축은 방향입니다. 이는 축에 대한 투영이나 방향선에 대한 투영이 동일한 것으로 간주됨을 의미합니다. 투영은 대수적이거나 기하학적일 수 있습니다. 기하학적 용어로 벡터를 축에 투영하는 것은 벡터로 이해되고, 대수적 용어로 이는 숫자로 이해됩니다. 즉, 벡터를 축에 투영하는 개념과 벡터를 축에 수치 투영하는 개념이 사용됩니다.

Yandex.RTB R-A-339285-1

L 축과 0이 아닌 벡터 A B →가 있으면 점 A 1과 B 1의 투영을 나타내는 벡터 A 1 B 1 ⇀을 구성할 수 있습니다.

A 1 B → 1은 벡터 A B → L에 대한 투영입니다.

정의 1

벡터를 축에 투영시작과 끝이 주어진 벡터의 시작과 끝을 투영한 벡터입니다. n p L A B → → L에 대한 투영 A B →를 나타내는 것이 일반적입니다. L에 투영을 구성하려면 수직선을 L에 떨어뜨립니다.

실시예 1

축에 대한 벡터 투영의 예입니다.

~에 좌표평면 x y에 대해 점 M 1 (x 1 , y 1)이 지정됩니다. 점 M 1의 반경 벡터를 이미지화하려면 O x 및 O y에 대한 투영을 구성해야 합니다. 벡터 (x 1, 0)과 (0, y 1)의 좌표를 얻습니다.

만약에 우리 얘기 중이야 0이 아닌 b →에 대한 a → 투영 또는 b → 방향에 대한 a → 투영에 대해 우리는 b → 방향이 일치하는 축에 a → 투영을 의미합니다. b →에 의해 정의된 선에 a →를 투영하는 것은 n p b → a → → 로 지정됩니다. a → 와 b → 사이의 각도가 n p b → a → → 및 b → 가 동일한 방향으로 간주될 수 있는 것으로 알려져 있습니다. 각도가 둔각인 경우 n p b → a → → 및 b →는 반대 방향입니다. a → 및 b → 수직이고 a →가 0인 상황에서 b → 방향으로의 a → 투영은 0 벡터입니다.

축에 대한 벡터 투영의 수치적 특성은 주어진 축에 대한 벡터의 수치 투영입니다.

정의 2

축에 대한 벡터의 수치 투영는 주어진 벡터의 길이와 주어진 벡터와 축의 방향을 결정하는 벡터 사이의 각도의 코사인을 곱한 것과 같은 숫자입니다.

L에 대한 A B →의 수치 투영은 n p L A B → 로 표시되고 a → b → -n p b → a → 로 표시됩니다.

공식에 기초하여 n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ 를 얻습니다. 여기서 a →는 벡터 a → 의 길이이고, a ⇀ , b → ^는 벡터 a → 사이의 각도입니다. 그리고 b → .

우리는 수치 투영을 계산하기 위한 공식을 얻습니다: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . 이는 알려진 길이 a → 및 b →와 그 사이의 각도에 적용 가능합니다. 공식은 알려진 좌표 a → 및 b →에 적용 가능하지만 단순화된 형식이 있습니다.

실시예 2

a →의 길이가 8이고 사이의 각도가 60도인 b → 방향의 직선에 대한 수치 투영을 알아보세요. 조건에 따라 a ⇀ = 8, a ⇀, b → ^ = 60 °가 됩니다. 그럼 대체하자 숫자 값공식으로 n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4 .

답변: 4.

알려진 cos (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → · b → 를 사용하면 a → 및 b → 의 스칼라 곱으로 a → , b → 가 있습니다. 공식 n p b → a → = a → · cos a ⇀ , b → ^ 에 따라 벡터 b →를 따라 수치 투영 a →를 찾고 n p b → a → = a → , b → b → 를 얻을 수 있습니다. 공식은 단락 시작 부분에 제공된 정의와 동일합니다.

