Եռանկյունի տարածքը որոշելու համար կարող եք օգտագործել տարբեր բանաձևեր. Բոլոր մեթոդներից ամենահեշտն ու ամենահաճախ օգտագործվողը բարձրությունը հիմքի երկարությամբ բազմապատկելն է, այնուհետև արդյունքը երկուսի բաժանելն է: Այնուամենայնիվ, այս մեթոդը հեռու է միակից: Ստորև կարող եք կարդալ, թե ինչպես կարելի է գտնել եռանկյան մակերեսը տարբեր բանաձևերի միջոցով:

Առանձին-առանձին մենք կդիտարկենք եռանկյունների հատուկ տեսակների տարածքը հաշվարկելու եղանակներ՝ ուղղանկյուն, հավասարաչափ և հավասարակողմ: Մենք ուղեկցում ենք յուրաքանչյուր բանաձևի կարճ բացատրություն, որը կօգնի ձեզ հասկանալ դրա էությունը:

Եռանկյունի տարածքը գտնելու ունիվերսալ մեթոդներ

Ստորև բերված բանաձևերը օգտագործում են հատուկ նշում: Մենք կվերծանենք դրանցից յուրաքանչյուրը.

• a, b, c – մեր դիտարկած նկարի երեք կողմերի երկարությունները.
• r-ը շրջանագծի շառավիղն է, որը կարելի է ներգծել մեր եռանկյունու մեջ.
• R-ն շրջանագծի շառավիղն է, որը կարելի է նկարագրել դրա շուրջը.
• α-ն b և c կողմերի կողմից ձևավորված անկյան մեծությունն է.
• β-ը a-ի և c-ի միջև անկյան մեծությունն է.
• γ-ն անկյան մեծությունն է, որը կազմված է a և b կողմերից.
• h-ն մեր եռանկյունու բարձրությունն է՝ իջեցված α անկյունից դեպի a կողմ;
• p – a, b և c կողմերի գումարի կեսը:

Տրամաբանորեն պարզ է, թե ինչու կարելի է այս կերպ գտնել եռանկյունու մակերեսը։ Եռանկյունը հեշտությամբ կարելի է լրացնել զուգահեռագծի մեջ, որտեղ եռանկյան մի կողմը կգործի որպես անկյունագիծ: Զուգահեռագծի մակերեսը հայտնաբերվում է նրա կողմերից մեկի երկարությունը բազմապատկելով դեպի դրան գծված բարձրության արժեքով: Անկյունագիծը այս պայմանական զուգահեռագիծը բաժանում է 2 միանման եռանկյունների։ Հետևաբար, ակնհայտ է, որ մեր սկզբնական եռանկյունու մակերեսը պետք է հավասար լինի այս օժանդակ զուգահեռագծի տարածքի կեսին:

S=½ a b sin γ

Ըստ այս բանաձևի՝ եռանկյան մակերեսը հայտնաբերվում է՝ բազմապատկելով նրա երկու կողմերի երկարությունները, այսինքն՝ a և b, նրանց կողմից ձևավորված անկյան սինուսով։ Այս բանաձևը տրամաբանորեն բխում է նախորդից։ Եթե ​​բարձրությունը β անկյունից իջեցնենք b կողմ, ապա, ըստ հատկությունների ուղղանկյուն եռանկյուն, a կողմի երկարությունը γ անկյան սինուսով բազմապատկելիս ստանում ենք եռանկյան բարձրությունը, այսինքն՝ h։

Քննարկվող գործչի մակերեսը հայտնաբերվում է՝ բազմապատկելով շրջանագծի շառավիղը, որը կարելի է դրանում գծագրել իր պարագծով: Այսինքն՝ գտնում ենք նշված շրջանագծի կիսաշրջագծի և շառավղի արտադրյալը։

S= a b c/4R

Ըստ այս բանաձևի՝ մեզ անհրաժեշտ արժեքը կարելի է գտնել՝ նկարի կողմերի արտադրյալը բաժանելով նրա շուրջը նկարագրված շրջանագծի 4 շառավղով։

