숫자 x의 n제곱근은 음이 아닌 숫자 z이며, n제곱하면 x가 됩니다. 근을 결정하는 것은 우리가 어린 시절에 익숙해지는 기본 산술 연산 목록에 포함되어 있습니다.

수학 표기법

"루트"는 라틴어 radix에서 유래되었으며 오늘날 "radical"이라는 단어는 이 수학 용어의 동의어로 사용됩니다. 13세기부터 수학자들은 근연산을 근수 표현 위에 수평 막대로 표시하여 문자 r로 표시했습니다. 16세기에는 V라는 명칭이 도입되어 점차적으로 r이라는 기호를 대체했지만 수평선은 그대로 유지되었습니다. 인쇄소에서 타이핑하거나 손으로 쓰는 것은 쉽지만, 전자 출판물프로그래밍이 널리 퍼져 문자 지정루트 - sqrt. 이것이이 기사에서 제곱근을 나타내는 방법입니다.

제곱근

숫자 x의 제곱 근수는 그 자체를 곱하면 x가 되는 숫자 z입니다. 예를 들어 2에 2를 곱하면 4가 됩니다. 이 경우 2는 4의 제곱근입니다. 5에 5를 곱하면 25가 되며 이제 우리는 sqrt(25) 표현식의 값을 이미 알고 있습니다. and – 12에 −12를 곱하면 144가 되고, 144의 근수는 12와 −12가 됩니다. 분명히 제곱근은 양수일 수도 있고 음수일 수도 있습니다.

그러한 뿌리의 독특한 이원성은 문제를 해결하는 데 중요합니다. 이차 방정식따라서 이러한 문제에 대한 답을 검색할 때는 두 가지 루트를 모두 표시해야 합니다. 결정할 때 대수적 표현산술 제곱근, 즉 양수 값만 사용됩니다.

제곱근이 정수인 숫자를 완전제곱수라고 합니다. 이러한 숫자의 전체 순서가 있으며 그 시작 부분은 다음과 같습니다.

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256…

다른 숫자의 제곱근은 무리수입니다. 예를 들어 sqrt(3) = 1.73205080757... 등입니다. 이 숫자는 무한하고 비주기적이므로 근수를 계산하는 데 약간의 어려움이 있습니다.

학교 수학 과정에서는 음수의 제곱근을 취할 수 없다고 명시합니다. 우리가 대학의 수학적 분석 과정에서 배운 것처럼 이것이 가능하고 이루어져야 합니다. 이것이 바로 복소수가 필요한 이유입니다. 그러나 우리 프로그램은 다음을 추출하도록 설계되었습니다. 실제 가치근이므로 음수에서 짝수의 근수를 계산하지 않습니다.

큐브 루트

숫자 x의 삼차근은 숫자 z이며, 이 숫자를 세 번 곱하면 숫자 x가 됩니다. 예를 들어 2 × 2 × 2를 곱하면 8이 됩니다. 따라서 2는 8의 세제곱근입니다. 4를 3번 곱하면 4 × 4 × 4 = 64가 됩니다. 분명히 4는 숫자 64의 세제곱근입니다. 삼차근이 정수인 무한한 수열이 있습니다. 시작은 다음과 같습니다.

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, 2744…

다른 숫자의 경우 세제곱근은 무리수입니다. 제곱근과 달리 세제곱근은 다른 홀수근과 마찬가지로 음수에서 파생될 수 있습니다. 그것은 숫자의 곱에 관한 것입니다. 0보다 작음. 마이너스에 대한 마이너스는 학교에서 알려진 규칙인 플러스를 제공합니다. 그리고 플러스에 대한 마이너스는 마이너스를 제공합니다. 음수를 홀수 번 곱하면 결과도 음수가 됩니다. 따라서 다음에서 홀수 근수를 추출합니다. 음수아무것도 우리를 괴롭히지 않습니다.

그러나 계산기 프로그램은 다르게 작동합니다. 기본적으로 근을 추출하는 것은 근을 역제곱으로 올리는 것입니다. 제곱근은 1/2의 거듭제곱으로 간주되고, 입방근은 1/3의 거듭제곱으로 간주됩니다. 1/3의 거듭제곱을 구하는 공식을 다시 정리하면 2/6으로 표현할 수 있습니다. 결과는 동일하지만 음수에서는 이러한 근을 추출할 수 없습니다. 따라서 우리 계산기는 양수에서만 산술 근을 계산합니다.

n번째 루트

근수를 계산하는 이러한 화려한 방법을 사용하면 모든 표현에서 모든 차수의 근을 결정할 수 있습니다. 숫자의 세제곱의 다섯 번째 근 또는 숫자의 19번째 근수를 12제곱할 수 있습니다. 이 모든 것은 각각 3/5 또는 12/19의 거듭제곱으로 우아하게 구현됩니다.

예를 살펴 보겠습니다.