정의 3

b → 방향과 일치하는 축에 대한 벡터 a →의 수치 투영은 길이 b → 에 대한 벡터 a → 및 b →의 스칼라 곱의 비율입니다. 공식 n p b → a → = a → , b → b →는 알려진 a → 및 b → 좌표를 사용하여 b → 방향과 일치하는 선에 a →의 수치 투영을 찾는 데 적용할 수 있습니다.

실시예 3

주어진 b → = (- 3 , 4) . L에 대한 수치 투영 a → = (1, 7)을 찾습니다.

해결책

좌표 평면에서 n p b → a → = a → , b → b →는 n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 형식을 가지며, a → = (a x , a y ) 및 b → = b x , b y . L 축에 대한 벡터 a →의 수치 투영을 찾으려면 다음이 필요합니다. n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y b x 2 + b y 2 = 1 · (- 3) + 7 · 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5.

답변: 5.

실시예 4

a → = - 2, 3, 1 및 b → = (3, - 2, 6)이 있는 b → 방향과 일치하는 L에서 a →의 투영을 찾습니다. 3차원 공간이 지정됩니다.

해결책

a → = a x , a y , a z 및 b → = b x , b y , b z 가 주어지면 스칼라 곱을 계산합니다: a ⇀ , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z . 길이 b →는 b → = b x 2 + b y 2 + b z 2 공식을 사용하여 구합니다. 수치 투영 a →를 결정하는 공식은 다음과 같습니다. n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z b x 2 + b y 2 + b z 2 .

숫자 값을 대체합니다: n p L a → = n p b → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .

답: - 6 7.

L의 a →와 L의 투영 길이 a → 사이의 연결을 살펴보겠습니다. L의 한 점에서 a → 및 b →를 추가하여 축 L을 그리고 나서 a → 끝에서 L까지 수직선을 그리고 L에 투영을 그립니다. 이미지에는 5가지 변형이 있습니다.

첫 번째 a → = n p b → a → →의 경우는 a → = n p b → a → → 를 의미하므로 n p b → a → = a → · cos (a , → b → ^) = a → · cos 0 ° = a → = n p b → a → → .

두번째이 경우는 n p b → a → ⇀ = a → · cos a → , b → 의 사용을 의미합니다. 이는 n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → 를 의미합니다.

제삼이 사례에서는 n p b → a → → = 0 → n p b ⇀ a → = a → · cos (a → , b → ^) = a → · cos 90 ° = 0 을 얻으면 n p b → a → → = 0이 된다는 것을 설명합니다. 그리고 n p b → a → = 0 = n p b → a → → .

네번째이 경우는 n p b → a → → = a → · cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → · cos (a → , b → ^) 를 나타내며 n p b → a → = a → · cos ( a → , b → ^) = - n p b → a → → .

다섯이 경우는 a → = n p b → a → → 를 보여줍니다. 이는 a → = n p b → a → → 를 의미하므로 n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ = a → · cos 180° = -가 됩니다. a → = - n p b → a → .

정의 4

b →와 동일한 방식으로 방향이 지정된 L 축에 대한 벡터 a →의 수치 투영은 다음 값을 갖습니다.

• a →와 b → 사이의 각도가 90도보다 작거나 0과 같다면 벡터 a → L로의 투영 길이: n p b → a → = n p b → a → → 조건 0 ≤ (a → , b →) ^< 90 ° ;
• a → 및 b →가 수직인 경우 0: n p b → a → = 0, (a → , b → ^) = 90 °인 경우;
• 벡터 a → 및 b →의 둔각 또는 직선 각도가 있는 경우 L에 대한 투영 a →의 길이에 -1을 곱합니다. n p b → a → = - n p b → a → → 90° 조건에서< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

실시예 5

L에 대한 투영 a →의 길이가 주어지면 2와 같습니다. 각도가 5 π 6 라디안인 경우 수치 투영 a →를 구합니다.

해결책

조건에 따르면 이 각도는 둔각입니다. π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

답: - 2.