Այս բանաձևերը համընդհանուր են, քանի որ դրանք հնարավորություն են տալիս որոշել ցանկացած եռանկյունու մակերեսը (սանդղակ, հավասարաչափ, հավասարակողմ, ուղղանկյուն): Դա կարելի է անել՝ օգտագործելով ավելի բարդ հաշվարկներ, որոնց մասին մենք մանրամասն չենք անդրադառնա։

Հատուկ հատկություններով եռանկյունների տարածքները

Ինչպե՞ս գտնել ուղղանկյուն եռանկյան մակերեսը: Այս գործչի առանձնահատկությունն այն է, որ նրա երկու կողմերը միաժամանակ նրա բարձրությունն են։ Եթե ​​a-ն և b-ն ոտքեր են, իսկ c-ն դառնում է հիպոթենուս, ապա մենք գտնում ենք տարածքը հետևյալ կերպ.

Ինչպե՞ս գտնել հավասարաչափ եռանկյունու մակերեսը: Այն ունի երկու կողմ՝ a երկարությամբ և մեկ կողմ՝ b երկարությամբ։ Հետևաբար, նրա մակերեսը կարելի է որոշել՝ a կողմի քառակուսու արտադրյալը 2-ի բաժանելով γ անկյան սինուսի վրա։

Ինչպե՞ս գտնել հավասարակողմ եռանկյան մակերեսը: Նրանում բոլոր կողմերի երկարությունը հավասար է a-ի, իսկ բոլոր անկյունների մեծությունը α է։ Նրա բարձրությունը հավասար է a կողմի երկարության և 3-ի քառակուսի արմատի արտադրյալի կեսին: Կանոնավոր եռանկյան մակերեսը գտնելու համար անհրաժեշտ է a կողմի քառակուսին բազմապատկել 3-ի քառակուսի արմատով և բաժանել դրա վրա: 4.

Տարածքի հայեցակարգը

Ցանկացած երկրաչափական գործչի, մասնավորապես, եռանկյունու տարածքի հայեցակարգը կապված կլինի այնպիսի գործչի հետ, ինչպիսին է քառակուսին: Ցանկացած երկրաչափական պատկերի մակերեսի միավորի համար կվերցնենք քառակուսու մակերեսը, որի կողմը հավասար է մեկի: Ամբողջականության համար հիշենք տարածքների հայեցակարգի երկու հիմնական հատկություն երկրաչափական ձևեր.

Սեփականություն 1:Եթե ​​երկրաչափական պատկերները հավասար են, ապա դրանց մակերեսները նույնպես հավասար են:

Սեփականություն 2:Ցանկացած գործիչ կարելի է բաժանել մի քանի թվերի. Ավելին, սկզբնական գործչի մակերեսը հավասար է նրա բոլոր բաղկացուցիչ թվերի մակերեսների գումարին։

Դիտարկենք մի օրինակ։

Օրինակ 1

Ակնհայտ է, որ եռանկյան կողմերից մեկը անկյունագիծ է ուղղանկյուն, որի մի կողմն ունի $5$ երկարություն (քանի որ կան $5$ բջիջներ), իսկ երկրորդը՝ $6$ (քանի որ կան $6$ բջիջներ)։ Այսպիսով, այս եռանկյան մակերեսը հավասար կլինի նման ուղղանկյան կեսին: Ուղղանկյան մակերեսը կազմում է

Այնուհետև եռանկյան մակերեսը հավասար է

Պատասխան՝ $15$։

Հաջորդը, մենք կքննարկենք եռանկյունների տարածքները գտնելու մի քանի մեթոդներ, մասնավորապես, օգտագործելով բարձրությունը և հիմքը, օգտագործելով Հերոնի բանաձեւերըև հավասարակողմ եռանկյան մակերեսը:

Ինչպես գտնել եռանկյան մակերեսը՝ օգտագործելով նրա բարձրությունը և հիմքը

Թեորեմ 1

Եռանկյան մակերեսը կարելի է գտնել որպես կողմի երկարության և այդ կողմի բարձրության արտադրյալի կեսը:

Մաթեմատիկորեն սա այսպիսի տեսք ունի

$S=\frac(1)(2)αh$

որտեղ $a$-ը կողմի երկարությունն է, $h$-ը դեպի այն ձգվող բարձրությունն է:

Ապացույց.

