U sljedećem ispitni zadaci potrebno je pronaći opseg lika prikazanog na slici.

Možete pronaći opseg figure različiti putevi. Izvorni oblik možete transformirati tako da se opseg novog oblika može lako izračunati (na primjer, promijeniti u pravokutnik).

Drugo rješenje je tražiti opseg figure izravno (kao zbroj duljina svih njezinih stranica). Ali u ovom slučaju ne možete se osloniti samo na crtež, već pronaći duljine segmenata na temelju podataka problema.

Upozoravam vas: u jednom od zadataka među ponuđenim odgovorima nisam našao onaj koji mi je odgovarao.

C) .

Pomaknimo stranice malih pravokutnika iz unutarnjeg područja u vanjsko. Kao rezultat, veliki pravokutnik je zatvoren. Formula za pronalaženje opsega pravokutnika

U u ovom slučaju, a=9a, b=3a+a=4a. Dakle, P=2(9a+4a)=26a. Do perimetra veliki pravokutnik zbrajamo zbroj duljina četiri segmenta od kojih je svaki jednak 3a. Kao rezultat, P=26a+4∙3a= 38a .

C) .

Prenošenjem unutarnjih stranica malih pravokutnika na vanjsko područje dobivamo veliki pravokutnik čiji je opseg P=2(10x+6x)=32x i četiri segmenta, dva duljine x, dva dužine x. dužine 2x.

Ukupno, P=32x+2∙2x+2∙x= 38x .

?) .

Pomaknimo se 6 horizontalnih “koraka” iznutra prema van. Opseg dobivenog velikog pravokutnika je P=2(6y+8y)=28y. Preostaje pronaći zbroj duljina odsječaka unutar pravokutnika 4y+6∙y=10y. Dakle, opseg figure je P=28y+10y= 38g .

D) .

Odgodimo termin okomiti segmenti od unutarnjeg područja figure lijevo, prema vanjskom području. Da biste dobili veliki pravokutnik, pomaknite jedan od segmenata dužine 4x u donji lijevi kut.

Opseg izvorne figure nalazimo kao zbroj opsega ovog velikog pravokutnika i duljina tri segmenta koja su ostala unutar P=2(10x+8x)+6x+4x+2x= 48x .

E) .

Prenošenjem unutarnjih strana malih pravokutnika na vanjsko područje dobivamo veliki kvadrat. Njegov opseg je P=4∙10x=40x. Da biste dobili opseg izvorne figure, morate obodu kvadrata dodati zbroj duljina osam segmenata, svaki 3x dug. Ukupno, P=40x+8∙3x= 64x .

B) .

Premjestimo sve vodoravne "korake" i okomite gornje segmente u vanjsko područje. Opseg dobivenog pravokutnika je P=2(7y+4y)=22y. Da biste pronašli opseg izvorne figure, morate opsegu pravokutnika dodati zbroj duljina četiri segmenta, svaki duljine y: P=22y+4∙y= 26g .

D) .

Pomaknimo sve vodoravne crte iz unutarnjeg područja u vanjsko i pomaknimo dvije okomite vanjske crte u lijevom i desnom kutu, redom, z ulijevo i udesno. Kao rezultat, dobivamo veliki pravokutnik čiji je opseg P=2(11z+3z)=28z.

Opseg izvorne figure jednak je zbroju opsega velikog pravokutnika i duljina šest segmenata duž z: P=28z+6∙z= 34z .

B) .

Rješenje je potpuno slično rješenju prethodnog primjera. Nakon transformacije figure, nalazimo opseg velikog pravokutnika:

P=2(5z+3z)=16z. Obuhvatu pravokutnika dodamo zbroj duljina preostalih šest segmenata od kojih je svaki jednak z: P=16z+6∙z= 22z .

Sigurno je svatko od nas naučio u školi tako važnu komponentu geometrije kao perimetar. Pronalaženje perimetra jednostavno je potrebno za rješavanje mnogih problema. Naš članak će vam reći kako pronaći perimetar.

Vrijedno je zapamtiti da je opseg svake figure gotovo uvijek zbroj njezinih stranica. Pogledajmo nekoliko različitih geometrijskih oblika.

1. Pravokutnik je četverokut čije su paralelne stranice u parovima jednake. Ako je jedna strana X, a druga Y, tada dobivamo sljedeću formulu za pronalaženje opsega ove figure:

   P = 2(X+Y) = X+Y+X+Y = 2X+2Y.

   Primjer rješavanja problema:

   Pretpostavimo da je strana X = 5 cm, strana Y = 10 cm. Dakle, zamjenom ovih vrijednosti u našu formulu, dobivamo - P = 2 * 5 cm + 2 * 10 cm = 30 cm.

2. Trapez je četverokut čije su dvije nasuprotne stranice paralelne, ali nisu međusobno jednake. Opseg trapeza je zbroj sve četiri stranice:

   P = X+Y+Z+W, gdje su X, Y, Z, W stranice figure.

   Primjer rješavanja problema:

   Pretpostavimo da je strana X = 5 cm, strana Y = 10 cm, strana Z = 8 cm, strana W = 20 cm. Dakle, zamjenom ovih vrijednosti u našu formulu, dobivamo - P = 5 cm + 10 cm + 8 cm + 20 cm = 43 cm.

3. Opseg kruga (obim) može se izračunati pomoću formule:

   P = 2rπ = dπ, gdje je r polumjer kruga, d je promjer kruga.

   Primjer rješavanja problema:

   Pretpostavimo da je polumjer r naše kružnice 5 cm, tada će promjer d biti jednak 2 * 5 cm = 10 cm. Poznato je da je π = 3,14. To znači da zamjenom ovih vrijednosti u našu formulu dobivamo - P = 2*5 cm*3,14 = 31,4 cm.

4. Ako trebate pronaći opseg trokuta, tada možete naići na niz problema pri tome, jer trokuti mogu imati vrlo različite oblike. Na primjer, postoje oštri, tupi, jednakokračni, pravi i jednakostranični trokuti. Iako je formula za sve vrste trokuta:

   P = X+Y+Z, gdje su X, Y, Z stranice figure.

   Problem je u tome što kada rješavate mnoge probleme traženja opsega ove figure, nećete uvijek znati duljine svih stranica. Na primjer, umjesto podatka o duljini jedne od stranica, možete imati stupanj kuta ili duljinu visine određenog trokuta. To će značajno zakomplicirati zadatak, ali neće učiniti njegovo rješenje nerealnim. Možete pročitati “” o tome kako pronaći opseg trokuta, bez obzira na oblik.

5. Opseg figure kao što je romb nalazi se na isti način kao i opseg kvadrata, jer je romb paralelogram koji ima jednake stranice. Možete saznati kako pronaći opseg kvadrata čitajući članak na našoj web stranici "".

   Sada znate kako pronaći stranu opsega toga geometrijski lik, koji god trebate!

Dovoljno je saznati duljinu svih njegovih stranica i pronaći njihov zbroj. Perimetar je ukupna duljina granica ravna figura. Drugim riječima, to je zbroj duljina njegovih stranica. Mjerna jedinica za obod mora odgovarati mjernoj jedinici za njegove strane. Formula za opseg mnogokuta je P = a + b + c...+ n, gdje je P opseg, ali su a, b, c i n duljina svake stranice. Inače se izračunava (ili opseg kruga): upotrijebite formulu p = 2 * π * r, gdje je r radijus, a π konstantan broj približno jednak 3,14. Pogledajmo nekoliko jednostavni primjeri, jasno pokazujući kako pronaći perimetar. Kao primjer, uzmimo takve figure kao što su kvadrat, paralelogram i krug.

Kako pronaći opseg kvadrata

Kvadrat je pravilan četverokut u kojem su sve stranice i kutovi jednaki. Budući da su sve stranice kvadrata jednake, zbroj duljina njegovih stranica može se izračunati pomoću formule P = 4 * a, gdje je a duljina jedne od stranica. Dakle, sa stranom od 16,5 cm jednako je P = 4 * 16,5 = 66 cm Također možete izračunati opseg jednakostraničnog romba.

Kako pronaći opseg pravokutnika

Pravokutnik je četverokut čiji su svi kutovi 90 stupnjeva. Poznato je da su u liku kao što je pravokutnik duljine stranica jednake u parovima. Ako su širina i visina pravokutnika iste duljine, onda se on zove kvadrat. Obično je duljina pravokutnika najveća stranica, a širina najmanja. Dakle, da biste dobili opseg pravokutnika, trebate udvostručiti zbroj njegove širine i visine: P = 2 * (a + b), gdje je a visina, a b širina. Imajući pravokutnik, čija je jedna stranica duga i jednaka 15 cm, a druga široka sa postavljenom vrijednošću od 5 cm, dobivamo opseg jednak P = 2 * (15 + 5) = 40 cm.

Kako pronaći opseg trokuta

Trokut čine tri segmenta koji se spajaju u točkama (vrhovima trokuta) koje ne leže na istom pravcu. Trokut se naziva jednakostraničnim ako su mu sve tri stranice jednake, a jednakokračnim ako postoje dvije jednake stranice. Da biste saznali opseg, trebate pomnožiti duljinu njegove strane s 3: P = 3 * a, gdje je a jedna od njegovih strana. Ako stranice trokuta nisu međusobno jednake, potrebno je izvršiti operaciju zbrajanja: P = a + b + c. Perimetar jednakokračan trokut sa stranama 33, 33 i 44 redom će biti jednaka: P = 33 + 33 + 44 = 110 cm.

Kako pronaći opseg paralelograma

Paralelogram je četverokut s parovima paralelnih nasuprotnih stranica. Kvadrat, romb i pravokutnik su posebni slučajevi figure. Suprotne stranice bilo kojeg paralelograma su jednake, pa za izračun njegovog opsega koristimo formulu P = 2 (a + b). U paralelogramu sa stranicama 16 cm i 17 cm, zbroj stranica ili opseg je P = 2 * (16 + 17) = 66 cm.

Kako pronaći opseg kruga

Krug je zatvorena ravna linija čije su sve točke na jednakoj udaljenosti od središta. Opseg kruga i njegov promjer uvijek imaju isti omjer. Ovaj omjer se izražava kao konstanta, zapisan slovom π i iznosi približno 3,14159. Opseg kruga možete saznati množenjem polumjera s 2 i π. Ispada da će duljina kruga polumjera 15 cm biti jednaka P = 2 * 3,14159 * 15 = 94,2477

Učenici stječu znanja o pronalaženju opsega već na osnovna škola. Zatim se te informacije stalno koriste tijekom cijelog tečaja matematike i geometrije.

Teorija zajednička svim figurama

Strane su obično označene latiničnim slovima. Štoviše, mogu se označiti kao segmenti. Tada će vam trebati dva slova za svaku stranu i napisana velikim slovima. Ili unesite oznaku s jednim slovom, koje će svakako biti malo.
Slova se uvijek biraju abecednim redom. Za trokut to će biti prva tri. Šestokut će ih imati 6 - od a do f. Ovo je zgodno za unos formula.

Sada o tome kako pronaći perimetar. To je zbroj duljina svih stranica figure. Broj termina ovisi o njegovoj vrsti. Perimetar je naznačen latinično pismo R. Mjerne jedinice su iste kao i za stranke.

Formule za opsege različitih likova

Za trokut: P=a+b+c. Ako je jednakokračan, tada se formula transformira: P = 2a + b. Kako pronaći opseg trokuta ako je jednakostraničan? Ovo će pomoći: P = 3a.

Za proizvoljni četverokut: P=a+b+c+d. Njegov poseban slučaj je kvadrat, formula perimetra: P = 4a. Postoji i pravokutnik, tada je potrebna sljedeća jednakost: P = 2 (a + b).

Što ako je duljina jedne ili više stranica trokuta nepoznata?

Upotrijebite teorem kosinusa ako podaci uključuju dvije strane i kut između njih, koji je označen slovom A. Zatim, prije pronalaženja opsega, morat ćete izračunati treću stranu. Za to je korisna sljedeća formula: c² = a² + b² - 2 av cos(A).

Poseban slučaj ovog teorema je onaj koji je formulirao Pitagora za pravokutni trokut. Sadrži vrijednost kosinusa pravi kut postaje jednak nuli, što znači da posljednji član jednostavno nestaje.

Postoje situacije kada možete saznati kako pronaći opseg trokuta gledajući jednu stranu. Ali u isto vrijeme poznati su i kutovi figure. Ovdje u pomoć dolazi teorem sinusa, kada su omjeri duljina stranica i sinusa odgovarajućih suprotnih kutova jednaki.

U situaciji kada opseg figure treba odrediti njezinom površinom, dobro će doći druge formule. Na primjer, ako je poznat polumjer upisane kružnice, tada će u pitanju kako pronaći opseg trokuta biti korisna sljedeća formula: S = p * r, ovdje je p poluperimetar. Mora se izvesti iz ove formule i pomnožiti s dva.

Uzorak problema

Stanje prvog. Odredi opseg trokuta čije su stranice 3, 4 i 5 cm.
Riješenje. Morate upotrijebiti gore navedenu jednakost i jednostavno zamijeniti podatke u nju u problemu vrijednosti. Izračuni su jednostavni i rezultiraju brojkom od 12 cm.
Odgovor. Opseg trokuta je 12 cm.

Uvjet dva. Jedna stranica trokuta je 10 cm.Poznato je da je druga 2 cm veća od prve, a treća 1,5 puta veća od prve. Morate izračunati njegov opseg.
Riješenje. Da biste ga prepoznali, morat ćete prebrojati dvije strane. Drugi je definiran kao zbroj 10 i 2, treći je jednak umnošku 10 i 1,5. Zatim ostaje samo izračunati zbroj triju vrijednosti: 10, 12 i 15. Rezultat će biti 37 cm.
Odgovor. Opseg je 37 cm.

Uvjet tri. Postoji pravokutnik i kvadrat. Jedna stranica pravokutnika je 4 cm, a druga je 3 cm veća. Potrebno je izračunati stranicu kvadrata ako je njegov opseg 6 cm manji od pravokutnika.
Riješenje. Druga stranica pravokutnika je 7. Znajući to, lako je izračunati njegov opseg. Izračun daje 22 cm.
Da biste saznali stranicu kvadrata, prvo morate oduzeti 6 od opsega pravokutnika, a zatim podijeliti dobiveni broj s 4. Rezultat je broj 4.
Odgovor. Stranica kvadrata je 4 cm.

Pravokutnik (ili paralelogram) ABCD, tada ima sljedeća svojstva: paralelne stranice su po paru jednake (vidi). AB = SD i AC = VD. Znajući omjer stranica na ovoj slici, možemo zaključiti pravokutnik(i paralelogram): P = AB + SD + AC + VD. Neka su neke strane jednake broju a, druge broju b, tada je P = a + a + b + b = 2*a = 2* b = 2*(a + b). Primjer 1. U ABCD stranice su jednake AB = CD = 7 cm i AC = WD = 3 cm.Odredite opseg takvog pravokutnika. Rješenje: P = 2*(a + b). P = 2*(7 +3) = 20 cm.

Kada rješavate probleme koji uključuju zbroj duljina stranica s likom koji se zove kvadrat ili romb, trebali biste koristiti malo modificiranu formulu za opseg. Kvadrat i romb su oblici koji imaju iste četiri stranice. Na temelju definicije opsega, P = AB + SD + AC + VD i pretpostavke duljina sa slovom a, tada je P = a + a + a + a = 4*a. Primjer 2. Romb sa stranicama 2 cm, odredite njegov opseg. Rješenje: 4*2 cm = 8 cm.

Ako je ovaj četverokut trapez, onda u ovom slučaju samo trebate zbrojiti duljine njegovih četiriju stranica. P = AB + SD + AC + VD. Primjer 3. Odredite ABCD ako su mu stranice jednake: AB = 1 cm, CD = 3 cm, AC = 4 cm, VD = 2 cm Rješenje: P = AB + CD + AC + VD = 1 cm + 3 cm + 4 cm + 2 cm = 10 cm Može se dogoditi da se ispostavi da je jednakokračan (njegove dvije bočne strane su jednake), tada se njegov opseg može smanjiti na formulu: P = AB + CD + AC+ VD = a + b + a + c = 2*a + b + c. Primjer 4. Odredi opseg jednakokračnog ako su mu bočne strane 4 cm, a osnovice 2 cm i 6 cm Rješenje: P = 2*a + b + c = 2 *4cm + 2 cm + 6 cm = 16 cm.

Video na temu

Koristan savjet

Nitko vas ne gnjavi da opseg četverokuta (i bilo kojeg drugog lika) pronađete kao zbroj duljina stranica, bez korištenja izvedenih formula. Daju se radi praktičnosti i pojednostavljenja izračuna. Metoda rješenja nije pogreška, važan je točan odgovor i poznavanje matematičke terminologije.

Izvori:

• kako pronaći opseg pravokutnika

U nekom trenutku u školi svi počnemo proučavati opseg pravokutnika. Pa da se prisjetimo kako ga izračunati i što je uopće opseg?

Riječ "perimetar" dolazi od dvije grčke riječi: "peri", što znači "oko", "oko" i "metron", što znači "mjeriti", "mjeriti". Oni. perimetar, u prijevodu s grčkog, znači "mjerenje okolo".