Եռանկյունի տարածք - խնդրի լուծման բանաձևեր և օրինակներ

Ստորև ներկայացված են կամայական եռանկյունու տարածքը գտնելու բանաձևերորոնք հարմար են ցանկացած եռանկյունու տարածքը գտնելու համար՝ անկախ նրա հատկություններից, անկյուններից կամ չափերից։ Բանաձևերը ներկայացված են նկարի տեսքով, այստեղ տրված են նաև դրանց կիրառման կամ ճիշտության հիմնավորման բացատրությունները։ Համապատասխանությունները նույնպես նշված են առանձին պատկերով տառերի նշանակումներըբանաձևերում և գրաֆիկական նշաններգծագրի վրա։

Նշում . Եթե ​​եռանկյունն ունի հատուկ հատկություններ(հավասարաչափ, ուղղանկյուն, հավասարակողմ), կարող եք օգտագործել ստորև տրված բանաձևերը, ինչպես նաև լրացուցիչ հատուկ բանաձևեր, որոնք վավեր են միայն այս հատկություններով եռանկյունների համար.

• «Հավասարակողմ եռանկյան մակերեսի բանաձևը»

Եռանկյունի տարածքի բանաձևեր

Բանաձևերի բացատրություններ:
ա, բ, գ- այն եռանկյան կողմերի երկարությունները, որի տարածքը մենք ցանկանում ենք գտնել
r- եռանկյան մեջ ներգծված շրջանագծի շառավիղը
Ռ- եռանկյան շուրջը շրջագծված շրջանագծի շառավիղը
հ- եռանկյունու բարձրությունը իջեցված դեպի կողմը
էջ- եռանկյան կիսաշրջագիծ, նրա կողմերի գումարի 1/2 (պարագիծ)
α - եռանկյան a կողմին հակառակ անկյուն
β - եռանկյան b կողմին հակառակ անկյուն
γ - եռանկյան c կողմին հակառակ անկյուն
հ ա, հ բ , հ գ- եռանկյան բարձրությունը իջեցված a, b, c կողմերին

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ տրված նշումները համապատասխանում են վերը նշված նկարին, այնպես որ իրական երկրաչափության խնդիր լուծելիս ձեզ համար տեսողականորեն ավելի հեշտ կլինի փոխարինել ճիշտ արժեքները բանաձևի ճիշտ տեղերում:

• Եռանկյան մակերեսն է եռանկյան բարձրության և այն կողմի երկարության արտադրյալի կեսը, որով այս բարձրությունն իջեցվել է(Ֆորմուլա 1): Այս բանաձեւի ճիշտությունը կարելի է հասկանալ տրամաբանորեն։ Հիմքին իջեցված բարձրությունը կամայական եռանկյունը կբաժանի երկու ուղղանկյունի: Եթե ​​դրանցից յուրաքանչյուրը կառուցեք b և h չափերով ուղղանկյունի, ապա ակնհայտորեն այս եռանկյունների մակերեսը հավասար կլինի ուղղանկյան տարածքի ուղիղ կեսին (Spr = bh)
• Եռանկյան մակերեսն է նրա երկու կողմերի արտադրյալի կեսը և նրանց միջև անկյան սինուսը(Բանաձև 2) (տե՛ս ստորև բերված այս բանաձևով խնդիր լուծելու օրինակ): Չնայած այն հանգամանքին, որ այն տարբերվում է նախորդից, այն հեշտությամբ կարող է փոխակերպվել դրա մեջ: Եթե ​​բարձրությունը B անկյունից իջեցնենք b կողմ, ապա կստացվի, որ a կողմի և γ անկյան սինուսի արտադրյալը, ըստ ուղղանկյուն եռանկյան սինուսի հատկությունների, հավասար է մեր գծած եռանկյան բարձրությանը։ , որը մեզ տալիս է նախորդ բանաձեւը
• Կարելի է գտնել կամայական եռանկյունու տարածքը միջոցով աշխատանքնրա մեջ գրված շրջանագծի շառավիղի կեսը նրա բոլոր կողմերի երկարությունների գումարով(Բանաձև 3), պարզ ասած, անհրաժեշտ է եռանկյան կիսաշրջագիծը բազմապատկել ներգծված շրջանագծի շառավղով (սա ավելի հեշտ է հիշել)
• Կամայական եռանկյունու մակերեսը կարելի է գտնել՝ նրա բոլոր կողմերի արտադրյալը բաժանելով շուրջը շրջագծված շրջանագծի 4 շառավղով (բանաձև 4)
• Բանաձև 5-ը գտնում է եռանկյան մակերեսը նրա կողմերի երկարությունների և կիսաշրջագծի միջով (նրա բոլոր կողմերի գումարի կեսը)
• Հերոնի բանաձեւը(6) նույն բանաձևի ներկայացումն է՝ առանց կիսաշրջագծային հասկացության օգտագործման, միայն կողմերի երկարությունների միջով
• Կամայական եռանկյան մակերեսը հավասար է եռանկյան կողմի քառակուսու և այս կողմին հարող անկյունների սինուսների արտադրյալին, որը բաժանված է այս կողմին հակառակ անկյան կրկնակի սինուսով (Բանաձև 7)
• Կամայական եռանկյունու մակերեսը կարելի է գտնել որպես շրջանակի երկու քառակուսիների արտադրյալ, որոնք շրջապատված են նրա շուրջը յուրաքանչյուր անկյունի սինուսներով: (Ֆորմուլա 8)
• Եթե ​​հայտնի են մի կողմի երկարությունը և երկու հարակից անկյունների արժեքները, ապա եռանկյան մակերեսը կարելի է գտնել որպես այս կողմի քառակուսի բաժանված այս անկյունների կոտանգենսների կրկնակի գումարով (Բանաձև 9)
• Եթե ​​հայտնի է միայն եռանկյան բարձրություններից յուրաքանչյուրի երկարությունը (Բանաձև 10), ապա այդպիսի եռանկյան մակերեսը հակադարձ համեմատական ​​է այդ բարձրությունների երկարություններին, ինչպես Հերոնի բանաձևի համաձայն.
• Formula 11-ը թույլ է տալիս հաշվարկել եռանկյան մակերեսը՝ հիմնված նրա գագաթների կոորդինատների վրա, որոնք նշված են որպես (x;y) արժեքներ յուրաքանչյուր գագաթի համար: Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ ստացված արժեքը պետք է ընդունվի մոդուլով, քանի որ առանձին (կամ նույնիսկ բոլոր) գագաթների կոորդինատները կարող են լինել բացասական արժեքների շրջանում:

Նշում. Ստորև բերված են երկրաչափական խնդիրների լուծման օրինակներ՝ եռանկյան մակերեսը գտնելու համար: Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է լուծել երկրաչափության խնդիր, որն այստեղ նման չէ, գրեք այդ մասին ֆորումում: Լուծումների մեջ խորհրդանիշի փոխարեն « քառակուսի արմատ«Կարելի է օգտագործել sqrt() ֆունկցիան, որում sqrt-ը քառակուսի արմատի խորհրդանիշն է, իսկ արմատական ​​արտահայտությունը նշված է փակագծերում.Երբեմն պարզ արմատական ​​արտահայտությունների համար խորհրդանիշը կարող է օգտագործվել √

Առաջադրանք. Գտե՛ք տրված երկու կողմերի տարածքը և նրանց միջև եղած անկյունը

Եռանկյան կողմերը 5 և 6 սմ են: Նրանց միջև անկյունը 60 աստիճան է: Գտեք եռանկյան մակերեսը.

Լուծում.

Այս խնդիրը լուծելու համար դասի տեսական մասից օգտագործում ենք թիվ երկու բանաձևը։
Եռանկյան մակերեսը կարելի է գտնել երկու կողմերի երկարությունների և նրանց միջև անկյան սինուսի միջով և հավասար կլինի.
S=1/2 ab sin γ

Քանի որ մենք ունենք լուծման համար անհրաժեշտ բոլոր տվյալները (ըստ բանաձևի), մենք կարող ենք միայն արժեքները փոխարինել խնդրի պայմաններից բանաձևով.
S = 1/2 * 5 * 6 * մեղք 60

Արժեքների աղյուսակում եռանկյունաչափական ֆունկցիաներԵկեք գտնենք և փոխարինենք սինուսի 60 աստիճանի արժեքը արտահայտության մեջ: Այն հավասար կլինի երեք անգամ երկուսի արմատին։
S = 15 √3 / 2

Պատասխանել 7,5 √3 (կախված ուսուցչի պահանջներից, հավանաբար կարող եք թողնել 15 √3/2)

Առաջադրանք. Գտե՛ք հավասարակողմ եռանկյան մակերեսը

Գտեք 3 սմ կողմ ունեցող հավասարակողմ եռանկյան մակերեսը:

Լուծում.

Եռանկյան մակերեսը կարելի է գտնել Հերոնի բանաձևով.

S = 1/4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))

Քանի որ a = b = c, հավասարակողմ եռանկյան մակերեսի բանաձևը ստանում է ձևը.

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

Պատասխանել: 9 √3 / 4.

Առաջադրանք. Կողմերի երկարությունը փոխելիս տարածքի փոփոխություն

Քանի՞ անգամ կավելանա եռանկյան մակերեսը, եթե կողմերը մեծացվեն 4 անգամ:

Լուծում.

Քանի որ եռանկյան կողմերի չափերը մեզ անհայտ են, խնդիրը լուծելու համար կենթադրենք, որ կողմերի երկարությունները համապատասխանաբար հավասար են. կամայական թվերա, բ, գ. Այնուհետև խնդրի հարցին պատասխանելու համար կգտնենք տվյալ եռանկյան մակերեսը, այնուհետև կգտնենք այն եռանկյան մակերեսը, որի կողմերը չորս անգամ մեծ են։ Այս եռանկյունների մակերեսների հարաբերակցությունը մեզ կտա խնդրի պատասխանը։

Ստորև ներկայացնում ենք խնդրի լուծման քայլ առ քայլ տեքստային բացատրությունը։ Սակայն հենց վերջում այս նույն լուծումը ներկայացված է ավելի հարմար գրաֆիկական տեսքով։ Ցանկացողները կարող են անմիջապես իջնել լուծումները։

Լուծելու համար մենք օգտագործում ենք Հերոնի բանաձևը (տե՛ս վերևում դասի տեսական մասում): Այն կարծես այսպիսին է.

