155*. Odredi stvarnu veličinu dužine pravca AB opći položaj(Slika 153, a).

Riješenje. Kao što znate, projekcija segmenta ravne linije na bilo koju ravninu jednaka je samom segmentu (uzimajući u obzir mjerilo crteža), ako je paralelan s ovom ravninom

(Slika 153, b). Iz ovoga proizlazi da je pretvorbom crteža potrebno postići paralelnost ovog segmenta pl. V ili mn. H ili dopuniti sustav V, H drugom ravninom okomitom na kvadrat. V ili na mn. H i istovremeno paralelan sa zadanim segmentom.

Na sl. 153, c prikazuje uvođenje dodatne ravnine S, okomite na kvadrat. H i paralelna sa zadanim segmentom AB.

Projekcija a s b s jednaka je prirodnoj vrijednosti odsječka AB.

Na sl. 153, d prikazuje drugu metodu: segment AB se rotira oko ravne crte koja prolazi kroz točku B i okomita na kvadrat. H, u paralelni položaj

kvadrat V. U tom slučaju točka B ostaje na mjestu, a točka A zauzima novi položaj A 1 . Horizont na novoj poziciji. projekcija a 1 b || x os. Projekcija a "1 b" jednaka je prirodnoj vrijednosti segmenta AB.

156. Dana je piramida SABCD (slika 154). Odredite prirodnu veličinu bridova piramide AS i CS metodom promjene ravnina projiciranja, a bridova BS i DS metodom rotacije te uzmite os rotacije okomitu na kvadrat. H.

157*. Odredite udaljenost od točke A do pravca BC (slika 155, a).

Riješenje. Udaljenost od točke do pravca mjeri se isječkom okomice povučenom iz točke na pravac.

Ako je pravac okomit na bilo koju ravninu (slika 155.6), tada se udaljenost od točke do pravca mjeri udaljenošću između projekcije točke i točke projekcije pravca na ovoj ravnini. Ako ravna crta zauzima opći položaj u sustavu V, H, tada da bi se odredila udaljenost od točke do prave linije promjenom ravnina projekcije, potrebno je u sustav V, H uvesti još dvije dodatne ravnine.

Prvo (slika 155, c) ulazimo u kvadrat. S, paralelna s dužicom BC (nova os S/H je paralelna s projekcijom bc), te konstruiramo projekcije b s c s i a s . Zatim (slika 155, d) uvodimo još jedan kvadrat. T okomito na liniju BC (nova T/S os okomita na b s c s). Gradimo projekcije pravca i točke - s t (b t) i t. Udaljenost između točaka a t i c t (b t) jednaka je udaljenosti l od točke A do pravca BC.

Na sl. 155e, istu zadaću ostvaruje metoda rotacije u svom obliku, koja se naziva metoda paralelnog gibanja. Najprije se pravac BC i točka A, zadržavajući svoj međusobni položaj nepromijenjenim, okreću oko nekog (na crtežu nije označen) pravca okomitog na kvadrat. H, tako da je pravac BC paralelan s kvadratom. V. Ovo je ekvivalentno pomicanju točaka A, B, C u ravninama paralelnim s kvadratom. H. Istodobno, horizont. projekcija danog sustava (BC + A) ne mijenja se ni u veličini ni u konfiguraciji, mijenja se samo njegov položaj u odnosu na x-os. Postavite horizont. projekciju pravca BC paralelnu s osi x (položaj b 1 c 1) i odredite projekciju a 1, odvajajući c 1 1 1 \u003d c-1 i a 1 1 1 \u003d a-1, te a 1 1 1 ⊥ c 1 1 1. Crtajući ravne linije b "b" 1, a "a" 1, c "c" 1 paralelne s osi x, nalazimo prednju stranu na njima. projekcije b "1, a" 1, c "1. Zatim pomičemo točke B 1, C 1 i A 1 u ravninama paralelnim s kvadratom V (također bez promjene njihovog međusobnog položaja), tako da dobijemo B 2 C 2 ⊥ područje H. U ovom slučaju, projekcija pravca na prednju stranu bit će okomita na osi x,b 2 c "2 \u003d b" 1 c "1, a za izgradnju projekcije a" 2, trebate uzeti b "2 2" 2 \u003d b "1 2" 1, nacrtati 2 "a" 2 ⊥ b " 2 c" 2 i stavite na stranu a" 2 2" 2 \u003d a" 1 2" 1. Sada, prevlačenjem od 1 do 2 i 1 a 2 || x 1 dobivamo projekcije b 2 c 2 i a 2 te željenu udaljenost l od točke A do pravca BC. Udaljenost od A do BC možete odrediti okretanjem ravnine definirane točkom A i pravcem BC oko horizontale te ravnine u položaj T || kvadrat H (Slika 155, e).

U ravnini zadanoj točkom A i pravcem BC nacrtamo vodoravnu liniju A-1 (slika 155, g) i oko nje zakrenemo točku B. Točka B se pomakne u kvadrat. R (dano na crtežu nakon R h), okomito na A-1; u točki O je središte rotacije točke B. Sada odredimo prirodnu vrijednost polumjera rotacije VO, (slika 155, c). U traženom položaju, tj. kada pl. T određen točkom A i pravcem BC postat će || kvadrat H, točka B će ispasti na R h na udaljenosti Ob 1 od točke O (može postojati još jedan položaj na istoj stazi R h, ali s druge strane O). Točka b 1 je horizont. projekcija točke B nakon njenog pomicanja u položaj B 1 u prostoru, kada je ravnina određena točkom A i pravcem BC zauzela položaj T.

Povukavši (si. 155, i) ravnu liniju b 1 1, dobivamo horizont. projekcija pravca BC, koja se već nalazi || kvadrat H je u istoj ravnini kao A. U tom položaju udaljenost od a do b 1 1 jednaka je željenoj udaljenosti l. Ravnina P, u kojoj leže zadani elementi, može se kombinirati s kvadratom. H (Sl. 155, j), okrećući kvadrat. P oko njezina obzora. trag. Prešavši od postavljanja ravnine točkom A i pravcem BC do postavljanja pravaca BC i A-1 (sl. 155, l), nalazimo tragove tih pravaca i kroz njih povlačimo tragove P ϑ i P h. Gradimo (slika 155, m) u kombinaciji s trgom. H položaj naprijed. trag - P ϑ0 .

Nacrtajte horizont kroz točku a. frontalna projekcija; kombinirana frontala prolazi kroz točku 2 na tragu R h paralelno s R ϑ0 . Točka A 0 - u kombinaciji s pl. H je položaj točke A. Slično nalazimo točku B 0 . Izravno sunce u kombinaciji s pl. H pozicija prolazi točkom B 0 i točkom m (vodoravni trag pravca).

Udaljenost od točke A 0 do pravca B 0 C 0 jednaka je željenoj udaljenosti l.

Navedenu konstrukciju moguće je izvesti pronalaženjem samo jednog traga P h (sl. 155, n i o). Cijela je konstrukcija slična okretanju oko horizontale (vidi sl. 155, f, c, i): trag P h je jedna od vodoravnih linija kvadrata. R.

Od metoda za pretvaranje crteža danih za rješavanje ovog problema, poželjna je metoda rotacije oko vodoravne ili frontalne.

158. Dana je piramida SABC (slika 156). Odredite udaljenosti:

a) od vrha B baze do njezine stranice AC metodom paralelnog gibanja;

b) od vrha S piramide do stranica BC i AB baze rotacijom oko horizontale;

c) s vrha S na stranicu AC baze mijenjanjem ravnina projiciranja.

159. Dana je prizma (slika 157). Odredite udaljenosti:

a) između bridova AD i CF promjenom ravnina projekcija;

b) između rebara BE i CF rotacijom oko prednje strane;

c) između bridova AD i BE metodom paralelnog gibanja.

160. Odredi stvarnu veličinu četverokuta ABCD (sl. 158) spajanjem s kvadratom. N. Koristite samo horizontalni trag ravnine.

161*. Odredite udaljenost između linija koje se sijeku AB i CD (slika 159, a) i konstruirajte projekcije zajedničke okomice na njih.

Riješenje. Udaljenost između linija križanja mjeri se segmentom (MN) okomice na obje linije (slika 159, b). Očito, ako je jedna od linija postavljena okomito na bilo koji kvadrat. T tada

odsječak MN okomice na oba pravca bit će paralelan s kvadratom. Njegova projekcija na ovu ravninu će prikazati traženu udaljenost. Projekcija pravi kut maenada MN n AB na trgu. Također se ispostavlja da je T pravi kut između m t n t i a t b t , budući da je jedna od stranica pravog kuta AMN, odnosno MN. paralelno s kvadratom. T.

Na sl. 159, c i d, željena udaljenost l određena je metodom promjene ravnina projekcija. Prvo uvodimo dodatni kvadrat. projekcije S, okomite na kvadrat. H i paralelna s ravnom linijom CD (slika 159, c). Zatim uvodimo još jedan dodatni kvadrat. T, okomito na kvadrat. S i okomito na istu liniju CD (slika 159, d). Sada možete graditi projekciju zajedničke okomice povlačenjem m t n t iz točke c t (d t) okomito na projekciju a t b t . Točke m t i n t su projekcije točaka presjeka te okomice s pravcima AB i CD. Od točke m t (Sl. 159, e) nalazimo m s na a s b s: projekcija m s n s treba biti paralelna s osi T / S. Nadalje, od m s i n s nalazimo m i n na ab i cd, a od njih m "i n" na a "b" i c "d".

Na sl. 159, u prikazano je rješenje ovog problema metodom paralelnih gibanja. Prvo, ravnu liniju CD postavimo paralelno s kvadratom. V: projekcija c 1 d 1 || X. Zatim pomičemo pravce CD i AB iz položaja C 1 D 1 i A 1 B 1 u položaje C 2 B 2 i A 2 B 2 tako da je C 2 D 2 okomit na H: projekcija c "2 d" 2 ⊥ x. Isječak tražene okomice nalazi se || kvadrat H, pa stoga m 2 n 2 izražava traženu udaljenost l između AB i CD. Nalazimo položaj projekcija m "2, i n" 2 na "2 b" 2 i c "2 d" 2, zatim projekcije i m 1 i m "1, n 1 i n" 1, konačno, projekcije m "i n", m i n.

162. Dana je piramida SABC (slika 160). Odredite udaljenost brida SB i stranice AC baze piramide i konstruirajte projekcije zajedničke okomice na SB i AC, koristeći metodu promjene ravnina projekcija.

163. Dana je piramida SABC (slika 161). Odredite udaljenost brida SH i stranice BC baze piramide te metodom paralelnog pomaka konstruirajte projekcije zajedničke okomice na SX i BC.

164*. Odredite udaljenost od točke A do ravnine u slučajevima kada je ravnina dana: a) trokutom BCD (slika 162, a); b) tragovi (slika 162, b).

Riješenje. Kao što znate, udaljenost od točke do ravnine mjeri se veličinom okomice povučene iz točke na ravninu. Ta se udaljenost projicira na bilo koji kvadrat. projekcije u prirodnoj veličini, ako je zadana ravnina okomita na kvadrat. projekcije (slika 162, c). Ova situacija se može postići pretvaranjem crteža, na primjer, promjenom kvadrata. projekcije. Predstavimo trg. S (sl. 16ts, d), okomito na kvadrat. trokut BCD. Da bismo to učinili, provodimo na trgu. trokut vodoravno B-1 i os projekcija S postaviti okomito na projekciju b-1 vodoravno. Gradimo projekcije točke i ravnine - a s i odsječka c s d s . Udaljenost od a s do c s d s jednaka je željenoj udaljenosti l točke od ravnine.

U Riju. 162, d primjenjuje se metoda paralelnog kretanja. Cijeli sustav pomičemo dok B-1 horizontala ravnine ne postane okomita na V ravninu: projekcija b 1 1 1 mora biti okomita na x-os. U tom položaju ravnina trokuta postat će projicirana sprijeda, a udaljenost l od točke A do nje postat će kvadrat. V bez izobličenja.

Na sl. 162b ravnina je dana tragovima. Uvodimo (slika 162, e) dodatni kvadrat. S, okomito na kvadrat. P: os S/H je okomita na P h . Ostalo je jasno iz crteža. Na sl. 162, dobro je problem riješen uz pomoć jednog pomaka: pl. P prelazi u položaj P 1, odnosno postaje prednji stršeći. Staza. P 1h je okomit na x-os. Gradimo prednju stranu u ovom položaju ravnine. trag horizontale je točka n "1, n 1. Trag P 1ϑ će prolaziti kroz P 1x i n 1. Udaljenost od a" 1 do P 1ϑ jednaka je željenoj udaljenosti l.

165. Dana je piramida SABC (vidi sl. 160). Metodom paralelnog pomaka odredite udaljenost od točke A do plohe SBC piramide.

166. Dana je piramida SABC (vidi sl. 161). Odredite visinu piramide metodom paralelnog pomaka.

167*. Odredite udaljenost između linija koje se sijeku AB i CD (vidi sliku 159, a) kao udaljenost između paralelnih ravnina povučenih kroz te linije.

Riješenje. Na sl. 163, a prikazane su medusobno paralelne ravnine P i Q, od kojih pl. Q je povučen kroz CD paralelno s AB, a pl. P - kroz AB paralelno s kvadratom. P. Razmak između takvih ravnina smatra se razmakom između kosih pravaca AB i CD. Međutim, možete se ograničiti na izgradnju samo jedne ravnine, na primjer Q, paralelne s AB, a zatim odrediti udaljenost barem od točke A do te ravnine.

Na sl. 163c prikazuje ravninu Q kroz CD paralelnu s AB; u projekcijama označenim s "e" || a"b" i se || ab. Korištenje metode mijenjanja kvadrata. projekcije (slika 163, c), uvodimo dodatni kvadrat. S, okomito na kvadrat. V i u isto vrijeme

okomito na kvadrat. Q. Za crtanje S/V osi, uzimamo frontalni D-1 u ovoj ravnini. Sada crtamo S / V okomito na d "1" (Sl. 163, c). pl. Q će biti prikazan na kvadratu. S kao ravna linija sa s d s . Ostalo je jasno iz crteža.

168. Dana je piramida SABC (vidi sliku 160). Odredite udaljenost bridova SC i AB.Primijenite: 1) metodu promjene površine. projekcije, 2) metoda paralelnog kretanja.

169*. Odredite udaljenost između paralelnih ravnina, od kojih je jedna zadana ravnim linijama AB i AC, a druga ravnim linijama DE i DF (slika 164, a). Također izvedite konstrukciju za slučaj kada su ravnine dane tragovima (Sl. 164, b).

Riješenje. Udaljenost (slika 164, c) između paralelnih ravnina može se odrediti povlačenjem okomice iz bilo koje točke jedne ravnine na drugu ravninu. Na sl. 164, g uveo dodatni trg. S okomito na kvadrat. H i na obje zadane ravnine. S.H os je okomita na horizont. projekcija vodoravne crte povučene u jednoj od ravnina. Gradimo projekciju ove ravnine i točke U drugoj ravnini na Sq. 5. Udaljenost točke d s do pravca l s a s jednaka je željenoj udaljenosti između paralelnih ravnina.

Na sl. 164, d dana je druga konstrukcija (prema metodi paralelnog kretanja). Da bi ravnina izražena siječnim pravcima AB i AC bila okomita na kvadrat. V, horizont. postavimo horizontalnu projekciju te ravnine okomito na x-os: 1 1 2 1 ⊥ x. Razmak između prednjih. projekcija d "1 točke D i pravca a" 1 2 "1 (čeona projekcija ravnine) jednaka je željenoj udaljenosti između ravnina.

Na sl. 164, e prikazuje uvođenje dodatnog kvadrata. S, okomito na pl.H i na zadane ravnine P i Q (os S/H je okomita na tragove P h i Q h). Konstruiramo tragove R s i Q s. Udaljenost između njih (vidi sliku 164, c) jednaka je željenoj udaljenosti l između ravnina P i Q.

Na sl. 164, g prikazuje kretanje ravnina P 1 n Q 1, do položaja P 1 i Q 1 kada horizont. ispada da su tragovi okomiti na x-os. Udaljenost između nove fronte. tragova P 1ϑ i Q 1ϑ jednaka je željenoj udaljenosti l.

170. Dan je paralelopiped ABCDEFGH (slika 165). Odredite udaljenosti: a) između osnovica paralelopipeda - l 1; b) između ploha ABFE i DCGH - l 2 ; c) između ADHE i BCGF-l 3 lica.

Ovaj članak govori o temi « udaljenost od točke do linije », definicije udaljenosti od točke do pravca razmatraju se uz ilustrirane primjere metodom koordinata. Svaki blok teorije na kraju je pokazao primjere rješavanja sličnih problema.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Udaljenost od točke do pravca nalazi se određivanjem udaljenosti od točke do točke. Razmotrimo detaljnije.

Neka postoji pravac a i točka M 1 koji ne pripadaju zadanom pravcu. Kroz njega povuci pravac okomit na pravac a. Uzmite točku sjecišta linija kao H 1. Dobijamo da je M 1 H 1 okomica koja je spuštena iz točke M 1 na pravac a.

Definicija 1

Udaljenost od točke M 1 do pravca a naziva se udaljenost između točaka M 1 i H 1 .

Postoje zapisi o definiciji s likom duljine okomice.

Definicija 2

Udaljenost od točke do linije je duljina okomice povučene iz dane točke na dani pravac.

Definicije su ekvivalentne. Razmotrite sliku u nastavku.

Poznato je da je udaljenost od točke do pravca najmanja od svih mogućih. Pogledajmo ovo na primjeru.

Ako uzmemo točku Q koja leži na liniji a, a ne podudara se s točkom M 1, tada dobivamo da se segment M 1 Q naziva kosom, spuštenom s M 1 na liniju a. Potrebno je naznačiti da je okomica iz točke M 1 manja od bilo koje druge koso povučene iz točke na ravnu liniju.

Da bismo to dokazali, razmotrimo trokut M 1 Q 1 H 1 , gdje je M 1 Q 1 hipotenuza. Poznato je da je njegova duljina uvijek veća od duljine bilo kojeg kraka. Dakle, imamo M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Početni podaci za traženje od točke do ravne crte omogućuju korištenje nekoliko metoda rješenja: kroz Pitagorin teorem, definicije sinusa, kosinusa, tangensa kuta i drugih. Većina zadataka ovog tipa rješava se u školi na satovima geometrije.

Kada je prilikom određivanja udaljenosti od točke do pravca moguće unijeti pravokutni koordinatni sustav, tada se koristi koordinatna metoda. U ovom odlomku razmatramo dvije glavne metode za pronalaženje željene udaljenosti od zadane točke.

Prva metoda uključuje pronalaženje udaljenosti kao okomice povučene iz M 1 na pravac a. Druga metoda koristi normalnu jednadžbu ravne linije a za pronalaženje tražene udaljenosti.

Ako postoji točka na ravnini s koordinatama M 1 (x 1, y 1) koja se nalazi u pravokutnom koordinatnom sustavu, pravoj liniji a, a trebate pronaći udaljenost M 1 H 1, možete izračunati na dva načina. Razmotrimo ih.

Prvi način

Ako postoje koordinate točke H 1 jednake x 2, y 2, tada se udaljenost od točke do pravca izračunava iz koordinata iz formule M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Sada prijeđimo na pronalaženje koordinata točke H 1.

Poznato je da pravac u O x y odgovara jednadžbi pravca u ravnini. Krenimo na način da definiramo ravnu liniju a pisanjem opće jednadžbe ravne linije ili jednadžbe s nagibom. Sastavljamo jednadžbu pravca koji prolazi točkom M 1 okomito na zadani pravac a. Označimo pravac s bukva b . H 1 je sjecište pravaca a i b, pa za određivanje koordinata morate koristiti članak u kojem u pitanju o koordinatama točaka presjeka dviju linija.

Vidi se da se algoritam za pronalaženje udaljenosti od zadane točke M 1 (x 1, y 1) do pravca a provodi prema točkama:

Definicija 3

• pronalaženje opće jednadžbe ravne linije a , koja ima oblik A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0, ili jednadžbe s koeficijentom nagiba, koja ima oblik y \u003d k 1 x + b 1;
• dobivanje opće jednadžbe pravca b, koja ima oblik A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0 ili jednadžbe s nagibom y \u003d k 2 x + b 2 ako pravac b siječe točku M 1 i okomita je na zadani pravac a;
• određivanje koordinata x 2, y 2 točke H 1, koja je sjecište a i b, za to se sustav rješava linearne jednadžbe A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 ili y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2 ;
• izračun potrebne udaljenosti od točke do pravca, pomoću formule M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Drugi način

Teorem može pomoći u odgovoru na pitanje o pronalaženju udaljenosti od dane točke do danog pravca na ravnini.

Teorema

Pravokutni koordinatni sustav ima O x y ima točku M 1 (x 1, y 1), iz koje je povučena ravna linija a na ravninu, dana normalnom jednadžbom ravnine, koja ima oblik cos α x + cos β y - p \u003d 0, jednako modulu vrijednosti dobivene na lijevoj strani jednadžbe normalne ravne linije, izračunato na x = x 1, y = y 1, znači da je M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - str.

Dokaz

Pravac a odgovara normalnoj jednadžbi ravnine, koja ima oblik cos α x + cos β y - p = 0, tada se n → = (cos α , cos β) smatra normalnim vektorom pravca a na a udaljenost od ishodišta do pravca a s p jedinicama. Potrebno je prikazati sve podatke na slici, dodati točku s koordinatama M 1 (x 1, y 1) , gdje je radijus vektor točke M 1 - O M 1 → = (x 1 , y 1) . Potrebno je povući ravnu liniju od točke do prave koju ćemo označiti s M 1 H 1 . Potrebno je prikazati projekcije M 2 i H 2 točaka M 1 i H 2 na ravnu liniju koja prolazi kroz točku O s vektorom usmjerenjem oblika n → = (cos α , cos β) , a numeričkom projekcijom vektora označit ćemo kao O M 1 → = (x 1 , y 1) na pravac n → = (cos α , cos β) kao n p n → O M 1 → .

Varijacije ovise o položaju same točke M 1 . Razmotrite sliku u nastavku.

Rezultate fiksiramo pomoću formule M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p . Zatim dovodimo jednakost u ovaj oblik M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p da bismo dobili n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 .

Skalarni umnožak vektora rezultira transformiranom formulom oblika n → , O M → 1 = n → n p n → O M 1 → = 1 n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → , koja je umnožak u koordinatnom obliku oblik n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Dakle, dobivamo da je n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Slijedi da je M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p . Teorem je dokazan.

Dobivamo da je za pronalaženje udaljenosti od točke M 1 (x 1, y 1) do ravne linije a na ravnini potrebno izvršiti nekoliko radnji:

Definicija 4

• dobivanje normalne jednadžbe pravca a cos α · x + cos β · y - p = 0, pod uvjetom da nije u zadatku;
• izračunavanje izraza cos α · x 1 + cos β · y 1 - p , gdje je dobivena vrijednost M 1 H 1 .

Primijenimo ove metode za rješavanje problema s pronalaženjem udaljenosti od točke do ravnine.

Primjer 1

Odredite udaljenost od točke s koordinatama M 1 (- 1 , 2) do pravca 4 x - 3 y + 35 = 0 .

Riješenje

Koristimo prvu metodu za rješavanje.

Da biste to učinili, trebate pronaći opću jednadžbu pravca b koji prolazi kroz zadanu točku M 1 (- 1 , 2) okomito na pravac 4 x - 3 y + 35 = 0 . Iz uvjeta se vidi da je pravac b okomit na pravac a, tada njegov vektor smjera ima koordinate jednake (4, - 3) . Dakle, imamo priliku napisati kanonsku jednadžbu pravca b na ravnini, budući da postoje koordinate točke M 1, pripada pravcu b. Odredimo koordinate vektora usmjerivača pravca b . Dobivamo da je x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3 . Rezultirajuća kanonička jednadžba mora se pretvoriti u opću. Onda to shvaćamo

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 (x + 1) = 4 (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

Nađimo koordinate točaka sjecišta pravaca koje ćemo uzeti kao oznaku H 1. Transformacije izgledaju ovako:

4 x - 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5

Iz navedenog imamo da su koordinate točke H 1 (- 5; 5) .

Potrebno je izračunati udaljenost od točke M 1 do pravca a. Imamo da koordinate točaka M 1 (- 1, 2) i H 1 (- 5, 5) zamijenimo u formulu za određivanje udaljenosti i dobijemo da

M 1 H 1 \u003d (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 \u003d 25 \u003d 5

Drugo rješenje.

Za rješavanje na drugi način potrebno je dobiti normalnu jednadžbu pravca. Izračunavamo vrijednost faktora normalizacije i množimo obje strane jednadžbe 4 x - 3 y + 35 = 0 . Odavde dobivamo da je faktor normalizacije - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5 , a normalna jednadžba će biti u obliku - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0 .

Prema algoritmu izračuna, potrebno je dobiti normalnu jednadžbu ravne linije i izračunati je s vrijednostima x = - 1, y = 2. Onda to shvaćamo

4 5 - 1 + 3 5 2 - 7 = - 5

Odavde dobivamo da udaljenost od točke M 1 (- 1 , 2) do zadane prave 4 x - 3 y + 35 = 0 ima vrijednost - 5 = 5 .

Odgovor: 5 .

Vidi se da je u ovoj metodi važno koristiti normalnu jednadžbu pravca, jer je ova metoda najkraća. Ali prva metoda je prikladna jer je dosljedna i logična, iako ima više računskih točaka.

Primjer 2

Na ravnini se nalazi pravokutni koordinatni sustav O x y s točkom M 1 (8, 0) i pravcem y = 1 2 x + 1. Odredite udaljenost od zadane točke do pravca.

Riješenje

Rješenje na prvi način podrazumijeva svođenje zadane jednadžbe s koeficijentom nagiba na jednadžbu opći pogled. Da pojednostavimo, možete to učiniti drugačije.

Ako umnožak nagiba okomitih linija ima vrijednost - 1, tada nagib pravac okomit na zadani y = 1 2 x + 1 ima vrijednost 2 . Sada dobivamo jednadžbu pravca koji prolazi točkom s koordinatama M 1 (8, 0) . Imamo da je y - 0 = - 2 (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 .

Nastavljamo s pronalaženjem koordinata točke H 1, odnosno točaka sjecišta y \u003d - 2 x + 16 i y \u003d 1 2 x + 1. Sastavimo sustav jednadžbi i dobijemo:

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 6 + 1 x \u003d 6 \u003d y \u003d 4 x \u003d 6 ⇒ H 1 (6, 4)

Slijedi da je udaljenost od točke s koordinatama M 1 (8 , 0) do pravca y = 1 2 x + 1 jednaka udaljenosti od početne točke i krajnje točke s koordinatama M 1 (8 , 0) i H 1 (6, 4) . Izračunajmo i dobijemo da je M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5 .

Rješenje na drugi način je prijeći s jednadžbe s koeficijentom na njen normalni oblik. Odnosno, dobivamo y \u003d 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 \u003d 0, tada će vrijednost faktora normalizacije biti - 1 1 2 2 + (- 1) 2 \u003d - 2 5 . Slijedi da normalna jednadžba ravne linije ima oblik - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 . Izračunajmo od točke M 1 8 , 0 do pravca oblika - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 . Dobivamo:

M 1 H 1 \u003d - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 \u003d - 10 5 \u003d 2 5

Odgovor: 2 5 .

Primjer 3

Potrebno je izračunati udaljenost od točke s koordinatama M 1 (- 2 , 4) do ravnih linija 2 x - 3 = 0 i y + 1 = 0 .

Riješenje

Dobivamo jednadžbu normalnog oblika ravne linije 2 x - 3 = 0:

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0

Zatim prelazimo na izračunavanje udaljenosti od točke M 1 - 2, 4 do ravne crte x - 3 2 = 0. Dobivamo:

M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

Ravna jednadžba y + 1 = 0 ima faktor normalizacije s vrijednošću -1. To znači da će jednadžba poprimiti oblik - y - 1 = 0 . Nastavljamo s izračunavanjem udaljenosti od točke M 1 (- 2 , 4) do prave - y - 1 = 0 . Dobijamo da je jednako - 4 - 1 = 5.

Odgovor: 3 1 2 i 5 .

Pogledajmo pobliže pronalaženje udaljenosti od zadane točke ravnine do koordinatne osi O x i O y.

U pravokutnom koordinatnom sustavu, os O y ima jednadžbu ravne linije, koja je nepotpuna i ima oblik x \u003d 0, a O x - y \u003d 0. Jednadžbe su normalne za koordinatne osi, tada je potrebno pronaći udaljenost od točke s koordinatama M 1 x 1 , y 1 do ravnih linija. To se radi na temelju formula M 1 H 1 = x 1 i M 1 H 1 = y 1 . Razmotrite sliku u nastavku.

Primjer 4

Odredite udaljenost od točke M 1 (6, - 7) do koordinatnih pravaca koji se nalaze u ravnini O x y.

Riješenje

Budući da se jednadžba y \u003d 0 odnosi na liniju O x, udaljenost od M 1 možete pronaći pomoću zadane koordinate, u ovaj redak, pomoću formule. Dobivamo da je 6 = 6 .

Budući da se jednadžba x \u003d 0 odnosi na liniju O y, udaljenost od M 1 do ove linije možete pronaći pomoću formule. Tada dobivamo da je - 7 = 7 .

Odgovor: udaljenost od M 1 do O x ima vrijednost 6, a od M 1 do O y ima vrijednost 7.

Kada u trodimenzionalnom prostoru imamo točku s koordinatama M 1 (x 1, y 1, z 1), potrebno je pronaći udaljenost od točke A do pravca a.

Razmotrite dva načina koji vam omogućuju izračunavanje udaljenosti od točke do ravne crte a koja se nalazi u prostoru. Prvi slučaj razmatra udaljenost od točke M 1 do pravca, pri čemu se točka na pravcu naziva H 1 i osnovica je okomice povučene iz točke M 1 na pravac a. Drugi slučaj sugerira da se točke ove ravnine moraju tražiti kao visina paralelograma.

Prvi način

Iz definicije imamo da je udaljenost od točke M 1 koja se nalazi na pravoj liniji a duljina okomice M 1 H 1, zatim to dobivamo s pronađenim koordinatama točke H 1, zatim nalazimo udaljenost između M 1 (x 1, y 1, z 1 ) i H 1 (x 1, y 1, z 1) na temelju formule M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .

Dobivamo da cijelo rješenje ide na pronalaženje koordinata osnovice okomice povučene iz M 1 na pravac a. To se radi na sljedeći način: H 1 je točka u kojoj se pravac a siječe s ravninom koja prolazi kroz zadanu točku.

To znači da algoritam za određivanje udaljenosti od točke M 1 (x 1, y 1, z 1) do pravca a prostora podrazumijeva nekoliko točaka:

Definicija 5

• sastavljanje jednadžbe ravnine χ kao jednadžbe ravnine koja prolazi kroz zadanu točku okomitu na pravac;
• određivanje koordinata (x 2 , y 2 , z 2 ) koje pripadaju točki H 1 koja je presječna točka pravca a i ravnine χ ;
• izračunavanje udaljenosti od točke do pravca pomoću formule M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .

Drugi način

Iz uvjeta imamo pravac a, tada možemo odrediti vektor smjera a → = a x, a y, a z s koordinatama x 3, y 3, z 3 i određenom točkom M 3 koja pripada pravcu a. S obzirom na koordinate točaka M 1 (x 1 , y 1 ) i M 3 x 3 , y 3 , z 3 , M 3 M 1 → može se izračunati:

M 3 M 1 → = (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)

Potrebno je odgoditi vektore a → \u003d a x, a y, a z i M 3 M 1 → \u003d x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 iz točke M 3, spojiti i dobiti lik paralelograma. M 1 H 1 je visina paralelograma.

Razmotrite sliku u nastavku.

Imamo da je visina M 1 H 1 željena udaljenost, a zatim je trebate pronaći pomoću formule. Odnosno, tražimo M 1 H 1 .

Označite površinu paralelograma slovom S, nalazi se formulom pomoću vektora a → = (a x, a y, a z) i M 3 M 1 → = x 1 - x 3 . y 1 - y 3 , z 1 - z 3 . Formula površine ima oblik S = a → × M 3 M 1 → . Također, površina figure jednaka je umnošku duljina njegovih stranica i visine, dobivamo da je S \u003d a → M 1 H 1 s a → \u003d a x 2 + a y 2 + a z 2, što je duljina vektora a → \u003d (a x, a y, a z) , koja je jednaka stranici paralelograma. Dakle, M 1 H 1 je udaljenost od točke do pravca. Nalazi se po formuli M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Da biste pronašli udaljenost od točke s koordinatama M 1 (x 1, y 1, z 1) do ravne linije a u prostoru, morate izvršiti nekoliko točaka algoritma:

Definicija 6

• određivanje vektora smjera pravca a - a → = (a x , a y , a z) ;
• izračun duljine vektora smjera a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ;
• dobivanje koordinata x 3 , y 3 , z 3 koje pripadaju točki M 3 koja se nalazi na pravcu a;
• izračun koordinata vektora M 3 M 1 → ;
• pronalaženje umnoška vektora a → (a x, a y, a z) i M 3 M 1 → = x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 kao a → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 da se dobije duljina prema formuli a → × M 3 M 1 → ;
• izračunavanje udaljenosti od točke do pravca M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Rješavanje zadataka nalaženja udaljenosti od zadane točke do zadane prave u prostoru

Odredite udaljenost od točke s koordinatama M 1 2 , - 4 , - 1 do pravca x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 .

Riješenje

Prva metoda počinje pisanjem jednadžbe ravnine χ koja prolazi kroz M 1 i okomita je na zadanu točku. Dobivamo izraz poput:

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Potrebno je pronaći koordinate točke H 1 koja je presječna točka s ravninom χ na pravac zadan uvjetom. Potrebno je prijeći iz kanonske forme u onu koja se presijeca. Tada dobivamo sustav jednadžbi oblika:

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 (x + 1) = 2 y 5 (x + 1) = 2 (z + 5) 5 y = - 1 (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Potrebno je izračunati sustav x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3 Cramerovom metodom, tada dobivamo da je:

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ = 0 - 60 = 0

Stoga imamo da je H 1 (1, - 1, 0) .

M 1 H 1 \u003d 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 \u003d 11

Druga metoda mora se započeti traženjem koordinata u kanonskoj jednadžbi. Da biste to učinili, obratite pozornost na nazivnike razlomka. Tada je a → = 2 , - 1 , 5 vektor smjera pravca x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 . Duljinu je potrebno izračunati po formuli a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30.

Jasno je da pravac x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 siječe točku M 3 (- 1 , 0 , - 5), pa imamo da vektor s ishodištem M 3 (- 1 , 0 , - 5) i njegov kraj u točki M 1 2 , - 4 , - 1 je M 3 M 1 → = 3 , - 4 , 4 . Odredite vektorski produkt a → = (2, - 1, 5) i M 3 M 1 → = (3, - 4, 4) .

Dobivamo izraz oblika a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 j → = 16 i → + 7 j → - 5 k →

dobivamo da je duljina križnog umnoška a → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330 .

Imamo sve podatke za korištenje formule za izračunavanje udaljenosti od točke za ravnu liniju, pa je primijenimo i dobijemo:

M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11

Odgovor: 11 .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Državno pomorsko tehničko sveučilište St. Petersburg

Zavod za računalnu grafiku i informacijsku podršku

AKTIVNOST 3

PRAKTIČNI ZADATAK №3

Određivanje udaljenosti od točke do pravca.

Udaljenost između točke i ravne crte možete odrediti izvođenjem sljedećih konstrukcija (vidi sliku 1):

iz točke S ispustiti okomito na ravnu liniju A;

označiti točku DO sjecište okomice s ravnom crtom;

izmjerite duljinu reza KS, čiji je početak navedena točka, a kraj označena sjecišna točka.

Sl. 1. Udaljenost od točke do pravca.

Osnova za rješavanje problema ove vrste je pravilo projekcije pod pravim kutom: pravi kut je projiciran bez iskrivljenja ako je barem jedna njegova stranica paralelna s ravninom projekcije(tj. zauzima privatni položaj). Počnimo s upravo takvim slučajem i razmotrimo konstrukcije za određivanje udaljenosti od točke S na ravnu liniju AB.

U ovom zadatku nema testnih slučajeva, a date su opcije za izvođenje pojedinačnih zadataka tablica1 i tablica2. Rješenje problema je opisano u nastavku, a odgovarajuće konstrukcije prikazane su na sl.2.

1. Određivanje udaljenosti od točke do pravca određenog položaja.

Prvo se konstruiraju projekcije točke i segmenta. Projekcija A1B1 paralelno s osi x. To znači da rez AB paralelno s ravninom P2. Ako iz točke S nacrtati okomicu na AB, tada se pravi kut projicira bez izobličenja točno na ravninu P2. To vam omogućuje crtanje okomice iz točke C2 na projekciji A2B2.

Padajući izbornik Crtanje linija (crtati- crta) . Postavite kursor na točku C2 i fiksirajte je kao prvu točku segmenta. Pomaknite kursor u smjeru normale na segment A2B2 i fiksirajte drugu točku na njoj u trenutku kada se pojavi upit normalno (Okomito) . Označite konstruiranu točku K2. Omogući način ORTO(ORTO) , a od točke K2 nacrtati okomitu spojnu liniju do sjecišta s projekcijom A1 B1. Točka presjeka je označena sa K1. Točka DO leži na segmentu AB, je sjecište okomice povučene iz točke S, sa segmentom AB. Dakle, rez KS je željena udaljenost od točke do pravca.

Iz konstrukcija je vidljivo da segment KS zauzima opći položaj i stoga su njegove projekcije iskrivljene. Govoreći o udaljenosti uvijek znači prava vrijednost segmenta izražavanje udaljenosti. Stoga moramo pronaći pravu vrijednost segmenta KS, pretvarajući ga u privatni položaj, na primjer, KS|| P1. Rezultat konstrukcija prikazan je na sl.2.

Iz konstrukcija prikazanih na slici 2 možemo zaključiti: određeni položaj ravne linije (odsječak je paralelan s P1 ili P2) omogućuje brzu izradu projekcija udaljenosti od točke do linije, ali one su iskrivljene.

sl.2. Određivanje udaljenosti od točke do pravca određenog položaja.

2. Određivanje udaljenosti od točke do pravca u općem položaju.

Segment ne zauzima uvijek određenu poziciju u početnom stanju. Sa zajedničkim početnim položajem izvode se sljedeće konstrukcije za određivanje udaljenosti od točke do linije:

a) koristeći metodu transformacije crteža, pretvorite segment iz općeg položaja u privatni položaj - to će vam omogućiti da izgradite projekcije udaljenosti (iskrivljene);

b) koristeći metodu drugi put, prevedite segment koji odgovara traženoj udaljenosti u određeni položaj - dobit ćemo projekciju udaljenosti u smislu vrijednosti jednake stvarnoj.

Razmotrite niz konstrukcija za određivanje udaljenosti od točke A do segmenta u općoj poziciji Sunce(slika 3).

Pri prvoj rotaciji potrebno je dobiti određeni položaj segmenta UC. Da biste to učinili, u sloju TMR treba spojiti točke U 2, C2 I A2. Pomoću naredbe Uredi-Zakreni (Izmijeniti – Rotirati) trokut B2C2A2 rotirati oko točke C2 do točke gdje nova projekcija B2*C2 nalazit će se strogo vodoravno (točka S je nepomičan i stoga se njegova nova projekcija poklapa s izvornom i zapisom C2* I C1* možda neće biti prikazan na crtežu). Kao rezultat, dobit će se nove projekcije segmenta B2*C2 i bodovi: A2*. Dolazeći iz bodova A2* I U 2* crtaju se okomito i iz točaka U 1 I A1 horizontalne komunikacijske linije. Sjecište odgovarajućih linija odredit će položaj točaka nove horizontalne projekcije: segmenta B1*C1 i bodova A1*.

U rezultirajućem određenom položaju možete izgraditi projekcije udaljenosti za ovo: od točke A1* građenje normalnog do B1*C1. Točka njihovog međusobnog sjecišta - K1*. Od ove točke do sjecišta s projekcijom povlači se okomita spojna linija B2*C2. Označena točka K2*. Kao rezultat toga, projekcije segmenta AK, što je željena udaljenost od točke A na ravnu liniju Sunce.

Zatim trebate izgraditi projekcije udaljenosti u početnom stanju. Za ovo, s točke K1* zgodno je nacrtati vodoravnu liniju do sjecišta s projekcijom B1C1 i označite točku sjecišta K1. Zatim se gradi točka K2 na frontalnoj projekciji segmenta i izvode se projekcije A1K1 I A2K2. Kao rezultat konstrukcija dobivene su projekcije udaljenosti, ali kako u početnom tako iu novom posebnom položaju segmenta Sunce, segment linije AK zauzima opći položaj, a to dovodi do činjenice da su sve njegove projekcije iskrivljene.

Na drugoj rotaciji segment treba rotirati AK na određeni položaj, što će vam omogućiti da odredite pravu vrijednost udaljenosti – projekciju A2*K2**. Rezultat svih konstrukcija prikazan je na sl.3.

ZADATAK №3-1. S na ravnu crtu privatnog položaja, koju daje segment AB. Odgovorite u mm (Stol 1).Uklonite linije projekcije

stol 1

ZADATAK №3-2. Pronađite pravu udaljenost od točke M na ravnu liniju u općem položaju zadanom segmentom ED. Odgovorite u mm (tablica 2).

tablica 2

Provjera i priznavanje riješenog ZADATKA br.3.

Da biste izračunali udaljenost od zadane točke M do pravca L, možete koristiti različiti putevi. Na primjer, ako uzmemo proizvoljnu točku M 0 na pravcu L, tada možemo definirati ortogonalna projekcija vektora M 0 M na pravac vektora normale pravca. Ova projekcija, do znaka, je tražena udaljenost.

Drugi način za izračunavanje udaljenosti od točke do linije je korištenje normalna jednadžba ravne linije. Neka je pravac L dan normalnom jednadžbom (4.23). Ako točka M(x; y) ne leži na pravcu L, tada je ortogonalna projekcija pr n OM radijus-vektor točku M na pravac jedinične normale vektora n pravca L jednak je skalarnom umnošku vektora OM i n, tj. x cosφ + y sinφ. Ista projekcija jednaka je zbroju udaljenosti p od ishodišta do pravca i neke vrijednosti δ (sl. 4.10). Vrijednost δ prema apsolutna vrijednost jednaka udaljenosti od točke M do pravca. U tom slučaju je δ > 0 ako su točke M i O na suprotnim stranama pravca, a δ je odstupanje točke M od pravca.

Odstupanje δ za točku M(x; y) od pravca L izračunava se kao razlika između projekcije pr n OM i udaljenosti p od ishodišta do pravca (vidi sl. 4.10), tj. δ \u003d x cosφ + y sinφ - str.

Pomoću ove formule također se može dobiti udaljenost p(M, L) od točke M(x; y) do pravca L dana normalnom jednadžbom: p(M, L) = |δ | = |x cosφ + y sinφ - p|.

2 Dva susjedna kuta zbroje 180°

S obzirom na gornji postupak pretvorbe opća jednadžba pravca u njegovu normalnu jednadžbu, dobivamo formulu za udaljenost od točke M(x; y) do pravca L, danu njegovom općom jednadžbom:

Primjer 4.8. Nađimo opće jednadžbe za visinu AH, središnju AM i simetralu AD trokuta ABC koji izlazi iz vrha A. Koordinate vrhova trokuta A(-1;-3), B(7; 3) ), C(1;7) su poznati.

Najprije pojasnimo uvjet primjera: naznačene jednadžbe znače jednadžbe pravaca L AH, L AM i L AD, na kojima se nalaze visina AH, središnja AM i simetrala AD navedenog trokuta, odnosno (slika 4.11).

Da bismo pronašli jednadžbu pravca L AM , koristimo se činjenicom da središnja stranica dijeli suprotnu stranicu trokuta na pola. Nakon što smo pronašli koordinate (x 1; y 1) sredine stranice BC x 1 = (7 + 1)/2 = 4, y 1 = (3 + 7)/2 = 5, napišemo jednadžbu za L AM u obliku jednadžba pravca koji prolazi kroz dvije točke,(x + 1)/(4 + 1) = (y + 3)/(5 + 3). Nakon transformacija dobivamo opću jednadžbu medijana 8x - 5y - 7 \u003d 0./p>

Da bismo pronašli jednadžbu za visinu L AH, koristimo se činjenicom da je visina okomita na suprotnu stranicu trokuta. Dakle, vektor BC je okomit na visinu AH i može se izabrati kao vektor normale pravca L AH . Jednadžba ovog pravca dobiva se iz (4.15) zamjenom koordinata točke A i vektora normale pravca L AH:

(-6)(x + 1) + 4(y + 3) = 0.

Nakon transformacija dobivamo opću jednadžbu za visinu 3x - 2y - 3 = 0.

Za pronalaženje jednadžbe simetrale L AD koristimo činjenicu da simetrala AD pripada skupu onih točaka N(x; y) koje su jednako udaljene od pravaca L AB i L AC . Jednadžba ovog skupa ima oblik

P(N, L AB) = P(N, L AC), (4.28)

a određuje dva pravca koji prolaze kroz točku A i dijele kutove između pravaca L AB i L AC popola. Koristeći jednadžbu pravca koji prolazi kroz dvije točke, nalazimo opće jednadžbe pravaca L AB i L AC:

L AB: (x + 1)/(7 + 1) = (y + 3)/(3 + 3), L AC: (x + 1)/(1 + 1) = (y + 3)/(7 + 3)

Nakon transformacija dobivamo L AB: 3x - 4y - 9 \u003d 0, L AC: 5x - y + 2 \u003d 0. Jednadžba (4.28) pomoću formule (4.27) izračunava udaljenost od točke do ravne crte, upisujemo u obrazac

Transformirajmo ga proširenjem modula:

Kao rezultat toga dobivamo opće jednadžbe dviju linija

(3 ± 25/√26)x + (-4 ± 5/√26)y + (-9 ± 10/√26) = 0

Da bismo od njih odabrali jednadžbu simetrale, uzimamo u obzir da se vrhovi B i C trokuta nalaze na suprotnim stranama željene linije i stoga zamjenjujemo njihove koordinate u lijeva strana opće jednadžbe pravca L AD mora dati vrijednosti sa različite znakove. Odaberemo jednadžbu koja odgovara gornjem predznaku, tj.

(3 - 25/√26)x + (-4 + 5/√26)y + (-9 - 10/√26) = 0

Zamjenom koordinata točke B u lijevu stranu ove jednadžbe dobivamo negativnu vrijednost jer

(3 - 25/√26)7 + (-4 + 5/√26)3 + (-9 - 10/√26) = 21 - 12 - 9 + (-175 + 15 - 10)/√26 = -170/√26

a isti predznak se dobiva za koordinate točke C, jer

(3 - 25/√26)1 + (-4 + 5/√26)7 + (-9 - 10/√26) = 3 - 28 - 9 + (-25 + 35 - 10)/√26 = -34

Dakle, vrhovi B i C nalaze se na istoj strani pravca s odabranom jednadžbom, pa je jednadžba simetrale

(3 + 25/√26)x + (-4 - 5/√26)y + (-9 + 10/√26) = 0.

Udaljenost od točke do pravca je duljina okomice iz točke na pravac. U nacrtnoj geometriji određuje se grafički prema donjem algoritmu.

Algoritam

1. Pravac se prenosi u položaj u kojem će biti paralelan s bilo kojom ravninom projekcije. Da biste to učinili, primijenite metode transformacije ortogonalnih projekcija.
2. Nacrtaj okomicu iz točke na pravac. Ova se konstrukcija temelji na teoremu o pravokutnoj projekciji.
3. Duljina okomice određuje se preračunavanjem njezinih projekcija ili metodom pravokutnog trokuta.

Sljedeća slika prikazuje složeni crtež točke M i pravca b definiranog odsječkom CD. Morate pronaći udaljenost između njih.

Prema našem algoritmu, prva stvar koju treba učiniti je pomaknuti liniju u položaj paralelan s ravninom projekcije. Važno je razumjeti da se nakon transformacija stvarna udaljenost između točke i linije ne bi trebala promijeniti. Zato je ovdje zgodno koristiti metodu zamjene ravnine koja ne uključuje pokretne figure u prostoru.

Rezultati prve faze izgradnje prikazani su u nastavku. Slika prikazuje kako se uvodi dodatna frontalna ravnina P 4 paralelna s b. U novi sustav(P 1 , P 4) točke C"" 1 , D"" 1 , M"" 1 su na istoj udaljenosti od X 1 osi kao C"", D"", M"" od X osi.

Provodeći drugi dio algoritma, iz M"" 1 spuštamo okomicu M"" 1 N"" 1 na ravnu liniju b"" 1, budući da je pravi kut MND između b i MN projiciran na ravninu P 4 u punoj veličini. Odredimo položaj točke N" duž komunikacijske linije i nacrtamo projekciju M"N" segmenta MN.

U završnoj fazi potrebno je odrediti vrijednost segmenta MN njegovim projekcijama M"N" i M"" 1 N"" 1 . Za ovo gradimo pravokutni trokut M"" 1 N"" 1 N 0 , čiji je krak N"" 1 N 0 jednak razlici (Y M 1 – Y N 1) udaljavanja točaka M" i N" od X 1 osi. Duljina hipotenuze M"" 1 N 0 trokuta M"" 1 N"" 1 N 0 odgovara željenoj udaljenosti od M do b.

Drugi način rješavanja

• Paralelno s CD uvodimo novu frontalnu ravninu P 4 . Ona siječe P 1 duž X 1 osi, a X 1 ∥C"D". U skladu s metodom zamjene ravnina određujemo projekcije točaka C "" 1, D"" 1 i M"" 1, kao što je prikazano na slici.
• Okomito na C"" 1 D"" 1 gradimo dodatni horizontalna ravnina P 5, na kojoj se pravac b projicira u točku C "2 = b" 2.
• Udaljenost između točke M i pravca b određena je duljinom odsječka M "2 C" 2 označenog crvenom bojom.

Povezani zadaci: