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약간의 이론.

x->x 0에서의 함수의 극한

함수 f(x)를 어떤 집합 X에 정의하고 점 \(x_0 \in X\) 또는 \(x_0 \notin X\)를 지정합니다.

X에서 x 0과 다른 일련의 점을 취하겠습니다.
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
x*로 수렴합니다. 이 시퀀스 지점의 함수 값도 숫자 시퀀스를 형성합니다.
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
그리고 그 한계가 존재하는지에 대한 의문을 제기할 수 있습니다.

정의. 숫자 A는 인수 x의 값이 x 0과 다른 시퀀스 (1)에 대해 x = x 0 (또는 x -> x 0) 지점에서 함수 f(x)의 극한이라고 합니다. x 0으로 수렴하면 값 함수의 해당 시퀀스(2)가 숫자 A로 수렴됩니다.

$$ \lim_(x\to x_0)( f(x)) = A $$

함수 f(x)는 x 0 지점에서 극한을 하나만 가질 수 있습니다. 이는 순서가 다음과 같다는 사실에서 비롯됩니다.
(f(xn))에는 극한이 하나만 있습니다.

함수의 한계에 대한 또 다른 정의가 있습니다.

정의어떤 숫자 \(\varepsilon > 0\)에 대해 모든 \에 대해 다음과 같은 숫자 \(\delta > 0\)가 있으면 숫자 A를 점 x = x 0에서 함수 f(x)의 극한이라고 합니다. (x \in X, \; x \neq x_0 \), 부등식 \(|x-x_0|을 충족) 논리 기호를 사용하여 이 정의는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| 부등식 \(x \neq x_0 , \; |x-x_0| 첫 번째 정의는 숫자 시퀀스의 극한 개념을 기반으로 하므로 종종 "순서의 언어" 정의라고 합니다. \(\varepsilon - \delta\)”.
함수 극한에 대한 이 두 정의는 동일하며 특정 문제를 해결하는 데 더 편리한 정의에 따라 둘 중 하나를 사용할 수 있습니다.

"수열의 언어로" 함수 극한의 정의는 하이네에 따른 함수 극한의 정의라고도 하며, "언어 \(\varepsilon - \delta\)'는 Cauchy에 따른 함수의 극한 정의라고도 합니다.

x->x 0 - 및 x->x 0 +에서 함수의 극한

다음에서는 다음과 같이 정의되는 함수의 단측 극한 개념을 사용합니다.

정의숫자 A는 x 0으로 수렴하는 임의의 수열(1)에 대해 x n이 x 0보다 크거나 작은 요소인 경우 x 0 지점에서 함수 f(x)의 오른쪽(왼쪽) 극한이라고 합니다. 해당 시퀀스 (2)는 A로 수렴됩니다.

상징적으로는 다음과 같이 쓰여 있습니다.
$$ \lim_(x \to x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \right) $$

우리는 "언어 \(\varepsilon - \delta \)"에서 함수의 단측 극한에 대해 동등한 정의를 제공할 수 있습니다:

정의어떤 \(\varepsilon > 0\)에 대해 \(\delta > 0\)이 존재하면 모든 x에 대해 만족하는 경우 숫자 A를 점 x 0에서 함수 f(x)의 오른쪽(왼쪽) 극한이라고 합니다. 불평등 \(x_0 기호 항목:

몇 가지 예시를 살펴보겠습니다.

x를 숫자로 놔두세요 가변 수량, X는 변화의 영역입니다. X에 속하는 각 숫자 x가 특정 숫자 y와 연관되어 있으면 함수가 집합 X에 정의되어 있다고 말하고 y = f(x)라고 씁니다.
X를 설정하세요. 이 경우- 두 개로 구성된 비행기 좌표축– 0X와 0Y. 예를 들어, y = x 2 함수를 묘사해 보겠습니다. 0X 및 0Y 축은 변경 영역인 X를 형성합니다. 그림은 함수가 어떻게 작동하는지 명확하게 보여줍니다. 이 경우 그들은 함수 y = x 2가 집합 X에 정의되어 있다고 말합니다.

함수의 모든 부분 값의 집합 Y를 값 집합 f(x)라고 합니다. 즉, 값의 집합은 함수가 정의된 0Y축의 간격입니다. 묘사된 포물선은 f(x) > 0임을 명확하게 보여줍니다. 왜냐하면 x2 > 0. 따라서 값의 범위는 . 0Y별로 여러 값을 살펴봅니다.