S = 1/4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
(տես ստորև նկարի առաջին տողը)

Կամային եռանկյան կողմերի երկարությունները որոշվում են a, b, c փոփոխականներով:
Եթե ​​կողմերը մեծացվեն 4 անգամ, ապա նոր եռանկյան c մակերեսը կլինի.

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(տես ստորև նկարի երկրորդ տողը)

Ինչպես տեսնում եք, 4-ը ընդհանուր գործոն է, որը կարելի է փակագծերից հանել բոլոր չորս արտահայտություններից՝ ըստ ընդհանուր կանոններմաթեմատիկա։
Հետո

S 2 = 1/4 sqrt (4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - նկարի երրորդ տողում
S 2 = 1/4 sqrt (256 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - չորրորդ տող

256 թվի քառակուսի արմատը հիանալի կերպով արդյունահանված է, ուստի եկեք այն հանենք արմատի տակից
S 2 = 16 * 1/4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
S 2 = 4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
(տես ստորև նկարի հինգերորդ տողը)

Խնդրում տրված հարցին պատասխանելու համար մենք պարզապես պետք է ստացված եռանկյունու տարածքը բաժանենք սկզբնականի մակերեսով:
Եկեք որոշենք մակերեսների հարաբերակցությունը՝ արտահայտությունները միմյանց վրա բաժանելով և ստացված կոտորակը փոքրացնելով։

Հրահանգներ

Կուսակցություններիսկ անկյունները համարվում են հիմնական տարրեր Ա. Եռանկյունն ամբողջությամբ սահմանվում է իր հետևյալ հիմնական տարրերից որևէ մեկով. կա՛մ երեք կողմ, կա՛մ մեկ կողմ և երկու անկյուն, կա՛մ երկու կողմ և նրանց միջև գտնվող անկյուն: Գոյության համար եռանկյունտրված երեք կողմերի՝ a, b, c, անհրաժեշտ և բավարար է՝ բավարարելու անհավասարություններ կոչվող անհավասարությունները. եռանկյուն:
a+b > c,
a+c > b,
b+c > a.

կառուցելու համար եռանկյուներեք կողմերում a, b, c, CB = a հատվածի C կետից անհրաժեշտ է գծել b շառավղով շրջանագիծ՝ օգտագործելով կողմնացույց: Այնուհետեւ նույն կերպ B կետից շրջանագիծ գծեք c կողմին հավասար շառավղով։ Նրանց հատման կետը A-ն ցանկալիի երրորդ գագաթն է եռանկյուն ABC, որտեղ AB=c, CB=a, CA=b - կողմերը եռանկյուն. Խնդիրն ունի , եթե a, b, c կողմերը բավարարում են անհավասարությունները եռանկյուննշված է 1-ին քայլում:

Այս կերպ կառուցված տարածք S եռանկյուն ABC-ի հետ հայտնի կուսակցություններ a, b, c, հաշվարկված Հերոնի բանաձևով.
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
որտեղ a, b, c կողմերն են եռանկյուն, p – կիսաշրջագիծ։
p = (a+b+c)/2

Եթե ​​եռանկյունը հավասարակողմ է, այսինքն՝ նրա բոլոր կողմերը հավասար են (a=b=c): Մակերեսը եռանկյունհաշվարկվում է բանաձևով.
S=(a^2 v3)/4

Եթե ​​եռանկյունը ուղղանկյուն է, այսինքն՝ նրա անկյուններից մեկը հավասար է 90°-ի, իսկ կազմող կողմերը ոտքեր են, երրորդ կողմը հիպոթենուսն է։ IN այս դեպքում քառակուսիհավասար է ոտքերի արտադրյալին, որը բաժանված է երկուսի:
S=ab/2

Գտնել քառակուսի եռանկյուն, կարող եք օգտագործել բազմաթիվ բանաձեւերից մեկը։ Ընտրեք բանաձև՝ կախված նրանից, թե ինչ տվյալներ են արդեն հայտնի։

Ձեզ անհրաժեշտ կլինի

• եռանկյան մակերեսը գտնելու բանաձևերի իմացություն

Հրահանգներ

Եթե ​​գիտեք կողմերից մեկի չափը և դրան հակառակ անկյանց դեպի այս կողմ իջեցված բարձրության արժեքը, ապա կարող եք գտնել տարածքը՝ օգտագործելով հետևյալը. S = a*h/2, որտեղ S տարածքն է։ եռանկյան a-ն եռանկյան կողմերից մեկն է, իսկ h-ն՝ բարձրությունը, դեպի a կողմը:

Եռանկյան մակերեսը որոշելու հայտնի մեթոդ կա, եթե հայտնի են նրա երեք կողմերը: Հերոնի բանաձեւն է։ Դրա գրանցումը պարզեցնելու համար ներմուծվում է միջանկյալ արժեք՝ կիսաշրջագիծ՝ p = (a+b+c)/2, որտեղ a, b, c - . Այնուհետև Հերոնի բանաձևը հետևյալն է՝ S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^½, ^ աստիճանավորում։

Ենթադրենք, որ դուք գիտեք եռանկյան կողմերից մեկը և երեք անկյուն: Այնուհետև հեշտ է գտնել եռանկյան մակերեսը. S = a²sinα sinγ / (2sinβ), որտեղ β-ը a-ին հակառակ անկյունն է, իսկ α-ն և γ-ը կողքին հարող անկյուններն են:

Տեսանյութ թեմայի վերաբերյալ

Խնդրում ենք նկատի ունենալ

Ամենաընդհանուր բանաձեւը, որը հարմար է բոլոր դեպքերի համար, Հերոնի բանաձեւն է։

Աղբյուրներ:

Հուշում 3. Ինչպես գտնել երեք կողմերի վրա հիմնված եռանկյան մակերեսը

Եռանկյան մակերեսը գտնելը դպրոցական պլանաչափության ամենատարածված խնդիրներից է: Եռանկյան երեք կողմերը իմանալը բավական է ցանկացած եռանկյան մակերեսը որոշելու համար: Հավասարակողմ եռանկյունների հատուկ դեպքերում բավական է իմանալ համապատասխանաբար երկու և մի կողմի երկարությունները։

Ձեզ անհրաժեշտ կլինի

• եռանկյունների կողմերի երկարությունները, Հերոնի բանաձևը, կոսինուսի թեորեմ

Հրահանգներ

Հերոնի բանաձևը եռանկյան մակերեսի համար հետևյալն է. S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)): Եթե ​​գրենք p կիսաշրջագիծը, կստանանք՝ S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)(a+b-c. )/2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Եռանկյան մակերեսի համար կարող եք բանաձև ստանալ նկատառումներից, օրինակ՝ կիրառելով կոսինուսի թեորեմը:

Կոսինուսների թեորեմով AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC): Օգտագործելով ներկայացված նշումները, դրանք կարելի է գրել նաև b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC) ձևով: Հետևաբար, cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

Եռանկյան մակերեսը հայտնաբերվում է նաև S = a*c*sin(ABC)/2 բանաձևով՝ օգտագործելով երկու կողմերը և նրանց միջև եղած անկյունը: ABC անկյան սինուսը կարող է արտահայտվել դրա միջոցով՝ օգտագործելով հիմնական եռանկյունաչափական ինքնությունը՝ sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2): Սինուսը փոխարինելով տարածքի բանաձևով և այն դուրս գրելով: , կարող եք հասնել ABC եռանկյան մակերեսի բանաձևին:

Տեսանյութ թեմայի վերաբերյալ

Իրականացնել վերանորոգման աշխատանքներկարող է անհրաժեշտ լինել չափել քառակուսիպատերը Սա հեշտացնում է ներկի կամ պաստառի պահանջվող քանակի հաշվարկը: Չափումների համար լավագույնն է օգտագործել ժապավենը կամ չափիչ ժապավենը: Չափումները պետք է կատարվեն դրանից հետո պատերըհողին հավասարեցվեցին։

Ձեզ անհրաժեշտ կլինի

• - ռուլետկա;
• - սանդուղք:

Հրահանգներ

Հաշվելու համար քառակուսիպատերին, դուք պետք է իմանաք առաստաղների ճշգրիտ բարձրությունը, ինչպես նաև չափեք երկարությունը հատակի երկայնքով: Դա արվում է հետևյալ կերպ. վերցրեք մեկ սանտիմետր և դրեք այն հիմքի վրա: Սովորաբար սանտիմետրը բավարար չէ ամբողջ երկարության համար, այնպես որ ամրացրեք այն անկյունում, ապա արձակեք այն առավելագույն երկարությունը. Այս պահին մատիտով նշան դրեք, ստացված արդյունքը գրեք և հետագա չափումները կատարեք նույն կերպ՝ սկսած վերջին չափման կետից։

Ստանդարտ առաստաղներտիպիկներով՝ 2 մետր 80 սանտիմետր, 3 մետր և 3 մետր 20 սանտիմետր՝ կախված տնից։ Եթե ​​տունը կառուցվել է մինչև 50-ական թվականները, ապա, ամենայն հավանականությամբ, իրական բարձրությունը մի փոքր ավելի ցածր է, քան նշված է: Եթե ​​դուք հաշվարկում եք քառակուսիվերանորոգման աշխատանքների համար, ապա փոքր մատակարարումը չի վնասի, հաշվի առեք ստանդարտի հիման վրա: Եթե ​​դեռ պետք է իմանաք իրական բարձրություն- կատարել չափումներ. Սկզբունքը նման է երկարությունը չափելուն, բայց ձեզ հարկավոր է սանդուղք:

Բազմապատկեք ստացված ցուցանիշները՝ սա է քառակուսիքոնը պատերը. Ճիշտ է, երբ նկարչական աշխատանքներկամ դրա համար անհրաժեշտ է հանել քառակուսիդուռ և պատուհանների բացվածքներ. Դա անելու համար բացվածքի երկայնքով մի սանտիմետր դրեք: Եթե մենք խոսում ենքդռան մասին, որը դուք հետագայում պատրաստվում եք փոխել, ապա անցկացրեք այն հանվածով դռան շրջանակ, հաշվի առնելով միայն քառակուսիանմիջապես դեպի բացվածքը: Պատուհանի տարածքը հաշվարկվում է դրա շրջանակի պարագծի երկայնքով: հետո քառակուսիպատուհանի և դռների հաշվարկով, արդյունքը հանեք սենյակի ընդհանուր մակերեսից:

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ սենյակի երկարությունը և լայնությունը չափելն իրականացվում է երկու հոգու կողմից, դա հեշտացնում է սանտիմետրը կամ ժապավենի չափումը և, համապատասխանաբար, ավելի ճշգրիտ արդյունք ստանալը: Մի քանի անգամ կատարեք նույն չափումը, որպեսզի համոզվեք, որ ստացված թվերը ճշգրիտ են:

Տեսանյութ թեմայի վերաբերյալ

Եռանկյան ծավալը գտնելն իսկապես ոչ տրիվիալ խնդիր է: Փաստն այն է, որ եռանկյունը երկչափ գործիչ է, այսինքն. այն ամբողջությամբ գտնվում է մեկ հարթության մեջ, ինչը նշանակում է, որ այն պարզապես ծավալ չունի։ Իհարկե, չես կարող գտնել մի բան, որը գոյություն չունի: Բայց եկեք չհանձնվենք։ Կարող ենք ընդունել հետևյալ ենթադրությունը՝ երկչափ գործչի ծավալը նրա մակերեսն է։ Մենք կփնտրենք եռանկյունու տարածքը:

Ձեզ անհրաժեշտ կլինի

• թերթ թուղթ, մատիտ, քանոն, հաշվիչ

Հրահանգներ

Քանոնով և մատիտով նկարիր թղթի վրա: Ուշադիր ուսումնասիրելով եռանկյունը՝ կարող եք համոզվել, որ այն իրոք եռանկյուն չունի, քանի որ այն գծված է հարթության վրա։ Նշեք եռանկյան կողմերը՝ թող մի կողմը լինի «a», մյուս կողմը՝ «b», իսկ երրորդ կողմը՝ «գ»: Եռանկյան գագաթները նշեք «A», «B» և «C» տառերով:

Չափեք եռանկյան ցանկացած կողմ քանոնով և գրեք արդյունքը: Դրանից հետո վերականգնեք չափված կողմի ուղղահայացը դրան հակառակ գագաթից, այդպիսի ուղղահայացը կլինի եռանկյան բարձրությունը: Նկարում ներկայացված դեպքում «h» ուղղահայացը վերականգնվում է «c» կողմին «A» գագաթից։ Ստացված բարձրությունը չափեք քանոնով և գրեք չափման արդյունքը։

Ձեզ համար կարող է դժվար լինել վերականգնել ճշգրիտ ուղղահայացը: Այս դեպքում դուք պետք է օգտագործեք այլ բանաձև. Չափեք եռանկյան բոլոր կողմերը քանոնով: Դրանից հետո հաշվարկեք «p» եռանկյան կիսաշրջագիծը՝ գումարելով կողմերի երկարությունները և դրանց գումարը կիսով չափ բաժանելով։ Ձեր տրամադրության տակ ունենալով կիսաշրջագծի արժեքը՝ կարող եք օգտագործել Հերոնի բանաձևը. Դա անելու համար հարկավոր է վերցնել հետևյալի քառակուսի արմատը՝ p(p-a)(p-b)(p-c):

դուք ստացել եք պահանջվող արժեքըեռանկյունու մակերեսը. Եռանկյան ծավալը գտնելու խնդիրը չի լուծվել, բայց ինչպես վերը նշվեց, ծավալը՝ ոչ։ Դուք կարող եք գտնել ծավալ, որն ըստ էության եռանկյուն է եռաչափ աշխարհում: Եթե ​​պատկերացնենք, որ մեր սկզբնական եռանկյունը վերածվել է եռաչափ բուրգի, ապա այդպիսի բուրգի ծավալը կլինի դրա հիմքի երկարության և եռանկյունու ստացված տարածքի արտադրյալը:

Խնդրում ենք նկատի ունենալ

Որքան ուշադիր չափեք, այնքան ավելի ճշգրիտ կլինեն ձեր հաշվարկները:

Աղբյուրներ:

• Հաշվիչ «Ամեն ինչ ամեն ինչի համար» - տեղեկատու արժեքների պորտալ
• եռանկյունի ծավալը 2019 թ

Երեք կետերը, որոնք եզակիորեն սահմանում են եռանկյունը Դեկարտյան կոորդինատային համակարգում, նրա գագաթներն են։ Իմանալով դրանց դիրքը կոորդինատային առանցքներից յուրաքանչյուրի նկատմամբ՝ կարող եք հաշվարկել դրա ցանկացած պարամետր հարթ գործիչներառյալ և սահմանափակված իր պարագծով քառակուսի. Դա կարելի է անել մի քանի եղանակով.

