이 기사의 자료에서는 "방정식 풀기"라는 주제로 이차 방정식을 소개합니다.

모든 것을 자세히 살펴보겠습니다: 이차 방정식의 본질과 기록, 관련 용어 정의, 불완전한 문제 해결을 위한 계획 분석 완전한 방정식, 근과 판별식의 공식에 대해 알아보고, 근과 계수 사이의 연결을 설정하고, 물론 실제 사례에 대한 시각적 솔루션을 제공합니다.

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이차방정식, 그 유형

이차 방정식다음과 같이 쓰여진 방정식이다 a x 2 + b x + c = 0, 어디 엑스– 변수, a, b 및 씨– 일부 숫자, 반면 ㅏ 0이 아닙니다.

자주 이차 방정식본질적으로 이차 방정식은 2차 대수 방정식이기 때문에 2차 방정식이라고도 합니다.

설명하기 위해 예를 들어 보겠습니다. 주어진 정의: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 등 이것은 이차 방정식입니다.

정의 2

숫자 a, b 및 씨는 이차 방정식의 계수입니다. a x 2 + b x + c = 0, 계수는 ㅏ x 2에서 첫 번째, 상위 또는 계수라고 합니다. b - 두 번째 계수 또는 계수 엑스, ㅏ 씨무료회원이라고 합니다.

예를 들어, 이차 방정식에서 6 x 2 − 2 x − 11 = 0선행 계수는 6이고 두 번째 계수는 다음과 같습니다. − 2 , 자유 기간은 다음과 같습니다. − 11 . 계수가 다음과 같다는 사실에 주목합시다. 비및/또는 c가 음수이면 다음을 사용하세요. 짧은 형식다음과 같은 기록 6 x 2 − 2 x − 11 = 0, 하지만 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

이 측면도 명확히 해보겠습니다. 계수가 ㅏ및/또는 비동일한 1 또는 − 1 , 그러면 표시된 수치 계수를 작성하는 특성으로 설명되는 2차 방정식을 작성하는 데 명시적인 역할을 하지 않을 수 있습니다. 예를 들어, 이차 방정식에서 와이 2 − 와이 + 7 = 0선행 계수는 1이고 두 번째 계수는 다음과 같습니다. − 1 .

축소 및 축소되지 않은 이차 방정식

첫 번째 계수의 값에 따라 이차 방정식은 감소된 방정식과 감소되지 않은 방정식으로 구분됩니다.

정의 3

축소된 이차 방정식는 최고차 계수가 1인 2차 방정식입니다. 선행 계수의 다른 값에 대해서는 이차 방정식이 감소되지 않습니다.

예를 들어 보겠습니다. 이차 방정식 x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0이 감소하며 각각의 선행 계수는 1입니다.

9 x 2 − x − 2 = 0- 첫 번째 계수가 다음과 다른 비환원 이차 방정식 1 .

모든 비환원 이차방정식은 양변을 첫 번째 계수(등가변환)로 나누어 환산방정식으로 변환할 수 있습니다. 변환된 방정식은 주어진 비환원 방정식과 동일한 근을 가지거나 전혀 근이 없습니다.

특정 예를 고려하면 축소되지 않은 이차 방정식에서 축소된 방정식으로의 전환을 명확하게 보여줄 수 있습니다.

실시예 1

방정식 6 x 2 + 18 x − 7 = 0이 주어지면 . 원래 방정식을 축소된 형태로 변환하는 것이 필요합니다.

해결책

위의 방식에 따라 원래 방정식의 양변을 선행 계수 6으로 나눕니다. 그러면 우리는 다음을 얻습니다: (6 x 2 + 18 x − 7) : 3 = 0: 3이며 이는 다음과 같습니다. (6×2) : 3 + (18×) : 3 − 7: 3 = 0그리고 더 나아가: (6:6)×2+(18:6)×−7:6=0.여기에서: x 2 + 3 x - 11 6 = 0 . 따라서 주어진 것과 동일한 방정식이 얻어집니다.

답변: x 2 + 3 x - 11 6 = 0 .

완전하고 불완전한 이차 방정식

이차 방정식의 정의를 살펴보겠습니다. 거기에서 우리는 다음과 같이 지정했습니다. a ≠ 0. 방정식에는 유사한 조건이 필요합니다. a x 2 + b x + c = 0정확히 정사각형이었습니다. a = 0그것은 본질적으로 다음과 같이 변환됩니다. 일차 방정식 b x + c = 0.

계수의 경우 비그리고 씨가 0과 같으면(개별적으로나 공동으로 모두 가능함) 이차 방정식을 불완전하다고 합니다.

정의 4

불완전한 이차 방정식- 그러한 이차 방정식 a x 2 + b x + c = 0,여기서 계수 중 적어도 하나는 비그리고 씨(또는 둘 다)는 0입니다.

완전한 이차 방정식– 모든 수치 계수가 0이 아닌 2차 방정식.

이차 방정식의 유형에 정확히 이러한 이름이 부여되는 이유를 논의해 보겠습니다.

b = 0일 때 2차 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다. a x 2 + 0 x + c = 0, 이는 다음과 같습니다. a x 2 + c = 0. ~에 c = 0이차 방정식은 다음과 같이 작성됩니다. a x 2 + b x + 0 = 0, 이는 동일합니다. a x 2 + b x = 0. ~에 b = 0그리고 c = 0방정식은 다음과 같은 형태를 취합니다 에 × 2 = 0. 우리가 얻은 방정식은 왼쪽 변에 변수 x가 있는 항이나 자유 항 또는 둘 다가 포함되지 않는다는 점에서 완전한 2차 방정식과 다릅니다. 실제로, 이 사실은 이러한 유형의 방정식에 불완전이라는 이름을 부여했습니다.

예를 들어, x 2 + 3 x + 4 = 0 및 − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0은 완전한 2차 방정식입니다. x 2 = 0, − 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – 불완전한 2차 방정식.

불완전한 2차 방정식 풀기

위에 주어진 정의를 통해 다음 유형의 불완전 이차 방정식을 구별할 수 있습니다.

• 에 × 2 = 0, 이 방정식은 계수에 해당합니다 b = 0그리고 c = 0;
• a · x 2 + c = 0 at b = 0 ;
• a · x 2 + b · x = 0 at c = 0.

각 유형의 불완전 이차방정식의 해를 순차적으로 살펴보겠습니다.

방정식 a x 2 =0의 해

위에서 언급했듯이 이 방정식은 계수에 해당합니다. 비그리고 씨, 0과 같습니다. 방정식 에 × 2 = 0등가 방정식으로 변환될 수 있다 x 2 = 0, 우리는 원래 방정식의 양변을 숫자로 나누어 얻습니다. ㅏ, 0이 아닙니다. 분명한 사실은 방정식의 근본은 x 2 = 0이건 0이니까 0 2 = 0 . 이 방정식에는 차수 속성으로 설명할 수 있는 다른 근이 없습니다. 피, 0이 아닌 경우 부등식은 참입니다. 피 2 > 0, 그로부터 다음과 같은 경우가 발생합니다. p ≠ 0평등 p 2 = 0결코 달성되지 않을 것입니다.

정의 5

따라서 불완전한 이차 방정식 a x 2 = 0에 대해 고유한 근이 있습니다. 엑스 = 0.

실시예 2

예를 들어, 불완전한 이차방정식을 풀어보겠습니다. − 3×2 = 0. 이는 방정식과 같습니다 x 2 = 0, 유일한 루트는 엑스 = 0, 원래 방정식에는 단일 근 - 0이 있습니다.

간단히 말해서 솔루션은 다음과 같이 작성됩니다.

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

방정식 a x 2 + c = 0 풀기

다음 줄은 불완전한 이차 방정식의 해입니다. 여기서 b = 0, c ≠ 0, 즉 다음 형식의 방정식입니다. a x 2 + c = 0. 방정식의 한쪽에서 다른 쪽으로 항을 이동하고 부호를 반대쪽으로 변경하고 방정식의 양쪽을 0이 아닌 숫자로 나누어 이 방정식을 변환해 보겠습니다.

• 옮기다 씨오른쪽에 방정식을 제공합니다. a · x 2 = − c;
• 방정식의 양변을 다음으로 나눕니다. ㅏ, 우리는 x = - c a 로 끝납니다.

우리의 변환은 동일합니다. 따라서 결과 방정식도 원래 방정식과 동일하며, 이 사실을 통해 방정식의 근에 대한 결론을 도출할 수 있습니다. 가치는 무엇입니까? ㅏ그리고 씨표현식의 값 - c a는 다음과 같습니다. 빼기 기호를 가질 수 있습니다(예를 들어, a = 1그리고 c = 2, - c a = - 2 1 = - 2) 또는 더하기 기호(예: a = - 2그리고 c = 6, 그런 다음 - c a = - 6 - 2 = 3); 0이 아니기 때문에 c ≠ 0. 다음과 같은 상황에 대해 더 자세히 설명하겠습니다.< 0 и - c a > 0 .