정사각형의 대각선

정사각형 대각선의 비합리성은 고대 그리스인들에게 알려져 있었습니다. 그들은 길이가 항상 2의 루트에 비례하기 때문에 평평한 정사각형의 대각선을 계산하는 문제에 직면했습니다. 대각선 길이를 결정하는 공식은 다음에서 파생되어 궁극적으로 다음 형식을 취합니다.

d = a × sqrt(2).

계산기를 사용하여 2의 제곱 근수를 결정해 봅시다. "Number(x)" 셀에 값 2를 입력하고 "Degree(n)" 셀에도 2를 입력하면 sqrt(2) = 1.4142라는 표현식을 얻게 됩니다. 따라서 정사각형의 대각선을 대략적으로 추정하려면 해당 변에 1.4142를 곱하면 충분합니다.

결론

근호를 찾는 것은 표준 산술 연산이며, 이것이 없으면 과학적 계산이나 설계 계산이 필수적입니다. 물론, 일상적인 문제를 해결하기 위해 근을 결정할 필요는 없지만, 우리의 온라인 계산기는 학생이나 학생들이 대수학이나 미적분학 숙제를 확인하는 데 확실히 유용할 것입니다.

이제 정리할 시간이다 뿌리 추출 방법. 이는 근의 속성, 특히 음수가 아닌 모든 숫자에 적용되는 동등성에 기반합니다. b.

아래에서는 뿌리를 추출하는 주요 방법을 하나씩 살펴보겠습니다.

가장 간단한 경우부터 시작해 보겠습니다. 제곱표, 큐브 표 등을 사용하여 자연수에서 근을 추출하는 것입니다.

정사각형, 큐브 등의 테이블인 경우 그것을 가지고 있지 않다면 근수를 소인수로 분해하는 근을 추출하는 방법을 사용하는 것이 논리적입니다.

홀수 지수를 갖는 근에 대해 가능한 것이 무엇인지 특별히 언급할 가치가 있습니다.

마지막으로 근값의 자릿수를 순차적으로 찾을 수 있는 방법을 생각해 보자.

시작해 봅시다.

정사각형 표, 큐브 표 등을 사용합니다.

가장 간단한 경우에는 정사각형, 큐브 등의 표를 사용하여 근을 추출할 수 있습니다. 이 테이블은 무엇입니까?

0부터 99까지의 정수 제곱표(아래 표시)는 두 개의 영역으로 구성됩니다. 테이블의 첫 번째 영역은 회색 배경에 위치하며 특정 행과 특정 열을 선택하여 0부터 99까지의 숫자를 구성할 수 있습니다. 예를 들어, 8개의 10으로 구성된 행과 3개의 단위로 구성된 열을 선택하면 숫자 83이 고정됩니다. 두 번째 영역은 테이블의 나머지 부분을 차지합니다. 각 셀은 특정 행과 특정 열의 교차점에 위치하며 0부터 99까지 해당 숫자의 제곱을 포함합니다. 우리가 선택한 10의 8행과 1의 3열의 교차점에는 숫자 83의 제곱인 6,889라는 숫자가 있는 셀이 있습니다.

큐브 표, 0에서 99까지의 숫자의 4제곱 표 등은 제곱 표와 유사하지만 두 번째 영역에는 큐브, 4제곱 등이 포함되어 있습니다. 해당 숫자.

정사각형, 큐브, 4승 등의 표 제곱근, 세제곱근, 4차근 등을 추출할 수 있습니다. 따라서 이 표의 숫자에 따라 결정됩니다. 뿌리를 추출할 때 사용 원리를 설명하겠습니다.

숫자 a의 n제곱근을 추출해야 하고 숫자 a는 n제곱표에 포함되어 있다고 가정해 보겠습니다. 이 표를 사용하여 a=bn이 되는 숫자 b를 찾습니다. 그 다음에 , 따라서 숫자 b는 원하는 n차 근이 됩니다.

예를 들어, 큐브 테이블을 사용하여 19,683의 큐브 루트를 추출하는 방법을 보여드리겠습니다. 우리는 큐브 표에서 숫자 19,683을 찾았습니다. 이 숫자는 숫자 27의 큐브라는 것을 알 수 있습니다. .

n제곱 테이블이 근을 추출하는 데 매우 편리하다는 것은 분명합니다. 그러나 가까이에 있지 않은 경우가 많으며 컴파일하는 데 시간이 걸립니다. 게다가, 해당 테이블에 포함되지 않은 숫자로부터 근을 추출해야 하는 경우도 종종 있습니다. 이러한 경우 뿌리를 추출하는 다른 방법을 사용해야 합니다.

근수를 소인수로 인수분해하기

자연수의 근을 추출하는 매우 편리한 방법(물론 근이 추출되는 경우)은 근수를 소인수로 분해하는 것입니다. 그의 요점은 이것이다: 그 후에는 원하는 지수를 갖는 거듭제곱으로 표현하는 것이 매우 쉽습니다. 이를 통해 근의 값을 얻을 수 있습니다. 이 점을 명확히 하자.