Հրահանգներ

Տարածքը հաշվարկելու համար օգտագործեք Հերոնի բանաձևը եռանկյուն. Այն ներառում է նկարի երեք կողմերի չափերը, այնպես որ սկսեք ձեր հաշվարկները . Յուրաքանչյուր կողմի երկարությունը պետք է հավասար լինի նրա ելուստների երկարությունների քառակուսիների գումարի արմատին կոորդինատային առանցքներ. Եթե ​​նշանակենք A(X1,Y1,Z1), B(X2,Y2,Z2) և C(X3,Y3,Z3) կոորդինատները, ապա դրանց կողմերի երկարությունները կարող են արտահայտվել հետևյալ կերպ. AB = √((X1-): X2)² + (Y1 -Y2)² + (Z1-Z2)²), BC = √((X2-X3)² + (Y2-Y3)² + (Z2-Z3)²), AC = √((( X1-X3)² + (Y1-Y3)² + (Z1-Z3)²):

Հաշվարկները պարզեցնելու համար ներկայացրեք օժանդակ փոփոխական՝ կիսաշրջագիծ (P): Այն փաստից, որ սա բոլոր կողմերի երկարությունների գումարի կեսն է. P = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X1-X2)² + (Y1-Y2)² + (Z1- Z₂)²) + √ ((X2-X3)² + (Y2-Y3)² + (Z2-Z3)²) + √((X1-X3)² + (Y1-Y3)² + (Z1-Z3) ²).

Ինտերնետում կարող եք գտնել ավելի քան 10 բանաձև եռանկյունու մակերեսը հաշվարկելու համար: Դրանցից շատերը օգտագործվում են եռանկյունու հայտնի կողմերի և անկյունների հետ կապված խնդիրների դեպքում: Այնուամենայնիվ, կան մի շարք բարդ օրինակներ, որտեղ, ըստ առաջադրանքի պայմանների, հայտնի են եռանկյան միայն մեկ կողմն ու անկյունները, կամ շրջագծված կամ ներգծված շրջանագծի շառավիղը և ևս մեկ հատկանիշ։ Նման դեպքերում պարզ բանաձեւ չի կարող կիրառվել.

Ստորև բերված բանաձևերը թույլ կտան լուծել այն խնդիրների 95 տոկոսը, որոնցում անհրաժեշտ է գտնել եռանկյունու մակերեսը:
Եկեք անցնենք ընդհանուր տարածքի բանաձևերի քննարկմանը:
Դիտարկենք ստորև նկարում ներկայացված եռանկյունը

Նկարում և ստորև բանաձևերում ներկայացված են նրա բոլոր բնութագրերի դասական նշանակումները:
a,b,c - եռանկյան կողմերը,
R - շրջագծված շրջանագծի շառավիղը,
r - ներգծված շրջանագծի շառավիղը,
h[b],h[a],h[c] – բարձրություններ, որոնք գծված են ըստ a,b,c կողմերի:
ալֆա, բետա, համմա - գագաթների մոտ գտնվող անկյուններ:

Եռանկյունի տարածքի հիմնական բանաձևերը

1. Մակերեսը հավասար է եռանկյան կողմի և այս կողմ իջեցված բարձրության արտադրյալի կեսին: Բանաձևերի լեզվով այս սահմանումը կարելի է գրել հետևյալ կերպ

Այսպիսով, եթե կողմն ու բարձրությունը հայտնի են, ապա յուրաքանչյուր ուսանող կգտնի տարածքը։
Ի դեպ, այս բանաձեւից կարելի է բխեցնել բարձրությունների միջեւ մեկ օգտակար կապ

2. Եթե հաշվի առնենք, որ հարակից կողմով եռանկյան բարձրությունը արտահայտվում է կախվածությամբ.

Այնուհետև առաջին տարածքի բանաձևին հաջորդում են նույն տիպի երկրորդները

Ուշադիր նայեք բանաձևերին. դրանք հեշտ է հիշել, քանի որ աշխատանքը ներառում է երկու կողմ և նրանց միջև եղած անկյունը: Եթե ​​մենք ճիշտ նշանակենք եռանկյան կողմերն ու անկյունները (ինչպես վերը նշված նկարում), ապա կստանանք երկու. կողմերը a,b իսկ անկյունը միացված է երրորդին(համմա) հետ:

3. Եռանկյան անկյունների համար կապը ճշմարիտ է

Կախվածությունը թույլ է տալիս հաշվարկներում օգտագործել հետևյալ բանաձևերը եռանկյունի տարածքի համար.

Այս կախվածության օրինակները չափազանց հազվադեպ են, բայց պետք է հիշել, որ կա նման բանաձև.

4. Եթե կողմն ու երկու հարակից անկյունները հայտնի են, ապա մակերեսը գտնում ենք բանաձեւով

5. Հարակից անկյունների կողմի և կոտանգենսի մասով տարածքի բանաձևը հետևյալն է

Ինդեքսները վերադասավորելով՝ կարող եք կախվածություն ստանալ այլ կողմերի համար:

6. Ստորև բերված տարածքի բանաձևը օգտագործվում է այն խնդիրների դեպքում, երբ եռանկյան գագաթները նշված են հարթության վրա կոորդինատներով: Այս դեպքում տարածքը հավասար է որոշիչի վերցված մոդուլի կեսին:

7. Հերոնի բանաձեւըօգտագործվում է եռանկյան հայտնի կողմերով օրինակներում:
Նախ գտե՛ք եռանկյան կիսաշրջագիծը

Եվ հետո որոշեք տարածքը բանաձևով

կամ

Այն բավականին հաճախ օգտագործվում է հաշվիչ ծրագրերի կոդում։

8. Եթե հայտնի են եռանկյան բոլոր բարձրությունները, ապա մակերեսը որոշվում է բանաձեւով

Դժվար է հաշվարկել հաշվիչի վրա, բայց MathCad, Mathematica, Maple փաթեթներում տարածքը «ժամանակ երկու» է:

9. Հետևյալ բանաձևերում օգտագործվում են ներգծված և շրջագծված շրջանագծերի հայտնի շառավիղները:

Մասնավորապես, եթե հայտնի են եռանկյան շառավիղը և կողմերը կամ նրա պարագիծը, ապա մակերեսը հաշվարկվում է ըստ բանաձևի.

10. Օրինակներում, որտեղ տրված են շրջագծված շրջանագծի կողմերը և շառավիղը կամ տրամագիծը, տարածքը հայտնաբերվում է բանաձևով.

11. Հետևյալ բանաձևը որոշում է եռանկյան մակերեսը եռանկյան կողմի և անկյունների առումով:

Եվ վերջապես, հատուկ դեպքեր.
Քառակուսի ուղղանկյուն եռանկյուն a և b ոտքերով հավասար են իրենց արտադրյալի կեսին

Հավասարակողմ (կանոնավոր) եռանկյան մակերեսի բանաձևը=

= կողմի քառակուսու և երեքի արմատի արտադրյալի մեկ քառորդը։

Սկսած հակառակ գագաթը) և ստացված արդյունքը բաժանել երկուսի։ Սա այսպիսի տեսք ունի.

S = ½ * a * h,

Որտեղ:
S - եռանկյան մակերեսը,
a-ն նրա կողմի երկարությունն է,
h-ն այս կողմ իջեցված բարձրությունն է:

Կողքի երկարությունը և բարձրությունը պետք է ներկայացվեն նույն չափման միավորներով: Այս դեպքում եռանկյան մակերեսը կստացվի համապատասխան «» միավորներով:

Օրինակ.
20 սմ երկարությամբ սկալեն եռանկյան մի կողմում հակառակ գագաթից 10 սմ երկարությամբ ուղղահայացն իջեցված է։
Եռանկյունի տարածքը պահանջվում է:
Լուծում.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (սմ²):

Եթե ​​հայտնի են սանդղակի եռանկյունու ցանկացած երկու կողմերի երկարությունները և նրանց միջև եղած անկյունը, ապա օգտագործեք բանաձևը.

S = ½ * a * b * sinγ,

որտեղ a, b-ը երկու կամայական կողմերի երկարություններն են, իսկ γ-ը նրանց միջև եղած անկյունն է:

Գործնականում, օրինակ, հողամասերը չափելիս վերը նշված բանաձևերի օգտագործումը երբեմն դժվար է, քանի որ այն պահանջում է լրացուցիչ կառուցում և անկյունների չափում:

Եթե ​​գիտեք սկալեն եռանկյունու բոլոր երեք կողմերի երկարությունները, ապա օգտագործեք Հերոնի բանաձևը.

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

a, b, c - եռանկյան կողմերի երկարությունները,
p – կիսաշրջագիծ՝ p = (a+b+c)/2.

Եթե, բացի բոլոր կողմերի երկարություններից, հայտնի է նաև եռանկյան մեջ ներգծված շրջանագծի շառավիղը, ապա օգտագործեք հետևյալ կոմպակտ բանաձևը.

որտեղ՝ r – ներգծված շրջանագծի շառավիղը (р – կիսաշրջագիծ):

Սանդղակի եռանկյունու մակերեսը և նրա կողմերի երկարությունը հաշվարկելու համար օգտագործեք բանաձևը.

որտեղ՝ R – շրջագծված շրջանագծի շառավիղը:

Եթե ​​հայտնի է եռանկյան կողմերից մեկի և երեք անկյունների երկարությունը (սկզբունքորեն երկուսը բավարար են. երրորդի արժեքը հաշվարկվում է եռանկյան երեք անկյունների գումարի հավասարությունից՝ 180º), ապա օգտագործեք. բանաձեւը:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

որտեղ α-ն a-ին հակառակ անկյան արժեքն է.
β, γ - եռանկյան մնացած երկու անկյունների արժեքները:

Գտնելու անհրաժեշտությունը տարբեր տարրերներառյալ տարածքները եռանկյուն, հայտնվել է մ.թ.ա շատ դարերում գիտուն աստղագետների շրջանում Հին Հունաստան. Քառակուսի եռանկյունկարելի է հաշվարկել տարբեր ձևերովօգտագործելով տարբեր բանաձևեր. Հաշվարկի մեթոդը կախված է նրանից, թե որ տարրերից եռանկյունհայտնի է.

Հրահանգներ

Եթե ​​պայմանից գիտենք երկու կողմերի b, c և նրանց կողմից կազմված անկյունի արժեքները, ապա մակերեսը. եռանկյուն ABC-ն հայտնաբերվում է բանաձևով.
S = (bcsin?)/2.

Եթե ​​պայմանից գիտենք երկու կողմերի a, b և դրանցով չձևավորված անկյան արժեքները, ապա մակերեսը. եռանկյուն ABC-ն հայտնաբերվում է հետևյալ կերպ.
Անկյուն գտնելու՞մ, մե՞ղք. = bsin?/a, այնուհետև աղյուսակի օգնությամբ որոշեք անկյունը:
Գտնելով անկյունը?, ? = 180°-?-?.
Մենք գտնում ենք ինքնին տարածքը S = (absin?)/2:

Եթե ​​պայմանից գիտենք միայն երեք կողմերի արժեքները եռանկյուն a, b և c, ապա տարածքը եռանկյուն ABC-ն հայտնաբերվում է բանաձևով.
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)), որտեղ p կիսաշրջագիծն է p = (a+b+c)/2

Եթե ​​խնդրի պայմաններից իմանանք բարձրությունը եռանկյուն h և այն կողմը, որին իջեցվել է այս բարձրությունը, ապա տարածքը եռանկյուն ABC բանաձևի համաձայն.
S = ah(a)/2 = bh(b)/2 = ch(c)/2:

Եթե ​​իմանանք կողմերի իմաստները եռանկյուն a, b, c և այս մասին նկարագրված շառավիղը եռանկյուն R, ապա սրա տարածքը եռանկյուն ABC-ն որոշվում է բանաձևով.
S = abc/4R:
Եթե ​​հայտնի են երեք կողմերը a, b, c և մակագրվածի շառավիղը, ապա մակերեսը եռանկյուն ABC-ն հայտնաբերվում է բանաձևով.
S = pr, որտեղ p-ը կիսաշրջագիծն է, p = (a+b+c)/2:

Եթե ​​ABC-ն հավասարակողմ է, ապա տարածքը հայտնաբերվում է բանաձևով.
S = (a^2v3)/4.
Եթե ​​ABC եռանկյունը հավասարաչափ է, ապա տարածքը որոշվում է բանաձևով.
S = (cv(4a^2-c^2))/4, որտեղ c – եռանկյուն.
Եթե ​​ABC եռանկյունը ուղղանկյուն է, ապա տարածքը որոշվում է բանաձևով.
S = ab/2, որտեղ a-ն և b-ն ոտքեր են եռանկյուն.
Եթե ​​ABC եռանկյունը ուղղանկյուն հավասարաչափ եռանկյուն է, ապա տարածքը որոշվում է բանաձևով.
S = c^2/4 = a^2/2, որտեղ c-ն հիպոթենուսն է եռանկյուն, a=b – ոտք.

Տեսանյութ թեմայի վերաբերյալ

Աղբյուրներ:

• ինչպես չափել եռանկյան մակերեսը

Հուշում 3. Ինչպես գտնել եռանկյան մակերեսը, եթե անկյունը հայտնի է

Միայն մեկ պարամետր (անկյուն) իմանալը բավարար չէ տարածքը գտնելու համար tre քառակուսի . Եթե ​​կան լրացուցիչ չափումներ, ապա տարածքը որոշելու համար կարող եք ընտրել բանաձեւերից մեկը, որտեղ անկյունի արժեքը օգտագործվում է որպես հայտնի փոփոխականներից մեկը: Ամենահաճախ օգտագործվող բանաձևերից մի քանիսը տրված են ստորև:

Հրահանգներ

Եթե ​​ի լրումն անկյան (γ) չափից, որը կազմված է երկու կողմերից tre քառակուսի , հայտնի են նաև այս կողմերի երկարությունները (A և B), ապա քառակուսիՆկարի (S)-ը կարող է սահմանվել որպես այս հայտնի անկյան կողմերի երկարությունների և սինուսի արտադրյալի կեսը՝ S=½×A×B×sin(γ):