모든 x의 집합을 f(x)의 정의역이라고 합니다. 0X에 의한 많은 정의를 살펴보면, 우리의 경우 허용되는 값의 범위는 [-; +].

점 a(a가 속함 또는 X)는 점 a의 이웃에 집합 X의 점이 a와 다른 경우 집합 X의 극한점이라고 합니다.

이제 함수의 한계가 무엇인지 이해할 때가 왔습니다.

x가 숫자 a를 향할 때 함수가 향하는 순수한 b를 호출합니다. 기능의 한계. 이는 다음과 같이 작성됩니다.

예를 들어, f(x) = x 2입니다. 우리는 함수가 x 2에서 어떤 경향이 있는지(같지 않은지) 알아내야 합니다. 먼저 극한을 ​​기록합니다.

그래프를 살펴보겠습니다.

0X축의 점 2를 통해 0Y축에 평행한 선을 그려보겠습니다. 이는 (2;4) 지점에서 그래프와 교차합니다. 이 점에서 0Y 축에 수직을 놓고 점 4에 도달하겠습니다. 이것이 우리 함수가 x 2에서 추구하는 것입니다. 이제 값 2를 함수 f(x)에 대체하면 대답은 동일합니다.

이제 다음으로 넘어가기 전에 한도 계산, 기본 정의를 소개하겠습니다.

19세기 프랑스 수학자 오귀스탱 루이 코시가 소개했습니다.

함수 f(x)가 점 x = A를 포함하는 특정 구간에서 정의되지만 f(A)의 값을 정의할 필요가 전혀 없다고 가정합니다.

그렇다면 Cauchy의 정의에 따르면, 기능의 한계 f(x)는 모든 C > 0에 대해 숫자 D > 0이 있는 경우 x가 A에 경향이 있는 특정 숫자 B가 될 것입니다.

저것들. x A에서 함수 f(x)가 극한 B에 의해 제한되는 경우 이는 다음과 같이 작성됩니다.

시퀀스 제한임의로 작은 숫자가 있는 경우 특정 숫자 A가 호출됩니다. 정수> 0에는 n > N인 경우의 모든 값이 부등식을 만족하는 숫자 N이 있습니다.

이 한도는 다음과 같습니다.

극한이 있는 수열은 수렴이라고 하며, 그렇지 않은 경우에는 발산이라고 합니다.

이미 알고 있듯이 한계는 변수에 대한 일부 조건이 작성된 다음 함수 자체가 작성되는 lim 아이콘으로 표시됩니다. 이러한 집합은 "...에 따른 기능의 한계"로 읽혀집니다. 예를 들어:

- x가 1로 경향이 있을 때 함수의 극한입니다.

'1에 접근한다'는 표현은 x가 무한히 가까워지는 1에 접근하는 값을 연속적으로 취한다는 뜻이다.

이제 이 극한을 계산하려면 x를 값 1로 대체하는 것으로 충분하다는 것이 분명해졌습니다.

구체적인 것 외에도 수치 x는 무한대로 가는 경향이 있습니다. 예를 들어:

x라는 표현은 x가 지속적으로 증가하여 한계 없이 무한대에 접근한다는 의미입니다. 따라서 x를 무한대로 대체하면 함수 1-x가 로 향하는 경향이 있음이 분명해집니다. 그러나 반대 부호를 사용합니다.

따라서, 한도 계산한계에 의해 제한된 기능이 속하는 특정 값이나 특정 영역을 찾는 것으로 귀결됩니다.

위의 내용을 바탕으로 한도를 계산할 때 몇 가지 규칙을 사용하는 것이 중요합니다.

이해 한계의 본질그리고 기본 규칙 한계 계산, 문제 해결 방법에 대한 핵심 통찰력을 얻을 수 있습니다. 제한으로 인해 어려움이 발생할 경우 댓글을 작성해 주시면 확실히 도움을 드리겠습니다.

참고: 법학은 갈등과 기타 삶의 어려움을 해결하는 데 도움이 되는 법률 과학입니다.