자연수 a의 n제곱근을 취하고 그 값을 b와 같다고 가정합니다. 이 경우 평등 a=bn은 참입니다. 숫자 b는 모든 자연수와 마찬가지로 모든 소인수 p 1 , p 2 , …, p m 의 곱으로 표현될 수 있으며, 이 경우 근수 a는 p 1 ·p 2 ·...·p m 형식입니다. 는 (p 1 ·p 2 ·…·p m) n 으로 표현됩니다. 숫자를 소인수로 분해하는 것은 고유한 일이므로 근수 a를 소인수로 분해하면 (p 1 ·p 2 ·...·p m) n 형식을 가지게 되며, 이는 근의 값을 계산할 수 있게 해줍니다. 처럼 .

근수 a의 소인수 분해가 (p 1 ·p 2 ·...·p m) n 형식으로 표시될 수 없는 경우 해당 숫자 a의 n제곱근은 완전히 추출되지 않습니다.

예제를 풀 때 이것을 알아 봅시다.

예.

144의 제곱근을 구합니다.

해결책.

이전 문단에 제공된 제곱표를 보면 144 = 12 2라는 것을 분명히 볼 수 있으며, 이를 통해 144의 제곱근이 12라는 것이 분명해집니다.

그러나 이러한 점에 비추어 우리는 근수 144를 소인수로 분해하여 근을 추출하는 방법에 관심이 있습니다. 이 솔루션을 살펴보겠습니다.

분해하자 144를 소인수로:

즉 144=2·2·2·2·3·3이다. 결과 분해를 기반으로 다음과 같은 변환을 수행할 수 있습니다. 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. 따라서, .

차수의 속성과 근의 속성을 사용하여 솔루션을 약간 다르게 공식화할 수 있습니다.

답변:

자료를 통합하려면 두 가지 예에 대한 솔루션을 더 고려하십시오.

예.

루트의 값을 계산합니다.

해결책.

근수 243의 소인수분해는 243=3 5 형식을 갖습니다. 따라서, .

답변:

예.

루트 값은 정수입니까?

해결책.

이 질문에 대답하기 위해 근수를 소인수로 인수분해하고 그것이 정수의 세제곱으로 표현될 수 있는지 살펴보겠습니다.

285 768=2 3 ·3 6 ·7 2가 있습니다. 결과 확장은 정수의 세제곱으로 표현되지 않습니다. 소인수 7은 3의 배수가 아니다. 따라서 285,768의 세제곱근을 완전히 추출할 수는 없습니다.

답변:

아니요.

분수에서 근 추출하기

이제 뿌리를 추출하는 방법을 알아낼 때입니다. 분수. 분수 근수를 p/q로 쓰겠습니다. 몫의 근의 속성에 따르면 다음과 같은 등식이 성립합니다. 이 평등에서 다음과 같습니다. 분수의 근을 추출하는 규칙: 분수의 근은 분자의 근을 분모의 근으로 나눈 몫과 같습니다.

분수에서 근을 추출하는 예를 살펴보겠습니다.

예.

의 제곱근은 무엇입니까 공통 분수 25/169 .

해결책.

제곱표를 사용하면 원래 분수의 분자의 제곱근이 5이고 분모의 제곱근이 13이라는 것을 알 수 있습니다. 그 다음에 . 이것으로 공통 분수 25/169의 근 추출이 완료됩니다.

답변:

소수 또는 대분수의 근은 근수를 일반 분수로 대체한 후 추출됩니다.

예.

소수 474.552의 세제곱근을 구합니다.

해결책.

원작을 상상해보자 소수공분수: 474.552=474552/1000. 그 다음에 . 결과 분수의 분자와 분모에 있는 세제곱근을 추출하는 일이 남아 있습니다. 왜냐하면 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 =78 3 및 1 000 = 10 3, 그러면 그리고 . 남은 것은 계산을 완료하는 것뿐이다. .

답변:

.

음수의 근을 취하기

음수에서 근을 추출하는 것에 대해 깊이 생각해 볼 가치가 있습니다. 근을 연구할 때 근 지수가 홀수이면 근 기호 아래에 음수가 있을 수 있다고 말했습니다. 우리는 이 항목에 다음과 같은 의미를 부여했습니다: 음수 −a 및 근 2n−1의 홀수 지수에 대해, . 이 평등은 음수에서 홀수 근을 추출하는 규칙: 음수의 근을 추출하려면 반대쪽 양수의 근을 구하고 결과 앞에 빼기 기호를 넣어야 합니다.

예제 솔루션을 살펴보겠습니다.

예.

루트의 값을 찾으십시오.

해결책.

루트 기호 아래에 나타나도록 원래 표현식을 변환해 보겠습니다. 정수: . 지금 대분수일반 분수로 바꾸세요. . 일반 분수의 근을 추출하는 규칙을 적용합니다. . 결과 분수의 분자와 분모의 근을 계산하는 것이 남아 있습니다. .

다음은 솔루션에 대한 간략한 요약입니다. .

답변:

.