- c a의 경우< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа 피평등 p 2 = - c a는 참일 수 없습니다.

- c a > 0일 때 모든 것이 달라집니다. 제곱근을 기억하면 방정식 x 2 = - c a의 근이 - c a 2 = - c a이기 때문에 숫자 - ca가 될 것이라는 것이 분명해질 것입니다. 숫자 - - c a가 방정식 x 2 = - c a의 근이기도 함을 이해하는 것은 어렵지 않습니다. 실제로 - - c a 2 = - c a입니다.

방정식에는 다른 근이 없습니다. 모순의 방법을 사용하여 이를 증명할 수 있습니다. 우선, 위에서 찾은 근에 대한 표기법을 다음과 같이 정의하겠습니다. x 1그리고 - x 1. 방정식 x 2 = - c a에도 근이 있다고 가정해 보겠습니다. x 2, 이는 뿌리와 다릅니다. x 1그리고 - x 1. 우리는 방정식을 대입하여 이를 알 수 있습니다. 엑스그 뿌리를 바탕으로 방정식을 공정한 수치 평등으로 변환합니다.

을 위한 x 1그리고 - x 1우리는 다음과 같이 씁니다: x 1 2 = - c a , 그리고 x 2- x 2 2 = - c . 수치적 평등의 속성에 기초하여, 우리는 다른 용어에서 하나의 올바른 평등 용어를 빼면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다. 엑스 1 2 − 엑스 2 2 = 0. 우리는 숫자 연산의 속성을 사용하여 마지막 동등성을 다음과 같이 다시 작성합니다. (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. 두 숫자의 곱은 숫자 중 적어도 하나가 0인 경우에만 0인 것으로 알려져 있습니다. 위에서부터 다음과 같다. 엑스 1 − 엑스 2 = 0및/또는 엑스 1 + 엑스 2 = 0, 이는 동일합니다 엑스 2 = 엑스 1및/또는 엑스 2 = - 엑스 1. 명백한 모순이 발생했는데, 왜냐하면 처음에는 방정식의 근본이 다음과 같이 합의되었기 때문입니다. x 2~와 다르다 x 1그리고 - x 1. 따라서 우리는 방정식에 x = - c a 및 x = - - c a 이외의 근이 없음을 증명했습니다.

위의 모든 주장을 요약해 보겠습니다.

정의 6

불완전한 이차 방정식 a x 2 + c = 0방정식 x 2 = - c a와 동일하며, 이는 다음과 같습니다.

• - ca에 뿌리가 없습니다< 0 ;
• 두 개의 근 x = - c a 및 x = - - c a - c a > 0을 갖습니다.

방정식을 푸는 예를 들어 보겠습니다. a x 2 + c = 0.

실시예 3

이차 방정식이 주어지면 9 x 2 + 7 = 0.해결책을 찾는 것이 필요합니다.

해결책

자유항을 방정식의 오른쪽으로 옮기면 방정식은 다음과 같은 형식을 취하게 됩니다. 9×2 = − 7.
결과 방정식의 양변을 다음과 같이 나누어 보겠습니다. 9 , x 2 = - 7 9 에 도달합니다. 오른쪽에는 빼기 기호가 있는 숫자가 표시됩니다. 이는 주어진 방정식에 근이 없음을 의미합니다. 그러면 원래의 불완전한 이차 방정식은 9×2+7=0뿌리가 없을 것이다.

답변:방정식 9×2+7=0뿌리가 없습니다.

실시예 4

방정식을 풀어야합니다 − x 2 + 36 = 0.

해결책

36을 오른쪽으로 이동해 보겠습니다. − x 2 = − 36.
두 부분을 다음과 같이 나누어 보겠습니다. − 1 , 우리는 얻는다 x 2 = 36. 오른쪽에 - 정수, 여기에서 우리는 다음과 같은 결론을 내릴 수 있습니다 x = 36 또는 x = - 36 .
근을 추출하고 최종 결과를 적어 봅시다: 불완전한 이차 방정식 − x 2 + 36 = 0뿌리가 2개 있다 엑스 = 6또는 x = - 6.

답변: 엑스 = 6또는 x = - 6.

방정식 a x 2 +b x=0의 해

불완전한 이차방정식의 세 번째 유형을 분석해 보겠습니다. c = 0. 불완전한 이차 방정식의 해를 찾으려면 a x 2 + b x = 0, 인수분해 방법을 사용하겠습니다. 괄호 안의 공통인수를 빼서 방정식의 왼쪽에 있는 다항식을 인수분해해 봅시다. 엑스. 이 단계를 통해 원래의 불완전한 이차 방정식을 동등한 방정식으로 변환할 수 있습니다. x(a x + b) = 0. 그리고 이 방정식은 차례로 일련의 방정식과 동일합니다. 엑스 = 0그리고 x + b = 0. 방정식 x + b = 0선형 및 그 루트: x = − 바.

정의 7

따라서 불완전한 이차 방정식은 a x 2 + b x = 0뿌리가 두 개 있을 거에요 엑스 = 0그리고 x = − 바.

예를 들어 자료를 강화해 보겠습니다.

실시예 5

방정식 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0에 대한 해를 찾아야 합니다.

해결책

우리가 꺼내줄게 엑스괄호 밖에서 우리는 방정식 x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 을 얻습니다. 이 방정식은 다음 방정식과 동일합니다. 엑스 = 0그리고 2 3 x - 2 2 7 = 0입니다. 이제 결과 선형 방정식을 풀어야 합니다: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

다음과 같이 방정식의 해를 간략하게 작성하십시오.

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 또는 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 또는 x = 3 3 7

답변: x = 0, x = 3 3 7.

판별식, 이차 방정식의 근에 대한 공식

이차 방정식의 해를 찾으려면 루트 공식이 있습니다.

정의 8

x = - b ± D 2 · a, 여기서 D = b 2 − 4 a c– 소위 이차 방정식의 판별식.

x = - b ± D 2 · a라고 쓰면 본질적으로 x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a를 의미합니다.

이 공식이 어떻게 도출되고 어떻게 적용되는지 이해하는 것이 도움이 될 것입니다.

이차 방정식의 근에 대한 공식 유도

이차 방정식을 푸는 과제에 직면해 보겠습니다. a x 2 + b x + c = 0. 여러 가지 동등한 변환을 수행해 보겠습니다.

• 방정식의 양변을 숫자로 나눕니다. ㅏ, 0과 다르게 다음과 같은 이차 방정식을 얻습니다. x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• 결과 방정식의 왼쪽에서 완전한 정사각형을 선택해 보겠습니다.
  x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + ㄷ
  그 후 방정식은 x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0의 형식을 취합니다.
• 이제 마지막 두 항을 오른쪽으로 옮기고 부호를 반대쪽으로 바꾸는 것이 가능합니다. 그 후에 우리는 다음을 얻습니다: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• 마지막으로, 마지막 등식의 오른쪽에 쓰여진 표현식을 변환합니다.
  b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

따라서 우리는 원래 방정식과 동일한 x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 방정식에 도달합니다. a x 2 + b x + c = 0.

우리는 이전 단락(불완전한 2차 방정식 풀기)에서 그러한 방정식의 해를 조사했습니다. 이미 얻은 경험을 통해 방정식 x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2의 근에 관한 결론을 도출할 수 있습니다.

• b 2 - 4 a c 4 a 2 포함< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0일 때 방정식은 x + b 2 · a 2 = 0이고 x + b 2 · a = 0입니다.

여기에서 유일한 근 x = - b 2 · a는 분명합니다.

• b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0인 경우 다음이 참입니다: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 또는 x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 는 x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 또는 x = - b 2 · a - b 2 - 4와 동일합니다. · a · c 4 · a 2, 즉 방정식에는 두 개의 근이 있습니다.

방정식 x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (따라서 원래 방정식)의 근의 존재 여부는 표현식 b의 부호에 따라 결정된다는 결론을 내릴 수 있습니다. 2 - 4 · a · c 4 · a 2가 오른쪽에 적혀 있습니다. 그리고 이 표현의 부호는 분자의 부호(분모)로 주어집니다. 4 대 2항상 양수입니다), 즉 표현식의 부호입니다. b 2 - 4a c. 이 표현 b 2 - 4a c이름이 주어집니다 - 이차 방정식의 판별식과 문자 D가 그 지정으로 정의됩니다. 여기에서 판별식의 본질을 기록할 수 있습니다. 값과 부호를 기반으로 이차 방정식에 실제 근이 있는지 여부와 그렇다면 근의 수는 1 또는 2인지 결론을 내릴 수 있습니다.

방정식 x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 로 돌아가 보겠습니다. 판별 표기법을 사용하여 다시 작성해 보겠습니다. x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

결론을 다시 공식화해 보겠습니다.

정의 9

• ~에 디< 0 방정식에는 실제 뿌리가 없습니다.
• ~에 D=0방정식은 단일 근을 가집니다. x = - b 2 · a ;
• ~에 D > 0방정식에는 두 개의 근이 있습니다. x = - b 2 · a + D 4 · a 2 또는 x = - b 2 · a - D 4 · a 2. 라디칼의 특성에 따라 이러한 근은 x = - b 2 · a + D 2 · a 또는 - b 2 · a - D 2 · a 형식으로 작성될 수 있습니다. 그리고 모듈을 열고 분수를 공통 분모로 가져오면 x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a를 얻습니다.

따라서 우리 추론의 결과는 이차 방정식의 근에 대한 공식을 유도하는 것이었습니다.

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, 판별식 디공식으로 계산 D = b 2 − 4 a c.

이러한 공식을 사용하면 판별식이 0보다 클 때 두 실근을 모두 결정할 수 있습니다. 판별식이 0인 경우 두 공식을 모두 적용하면 다음과 같이 동일한 근이 제공됩니다. 유일한 결정이차 방정식. 판별식이 음수인 경우 이차 방정식의 근에 대한 공식을 사용하려고 하면 다음을 추출해야 하는 문제에 직면하게 됩니다. 제곱근~에서 음수, 이는 우리를 실수 너머로 데려갈 것입니다. 음의 판별식을 사용하면 이차 방정식에는 실수 근이 없지만, 우리가 얻은 동일한 근 공식에 의해 결정되는 한 쌍의 복소수 켤레 근이 가능합니다.

근 공식을 사용하여 2차 방정식을 풀기 위한 알고리즘

근 공식을 이용하여 바로 이차 방정식을 푸는 것도 가능하지만, 이는 일반적으로 복소수 근을 구해야 할 때 수행됩니다.

대부분의 경우 이는 일반적으로 복소수를 찾는 것이 아니라 이차 방정식의 실수근을 찾는 것을 의미합니다. 그런 다음 이차 방정식의 근에 대한 공식을 사용하기 전에 먼저 판별식을 결정하고 그것이 음수가 아닌지 확인하는 것이 최적입니다(그렇지 않으면 방정식에 실제 근이 없다고 결론을 내릴 것입니다). 그런 다음 다음을 계산합니다. 뿌리의 가치.

위의 추론을 통해 이차 방정식을 풀기 위한 알고리즘을 공식화할 수 있습니다.

정의 10

이차 방정식을 풀려면 a x 2 + b x + c = 0, 필요한:

• 공식에 따르면 D = b 2 − 4 a c판별 값을 찾으십시오.
• D에< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• D = 0인 경우 공식 x = - b 2 · a를 사용하여 방정식의 유일한 근을 찾습니다.
• D > 0인 경우 공식 x = - b ± D 2 · a를 사용하여 2차 방정식의 두 실수 근을 결정합니다.

판별식이 0인 경우 공식 x = - b ± D 2 · a를 사용할 수 있으며 이는 공식 x = - b 2 · a와 동일한 결과를 제공합니다.

예를 살펴 보겠습니다.

이차 방정식 풀이의 예

예시에 대한 해결책을 제시해 보겠습니다. 다른 의미판별.

실시예 6

우리는 방정식의 근을 찾아야 합니다 x 2 + 2 x − 6 = 0.

해결책

이차 방정식의 수치 계수를 적어 보겠습니다. a = 1, b = 2 및 c = - 6. 다음으로 알고리즘에 따라 진행합니다. 계수 a, b를 대체하는 판별식 계산을 시작해 보겠습니다. 그리고 씨판별 공식에: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .

따라서 우리는 D > 0을 얻습니다. 이는 원래 방정식에 두 개의 실수 근이 있음을 의미합니다.
이를 찾기 위해 루트 공식 x = - b ± D 2 · a를 사용하고 해당 값을 대체하여 x = - 2 ± 28 2 · 1을 얻습니다. 루트 부호에서 인수를 제거한 다음 분수를 줄여 결과 표현식을 단순화해 보겠습니다.

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 또는 x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 또는 x = - 1 - 7

답변: x = - 1 + 7 ​​​​​​, x = - 1 - 7 .

실시예 7

이차방정식을 풀어야 함 − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

해결책

판별식을 정의해 보겠습니다. D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. 이 판별식 값을 사용하면 원래 방정식은 공식 x = - b 2 · a에 의해 결정되는 단 하나의 근을 갖게 됩니다.

x = - 28 2 (- 4) x = 3.5

답변: 엑스 = 3.5.

실시예 8

방정식을 풀어야합니다 5y 2 + 6y + 2 = 0

해결책

이 방정식의 수치 계수는 a = 5, b = 6 및 c = 2입니다. 우리는 판별식을 찾기 위해 다음 값을 사용합니다: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . 계산된 판별식은 음수이므로 원래 이차 방정식에는 실수 근이 없습니다.

작업이 복소수 근을 나타내는 것인 경우 근 공식을 적용하여 복소수로 작업을 수행합니다.

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 또는 x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i 또는 x = - 3 5 - 1 5 · i.

답변:실제 뿌리는 없습니다. 복소수 근은 다음과 같습니다: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

안에 학교 커리큘럼복소수 근을 찾는 데 필요한 표준 요구 사항은 없습니다. 따라서 풀이 과정에서 판별식이 음수로 결정되면 실제 근이 없다는 답이 즉시 기록됩니다.

짝수 번째 계수에 대한 근 공식

근 공식 x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c)를 사용하면 더 컴팩트한 또 다른 공식을 얻을 수 있으므로 x에 대해 짝수 계수를 사용하여 2차 방정식의 해를 찾을 수 있습니다( 또는 2 · n 형식의 계수를 사용합니다(예: 2 3 또는 14 ln 5 = 2 7 ln 5). 이 공식이 어떻게 도출되는지 보여드리겠습니다.

2차 방정식 a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 에 대한 해를 찾는 작업에 직면해 보겠습니다. 우리는 알고리즘에 따라 진행합니다. 판별식 D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c)를 결정한 다음 근 공식을 사용합니다.

x = - 2n ± D 2a, x = - 2n ± 4n 2 - a c 2 a, x = - 2n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

표현 n 2 − a · c를 D 1로 표시합니다 (때로는 D "로 표시됨). 그런 다음 두 번째 계수 2 · n을 사용하여 고려중인 이차 방정식의 근에 대한 공식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

x = - n ± D 1 a, 여기서 D 1 = n 2 − a · c.

D = 4 · D 1, 즉 D 1 = D 4임을 쉽게 알 수 있습니다. 즉, D 1은 판별식의 4분의 1입니다. 분명히, D 1의 부호는 D의 부호와 동일합니다. 이는 D 1의 부호가 이차 방정식의 근의 존재 여부를 나타내는 지표 역할을 할 수도 있음을 의미합니다.

정의 11

따라서 두 번째 계수가 2n인 이차 방정식의 해를 찾으려면 다음이 필요합니다.

• D 1 = n 2 − a · c를 구합니다.
• D 1에< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• D 1 = 0일 때 공식 x = - n a를 사용하여 방정식의 유일한 근을 결정합니다.
• D 1 > 0인 경우 공식 x = - n ± D 1 a를 사용하여 두 개의 실수 근을 결정합니다.

실시예 9

2차 방정식 5 x 2 − 6 x − 32 = 0을 풀어야 합니다.

해결책

주어진 방정식의 두 번째 계수는 2 · (− 3) 으로 나타낼 수 있습니다. 그런 다음 주어진 이차 방정식을 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0으로 다시 작성합니다. 여기서 a = 5, n = − 3 및 c = − 32입니다.

판별식의 네 번째 부분을 계산해 보겠습니다. D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. 결과 값은 양수입니다. 이는 방정식에 두 개의 실수 근이 있음을 의미합니다. 해당 루트 공식을 사용하여 이를 결정해 보겠습니다.

x = - n ± D 1a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 또는 x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 또는 x = - 2

이차 방정식의 근에 대한 일반적인 공식을 사용하여 계산을 수행하는 것이 가능하지만 이 경우 솔루션이 더 번거롭습니다.

답변: x = 31 5 또는 x = - 2 .

2차 방정식의 형태 단순화

때로는 원래 방정식의 형식을 최적화하여 근을 계산하는 과정을 단순화할 수 있습니다.

예를 들어, 2차 방정식 12 x 2 − 4 x − 7 = 0은 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0보다 확실히 더 쉽게 풀 수 있습니다.

더 자주, 이차 방정식 형태의 단순화는 양쪽에 특정 숫자를 곱하거나 나누어 수행됩니다. 예를 들어, 위에서 우리는 양 변을 100으로 나누어 얻은 방정식 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0의 단순화된 표현을 보여주었습니다.

이러한 변환은 이차 방정식의 계수가 서로 같지 않을 때 가능합니다. 소수. 그런 다음 일반적으로 방정식의 양변을 가장 큰 값으로 나눕니다. 공약수 절대값계수.

예를 들어, 2차 방정식 12 x 2 − 42 x + 48 = 0을 사용합니다. 계수의 절대값의 GCD를 결정해 보겠습니다. GCD (12, 42, 48) = GCD(GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. 원래 이차 방정식의 양변을 6으로 나누고 등가 이차 방정식 2 x 2 − 7 x + 8 = 0을 얻습니다.

이차 방정식의 양변을 곱하면 일반적으로 분수 계수가 제거됩니다. 이 경우 계수의 분모의 최소 공배수를 곱합니다. 예를 들어, 2차 방정식 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0의 각 부분에 LCM (6, 3, 1) = 6을 곱하면 더 많은 형식으로 작성됩니다. 간단한 형태로 x 2 + 4 x − 18 = 0 .

마지막으로, 우리는 방정식의 각 항의 부호를 변경하여 이차 방정식의 첫 번째 계수에서 거의 항상 마이너스를 제거한다는 점에 주목합니다. 이는 양쪽에 − 1을 곱하거나 나누어서 달성됩니다. 예를 들어, 2차 방정식 − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0에서 단순화된 버전인 2 x 2 + 3 x − 7 = 0으로 이동할 수 있습니다.

근과 계수의 관계

우리에게 이미 알려진 이차 방정식의 근에 대한 공식 x = - b ± D 2 · a는 수치 계수를 통해 방정식의 근을 표현합니다. 이 공식을 기반으로 근과 계수 사이의 다른 종속성을 지정할 수 있습니다.

가장 유명하고 적용 가능한 공식은 Vieta의 정리입니다.

x 1 + x 2 = - b a 및 x 2 = c a.

특히, 주어진 이차 방정식에 대해 근의 합은 다음과 같은 두 번째 계수입니다. 반대 기호이고, 근의 곱은 자유항과 같습니다. 예를 들어, 2차 방정식 3 x 2 − 7 x + 22 = 0의 형태를 보면 근의 합이 7 3이고 근의 곱이 22 3이라는 것을 즉시 알 수 있습니다.

또한 이차 방정식의 근과 계수 사이의 다른 여러 연결을 찾을 수도 있습니다. 예를 들어, 이차 방정식의 근의 제곱의 합은 계수로 표현될 수 있습니다.

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a ca 2.

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불완전한 2차 방정식은 인수 또는 자유 항이 0과 같다는 점에서 고전(완전) 방정식과 다릅니다. 이러한 함수의 그래프는 포물선입니다. 일반적인 외관에 따라 3가지 그룹으로 나뉩니다. 모든 유형의 방정식에 대한 해법의 원리는 동일합니다.

불완전 다항식의 유형을 결정하는 데 복잡한 것은 없습니다. 시각적 예를 사용하여 주요 차이점을 고려하는 것이 가장 좋습니다.

1. b = 0이면 방정식은 ax 2 + c = 0입니다.
2. c = 0이면 ax 2 + bx = 0 표현식을 풀어야 합니다.
3. b = 0이고 c = 0이면 다항식은 ax 2 = 0과 같은 등식으로 변합니다.

후자의 경우는 이론적 가능성에 더 가깝고 지식 테스트 작업에서는 절대 발생하지 않습니다. 표현식에서 변수 x의 유일한 올바른 값은 0이기 때문입니다. 앞으로는 1), 2) 유형의 불완전 이차방정식을 푸는 방법과 예를 살펴보도록 하겠다.

솔루션이 포함된 변수 및 예제를 검색하기 위한 일반 알고리즘

방정식 유형에 관계없이 솔루션 알고리즘은 다음 단계로 축소됩니다.

1. 어근을 찾기에 편리한 형태로 표현을 줄입니다.
2. 계산을 수행합니다.
3. 답을 적어보세요.

불완전한 방정식을 푸는 가장 쉬운 방법은 인수분해하는 것입니다. 왼쪽오른쪽에는 0을 남겨 둡니다. 따라서 근을 찾기 위한 불완전한 이차 방정식의 공식은 각 요인에 대한 x 값을 계산하는 것으로 축소됩니다.

실제로 해결하는 방법만 배울 수 있으므로 생각해 봅시다. 구체적인 예불완전한 방정식의 근을 찾는 방법:

보시다시피, 이 경우 b = 0. 좌변을 인수분해하여 다음 식을 얻습니다.

4(x – 0.5) ⋅ (x + 0.5) = 0.

분명히, 요소 중 적어도 하나가 0과 같을 때 곱은 0과 같습니다. 변수 x1 = 0.5 및(또는) x2 = -0.5의 값은 유사한 요구 사항을 충족합니다.

분해작업을 쉽고 빠르게 처리하기 위해 이차 삼항식요인별로 다음 공식을 기억하세요.

표현식에 자유항이 없으면 문제가 크게 단순화됩니다. 찾아서 대괄호로 묶는 것만으로도 충분합니다. 공통분모. 명확성을 위해 ax2 + bx = 0 형식의 불완전한 2차 방정식을 푸는 방법에 대한 예를 고려하십시오.

대괄호에서 변수 x를 꺼내 다음 표현식을 얻습니다.

x ⋅ (x + 3) = 0.

논리에 따라 x1 = 0, x2 = -3이라는 결론에 도달합니다.

전통적인 해법과 불완전한 2차 방정식

판별 공식을 적용하고 계수가 0인 다항식의 근을 찾으려고 하면 어떻게 될까요? 컬렉션의 예를 들어 보겠습니다. 일반적인 작업 2017년 수학 통합 국가 시험에서는 표준 공식과 인수분해 방법을 사용하여 문제를 해결합니다.

7x 2 – 3x = 0.

판별 값을 계산해 보겠습니다. D = (-3)2 – 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 = 9. 다항식에는 두 개의 근이 있는 것으로 나타났습니다.

이제, 인수분해를 통해 방정식을 풀고 결과를 비교해 보겠습니다.

X ⋅ (7x + 3) = 0,

2) 7x + 3 = 0,
7x = -3,
x = -.

보시다시피 두 방법 모두 동일한 결과를 제공하지만 두 번째 방법을 사용하여 방정식을 푸는 것이 훨씬 쉽고 빠릅니다.

비에타의 정리

하지만 비에타가 가장 좋아하는 정리를 어떻게 해야 할까요? 삼항식이 불완전할 때 이 방법을 사용할 수 있나요? 불완전한 방정식을 가져오는 측면을 이해하려고 노력합시다. 클래식한 모습 ax2 + bx + c = 0.

실제로 이 경우에는 Vieta의 정리를 적용하는 것이 가능합니다. 누락된 용어를 0으로 대체하여 표현식을 일반 형식으로 가져오기만 하면 됩니다.

예를 들어, b = 0 및 a = 1인 경우 혼동 가능성을 없애기 위해 작업은 ax2 + 0 + c = 0 형식으로 작성되어야 합니다. 그런 다음 근과 곱의 합계와 곱의 비율은 다음과 같습니다. 다항식의 인수는 다음과 같이 표현될 수 있습니다:

이론적 계산은 문제의 본질을 파악하는 데 도움이 되며, 문제를 해결할 때 항상 연습 기술이 필요합니다. 특정 작업. 통합 상태 시험에 대한 표준 작업 참고서를 다시 살펴보고 적절한 예를 찾아 보겠습니다.

Vieta의 정리를 적용하기에 편리한 형식으로 표현을 작성해 보겠습니다.

x 2 + 0 – 16 = 0.

다음 단계는 조건 시스템을 만드는 것입니다.

분명히, 이차 다항식의 근은 x 1 = 4 및 x 2 = -4입니다.

이제 방정식을 일반적인 형태로 바꾸는 연습을 해 보겠습니다. 다음 예를 들어보겠습니다: 1/4× x 2 – 1 = 0

비에타의 정리를 표현식에 적용하려면 분수를 제거해야 합니다. 왼쪽과 오른쪽에 4를 곱하고 결과를 살펴보겠습니다: x2– 4 = 0. 결과 평등은 비에타의 정리로 풀 준비가 되어 있지만 단순히 c =를 이동하여 답을 얻는 것이 훨씬 더 쉽고 빠릅니다. 4를 방정식 오른쪽으로: x2 = 4.

요약하자면 이렇게 말해야 한다. 가장 좋은 방법불완전한 방정식을 푸는 것은 인수분해이며, 가장 간단하고 빠른 방법. 뿌리를 찾는 과정에서 어려움이 발생하면 문의하실 수 있습니다. 전통적인 방법판별식을 통해 뿌리를 찾는다.

함께 일하자 이차 방정식. 이것은 매우 인기 있는 방정식입니다! 매우 일반적인 견해이차 방정식은 다음과 같습니다:

예를 들어:

여기 ㅏ =1; 비 = 3; 씨 = -4

여기 ㅏ =2; 비 = -0,5; 씨 = 2,2

여기 ㅏ =-3; 비 = 6; 씨 = -18

글쎄요, 이해하시겠죠...

이차 방정식을 푸는 방법은 무엇입니까?이 형식의 이차 방정식이 앞에 있다면 모든 것이 간단합니다. 기억하자 마법의 단어 판별력이 있는 . 이 단어를 들어보지 못한 고등학생은 거의 없습니다! "우리는 판별식을 통해 해결합니다"라는 문구는 자신감과 확신을 불러일으킵니다. 판별식에서 트릭을 기대할 필요가 없기 때문입니다! 사용이 간단하고 문제가 없습니다. 따라서 이차 방정식의 근을 찾는 공식은 다음과 같습니다.

어근 기호 아래의 표현은 다음과 같습니다. 판별력이 있는. 보시다시피 X를 찾기 위해 다음을 사용합니다. a, b, c만. 저것들. 이차 방정식의 계수. 값을 신중하게 대체하십시오. a, b, c이것이 우리가 계산하는 공식입니다. 대체하자 당신만의 간판으로! 예를 들어, 첫 번째 방정식의 경우 ㅏ =1; 비 = 3; 씨= -4. 여기에 적어보겠습니다.

예제는 거의 해결되었습니다.

그게 다야.

이 공식을 사용하면 어떤 경우가 가능합니까? 경우는 세 가지뿐입니다.

1. 판별식은 양수입니다. 이는 뿌리가 추출될 수 있음을 의미합니다. 뿌리가 잘 추출되었는지, 아니면 잘 추출되지 않았는지는 또 다른 문제입니다. 중요한 것은 원칙적으로 무엇을 추출하느냐이다. 그러면 이차 방정식에는 두 개의 근이 있습니다. 두 가지 다른 솔루션.

2. 판별식이 0입니다. 그렇다면 해결책은 하나입니다. 엄밀히 말하면 이것은 하나의 뿌리가 아니지만, 두 개의 동일한. 그러나 이는 불평등의 원인이 되므로 이 문제에 대해 더 자세히 연구하겠습니다.

3. 판별식은 음수입니다. 음수의 제곱근은 취할 수 없습니다. 글쎄요. 즉, 해결책이 없습니다.

모든 것이 매우 간단합니다. 그리고 실수하는 것이 불가능하다고 생각하십니까? 응, 응, 어떻게...
가장 흔한 실수는 부호 값과의 혼동입니다. a, b, c. 또는 오히려 기호 (혼란스러워야 할 부분)가 아니라 근 계산 공식에 음수 값을 대체합니다. 여기서 도움이 되는 것은 특정 숫자로 수식을 자세히 기록하는 것입니다. 계산에 문제가 있는 경우, 그렇게!

다음 예제를 풀어야 한다고 가정해 보겠습니다.

여기 a = -6; b = -5; c = -1

처음에는 답변을 얻는 경우가 거의 없다는 것을 알고 있다고 가정해 보겠습니다.

글쎄, 게으르지 마십시오. 한 줄을 추가로 작성하는데 30초 정도 소요됩니다. 급격히 줄어들 것이다. 따라서 우리는 모든 괄호와 기호를 사용하여 자세히 작성합니다.

이렇게 세심하게 글을 쓴다는 것은 정말 어려운 일인 것 같습니다. 하지만 그럴 것 같습니다. 시도 해봐. 글쎄, 아니면 선택하세요. 빠르거나 옳은 것 중 무엇이 더 낫나요? 게다가 나는 당신을 행복하게 해줄 것입니다. 시간이 지나면 모든 것을 그렇게 주의 깊게 기록할 필요가 없게 됩니다. 그것은 저절로 잘 될 것입니다. 특히 당신이 사용하는 경우 실용적인 기술, 아래에 설명되어 있습니다. 단점이 많은 이 사악한 예는 오류 없이 쉽게 풀 수 있습니다!

그래서, 이차 방정식을 푸는 방법우리가 기억하는 판별식을 통해. 아니면 배웠습니다. 그것도 좋습니다. 당신은 올바르게 결정하는 방법을 알고 있습니다 a, b, c. 방법을 아시나요? 주의 깊게이를 루트 공식으로 대체하고 주의 깊게결과를 계산해 보세요. 여기서 핵심 단어는 다음과 같습니다. 주의 깊게?

그러나 이차 방정식은 종종 약간 다르게 보입니다. 예를 들어 다음과 같습니다.

이것 불완전한 이차 방정식 . 판별식을 통해서도 풀 수 있습니다. 여기서 동일한 것이 무엇인지 정확하게 이해하면 됩니다. a, b, c.

알아냈나요? 첫 번째 예에서는 a = 1; b = -4;ㅏ 씨? 전혀 거기에 없습니다! 네, 맞습니다. 수학에서 이것은 다음을 의미합니다. c = 0 ! 그게 다야. 대신 공식에 0을 대입하세요. 씨,그리고 우리는 성공할 것입니다. 두 번째 예와 동일합니다. 여기에는 0이 없습니다 와 함께, ㅏ 비 !

그러나 불완전한 이차 방정식은 훨씬 더 간단하게 풀 수 있습니다. 어떤 차별도 없이. 첫 번째를 생각해 봅시다. 불완전한 방정식. 왼쪽에서는 무엇을 할 수 있나요? 대괄호에서 X를 빼낼 수 있습니다! 그것을 꺼내자.

그리고 이것은 무엇입니까? 그리고 인수 중 하나라도 0인 경우에만 곱이 0이라는 사실! 나를 믿지 못합니까? 좋아요, 그러면 곱하면 0이 되는 0이 아닌 숫자 두 개를 생각해 보세요!
작동하지 않습니까? 그게 다야 ...
그러므로 우리는 자신있게 다음과 같이 쓸 수 있습니다. 엑스 = 0, 또는 엑스 = 4

모두. 이것이 우리 방정식의 근본이 될 것입니다. 둘 다 적합합니다. 이들 중 하나를 원래 방정식에 대입하면 올바른 항등식 0 = 0을 얻습니다. 보시다시피 솔루션은 판별식을 사용하는 것보다 훨씬 간단합니다.

두 번째 방정식도 간단하게 풀 수 있습니다. 9를 오른쪽으로 이동합니다. 우리는 다음을 얻습니다:

남은 것은 9에서 근을 추출하는 것뿐입니다. 결과는 다음과 같습니다.

뿌리도 2개 . x = +3 및 x = -3.

이것이 모든 불완전한 이차방정식을 푸는 방법입니다. 괄호 안에 X를 넣거나 단순 이체오른쪽에 숫자를 입력한 다음 루트를 추출합니다.
이러한 기술을 혼동하는 것은 극히 어렵습니다. 단순히 첫 번째 경우에는 X의 근을 추출해야 하는데, 이는 다소 이해할 수 없는 일이고, 두 번째 경우에는 대괄호에서 빼낼 것이 아무것도 없기 때문입니다...

이제 오류 수를 획기적으로 줄이는 실용적인 기술에 주목해 보세요. 부주의로 인해 발생하는 동일한 것들... 나중에는 고통스럽고 공격적이 됩니다...

첫 번째 약속. 이차 방정식을 풀기 전에 게으르지 말고 표준 형식으로 가져오세요. 이것은 무엇을 의미 하는가?
모든 변환 후에 다음 방정식을 얻는다고 가정해 보겠습니다.

루트 공식을 작성하기 위해 서두르지 마십시오! 거의 확실하게 확률이 뒤섞일 것입니다. a, b, c.예제를 올바르게 구성하십시오. 먼저 X 제곱, 그 다음 무제곱, 그 다음 자유 항입니다. 이와 같이:

그리고 다시 한 번 말하지만, 서두르지 마세요! X 제곱 앞에 마이너스가 있으면 정말 당황스러울 수 있습니다. 잊어버리기 쉽습니다... 마이너스를 없애세요. 어떻게? 예, 이전 주제에서 가르친 대로입니다! 전체 방정식에 -1을 곱해야 합니다. 우리는 다음을 얻습니다:

하지만 이제 안전하게 근에 대한 공식을 작성하고 판별식을 계산한 후 예제 풀이를 마칠 수 있습니다. 스스로 결정하십시오. 이제 루트 2와 -1이 있어야 합니다.

2차 접수.뿌리를 확인해보세요! Vieta의 정리에 따르면. 겁내지 마세요. 제가 다 설명해드릴게요! 확인 중 마지막 것방정식. 저것들. 우리가 근본 공식을 기록하는 데 사용한 것입니다. (이 예에서와 같이) 계수가 a = 1, 뿌리를 확인하는 것은 쉽습니다. 그것들을 곱하면 충분합니다. 결과는 무료 회원이어야 합니다. 우리의 경우 -2. 2가 아니라 -2라는 점에 유의하세요! 무료 회원 당신의 간판으로 . 문제가 해결되지 않으면 이미 어딘가에서 문제가 발생한 것입니다. 오류를 찾아보세요. 작동하는 경우 루트를 추가해야 합니다. 마지막이자 최종 확인입니다. 계수는 다음과 같아야 합니다. 비와 함께 반대 친숙한. 우리의 경우에는 -1+2 = +1입니다. 계수 비 X 앞의 는 -1과 같습니다. 그래서 모든 것이 정확합니다!
x 제곱이 순수하고 계수가 있는 예에 대해서만 이것이 너무 간단하다는 것은 유감입니다. a = 1.하지만 적어도 그러한 방정식을 확인해보세요! 모두 실수가 적다할 것이다.

리셉션 3번째. 방정식에 분수 계수가 있으면 분수를 제거하세요! 이전 섹션에서 설명한 대로 방정식에 공통 분모를 곱합니다. 분수로 작업할 때 어떤 이유로든 오류가 계속해서 발생합니다...

그건 그렇고, 나는 여러 가지 마이너스로 사악한 예를 단순화하겠다고 약속했습니다. 제발! 여기 있습니다.

마이너스로 인해 혼동되지 않도록 방정식에 -1을 곱합니다. 우리는 다음을 얻습니다:

그게 다야! 해결은 즐거움입니다!

그럼 주제를 요약해 보겠습니다.

실용적인 조언:

1. 풀기 전에 이차 방정식을 표준 형식으로 가져와서 작성합니다. 오른쪽.

2. X 제곱 앞에 음의 계수가 있으면 전체 방정식에 -1을 곱하여 이를 제거합니다.

3. 계수가 분수인 경우 전체 방정식에 해당 요소를 곱하여 분수를 제거합니다.

4. x 제곱이 순수하고 계수가 1이면 Vieta의 정리를 사용하여 해를 쉽게 확인할 수 있습니다. 해!

분수 방정식. ODZ.

우리는 계속해서 방정식을 마스터합니다. 우리는 이미 1차 방정식과 2차 방정식을 사용하는 방법을 알고 있습니다. 마지막 뷰가 남았습니다 - 분수 방정식. 또는 훨씬 더 정중하게도 호출됩니다. 분수 유리 방정식 . 그것은 동일합니다.

분수 방정식.

이름에서 알 수 있듯이 이러한 방정식에는 반드시 분수가 포함됩니다. 하지만 분수뿐만 아니라 다음을 갖는 분수도 있습니다. 분모를 알 수 없음. 적어도 하나. 예를 들어:

분모가 다음과 같다면 상기시켜 드리겠습니다. 숫자, 이는 선형 방정식입니다.

결정하는 방법 분수 방정식? 우선, 분수를 제거하세요! 그 후 방정식은 대부분 선형 또는 이차 방정식으로 변합니다. 그러면 우리는 무엇을 해야 할지 압니다... 어떤 경우에는 5=5와 같은 항등식이나 7=2와 같은 잘못된 표현으로 바뀔 수 있습니다. 그러나 이런 일은 거의 발생하지 않습니다. 이에 대해서는 아래에서 언급하겠습니다.

하지만 분수를 없애는 방법!? 매우 간단합니다. 동일한 동일한 변환을 적용합니다.

전체 방정식에 동일한 표현식을 곱해야 합니다. 모든 분모가 줄어들도록! 모든 것이 즉시 쉬워질 것입니다. 예를 들어 설명하겠습니다. 방정식을 풀어야 합니다.

에서 가르친대로 주니어 수업? 우리는 모든 것을 한쪽으로 옮기고 공통 분모로 가져옵니다. 방법은 잊어버리세요 끔찍한 꿈! 분수를 더하거나 뺄 때 해야 할 일은 다음과 같습니다. 아니면 불평등을 가지고 일합니다. 그리고 방정식에서 우리는 모든 분모를 줄일 수 있는 기회를 제공하는 표현식(즉, 본질적으로 공통 분모)을 양쪽에 즉시 곱합니다. 그리고 이 표현은 뭔가요?

왼쪽에서 분모를 줄이려면 다음을 곱해야 합니다. x+2. 그리고 오른쪽에는 2를 곱해야 합니다. 이는 방정식에 다음을 곱해야 함을 의미합니다. 2(x+2). 곱하다:

이것은 일반적인 분수의 곱셈이지만 자세히 설명하겠습니다.

아직 브라켓을 열지 않았으니 참고해주세요 (x + 2)! 그래서 전체적으로 다음과 같이 씁니다.

왼쪽은 완전히 수축됩니다. (x+2), 그리고 오른쪽 2. 이것이 필요한 것입니다! 감소 후에 우리는 얻는다 선의방정식:

그리고 누구나 이 방정식을 풀 수 있어요! 엑스 = 2.

좀 더 복잡한 또 다른 예를 풀어보겠습니다.

3 = 3/1임을 기억한다면, 2배 = 2배/ 1, 우리는 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

그리고 다시 우리는 우리가 별로 좋아하지 않는 것, 즉 분수를 제거합니다.

X로 분모를 줄이려면 분수에 다음을 곱해야 한다는 것을 알 수 있습니다. (x – 2). 그리고 몇몇은 우리에게 방해가 되지 않습니다. 글쎄, 곱해보자. 모두왼쪽과 모두오른쪽:

다시 괄호 (x – 2)나는 공개하지 않습니다. 브래킷 전체를 마치 하나의 숫자인 것처럼 작업합니다! 이 작업은 항상 수행되어야 합니다. 그렇지 않으면 아무것도 줄어들지 않습니다.

깊은 만족감으로 우리는 감소합니다 (x – 2)그리고 우리는 분수 없이 자를 사용하여 방정식을 얻습니다!

이제 대괄호를 열어 보겠습니다.

비슷한 것을 가져오고 모든 것을 왼쪽으로 이동하여 다음을 얻습니다.

고전적인 이차 방정식. 하지만 앞의 마이너스는 좋지 않습니다. 언제든지 -1을 곱하거나 나누어서 제거할 수 있습니다. 하지만 예를 자세히 살펴보면 이 방정식을 -2로 나누는 것이 가장 좋다는 것을 알 수 있습니다! 단번에 마이너스가 사라지고 확률이 더욱 매력적이게 됩니다! -2로 나눕니다. 왼쪽은 용어별로, 오른쪽은 0을 -2, 0으로 나누면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

판별식을 통해 풀고 Vieta의 정리를 사용하여 확인합니다. 우리는 얻는다 x = 1 및 x = 3. 두 개의 뿌리.

보시다시피, 첫 번째 경우 변환 후 방정식은 선형이 되었지만 여기서는 2차 방정식이 됩니다. 분수를 제거한 후 모든 X가 감소하는 경우가 있습니다. 5=5와 같은 것이 남아 있습니다. 그것은 다음을 의미합니다 x는 무엇이든 될 수 있다. 그것이 무엇이든, 그것은 여전히 ​​​​감소 될 것입니다. 그리고 그것은 5=5라는 순수한 진실로 밝혀졌습니다. 그러나 분수를 제거한 후에는 2=7처럼 완전히 거짓인 것으로 판명될 수도 있습니다. 그리고 이것은 다음을 의미합니다 해결책이 없다! 모든 X는 사실이 아닌 것으로 판명됩니다.

주요 솔루션 실현 분수 방정식 ? 그것은 간단하고 논리적입니다. 우리가 좋아하지 않는 모든 것이 사라지도록 원래 표현을 변경합니다. 아니면 방해합니다. 이 경우에는 분수입니다. 우리는 로그, 사인 및 기타 공포를 포함한 모든 종류의 복잡한 예에 대해서도 동일한 작업을 수행할 것입니다. 우리 언제나이 모든 것을 제거합시다.

하지만 원래의 표현을 원하는 방향으로 바꿔야 합니다. 규칙에 따라, 예... 그 숙달은 수학 통합 국가 시험을 준비하는 것입니다. 그래서 우리는 그것을 마스터하고 있습니다.

이제 우리는 다음 중 하나를 우회하는 방법을 배우겠습니다. 통합 상태 시험의 주요 매복! 하지만 먼저 당신이 그것에 빠지는지 아닌지 살펴 보겠습니다.

간단한 예를 살펴보겠습니다.

문제는 이미 익숙합니다. 양변에 다음을 곱합니다. (x – 2), 우리는 다음을 얻습니다:

괄호와 함께 상기시켜드립니다. (x – 2)우리는 하나의 완전한 표현을 사용하는 것처럼 작업합니다!

여기서는 더 이상 분모에 하나를 쓰지 않고 품위가 없습니다 ... 그리고 분모에 괄호를 쓰지 않았습니다. x – 2아무것도 없습니다. 그릴 필요도 없습니다. 줄여보자:

괄호를 열고 모든 것을 왼쪽으로 이동한 다음 비슷한 내용을 제공합니다.

우리는 풀고, 확인하고, 두 개의 뿌리를 얻습니다. 엑스 = 2그리고 엑스 = 3. 엄청난.

과제에서 근을 적거나 근이 두 개 이상인 경우 그 합을 적으라고 한다고 가정해 보겠습니다. 우리는 무엇을 쓸 것인가?

