Le deuxième signe d'égalité des triangles

Si un côté et deux angles adjacents d'un triangle sont respectivement égaux au côté et à deux angles adjacents d'un autre triangle, alors ces triangles sont égaux.

MN = PR N = R M = P

Comme dans la preuve du premier critère, vous devez vous assurer que si cela suffit pour l'égalité des triangles, peuvent-ils être complètement compatibles ?

1. Puisque MN = PR, ces segments sont alignés si leurs extrémités sont alignées.

2. Puisque N = R et M = P, les rayons \ (MK \) et \ (NK \) seront superposés aux rayons \ (PT \) et \ (RT \), respectivement.

3. Si les rayons coïncident, alors leurs points d'intersection \ (K \) et \ (T \) coïncident.

4. Tous les sommets des triangles sont alignés, c'est-à-dire que Δ MNK et PRT sont complètement alignés, ce qui signifie qu'ils sont égaux.

Le troisième signe d'égalité des triangles

Si trois côtés d'un triangle sont respectivement égaux à trois côtés d'un autre triangle, alors ces triangles sont égaux.

MN = PR KN = TR MK = PT

Encore une fois, nous allons essayer de combiner les triangles Δ MNK et Δ PRT par superposition et nous assurer que des côtés égaux garantissent l'égalité des angles correspondants de ces triangles et qu'ils coïncideront complètement.

Combinons, par exemple, des segments identiques \ (MK \) et \ (PT \). Supposons que les points \ (N \) et \ (R \) ne coïncident pas.

Soit \ (O \) le milieu du segment \ (NR \). D'après ces informations, MN = PR, KN = TR. Les triangles \(MNR\) et \(KNR\) sont isocèles de base commune \(NR\).

Par conséquent, leurs médianes \ (MO \) et \ (KO \) sont des hauteurs, ce qui signifie qu'elles sont perpendiculaires à \ (NR \). Les droites \ (MO \) et \ (KO \) ne coïncident pas, car les points \ (M \), \ (K \), \ (O \) ne se trouvent pas sur une seule droite. Mais à travers le point \ (O \) de la droite \ (NR \) vous ne pouvez tracer qu'une seule droite perpendiculaire à celui-ci. Nous sommes arrivés à une contradiction.

Il est prouvé que les sommets \ (N \) et \ (R \) doivent correspondre.

Le troisième signe nous permet d'appeler un triangle une figure très forte et stable, parfois ils disent que triangle - figure rigide ... Si les longueurs des côtés ne changent pas, alors les angles ne changent pas non plus. Par exemple, un quadrilatère n'a pas une telle propriété. Par conséquent, divers supports et fortifications sont rendus triangulaires.

Mais une sorte de stabilité, de stabilité et de perfection du nombre \ (3 \) que les gens évaluent et distinguent depuis longtemps.

Les contes de fées en parlent.

On y rencontre « Trois ours », « Trois vents », « Trois petits cochons », « Trois camarades », « Trois frères », « Trois hommes chanceux », « Trois artisans », « Trois tsarévitchs », « Trois amis », "Trois héros" et d'autres.

On donne "trois tentatives", "trois conseils", "trois instructions", "trois rencontres", "trois vœux" sont exaucés, il faut endurer "trois jours", "trois nuits", "trois ans", allez à travers « trois états », « trois royaumes de la pègre », résister aux « trois épreuves », naviguer à travers les « trois mers ».

Deux triangles sont dits égaux s'ils peuvent se chevaucher. La figure 1 montre les triangles égaux ABC et A 1 B 1 C 1. Chacun de ces triangles peut être superposé à l'autre afin qu'ils soient complètement alignés, c'est-à-dire que leurs sommets et leurs côtés seront appariés par paires. Il est clair que les angles de ces triangles seront appariés par paires.

Ainsi, si deux triangles sont égaux, alors les éléments (c'est-à-dire les côtés et les angles) d'un triangle sont respectivement égaux aux éléments de l'autre triangle. Noter que en triangles égaux contre des côtés respectivement égaux(c'est-à-dire chevauchement) ont des angles égaux, et retour : des côtés égaux se trouvent en face d'angles égaux correspondants.

Ainsi, par exemple, dans les triangles égaux ABC et A 1 B 1 C 1, représentés sur la figure 1, opposés aux côtés respectivement égaux AB et A 1 B 1 se trouvent des angles égaux C et C 1. L'égalité des triangles ABC et А 1 В 1 С 1 sera notée comme suit : Δ ABC = Δ А 1 В 1 С 1. Il s'avère que l'égalité de deux triangles peut être établie en comparant certains de leurs éléments.

Théorème 1. Le premier signe d'égalité des triangles. Si deux côtés et l'angle entre eux d'un triangle sont respectivement égaux aux deux côtés et à l'angle entre eux d'un autre triangle, alors ces triangles sont égaux (Fig. 2).

Preuve. Considérons les triangles ABC et A 1 B 1 C 1, pour lesquels AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1 A = ∠ A 1 (voir Fig. 2). Montrons que Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1.

Puisque ∠ A = ∠ A 1, alors le triangle ABC peut être superposé au triangle A 1 B 1 C 1 de sorte que le sommet A soit aligné avec le sommet A1, et que les côtés AB et AC soient superposés, respectivement, sur les rayons A 1 B 1 et A 1 C 1 . Puisque AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, alors le côté AB sera aligné avec le côté A 1 B 1 et le côté AC - avec le côté A 1 C 1 ; en particulier, les points B et B 1, C et C 1 seront combinés. Par conséquent, les côtés BC et B 1 C 1 seront combinés. Ainsi, les triangles ABC et A 1 B 1 C 1 sont tout à fait compatibles, ce qui signifie qu'ils sont égaux.

Le théorème 2 se démontre de la même manière par la méthode de superposition.

Théorème 2. Le deuxième signe d'égalité des triangles. Si un côté et deux angles adjacents d'un triangle sont respectivement égaux au côté et à deux angles adjacents d'un autre triangle, alors ces triangles sont égaux (Fig. 34).

Commenter. Le théorème 2 est utilisé pour établir le théorème 3.

Théorème 3. La somme de deux angles intérieurs quelconques d'un triangle est inférieure à 180°.

Le théorème 4 découle du dernier théorème.

Théorème 4. Coin extérieur triangle plus grand que tout coin intérieur pas adjacent à celui-ci.

Théorème 5. Le troisième signe d'égalité des triangles. Si trois côtés d'un triangle sont respectivement égaux à trois côtés d'un autre triangle, alors ces triangles sont égaux ().

Exemple 1. Dans les triangles ABC et DEF (fig. 4)

∠ A = E, AB = 20 cm, AC = 18 cm, DE = 18 cm, EF = 20 cm Comparez les triangles ABC et DEF. Quel est l'angle dans le triangle DEF égal à l'angle V?

Solution. Ces triangles sont égaux dans le premier attribut. L'angle F du triangle DEF est égal à l'angle B du triangle ABC, puisque ces angles sont opposés aux côtés égaux correspondants DE et AC.

Exemple 2. Les segments AB et CD (Fig. 5) se coupent au point O, qui est le milieu de chacun d'eux. Qu'est-ce que la jambe BD si la jambe AC ​​mesure 6 m ?

Solution. Les triangles AOC et BOD sont égaux (selon le premier critère) : ∠ AOC = ∠ DBO (vertical), AO = OB, CO = OD (par condition).
L'égalité de ces triangles implique l'égalité de leurs côtés, c'est-à-dire AC = BD. Mais puisque selon la condition AC = 6 m, alors BD = 6 m.

Il y a trois signes d'égalité pour deux triangles. Dans cet article, nous les considérerons sous forme de théorèmes, ainsi que leurs preuves. Pour ce faire, rappelez-vous que les chiffres seront égaux dans le cas où ils sont complètement superposés les uns aux autres.

Le premier signe

Théorème 1

Deux triangles seront égaux si les deux côtés et l'angle entre eux de l'un des triangles sont égaux à deux côtés et l'angle compris entre eux dans l'autre.

Preuve.

Considérons deux triangles $ ABC $ et $ A "B" C "$, dans lesquels $ AB = A" B "$, $ AC = A" C "$ et $ ∠A = ∠A" $ (Fig. 1).

Faisons correspondre les hauteurs $ A $ et $ A "$ de ces triangles. Puisque les angles à ces sommets sont égaux, les côtés $ AB $ et $ AC $ seront superposés, respectivement, sur les rayons $ A" B "$ et $ A" C " $. Puisque ces côtés sont égaux deux à deux, les côtés $ AB $ et $ AC $, respectivement, coïncident avec les côtés $ A "B" $ et $ A "C" $, et donc le les sommets $ B $ et $ B "$ , $ C $ et $ C "$ correspondront.

Par conséquent, le côté BC coïncidera complètement avec le côté $ B "C" $. Cela signifie que les triangles se chevaucheront complètement, ce qui signifie leur égalité.

Le théorème est démontré.

Deuxième signe

Théorème 2

Deux triangles seront égaux si deux angles et leur côté commun de l'un des triangles sont égaux à deux angles et leur côté commun dans l'autre.

Preuve.

Considérons deux triangles $ ABC $ et $ A "B" C "$, dans lesquels $ AC = A" C "$ et $ ∠A = ∠A" $, $ ∠C = ∠C "$ (Fig. 2).

Combinons les côtés $ AC $ et $ A "C" $ de ces triangles, de sorte que les hauteurs de $ B $ et $ B "$ se trouvent sur un côté de celui-ci. Puisque les angles de ces côtés sont égaux par paires à l'un à l'autre, les côtés $ AB $ et $ BC $ seront superposés, respectivement, sur les rayons $ A "B" $ et $ B "C" $. Par conséquent, le point $ B $ et le point $ B "$ seront les points d'intersection des rayons alignés (c'est-à-dire, par exemple, les rayons $ AB $ et $ BC $). Étant donné que les rayons ne peuvent avoir qu'un seul point d'intersection, le point $ B $ coïncidera avec le point $ B "$. Cela signifie que les triangles se chevaucheront complètement, ce qui signifie qu'ils sont égaux.

Le théorème est démontré.

Troisième signe

Théorème 3

Deux triangles sont égaux si trois côtés de l'un des triangles sont égaux à trois côtés de l'autre.

Preuve.

Considérons deux triangles $ ABC $ et $ A "B" C "$, dans lesquels $ AC = A" C "$, $ AB = A" B "$ et $ BC = B" C "$ (Fig. 3).

Preuve.

Combinons les côtés $ AC $ et $ A "C" $ de ces triangles, de sorte que les hauteurs de $ B $ et $ B "$ se trouvent sur leurs côtés opposés. Ensuite, nous considérerons trois cas différents du arrangement résultant de ces sommets dans les images.

Premier cas :

Puisque $ AB = A "B" $, l'égalité $ ∠ABB "= ∠AB" B $ sera vraie. De même, $ ∠BB "C = ∠B" BC $. Alors, en somme, on obtient $ ∠B = ∠B "$

Deuxième cas :

Puisque $ AB = A "B" $, l'égalité $ ∠ABB "= ∠AB" B $ sera vraie. De même, $ ∠BB "C = ∠B" BC $. Alors, comme différence, on obtient $ ∠B = ∠B "$

Par conséquent, d'après le théorème 1, ces triangles sont égaux.

Troisième cas :

Puisque $ BC = B "C" $, alors l'égalité $ ∠ABC = ∠AB "C $

Par conséquent, d'après le théorème 1, ces triangles sont égaux.

Le théorème est démontré.

Exemples de tâches

Exemple 1

Démontrer l'égalité des triangles dans l'image ci-dessous

Le troisième critère pour l'égalité des triangles sur trois côtés est formulé comme un théorème.

Théorème : Si trois côtés d'un triangle sont respectivement égaux à trois côtés d'un autre triangle, alors ces triangles sont égaux.

Preuve. considérons ΔABC et ΔA 1 B 1 C 1 dans lesquelles AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, BC = B 1 C 1. Montrons que ΔABC = ΔA 1 B 1 C 1

Soit ABC et A 1 B 1 C 1 des triangles avec AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, BC = B 1 C 1. Nous imposons ∆ABC sur ∆A 1 B 1 C 1 de sorte que le sommet A coïncide avec A 1, et les sommets B et B 1, et les sommets C et C 1 sont de part et d'autre de la droite A 1 B 1. Trois cas sont possibles : 1) le rayon С 1 С passe à l'intérieur de l'angle А 1 С 1 В 1 (fig. A)) ; 2) le rayon С 1 С coïncide avec l'un des côtés de cet angle (fig. B)) ; le rayon С 1 С passe à l'extérieur de l'angle А 1 С 1 В 1 (Fig. c)). Considérons le premier cas. Puisque, par la condition du théorème, les côtés AC et A 1 C 1, BC et B 1 C 1 sont égaux, les triangles A 1 C 1 C et B 1 C 1 C sont isocèles. Par le théorème de la propriété des angles triangle isocèle Ll = l2, l3 = l4, donc lA 1 CB 1 = lA 1 C 1 B 1. Donc, AC = A 1 C 1, BC = B 1 C 1, lC = lC 1. Par conséquent, les triangles ABC et A 1 B 1 C 1 sont égaux par le premier signe d'égalité des triangles.

Écrire sur le tableau:

Étant donné: ABC, A 1 B 1 C 1, AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, ВС = В 1 С 1

Prouver: ABC = A 1 B 1 C 1

Preuve. Nous imposons ∆ABC sur ∆A 1 B 1 C 1 de sorte que A → A 1, et B → B 1, et C et C 1 soient de part et d'autre de la droite A 1 B 1. Considérons un cas. le rayon С 1 С passe à l'intérieur de РА 1 С 1 В 1 (Fig. a)).

АС = A 1 C 1, ВС = В 1 С 1 ═> ΔА 1 С 1 С et ΔВ 1 С 1 С - est égal. L> ll = l2, l3 = l4 (selon des angles sv-wu égaux à Δ), l> lA 1 CB 1 = lA 1 C 1 B 1 ═> AC = A 1 C 1, BC = B 1 C 1, lC = РС 1 ═>

ΔABC = ΔА 1 В 1 С 1 selon le premier signe d'égalité des triangles.

2.Romb. Définition, propriétés, signes.

Le losange est une sorte de quadrilatère.

Définition: Un losange est appelé un parallélogramme dont tous les côtés sont égaux.

La figure montre un parallélogramme ABCD avec AB = BC = CD = DA. Par définition, ce parallélogramme est un losange. AC et BD sont les diagonales du losange. Puisqu'un losange est un parallélogramme, toutes les propriétés et attributs d'un parallélogramme sont valables pour lui.

Propriétés:

1) Dans un losange, les angles opposés sont égaux (ÐA = ÐC, ÐB = ÐD)

2) Les diagonales du losange sont réduites de moitié par le point d'intersection. (BО = ОD, AО = ОC)

3) Les diagonales du losange sont perpendiculaires entre elles et ses angles sont réduits de moitié. (AC DB, ABO = ÐOBS, ÐADO = ÐODDC, ÐBCO = ÐDCO, ÐDAO = ÐBAO) ( propriété spéciale)

4) La somme des angles adjacents à un côté est 180 0 (РA + РВ = РС + РD = РВ + РC = РА + РD = 180 0)

panneaux rhombe:

1) Si les diagonales d'un parallélogramme sont perpendiculaires entre elles, alors ce parallélogramme est un losange

2) Si la diagonale d'un parallélogramme divise ses angles en deux, alors ce parallélogramme est un losange.

3) si tous les côtés d'un parallélogramme sont égaux, alors c'est un losange.

Écrire sur le tableau.

Propriétés:

1) A = C, РB = РD 2) BО = D, AО = ОC

3) AC DB, ABO = ÐOBS, ÐADO = ÐODC, ÐBCO = ÐDCO, ÐDAO = ÐBAO

4) A + РВ = РС + РД = РВ + РС = РА + РД = 180 0

Les déclarations inversées sont panneaux rhombe:

1 ) Si ABСD - parallèle-m, et DB, alors - ABСD - losange.

2) Si ABСD est parallèle-m, et AC et DB sont des bissectrices, alors - ABСD est un losange.

3) Si ABСD est parallèle, et АС = DB et BC = AD, alors - ABСD est un losange.

Tâche.