Դիտարկենք $ABC$ եռանկյուն, որում $AC=α$: Այս կողմում գծված է $BH$ բարձրությունը, որը հավասար է $h$-ի։ Եկեք այն կառուցենք մինչև $AXYC$ քառակուսի, ինչպես նկար 2-ում:

$AXBH$ ուղղանկյան մակերեսը $h\cdot AH$ է, իսկ $HBYC$ ուղղանկյան մակերեսը $h\cdot HC$ է: Հետո

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Հետևաբար, եռանկյան պահանջվող մակերեսը, ըստ 2 հատկության, հավասար է

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac (1) (2) αh$

Թեորեմն ապացուցված է.

Օրինակ 2

Ստորև բերված նկարում գտե՛ք եռանկյան մակերեսը, եթե բջիջն ունի մեկին հավասար տարածք

Այս եռանկյան հիմքը հավասար է $9$-ի (քանի որ $9$-ը $9$ քառակուսի է): Բարձրությունը նույնպես $9$ է։ Այնուհետև թեորեմ 1-ով մենք ստանում ենք

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$

Պատասխան՝ 40,5 դոլար:

Հերոնի բանաձեւը

Թեորեմ 2

Եթե ​​մեզ տրված են $α$, $β$ և $γ$ եռանկյան երեք կողմերը, ապա նրա մակերեսը կարելի է գտնել հետևյալ կերպ.

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

այստեղ $ρ$ նշանակում է այս եռանկյան կիսաշրջագիծը։

Ապացույց.

Դիտարկենք հետևյալ պատկերը.

Պյութագորասի թեորեմով $ABH$ եռանկյունից ստանում ենք

$CBH$ եռանկյունից, ըստ Պյութագորասի թեորեմի, ունենք

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Այս երկու հարաբերություններից մենք ստանում ենք հավասարություն

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((a^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-a^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-ա)(գ+β+ա))(4β^2)$

Քանի որ $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, ապա $α+β+γ=2ρ$, ինչը նշանակում է.

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2)$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Թեորեմ 1-ով մենք ստանում ենք

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Ինչպես հիշում եք դպրոցական ծրագիրԸստ երկրաչափության՝ եռանկյունին այն պատկերն է, որը ձևավորվում է երեք հատվածներից, որոնք միացված են երեք կետերով, որոնք չեն գտնվում նույն ուղիղ գծի վրա։ Եռանկյունը կազմում է երեք անկյուն, այստեղից էլ պատկերի անվանումը։ Սահմանումը կարող է տարբեր լինել. Եռանկյունը կարելի է անվանել նաև երեք անկյուն ունեցող բազմանկյուն, պատասխանը նույնպես ճիշտ կլինի։ Եռանկյունները բաժանվում են ըստ պատկերների հավասար կողմերի քանակի և անկյունների մեծության: Այսպիսով, եռանկյունները տարբերվում են համապատասխանաբար որպես հավասարաչափ, հավասարակողմ և մասշտաբային, ինչպես նաև ուղղանկյուն, սուր և բութ:

Եռանկյունի մակերեսը հաշվարկելու շատ բանաձևեր կան: Ընտրեք, թե ինչպես գտնել եռանկյան մակերեսը, այսինքն. Որ բանաձևն օգտագործել՝ կախված է ձեզանից: Բայց հարկ է նշել միայն որոշ նշումներ, որոնք օգտագործվում են բազմաթիվ բանաձևերում եռանկյունու տարածքը հաշվարկելու համար: Այսպիսով, հիշեք.