답이 5라고 결정했다면, 매복 공격을 당했다. 그리고 그 작업은 귀하에게 인정되지 않습니다. 헛수고를 했네요... 정답 3.

무슨 일이야?! 그리고 당신은 확인을 시도합니다. 미지의 값을 다음으로 대체하십시오. 원래의예. 그리고 만약에 엑스 = 3모든 것이 훌륭하게 함께 성장할 것입니다. 9 = 9를 얻게 되면 엑스 = 2 0으로 나누는 것이 됩니다! 절대 할 수 없는 일. 수단 엑스 = 2해결책이 아니며 답변에서 고려되지 않습니다. 이것은 소위 외부 또는 추가 루트입니다. 우리는 그것을 그냥 버립니다. 최종 루트는 1입니다. 엑스 = 3.

어때요?! – 분개한 외침이 들립니다. 우리는 방정식에 표현식을 곱할 수 있다고 배웠습니다! 이것은 동일한 변형입니다!

예, 동일합니다. 작은 조건에서 - 우리가 곱셈 (나누기)하는 표현 - 0과 다르다. ㅏ x – 2~에 엑스 = 2 0과 같습니다! 그래서 모든 것이 공평합니다.

이제 내가 뭘 할 수 있지?! 표현식으로 곱하지 않습니까? 매번 확인해야 하나요? 이번에도 불분명합니다!

고요히! 당황하지 말 것!

이 어려운 상황에서 세 개의 마법의 글자가 우리를 구원해 줄 것입니다. 나는 당신이 무슨 생각을하는지 알아요. 오른쪽! 이것 오즈 . 허용되는 값의 영역.

이 기사를 공부한 후에 완전한 이차 방정식의 근을 찾는 방법을 배우게 되기를 바랍니다.

판별식을 사용하면 완전한 2차 방정식만 풀 수 있습니다. 불완전한 2차 방정식을 풀려면 다른 방법이 사용됩니다. 이 방법은 "불완전한 2차 방정식 풀기" 문서에서 확인할 수 있습니다.

완전하다고 불리는 이차 방정식은 무엇입니까? 이것 ax 2 + b x + c = 0 형식의 방정식여기서 계수 a, b 및 c는 0이 아닙니다. 따라서 완전한 이차 방정식을 풀려면 판별식 D를 계산해야 합니다.

D = b 2 – 4ac.

판별식의 값에 따라 답을 적어보겠습니다.

판별식이 음수인 경우(D< 0),то корней нет.

판별식이 0이면 x = (-b)/2a입니다. 판별식이 양수(D > 0)인 경우,

그러면 x 1 = (-b - √D)/2a이고 x 2 = (-b + √D)/2a입니다.

예를 들어. 방정식을 풀어보세요 x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

답: 2.

방정식 2 풀기 x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 - 4 2 3 = - 23

답: 뿌리가 없다.

방정식 2 풀기 x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 - 4 2 (-7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3.5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

답변: – 3.5; 1.

그러면 그림 1의 다이어그램을 사용하여 완전한 이차 방정식의 해를 상상해 봅시다.

이 공식을 사용하면 완전한 이차 방정식을 풀 수 있습니다. 그냥 조심하면 돼요 방정식은 표준 형식의 다항식으로 작성되었습니다.

ㅏ x 2 +bx+c,그렇지 않으면 실수를 할 수 있습니다. 예를 들어, 방정식 x + 3 + 2x 2 = 0을 작성할 때 실수로 다음과 같이 결정할 수 있습니다.

a = 1, b = 3, c = 2. 그러면

D = 3 2 – 4 1 2 = 1이고 방정식에는 두 개의 근이 있습니다. 그리고 이것은 사실이 아닙니다. (위의 예 2에 대한 해결 방법 참조)

따라서 방정식이 표준형의 다항식으로 작성되지 않으면 먼저 완전한 이차 방정식을 표준형의 다항식으로 작성해야 합니다(가장 큰 지수를 갖는 단항식이 먼저 와야 합니다. 즉, ㅏ x 2 , 그런 다음 더 적은 – bx그리고 무료 회원 와 함께.

축소된 이차 방정식과 두 번째 항의 계수가 짝수인 이차 방정식을 풀 때 다른 공식을 사용할 수 있습니다. 이 공식에 대해 알아 봅시다. 완전한 2차 방정식에서 두 번째 항의 계수가 짝수(b = 2k)인 경우 그림 2의 다이어그램에 제공된 공식을 사용하여 방정식을 풀 수 있습니다.

계수가 다음인 경우 완전한 이차 방정식을 축소라고 합니다. x 2 는 1과 같고 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다. x 2 + px + q = 0. 이러한 방정식은 해법으로 주어질 수도 있고 방정식의 모든 계수를 계수로 나누어 얻을 수도 있습니다. ㅏ, 서 있는 x 2 .

그림 3은 축소제곱을 풀기 위한 다이어그램을 보여줍니다.
방정식. 이 기사에서 논의된 공식을 적용한 예를 살펴보겠습니다.

예. 방정식을 풀어보세요

3x 2 + 6x – 6 = 0.

그림 1의 다이어그램에 표시된 공식을 사용하여 이 방정식을 풀어보겠습니다.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

답: –1 – √3; -1 + √3

이 방정식에서 x의 계수는 짝수, 즉 b = 6 또는 b = 2k이며 k = 3이라는 것을 알 수 있습니다. 그런 다음 그림 D의 다이어그램에 표시된 공식을 사용하여 방정식을 풀어 보겠습니다. 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = - 1 - √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

답: –1 – √3; -1 + √3. 이 이차 방정식의 모든 계수가 3으로 나누어지는 것을 확인하고 나눗셈을 수행하면 축소된 이차 방정식 x 2 + 2x – 2 = 0을 얻습니다.
방정식 그림 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

답: –1 – √3; -1 + √3.

보시다시피, 다른 공식을 사용하여 이 방정식을 풀 때 동일한 답을 얻었습니다. 따라서 그림 1의 다이어그램에 표시된 공식을 완전히 익히면 언제든지 완전한 이차 방정식을 풀 수 있습니다.

blog.site에서 자료의 전체 또는 일부를 복사하는 경우 원본 소스에 대한 링크가 필요합니다.

이차 방정식 - 쉽게 풀 수 있습니다! *이하 'KU'라고 합니다.친구 여러분, 그러한 방정식을 푸는 것보다 수학에서 더 간단한 것은 없을 것 같습니다. 하지만 많은 사람들이 그에게 문제를 안고 있다는 말을 들었습니다. 나는 Yandex가 한 달에 제공하는 주문형 노출 수를 확인하기로 결정했습니다. 무슨 일이 일어났는지 살펴보세요.

무슨 뜻이에요? 이는 한 달에 약 70,000명의 사람들이 검색하고 있음을 의미합니다. 이 정보, 이번 여름이 그것과 무슨 관련이 있으며, 사이에 무슨 일이 일어날까요? 학년— 요청이 두 배나 많아집니다. 오래 전에 학교를 졸업하고 통합 국가 시험을 준비하는 남학생과 여학생이이 정보를 찾고 있고 학생들도 기억을 되살리기 위해 노력하기 때문에 이는 놀라운 일이 아닙니다.

이 방정식을 푸는 방법을 알려주는 사이트가 많다는 사실에도 불구하고 저는 자료를 기고하고 게시하기로 결정했습니다. 첫째, 나는 방문자들이 이 요청에 따라 내 사이트를 방문하기를 원합니다. 둘째, 다른 글에서 'KU'라는 주제가 나오면 이 글의 링크를 걸어 놓겠습니다. 셋째, 다른 사이트에서 일반적으로 언급되는 것보다 그의 솔루션에 대해 조금 더 설명하겠습니다. 시작하자!기사 내용:

이차 방정식은 다음 형식의 방정식입니다.

여기서 계수 a,비그리고 임의의 숫자, 여기서 a≠0.

안에 학교 과정자료는 다음과 같은 형식으로 제공됩니다. 방정식은 일반적으로 세 가지 클래스로 나뉩니다.

1. 뿌리가 두 개 있다.

2. *루트가 하나만 있습니다.

3. 뿌리가 없습니다. 여기서는 실제 뿌리가 없다는 점에 특히 주목할 가치가 있습니다.

뿌리는 어떻게 계산되나요? 단지!

판별식을 계산합니다. 이 "끔찍한" 단어 밑에는 매우 간단한 공식이 숨어 있습니다.

루트 공식은 다음과 같습니다.

*이 공식을 외워야 합니다.

즉시 적어서 해결할 수 있습니다.

예:

1. D > 0이면 방정식에는 두 개의 근이 있습니다.

2. D = 0이면 방정식의 근은 하나입니다.

3. D인 경우< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

방정식을 살펴 보겠습니다.

에 의해 이번 기회에, 판별식이 0과 같을 때 학교 과정에서는 결과가 하나의 루트라고 말하고 여기서는 9와 같습니다. 모든 것이 정확하고 그렇습니다. 하지만 ...