실시예 6

벡터 길이 a → 6 3, b → (-2, 1, 2), 각도 30도의 평면 O x y z가 있다고 가정합니다. L축에 a → 투영된 좌표를 찾습니다.

해결책

먼저, 벡터 a →의 수치 투영을 계산합니다: n p L a → = n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = 6 3 · cos 30 ° = 6 3 · 3 2 = 9 .

조건에 따라 각도는 예각이고 수치 투영 a → = 벡터 a →의 투영 길이: n p L a → = n p L a → → = 9. 이 경우이는 벡터 n p L a → → 및 b →가 공동 방향을 향하고 있음을 보여줍니다. 이는 동일성이 참인 숫자 t가 있음을 의미합니다: n p L a → → = t · b → . 여기에서 n p L a → → = t · b → 를 볼 수 있습니다. 이는 매개변수 t의 값을 찾을 수 있음을 의미합니다: t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3 .

그런 다음 n p L a → → = 3 · b → 벡터 a → L 축에 대한 투영 좌표는 b → = (- 2 , 1 , 2) 와 같습니다. 여기서 값을 곱해야 합니다. 3. n p L a → → = (- 6 , 3 , 6) 이 있습니다. 답: (-6, 3, 6).

벡터의 공선성 조건에 대해 이전에 학습한 정보를 반복해야 합니다.

텍스트에 오류가 있으면 강조 표시하고 Ctrl+Enter를 누르세요.

두 개의 벡터를 놓고 공간에 주어집니다. 임의의 시점에서 연기하자 영형벡터와 . 각도벡터 사이의 각도를 가장 작은 각도라고 합니다. 지정 .

축을 고려해보세요 엘그 위에 단위 벡터(즉, 길이가 1인 벡터)를 플로팅합니다.

벡터와 축 사이의 각도에서 엘벡터와 사이의 각도를 이해합니다.

그러니 보자 엘는 축이고 벡터입니다.

다음으로 나타내자 A 1그리고 비 1축에 투영 엘각각 포인트 ㅏ그리고 비. 그런 척하자 A 1좌표가 있다 x 1, ㅏ 비 1– 좌표 x 2축에 엘.

그 다음에 투사축당 벡터 엘차이라고 불리는 x 1 – x 2이 축에 대한 벡터의 끝과 시작 투영 좌표 사이.

벡터를 축에 투영 엘우리는 을 표시할 것입니다.

벡터와 축 사이의 각도가 엘그럼 매워요 x 2> x 1및 투영 x 2 – x 1> 0; 이 각도가 둔각이라면 x 2< x 1및 투영 x 2 – x 1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси 엘, 저것 x 2= x 1그리고 x 2– x 1=0.

따라서 벡터를 축에 투영하면 엘세그먼트의 길이입니다 가 1 비 1, 특정 기호로 촬영됩니다. 따라서 축에 대한 벡터의 투영은 숫자 또는 스칼라입니다.

한 벡터를 다른 벡터로 투영하는 것도 비슷하게 결정됩니다. 이 경우 두 번째 벡터가 있는 선에 대한 이 벡터의 끝의 투영이 발견됩니다.

몇 가지 기본 사항을 살펴 보겠습니다. 투영의 속성.

선형 종속 및 선형 독립 벡터 시스템

여러 벡터를 고려해 봅시다.

선형 조합이 벡터 중 는 형식의 모든 벡터입니다. 여기서 숫자는 입니다. 숫자를 선형 결합 계수라고 합니다. 그들은 또한 이 경우에는 이러한 벡터를 통해 선형적으로 표현된다고 말합니다. 선형 동작을 사용하여 그들로부터 얻습니다.

예를 들어 세 개의 벡터가 주어지면 다음 벡터를 선형 결합으로 간주할 수 있습니다.

어떤 벡터가 어떤 벡터들의 선형결합으로 표현된다면, 이를 다음과 같다고 합니다. 배치이 벡터를 따라.

벡터는 다음과 같습니다. 선형 종속, 숫자가 있고 모두 0이 아닌 경우 . 이러한 벡터 중 하나가 다른 벡터에 대해 선형으로 표현되면 주어진 벡터는 선형 종속적이라는 것이 분명합니다.

그렇지 않으면, 즉 비율이 언제 경우에만 수행 , 이러한 벡터를 호출합니다. 선형독립.

정리 1.두 벡터가 동일선상에 있는 경우에만 선형 종속입니다.

증거:

다음 정리도 비슷하게 증명할 수 있습니다.

정리 2.세 벡터는 동일 평면에 있는 경우에만 선형 종속입니다.

증거.

기초

기초 0이 아닌 선형 독립 벡터의 모음입니다. 우리는 기초의 요소를 로 표시할 것입니다.

이전 단락에서 우리는 평면 위의 두 비공선형 벡터가 선형독립이라는 것을 보았습니다. 따라서 이전 단락의 정리 1에 따르면 평면의 기저는 이 평면에 있는 두 개의 비공선형 벡터입니다.

마찬가지로, 동일 평면이 아닌 세 벡터는 모두 공간에서 선형 독립입니다. 결과적으로, 우리는 동일 평면이 아닌 세 개의 벡터를 공간의 기저라고 부릅니다.

다음 진술은 사실입니다.

정리.공간에 기초를 두십시오. 그러면 모든 벡터는 선형 조합으로 표현될 수 있습니다. , 어디 엑스, 와이, 지- 몇 가지 숫자. 이것이 유일한 분해입니다.

증거.

따라서 기저를 사용하면 각 벡터가 세 개의 숫자(이 벡터를 기저 벡터로 확장하는 계수)와 고유하게 연관될 수 있습니다. 세 개의 숫자마다 그 반대도 적용됩니다. x, y, z기저를 사용하여 선형 조합을 만들면 벡터를 비교할 수 있습니다 .

만약 기초와 , 숫자 x, y, z호출됩니다 좌표주어진 기준으로 벡터. 벡터의 좌표는 로 표시됩니다.

직교좌표계

공간에 포인트를 주자 영형그리고 3개의 비동일면 벡터.

직교 좌표계공간(평면)에서는 점과 기초의 집합입니다. 한 점과 이 점에서 나오는 세 개의 비공동선 벡터(2개의 비공선형 벡터)로 구성된 집합입니다.

점 영형원산지라고함; 기본 벡터 방향으로 좌표 원점을 통과하는 직선을 좌표축(가로좌표, 세로좌표 및 적용축)이라고 합니다. 좌표축을 통과하는 평면을 좌표 평면이라고 합니다.

선택한 좌표계에서 임의의 점을 고려하십시오. 중. 점좌표의 개념을 소개해보자 중. 원점과 점을 연결하는 벡터 중. ~라고 불리는 반경 벡터포인트들 중.

선택한 기준의 벡터는 세 개의 숫자(좌표)와 연관될 수 있습니다. .

점의 반경 벡터의 좌표 중. 호출됩니다 점 M의 좌표. 고려중인 좌표계에서. 남(x,y,z). 첫 번째 좌표를 가로좌표, 두 번째 좌표를 세로좌표, 세 번째 좌표를 아플리케이트라고 합니다.

평면의 데카르트 좌표도 비슷하게 결정됩니다. 여기서 점에는 가로좌표와 세로좌표라는 두 개의 좌표만 있습니다.

주어진 좌표계에 대해 각 점에는 특정 좌표가 있음을 쉽게 알 수 있습니다. 반면에, 세 개의 숫자 각각에는 이러한 숫자를 좌표로 갖는 고유한 점이 있습니다.

선택한 좌표계에서 기초로 사용된 벡터가 단위 길이를 갖고 쌍별로 수직인 경우 좌표계를 호출합니다. 데카르트 직사각형.

그것을 보여주는 것은 쉽습니다.

벡터의 방향 코사인은 방향을 완전히 결정하지만 길이에 대해서는 아무 것도 말하지 않습니다.

축이나 다른 벡터에는 기하학적 투영과 수치적(또는 대수적) 투영이라는 개념이 있습니다. 기하학적 투영의 결과는 벡터가 되고, 대수적 투영의 결과는 음수가 아닌 실수가 됩니다. 하지만 이러한 개념으로 넘어가기 전에 필요한 정보를 기억해 봅시다.

예비 정보

주요 개념은 벡터 자체의 개념입니다. 기하학적 벡터의 정의를 소개하기 위해 세그먼트가 무엇인지 기억해 보겠습니다. 다음 정의를 소개하겠습니다.

정의 1

세그먼트는 점 형태의 두 경계가 있는 선의 일부입니다.

세그먼트에는 2개의 방향이 있을 수 있습니다. 방향을 표시하기 위해 세그먼트의 경계 중 하나를 시작이라고 부르고 다른 경계를 끝이라고 부릅니다. 방향은 세그먼트의 시작부터 끝까지 표시됩니다.

정의 2

벡터 또는 방향성 세그먼트는 세그먼트의 경계 중 어느 것이 시작으로 간주되고 어느 것이 끝인지 알 수 있는 세그먼트입니다.

명칭: 두 글자로: $\overline(AB)$ – (여기서 $A$는 시작이고 $B$는 끝입니다).

하나의 소문자로: $\overline(a)$ (그림 1).

벡터 개념과 관련된 몇 가지 개념을 더 소개하겠습니다.

정의 3

두 개의 0이 아닌 벡터가 동일한 선상에 있거나 서로 평행한 선상에 있는 경우 동일 선상에 있다고 부릅니다(그림 2).

정의 4

두 가지 조건을 만족하는 경우 두 개의 0이 아닌 벡터를 동방향이라고 부릅니다.

1. 이들 벡터는 동일선상에 있습니다.
2. 한 방향으로 향하는 경우(그림 3).

표기법: $\overline(a)\overline(b)$

정의 5

두 가지 조건을 만족하는 경우 반대 방향의 0이 아닌 두 벡터를 호출합니다.

1. 이들 벡터는 동일선상에 있습니다.
2. 서로 다른 방향으로 향하는 경우(그림 4).

표기법: $\overline(a)↓\overline(d)$

정의 6

벡터 $\overline(a)$의 길이는 세그먼트 $a$의 길이가 됩니다.

표기법: $|\overline(a)|$

두 벡터의 동등성을 결정하는 것으로 넘어 갑시다

정의 7

두 가지 조건을 만족하는 경우 두 벡터를 동일하다고 부릅니다.

1. 그들은 양방향입니다.
2. 길이는 동일합니다(그림 5).

기하학적 투영

앞서 말했듯이 기하학적 투영의 결과는 벡터가 됩니다.

정의 8

벡터 $\overline(AB)$의 축에 대한 기하학적 투영은 다음과 같이 얻은 벡터입니다. 벡터 $A$의 원점은 이 축에 투영됩니다. 원하는 벡터의 시작점인 $A"$를 얻습니다. 벡터 $B$의 끝점은 이 축에 투영됩니다. $B"$점 - 원하는 벡터의 끝을 얻습니다. $\overline(A"B")$ 벡터가 원하는 벡터가 됩니다.

문제를 고려해 봅시다:

실시예 1

그림 6에 표시된 $l$ 축에 기하학적 투영 $\overline(AB)$을 구성합니다.

$A$ 지점에서 $l$ 축까지 수직선을 그리면 $A"$ 지점을 얻습니다. 다음으로 $B$ 지점에서 $l$ 축까지 수직선을 그리면 $B 지점을 얻습니다. "$입니다(그림 7).

다양한 선과 면을 평면에 투영하면 도면 형식으로 개체의 시각적 이미지를 구축할 수 있습니다. 투영 광선이 투영 평면에 수직인 직사각형 투영을 고려해 보겠습니다. 평면상의 벡터 투영 시작과 끝이 생략된 수직선 사이에 둘러싸인 벡터 =(그림 3.22)를 생각해 보세요.

쌀. 3.23. 축에 대한 벡터의 벡터 투영입니다.

벡터 대수학에서는 벡터를 AXIS, 즉 특정 방향을 갖는 직선에 투영해야 하는 경우가 많습니다. 벡터와 L축이 동일한 평면에 있으면 이러한 설계가 쉽습니다(그림 3.23). 그러나 이 조건이 충족되지 않으면 작업이 더욱 어려워집니다. 벡터와 축이 동일한 평면에 있지 않을 때 벡터의 축에 대한 투영을 구성해 보겠습니다(그림 3.24).

쌀. 3.24. 축에 벡터 투영
일반적으로.

벡터의 끝을 통해 선 L에 수직인 평면을 그립니다. 이 선과의 교차점에서 이 평면은 벡터인 두 점 A1과 B1을 정의하며 이를 이 벡터의 벡터 투영이라고 부릅니다. 벡터 투영을 찾는 문제는 벡터를 축과 동일한 평면으로 가져오면 더 쉽게 해결할 수 있습니다. 이는 자유 벡터가 벡터 대수학에서 고려되기 때문에 수행될 수 있습니다.

벡터 투영과 함께 SCALAR 투영도 있는데, 이는 벡터 투영이 L 축의 방향과 일치하는 경우 벡터 투영의 모듈러스와 같고, 벡터 투영과 L이 일치하는 경우 반대 값과 같습니다. 축의 방향이 반대입니다. 스칼라 투영을 표시하겠습니다.

벡터 투영과 스칼라 투영은 실제로 용어상 항상 엄격하게 분리되는 것은 아닙니다. "벡터 투영"이라는 용어는 일반적으로 벡터의 스칼라 투영을 의미하는 데 사용됩니다. 결정을 내릴 때 이러한 개념을 명확하게 구분할 필요가 있습니다. 확립된 전통에 따라, 우리는 확립된 의미에 따라 스칼라 투영을 의미하는 "벡터 투영"이라는 용어와 확립된 의미에 따라 "벡터 투영"이라는 용어를 사용할 것입니다.

주어진 벡터의 스칼라 투영을 계산할 수 있는 정리를 증명해 보겠습니다.

정리 5. L 축에 대한 벡터의 투영은 모듈러스와 벡터와 축 사이의 각도의 코사인의 곱과 같습니다.

(3.5)

쌀. 3.25. 벡터와 스칼라 찾기
L축에 벡터 투영
(그리고 L축의 방향은 동일합니다).

증거. 먼저 각도를 찾을 수 있는 구성을 수행해 보겠습니다. G이를 위해 벡터와 L 축 사이에 L 축에 평행하고 벡터의 시작 부분인 점 O를 통과하는 직선 MN을 구성합니다(그림 3.25). 각도는 원하는 각도가 됩니다. L축에 수직인 점 A와 O를 통해 두 개의 평면을 그려 보겠습니다.

L축과 직선 MN이 평행하기 때문입니다.

벡터와 L축의 상대적 위치에 대한 두 가지 경우를 강조해 보겠습니다.

1. 벡터 투영과 L축의 방향을 동일하게 둡니다(그림 3.25). 그런 다음 해당 스칼라 투영 .

2. L과 L의 방향이 서로 다르다고 가정합니다(그림 3.26).

쌀. 3.26. L 축에 대한 벡터 및 벡터의 스칼라 투영을 찾습니다(그리고 L 축은 반대 방향을 향합니다).

따라서 두 경우 모두 정리가 참입니다.

정리 6. 벡터의 원점을 L축의 특정 지점에 두고 이 축이 s 평면에 위치하면 벡터는 s 평면의 벡터 투영과 각도를 형성하고 벡터와 각도를 형성합니다. L축에 투영하는 것 외에도 벡터 투영 자체가 서로 각도를 형성하므로