루트 값의 비트 단위 결정

안에 일반적인 경우루트 아래에는 위에서 설명한 기술을 사용하여 어떤 숫자의 n제곱으로도 표현할 수 없는 숫자가 있습니다. 그러나 이 경우에는 적어도 특정 기호까지 주어진 어근의 의미를 알아야 합니다. 이 경우 근을 추출하려면 다음을 일관되게 얻을 수 있는 알고리즘을 사용할 수 있습니다. 충분한 양필요한 숫자의 숫자 값.

이 알고리즘의 첫 번째 단계는 루트 값의 최상위 비트가 무엇인지 알아내는 것입니다. 이를 위해 숫자가 근수를 초과하는 순간이 얻어질 때까지 숫자 0, 10, 100, ...을 순차적으로 n의 거듭제곱으로 올립니다. 그런 다음 이전 단계에서 n 제곱한 숫자가 해당 최대 유효 숫자를 나타냅니다.

예를 들어, 추출할 때 알고리즘의 이 단계를 고려하십시오. 제곱근다섯 개 중. 0, 10, 100, ...이라는 숫자를 5보다 큰 숫자가 나올 때까지 제곱하세요. 우리는 0 2 =0<5 , 10 2 =100>5는 가장 중요한 숫자가 1의 숫자가 됨을 의미합니다. 이 비트의 값은 낮은 비트와 마찬가지로 루트 추출 알고리즘의 다음 단계에서 발견됩니다.

알고리즘의 다음 단계는 모두 원하는 루트 값의 다음 비트 값을 찾아서 가장 높은 것부터 시작하여 가장 낮은 것까지 순차적으로 루트의 값을 명확하게하는 것을 목표로합니다. 예를 들어 첫 번째 단계의 루트 값은 2, 두 번째 단계에서는 2.2, 세 번째 단계에서는 2.23 등으로 2.236067977… 숫자의 값을 찾는 방법을 설명하겠습니다.

숫자는 가능한 값 0, 1, 2, ..., 9를 검색하여 찾습니다. 이 경우 해당 숫자의 n제곱을 병렬로 계산하여 근수와 비교합니다. 어떤 단계에서 차수 값이 근수를 초과하면 이전 값에 해당하는 숫자 값이 발견된 것으로 간주되고 이것이 발생하지 않으면 근 추출 알고리즘의 다음 단계로 전환됩니다. 그러면 이 숫자의 값은 9입니다.

이러한 점을 5의 제곱근을 추출하는 동일한 예를 사용하여 설명하겠습니다.

먼저 단위 숫자의 값을 찾습니다. 근수 5보다 큰 값을 얻을 때까지 0, 1, 2, ..., 9 값을 각각 0 2, 1 2, ..., 9 2로 계산합니다. 이러한 모든 계산을 표 형식으로 표시하는 것이 편리합니다.

따라서 단위 숫자의 값은 2입니다(2 2이므로).<5 , а 2 3 >5). 10번째 자리의 가치를 찾는 것으로 넘어가겠습니다. 이 경우 숫자 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9를 제곱하여 결과 값을 근수 5와 비교합니다.

2.2 2부터<5 , а 2,3 2 >5이면 10번째 자리의 값은 2입니다. 백분의 일 자리의 값을 찾는 작업을 진행할 수 있습니다.

그래서 찾았다 다음 값 5의 루트는 2.23과 같습니다. 따라서 계속해서 값을 찾을 수 있습니다. 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

자료를 통합하기 위해 고려된 알고리즘을 사용하여 100분의 1의 정확도로 뿌리 추출을 분석합니다.

먼저 가장 중요한 숫자를 결정합니다. 이를 위해 숫자 0, 10, 100 등을 큐브로 만듭니다. 2,151,186보다 큰 숫자를 얻을 때까지. 우리는 0 3 =0을 가지고 있습니다<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186 이므로 최상위 숫자는 십의 자리입니다.

그 가치를 결정합시다.

10 3 이후<2 151,186 , а 20 3 >2 151.186이면 십의 자리 값은 1입니다. 단위로 넘어 갑시다.

따라서 일의 자리의 값은 2입니다. 10분의 1로 넘어가겠습니다.

12.9 3도 근수 2 151.186보다 작으므로 소수 자리 값은 9입니다. 알고리즘의 마지막 단계를 수행하면 필요한 정확도로 루트 값이 제공됩니다.

이 단계에서는 근의 값이 100분의 1까지 정확한 것으로 확인됩니다. .

이 글을 마무리하면서 뿌리를 추출하는 방법은 이 외에도 많다는 점을 말씀드리고 싶습니다. 그러나 대부분의 작업에서는 위에서 연구한 것만으로도 충분합니다.

참고자료.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. 대수학: 8학년 교과서. 교육 기관.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. 및 기타 대수학 및 분석의 시작: 일반 교육 기관의 10~11학년을 위한 교과서.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. 수학(전문학교 입학을 위한 매뉴얼).

