Funktsioon on üks olulisemaid matemaatilisi mõisteid. Funktsioon – muutuv sõltuvus juures muutujast x, kui iga väärtus X vastab ühele väärtusele juures. Muutuv X nimetatakse sõltumatuks muutujaks või argumendiks. Muutuv juures nimetatakse sõltuvaks muutujaks. Kõik sõltumatu muutuja väärtused (muutuja x) moodustavad funktsiooni määratluspiirkonna. Kõik väärtused, mille sõltuv muutuja võtab (muutuja y), moodustavad funktsiooni väärtuste vahemiku.

Funktsioonide graafik kutsuge välja kõigi punktide hulk koordinaattasand, mille abstsissid on võrdsed argumendi väärtustega ja ordinaadid on võrdsed funktsiooni vastavate väärtustega, see tähendab, et muutuja väärtused on kantud piki abstsisstellge x, ja muutuja väärtused kantakse piki ordinaattelge y. Funktsiooni graafiku tegemiseks peate teadma funktsiooni omadusi. Funktsiooni põhiomadusi käsitletakse allpool!

Funktsiooni graafiku koostamiseks soovitame kasutada meie programmi - Funktsioonide graafiku tegemine võrgus. Kui teil on selle lehe materjali uurimisel küsimusi, võite neid alati meie foorumis esitada. Ka foorumis aitavad nad lahendada ülesandeid matemaatikas, keemias, geomeetrias, tõenäosusteoorias ja paljudes teistes ainetes!

Funktsioonide põhiomadused.

1) Funktsiooni domeen ja funktsioonide vahemik.

Funktsiooni domeen on kõigi kehtivate kehtivate argumentide väärtuste kogum x(muutuja x), mille jaoks funktsioon y = f(x) kindlaks määratud.
Funktsiooni vahemik on kõigi reaalväärtuste hulk y, mille funktsioon aktsepteerib.

IN elementaarne matemaatika funktsioone uuritakse ainult reaalarvude hulgal.

2) Funktsiooni nullid.

Väärtused X, mille juures y=0, kutsus funktsiooni nullid. Need on funktsioonigraafiku ja Ox-telje lõikepunktide abstsissid.

3) Funktsiooni konstantse märgi intervallid.

Funktsiooni konstantse märgi intervallid on sellised väärtuste intervallid x, millel funktsioon väärtustab y kutsutakse kas ainult positiivseid või ainult negatiivseid funktsiooni konstantse märgi intervallid.

4) Funktsiooni monotoonsus.

Kasvav funktsioon (teatud intervallis) on funktsioon, mille jaoks kõrgem väärtus selle intervalli argument vastab funktsiooni suuremale väärtusele.

Vähenev funktsioon (teatud intervallis) on funktsioon, milles selle intervalli argumendi suurem väärtus vastab funktsiooni väiksemale väärtusele.

5) Paaris (paaritu) funktsioon.

Paarisfunktsioon on funktsioon, mille määratluspiirkond on sümmeetriline lähtekoha suhtes ja mis tahes jaoks X f(-x) = f(x). Paarisfunktsiooni graafik on ordinaadi suhtes sümmeetriline.

Paaritu funktsioon on funktsioon, mille määratluspiirkond on sümmeetriline lähtekoha suhtes ja mis tahes jaoks X definitsiooni valdkonnast on võrdsus tõene f(-x) = - f(x). Paaritu funktsiooni graafik on algpunkti suhtes sümmeetriline.

Ühtlane funktsioon
1) Määratluspiirkond on punkti (0; 0) suhtes sümmeetriline, st kui punkt a kuulub definitsiooni valdkonda, siis punkt -a kuulub ka definitsiooni valdkonda.
2) Iga väärtuse jaoks x f(-x)=f(x)
3) Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline Oy telje suhtes.

Veider funktsioon sellel on järgmised omadused:
1) Definitsioonipiirkond on sümmeetriline punkti (0; 0) suhtes.
2) mis tahes väärtuse puhul x, mis kuulub definitsiooni valdkonda, võrdsus f(-x)=-f(x)
3) Paaritu funktsiooni graafik on sümmeetriline lähtepunkti (0; 0) suhtes.

Mitte iga funktsioon pole paaris ega paaritu. Funktsioonid üldine vaade pole paaris ega paaritu.

6) Piiratud ja piiramatud funktsioonid.

Funktsiooni nimetatakse piirituks, kui on olemas selline a positiivne arv M selline, et |f(x)| ≤ M kõigi x väärtuste korral. Kui sellist numbrit pole, on funktsioon piiramatu.

7) Funktsiooni perioodilisus.

Funktsioon f(x) on perioodiline, kui on olemas nullist erinev arv T, nii et funktsiooni definitsioonipiirkonna mis tahes x korral kehtib järgmine: f(x+T) = f(x). See väikseim number nimetatakse funktsiooni perioodiks. Kõik trigonomeetrilised funktsioonid on perioodilised. (Trigonomeetrilised valemid).

Funktsioon f nimetatakse perioodiliseks, kui on olemas selline arv, et mis tahes x määratlusvaldkonnast võrdsus f(x)=f(x-T)=f(x+T). T on funktsiooni periood.

Igal perioodilisel funktsioonil on lõpmatu arv perioode. Praktikas võetakse tavaliselt arvesse väikseimat positiivset perioodi.

Perioodilise funktsiooni väärtusi korratakse pärast perioodiga võrdset intervalli. Seda kasutatakse graafikute koostamisel.

Selleks kasutage graafikapaberit või graafikakalkulaatorit. Valige suvaline arv sõltumatu muutuja väärtusi x (\displaystyle x) ja ühendage need sõltuva muutuja väärtuste arvutamiseks funktsiooniga y (\displaystyle y). Joonistage leitud punktide koordinaadid koordinaattasandile ja ühendage need punktid funktsiooni graafiku koostamiseks.

• Asendage funktsioonis positiivsed arvväärtusi x (\displaystyle x) ja vastavad negatiivsed arvväärtused. Näiteks võttes arvesse funktsiooni . Asendage see sisse järgmised väärtused x (\displaystyle x):
  • f (1) = 2 (1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displaystyle f(1)=2(1)^(2)+1=2+1=3) (1, 3) (\displaystyle (1,3)).
  • f (2) = 2 (2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(2)=2(2)^(2)+1=2(4)+1 =8+1=9). Saime punkti koordinaatidega (2, 9) (\displaystyle (2,9)).
  • f (− 1) = 2 (− 1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displaystyle f(-1)=2(-1)^(2)+1=2+1=3). Saime punkti koordinaatidega (− 1, 3) (\displaystyle (-1,3)).
  • f (− 2) = 2 (− 2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(-2)=2(-2)^(2)+1=2( 4)+1=8+1=9). Saime punkti koordinaatidega (− 2, 9) (\displaystyle (-2,9)).

Muutuja y sõltuvust muutujast x, milles igale x väärtusele vastab üks y väärtus, nimetatakse funktsiooniks. Tähistamiseks kasutage tähistust y=f(x). Igal funktsioonil on mitmeid põhiomadusi, nagu monotoonsus, paarsus, perioodilisus ja teised.

Vaadake pariteedi omadust lähemalt.

Funktsiooni y=f(x) kutsutakse välja isegi siis, kui see vastab kahele järgmisele tingimusele:

2. Funktsiooni väärtus punktis x, mis kuulub funktsiooni määratluspiirkonda, peab olema võrdne funktsiooni väärtusega punktis -x. See tähendab, et iga punkti x puhul peab funktsiooni definitsioonipiirkonnast olema täidetud järgmine võrdsus: f(x) = f(-x).

Paarisfunktsiooni graafik

Kui joonistate paarisfunktsiooni graafiku, on see sümmeetriline Oy telje suhtes.

Näiteks funktsioon y=x^2 on paaris. Vaatame üle. Määratluspiirkond on kogu numbritelg, mis tähendab, et see on sümmeetriline punkti O suhtes.

Võtame suvalise x=3. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Seetõttu f(x) = f(-x). Seega on mõlemad tingimused täidetud, mis tähendab, et funktsioon on paaris. Allpool on funktsiooni y=x^2 graafik.

Jooniselt on näha, et graafik on Oy telje suhtes sümmeetriline.

Paaritu funktsiooni graafik

Funktsiooni y=f(x) nimetatakse paarituks, kui see vastab kahele järgmisele tingimusele:

1. Antud funktsiooni määratluspiirkond peab olema punkti O suhtes sümmeetriline. See tähendab, et kui mõni punkt a kuulub funktsiooni määratluspiirkonda, siis peab ka vastav punkt -a kuuluma definitsioonipiirkonda. antud funktsioonist.

2. Iga punkti x puhul peab funktsiooni definitsioonipiirkonnast olema täidetud järgmine võrdsus: f(x) = -f(x).

Paaritu funktsiooni graafik on punkti O – koordinaatide alguspunkti – suhtes sümmeetriline. Näiteks funktsioon y=x^3 on paaritu. Vaatame üle. Määratluspiirkond on kogu numbritelg, mis tähendab, et see on sümmeetriline punkti O suhtes.