이 생각은 다소 올바르지 않습니다. 사실 뿌리는 두 개입니다. 예, 예, 놀라지 마십시오. 두 개의 동일한 근을 얻고 수학적으로 정확하게 말하면 답은 두 개의 근을 써야 합니다.

엑스 1 = 3 엑스 2 = 3

그러나 이것은 그렇습니다-작은 여담입니다. 학교에서는 그것을 적어서 뿌리가 하나라고 말할 수 있습니다.

이제 다음 예는 다음과 같습니다.

우리가 알고 있듯이 음수의 근은 구할 수 없으므로 이 경우에는 해결책이 없습니다.

이것이 전체 결정 과정입니다.

이차 함수.

이는 솔루션이 기하학적으로 어떻게 보이는지 보여줍니다. 이는 이해하는 것이 매우 중요합니다(나중에 기사 중 하나에서 이차 부등식에 대한 솔루션을 자세히 분석할 것입니다).

이는 다음 형식의 함수입니다.

여기서 x와 y는 변수입니다.

a, b, c – 주어진 숫자, a ≠ 0

그래프는 포물선입니다.

즉, "y"가 0인 이차 방정식을 풀면 포물선과 x 축의 교차점을 찾는 것으로 나타났습니다. 이러한 점 중 두 개(판별자가 양수), 하나(판별자가 0) 및 없음(판별자가 음수)이 있을 수 있습니다. 에 대한 세부 정보 이차 함수 당신은 볼 수 있습니다 Inna Feldman의 기사.

예를 살펴보겠습니다:

예 1: 해결 2배 2 +8 엑스–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

답: x 1 = 8 x 2 = -12

*방정식의 좌변과 우변을 즉시 2로 나누는, 즉 단순화가 가능했습니다. 계산이 더 쉬울 것입니다.

예 2: 결정하다 x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

우리는 x 1 = 11이고 x 2 = 11임을 발견했습니다.

답에 x = 11을 쓰는 것이 허용됩니다.

답: x = 11

예시 3: 결정하다 x 2 -8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

판별식이 음수이므로 실수에는 해가 없습니다.

답: 해결책이 없다

판별자는 음수입니다. 해결책이 있습니다!

여기서는 음의 판별식이 얻어지는 경우 방정식을 푸는 방법에 대해 설명합니다. 복소수에 대해 알고 있나요? 나는 여기서 그것들이 왜, 어디서 발생했는지, 그리고 수학에서 그것들의 특정한 역할과 필요성이 무엇인지에 대해 자세히 다루지 않을 것입니다. 이것은 별도의 큰 기사의 주제입니다.

복소수의 개념.

약간의 이론.

복소수 z는 다음 형식의 숫자입니다.

z = a + bi

여기서 a와 b는 실수이고, i는 소위 허수 단위입니다.

a+bi – 이것은 추가가 아닌 단일 숫자입니다.

허수 단위는 마이너스 1의 루트와 같습니다.

이제 방정식을 고려하십시오.

우리는 두 개의 켤레근을 얻습니다.

불완전한 이차 방정식.

특별한 경우를 고려해 봅시다. 이는 계수 "b" 또는 "c"가 0과 같은 경우입니다(또는 둘 다 0과 같은 경우). 차별적인 문제 없이 쉽게 해결될 수 있습니다.

사례 1. 계수 b = 0.

방정식은 다음과 같습니다.

변환해보자:

예:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

사례 2. 계수 c = 0.

방정식은 다음과 같습니다.

변환하고 인수분해해 보겠습니다.

*인수 중 하나 이상이 0인 경우 곱은 0과 같습니다.

예:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 또는 x–5 =0

엑스 1 = 0 엑스 2 = 5

사례 3. 계수 b = 0 및 c = 0.

여기서 방정식의 해는 항상 x = 0이라는 것이 분명합니다.

계수의 유용한 속성과 패턴.

계수가 큰 방정식을 풀 수 있는 속성이 있습니다.

ㅏ엑스 2 + bx+ 씨=0 평등이 유지된다

ㅏ + 비+c = 0,저것

- 방정식의 계수에 대한 경우 ㅏ엑스 2 + bx+ 씨=0 평등이 유지된다

ㅏ+ 씨 =비, 저것

이러한 속성은 결정하는 데 도움이 됩니다. 특정 유형방정식

예시 1: 5001 엑스 2 –4995 엑스 – 6=0

확률의 합은 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, 즉

예 2: 2501 엑스 2 +2507 엑스+6=0

평등이 유지됩니다 ㅏ+ 씨 =비, 수단

계수의 규칙성.

1. 방정식 ax 2 + bx + c = 0에서 계수 "b"가 (a 2 +1)과 같고 계수 "c"가 계수 "a"와 수치적으로 같으면 그 근은 같습니다.

도끼 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

예. 방정식 6x 2 + 37x + 6 = 0을 생각해 보세요.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. 방정식 ax 2 – bx + c = 0에서 계수 "b"가 (a 2 +1)과 같고 계수 "c"가 계수 "a"와 수치적으로 같으면 그 근은 같습니다.

도끼 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

예. 방정식 15x 2 –226x +15 = 0을 생각해 보세요.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. 방정식의 경우 ax 2 + bx – c = 0 계수 "b" (a 2 – 1) 및 계수 "c" 계수 "a"와 수치적으로 동일합니다., 그렇다면 그 뿌리는 같다

도끼 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

예. 방정식 17x 2 +288x – 17 = 0을 생각해 보세요.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. 방정식 ax 2 – bx – c = 0에서 계수 "b"가 (a 2 – 1)과 같고 계수 c가 수치적으로 계수 "a"와 같으면 그 근은 같습니다.

도끼 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

예. 방정식 10x 2 – 99x –10 = 0을 생각해 보세요.

x 1 = 10 x 2 = - 1/10

비에타의 정리.

비에타의 정리는 프랑스의 유명한 수학자 프랑수아 비에타(Francois Vieta)의 이름을 따서 명명되었습니다. Vieta의 정리를 사용하여 임의의 KU의 근의 합과 곱을 계수로 표현할 수 있습니다.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

전체적으로 숫자 14는 5와 9만 제공합니다. 이것이 근입니다. 특정 기술을 사용하면 제시된 정리를 사용하여 많은 이차 방정식을 구두로 즉시 풀 수 있습니다.

게다가 비에타의 정리. 2차 방정식을 일반적인 방법(판별법을 통해)으로 푼 후 결과 근을 확인할 수 있다는 점에서 편리합니다. 나는 항상 이것을하는 것이 좋습니다.

운송 방법

이 방법을 사용하면 계수 "a"에 마치 "던져진" 것처럼 자유 항이 곱해집니다. 이것이 바로 호출되는 이유입니다. "이전" 방법.이 방법은 비에타의 정리를 이용하여 방정식의 근을 쉽게 찾을 수 있을 때, 그리고 가장 중요한 것은 판별식이 정제곱인 경우에 사용됩니다.

만약에 ㅏ± b+c≠ 0이면 전송 기술이 사용됩니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

2엑스 2 – 11엑스+ 5 = 0 (1) => 엑스 2 – 11엑스+ 10 = 0 (2)

방정식 (2)에서 Vieta의 정리를 사용하면 x 1 = 10 x 2 = 1임을 쉽게 결정할 수 있습니다.

방정식의 결과 근은 2로 나누어야 합니다(두 개가 x 2에서 "던져졌기" 때문에).

x 1 = 5 x 2 = 0.5.

근거는 무엇입니까? 무슨 일이 일어나고 있는지보세요.

방정식 (1)과 (2)의 판별식은 동일합니다.

방정식의 근을 보면 분모만 달라지고 결과는 정확하게 x 2의 계수에 따라 달라집니다.

두 번째(수정된) 것은 2배 더 큰 뿌리를 가지고 있습니다.

따라서 결과를 2로 나눕니다.

*3개를 굴린 경우 결과를 3으로 나눕니다.

답: x 1 = 5 x 2 = 0.5

평방 ur-ie 및 통합 국가 시험.

그 중요성에 대해 간략하게 말씀 드리겠습니다. 신속하게 결정할 수 있어야 하며 생각하지 않고 근과 판별식의 공식을 암기해야 합니다. 통합 상태 시험 과제에 포함된 많은 문제는 결국 2차 방정식(기하학 방정식 포함)을 푸는 것으로 요약됩니다.

주목할 만한 점!

1. 방정식을 작성하는 형식은 "암시적"일 수 있습니다. 예를 들어 다음 항목이 가능합니다.

15+ 9x 2 - 45x = 0 또는 15x+42+9x 2 - 45x=0 또는 15 -5x+10x 2 = 0.

문제를 해결할 때 혼동하지 않도록 표준 형식으로 가져와야 합니다.

2. x는 알 수 없는 양이며 t, q, p, h 등의 다른 문자로 표시될 수 있다는 점을 기억하십시오.