온라인 엔지니어링 계산기

우리는 모든 분들께 무료 엔지니어링 계산기를 선물하게 되어 기쁘게 생각합니다. 도움을 받으면 모든 학생은 온라인에서 다양한 유형의 수학적 계산을 빠르고 쉽게 수행할 수 있습니다.

눈에 띄지 않고 직관적인 인터페이스를 갖춘 간단하고 사용하기 쉬운 엔지니어링 계산기는 광범위한 인터넷 사용자에게 정말 유용할 것입니다. 이제 계산기가 필요할 때마다 당사 웹사이트에 접속하여 무료 엔지니어링 계산기를 사용해 보세요.

엔지니어링 계산기는 간단한 산술 연산과 매우 복잡한 수학적 계산을 모두 수행할 수 있습니다.

Web20calc는 예를 들어 모든 기본 기능을 계산하는 방법과 같이 수많은 기능을 갖춘 엔지니어링 계산기입니다. 계산기는 삼각함수, 행렬, 로그, 심지어 그래프까지 지원합니다.

의심할 바 없이 Web20calc는 간단한 솔루션을 찾기 위해 검색 엔진에 온라인 수학 계산기라는 검색어를 입력하는 사람들 그룹의 관심을 끌 것입니다. 무료 웹 애플리케이션을 사용하면 빼기, 더하기, 나누기, 근 추출, 거듭제곱 등 일부 수학적 표현의 결과를 즉시 계산할 수 있습니다.

표현식에서는 지수, 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈, 백분율 및 PI 상수 연산을 사용할 수 있습니다. 복잡한 계산에는 괄호를 포함해야 합니다.

엔지니어링 계산기의 기능:

1. 기본 산술 연산
2. 표준 형식의 숫자로 작업합니다.
3. 삼각근, 함수, 로그, 지수 계산;
4. 통계 계산: 덧셈, 산술 평균 또는 표준 편차;
5. 메모리 셀 사용 및 2개 변수의 맞춤 기능;
6. 라디안 및 도 측정 단위의 각도를 사용하여 작업합니다.

공학 계산기를 사용하면 다양한 수학 함수를 사용할 수 있습니다.

근(제곱근, 3차근, n차근) 추출
ex(e의 x승), 지수;
삼각 함수: 사인 - 사인, 코사인 - cos, 탄젠트 - 황갈색;
역삼각 함수: 아크사인 - sin-1, 아크코사인 - cos-1, 아크탄젠트 - tan-1;
쌍곡선 함수: 사인 - sinh, 코사인 - cosh, 탄젠트 - tanh;
로그: 밑이 2인 이진 로그 - log2x, 밑이 10인 십진 로그 - 로그, 자연 로그 - ln.

이 공학 계산기에는 컴퓨터 단위, 거리, 무게, 시간 등 다양한 측정 시스템에 대한 물리량을 변환할 수 있는 수량 계산기도 포함되어 있습니다. 이 기능을 사용하면 마일을 킬로미터로, 파운드를 킬로그램으로, 초를 시간으로 즉시 변환할 수 있습니다.

수학적 계산을 하려면 먼저 해당 필드에 일련의 수학적 표현식을 입력한 다음 등호를 클릭하고 결과를 확인하세요. 키보드에서 직접 값을 입력할 수 있습니다(이를 위해서는 계산기 영역이 활성화되어 있어야 하므로 입력 필드에 커서를 놓는 것이 유용할 것입니다). 무엇보다도 계산기 자체의 버튼을 사용하여 데이터를 입력할 수 있습니다.

그래프를 작성하려면 예제가 있는 필드에 표시된 대로 입력 필드에 함수를 작성하거나 이를 위해 특별히 설계된 도구 모음을 사용해야 합니다(이로 이동하려면 그래프 아이콘이 있는 버튼을 클릭하십시오). 값을 변환하려면 단위를 클릭하고, 행렬로 작업하려면 행렬을 클릭하세요.

계산기가 있기 전에는 학생과 교사가 손으로 제곱근을 계산했습니다. 숫자의 제곱근을 수동으로 계산하는 방법에는 여러 가지가 있습니다. 그 중 일부는 대략적인 솔루션만 제공하고 다른 일부는 정확한 답변을 제공합니다.

단계

소인수분해

근수를 제곱수인 인수로 인수분해합니다.근수에 따라 대략적인 답이나 정확한 답을 얻을 수 있습니다. 제곱수는 전체 제곱근을 구할 수 있는 숫자입니다. 인수는 곱해지면 원래 숫자가 되는 숫자입니다. 예를 들어, 숫자 8의 인수는 2와 4입니다. 2 x 4 = 8이므로 숫자 25, 36, 49는 √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7이므로 제곱수입니다. 인수는 제곱수입니다. 먼저, 근수를 제곱 인수로 인수분해해 보세요.

• 예를 들어, 400의 제곱근을 (손으로) 계산해 보세요. 먼저 400을 제곱 인수로 인수분해해 보세요. 400은 100의 배수, 즉 25로 나누어지는 제곱수입니다. 400을 25로 나누면 16이 됩니다. 숫자 16도 제곱수입니다. 따라서 400은 25와 16의 제곱인수, 즉 25 x 16 = 400으로 인수분해될 수 있습니다.
• 이는 다음과 같이 쓸 수 있습니다: √400 = √(25 x 16).

1. 일부 항의 곱의 제곱근은 각 항의 제곱근의 곱과 같습니다. 즉, √(a x b) = √a x √b입니다.

   • 이 규칙을 사용하여 각 제곱 인수의 제곱근을 구하고 결과를 곱하여 답을 찾습니다.
     • 이 예에서는 25와 16의 근을 취합니다.
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16

2. 5 x 4 = 20

   • 근수가 두 개의 제곱 인수를 고려하지 않는 경우(대부분의 경우 이러한 현상이 발생함) 정수 형태로 정확한 답을 찾을 수 없습니다.
     • 그러나 근수를 제곱 인수와 일반 인수(전체 제곱근을 구할 수 없는 숫자)로 분해하면 문제를 단순화할 수 있습니다. 그런 다음 제곱 인수의 제곱근과 공통 인수의 근을 구합니다.
     • 예를 들어, 숫자 147의 제곱근을 계산합니다. 숫자 147은 두 개의 제곱 인수로 인수분해될 수 없지만 다음 인수인 49와 3으로 인수분해할 수 있습니다. 문제를 다음과 같이 해결합니다.
     • = 7√3

3. = √(49 x 3)= √49 x √3

   • 우리의 예로 돌아가 보겠습니다. 근수는 3입니다. 이에 가장 가까운 제곱수는 숫자 1(√1 = 1)과 4(√4 = 2)입니다. 따라서 √3의 값은 1과 2 사이에 위치합니다. √3의 값은 아마도 1보다 2에 더 가깝기 때문에 우리의 추정치는 다음과 같습니다: √3 = 1.7. 이 값에 루트 부호의 숫자(7 x 1.7 = 11.9)를 곱합니다. 계산기로 계산하면 12.13이 나오며 이는 우리의 답과 매우 가깝습니다.
     • 이 방법은 큰 숫자에도 적용됩니다. 예를 들어 √35를 생각해 보세요. 근수는 35입니다. 이에 가장 가까운 제곱수는 숫자 25(√25 = 5)와 36(√36 = 6)입니다. 따라서 √35의 값은 5와 6 사이에 위치합니다. √35의 값은 5보다 6에 훨씬 더 가깝기 때문에(35는 36보다 1만 작기 때문에) √35는 6보다 약간 작다고 말할 수 있습니다. . 계산기를 확인하면 5.92라는 답이 나옵니다. 우리가 옳았습니다.

4. 또 다른 방법은 근수를 소인수로 인수분해하는 것입니다.소인수는 1과 자기 자신으로만 나누어지는 수입니다. 소인수를 계열로 작성하고 동일한 인자의 쌍을 찾습니다. 이러한 요소는 루트 기호에서 제거될 수 있습니다.

   • 예를 들어, 45의 제곱근을 계산합니다. 근수를 소인수로 인수분해합니다: 45 = 9 x 5 및 9 = 3 x 3. 따라서 √45 = √(3 x 3 x 5). 3은 루트 기호로 꺼낼 수 있습니다: √45 = 3√5. 이제 우리는 √5를 추정할 수 있습니다.
   • 또 다른 예를 살펴보겠습니다: √88.
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). 당신은 2의 승수 3개를 받았습니다. 그 중 몇 개를 가져다가 루트 기호 너머로 이동합니다.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. 이제 √2와 √11을 평가하고 대략적인 답을 찾을 수 있습니다.

   수동으로 제곱근 계산

   장제법 사용

   1. 이 방법은 장제법과 유사한 프로세스를 포함하며 정확한 답을 제공합니다.먼저 시트를 두 부분으로 나누는 수직선을 그린 다음 시트 상단 가장자리의 오른쪽과 약간 아래에 수직선에 수평선을 그립니다. 이제 소수점 이하의 분수 부분부터 시작하여 근수를 숫자 쌍으로 나눕니다. 따라서 숫자 79520789182.47897은 "7 95 20 78 91 82, 47 89 70"으로 표기됩니다.

      • 예를 들어 숫자 780.14의 제곱근을 계산해 보겠습니다. (그림과 같이) 두 개의 선을 그리고 왼쪽 상단에 “7 80, 14” 형식으로 주어진 숫자를 적습니다. 왼쪽에서 첫 번째 숫자가 짝이 없는 숫자인 것이 정상입니다. 오른쪽 상단에 답(이 숫자의 루트)을 적습니다.

   2. 왼쪽부터 첫 번째 숫자 쌍(또는 단일 숫자)에 대해 제곱이 문제의 숫자 쌍(또는 단일 숫자)보다 작거나 같은 가장 큰 정수 n을 찾으세요.

      • 즉, 왼쪽에서 첫 번째 숫자 쌍(또는 단일 숫자)에 가장 가깝지만 그보다 작은 제곱수를 찾아 해당 제곱수의 제곱근을 구합니다. 당신은 숫자 n을 얻게 될 것입니다. 찾은 n을 오른쪽 상단에 쓰고, n의 제곱을 오른쪽 하단에 씁니다.< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. 우리의 경우 왼쪽의 첫 번째 숫자는 7이 됩니다. 다음은 4입니다.왼쪽의 첫 번째 숫자 쌍(또는 단일 숫자)에서 방금 구한 숫자 n의 제곱을 뺍니다.

      • 계산 결과를 빼기(n의 제곱) 아래에 쓰세요.

   4. 이 예에서는 7에서 4를 빼고 3을 얻습니다.두 번째 숫자 쌍을 적어서 이전 단계에서 얻은 값 옆에 적어 두세요.

      • 그런 다음 오른쪽 상단의 숫자를 두 배로 늘리고 "_×_="를 추가하여 오른쪽 하단에 결과를 씁니다.

   5. 이 예에서 두 번째 숫자 쌍은 "80"입니다. 3 뒤에 "80"을 적습니다. 그리고 오른쪽 상단의 숫자를 두 배로 하면 4가 됩니다. 오른쪽 하단에 "4_×_="라고 씁니다.

      • 오른쪽의 빈칸을 채워보세요.

   6. 우리의 경우 대시 대신 숫자 8을 넣으면 48 x 8 = 384가 되어 380보다 큽니다. 따라서 8은 너무 큰 숫자이지만 7이면 충분합니다. 대시 대신 7을 쓰고 47 x 7 = 329를 얻습니다. 오른쪽 상단에 7을 씁니다. 이것은 숫자 780.14의 원하는 제곱근의 두 번째 숫자입니다.왼쪽의 현재 숫자에서 결과 숫자를 뺍니다.

      • 왼쪽의 현재 숫자 아래에 이전 단계의 결과를 쓰고, 차이점을 찾아 빼기 아래에 씁니다.

   7. 이 예에서는 380에서 329를 빼면 51이 됩니다. 4단계를 반복합니다.

      • 전송되는 숫자 쌍이 원래 숫자의 소수 부분인 경우 오른쪽 상단에 필요한 제곱근의 정수와 소수 부분 사이에 구분 기호(쉼표)를 입력합니다. 왼쪽에서 다음 숫자 쌍을 내립니다. 오른쪽 상단의 숫자를 두 배로 늘리고 오른쪽 하단에 "_×_="를 추가하여 결과를 씁니다.

   8. 이 예에서 제거할 다음 숫자 쌍은 숫자 780.14의 분수 부분이 되므로 오른쪽 상단의 원하는 제곱근에 정수와 분수 부분의 구분 기호를 배치합니다. 14를 빼서 왼쪽 하단에 쓰세요. 오른쪽 상단의 숫자(27)의 두 배는 54이므로 오른쪽 하단에 "54_×_="라고 적습니다. 5단계와 6단계를 반복합니다.

      • 이 예에서는 549 x 9 = 4941이며 이는 왼쪽의 현재 숫자(5114)보다 작습니다. 오른쪽 상단에 9를 쓰고 왼쪽의 현재 숫자(5114 - 4941 = 173)에서 곱셈 결과를 뺍니다.

   9. 제곱근의 소수 자릿수를 더 찾아야 하는 경우 현재 숫자 왼쪽에 0 두 개를 쓰고 4, 5, 6단계를 반복합니다. 원하는 답의 정밀도(소수 자릿수)를 얻을 때까지 단계를 반복합니다. 필요.

   프로세스 이해

   이 방법을 익히려면 제곱근을 찾아야 하는 숫자를 정사각형 S의 면적으로 상상해 보세요. 이 경우 해당 정사각형의 변 L의 길이를 찾습니다. L² = S가 되도록 L 값을 계산합니다.

   답안의 각 번호에 대해 편지를 쓰십시오. L 값(원하는 제곱근)의 첫 번째 숫자를 A로 표시하겠습니다. B는 두 번째 숫자이고, C는 세 번째 숫자입니다.

   첫 번째 숫자의 각 쌍에 문자를 지정합니다. S 값의 첫 번째 숫자 쌍을 S a로 표시하고, 두 번째 숫자 쌍을 S b로 표시하겠습니다.

   이 방법과 긴 나눗셈 사이의 연관성을 이해합니다.매번 나누는 숫자의 다음 숫자에만 관심이 있는 나눗셈과 마찬가지로, 제곱근을 계산할 때 한 쌍의 숫자를 순차적으로 처리합니다(제곱근 값에서 다음 한 숫자를 얻기 위해). .