Võtame suvalise x=2. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Seetõttu f(x) = -f(x). Seega on mõlemad tingimused täidetud, mis tähendab, et funktsioon on paaritu. Allpool on funktsiooni y=x^3 graafik.

Jooniselt on selgelt näha, et paaritu funktsioon y=x^3 on sümmeetriline lähtekoha suhtes.

Funktsiooni ühtlus ja veidrus on selle üks peamisi omadusi ning paarsus võtab muljetavaldava osa koolikursus matemaatika. See määrab suuresti funktsiooni käitumise ja hõlbustab oluliselt vastava graafiku koostamist.

Määrame funktsiooni paarsuse. Üldiselt vaadeldakse uuritavat funktsiooni isegi siis, kui selle määratluspiirkonnas asuva sõltumatu muutuja (x) vastandväärtuste korral osutuvad y (funktsiooni) vastavad väärtused võrdseks.

Anname rangema määratluse. Vaatleme mõnda funktsiooni f (x), mis on määratletud domeenis D. See on isegi siis, kui mis tahes punkti x puhul, mis asub definitsioonipiirkonnas:

• -x (vastandpunkt) kuulub samuti sellesse ulatusse,

• f(-x) = f(x).

Ülaltoodud definitsioonist tuleneb sellise funktsiooni määratluspiirkonna jaoks vajalik tingimus, nimelt sümmeetria punkti O suhtes, mis on koordinaatide alguspunkt, kuna kui mõni punkt b sisaldub paarisfunktsiooni definitsioonipiirkonnas. funktsiooni, siis asub selles valdkonnas ka vastav punkt b. Eeltoodust järeldub seega järeldus: paarisfunktsioonil on ordinaattelje (Oy) suhtes sümmeetriline vorm.

Kuidas määrata funktsiooni paarsust praktikas?

Olgu see täpsustatud valemiga h(x)=11^x+11^(-x). Järgides otseselt definitsioonist tulenevat algoritmi, uurime esmalt selle määratluspiirkonda. Ilmselt on see defineeritud kõigi argumendi väärtuste jaoks, see tähendab, et esimene tingimus on täidetud.

Järgmine samm on argumendi (x) asendamine vastupidise väärtusega (-x).
Saame:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Kuna liitmine rahuldab kommutatiivse (kommutatiivse) seaduse, siis on ilmne, et h(-x) = h(x) ja antud funktsionaalne sõltuvus on paaris.

Kontrollime funktsiooni h(x)=11^x-11^(-x) paarsust. Sama algoritmi järgides saame, et h(-x) = 11^(-x) -11^x. Kui võtta miinus välja, siis lõpuks oleme
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Seetõttu on h(x) paaritu.

Muide, tuleb meeles pidada, et on funktsioone, mida nende kriteeriumide järgi ei saa liigitada, neid ei nimetata paaristeks ega paarituks.

Isegi funktsioonidel on mitmeid huvitavaid omadusi:

• sarnaste funktsioonide lisamise tulemusena saavad nad ühtlase;
• selliste funktsioonide lahutamise tulemusena saadakse ühtlane;
• ühtlane, ka ühtlane;
• kahe sellise funktsiooni korrutamise tulemusena saadakse ühtlane;
• paaritute ja paarisfunktsioonide korrutamise tulemusena saadakse paaritu;
• paaritu ja paarisfunktsioonide jagamise tulemusena saadakse paaritu;
• sellise funktsiooni tuletis on paaritu;
• Kui panete paaritu funktsiooni ruutu, saate paaritu funktsiooni.

Funktsiooni paarsust saab kasutada võrrandite lahendamiseks.

Sellise võrrandi lahendamiseks nagu g(x) = 0, kus vasak pool võrrand on paarisfunktsioon, siis piisab muutuja mittenegatiivsete väärtuste lahenduste leidmiseks. Saadud võrrandi juured tuleb kombineerida vastupidiste arvudega. Üks neist kuulub kontrollimisele.

Seda kasutatakse edukalt ka parameetriga mittestandardsete probleemide lahendamiseks.

Näiteks, kas parameetril a on mõni väärtus, mille võrrandil 2x^6-x^4-ax^2=1 on kolm juurt?

Kui arvestada, et muutuja siseneb võrrandisse paarisastmetes, siis on selge, et x asendamine - x-ga antud võrrandit ei muuda. Sellest järeldub, et kui teatud arv on selle juur, siis on see ka vastupidine number. Järeldus on ilmne: nullist erinevad võrrandi juured kaasatakse selle lahendite hulka "paarides".

On selge, et arv ise ei ole 0, see tähendab, et sellise võrrandi juurte arv saab olla ainult paaris ja loomulikult ei saa see ühegi parameetri väärtuse korral olla kolme juurega.

Kuid võrrandi 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 juurte arv võib olla paaritu ja seda parameetri mis tahes väärtuse korral. Tõepoolest, on lihtne kontrollida, kas selle võrrandi juurte komplekt sisaldab lahendusi "paarides". Kontrollime, kas 0 on juur. Kui asendame selle võrrandis, saame 2=2. Seega on 0 lisaks “paaritutele” ka juur, mis tõestab nende paaritut arvu.

Graafikute teisendamine.

Funktsiooni sõnaline kirjeldus.

Graafiline meetod.

Funktsiooni määramise graafiline meetod on kõige visuaalsem ja seda kasutatakse sageli tehnikas. Matemaatilises analüüsis kasutatakse illustratsioonina funktsioonide täpsustamise graafilist meetodit.

Funktsioonide graafik f on koordinaattasandi kõigi punktide (x;y) hulk, kus y=f(x) ja x “läbib” kogu selle funktsiooni definitsioonipiirkonna.

Koordinaattasandi alamhulk on funktsiooni graafik, kui sellel ei ole rohkem kui üks ühispunkt Oy teljega paralleelse sirgjoonega.

Näide. Kas allolevad arvud on funktsioonide graafikud?

Eelis graafiline ülesanne on selle nähtavus. Kohe on näha, kuidas funktsioon käitub, kus see suureneb ja kus väheneb. Graafikult tunneb mõne kohe ära olulised omadused funktsioonid.

Üldiselt käivad funktsiooni defineerimise analüütilised ja graafilised meetodid käsikäes. Valemiga töötamine aitab koostada graafikut. Ja graafik soovitab sageli lahendusi, mida te valemis isegi ei märkaks.

Peaaegu iga õpilane teab kolme funktsiooni määratlemise võimalust, mida just vaatlesime.

Proovime vastata küsimusele: "Kas funktsiooni defineerimiseks on muid võimalusi?"

Selline viis on olemas.

Funktsiooni saab sõnadega üsna üheselt määrata.

Näiteks funktsiooni y=2x saab määrata järgmise sõnalise kirjeldusega: iga tegelik väärtus argumendile x omistatakse kahekordne väärtus. Reegel on kehtestatud, funktsioon on määratud.

Lisaks saate sõnaliselt määrata funktsiooni, mida on valemi abil äärmiselt raske, kui mitte võimatu määratleda.

Näiteks: loomuliku argumendi x iga väärtus on seotud x väärtuse moodustavate numbrite summaga. Näiteks kui x=3, siis y=3. Kui x=257, siis y=2+5+7=14. Ja nii edasi. Selle valemisse kirja panemine on problemaatiline. Kuid märki on lihtne teha.

Sõnalise kirjeldamise meetod on üsna harva kasutatav meetod. Aga mõnikord teeb.

Kui x ja y vahel on üks-ühele vastavuse seadus, siis on olemas funktsioon. Mis seadus, mis kujul seda väljendatakse – valem, tahvel, graafik, sõnad –, ei muuda asja olemust.

Vaatleme funktsioone, mille definitsioonipiirkonnad on lähtekoha suhtes sümmeetrilised, s.t. kellelegi X definitsiooninumbri domeenist (- X) kuulub samuti määratlusvaldkonda. Nende funktsioonide hulgas on paaris ja paaritu.

Definitsioon. Funktsiooni f kutsutakse isegi, kui üldse X oma määratlusvaldkonnast

Näide. Mõelge funktsioonile

See on ühtlane. Vaatame üle.

Kellelegi X võrdsused on täidetud

Seega on mõlemad tingimused täidetud, mis tähendab, et funktsioon on paaris. Allpool on selle funktsiooni graafik.

Definitsioon. Funktsiooni f kutsutakse kummaline, kui üldse X oma määratlusvaldkonnast

Näide. Mõelge funktsioonile

See on veider. Vaatame üle.

Määratluspiirkond on kogu numbritelg, mis tähendab, et see on punkti (0;0) suhtes sümmeetriline.

Kellelegi X võrdsused on täidetud

Seega on mõlemad tingimused täidetud, mis tähendab, et funktsioon on paaritu. Allpool on selle funktsiooni graafik.

Esimesel ja kolmandal joonisel kujutatud graafikud on ordinaattelje suhtes sümmeetrilised ning teisel ja neljandal joonisel kujutatud graafikud on sümmeetrilised alguspunkti suhtes.

Millised funktsioonidest, mille graafikud on joonistel näidatud, on paaris ja millised paaritud?