한계 이론- 일부는 마스터할 수 있는 수학적 분석 섹션 중 하나이지만 다른 일부는 한계를 계산하는 데 어려움을 겪습니다. 한계를 찾는 문제는 매우 일반적입니다. 왜냐하면 수십 가지 기술이 있기 때문입니다. 솔루션 한계 다양한 방식. 로피탈의 법칙을 사용하거나 사용하지 않을 때 모두 동일한 극한을 찾을 수 있습니다. 일련의 극소 기능을 예약하면 원하는 결과를 빠르게 얻을 수 있습니다. 복잡한 기능의 한계를 찾을 수 있는 일련의 기술과 요령이 있습니다. 이 기사에서는 실제로 가장 자주 접하게 되는 주요 제한 유형을 이해하려고 노력할 것입니다. 여기서는 한계에 대한 이론과 정의를 제공하지 않습니다. 인터넷에는 이에 대해 논의되는 리소스가 많이 있습니다. 그러므로 실제 계산을 시작하겠습니다. 여기서 "모르겠어요! 우리는 배웠습니다!"

대체 방법을 사용하여 한계 계산

예시 1. 함수의 극한 찾기
한계((x^2-3*x)/(2*x+5),x=3).
해결책: 이런 종류의 예는 일반적인 대체를 사용하여 이론적으로 계산할 수 있습니다.

한도는 18/11입니다.
그러한 한계에는 복잡하거나 현명한 것이 없습니다. 우리는 값을 대체하고 계산한 다음 한계를 답으로 적었습니다. 그러나 이러한 한계에 따라 모든 사람은 무엇보다도 먼저 값을 함수에 대체해야 한다는 점을 배웁니다. 또한 무한대, 불확실성 등의 개념이 도입되면서 한계가 더욱 복잡해집니다.

무한대를 무한대로 나눈 것과 같은 불확실성이 있는 극한입니다. 불확실성 공개 기법

예시 2. 함수의 극한 찾기
임((x^2+2x)/(4x^2+3x-4),x=무한대).
풀이: 다항식을 다항식으로 나눈 형태의 극한이 주어지고, 변수는 무한대를 향하는 경향이 있습니다.

단순히 변수를 찾아야 하는 값을 대체하는 것은 한계를 찾는 데 도움이 되지 않습니다. 우리는 무한대를 무한대로 나눈 형태의 불확실성을 얻습니다.
극한 이론에 따르면 극한을 계산하는 알고리즘은 분자나 분모에서 "x"의 최대 거듭제곱을 찾는 것입니다. 다음으로 분자와 분모를 단순화하여 함수의 극한을 구합니다.

변수가 무한대에 가까워지면 값이 0이 되는 경향이 있으므로 무시되거나 최종 표현식에 0의 형태로 기록됩니다.

연습을 하면 즉시 계산의 힌트가 되는 두 가지 결론을 얻을 수 있습니다. 변수가 무한대 경향이 있고 분자 차수가 분모 차수보다 크면 극한은 무한대와 같습니다. 그렇지 않고 분모의 다항식이 분자의 다항식보다 높은 차수이면 극한은 0입니다.
한계는 다음과 같은 공식으로 작성할 수 있습니다.

분수가 없는 일반 필드 형식의 함수가 있는 경우 그 한계는 무한대와 같습니다.

다음 유형의 한계는 0에 가까운 함수의 동작과 관련됩니다.

예시 3. 함수의 극한 찾기
한계((x^2+3x-5)/(x^2+x+2), x=0).
해결책: 여기서는 다항식의 주요 인자를 제거할 필요가 없습니다. 정반대로, 분자와 분모의 가장 작은 거듭제곱을 찾아 극한을 계산해야 합니다.

값 x^2; x는 변수가 0이 되는 경향이 있으므로 무시되므로 다음을 얻습니다.

그 한계는 2.5이다.

이제 알잖아 함수의 극한을 찾는 방법형식의 경우 변수가 무한대 또는 0에 가까워지는 경우 다항식을 다항식으로 나눕니다. 그러나 이는 예제의 작고 쉬운 부분일 뿐입니다. 다음 자료를 통해 배우게 됩니다. 함수의 한계에서 불확실성을 발견하는 방법.

0/0 유형의 불확도 제한 및 계산 방법

모두가 0으로 나눌 수 없다는 규칙을 즉시 기억합니다. 그러나 이러한 맥락에서 극한 이론은 극소 함수를 의미합니다.
명확성을 위해 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

예시 4. 함수의 극한 찾기
제한((3x^2+10x+7)/(x+1), x=-1).
해결책: 변수 x = -1의 값을 분모에 대입하면 0이 되고 분자에서도 같은 값을 얻습니다. 그래서 우리는 0/0 형태의 불확실성.
이러한 불확실성을 처리하는 것은 간단합니다. 다항식을 인수분해하거나 함수를 0으로 바꾸는 인수를 선택해야 합니다.