   1. 숫자 S의 첫 번째 숫자 Sa 쌍(이 예에서는 Sa = 7)을 고려하고 그 제곱근을 구합니다.이 경우 원하는 제곱근 값의 첫 번째 숫자 A는 제곱이 S a보다 작거나 같은 숫자가 됩니다(즉, 부등식 A² ≤ Sa가 되는 A를 찾고 있습니다)< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • 88962를 7로 나누어야 한다고 가정해 보겠습니다. 여기서 첫 번째 단계는 유사합니다. 나누어지는 숫자 88962(8)의 첫 번째 숫자를 고려하고 7을 곱할 때 8보다 작거나 같은 값을 제공하는 가장 큰 숫자를 선택합니다. 부등식이 참인 숫자 d: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. 면적을 계산해야 하는 사각형을 정신적으로 상상해 보세요. L, 즉 면적이 S와 같은 정사각형의 한 변의 길이를 찾고 있습니다. A, B, C는 숫자 L의 숫자입니다. 다르게 쓸 수 있습니다: 10A + B = L(의 경우) 두 자리 숫자) 또는 100A + 10B + C = L(3자리 숫자) 등입니다.

      • 허락하다 (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². 10A+B는 숫자 B가 단위를 나타내고 숫자 A가 10을 나타내는 숫자라는 것을 기억하세요. 예를 들어 A=1이고 B=2인 경우 10A+B는 숫자 12와 같습니다. (10A+B)²는 전체 광장의 면적이고, 100A²- 큰 내부 광장의 면적, B²- 작은 내부 정사각형의 면적, 10A×B- 두 직사각형 각각의 면적. 설명된 그림의 면적을 더하면 원래 정사각형의 면적을 알 수 있습니다.

지침

숫자를 1/3승으로 올리려면 숫자를 입력한 다음 지수화 버튼을 클릭하고 1/3 - 0.333의 대략적인 값을 입력하세요. 이 정확도는 대부분의 계산에 충분합니다. 그러나 계산의 정확도는 매우 쉽게 높일 수 있습니다. 계산기 표시기에 맞는 만큼의 세 쌍을 추가하기만 하면 됩니다(예: 0.3333333333333333). 그런 다음 "=" 버튼을 클릭하세요.

컴퓨터를 사용하여 세 번째 근을 계산하려면 Windows 계산기 프로그램을 실행하십시오. 세 번째 근을 계산하는 절차는 위에서 설명한 절차와 완전히 유사합니다. 유일한 차이점은 지수 버튼의 디자인에 있습니다. 계산기의 가상 키보드에는 "x^y"로 표시됩니다.

세 번째 근은 MS Excel에서도 계산할 수 있습니다. 이렇게 하려면 셀에 "="를 입력하고 "삽입" 아이콘(fx)을 선택하세요. 나타나는 창에서 “DEGREE” 기능을 선택하고 “확인” 버튼을 클릭하세요. 나타나는 창에서 세 번째 근을 계산하려는 숫자의 값을 입력하십시오. "학위"에 숫자 "1/3"을 입력합니다. 일반 양식과 마찬가지로 이 형식으로 숫자 1/3을 정확하게 입력하세요. 그 후 “확인” 버튼을 클릭하세요. 주어진 숫자의 큐브 루트가 해당 숫자가 생성된 테이블 셀에 나타납니다.

세 번째 근을 지속적으로 계산해야 하는 경우 위에 설명된 방법을 약간 개선하세요. 루트를 추출하려는 숫자의 경우 숫자 자체가 아닌 표 셀을 표시하십시오. 그 후에는 매번 이 셀에 원래 숫자를 입력하면 됩니다. 해당 세제곱근이 수식과 함께 셀에 나타납니다.

주제에 관한 비디오

참고하세요

결론. 본 논문에서는 세제곱근 값을 계산하는 다양한 방법을 살펴보았습니다. 반복 방법을 사용하여 세제곱근의 값을 찾을 수 있다는 것이 밝혀졌습니다. 세제곱근을 근사화하고 숫자를 1/3의 거듭제곱으로 올리고 다음을 사용하여 세 번째 근의 값을 찾을 수도 있습니다. Microsoft Office Ecxel, 셀에 수식 설정.

유용한 조언

2도 및 3도의 뿌리는 특히 자주 사용되므로 특별한 이름이 있습니다. 제곱근: 이 경우 지수는 일반적으로 생략되며, 지수를 지정하지 않고 "근"이라는 용어는 제곱근을 의미하는 경우가 가장 많습니다. 근의 실제 계산 n차 근을 찾는 알고리즘입니다. 제곱근과 세제곱근은 일반적으로 모든 계산기에 제공됩니다.

출처:

• 세 번째 루트
• Excel에서 제곱근의 N제곱을 구하는 방법

뿌리를 찾는 작업 제삼 도일반적으로 "입방"근 추출이라고하며 실수를 찾는 것으로 구성되며 그 입방체는 근수와 동일한 값을 제공합니다. 임의의 산술근을 추출하는 작업 도 n은 1/n의 거듭제곱을 하는 연산과 동일합니다. 세제곱근을 실제로 계산하는 데 사용할 수 있는 몇 가지 방법이 있습니다.