un -2. Sareizinot būs -4, bet saskaitot izrādās 0. Neder.
3. Numuri 4 un -1. Tā kā reizināšana ietver negatīvu vērtību, tas nozīmē, ka vienam no skaitļiem būs mīnuss. Piemērots saskaitīšanai un reizināšanai. Pareizs variants.

4. Atliek tikai pārbaudīt, izliekot skaitļus, un pārliecināties, vai izvēlētā opcija ir pareiza.

5. Pateicoties tiešsaistes pārbaudei, mēs uzzinājām, ka -1 neatbilst piemēra nosacījumiem un tāpēc ir nepareizs risinājums.

Piemērā pievienojot negatīvu vērtību, skaitlis jāievieto iekavās.

Matemātikā vienmēr būs vienkāršus uzdevumus un sarežģīti. Pati zinātne ietver dažādas problēmas, teorēmas un formulas. Ja jūs pareizi saprotat un pielietojat zināšanas, tad visas grūtības ar aprēķiniem būs triviālas.

Matemātika neprasa pastāvīgu iegaumēšanu. Jāmācās izprast risinājumu un jāapgūst vairākas formulas. Pamazām pēc loģiskiem secinājumiem ir iespējams atrisināt līdzīgas problēmas un vienādojumus. Šāda zinātne no pirmā acu uzmetiena var šķist ļoti grūta, taču, ja cilvēks ienirt skaitļu un problēmu pasaulē, tad skats krasi mainīsies. labāka puse.

Tehniskās specialitātes vienmēr ir vispieprasītākie pasaulē. Tagad, pasaulē modernās tehnoloģijas, matemātika ir kļuvusi par jebkuras jomas neaizstājamu atribūtu. Mums vienmēr jāatceras labvēlīgās īpašības matemātika.

Trinoma paplašināšana, izmantojot iekavas

Papildus parasto metožu risināšanai ir vēl viena - sadalīšana iekavās. Izmanto, izmantojot Vieta formulu.

1. Pielīdziniet vienādojumu ar 0.

cirvis 2 +bx+c= 0

2. Vienādojuma saknes paliek nemainīgas, bet nulles vietā tagad tiek izmantotas paplašināšanas formulas iekavās.

cirvis 2 + bx+ c = a (x – x 1) (x – x 2)

2 x 2 – 4 x – 6 = 2 (x + 1) (x – 3)

4. Risinājums x=-1, x=3

Kvadrātisko trinomu faktorēšana ir viens no skolas uzdevumiem, ar ko agrāk vai vēlāk saskaras ikviens. Kā to izdarīt? Kāda ir kvadrātiskā trinoma faktorēšanas formula? Noskaidrosim to soli pa solim, izmantojot piemērus.

Vispārējā formula

Kvadrātiskie trinomi tiek faktorizēti, atrisinot kvadrātvienādojumu. Šī ir vienkārša problēma, kuru var atrisināt ar vairākām metodēm – atrodot diskriminantu, izmantojot Vietas teorēmu, ir arī grafisks risinājums. Pirmās divas metodes tiek apgūtas vidusskolā.

Vispārējā formula izskatās šādi:lx 2 + kx + n = l (x-x 1) (x-x 2) (1)

Algoritms uzdevuma izpildei

Lai faktorētu kvadrātiskos trinomus, ir jāzina Vitas teorēma, pie rokas jābūt atrisināšanas programmai, jāprot grafiski atrast risinājumu vai meklēt otrās pakāpes vienādojuma saknes, izmantojot diskriminanta formulu. Ja ir dots kvadrātveida trinomāls un tas ir jāfaktorizē, algoritms ir šāds:

1) Pielīdziniet sākotnējo izteiksmi nullei, lai iegūtu vienādojumu.

2) Atnest līdzīgi termini(ja ir tāda nepieciešamība).

3) Atrodiet jebkura saknes zināmā veidā. Grafisko metodi vislabāk izmantot, ja ir iepriekš zināms, ka saknes ir veseli skaitļi un mazi skaitļi. Jāatceras, ka sakņu skaits ir vienāds ar maksimālo vienādojuma pakāpi, tas ir, kvadrātvienādojumam ir divas saknes.

4) Aizstājiet vērtību X izteiksmē (1).

5) Pierakstiet kvadrātisko trinomu faktorizāciju.

Piemēri

Prakse ļauj beidzot saprast, kā šis uzdevums tiek veikts. Šie piemēri ilustrē kvadrātiskā trinoma faktorizāciju:

ir nepieciešams paplašināt izteiksmi:

Izmantosim mūsu algoritmu:

1) x 2 -17x+32=0

2) līdzīgi termini tiek samazināti

3) izmantojot Vietas formulu, šim piemēram ir grūti atrast saknes, tāpēc labāk ir izmantot izteiksmi diskriminantam:

D=289-128=161=(12,69) 2

4) Aizstāsim atrastās saknes sadalīšanās pamatformulā:

(x-2,155) * (x-14,845)

5) Tad atbilde būs šāda:

x 2 -17x+32=(x-2,155) (x-14,845)

Pārbaudīsim, vai diskriminanta atrastie risinājumi atbilst Vietas formulām:

14,845 . 2,155=32

Šīm saknēm tiek izmantota Vietas teorēma, tās tika atrastas pareizi, kas nozīmē, ka arī iegūtā faktorizācija ir pareiza.

Līdzīgi izvērsim 12x2 + 7x-6.

x 1 =-7+(337) 1/2

x 2 = -7-(337)1/2

Iepriekšējā gadījumā risinājumi bija nevis veseli skaitļi, bet gan reāli skaitļi, kurus ir viegli atrast, ja tev priekšā ir kalkulators. Tagad apskatīsim sarežģītāku piemēru, kurā saknes būs sarežģītas: koeficients x 2 + 4x + 9. Izmantojot Vietas formulu, saknes nevar atrast, un diskriminants ir negatīvs. Saknes atradīsies kompleksajā plaknē.

D=-20

Pamatojoties uz to, mēs iegūstam saknes, kas mūs interesē -4+2i*5 1/2 un -4-2i * 5 1/2 kopš (-20) 1/2 = 2i*5 1/2.

Mēs iegūstam vēlamo sadalīšanos, aizstājot saknes vispārējā formulā.

Vēl viens piemērs: izteiksme ir jāfaktorē 23x2 -14x+7.

Mums ir vienādojums 23x2 -14x+7 =0

D=-448

Tas nozīmē, ka saknes ir 14+21.166i un 14-21.166i. Atbilde būs:

23x2 -14x+7 =23(x- 14-21,166i )*(X- 14+21,166i ).

Sniegsim piemēru, ko var atrisināt bez diskriminanta palīdzības.

Pieņemsim, ka mums ir jāpaplašina kvadrātvienādojums x 2 -32x+255. Acīmredzot to var atrisināt arī, izmantojot diskriminantu, bet tas ir ātrāks šajā gadījumā savāc saknes.

x 1 =15

x 2 =17

Līdzekļi x 2 -32x+255 =(x-15)(x-17).