S-ը եռանկյան մակերեսն է,

a, b, c եռանկյան կողմերն են,

h-ն եռանկյան բարձրությունն է,

R-ը շրջագծված շրջանագծի շառավիղն է,

p-ը կիսաշրջագիծն է:

Ահա հիմնական նշումները, որոնք կարող են օգտակար լինել ձեզ համար, եթե ամբողջովին մոռացել եք ձեր երկրաչափության դասընթացը: Ստորև բերված են եռանկյունու անհայտ և առեղծվածային տարածքը հաշվարկելու առավել հասկանալի և ոչ բարդ տարբերակները: Դա դժվար չէ և օգտակար կլինի ինչպես ձեր տան կարիքների, այնպես էլ ձեր երեխաներին օգնելու համար։ Եկեք հիշենք, թե ինչպես կարելի է հնարավորինս հեշտությամբ հաշվարկել եռանկյան մակերեսը.

Մեր դեպքում եռանկյունու մակերեսն է՝ S = ½ * 2,2 սմ * 2,5 սմ = 2,75 քառ. Հիշեք, որ տարածքը չափվում է քառակուսի սանտիմետրերով (քմ):

Ուղղանկյուն եռանկյունը և դրա մակերեսը:

Ուղղանկյուն եռանկյունը այն եռանկյունն է, որի մեկ անկյունը հավասար է 90 աստիճանի (հետևաբար կոչվում է ուղիղ): Ուղղանկյունը ձևավորվում է երկու ուղղահայաց գծերով (եռանկյան դեպքում՝ երկու ուղղահայաց հատված)։ Ուղղանկյուն եռանկյան մեջ կարող է լինել միայն մեկ ուղիղ անկյուն, քանի որ... Ցանկացած մեկ եռանկյան բոլոր անկյունների գումարը հավասար է 180 աստիճանի: Ստացվում է, որ 2 այլ անկյունները պետք է բաժանեն մնացած 90 աստիճանները, օրինակ՝ 70 և 20, 45 և 45 և այլն։ Այսպիսով, դուք հիշում եք հիմնականը, մնում է միայն պարզել, թե ինչպես գտնել ուղղանկյուն եռանկյունու տարածքը: Պատկերացնենք, որ մեր դիմաց ունենք այսպիսի ուղղանկյուն եռանկյուն, և պետք է գտնել դրա մակերեսը Ս.

1. Ուղղանկյուն եռանկյան մակերեսը որոշելու ամենապարզ ձևը հաշվարկվում է հետևյալ բանաձևով.

Մեր դեպքում ուղղանկյուն եռանկյունու մակերեսն է՝ S = 2,5 սմ * 3 սմ / 2 = 3,75 քառ.

Սկզբունքորեն, այլևս կարիք չկա ստուգել եռանկյունու տարածքը այլ կերպ, քանի որ Միայն այս մեկն օգտակար կլինի ու կօգնի առօրյա կյանքում։ Բայց կան նաև տարբերակներ եռանկյունու տարածքը սուր անկյուններով չափելու համար:

2. Հաշվարկման այլ մեթոդների համար դուք պետք է ունենաք կոսինուսների, սինուսների և շոշափողների աղյուսակ: Ինքներդ դատեք, ահա ուղղանկյուն եռանկյունու մակերեսը հաշվարկելու որոշ տարբերակներ, որոնք դեռ կարող են օգտագործվել.

Մենք որոշեցինք օգտագործել առաջին բանաձևը և մի քանի փոքր բծերով (մենք այն նկարեցինք նոթատետրում և օգտագործեցինք հին քանոն և անկյունաչափ), բայց ստացանք ճիշտ հաշվարկ.

