Définitions :

Extrême appelé le maximum ou valeur minimum fonctions sur un ensemble donné.

Point extrême est le point auquel la valeur maximale ou minimale de la fonction est atteinte.

Point maximum est le point auquel il est atteint valeur maximum les fonctions.

Point minimum est le point auquel la valeur minimale de la fonction est atteinte.

Explication.

Sur la figure, au voisinage du point x = 3, la fonction atteint sa valeur maximale (c'est-à-dire qu'au voisinage de ce point particulier il n'y a pas de point plus haut). Au voisinage de x = 8, il a là encore une valeur maximale (précisons encore : c'est dans ce voisinage qu'il n'y a pas de point plus haut). À ces moments-là, l’augmentation cède la place à une diminution. Ce sont les points maximum :

x maximum = 3, x maximum = 8.

Au voisinage du point x = 5, la valeur minimale de la fonction est atteinte (c'est-à-dire qu'au voisinage de x = 5 il n'y a pas de point en dessous). A ce stade, la diminution cède la place à une augmentation. C'est le point minimum :

Les points maximum et minimum sont points extrêmes de la fonction, et les valeurs de la fonction en ces points sont ses extrêmes.

Points critiques et stationnaires de la fonction :

Condition nécessaire pour un extremum :

Condition suffisante pour un extremum :

Sur un segment la fonction oui = F(X) peut atteindre sa valeur minimale ou maximale soit aux points critiques, soit aux extrémités du segment.

Algorithme pour étudier une fonction continueoui = F(X) pour la monotonie et les extrema :

Considérez la figure suivante.

Il montre le graphique de la fonction y = x^3 – 3*x^2. Considérons un intervalle contenant le point x = 0, par exemple de -1 à 1. Un tel intervalle est aussi appelé voisinage du point x = 0. Comme on peut le voir sur le graphique, dans ce voisinage la fonction y = x ^3 – 3*x^2 prend la plus grande valeur précisément au point x = 0.

Fonctions maximales et minimales

Dans ce cas, le point x = 0 est appelé point maximum de la fonction. Par analogie avec cela, le point x = 2 est appelé le point minimum de la fonction y = x^3 – 3*x^2. Parce qu'il existe un quartier de ce point dans lequel la valeur en ce point sera minime parmi toutes les autres valeurs de ce quartier.

Point maximum la fonction f(x) est appelée le point x0, à condition qu'il existe un voisinage du point x0 tel que pour tout x non égal à x0 à partir de ce voisinage, l'inégalité f(x) est vraie< f(x0).

Point le minimum la fonction f(x) est appelée le point x0, à condition qu'il existe un voisinage du point x0 tel que pour tout x non égal à x0 à partir de ce voisinage, l'inégalité f(x) > f(x0) est vraie.

Aux points de maximum et de minimum des fonctions, la valeur de la dérivée de la fonction est nulle. Mais ce n'est pas une condition suffisante pour l'existence d'une fonction en un point maximum ou minimum.

Par exemple, la fonction y = x^3 au point x = 0 a une dérivée égale à zéro. Mais le point x = 0 n'est pas le point minimum ou maximum de la fonction. Comme vous le savez, la fonction y = x^3 augmente sur tout l'axe numérique.

Ainsi, les points minimum et maximum seront toujours parmi les racines de l’équation f’(x) = 0. Mais toutes les racines de cette équation ne seront pas des points maximum ou minimum.

Points stationnaires et critiques

Les points auxquels la valeur de la dérivée de la fonction est nulle sont appelés points stationnaires. Il peut également y avoir des points de maximum ou de minimum aux points auxquels la dérivée de la fonction n'existe pas du tout. Par exemple, y = |x| au point x = 0 a un minimum, mais la dérivée n'existe pas à ce stade. Ce point sera le point critique de la fonction.

Les points critiques d'une fonction sont les points auxquels la dérivée est égale à zéro, ou la dérivée n'existe pas en ce point, c'est-à-dire que la fonction en ce point est non différentiable. Afin de trouver le maximum ou le minimum d’une fonction, une condition suffisante doit être remplie.

Soit f(x) une fonction différentiable sur l'intervalle (a;b). Le point x0 appartient à cet intervalle et f’(x0) = 0. Alors :

1. si, en passant par un point stationnaire x0, la fonction f(x) et sa dérivée changent de signe, de « plus » à « moins », alors le point x0 est le point maximum de la fonction.

2. si, en passant par un point stationnaire x0, la fonction f(x) et sa dérivée changent de signe, de « moins » à « plus », alors le point x0 est le point minimum de la fonction.

Points critiques– ce sont les points auxquels la dérivée d’une fonction est égale à zéro ou n’existe pas. Si la dérivée est égale à 0 alors la fonction prend à ce stade minimum ou maximum local. Sur le graphique, à ces points, la fonction a une asymptote horizontale, c'est-à-dire que la tangente est parallèle à l'axe Ox.

De tels points sont appelés Stationnaire. Si vous voyez une « bosse » ou un « trou » sur le graphique d'une fonction continue, rappelez-vous que le maximum ou le minimum est atteint à un point critique. Prenons la tâche suivante comme exemple.

Exemple 1. Trouvez les points critiques de la fonction y=2x^3-3x^2+5.
Solution. L'algorithme de recherche des points critiques est le suivant :

La fonction présente donc deux points critiques.

Ensuite, si vous devez étudier une fonction, nous déterminons alors le signe de la dérivée à gauche et à droite du point critique. Si la dérivée change de signe de « - » à « + » lors du passage par le point critique, alors la fonction prend minimum local. Si de « + » à « - » devrait maximum local.

Deuxième type de points critiques ce sont les zéros du dénominateur des fonctions fractionnaires et irrationnelles

Fonctions logarithmiques et trigonométriques qui ne sont pas définies à ces points


Troisième type de points critiques avoir des fonctions et des modules continus par morceaux.
Par exemple, toute fonction de module a un minimum ou un maximum au point d'arrêt.

Par exemple module y = | x-5 | au point x = 5 a un minimum (point critique).
La dérivée n'y existe pas, mais à droite et à gauche prend respectivement la valeur 1 et -1.

Essayez de déterminer les points critiques des fonctions

1)
2)
3)
4)
5)

Si la réponse est oui, vous obtenez la valeur
1) x=4 ;
2) x=-1;x=1;
3)x=9;
4) x=Pi*k;
5)x=1.
alors tu sais déjà comment trouver les points critiques et être capable de faire face à un ou plusieurs tests simples.

Domaine d'une fonction, calculer sa dérivée, trouver le domaine d'une dérivée d'une fonction, trouver points en tournant la dérivée à zéro, prouver que les points trouvés appartiennent au domaine de définition de la fonction originale.

Exemple 1 Identifier les éléments critiques points fonctions y = (x - 3)²·(x-2).

Solution Trouver le domaine de la fonction dans dans ce cas aucune restriction : x ∈ (-∞ ; +∞) ; Calculer la dérivée de y’. D'après les règles de différenciation du produit de deux, on a : y' = ((x - 3)²)'·(x - 2) + (x - 3)²·(x - 2)' = 2·( x - 3)·(x - 2) + (x - 3)²·1. Après il s'avère équation quadratique: y’ = 3 x² – 16 x + 21.

Trouver le domaine de définition de la dérivée de la fonction : x ∈ (-∞ ; +∞). Résoudre l'équation 3 x² – 16 x + 21 = 0 afin de trouver à quel moment elle devient nulle : 3 x² – 16 x +. 21 = 0.

D = 256 – 252 = 4x1 = (16 + 2)/6 = 3 ; x2 = (16 - 2)/6 = 7/3 Ainsi, la dérivée tend vers zéro aux valeurs de x égales à 3 et 7/3.

Déterminer si ceux trouvés appartiennent points domaine de définition de la fonction originale. Puisque x (-∞; +∞), alors ces deux points sont critiques.

Exemple 2 : Identifier les éléments critiques points fonctions y = x² – 2/x.

SolutionDomaine de la fonction : x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞), puisque x est au dénominateur Calculez la dérivée y’ = 2 x + 2/x².

Le domaine de définition de la dérivée de la fonction est le même que celui de l'original : x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞). Résolvez l'équation 2 x + 2/x² = 0 : 2 x =. -2/x² → x = -1.

Ainsi, la dérivée tend vers zéro à x = -1. La condition nécessaire mais non suffisante de criticité est remplie. Puisque x=-1 tombe dans l’intervalle (-∞; 0) ∪ (0; +∞), alors ce point est critique.

Sources:

• Volume de ventes critique, pcsThreshold

De nombreuses femmes souffrent du syndrome prémenstruel, qui se manifeste non seulement par des sensations douloureuses, mais également par une augmentation de l'appétit. Par conséquent jours critiques peut ralentir considérablement le processus de perte de poids.

Raisons de l'augmentation de l'appétit pendant les périodes menstruelles

La raison de l'augmentation de l'appétit pendant les périodes menstruelles est une modification des niveaux hormonaux généraux dans le corps féminin. Quelques jours avant le début des règles, le niveau de l'hormone progestérone augmente, le corps s'adapte à cette possibilité et essaie de constituer des réserves d'énergie supplémentaires sous forme de dépôts graisseux, même si la femme est assise. Ainsi, les changements de poids les jours critiques sont normaux.

Comment manger pendant vos règles

Essayez de ne pas manger de sucreries, de confiseries et d'autres aliments riches en calories contenant des aliments « rapides » de nos jours. Leur excès va immédiatement se déposer dans les graisses. Durant cette période, beaucoup de femmes ont vraiment envie de manger du chocolat ; dans ce cas, vous pouvez acheter du chocolat noir et vous offrir quelques tranches, mais pas plus. Pendant vos règles, vous ne devez pas consommer de boissons alcoolisées, de marinades, de cornichons, d'aliments fumés, de graines et de noix. En général, les cornichons et les aliments fumés doivent être limités dans l'alimentation 6 à 8 jours avant le début des règles, car ces produits augmentent les réserves d'eau dans le corps et cette période est caractérisée par une accumulation accrue de liquide. Pour réduire la quantité de sel dans votre alimentation, ajoutez-en des quantités minimes aux aliments préparés.

Il est recommandé de consommer des produits laitiers faibles en gras, des aliments végétaux et des céréales. Haricots, pommes de terre bouillies, riz - les produits contenant des glucides « lents » seront utiles. Les fruits de mer, le foie, le poisson, le bœuf, la volaille, les œufs, les légumineuses et les fruits secs aideront à reconstituer les pertes en fer. Le son de blé sera utile. Une réaction naturelle pendant la menstruation est le gonflement. Des herbes diurétiques légères aideront à corriger la maladie : basilic, aneth, persil, céleri. Ils peuvent être utilisés comme assaisonnement. Dans la seconde moitié du cycle, il est recommandé de consommer des aliments protéinés (viandes et poissons maigres, produits laitiers) et la quantité de glucides dans l'alimentation doit être réduite autant que possible.

Concept économique de volume critique ventes correspond à la position de l'entreprise sur le marché, dans laquelle les revenus de la vente de biens sont minimes. Cette situation est appelée le seuil de rentabilité, lorsque la demande de produits diminue et que les bénéfices couvrent à peine les coûts. Pour déterminer le volume critique ventes, utilisez plusieurs méthodes.

Instructions

Le cycle de travail ne se limite pas à ses activités - production ou services. Il s'agit d'un travail complexe d'une certaine structure, comprenant le travail du personnel principal, du personnel de direction, du personnel de direction, etc., ainsi que des économistes, dont la tâche est l'analyse financière entreprises.

Le but de cette analyse est de calculer certaines quantités qui, à un degré ou à un autre, affectent la taille du bénéfice final. Ce différentes sortes volumes de production et de ventes, pleins et moyens, indicateurs de demande, etc. La tâche principale est d'identifier le volume de production auquel une relation stable entre les coûts et les bénéfices est établie.

Volume minimal ventes, dans lequel les revenus couvrent entièrement les coûts, mais n'augmentent pas équité l'entreprise est appelée volume critique ventes. Il existe trois méthodes de calcul de la méthode de cet indicateur : la méthode des équations, du revenu marginal et la méthode graphique.

Pour déterminer le volume critique ventes selon la première méthode, créer une équation de la forme : Вп – Zper – Зpos = Пп = 0, où : Вп – revenu de ventes et ;Zper et Zpos – coûts variables et constants – profit ; ventes Et.

Selon une autre méthode, le premier terme, les revenus provenant ventes, présentez-le comme le produit du revenu marginal par unité de bien et du volume ventes, il en va de même pour les coûts variables. Coûts fixes s’appliquent à l’ensemble du lot de marchandises, laissez donc cette composante commune : MD N – Zper1 N – Zpos = 0.

Exprimez la valeur de N à partir de cette équation et vous obtenez le volume critique ventes:N = Zpos/(MD – Zper1), où Zper1 représente les coûts variables par unité de marchandise.

La méthode graphique implique la construction. Postuler à avion coordonné deux lignes : la fonction de revenu de ventes moins la fonction de coût et la fonction de profit. Sur l'axe des abscisses, tracez le volume de production, et sur l'axe des ordonnées, tracez le revenu de la quantité de biens correspondante, exprimé en unités monétaires. Le point d'intersection de ces lignes correspond au volume critique ventes, position d'équilibre.

Sources:

• comment définir le travail critique

La pensée critique est un ensemble de jugements sur la base desquels certaines conclusions sont formées et une évaluation des objets de critique est effectuée. Cela est particulièrement caractéristique des chercheurs et des scientifiques de toutes les branches de la science. La pensée critique occupe un niveau supérieur à la pensée ordinaire.

La valeur de l’expérience dans le développement de l’esprit critique

Il est difficile d’analyser et de tirer des conclusions sur quelque chose que l’on ne comprend pas bien. Par conséquent, pour apprendre à penser de manière critique, il est nécessaire d’étudier les objets dans toutes sortes de connexions et de relations avec d’autres phénomènes. Et grande importance dans ce cas, a une connaissance des informations sur de tels objets, la capacité de construire des chaînes logiques de jugements et de tirer des conclusions raisonnables.

Par exemple, juger de la valeur oeuvre d'art n'est possible qu'en connaissant bien d'autres fruits de l'activité littéraire. En même temps, il est bon d’être un expert de l’histoire du développement humain, de la formation de la littérature et de la critique littéraire. Isolée du contexte historique, une œuvre peut perdre le sens voulu. Pour que l'évaluation d'une œuvre d'art soit suffisamment complète et justifiée, il est également nécessaire de faire appel à vos connaissances littéraires, qui incluent les règles de construction texte littéraire au sein des genres individuels, un système de diverses techniques littéraires, une classification et une analyse des styles et tendances existants de la littérature, etc. Dans le même temps, il est également important d'étudier la logique interne de l'intrigue, la séquence d'actions, la disposition et l'interaction des personnages dans une œuvre d'art.

Caractéristiques de la pensée critique

Les autres caractéristiques de la pensée critique sont les suivantes :
- la connaissance de l'objet étudié n'est qu'un point de départ pour une activité cérébrale ultérieure associée à la construction de chaînes logiques ;
- un raisonnement cohérent et de bon sens conduit à l'identification d'informations vraies et erronées sur l'objet étudié ;
- la pensée critique est toujours associée à l'évaluation des informations disponibles sur cet objet et les conclusions correspondantes, l'évaluation, à son tour, est liée aux compétences existantes.

Contrairement à la pensée ordinaire, la pensée critique n’est pas soumise à une foi aveugle. La pensée critique permet, à l'aide de tout un système de jugements sur l'objet de la critique, d'en comprendre l'essence, d'identifier les vraies connaissances à son sujet et de réfuter les fausses. Il repose sur la logique, la profondeur et l'exhaustivité de l'étude, la véracité, l'adéquation et la cohérence des jugements. Dans ce cas, les affirmations évidentes et éprouvées depuis longtemps sont acceptées comme postulats et ne nécessitent pas de preuves et d'évaluations répétées.

Dans les discussions précédentes, nous n’avons pas du tout utilisé les méthodes techniques du calcul différentiel.

Il est difficile de ne pas admettre que nos méthodes élémentaires sont plus simples et plus directes que les méthodes d'analyse. En général, lorsqu'on aborde un problème scientifique particulier, il est préférable de partir de son caractéristiques individuelles que de compter uniquement sur méthodes générales, même si, d'un autre côté, principe général, qui clarifie le sens des procédures spéciales appliquées, devrait bien entendu toujours jouer un rôle de premier plan. C’est précisément l’importance des méthodes de calcul différentiel lorsqu’on considère des problèmes extrêmes. Observé dans science moderne le désir de généralité ne représente qu'un aspect du problème, puisque ce qui est véritablement vital en mathématiques est, sans aucun doute, déterminé par les caractéristiques individuelles des problèmes considérés et des méthodes utilisées.

Dans son développement historique Le calcul différentiel a été fortement influencé par les problèmes individuels associés à la recherche des valeurs de quantités les plus grandes et les plus petites. Le lien entre les problèmes extrêmes et le calcul différentiel peut être compris comme suit. Au chapitre VIII, nous nous lancerons dans une étude détaillée de la dérivée f"(x) de la fonction f(x) et de sa signification géométrique. Nous y verrons que, brièvement, la dérivée f"(x) est la pente de la tangente à la courbe y = f(x) au point (x, y). Il est géométriquement évident qu'aux points maximum ou minimum d'une courbe lisse y = f(x) la tangente à la courbe doit certainement être horizontale, c'est-à-dire que la pente doit être nulle. Ainsi, on obtient la condition pour les points extremum f"(x) = 0.

Pour comprendre clairement ce que signifie la disparition de la dérivée f"(x), considérons la courbe illustrée à la Fig. 191. Nous voyons ici cinq points A, B, C, D, ?, auxquels la tangente à la courbe est horizontale. ; notons les valeurs correspondantes de f(x) en ces points par a, b, c, d, e. Valeur la plus élevée f(x) (dans la zone indiquée sur le dessin) est atteint au point D, le plus petit au point A. Au point B, il y a un maximum - dans le sens où en tous points un quartier aux points B, la valeur de f(x) est inférieure à b, bien qu'aux points proches de D, la valeur de f(x) soit toujours supérieure à b. Pour cette raison, il est d’usage de dire qu’au point B il y a maximum relatif de fonction f(x), alors qu'au point D - maximum absolu. De la même manière, au point C il y a minimum relatif, et au point A - minimum absolu. Enfin, quant au point E, il n'y a ni maximum ni minimum, bien que l'égalité y soit toujours réalisée f"(x) = Q, Il s'ensuit que la disparition de la dérivée f"(x) est nécessaire, mais pas du tout suffisant condition d'apparition d'un extremum d'une fonction lisse f(x) ; autrement dit, en tout point où il y a un extremum (absolu ou relatif), l'égalité a certainement lieu f"(x) = 0, mais pas à tous les points où f"(x) = 0, doit être un extremum. Les points auxquels la dérivée f"(x) disparaît, qu'il y ait ou non un extremum, sont appelés Stationnaire. Une analyse plus approfondie conduit à des conditions plus ou moins complexes concernant les dérivées supérieures de la fonction f(x) et caractérisant complètement les maxima, minima et autres points stationnaires.