Get A Video Course شامل تمام مباحثی است که برای موفقیت لازم دارید. قبولی در امتحان در ریاضیات با 60-65 امتیاز. به طور کامل تمام وظایف 1-13 از امتحان دولت یکپارچه در ریاضیات. همچنین برای قبولی در آزمون پایه در ریاضیات مناسب است. اگر می خواهید در امتحان 90-100 امتیاز قبول شوید ، باید قسمت 1 را در 30 دقیقه و بدون اشتباه حل کنید!

دوره آمادگی برای امتحان کلاس های 10-11 و همچنین معلمان. هر آنچه برای حل قسمت 1 استفاده از ریاضیات (12 مسئله اول) و مسئله 13 (مثلثات) لازم دارید. و این بیش از 70 امتیاز در آزمون دولتی واحد است و نه یک دانشجوی صد امتیازی و نه یک دانشجوی علوم انسانی نمی توانند بدون آنها کار کنند.

تمام تئوری مورد نیاز است. راه های سریع راه حل ها ، تله ها و اسرار آزمون. کلیه وظایف مربوط به قسمت 1 از بانک وظایف FIPI مورد تجزیه و تحلیل قرار گرفته است. این دوره کاملاً با شرایط آزمون Unified State-2018 مطابقت دارد.

این دوره شامل 5 موضوع بزرگ ، هر کدام 2.5 ساعت است. هر مبحث از ابتدا ، ساده و روشن ارائه شده است.

صدها تکلیف امتحان. مشکلات کلمه و نظریه احتمال. ساده و آسان به خاطر سپردن الگوریتم ها برای حل مسائل. هندسه. نظریه ، مطالب مرجع ، تجزیه و تحلیل انواع واگذاری های USE. استریومتری ترفندهای روی حیله و تزویر راه حل ها ، ورق های تقلب مفید ، توسعه تخیل فضایی... مثلثات از ابتدا تا مسئله 13. درک به جای گرفتگی. توضیح بصری مفاهیم پیچیده. جبر ریشه ها ، درجه ها و لگاریتم ها ، عملکرد و مشتق. مبانی راه حل کارهای دشوار 2 قسمت از امتحان.

چهار گوشه.

§43 متوازی الاضلاع.

1. تعریف موازی الاضلاع.

اگر یک جفت خط موازی را با یک جفت خط موازی دیگر تلاقی دهیم ، یک چهار ضلعی به دست می آوریم که در آن اضلاع مخالف به صورت جفتی موازی هستند.

در چهار گوش ABDC و EFNM (شکل 224) BD || AC و AB || سی دی
ЕF || МN و ЕМ || FN

چهار ضلعی ای که در آن اضلاع مخالف به صورت جفتی موازی هستند موازی الاضلاع نامیده می شود.

2. خصوصیات متوازی الاضلاع.

قضیه. مورب موازی آن را به دو مثلث مساوی تقسیم می کند.

بگذارید یک نمودار متوازی ABDC وجود داشته باشد (شکل 225) ، که در آن AB || CD و AC || BD

لازم است ثابت شود که مورب آن را به دو مثلث مساوی تقسیم می کند.

بیایید CB مورب را در نمودار عمودی ABDC رسم کنیم. بگذارید این را ثابت کنیم /\ CAB \u003d /\ CDB

ضلع CB برای این مثلث ها معمول است. / ABC \u003d / ВСD ، به عنوان زاویه های عبور متقاطع داخلی با AB و CD موازی و CB ثابت. / ASV \u003d / CBD ، همچنین به عنوان زاویه های داخلی متقاطع با AC و BD موازی و CB مستقل (38 §).

از اینجا /\ CAB \u003d /\ CDB

به همین ترتیب ، می توان اثبات کرد که AD مورب ، متوازی الاضلاع را به دو مثلث برابر ACD و ABD تقسیم می کند.

عواقب. 1 . زوایای مخالف متوازی الاضلاع با یکدیگر برابر هستند.

/ A \u003d / D ، این از برابری مثلث CAB و CDB ناشی می شود.
به همین ترتیب / C \u003d / که در.

2. اضلاع مخالف متوازی الاضلاع با یکدیگر برابر هستند.

AB \u003d CD و AC \u003d BD ، زیرا این اضلاع مثلث مساوی هستند و در مقابل زاویه های برابر قرار دارند.

قضیه 2 مورب های موازی در تقاطع خود نصف می شوند.

بگذارید BC و AD مورب های متوازی الاگرام ABDC باشند (شکل 226). بگذارید ثابت کنیم که AO \u003d OD و CO \u003d OB.

برای این کار ، مثلاً هر جفت مثلث مخالف را با هم مقایسه کنید /\ AOB و /\ COD

در این مثلث ها AB \u003d CD ، به عنوان اضلاع مخالف یک موازی.
/ 1 = / 2 ، به عنوان زاویه های داخلی در یک صلیب قرار گرفته با AB و CD موازی و AD مستقل.
/ 3 = / 4 به همین دلیل ، از آنجا که AB || CD و CB ثبات آنهاست (38 پوند).

از این رو نتیجه می شود که /\ AОВ \u003d /\ COD و در مثلث مساوی مقابل زاویه های برابر اضلاع برابر وجود دارد. بنابراین ، AO \u003d OD و CO \u003d OB.

قضیه 3. مجموع زاویه های مجاور یک طرف موازی برابر است 2 د .

خودتان را ثابت کنید.

3. نشانه های متوازی الاضلاع.

قضیه اگر اضلاع مخالف چهار ضلعی به صورت جفتی برابر باشند ، این چهار ضلعی یک متوازی الاضلاع است.

ABDC چهار ضلعی را وارد کنید (شکل 227) AB \u003d CD و AC \u003d BD. بگذارید ثابت کنیم که تحت این شرایط AB || CD و AC || ВD ، یعنی ABDC چهار ضلعی یک متوازی الاضلاع است.
بیایید هر دو راس مخالف این را با یک بخش متصل کنیم - یک چهار ضلعی ، به عنوان مثال ، C و B. چهار ضلعی ABDC به دو مثلث مساوی تقسیم شده است: /\ CAB و /\ CDB در واقع ، آنها یک طرف مشترک CB دارند ، AB \u003d CD و AC \u003d BD به شرط. بنابراین ، سه ضلع یک مثلث به ترتیب با سه ضلع دیگر برابر هستند /\ САВ \u003d /\ CDB

مثلث های برابر در برابر اضلاع مساوی دارای زاویه های برابر هستند
/ 1 = / 2 و / 3 = / 4.

زاویه های 1 و 2 زاویه های متقاطع داخلی در محل تقاطع خطوط AB و CD خط CB هستند. بنابراین ، AB || سی دی

به همین ترتیب ، زاویه 3 و 4 زاویه داخلی متقاطع در تقاطع خطوط CA و BD از خط مستقیم CB هستند ، بنابراین ، CA || BD (35 پوند)

بنابراین ، اضلاع مخالف چهار ضلعی ABDC به صورت جفتی موازی هستند ، بنابراین ، این یک متوازی الاضلاع است ، همان چیزی است که برای اثبات لازم بود.

قضیه 2 اگر دو ضلع مخالف چهار ضلعی برابر و موازی باشند ، این چهار ضلعی یک موازی است.

چهار ضلعی را وارد کنید ABDС AB \u003d CD و AB || سی دی بگذارید ثابت کنیم که تحت این شرایط چهار ضلعی ABDC یک متوازی الاضلاع است (شکل 228).

رئوس C و B را با یک بخش CB به هم متصل می کنیم. به دلیل موازی بودن خطوط AB و CD ، زاویه های 1 و 2 ، به عنوان زاویه های داخلی که به صورت ضربدری قرار دارند ، برابر هستند (38 §)
سپس مثلث CAB برابر با مثلث CDB است ، زیرا آنها یک ضلع مشترک CB دارند ،
AB \u003d CD با شرط قضیه و / 1 = / 2 به اثبات رسیده است. برابری این مثلث ها به معنای برابری زاویه های 3 و 4 است ، زیرا آنها در ضلع های مقابل برابر و در مثلث های مساوی قرار دارند.

اما زاویه های 3 و 4 زاویه های متقاطع داخلی هستند که در تقاطع خطوط مستقیم AC و BD از خط مستقیم CB تشکیل می شوند ، بنابراین ، AC || BD (35 پوند) ، یعنی چهار ضلعی
ABDC - موازی.

تمرینات

1. ثابت کنید که اگر مورب های چهار ضلعی در نقطه تقاطع متقابل آنها نصف شود ، پس این چهار ضلعی یک موازی است.

2. ثابت کنید که یک چهار ضلعی است که مجموع آن است گوشه های داخلیمجاور هر یک از دو طرف مجاور برابر است با 2 د، یک موازی وجود دارد.

3. یک متوازی الاضلاع را در امتداد دو طرف و یک زاویه بین آنها بسازید:

الف) استفاده از موازی بودن اضلاع مخالف موازی ؛
ب) استفاده از برابری اضلاع مخالف موازی.

4- یک متوازی الاضلاع را در امتداد دو ضلع مجاور و یک مورب بسازید.

5- یک متوازی الاضلاع را در امتداد دو مورب و زاویه بین آنها بسازید.

6. یک متوازی الاضلاع در امتداد کناره آن و دو مورب بسازید.

متوازی الاضلاع چهار ضلعی است که اضلاع مخالف آن به صورت دوتایی موازی است. این تعریف در حال حاضر کافی است ، زیرا بقیه خصوصیات متوازی الاضلاع از آن تبعیت می کنند و در قالب قضیه ها ثابت می شوند.

خصوصیات اصلی متوازی الاضلاع عبارتند از:

• متوازی الاضلاع یک چهار ضلعی محدب است ؛
• متوازی الاضلاع دارای اضلاع مخالف برابر با جفت است.
• برای یک متوازی الاضلاع ، زوایای مخالف به صورت جفت برابر هستند.
• موربهای موازی با نقطه تقاطع نصف می شوند.

Parallelogram - چهار ضلعی محدب

اول ، ما این قضیه را ثابت می کنیم که متوازی الاضلاع یک چهار ضلعی محدب است... چند ضلعی زمانی محدب است که هر طرف آن به یک خط مستقیم کشیده شود ، تمام اضلاع دیگر چند ضلعی در یک طرف این خط مستقیم قرار خواهند گرفت.

بگذارید یک متوازی الاگرام ABCD داده شود ، که در آن AB برای CD طرف مقابل است ، و BC برای طرف مقابل مخالف است. سپس از تعریف متوازی الاضلاع نتیجه می گیرد که AB || سی دی ، قبل از میلاد || آگهی.

خطوط موازی نقاط مشترکی ندارند ، یکدیگر را قطع نمی کنند. این به این معنی است که CD در یک طرف AB قرار دارد. از آنجا که قطعه BC نقطه B قطعه AB را به نقطه C قطعه CD متصل می کند و بخش AD سایر نقاط AB و CD را به هم متصل می کند ، بخش های BC و AD نیز در همان سمت خط AB قرار دارند که CD قرار دارد. بنابراین ، هر سه طرف - CD ، BC ، AD - در یک طرف AB قرار دارند.

به همین ترتیب ، ثابت شده است که با توجه به اضلاع دیگر متوازی الاضلاع ، سه ضلع دیگر در یک طرف قرار می گیرند.

اضلاع و اضلاع مخالف برابر هستند

یکی از خصوصیات متوازی الاضلاع این است که در یک متوازی الاضلاع ، اضلاع مخالف و زاویه های مخالف به صورت جفتی برابر هستند... به عنوان مثال ، اگر یک متوازی الاگرام به ABCD داده شود ، آنگاه دارای AB \u003d CD ، AD \u003d BC ، ∠A \u003d ∠C ، B \u003d D است. این قضیه به شرح زیر ثابت می شود.

متوازی الاضلاع یک چهار ضلعی است. این بدان معنی است که دارای دو مورب است. از آنجا که متوازی الاضلاع یک چهار گوش محدب است ، هر یک از آنها آن را به دو مثلث تقسیم می کنند. در ABLA متوازی الاضلاع مثلث ABC و ADC را با ترسیم AC مورب در نظر بگیرید.

این مثلث ها یک ضلع مشترک دارند - AC. زاویه BCA برابر با زاویه CAD به صورت عمودی با موازی قبل از میلاد و میلاد. زاویه های BAC و ACD نیز در صورت موازی بودن AB و CD برابر با زاویه های عمودی هستند. بنابراین ، ∆ABC \u003d ∆ADC در دو گوشه و کنار آن.

در این مثلث ها ، ضلع AB مربوط به CD ضلع و ضلع BC مربوط به AD است. از این رو AB \u003d CD و BC \u003d AD.

زاویه B با زاویه D مطابقت دارد ، به عنوان مثال ∠B \u003d D. زاویه A یک متوازی الاضلاع حاصل جمع دو زاویه است - ∠BAC و ∠CAD. زاویه C برابر با ∠BCA و ∠ACD است. از آنجا که جفت زاویه ها با یکدیگر برابر هستند ، بنابراین ∠A \u003d ∠C.

بنابراین ، ثابت شده است که در یک متوازی الاضلاع اضلاع و اضلاع مخالف برابر هستند.

مورب ها نصف می شوند

از آنجا که متوازی الاضلاع چهار ضلعی محدب است ، دارای دو مورب است و آنها با هم تلاقی می کنند. بگذارید یک نمودار متوازی ABCD داده شود ، موربهای آن AC و BD در نقطه E تلاقی دارند. مثلث های ABE و CDE را که توسط آنها تشکیل شده اند در نظر بگیرید.

این مثلث ها اضلاع AB و CD برابر با ضلع های مقابل یک موازی دارند. زاویه ABE برابر است با زاویه CDE زیرا در امتداد خطوط موازی AB و CD قرار دارند. به همین دلیل ، ∠BAE \u003d DCE. از این رو ، ∆ABE \u003d ∆CDE در دو زاویه و ضلع بین آنها.

همچنین می توانید متوجه شوید که زاویه های AEB و CED عمودی هستند و بنابراین با یکدیگر برابر هستند.

از آنجا که مثلث ABE و CDE با یکدیگر برابر هستند ، بنابراین تمام عناصر متناظر آنها برابر است. ضلع AE مثلث اول مربوط به ضلع CE دوم است ، به این معنی که AE \u003d CE. به همین ترتیب BE \u003d DE. هر جفت قطعه خط برابر ، مورب موازی الاضلاع را تشکیل می دهد. بنابراین ، ثابت شده است که موربهای موازی با نقطه تقاطع نصف می شوند.

همانطور که در هندسه اقلیدسی ، یک نقطه و یک خط مستقیم عناصر اصلی نظریه هواپیما هستند ، بنابراین متوازی الاضلاع یکی از چهره های اصلی چهار ضلعی های محدب است. از آن ، مانند رشته های یک توپ ، مفاهیم "مستطیل" ، "مربع" ، "لوزی" و سایر مقادیر هندسی جریان می یابد.

در تماس با

تعریف متوازی الاضلاع

چهار ضلعی محدب ، متشکل از بخشهای خط ، که هر جفت آن موازی است ، در هندسه به عنوان متوازی اهرام شناخته می شود.

شکل موازی کلاسیک به نظر می رسد چهار ضلعی ABCD را نشان می دهد. به اضلاع قاعده (AB ، BC ، CD و AD) گفته می شود ، عمود کشیده شده از هر راس به طرف مقابل این راس ارتفاع (BE و BF) است ، خطوط AC و BD مورب هستند.

توجه! مربع ، لوزی و مستطیل موارد خاصی از متوازی الاضلاع هستند.

کناره ها و گوشه ها: ویژگی های نسبت

خصوصیات کلیدی ، به طور کلی ، از قبل توسط خود تعیین تعیین شده است، آنها با قضیه ثابت می شوند. این خصوصیات به شرح زیر است:

1. اضلاع مخالف به صورت جفت یکسان هستند.
2. زوایای واقع در مقابل یکدیگر به صورت جفت برابر هستند.

اثبات: ∆ABC و ∆ADC را در نظر بگیرید که از تقسیم چهار ضلعی ABCD به خط AC بدست می آیند. ∠BCA \u003d ∠CAD و ∠BAC \u003d ∠ACD ، زیرا AC برای آنها معمول است ( گوشه های عمودی به ترتیب برای BC || AD و AB || CD). از این نتیجه می گیرد: ∆ABC \u003d ∆ADC (دومین علامت برابری مثلث ها).

بخشهای AB و BC در ∆ABC به صورت جفت با خطوط CD و AD در ∆ADC مطابقت دارند که به معنای هویت آنهاست: AB \u003d CD ، BC \u003d AD. بنابراین ∠B با ∠D مطابقت دارد و برابر هستند. از آنجا که ∠A \u003d ∠BAC + ∠CAD ، ∠C \u003d ∠BCA + ∠ACD که به صورت جفتی یکسان هستند ، پس A \u003d C. خاصیت اثبات شده

مشخصات موربهای شکل

ویژگی اصلیاین خطوط موازی: نقطه تقاطع آنها را به نصف تقسیم می کند.

اثبات: بگذارید m E نقطه تلاقی موربهای AC و BD شکل ABCD باشد. آنها دو مثلث متناسب - ∆ABE و ∆CDE تشکیل می دهند.

AB \u003d CD همانطور که در مقابل هم هستند. با توجه به خطوط و secant ، ∠ABE \u003d ∠CDE و ∠BAE \u003d DCE.

طبق معیار دوم برابری ∆ABE \u003d ∆CDE. این بدان معنی است که عناصر ∆ABE و ∆CDE: AE \u003d CE ، BE \u003d DE ، و در عین حال آنها بخش های متناسب AC و BD هستند. ملک ثابت شده است.

ویژگی های گوشه های مجاور

اضلاع مجاور دارای زاویه 180 درجه هستندهمانطور که در یک طرف خطوط موازی قرار می گیرند و یک ثانیه هستند. برای چهار ضلعی ABCD:

∠A + ∠B \u003d ∠C + ∠D \u003d ∠A + ∠D \u003d ∠B + ∠C \u003d 180º

ویژگی های Bisector:

1. به یک طرف افتاده عمود هستند؛
2. رئوس مخالف دارای نیمسازهای موازی هستند.
3. مثلثی که با رسم نیمساز بدست می آید ، متساوی الساقین خواهد بود.

تعیین خصوصیات مشخصه یک متوازی الاضلاع توسط قضیه

ویژگی های این شکل از قضیه اصلی آن ناشی می شود که به شرح زیر است: چهار ضلعی یک موازی در نظر گرفته شده استدر صورت قطع موربهای آن ، و این نقطه آنها را به بخشهای مساوی تقسیم می کند.

اثبات: بگذارید در نقطه E خطوط AC و BD چهارضلعی ABCD قطع شود. از آنجا که ∠AED \u003d ∠BEC ، و AE + CE \u003d AC BE + DE \u003d BD ، پس AED \u003d ∆BEC (با اولین علامت برابری مثلث ها). یعنی ∠EAD \u003d ∠ECB. آنها همچنین زاویه های مقطع داخلی AC برای خطوط AD و BC هستند. بنابراین ، با تعریف موازی کاری - AD || قبل از میلاد مسیح. ویژگی مشابه خطوط BC و CD نیز نمایش داده می شود. قضیه اثبات شده است.

محاسبه مساحت یک شکل

مساحت این رقم با چندین روش پیدا می شود ،یکی از ساده ترین ها: ضرب ارتفاع و پایه ای که به آن کشیده شده است.

اثبات: عمودهای BE و CF را از رئوس B و C ترسیم کنید. ∆ABE و ∆DCF برابر هستند ، زیرا AB \u003d CD و BE \u003d CF. اندازه ABCD با مستطیل EBCF برابر است ، زیرا آنها همچنین از ارقام متناسب تشکیل شده اند: S ABE و S EBCD ، و همچنین S DCF و S EBCD. از این نتیجه می شود که مساحت این شکل هندسی به همان شکل مستطیل قرار دارد:

S ABCD \u003d S EBCF \u003d BE × BC \u003d BE × AD.

برای تعیین فرمول کلی برای مساحت یک متوازی الاضلاع ، ارتفاع را به این صورت نشان می دهیم hbو طرف است ب... به ترتیب:

راه های دیگر برای یافتن منطقه

محاسبات منطقه از طریق اضلاع موازی و زاویهکه آنها تشکیل می دهند دومین روش شناخته شده است.

,

Sпр-ma - منطقه ؛

a و b اضلاع آن هستند

α زاویه بین بخشهای a و b است.

این روش عملاً مبتنی بر روش اول است ، اما در صورت ناشناخته بودن. همیشه برش راست گوشه، پارامترهای آن توسط هویت های مثلثاتی پیدا می شود ، یعنی. با تبدیل رابطه ، به دست می آوریم. در معادله روش اول ، ارتفاع را با این محصول جایگزین کنید و اثبات صحت این فرمول را بدست آورید.

از طریق مورب های موازی و زاویه ، که آنها هنگام عبور ایجاد می کنند ، شما همچنین می توانید منطقه را پیدا کنید.

اثبات: AC و BD با هم تلاقی می کنند و چهار مثلث تشکیل می دهند: ABE ، BEC ، CDE و AED. مجموع آنها برابر با مساحت این چهار ضلعی است.

مساحت هر یک از اینها را می توان با عبارتی یافت ، جایی که a \u003d BE ، b \u003d AE ، ∠γ \u003d ∠AEB. از این رو ، در محاسبات از یک مقدار واحد سینوسی استفاده می شود. یعنی از آنجا که AE + CE \u003d AC \u003d d 1 و BE + DE \u003d BD \u003d d 2 ، فرمول مساحت به زیر کاهش می یابد:

.

کاربردها در جبر برداری

ویژگیهای اجزای تشکیل دهنده این چهار ضلعی در جبر برداری کاربرد دارد ، یعنی افزودن دو بردار. قانون متوازی الاضلاع بیان می کند که اگر بردارهای داده شده و نه خطی ، سپس جمع آنها برابر با مورب این شکل خواهد بود ، پایه های آن با این بردارها مطابقت دارد.

اثبات: از ابتدای انتخاب خودسرانه - یعنی - ما بردارها را می سازیم و. بعد ، ما یک OACB موازی درست می کنیم ، جایی که بخش های OA و OB ضلع هستند. بنابراین سیستم عامل بر روی یک بردار یا جمع قرار دارد.

فرمول های محاسبه پارامترهای متوازی الاضلاع

هویت تحت شرایط زیر داده می شود:

1. a و b ، α - اضلاع و زاویه بین آنها ؛
2. d 1 و d 2 ، γ - مورب ها و در نقطه تقاطع آنها ؛
3. h a و h b - ارتفاعات پایین به دو طرف a و b ؛

پارامتر	فرمول
یافتن احزاب
در امتداد مورب ها و کسینوس زاویه بین آنها
مورب و کناری
از طریق ارتفاع و راس مقابل
یافتن طول مورب ها
در امتداد کناره ها و اندازه تاپ های بین آنها

سطح متوسط

Parallelogram، rectangle، rhombus، square (2019)

1. پارالوگرام

کلمه پیچیده "متوازی الاضلاع"؟ چهره ای بسیار ساده پشت او پنهان می شود.

خوب ، یعنی ما دو خط موازی گرفتیم:

از دو مورد دیگر عبور کرد:

و اکنون یک موازی در داخل وجود دارد!

خصوصیات متوازی الاضلاع چیست؟

خواص پاراللوگرام.

یعنی اگر در مسئله یک موازی الاضلاع داده شود از چه چیزی می توان استفاده کرد؟

این سوال با قضیه زیر پاسخ داده می شود:

بیایید همه چیز را با جزئیات ترسیم کنیم.

چه کاری انجام می دهد اولین نکته قضیه؟ و این واقعیت که اگر شما یک متوازی الاضلاع دارید ، مطمئناً

نکته دوم به این معنی است که اگر یک متوازی الاضلاع وجود داشته باشد ، به هر حال ،

خوب ، و سرانجام ، نکته سوم به این معنی است که اگر یک موازی دارید ، پس باید:

می بینی چه ثروت انتخابی است؟ چه چیزی باید در کار استفاده شود؟ سعی کنید روی مسئله کار تمرکز کنید ، یا فقط همه چیز را به نوبه خود امتحان کنید - برخی از "کلیدها" انجام می دهند.

و حالا بیایید یک سوال دیگر از خود بپرسیم: چگونه موازی اهریمن "در چهره" را تشخیص می دهید؟ چه اتفاقی باید برای چهار ضلعی بیفتد تا ما حق داشته باشیم "عنوان" متوازی الاضلاع را به آن بدهیم؟

چندین نشانه از متوازی الاضلاع به این سوال پاسخ می دهد.

علائم پاراللوگرام.

توجه! شروع.

متوازی الاضلاع.

توجه کنید: اگر حداقل یک ویژگی در مشکل خود پیدا کردید ، دقیقاً یک متوازی الاضلاع دارید و می توانید از تمام خصوصیات یک متوازی الاضلاع استفاده کنید.

2. مستطیل

فکر نمی کنم خبری از این برای شما باشد

سوال اول: آیا مستطیل موازی الاضلاع است؟

البته همینطور است! پس از همه ، او همچنین - به یاد داشته باشید ، علامت 3 ما است؟

و البته از اینجا نتیجه می شود که یک مستطیل مانند هر متوازی الاضلاع و ، و مورب ها با نقطه تقاطع به نصف تقسیم می شوند.

اما مستطیل همچنین دارای یک ویژگی متمایز است.

خاصیت مستطیل

چرا این خاصیت متمایز است؟ زیرا هیچ موازی دیگری دارای مورب برابر نیست. بیایید آن را با وضوح بیشتری فرموله کنیم.

توجه کنید: برای اینکه به یک مستطیل تبدیل شوید ، ابتدا باید یک چهار ضلعی به یک متوازی الاضلاع تبدیل شود و فقط در این صورت برابری مورب ها نشان داده می شود.

3. لوزی

و دوباره این س :ال: آیا لوزی یک متوازی الاضلاع است یا خیر؟

به حق - یک متوازی الاضلاع ، زیرا دارای و (ویژگی 2 ما را بخاطر بسپار).

و دوباره ، از آنجا که لوزی یک متوازی الاضلاع است ، بنابراین باید تمام خصوصیات یک متوازی الاضلاع را داشته باشد. این بدان معنی است که گوشه های مخالف لوزی برابر است ، اضلاع مخالف موازی هستند و مورب ها در نقطه تقاطع نصف می شوند.

خواص الماس

به تصویر نگاه کن:

همانطور که در مورد مستطیل ، این خصوصیات متمایز هستند ، یعنی برای هر یک از این خصوصیات ، می توان نتیجه گرفت که ما نه تنها با یک موازی ، بلکه با لوزی روبرو هستیم.

نشانه های لوزی

و دوباره توجه کنید: باید فقط یک چهار ضلعی با موربهای عمود وجود نداشته باشد ، بلکه یک موازی نیز وجود داشته باشد. اطمینان حاصل کنید:

البته خیر ، گرچه موربهای آن عمود هستند و مورب نیمساز زاویه ها و. اما ... مورب ها تقسیم نشده اند ، نقطه تقاطع به نصف تقسیم می شود ، بنابراین - نه یک موازی ، و بنابراین یک لوزی نیست.

یعنی یک مربع همزمان مستطیل و لوزی است. بذار ببینیم چه اتفاقی میافتد.

مشخص است چرا؟ - لوزی - نیمساز زاویه A ، که برابر است با. بنابراین در امتداد به دو زاویه تقسیم می شود.

خوب ، کاملاً واضح است: مورب مستطیل برابر است ؛ مورب های لوزی عمود هستند و به طور کلی - مورب های موازی با نقطه تقاطع به نصف تقسیم می شوند.

سطح متوسط

خواص چهار گوش. متوازی الاضلاع

خواص پاراللوگرام

توجه! کلمات " خصوصیات متوازی الاضلاع"یعنی اگر وظیفه ای دارید وجود دارد متوازی الاضلاع ، سپس می توان از همه موارد زیر استفاده کرد.

قضیه خصوصیات یک متوازی الاضلاع.

در هر موازی:

بیایید درک کنیم که چرا همه اینها درست است ، به عبارت دیگر ما اثبات خواهیم کرد قضیه

پس چرا 1) درست است؟

هنگامی که یک متوازی الاضلاع است ، پس:

• دراز کشیده
• همانطور که آن طرف خوابیده است.

از این رو ، (بر اساس II: و - رایج.)

خوب ، و یک بار ، پس - همین! - ثابت.

اما اتفاقاً! در این مورد ، ما نیز ثابت کردیم 2)!

چرا؟ اما بعد از همه (به تصویر نگاه کنید) ، یعنی ، به این دلیل.

فقط 3 نفر باقی مانده است).

برای انجام این کار ، شما هنوز باید مورب دوم را بکشید.

و اکنون می بینیم که - طبق ویژگی II (زاویه و ضلع "بین" آنها).

خصوصیات اثبات شده! بیایید به ویژگی ها برویم.

علائم پاراللوگرام

به یاد بیاورید که ویژگی متوازی الاضلاع به این س answersال پاسخ می دهد که "چگونه می توان دانست؟"

در آیکون ها اینگونه است:

چرا؟ خوب است که دلیل آن را بفهمیم - کافی است. اما نگاه کن:

خوب ، ما فهمیدیم که چرا علامت 1 درست است.

خوب ، این حتی راحت تر است! دوباره یک مورب رسم کنید.

این یعنی:

وهمچنین آسان است. اما ... به روشی دیگر!

از این رو ، وای! بلکه - داخلی یک طرفه با سکانس!

بنابراین ، این واقعیت به این معنی است که.

و اگر از طرف دیگر نگاه کنید ، پس - داخلی یک طرفه با یک ثبات! و بنابراین.

ببینید چقدر عالی است؟!

و دوباره ، به سادگی:

به طور مشابه ، و.

توجه کنید: اگر پیدا کردی حداقل یک علامت متوازی الاگرام در مشکل شما وجود دارد ، پس دارید دقیقا متوازی الاضلاع و شما می توانید استفاده کنید توسط همه خصوصیات متوازی الاضلاع.

برای وضوح کامل ، به نمودار نگاه کنید:

خواص چهار گوش. مستطیل

خواص مستطیل:

نکته 1) کاملاً واضح است - بالاخره ویژگی 3 ()

و نکته 2) - خیلی مهم... بنابراین ، بگذارید این را ثابت کنیم

بنابراین ، روی دو پا (و - مشترک).

خوب ، از آنجا که مثلث ها برابر هستند ، پس هایپوتنوس آنها نیز برابر هستند.

ثابت شده که!

و تصور کنید ، برابری موربها یک ویژگی متمایز از یک مستطیل در میان همه موازی ها است. یعنی عبارت زیر درست است ^

بگذارید بفهمیم چرا؟

این به معنای (منظور از زاویه های متوازی الاضلاع) است. اما بیایید یک بار دیگر به یاد بیاوریم که این یک متوازی الاضلاع است و بنابراین.

از این رو ، و البته از اینجا نتیجه می شود که هر کدام متفاوت هستند! به هر حال ، آنها باید در کل بدهند!

بنابراین آنها ثابت کردند که اگر متوازی الاضلاع به طور ناگهانی (!) موربهایی برابر وجود خواهد داشت ، پس این دقیقاً مستطیل.

ولی! توجه کنیداین در مورد است متوازی الاضلاع! هیچی چهار ضلعی با مورب برابر یک مستطیل است ، و فقط متوازی الاضلاع!

خواص چهار گوش. لوزی

و دوباره این س :ال: آیا لوزی یک متوازی الاضلاع است یا خیر؟

به درستی - یک متوازی الاضلاع ، زیرا دارای و (ویژگی 2 ما را بخاطر بسپار).

و دوباره ، از آنجا که لوزی یک متوازی الاضلاع است ، بنابراین باید تمام خصوصیات یک متوازی الاضلاع را داشته باشد. این بدان معنی است که گوشه های مخالف الماس برابر هستند ، اضلاع مخالف موازی هستند و مورب ها در نقطه تقاطع نصف می شوند.

اما خواص خاصی نیز وجود دارد. فرمول بندی می کنیم.

خواص الماس

چرا؟ خوب ، از آنجا که لوزی یک متوازی الاضلاع است ، بنابراین مورب های آن نصف می شود.

چرا؟ بله ، چون!

به عبارت دیگر ، معلوم شد که موربها نیمساز گوشه های لوزی هستند.

همانند مستطیل ، این خصوصیات عبارتند از: متمایز، هر یک از آنها نیز نشانه لوزی است.

نشانه های لوزی.

چرا؟ و نگاه کن

از این رو ، و هر دواین مثلث ها متساوی الاضلاع هستند.

برای اینکه لوزی باشد ، چهار ضلعی ابتدا باید "متوازی الاضلاع" شود و سپس باید علامت 1 یا علامت 2 را نشان دهد.

خواص چهار گوش. مربع

یعنی یک مربع همزمان مستطیل و لوزی است. بذار ببینیم چه اتفاقی میافتد.

مشخص است چرا؟ مربع - لوزی - نیمساز زاویه ، که برابر است با. بنابراین در امتداد به دو زاویه تقسیم می شود.

خوب ، کاملاً واضح است: مورب مستطیل برابر است ؛ مورب های لوزی عمود هستند و به طور کلی - مورب های موازی با نقطه تقاطع به نصف تقسیم می شوند.

چرا؟ خوب ، فقط قضیه فیثاغورث را به کار ببرید.

فرم های خلاصه و اساسی

خصوصیات پاراللوگرام:

1. طرف مقابل برابر است: ،.
2. زاویه های مقابل برابر هستند: ،.
3. زاویه ها در یک طرف جمع می شوند: ،.
4. مورب ها توسط نقطه تقاطع نصف می شوند:.

خواص مستطیل:

1. مورب مستطیل عبارتند از:.
2. مستطیل - متوازی الاضلاع (برای مستطیل تمام خصوصیات متوازی الاضلاع تکمیل شده است).

خواص الماس:

1. مورب های لوزی عمود هستند:.
2. مورب های لوزی نیم رسان زاویه های آن است: ؛ ؛ ...
3. Rhombus - متوازی الاضلاع (برای لوزی ، تمام خصوصیات متوازی الاضلاع تکمیل شده است).

ویژگی های مربع:

مربع همزمان لوزی و مستطیل است ، بنابراین ، تمام خصوصیات مستطیل و لوزی برای یک مربع برآورده می شود. همچنین.