확장 후 함수의 한계는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

이것이 함수의 극한을 계산하는 전체 방법입니다. 다항식을 다항식으로 나눈 형태의 한계가 있는 경우에도 동일한 작업을 수행합니다.

실시예 5. 함수의 극한 찾기
임((2x^2-7x+6)/(3x^2-x-10), x=2).
해결책: 직접 대체가 표시됩니다.
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
우리는 무엇을 가지고 있습니까? 유형 0/0 불확실성.
다항식을 특이점을 유발하는 요소로 나누어 보겠습니다.


2차 다항식, 즉 '2차 방정식' 유형은 판별식을 통해 풀어야 한다고 가르치는 교사들이 있습니다. 그러나 실제 실습에서는 이것이 더 길고 더 혼란스럽다는 것을 보여줍니다. 따라서 지정된 알고리즘에 따라 한계 내에서 기능을 제거하십시오. 따라서 우리는 함수를 다음과 같은 형식으로 작성합니다. 소인수그리고 한계까지 계산해

보시다시피 이러한 제한을 계산하는 데 복잡한 것은 없습니다. 극한을 공부할 때쯤이면 적어도 이미 통과했어야 하는 프로그램에 따라 다항식을 나누는 방법을 알게 됩니다.
에 관한 업무 중에는 유형 0/0 불확실성축약된 곱셈 공식을 사용해야 하는 경우가 있습니다. 하지만 이를 모른다면 다항식을 단항식으로 나누어 원하는 공식을 얻을 수 있습니다.

예시 6. 함수의 극한 찾기
한계((x^2-9)/(x-3), x=3).
해결 방법: 0/0 유형의 불확실성이 있습니다. 분자에서는 약식 곱셈 공식을 사용합니다.

필요한 한도를 계산합니다.

켤레를 곱하여 불확실성을 나타내는 방법

이 방법은 불확실성이 생성되는 한계에 적용됩니다. 비합리적인 기능. 계산점에서 분자나 분모가 0으로 변해 경계를 어떻게 찾는지 알 수 없다.

실시예 7. 함수의 극한 찾기
Lim((sqrt(x+2)-sqrt(7x-10))/(3x-6), x=2).
해결책:극한식에 변수를 표현해보자

대체하면 0/0 유형의 불확실성을 얻습니다.
극한 이론에 따르면, 이 특징을 우회하는 방법은 비합리적인 표현에 그 공액을 곱하는 것입니다. 표현식이 변경되지 않도록 하려면 분모를 동일한 값으로 나누어야 합니다.

제곱의 차이 규칙을 사용하여 분자를 단순화하고 함수의 극한을 계산합니다.

극한에서 특이점을 생성하는 항을 단순화하고 치환을 수행합니다.

실시예 8. 함수의 극한 찾기
Lim((sqrt(x-2)-sqrt(2x-5))/(3-x), x=3).
풀이: 직접 치환은 극한이 0/0 형태의 특이점을 갖는다는 것을 보여줍니다.

확장하려면 분자의 켤레를 곱하고 나눕니다.

우리는 제곱의 차이를 적습니다

특이점을 도입하는 용어를 단순화하고 함수의 극한을 찾습니다.

실시예 9. 함수의 극한 찾기
임((x^2+x-6)/(sqrt(3x-2)-2), x=2).
해결책: 공식에 2를 대입하세요.

우리는 얻는다 불확실성 0/0.
분모에는 켤레 표현식을 곱해야 하며, 분자에서는 특이점을 고려하여 이차 방정식을 풀거나 인수분해해야 합니다. 2가 근인 것으로 알려져 있으므로 Vieta의 정리를 사용하여 두 번째 근을 찾습니다.

따라서 우리는 분자를 다음과 같은 형식으로 씁니다.

그리고 그것을 한계에 대입해라.

제곱의 차이를 줄임으로써 분자와 분모의 특이점을 제거합니다.

이러한 방식으로 많은 예에서 특이점을 제거할 수 있으며, 치환 중에 주어진 근의 차이가 0으로 변하는 모든 경우에 적용을 주목해야 합니다. 다른 유형의 제한 문제 지수함수, 무한함수, 로그, 특수한계 및 기타 기술. 그러나 제한 사항에 대해서는 아래 나열된 기사에서 이에 대해 읽을 수 있습니다.

극한 이론은 수학적 분석의 한 분야입니다. 다양한 유형의 한계를 해결하는 방법이 수십 가지가 있기 때문에 한계 해결 문제는 매우 광범위합니다. 이 한계나 저 한계를 해결할 수 있는 수십 가지의 뉘앙스와 트릭이 있습니다. 그럼에도 불구하고 우리는 실제로 가장 자주 접하게 되는 주요 유형의 한계를 이해하려고 노력할 것입니다.

한계라는 개념부터 시작해 보겠습니다. 하지만 먼저 짧은 것부터 역사적 참고자료. 19세기 프랑스인 오귀스탱 루이 코시(Augustin Louis Cauchy)가 살았는데, 그는 마탄(matan)의 많은 개념에 엄격한 정의를 내리고 그 토대를 마련했습니다. 이 존경받는 수학자는 물리학과 수학과의 모든 학생들의 악몽 속에 있었고 앞으로도 그럴 것이라고 말해야 합니다. 왜냐하면 그는 수학적 분석에 대한 수많은 정리를 증명했고 한 정리가 다른 정리보다 더 치명적이기 때문입니다. 이에 관해서는 아직 고려하지 않겠습니다. 코시 한계의 결정하지만 다음 두 가지 작업을 시도해 보겠습니다.

1. 한계가 무엇인지 이해하십시오.
2. 주요 유형의 제한을 해결하는 방법을 배웁니다.

비과학적인 설명에 대해 사과드립니다. 실제로 프로젝트의 임무인 찻주전자에서도 자료를 이해할 수 있는 것이 중요합니다.

그렇다면 한계는 무엇입니까?

그리고 덥수룩한 할머니에게 이유를 보여주는 예입니다....

모든 한도는 세 부분으로 구성됩니다.:

1) 잘 알려진 제한 아이콘.
2) 이 경우에는 제한 아이콘 아래의 항목입니다. 항목에는 "X는 1을 지향합니다."라고 표시되어 있습니다. 실제로는 "X" 대신 다른 변수가 있지만 가장 자주 발생합니다. 실제 작업에서 하나의 위치는 무한대()뿐만 아니라 절대적으로 임의의 숫자일 수 있습니다.
3) 이 경우에는 제한 기호 아래의 기능입니다.

녹음 그 자체 다음과 같이 읽습니다: "x가 1이 되는 경향이 있는 함수의 극한."

다음 중요한 질문을 살펴보겠습니다. "x"라는 표현은 무엇을 의미합니까? 노력한다하나에게"? 그리고 "노력하다"는 것은 무엇을 의미합니까?
극한의 개념은 말하자면 개념이다. 동적. 순서를 만들어 봅시다: 먼저 , 그 다음 , , … , ….
즉, "x"라는 표현은 노력한다 to one'은 다음과 같이 이해되어야 합니다. 'x'는 일관되게 값을 취합니다. 통일성에 무한히 가깝고 실질적으로 일치하는 것.

위의 예를 어떻게 해결하나요? 위의 내용을 바탕으로 제한 기호 아래의 함수에 하나를 대체하면 됩니다.

따라서 첫 번째 규칙은 다음과 같습니다. 제한이 주어지면 먼저 숫자를 함수에 연결해 봅니다..

우리는 가장 간단한 한계를 고려했지만 실제로는 이러한 일이 발생하며 그렇게 드물지는 않습니다!

무한대의 예:

그것이 무엇인지 알아 볼까요? 이는 무한히 증가하는 경우, 즉 먼저, 그 다음, 그 다음, 그 다음, 그리고 무한히 증가하는 경우입니다.

이때 함수는 어떻게 되나요?
, , , …

따라서: 이면 함수는 마이너스 무한대로 변하는 경향이 있습니다.:

대략적으로 말하면 첫 번째 규칙에 따라 "X" 대신 무한대를 함수에 대체하고 답을 얻습니다.

무한대의 또 다른 예:

다시 한 번 무한대로 증가하기 시작하고 함수의 동작을 살펴봅니다.

결론: 함수가 무한히 증가할 때:

그리고 또 다른 일련의 예:

다음 사항을 스스로 정신적으로 분석하고 가장 간단한 유형의 제한을 기억해 보십시오.

, , , , , , , , ,
의심스러운 부분이 있으면 계산기를 들고 조금 연습해 보세요.
, , 시퀀스를 구성해 보십시오. 그렇다면 , , .

! 메모: 엄밀히 말하면 여러 숫자의 시퀀스를 구성하는 이 접근 방식은 올바르지 않지만 가장 간단한 예를 이해하는 데는 매우 적합합니다.

또한 다음 사항에 주의하세요. 상단에 큰 숫자로 제한이 제공되거나 심지어 백만으로 제한이 제공되더라도 모두 동일합니다. , 조만간 "X"는 백만 개가 실제 미생물이 될 정도로 엄청난 가치를 갖기 시작할 것이기 때문입니다.

위 내용에서 무엇을 기억하고 이해해야 합니까?

1) 제한이 주어지면 먼저 숫자를 함수에 대체하려고 합니다.

2) 다음과 같은 가장 간단한 한계를 이해하고 즉시 해결해야 합니다. , , 등.

게다가, 극한은 매우 좋은 기하학적 의미를 갖고 있습니다. 주제를 더 잘 이해하려면 다음을 읽어 보는 것이 좋습니다. 방법론적 자료 기본 함수의 그래프 및 속성. 이 글을 읽고 나면 마침내 극한이 무엇인지 이해할 수 있을 뿐만 아니라 일반적으로 함수의 극한이 적용되는 흥미로운 사례도 알게 될 것입니다. 존재하지 않는다!

실제로는 안타깝게도 선물이 거의 없습니다. 따라서 우리는 더 복잡한 한계를 고려하게 됩니다. 그건 그렇고, 이 주제에는 집중 코스 PDF 형식으로 준비할 시간이 거의 없는 경우 특히 유용합니다. 그러나 물론 사이트 자료는 더 나쁘지 않습니다.

이제 우리는 다음과 같은 극한 그룹을 고려할 것입니다. 함수는 분자와 분모에 다항식이 포함된 분수입니다.

예:

한도 계산

우리의 규칙에 따라 우리는 함수에 무한대를 대체하려고 노력할 것입니다. 우리는 정상에서 무엇을 얻나요? 무한대. 그리고 아래에서는 어떻게 되나요? 또한 무한대. 따라서 우리는 종의 불확실성이라는 것을 가지고 있습니다. 라고 생각할 수도 있고, 답은 이미 준비되어 있지만 일반적인 경우이는 전혀 사실이 아니며 이제 고려할 몇 가지 솔루션을 적용해야 합니다.

이 유형의 한계를 해결하는 방법은 무엇입니까?

먼저 분자를 보고 가장 높은 거듭제곱을 찾습니다.

분자의 거듭제곱은 2입니다.

이제 우리는 분모를 보고 그것을 가장 높은 거듭제곱으로 구합니다.

분모의 최고 차수는 2입니다.

그런 다음 분자와 분모의 가장 높은 거듭제곱을 선택합니다. 이 예에서는그들은 일치하고 2와 같습니다.

따라서 해결 방법은 다음과 같습니다. 불확실성을 밝히기 위해서는 분자와 분모를 가장 높은 거듭제곱으로 나누어야 합니다.

여기에 답이 있으며 전혀 무한대가 아닙니다.

의사결정 설계에서 근본적으로 중요한 것은 무엇입니까?

첫째, 불확실성이 있는 경우 이를 나타냅니다.

둘째, 중간 설명을 위해 솔루션을 중단하는 것이 좋습니다. 나는 보통 기호를 사용하는데, 이는 수학적 의미가 없지만 중간 설명을 위해 솔루션이 중단된다는 의미입니다.

셋째, 한계 내에서 무엇이 어디로 가는지 표시하는 것이 좋습니다. 작업을 손으로 작성할 때는 다음과 같이 하는 것이 더 편리합니다.

메모에는 간단한 연필을 사용하는 것이 좋습니다.

물론 이 중 어떤 것도 할 필요는 없지만 그러면 아마도 교사가 솔루션의 단점을 지적하거나 묻기 시작할 것입니다. 추가 질문임무 중. 당신은 그것을 필요로합니까?

실시예 2

한계를 찾아보세요
다시 분자와 분모에서 우리는 가장 높은 차수를 찾습니다.

분자의 최대 차수: 3
분모의 최대 차수: 4
선택하다 가장 큰값(이 경우 4)입니다.
우리 알고리즘에 따르면 불확실성을 밝히기 위해 분자와 분모를 로 나눕니다.
전체 등록작업은 다음과 같습니다.

분자와 분모를 다음과 같이 나눕니다.

실시예 3

한계를 찾아보세요
분자의 최대 "X" 차수: 2
분모의 "X" 최대 차수: 1(다음과 같이 쓸 수 있음)
불확실성을 밝히기 위해서는 분자와 분모를 로 나누어야 합니다. 최종 솔루션은 다음과 같습니다.

분자와 분모를 다음과 같이 나눕니다.

표기법은 0으로 나누는 것을 의미하는 것이 아니라(0으로 나눌 수 없음) 극소수로 나누는 것을 의미합니다.

따라서 종의 불확실성을 밝혀냄으로써 우리는 다음을 할 수 있을 것입니다. 최종 번호, 0 또는 무한대.

유형의 불확실성과 이를 해결하는 방법의 한계

다음 극한 그룹은 방금 고려한 극한과 다소 유사합니다. 분자와 분모는 다항식을 포함하지만 "x"는 더 이상 무한대에 가까워지는 경향이 없습니다. 유한수.

실시예 4

해결 한계
먼저 분수에 -1을 대입해 보겠습니다.

이 경우 소위 불확실성이 얻어집니다.

일반 규칙 : 분자와 분모에 다항식이 포함되어 있고 형태가 불확실한 경우 이를 공개한다. 분자와 분모를 인수분해해야 합니다..

이를 위해서는 이차 방정식을 풀거나 축약된 곱셈 공식을 사용해야 하는 경우가 가장 많습니다. 이러한 사항을 잊어버렸다면 페이지를 방문하세요. 수학 공식 및 표그리고 교재를 읽어보세요 인기 공식 학교 과정수학자. 그건 그렇고, 인쇄하는 것이 가장 좋습니다. 매우 자주 필요하며 정보는 종이에서 더 잘 흡수됩니다.

자, 한계를 해결해 볼까요?

분자와 분모를 인수분해하세요.

분자를 인수분해하려면 이차 방정식을 풀어야 합니다.

먼저 판별식을 찾습니다.

그리고 그것의 제곱근은: .

판별식이 큰 경우(예: 361) 계산기를 사용하여 추출 기능을 사용합니다. 제곱근가장 간단한 계산기에서 사용할 수 있습니다.

! 뿌리가 완전히 추출되지 않은 경우 ( 분수쉼표 포함), 판별식을 잘못 계산했거나 작업에 오타가 있었을 가능성이 매우 높습니다.

다음으로 우리는 뿌리를 찾습니다:

따라서:

모두. 분자는 인수분해됩니다.

분모. 분모는 이미 가장 간단한 요소이므로 단순화할 방법이 없습니다.

분명히 다음과 같이 단축될 수 있습니다.

이제 제한 기호 아래에 있는 표현식에 -1을 대체합니다.

자연스럽게, 테스트 작업, 시험이나 시험 중에는 솔루션이 그렇게 자세하게 작성되지 않습니다. 최종 버전의 디자인은 다음과 같아야 합니다.

분자를 인수분해해 봅시다.

실시예 5

한도 계산

첫째, 솔루션의 "완료" 버전입니다.

분자와 분모를 인수분해해 봅시다.

분자:
분모:



,

이 예에서 중요한 것은 무엇입니까?
먼저 분자가 어떻게 나타나는지 잘 이해하고 있어야 하며 먼저 괄호에서 2를 빼고 제곱의 차이 공식을 사용했습니다. 이것이 당신이 알고 봐야 할 공식입니다.

추천: (거의 모든 유형의) 제한 내에서 괄호 안의 숫자를 빼는 것이 가능하다면 우리는 항상 그렇게 합니다.
또한 이러한 숫자를 제한 아이콘 이상으로 이동하는 것이 좋습니다.. 무엇을 위해? 네, 방해가 되지 않도록 말이죠. 가장 중요한 것은 나중에 솔루션 중에 이 숫자를 잃지 않는 것입니다.

솔루션의 마지막 단계에서는 한계 아이콘에서 두 개를 제거한 다음 마이너스를 제거했습니다.

! 중요한
솔루션 중에 유형 조각이 매우 자주 발생합니다. 이 부분을 줄이세요그것은 금지되어 있다 . 먼저 분자나 분모의 부호를 변경해야 합니다(괄호 안에 -1을 입력).
즉, 한도를 계산할 때 고려되는 빼기 기호가 나타나며 전혀 잃을 필요가 없습니다.

일반적으로 나는 이러한 유형의 극한을 찾을 때 가장 자주 두 가지 문제를 해결해야 한다는 것을 알았습니다. 이차 방정식즉, 분자와 분모 모두 제곱 삼항식을 포함합니다.

분자와 분모를 공액식으로 곱하는 방법

우리는 형태의 불확실성을 계속해서 고려합니다.

다음 유형의 제한은 이전 유형과 유사합니다. 유일한 것은 다항식 외에도 근을 추가하는 것입니다.

실시예 6

한계를 찾아보세요

결정을 시작해 보겠습니다.

먼저 우리는 극한 기호 아래의 표현식에 3을 대입하려고 합니다.
다시 한 번 반복합니다. 이것이 모든 한도에 대해 가장 먼저 해야 할 일입니다.. 이 작업은 일반적으로 정신적으로 또는 초안 형식으로 수행됩니다.

제거해야 할 형태의 불확실성이 얻어졌습니다.

아마도 눈치채셨겠지만, 분자에는 근의 차이가 포함되어 있습니다. 그리고 수학에서는 가능하다면 뿌리를 제거하는 것이 관례입니다. 무엇을 위해? 그리고 그들 없이는 인생이 더 쉽습니다.

시퀀스와 함수의 한계 개념. 수열의 극한을 찾아야 할 경우에는 lim xn=a와 같이 씁니다. 이러한 시퀀스 시퀀스에서 xn은 a에 가까워지고 n은 무한대에 가까워지는 경향이 있습니다. 시퀀스는 일반적으로 시리즈로 표시됩니다. 예를 들면 다음과 같습니다.
x1, x2, x3...,xm,...,xn... .
수열은 증가하는 수열과 감소하는 수열로 구분됩니다. 예를 들어:
xn=n^2 - 증가하는 수열
yn=1/n - 시퀀스
예를 들어 xn=1/n^ 시퀀스의 극한은 다음과 같습니다.
한계 1/n^2=0

x→무엇
이 한계는 n→무한대이므로 0과 같고 시퀀스 1/n^2는 0이 되는 경향이 있습니다.

일반적으로 가변량 x는 유한한 한계 a를 갖는 경향이 있고 x는 지속적으로 a에 접근하며 수량 a는 일정합니다. 이는 다음과 같이 작성됩니다: limx =a, 반면 n은 0 또는 무한대가 될 수도 있습니다. 한계가 무한대에 가까워지는 무한한 함수가 있습니다. 다른 경우, 예를 들어 이 기능이 열차의 속도를 늦추는 경우 한계는 0이 되는 경향이 있습니다.
한계에는 여러 가지 속성이 있습니다. 일반적으로 모든 함수에는 한도가 하나만 있습니다. 이것이 한계의 주요 속성입니다. 기타 사항은 다음과 같습니다.
* 금액 한도는 다음 한도의 합과 같습니다.
한계(x+y)=최소 x+최소 y
* 제품 한도는 한도의 곱과 동일합니다.
림(xy)=림 x*림 y
* 몫의 한도는 한도의 몫과 같습니다.
한계(x/y)=최소 x/최소 y
* 상수 요소는 한계 기호 외부에서 사용됩니다.
림(Cx)=C 림 x
x → π인 함수 1 /x가 주어지면 그 극한은 0입니다. x→0이면 그러한 함수의 극한은 무한대입니다.
을 위한 삼각함수이 규칙에 속합니다. 함수 sin x는 0에 접근할 때 항상 1에 가까워지는 경향이 있으므로 항등식은 다음과 같습니다.
림 사인 x/x=1

많은 함수에는 불확실성이 발생하는 한계를 계산할 때 한계를 계산할 수 없는 상황인 함수가 있습니다. 이 상황에서 벗어날 수 있는 유일한 방법은 L'Hopital입니다. 불확실성에는 두 가지 유형이 있습니다.
* 0/0 형태의 불확실성
* 무한/무엇 형태의 불확실성
예를 들어, 다음 형식의 극한이 제공됩니다: lim f(x)/l(x) 및 f(x0)=l(x0)=0. 이 경우 0/0 형태의 불확실성이 발생합니다. 이러한 문제를 해결하기 위해 두 기능을 차별화한 후 결과의 한계를 찾는다. 0/0 유형의 불확실성에 대한 한계는 다음과 같습니다.
lim f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (x→0에서)
무한/무한 유형의 불확도에도 동일한 규칙이 적용됩니다. 하지만 이 경우에는 다음과 같은 등식이 성립합니다: f(x)=l(x)= Infini
L'Hopital의 규칙을 사용하면 불확실성이 나타나는 모든 한계 값을 찾을 수 있습니다. 전제 조건

볼륨 - 파생 상품을 찾을 때 오류가 없습니다. 예를 들어 함수 (x^2)"의 미분은 2x와 같습니다. 여기에서 다음과 같은 결론을 내릴 수 있습니다.
f"(x)=nx^(n-1)