S = (2.5*2.5)/(2*0.9)=(3*3)/(2*1.2): Ստացանք հետևյալ արդյունքները՝ 3.6=3.7, բայց հաշվի առնելով բջիջների տեղաշարժը՝ կարելի է ներել այս նրբերանգը։

Isosceles եռանկյունին և դրա մակերեսը:

Եթե ​​դուք կանգնած եք հավասարաչափ եռանկյունու բանաձևը հաշվարկելու խնդրի հետ, ապա ամենահեշտ ձևը եռանկյունու մակերեսի համար հիմնական և դասական բանաձևն օգտագործելն է:

Բայց նախ, նախքան հավասարաչափ եռանկյունու մակերեսը գտնելը, եկեք պարզենք, թե ինչպիսի պատկեր է դա: Հավասարաչափ եռանկյունը եռանկյուն է, որի երկու կողմերն ունեն նույն երկարությունը: Այս երկու կողմերը կոչվում են կողային, երրորդ կողմը կոչվում է հիմք: Մի շփոթեք հավասարաչափ եռանկյունին հավասարակողմ եռանկյունու հետ, այսինքն. կանոնավոր եռանկյուն, որի բոլոր երեք կողմերը հավասար են: Նման եռանկյունու մեջ առանձնահատուկ հակումներ չկան դեպի անկյունները, ավելի ճիշտ՝ դրանց չափերը։ Այնուամենայնիվ, հավասարաչափ եռանկյան հիմքի անկյունները հավասար են, բայց տարբերվում են հավասար կողմերի միջև եղած անկյունից: Այսպիսով, դուք արդեն գիտեք առաջին և հիմնական բանաձևը, մնում է պարզել, թե ինչ այլ բանաձևեր են հայտնի հավասարաչափ եռանկյունու տարածքը.

Եռանկյունը ամենատարածված երկրաչափական ձևերից է, որին մենք արդեն ծանոթանում ենք տարրական դպրոց. Յուրաքանչյուր ուսանող բախվում է այն հարցին, թե ինչպես գտնել եռանկյան մակերեսը երկրաչափության դասերին: Այսպիսով, տվյալ գործչի տարածքը գտնելու ի՞նչ առանձնահատկություններ կարելի է առանձնացնել: Այս հոդվածում մենք կանդրադառնանք նման առաջադրանքը կատարելու համար անհրաժեշտ հիմնական բանաձևերին, ինչպես նաև կվերլուծենք եռանկյունների տեսակները:

Եռանկյունների տեսակները

Դուք կարող եք բացարձակապես գտնել եռանկյան մակերեսը տարբեր ձևերով, քանի որ երկրաչափության մեջ կան երեք անկյուններ պարունակող մեկից ավելի պատկերներ։ Այս տեսակները ներառում են.

• Բութ.
• Հավասարակողմ (ճիշտ):
• Ուղղանկյուն եռանկյուն.
• Isosceles.

Եկեք մանրամասն նայենք դրանցից յուրաքանչյուրին գոյություն ունեցող տեսակներըեռանկյուններ.

Այս երկրաչափական պատկերը համարվում է ամենատարածվածը երկրաչափական խնդիրներ լուծելիս։ Երբ կամայական եռանկյունի նկարելու անհրաժեշտություն է առաջանում, օգնության է հասնում այս տարբերակը։

Սուր եռանկյունում, ինչպես ենթադրում է անունը, բոլոր անկյունները սուր են և գումարվում են մինչև 180°:

Այս տեսակի եռանկյունը նույնպես շատ տարածված է, բայց որոշ չափով ավելի քիչ տարածված է, քան սուր անկյունայինը: Օրինակ՝ եռանկյունները լուծելիս (այսինքն՝ հայտնի են նրա մի քանի կողմերն ու անկյունները, և պետք է գտնել մնացած տարրերը), երբեմն պետք է որոշել՝ անկյունը բութ է, թե ոչ։ Կոսինուսը բացասական թիվ է։

B, անկյուններից մեկի արժեքը գերազանցում է 90 °, ուստի մնացած երկու անկյունները կարող են փոքր արժեքներ վերցնել (օրինակ, 15 ° կամ նույնիսկ 3 °):

Այս տեսակի եռանկյունու տարածքը գտնելու համար անհրաժեշտ է իմանալ որոշ նրբերանգներ, որոնց մասին մենք կխոսենք ավելի ուշ:

Կանոնավոր և հավասարաչափ եռանկյուններ

Կանոնավոր բազմանկյունը այն պատկերն է, որը ներառում է n անկյուն և բոլոր կողմերն ու անկյունները հավասար են: Ահա թե ինչ է իրենից ներկայացնում կանոնավոր եռանկյունը: Քանի որ եռանկյան բոլոր անկյունների գումարը 180° է, ուրեմն երեք անկյուններից յուրաքանչյուրը 60° է։

Կանոնավոր եռանկյունին, իր հատկության շնորհիվ, կոչվում է նաև հավասարակողմ պատկեր։

Հարկ է նաև նշել, որ կանոնավոր եռանկյունու մեջ կարելի է մակագրել միայն մեկ շրջան, և դրա շուրջ կարելի է նկարագրել միայն մեկ շրջան, և դրանց կենտրոնները գտնվում են նույն կետում։

Բացի հավասարակողմ տիպից կարելի է առանձնացնել նաև հավասարաչափ եռանկյունին, որը փոքր-ինչ տարբերվում է նրանից։ Նման եռանկյունում երկու կողմերը և երկու անկյունները հավասար են միմյանց, իսկ երրորդ կողմը (որին կից հավասար անկյուններ) հիմքն է։

Նկարում ներկայացված է DEF հավասարաչափ եռանկյուն, որի D և F անկյունները հավասար են, իսկ DF-ը հիմքն է:

Ուղղանկյուն եռանկյուն

Ուղղանկյուն եռանկյունին այդպես են անվանել, քանի որ նրա անկյուններից մեկը ուղիղ է, այսինքն՝ հավասար է 90°-ի: Մյուս երկու անկյունները գումարվում են մինչև 90°:

Առավելագույնը մեծ կողմըՆման եռանկյունու 90° անկյան դիմաց ընկածը հիպոթենուսն է, իսկ մնացած երկու կողմերը ոտքերն են։ Այս տեսակի եռանկյունու համար կիրառվում է Պյութագորասի թեորեմը.

Ոտքերի երկարությունների քառակուսիների գումարը հավասար է հիպոթենուսի երկարության քառակուսուն։

Նկարում ներկայացված է BAC ուղղանկյուն եռանկյունը AC հիպոթենուզով և AB և BC ոտքերով:

Ուղղանկյուն եռանկյան մակերեսը գտնելու համար անհրաժեշտ է իմանալ թվային արժեքներնրա ոտքերը:

Անցնենք տվյալ գործչի մակերեսը գտնելու բանաձևերին։

Տարածքը գտնելու հիմնական բանաձևերը

Երկրաչափության մեջ կան երկու բանաձևեր, որոնք հարմար են եռանկյունների շատ տեսակների տարածքը գտնելու համար, մասնավորապես՝ սուր, բութ, կանոնավոր և հավասարաչափ եռանկյունների համար։ Եկեք նայենք նրանցից յուրաքանչյուրին:

Կողքից և բարձրությունից

Այս բանաձևը ունիվերսալ է մեր դիտարկած գործչի տարածքը գտնելու համար: Դա անելու համար բավական է իմանալ կողմի երկարությունը և դրան գծված բարձրության երկարությունը։ Բանաձևն ինքնին (հիմքի և բարձրության արտադրյալի կեսը) հետևյալն է.

որտեղ A-ն տրված եռանկյան կողմն է, իսկ H-ը՝ եռանկյան բարձրությունը:

Օրինակ՝ ACB սուր եռանկյունու տարածքը գտնելու համար անհրաժեշտ է նրա AB կողմը բազմապատկել CD բարձրությամբ և ստացված արժեքը բաժանել երկուսի:

Այնուամենայնիվ, միշտ չէ, որ հեշտ է գտնել եռանկյունու տարածքը այս կերպ: Օրինակ, բութ եռանկյունու համար այս բանաձևն օգտագործելու համար հարկավոր է երկարացնել դրա կողմերից մեկը և միայն դրանից հետո բարձրություն քաշել դեպի այն:

Գործնականում այս բանաձևը օգտագործվում է ավելի հաճախ, քան մյուսները:

Երկու կողմերում և անկյունում

Այս բանաձևը, ինչպես և նախորդը, հարմար է եռանկյունների մեծ մասի համար և իր իմաստով հետևանք է եռանկյան մակերեսը և բարձրությունը գտնելու բանաձևի։ Այսինքն՝ խնդրո առարկա բանաձեւը հեշտությամբ կարելի է բխել նախորդից։ Դրա ձևակերպումն ունի հետևյալ տեսքը.

S = ½*sinO*A*B,

որտեղ A և B-ն եռանկյան կողմերն են, իսկ O-ն անկյունն է A և B կողմերի միջև:

Հիշեցնենք, որ անկյան սինուսը կարելի է դիտել խորհրդային նշանավոր մաթեմատիկոս Վ.Մ. Բրադիսի անունով հատուկ աղյուսակում։

Այժմ անցնենք այլ բանաձեւերի, որոնք հարմար են միայն բացառիկ տեսակի եռանկյունների համար։

Ուղղանկյուն եռանկյան մակերեսը

Ի հավելումն ունիվերսալ բանաձևի, որը ներառում է եռանկյունու բարձրությունը գտնելու անհրաժեշտությունը, նրա ոտքերից կարելի է գտնել ուղիղ անկյուն պարունակող եռանկյան տարածքը:

Այսպիսով, ուղիղ անկյուն պարունակող եռանկյան մակերեսը նրա ոտքերի արտադրյալի կեսն է, կամ.

որտեղ a-ն և b-ն ուղղանկյուն եռանկյունու ծայրերն են:

Կանոնավոր եռանկյուն

Այս տեսակըերկրաչափական պատկերները տարբերվում են նրանով, որ դրա տարածքը կարելի է գտնել միայն նրա կողմերից մեկի նշված արժեքով (քանի որ կանոնավոր եռանկյան բոլոր կողմերը հավասար են): Այսպիսով, երբ բախվում եք «եռանկյունի տարածքը, երբ կողմերը հավասար են» գտնելու առաջադրանքը, դուք պետք է օգտագործեք հետևյալ բանաձևը.

S = A 2 *√3 / 4,

որտեղ A-ն հավասարակողմ եռանկյան կողմն է:

Հերոնի բանաձեւը

Եռանկյան մակերեսը գտնելու վերջին տարբերակը Հերոնի բանաձևն է։ Այն օգտագործելու համար անհրաժեշտ է իմանալ նկարի երեք կողմերի երկարությունները։ Հերոնի բանաձևն ունի հետևյալ տեսքը.

S = √p·(p - a)·(p - b)·(p - c),

որտեղ a, b և c տրված եռանկյան կողմերն են:

Երբեմն խնդիրը տրվում է. «Կանոնավոր եռանկյունու տարածքը նրա կողմի երկարությունը գտնելն է»: IN այս դեպքումկանոնավոր եռանկյունու մակերեսը գտնելու համար անհրաժեշտ է օգտագործել այն բանաձևը, որը մենք արդեն գիտենք և դրանից բխում ենք կողմի (կամ նրա քառակուսու) արժեքը.

A 2 = 4S / √3:

Քննական առաջադրանքներ

Մաթեմատիկայի GIA խնդիրներում կան բազմաթիվ բանաձևեր: Բացի այդ, բավականին հաճախ անհրաժեշտ է վանդակավոր թղթի վրա գտնել եռանկյունու տարածքը:

Այս դեպքում առավել հարմար է բարձրությունը նկարել նկարի կողմերից մեկին, որոշել դրա երկարությունը բջիջներից և օգտագործել տարածքը գտնելու ունիվերսալ բանաձևը.

Այսպիսով, հոդվածում ներկայացված բանաձևերը ուսումնասիրելուց հետո որևէ եռանկյունի տարածքը գտնելու խնդիր չեք ունենա: