تعاریف:

افراطیبه نام حداکثر یا حداقل مقدارتوابع در یک مجموعه داده شده

نقطه افراطینقطه ای است که در آن به حداکثر یا حداقل مقدار تابع می رسد.

حداکثر امتیازنقطه ای است که در آن به دست می آید حداکثر مقدارتوابع

حداقل امتیازنقطه ای است که در آن مقدار حداقل تابع به دست می آید.

توضیح.

در شکل، در مجاورت نقطه x = 3، تابع به حداکثر مقدار خود می رسد (یعنی در مجاورت این نقطه خاص هیچ نقطه بالاتری وجود ندارد). در همسایگی x = 8، دوباره دارای یک مقدار حداکثر است (اجازه دهید دوباره روشن کنیم: در این همسایگی است که هیچ نقطه بالاتری وجود ندارد). در این نقاط، افزایش جای خود را به کاهش می دهد. آنها حداکثر امتیاز هستند:

x max = 3، x max = 8.

در مجاورت نقطه x = 5، مقدار حداقل تابع به دست می آید (یعنی در مجاورت x = 5 نقطه زیر وجود ندارد). در این مرحله کاهش جای خود را به افزایش می دهد. حداقل امتیاز است:

حداکثر و حداقل امتیاز هستند نقاط انتهایی تابع، و مقادیر تابع در این نقاط آن است افراط.

نقاط بحرانی و ثابت تابع:

شرط لازم برای افراط:

شرط کافی برای اکستروم:

در یک بخش تابع y = f(x) می تواند به کوچکترین یا بزرگترین مقدار در نقاط بحرانی یا در انتهای بخش برسد.

الگوریتم مطالعه تابع پیوستهy = f(x) برای یکنواختی و افراط:

شکل زیر را در نظر بگیرید.

نمودار تابع y = x^3 – 3*x^2 را نشان می دهد. بیایید مقداری بازه حاوی نقطه x = 0 را در نظر بگیریم، به عنوان مثال از 1- تا 1. به چنین فاصله ای همسایگی نقطه x = 0 نیز گفته می شود. همانطور که در نمودار مشاهده می شود، در این همسایگی تابع y = x است. ^3 – 3*x^2 بیشترین مقدار را دقیقاً در نقطه x = 0 می گیرد.

عملکرد حداکثر و حداقل

در این حالت نقطه x = 0 حداکثر نقطه تابع نامیده می شود. بر اساس قیاس با این، نقطه x = 2 را حداقل نقطه تابع y = x^3 – 3*x^2 می نامند. زیرا یک همسایگی از این نقطه وجود دارد که مقدار آن در این نقطه در بین تمام مقادیر دیگر این محله حداقل خواهد بود.

نقطه حداکثرتابع f(x) نقطه x0 نامیده می شود، مشروط بر اینکه یک همسایگی با نقطه x0 وجود داشته باشد به طوری که برای تمام x مساوی با x0 از این همسایگی، نابرابری f(x) برقرار است.< f(x0).

نقطه حداقلتابع f(x) نقطه x0 نامیده می شود، مشروط بر اینکه یک همسایگی با نقطه x0 وجود داشته باشد به طوری که برای تمام x که برابر x0 از این همسایگی نیستند، نابرابری f(x) > f(x0) برقرار است.

در نقاط حداکثر و حداقل توابع، مقدار مشتق تابع صفر است. اما این شرط کافی برای وجود یک تابع در نقطه حداکثر یا حداقل نیست.

برای مثال، تابع y = x^3 در نقطه x = 0 مشتقی برابر با صفر دارد. اما نقطه x = 0 نقطه حداقل یا حداکثر تابع نیست. همانطور که می دانید تابع y = x^3 در کل محور عددی افزایش می یابد.

بنابراین، حداقل و حداکثر نقاط همیشه در بین ریشه های معادله f'(x) = 0 خواهند بود. اما همه ریشه های این معادله حداکثر یا حداقل نقاط نیستند.

نقاط ثابت و بحرانی

به نقاطی که مقدار مشتق تابع در آنها صفر است، نقاط ثابت می گویند. همچنین ممکن است نقاط حداکثر یا حداقل در نقاطی وجود داشته باشد که مشتق تابع اصلا وجود نداشته باشد. برای مثال y = |x| در نقطه x = 0 دارای حداقل است، اما مشتق در این نقطه وجود ندارد. این نقطه نقطه بحرانی تابع خواهد بود.

نقاط بحرانی یک تابع، نقاطی هستند که مشتق در آنها برابر با صفر است یا مشتق در این نقطه وجود ندارد، یعنی تابع در این نقطه غیر قابل تمایز است. برای یافتن ماکزیمم یا مینیمم یک تابع، باید یک شرط کافی وجود داشته باشد.

فرض کنید f(x) تابعی قابل تفکیک در بازه (a;b) باشد. نقطه x0 متعلق به این بازه است و f’(x0) = 0. سپس:

1. اگر هنگام عبور از یک نقطه ثابت x0، تابع f(x) و مشتق آن علامت «بعلاوه» به «منهای» تغییر کند، نقطه x0 حداکثر نقطه تابع است.

2. اگر هنگام عبور از نقطه ثابت x0، تابع f(x) و مشتق آن علامت "منهای" به "بعلاوه" را تغییر دهند، نقطه x0 حداقل نقطه تابع است.

نقاط بحرانی- اینها نقاطی هستند که مشتق یک تابع برابر با صفر است یا وجود ندارد. اگر مشتق برابر با 0 باشد، تابع در این نقطه می گیرد حداقل یا حداکثر محلی. در نمودار در چنین نقاطی تابع یک مجانب افقی دارد، یعنی مماس با محور Ox موازی است.

چنین نقاطی نامیده می شود ثابت. اگر روی نمودار یک تابع پیوسته یک "قوز" یا "حفره" می بینید، به یاد داشته باشید که حداکثر یا حداقل در یک نقطه بحرانی به دست می آید. بیایید کار زیر را به عنوان مثال در نظر بگیریم.

مثال 1. نقاط بحرانی تابع y=2x^3-3x^2+5 را بیابید.
راه حل. الگوریتم برای یافتن نقاط بحرانی به شرح زیر است:

بنابراین تابع دارای دو نقطه بحرانی است.

در مرحله بعد، اگر نیاز به مطالعه یک تابع دارید، علامت مشتق را در سمت چپ و سمت راست نقطه بحرانی تعیین می کنیم. اگر مشتق هنگام عبور از نقطه بحرانی علامت "-" را به "+" تغییر دهد، آنگاه تابع می گیرد. حداقل محلی. اگر از "+" به "-" باید حداکثر محلی.

نوع دوم نقاط بحرانیاینها صفرهای مخرج توابع کسری و غیر منطقی هستند

توابع لگاریتمی و مثلثاتی که در این نقاط تعریف نشده اند


نوع سوم نقاط بحرانیدارای توابع و ماژول های پیوسته تکه ای.
برای مثال، هر تابع ماژول دارای حداقل یا حداکثر در نقطه شکست است.

به عنوان مثال ماژول y = | x -5 |
در نقطه x = 5 دارای حداقل (نقطه بحرانی) است.

مشتق در آن وجود ندارد، اما در سمت راست و چپ به ترتیب مقدار 1 و -1 را می گیرد.

1)
2)
3)
4)
5)

سعی کنید نقاط بحرانی توابع را تعیین کنید
اگر پاسخ y باشد مقدار را دریافت می کنید
1) x=4;
2) x=-1;x=1;
3) x=9;
4) x=Pi*k;
5) x=1. سپس شما از قبل می دانیدچگونه نقاط بحرانی را پیدا کنیم

و بتواند با یک تست یا تست های ساده کنار بیاید. دامنه یک تابع، مشتق آن را محاسبه کنید، دامنه یک مشتق تابع را پیدا کنید، پیدا کنیدامتیاز

با تبدیل مشتق به صفر، ثابت کنید که نقاط یافت شده متعلق به دامنه تعریف تابع اصلی هستند. دامنه یک تابع، مشتق آن را محاسبه کنید، دامنه یک مشتق تابع را پیدا کنید، پیدا کنیدمثال 1 بحرانی را شناسایی کنید

توابع y = (x - 3)²·(x-2). راه حل دامنه تابع را در پیدا کنیددر این مورد بدون محدودیت: x ​​∈ (-∞; +∞) مشتق y را محاسبه کنید. طبق قوانین تمایز حاصل ضرب دو، داریم: y' = ((x - 3)²)'·(x - 2) + (x - 3)²·(x - 2)' = 2·( x - 3)·(x - 2) + (x - 3)²·1. بعد معلوم میشهمعادله درجه دوم

دامنه تعریف مشتق تابع را بیابید: x ∈ (-∞؛ +∞ معادله 3 x² – 16 x + 21 = 0 را حل کنید تا در آن عدد صفر شود: 3 x² – 16 x +). 21 = 0.

D = 256 – 252 = 4x1 = (16 + 2)/6 = 3; x2 = (16 - 2)/6 = 7/3 بنابراین، مشتق در مقادیر x برابر با 3 و 7/3 به صفر می رسد.

تعیین کنید که آیا موارد یافت شده متعلق هستند یا خیر دامنه یک تابع، مشتق آن را محاسبه کنید، دامنه یک مشتق تابع را پیدا کنید، پیدا کنیددامنه تعریف تابع اصلی از آنجا که x (-∞؛ +∞)، پس هر دوی اینها دامنه یک تابع، مشتق آن را محاسبه کنید، دامنه یک مشتق تابع را پیدا کنید، پیدا کنیدانتقادی هستند.

مثال 2: بحرانی را شناسایی کنید دامنه یک تابع، مشتق آن را محاسبه کنید، دامنه یک مشتق تابع را پیدا کنید، پیدا کنیدتوابع y = x² – 2/x.

SolutionDomain تابع: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞)، از آنجایی که x در مخرج است، مشتق y' = 2 x + 2/x² را محاسبه کنید.

دامنه تعریف مشتق تابع همان است: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞ معادله 2 x + 2/x² = 0: 2 x =) را حل کنید -2/x² → x = -1.

بنابراین، مشتق در x = -1 به صفر می رسد. شرط لازم اما نه کافی برای بحرانی بودن برآورده شده است. از آنجایی که x=-1 در بازه (-∞؛ 0) ∪ (0؛ +∞) قرار می گیرد، پس این نقطه حیاتی است.

منابع:

• حجم فروش بحرانی، pcsThreshold

بسیاری از زنان از سندرم پیش از قاعدگی رنج می برند، که نه تنها با احساسات دردناک، بلکه با افزایش اشتها نیز آشکار می شود. در نتیجه روزهای بحرانیمی تواند به طور قابل توجهی روند کاهش وزن را کاهش دهد.

دلایل افزایش اشتها در دوران قاعدگی

دلیل افزایش اشتها در دوره های قاعدگی تغییر در سطح هورمونی عمومی بدن زن است. چند روز قبل از شروع قاعدگی، سطح هورمون پروژسترون بالا می رود، بدن با این احتمال سازگار می شود و سعی می کند ذخایر انرژی اضافی را به شکل رسوبات چربی ایجاد کند، حتی اگر زن نشسته باشد. بنابراین، تغییرات وزن در روزهای بحرانی طبیعی است.

چگونه در دوران قاعدگی غذا بخوریم

سعی کنید این روزها شیرینی، شیرینی و سایر غذاهای پرکالری حاوی غذاهای "فست" مصرف نکنید. مازاد آنها بلافاصله در چربی رسوب می کند. در این دوره، بسیاری از خانم ها واقعاً تمایل به خوردن شکلات دارند، در این صورت می توانید شکلات تلخ بخرید و خود را با چند برش پذیرایی کنید، اما نه بیشتر. در طول دوره قاعدگی نباید از نوشیدنی های الکلی، ماریناد، ترشی، غذاهای دودی، دانه ها و آجیل استفاده کنید. به طور کلی، ترشی ها و غذاهای دودی باید 6-8 روز قبل از شروع قاعدگی در رژیم غذایی محدود شوند، زیرا چنین محصولاتی باعث افزایش ذخایر آب در بدن می شود و این دوره با افزایش تجمع مایعات مشخص می شود. برای کاهش میزان نمک در رژیم غذایی، حداقل مقدار آن را به غذاهای آماده اضافه کنید.

مصرف لبنیات کم چرب، غذاهای گیاهی و غلات توصیه می شود. لوبیا، سیب زمینی آب پز، برنج - محصولاتی که حاوی کربوهیدرات های "آهسته" هستند مفید خواهند بود. غذاهای دریایی، جگر، ماهی، گوشت گاو، مرغ، تخم مرغ، حبوبات و میوه‌های خشک به جبران کمبود آهن کمک می‌کنند. سبوس گندم مفید خواهد بود. یک واکنش طبیعی در دوران قاعدگی تورم است. گیاهان ادرار آور سبک به اصلاح وضعیت کمک می کنند: ریحان، شوید، جعفری، کرفس. می توان از آنها به عنوان چاشنی استفاده کرد. در نیمه دوم چرخه مصرف غذاهای پروتئینی (گوشت و ماهی بدون چربی، لبنیات) توصیه می شود و تا حد امکان میزان کربوهیدرات در رژیم غذایی کاهش یابد.

مفهوم اقتصادی حجم بحرانی فروشمربوط به موقعیت شرکت در بازار است که در آن درآمد حاصل از فروش کالا حداقل است. این وضعیت نقطه سربه سر نامیده می شود، زمانی که تقاضا برای محصولات کاهش می یابد و سود به سختی هزینه ها را پوشش می دهد. برای تعیین حجم بحرانی فروش، از چندین روش استفاده کنید.

دستورالعمل ها

چرخه کاری به فعالیت های آن - تولید یا خدمات محدود نمی شود. این یک کار پیچیده از یک ساختار خاص است، از جمله کار پرسنل کلیدی، کارکنان مدیریت، کارکنان مدیریت و غیره، و همچنین اقتصاددانان، که وظیفه آنها تحلیل مالیشرکت ها

هدف از این تجزیه و تحلیل، محاسبه مقادیر معینی است که به یک درجه یا دیگری بر اندازه سود نهایی تأثیر می گذارد. این انواع مختلفحجم تولید و فروش، کامل و متوسط، شاخص های تقاضا و غیره. وظیفه اصلی شناسایی حجم تولید است که در آن یک رابطه پایدار بین هزینه ها و سود ایجاد می شود.

حداقل حجم فروش، که در آن درآمد به طور کامل هزینه ها را پوشش می دهد، اما افزایش نمی یابد حقوق صاحبان سهامشرکت حجم بحرانی نامیده می شود فروش. برای محاسبه روش این اندیکاتور سه روش وجود دارد: روش معادلات، درآمد حاشیه ای و گرافیکی.

برای تعیین حجم بحرانی فروشمطابق روش اول، معادله ای به شکل: Вп – Zper – Зpos = Пп = 0 ایجاد کنید که در آن: Вп – درآمد حاصل از فروشو Zper و Zpos – هزینه های متغیر و ثابت Pp – سود از فروشو.

طبق روشی دیگر، اولین ترم، درآمد حاصل از فروش، آن را به عنوان حاصلضرب درآمد نهایی به ازای هر واحد کالا و حجم ارائه کنید فروش، همین امر در مورد هزینه های متغیر نیز صدق می کند. هزینه های ثابتبرای کل دسته کالا اعمال شود، بنابراین این جزء را مشترک بگذارید: MD N – Zper1 N – Zpos = 0.

مقدار N را از این معادله بیان کنید و حجم بحرانی را بدست آورید فروش:N = Zpos/(MD – Zper1)، که در آن Zper1 هزینه های متغیر برای هر واحد کالا است.

روش گرافیکی شامل ساخت است. درخواست به هواپیمای مختصاتدو خط: تابع درآمد از فروشمنهای هر دو تابع هزینه و سود. بر روی محور آبسیسا، حجم تولید و در محور ارتین، درآمد حاصل از مقدار مربوطه کالا را به واحد پولی نشان دهید. نقطه تقاطع این خطوط با حجم بحرانی مطابقت دارد فروش، موقعیت سربه سر.

منابع:

• چگونه کار انتقادی را تعریف کنیم

تفکر انتقادی مجموعه‌ای از قضاوت‌ها است که بر اساس آن‌ها نتیجه‌گیری‌های خاصی شکل می‌گیرد و ارزیابی از موضوعات مورد نقد انجام می‌شود. مخصوصاً برای محققان و دانشمندان همه شاخه های علم مشخص است. تفکر انتقادی در مقایسه با تفکر معمولی سطح بالاتری را اشغال می کند.

ارزش تجربه در توسعه تفکر انتقادی

تجزیه و تحلیل و نتیجه گیری در مورد چیزی که به خوبی درک نمی کنید دشوار است. بنابراین، برای یادگیری تفکر انتقادی، لازم است اشیا را در انواع ارتباطات و روابط با پدیده های دیگر مورد مطالعه قرار داد. و همچنین ارزش عالیدر این مورد، اطلاعات مربوط به چنین اشیایی، توانایی ساخت زنجیره منطقی قضاوت و نتیجه گیری معقول را دارد.

به عنوان مثال، قضاوت در مورد ارزش اثر هنریتنها با دانستن بسیاری دیگر از ثمرات فعالیت ادبی امکان پذیر است. در عین حال، خوب است که در تاریخ رشد بشر، شکل گیری ادبیات و نقد ادبی متخصص باشید. جدا از بافت تاریخی، یک اثر ممکن است معنای مورد نظر خود را از دست بدهد. برای اینکه ارزیابی یک اثر هنری به اندازه کافی کامل و موجه باشد، لازم است از دانش ادبی خود که شامل قوانین ساخت است نیز استفاده کنید. متن ادبیدر ژانرهای فردی، سیستمی از تکنیک های مختلف ادبی، طبقه بندی و تحلیل سبک ها و گرایش های موجود در ادبیات و غیره. در عین حال، مطالعه منطق درونی طرح، توالی اعمال، چینش و تعامل شخصیت ها در یک اثر هنری نیز مهم است.

ویژگی های تفکر انتقادی

از دیگر ویژگی های تفکر انتقادی می توان به موارد زیر اشاره کرد:
- دانش در مورد شی مورد مطالعه تنها یک نقطه شروع برای فعالیت بیشتر مغز مرتبط با ساخت زنجیره های منطقی است.
- به طور مداوم ساخته شده و مبتنی بر استدلال عقل سلیم منجر به شناسایی اطلاعات واقعی و نادرست در مورد شی مورد مطالعه می شود.
- تفکر انتقادی همیشه با ارزیابی اطلاعات موجود در مورد آن همراه است این شیو نتیجه گیری های مربوطه، ارزیابی نیز به نوبه خود با مهارت های موجود مرتبط است.

بر خلاف تفکر معمولی، تفکر انتقادی تابع ایمان کورکورانه نیست. تفکر انتقادی به کمک یک سیستم کامل از قضاوت در مورد موضوع نقد اجازه می دهد تا ماهیت آن را درک کند، دانش واقعی در مورد آن را شناسایی کند و موارد نادرست را رد کند. مبتنی بر منطق، عمق و کامل بودن مطالعه، صدق، کفایت و قوام قضاوت است. در این صورت، گزاره های بدیهی و طولانی مدت به عنوان فرض پذیرفته می شوند و نیازی به اثبات و ارزیابی مکرر ندارند.

در بحث های قبلی به هیچ وجه از روش های فنی حساب دیفرانسیل استفاده نکردیم.

دشوار است که نپذیریم که روش‌های ابتدایی ما ساده‌تر و مستقیم‌تر از روش‌های تحلیل هستند. به طور کلی، هنگام برخورد با یک مشکل علمی خاص، بهتر است از آن اقدام شود ویژگی های فردیبه جای تکیه صرف به روش های عمومی، اگرچه، از سوی دیگر، اصل کلی، که معنای رویه های خاص اعمال شده را روشن می کند، البته همیشه باید نقش اصلی را ایفا کند. این دقیقاً اهمیت روش های حساب دیفرانسیل در هنگام در نظر گرفتن مسائل فوق العاده است. مشاهده شده در علم مدرنمیل به کلیت تنها یک طرف قضیه را نشان می دهد، زیرا آنچه واقعاً در ریاضیات حیاتی است، بدون هیچ شکی با ویژگی های فردی مسائل در نظر گرفته شده و روش های مورد استفاده تعیین می شود.

در او توسعه تاریخیحساب دیفرانسیل تا حد زیادی تحت تأثیر مسائل فردی مرتبط با یافتن بزرگترین و کوچکترین مقادیر کمیت قرار گرفت. ارتباط بین مسائل فوق العاده و حساب دیفرانسیل را می توان به صورت زیر درک کرد. در فصل هشتم به بررسی دقیق مشتق f"(x) تابع f(x) و معنای هندسی آن خواهیم پرداخت. در آنجا خواهیم دید که به طور خلاصه، مشتق f"(x) شیب مماس بر منحنی y = f(x)در نقطه (x,y). از نظر هندسی واضح است که در نقاط حداکثر یا حداقل یک منحنی صاف y = f(x)مماس بر منحنی قطعا باید افقی باشد، یعنی شیب باید صفر باشد. بنابراین، شرط نقاط اکستریم را به دست می آوریم f"(x) = 0.

برای درک واضح اینکه منظور از ناپدید شدن مشتق f"(x) چیست، منحنی نشان داده شده در شکل 191 را در نظر بگیرید. ما در اینجا پنج نقطه A، B، C، D، ? را می بینیم که در آن مماس بر منحنی افقی است. اجازه دهید مقادیر مربوط به f(x) را در این نقاط نشان دهیم الف، ب، ج، د، ه. بالاترین ارزش f(x) (در داخل مساحت نشان داده شده در نقاشی) در نقطه D به دست می آید، کوچکترین در نقطه A. در نقطه B حداکثر وجود دارد - به این معنا که در تمام نقاط فلان محلهدر نقاط B، مقدار f(x) کمتر از b است، اگرچه در نقاط نزدیک به D، مقدار f(x) همچنان از b بیشتر است. به همین دلیل مرسوم است که می گویند در نقطه B وجود دارد حداکثر نسبی عملکرد f(x)، در حالی که در نقطه D - حداکثر مطلقبه همین ترتیب، در نقطه C وجود دارد حداقل نسبی،و در نقطه A - حداقل مطلقدر نهایت، در مورد نقطه E، نه حداکثر و نه حداقل در آن وجود دارد، اگرچه تساوی همچنان در آن تحقق می یابد. f"(x) = Q، نتیجه می شود که ناپدید شدن مشتق f"(x) است لازم است، اما نه اصلا کافیشرط ظاهر شدن یک انتها از یک تابع صاف f(x)؛ به عبارت دیگر، در هر نقطه ای که افراط (مطلق یا نسبی) وجود داشته باشد، یقیناً مساوات صورت می گیرد. f"(x) = 0، اما نه در هر نقطه ای که f"(x) = 0، باید افراطی باشد. آن نقاطی که مشتق f"(x) در آنها ناپدید می شود، صرف نظر از اینکه در آنها یک اکستروموم وجود دارد یا خیر، نامیده می شوند. ثابتتجزیه و تحلیل بیشتر منجر به شرایط کم و بیش پیچیده در مورد مشتقات بالاتر تابع f (x) و مشخص کردن کامل حداکثر، حداقل و سایر نقاط ثابت می شود.