Föderaalne haridusagentuur

HARIDUSE ARENDUSINSTITUUT

"Graafilised meetodid võrrandite ja parameetritega võrratuste lahendamiseks"

Lõpetatud

matemaatika õpetaja

Munitsipaalõppeasutuse keskkool nr 62

Lipetsk 2008

SISSEJUHATUS................................................ ...................................................... .............. .3

X;juures) 4

1.1. Paralleelne ülekanne.................................................. ........................... 5

1.2. Pöörake ................................................... ................................................... ...... 9

1.3. Homoteetsus. Surumine sirgjoonele................................................ ...................... 13

1.4. Kaks sirget tasapinnal................................................ .......................................... 15

2. GRAAFILISED TEHNIKAD. KOORDINAATTASAND ( X;A) 17

KOKKUVÕTE.................................................. .............................................. 20

BIBLIOGRAAFILINE LOETELU................................................................ .............................. 22

SISSEJUHATUS

Probleemid, mis koolilastel tekivad ebastandardsete võrrandite ja ebavõrdsuste lahendamisel, on tingitud nii nende ülesannete suhtelisest keerukusest kui ka sellest, et kool keskendub reeglina tüüpülesannete lahendamisele.

Paljud koolilapsed tajuvad parameetrit "tavalise" numbrina. Tõepoolest, mõne ülesande puhul võib parameetrit pidada konstantseks väärtuseks, kuid see konstantne väärtus omandab tundmatud väärtused! Seetõttu on vaja probleemi käsitleda selle konstandi kõigi võimalike väärtuste puhul. Teiste probleemide korral võib olla mugav parameetrina kunstlikult deklareerida üks tundmatutest.

Teised koolilapsed kohtlevad parameetrit kui tundmatut suurust ja võivad häbenemata väljendada parameetrit oma vastuses muutujana X.

Lõpu- ja sisseastumiseksamitel esineb parameetritega peamiselt kahte tüüpi probleeme. Saate neid kohe sõnastuse järgi eristada. Esiteks: "Leidke iga parameetri väärtuse jaoks kõik mõne võrrandi või ebavõrdsuse lahendused." Teiseks: "Leidke kõik parameetri väärtused, millest igaühe jaoks on antud võrrandi või ebavõrdsuse jaoks täidetud teatud tingimused." Sellest tulenevalt erinevad nende kahe tüüpi probleemide vastused sisuliselt. Esimest tüüpi probleemi vastuses on loetletud kõik parameetri võimalikud väärtused ja iga väärtuse jaoks kirjutatakse võrrandi lahendused. Vastus teist tüüpi probleemile näitab kõiki parameetrite väärtusi, mille korral on täidetud probleemis määratletud tingimused.

Võrrandi lahend parameetriga antud parameetri fikseeritud väärtuse jaoks on selline tundmatu väärtus, mille asendamisel võrrandisse muutub viimane õigeks arvuliseks võrrandiks. Sarnaselt määratakse parameetriga ebavõrdsuse lahendus. Võrrandi (võrratuse) lahendamine parameetriga tähendab parameetri iga lubatava väärtuse puhul antud võrrandi (võrratuse) kõigi lahendite hulga leidmist.

1. GRAAFILISED TEHNIKAD. KOORDINAATTASAND ( X;juures)

Parameetritega seotud ülesannete lahendamise põhiliste analüütiliste tehnikate ja meetoditega on olemas võimalused visuaalsete ja graafiliste tõlgenduste kasutamiseks.

Sõltuvalt sellest, milline roll parameetrile ülesandes omistatakse (muutujaga ebavõrdne või võrdne), saab vastavalt eristada kahte peamist graafilist tehnikat: esimene on graafilise kujutise konstrueerimine koordinaattasandil. (X;y), teine ​​- sisse (X; A).

Tasapinnal (x; y) funktsioon y =f (X; A) määrab sõltuvalt parameetrist kõverate perekonna A. On selge, et iga pere f on teatud omadused. Meid huvitab eelkõige see, millise tasapinnalise teisenduse (paralleeltõlke, pööramise jne) abil saab liikuda perekonna ühelt kõveralt teisele. Igale sellisele teisendusele on pühendatud eraldi lõik. Meile tundub, et selline klassifikatsioon hõlbustab otsustajal vajaliku graafilise pildi leidmist. Pange tähele, et selle lähenemise korral ei sõltu lahenduse ideoloogiline osa sellest, milline kujund (sirge, ring, parabool jne) on kõverate perekonna liige.

Muidugi pole perekonna graafiline pilt alati y =f (X;A) kirjeldatud lihtsa teisendusega. Seetõttu on sellistes olukordades kasulik keskenduda mitte sellele, kuidas sama perekonna kõverad on omavahel seotud, vaid kõveratele endile. Teisisõnu saame eristada teist tüüpi probleeme, mille puhul lahenduse idee põhineb peamiselt konkreetsete omadustel geomeetrilised kujundid ja mitte perekonda tervikuna. Millised figuurid (täpsemalt nende kujude perekonnad) meid ennekõike huvitavad? Need on sirgjooned ja paraboolid. See valik on tingitud lineaarse ja erilisest (põhi)asendist ruutfunktsioonid koolimatemaatikas.

Graafilistest meetoditest rääkides on võimatu vältida ühte võistluseksamite praktikast “sündinud” probleemi. Peame silmas graafilistel kaalutlustel põhineva otsuse ranguse ja seega ka seaduslikkuse küsimust. Kahtlemata ei saadud formaalsest küljest „pildilt“ võetud, analüütiliselt toetatud tulemust rangelt. Kes, millal ja kus määrab aga ranguse, millest gümnaasiumiõpilane peaks kinni pidama? Meie arvates peaks õpilasele esitatavad matemaatilise ranguse taseme nõuded olema määratud terve mõistusega. Me mõistame sellise vaatenurga subjektiivsuse määra. Pealegi on graafiline meetod vaid üks selguse vahenditest. Ja nähtavus võib olla petlik..gif" width="232" height="28"> on ainult üks lahendus.

Lahendus. Mugavuse huvides tähistame lg b = a. Kirjutame originaaliga samaväärse võrrandi: https://pandia.ru/text/78/074/images/image004_56.gif" width="125" height="92">

Funktsiooni graafiku koostamine määratlusvaldkonnaga ja (joon. 1). Saadud graafik on sirgjoonte perekond y = a peavad ristuma ainult ühes punktis. Jooniselt on näha, et see nõue on täidetud ainult siis, kui a > 2, st lg b> 2, b> 100.

Vastus. https://pandia.ru/text/78/074/images/image010_28.gif" width="15 height=16" height="16"> määrake võrrandi lahendite arv .

Lahendus. Joonistame funktsiooni 102" height="37" style="vertical-align:top">

Mõelgem. See on OX-teljega paralleelne sirgjoon.

Vastus..gif" width="41" height="20">, seejärel 3 lahendust;

kui , siis 2 lahendust;

kui , 4 lahendust.

Liigume edasi uue ülesannete seeria juurde..gif" width="107" height="27 src=">.

Lahendus. Ehitame sirge juures= X+1 (joonis 3)..gif" width="92" height="57">

on üks lahend, mis on samaväärne võrrandiga ( X+1)2 = x + A on üks juur..gif" width="44 height=47" height="47"> algsel võrratusel pole lahendeid. Pange tähele, et tuletise tundja võib selle tulemuse saada erinevalt.

Järgmisena, nihutades “poolparabooli” vasakule, fikseerime viimase hetke, mil graafikud juures = X+ 1 ja neil on kaks ühist punkti (positsioon III). Selline korraldus on tagatud nõudega A= 1.

On selge, et segmendi [ X 1; X 2], kus X 1 ja X 2 – graafikute lõikepunktide abstsissid, on algse võrratuse lahendus..gif" width="68 height=47" height="47">, siis

Kui "poolparabool" ja sirgjoon ristuvad ainult ühes punktis (see vastab juhtumile a > 1), siis on lahendus lõik [- A; X 2"], kus X 2" – juurtest suurim X 1 ja X 2 (positsioon IV).

Näide 4..gif" width="85" height="29 src=">.gif" width="75" height="20 src="> . Siit saame .

Vaatame funktsioone ja . Nende hulgas määratleb ainult üks kõverate perekonda. Nüüd näeme, et asendamine tõi kahtlemata kasu. Paralleelselt märgime, et eelmises ülesandes saate sarnast asendust kasutades teha mitte poolparabooli, vaid sirgjoone. Vaatame joonist fig. 4. Ilmselgelt, kui “poolparabooli” tipu abstsiss on suurem kui üks, st –3 A > 1, , siis võrrandil pole juuri..gif" width="89" height="29"> ja sellel on erinev monotoonsus.

Vastus. Kui siis võrrandil on üks juur; kui https://pandia.ru/text/78/074/images/image039_10.gif" width="141" height="81 src=">

on lahendused.

Lahendus. On selge, et otsesed pered https://pandia.ru/text/78/074/images/image041_12.gif" width="61" height="52">..jpg" width="259" height="155 " >

Tähendus k1 leiame, asendades paari (0;0) süsteemi esimesse võrrandisse. Siit k1 =-1/4. Tähendus k 2 saame süsteemilt nõudes

https://pandia.ru/text/78/074/images/image045_12.gif" width="151" height="47"> millal k> 0-l on üks juur. Siit k2= 1/4.

Vastus. .

Teeme ühe märkuse. Selle punkti mõnes näites peame lahendama standardülesande: jooneperekonna jaoks leidke selle nurga koefitsient, mis vastab kõvera puutumismomendile. Näitame teile, kuidas seda teha üldine vaade kasutades tuletist.

Kui (x0; y 0) = pöörlemiskese, seejärel koordinaadid (X 1; juures 1) kõvera kokkupuutepunktid y =f(x) saab leida süsteemi lahendamisega

Nõutav kalle k võrdne .

Näide 6. Milliste parameetri väärtuste jaoks on võrrandil ainulaadne lahendus?

Lahendus..gif" width="160" height="29 src=">..gif" width="237" height="33">, kaar AB.

Kõik OA ja OB vahelt kulgevad kiired lõikuvad ühes punktis kaarega AB ning ka kaarega AB OB ja OM (puutuja) ühes punktis..gif" width="16" height="48 src=">. Kaldetegur puutuja on võrdne . Süsteemist kergesti leitav

Niisiis, suunake perekondi https://pandia.ru/text/78/074/images/image059_7.gif" width="139" height="52">.

Vastus. .

Näide 7..gif" width="160" height="25 src="> on lahendus?

Lahendus..gif" width="61" height="24 src="> ja väheneb võrra. Punkt on maksimumpunkt.

Funktsioon on sirgjoonte perekond, mis läbib punkti https://pandia.ru/text/78/074/images/image062_7.gif" width="153" height="28"> on kaar AB. Sirge jooned, mis asuvad sirgjoonte OA ja OB vahel, vastavad ülesande tingimustele..gif" width="17" height="47 src=">.

Vastus..gif" width="15" height="20">lahendusi pole.

1.3. Homoteetsus. Surumine sirgjoonele.

Näide 8. Mitu lahendust süsteemil on?

https://pandia.ru/text/78/074/images/image073_1.gif" width="41" height="20 src="> süsteemil pole lahendusi. Fikseeritud a > 0 esimese võrrandi graafik on ruut tippudega ( A; 0), (0;-A), (-a;0), (0;A). Seega on perekonna liikmed homoteetsed ruudud (homoteetsuse keskpunkt on punkt O(0; 0)).

Vaatame joonist fig. 8..gif" width="80" height="25"> ruudu mõlemal küljel on kaks ühist punkti ringiga, mis tähendab, et süsteemil on kaheksa lahendust. Kui ring osutub ruutu kantuks, st lahendusi on jälle neli. Ilmselgelt pole süsteemil lahendusi.

Vastus. Kui A< 1 или https://pandia.ru/text/78/074/images/image077_1.gif" width="56" height="25 src=">, siis on neli lahendust; kui , siis on lahendusi kaheksa.

Näide 9. Otsige üles kõik parameetri väärtused, millest igaühe võrrand on https://pandia.ru/text/78/074/images/image081_0.gif" width="181" height="29 src=">. Mõelge funktsioonile ..jpg" width="195" height="162">

Juurte arv vastab numbrile 8, kui poolringi raadius on suurem ja väiksem kui , see tähendab. Pange tähele, et on olemas.

Vastus. või .

1.4. Kaks sirget tasapinnal

Põhimõtteliselt põhineb selle lõigu probleemide lahendamise idee kahe sirge suhtelise positsiooni uurimisel: Ja . Selle probleemi lahendust on lihtne üldkujul näidata. Pöördume otse konkreetsete tüüpiliste näidete poole, mis meie arvates ei kahjusta teema üldist külge.

Näide 10. Mille jaoks a ja b süsteem teeb

https://pandia.ru/text/78/074/images/image094_0.gif" width="160" height="25 src=">..gif" width="67" height="24 src="> , t..gif" width="116" height="55">

Süsteemi ebavõrdsus määratleb pooltasandi piiriga juures= 2x– 1 (joon. 10). On lihtne mõista, et saadud süsteemil on lahendus, kui sirgjoon ah +poolt = 5 lõikub pooltasandi piiriga või asub sellega paralleelselt pooltasandil juures– 2x + 1 < 0.

Alustame juhtumist b = 0. Siis tundub, et võrrand Oh+ poolt = 5 määratleb vertikaalse joone, mis ilmselgelt joont lõikub y = 2X - 1. See väide kehtib aga ainult siis, kui ..gif" width="43" height="20 src="> süsteemil on lahendused ..gif" width="99" height="48">. Sel juhul saavutatakse joonte ristumistingimus punktides , st ..gif" width="52" height="48">.gif" width="41" height="20"> ja , või ja , või ja https://pandia.ru/text/78/074/images/image109_0.gif" width="69" height="24 src=">.

− B koordinaattasand xOa joonistame funktsiooni .

− Mõelge sirgjoontele ja valige need Oa-telje intervallid, mille korral need sirged vastavad järgmistele tingimustele: a) ei ristu funktsiooni https://pandia.ru/text/78/074/images/image109_0 graafikuga .gif" width="69" height ="24"> ühes punktis, c) kahes punktis, d) kolmes punktis ja nii edasi.

− Kui ülesandeks on leida x väärtused, siis väljendame x-i a-ga iga leitud a väärtuse intervalli kohta eraldi.

Vaade parameetrist kui võrdsest muutujast kajastub graafilistes meetodites..jpg" width="242" height="182">

Vastus. a = 0 või a = 1.

KOKKUVÕTE

Loodame, et analüüsitud probleemid näitavad veenvalt pakutud meetodite tõhusust. Kuid kahjuks piiravad nende meetodite rakendusala raskused, mis võivad tekkida graafilise pildi konstrueerimisel. Kas see on tõesti nii halb? Ilmselt mitte. Tõepoolest, selle lähenemise korral läheb parameetritega seotud probleemide peamine didaktiline väärtus miniatuurse uurimistöö mudelina suures osas kaotsi. Ülaltoodud kaalutlused on aga suunatud õpetajatele ja taotlejate jaoks on valem üsna vastuvõetav: eesmärk pühitseb vahendeid. Veelgi enam, öelgem, et paljudes ülikoolides järgivad parameetritega konkurentsiprobleemide koostajad teed pildilt tingimuseni.

Nendes ülesannetes arutlesime probleemide lahendamise võimalustest parameetriga, mis avanevad meile, kui joonistame paberilehele võrrandite või võrratuste vasakule ja paremale poolele kuuluvate funktsioonide graafikud. Kuna parameeter võib võtta suvalisi väärtusi, liigub üks või mõlemad kuvatavatest graafikutest tasapinnal teatud viisil. Võime öelda, et saadakse terve graafikute perekond, mis vastab parameetri erinevatele väärtustele.

Rõhutame tugevalt kahte detaili.

Esiteks ei räägi me "graafilisest" lahendusest. Kõik väärtused, koordinaadid, juured arvutatakse rangelt, analüütiliselt, vastavate võrrandite ja süsteemide lahendustena. Sama kehtib ka graafikute puudutamise või ristamise kohta. Neid ei määrata silma järgi, vaid diskriminantide, tuletisinstrumentide ja muude teile kättesaadavate vahendite abil. Pilt annab ainult lahenduse.

Teiseks, isegi kui te ei leia näidatud graafikutega seotud probleemi lahendamiseks mingit võimalust, laieneb teie arusaam probleemist oluliselt, saate teavet enesetestimiseks ja eduvõimalused suurenevad oluliselt. Kujutades täpselt ette, mis ja millal probleemis juhtub erinevaid tähendusi parameeter, võite leida õige lahendusalgoritmi.

Seetõttu lõpetame need sõnad kiireloomulise lausega: kui vähimalgi määral raske ülesanne On funktsioone, mille jaoks teate, kuidas graafikuid joonistada, tehke seda kindlasti, te ei kahetse.

BIBLIOGRAAFILINE LOETELU

1. Tšerkasov,: Käsiraamat keskkooliõpilastele ja ülikoolidesse kandideerijatele [Tekst] /, . – M.: AST-PRESS, 2001. – 576 lk.

2. Gorshtein, parameetritega [Tekst]: 3. trükk, laiendatud ja muudetud / , . – M.: Ilexa, Harkov: Gümnaasium, 1999. – 336 lk.

Lase f(x,y) Ja g(x, y)- kaks muutujatega avaldist X Ja juures ja ulatus X. Siis vormi ebavõrdsused f(x, y) > g(x, y) või f(x, y) < g(x, y) helistas ebavõrdsus kahe muutujaga .

Muutujate tähendus x, y paljudelt X, mille korral ebavõrdsus muutub tõeliseks arvuliseks võrratuseks, nimetatakse seda otsus ja on määratud (x, y). Lahendage ebavõrdsus - see tähendab paljude selliste paaride leidmist.

Kui iga numbripaar (x, y) Lahenduste hulgast ebavõrdsusele, sobitage punkt M(x, y), saame selle ebavõrdsusega määratud tasandi punktide hulga. Teda kutsutakse selle ebavõrdsuse graafik . Ebavõrdsuse graafik on tavaliselt tasapinna pindala.

Ebavõrdsuse lahenduste hulga kujutamiseks f(x, y) > g(x, y), toimige järgmiselt. Esmalt asendage ebavõrdsusmärk võrdusmärgiga ja leidke sirge, millel on võrrand f(x,y) = g(x,y). See joon jagab tasapinna mitmeks osaks. Pärast seda piisab, kui võtta igas osas üks punkt ja kontrollida, kas selles punktis on ebavõrdsus täidetud f(x, y) > g(x, y). Kui see täidetakse selles punktis, siis täidetakse see kogu selles osas, kus see punkt asub. Selliseid osi kombineerides saame palju lahendusi.

Ülesanne. y > x.

Lahendus. Esiteks asendame ebavõrdsuse märgi võrdusmärgiga ja konstrueerime ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis sirge, millel on võrrand y = x.

See joon jagab tasapinna kaheks osaks. Pärast seda võtke igast osast üks punkt ja kontrollige, kas ebavõrdsus on selles punktis täidetud y > x.

Ülesanne. Lahendage ebavõrdsus graafiliselt
X 2 + juures 2 25 naela.

Olgu antud kaks ebavõrdsust f 1(x, y) > g 1(x, y) Ja f 2(x, y) > g 2(x, y).

Kahe muutujaga võrratuste hulkade süsteemid

Ebavõrdsuse süsteem on ise nende ebavõrdsuste koosmõju. Süsteemne lahendus on iga tähendus (x, y), mis muudab iga ebavõrdsuse tõeliseks arvuliseks võrratuseks. Palju lahendusi süsteemid ebavõrdsused on antud süsteemi moodustavate võrratuste lahendite kogumite ristumiskoht.

Ebavõrdsuse hulk on ise nende lahutamine ebavõrdsused Terviku lahenduse järgi on iga tähendus (x, y), mis teisendab vähemalt ühe võrratuste hulgast tõeliseks arvuliseks võrratuseks. Palju lahendusi totaalsus on ebavõrdsuse lahenduste hulk, mis moodustab hulga.

Ülesanne. Lahendage graafiliselt võrratuste süsteem

Lahendus. y = x Ja X 2 + juures 2 = 25. Lahendame süsteemi iga ebavõrdsuse.

Süsteemi graafik on punktide kogum tasapinnal, mis on esimese ja teise võrratuse lahendushulkade lõikepunktiks (topeltviirutuseks).

Ülesanne. Lahendage graafiliselt võrratuste hulk

Harjutused iseseisvaks tööks

1. Lahenda graafiliselt võrratused: a) juures> 2x; b) juures< 2x + 3;

V) x 2+ y 2 > 9; G) x 2+ y 2 4 naela.

2. Lahendage graafiliselt võrratussüsteeme:

a) b)

10. klassi õpilane Juri Kotovtšihhin

Õpilased alustavad moodulitega võrrandite õppimist juba 6. klassis, kasutades moodulite laiendusmeetodit alamoodulavaldiste konstantse märgiga intervallidel. Valisin just selle teema, kuna usun, et see nõuab põhjalikumat ja põhjalikumat õppimist mooduliga seotud probleemid tekitavad õpilastele suuri raskusi. IN kooli õppekava Eksamitel on moodulit sisaldavaid ülesandeid keerukamate ülesannetena, seega peame olema valmis sellise ülesandega kokku puutuma.

Lae alla:

Eelvaade:

Munitsipaalharidusasutus

Keskmine üldhariduslik kool №5

Uurimistöö sellel teemal:

« Moodulit sisaldavate võrrandite ja võrratuste algebraline ja graafiline lahendus»

Olen töö ära teinud:

10. klassi õpilane

Kotovtšihhin Juri

Juhendaja:

Matemaatika õpetaja

Shanta N.P.

Urjupinsk

1. Sissejuhatus……………………………………………………….3

2. Mõisted ja määratlused……………………………………….5

3. Teoreemide tõestus………………………………………………..6

4. Meetodid moodulit sisaldavate võrrandite lahendamiseks……………7

4.1 Lahendus, kasutades sõltuvusi arvude a ja b, nende moodulite ja ruutude vahel………………………………………………………………………12.

4.2. Mooduli geomeetrilise tõlgenduse kasutamine võrrandite lahendamisel………………………………………………………………..14

4.3.Kõige lihtsamate absoluutväärtuse märki sisaldavate funktsioonide graafikud.

………………………………………………………………………15

4.4.Mittestandardsete moodulit sisaldavate vrrandite lahendamine....16

5. Järeldus………………………………………………………….17

6. Kasutatud kirjanduse loetelu……………………………18

Töö eesmärk: õpitakse moodulitega võrrandeid õppima alates 6. klassist, kasutades moodulite laiendusmeetodit alamoodulavaldiste konstantse märgiga intervallidel. Valisin just selle teema, kuna usun, et see nõuab põhjalikumat ja põhjalikumat õppimist mooduliga seotud probleemid tekitavad õpilastele suuri raskusi. Kooli õppekavas on moodulit sisaldavad ülesanded kõrgendatud keerukusega ülesannetena ja eksamitel, seetõttu peame olema valmis sellise ülesandega kokku puutuma.

1. Sissejuhatus:

Sõna "moodul" tuleb ladinakeelsest sõnast "modulus", mis tähendab "mõõta". See on polüsemantiline sõna (homonüüm), millel on palju tähendusi ja mida kasutatakse mitte ainult matemaatikas, vaid ka arhitektuuris, füüsikas, tehnoloogias, programmeerimises ja muudes täppisteadustes.

Arhitektuuris on see antud jaoks määratud esialgne mõõtühik arhitektuurne struktuur ja selle koostisosade mitme suhte väljendamiseks.

Tehnoloogias on see erinevates tehnoloogiavaldkondades kasutatav termin, millel pole universaalset tähendust ja mis on mõeldud erinevate koefitsientide ja suuruste tähistamiseks, näiteks haardemoodul, elastsusmoodul jne.

Mahumoodul (füüsikas) on materjali normaalpinge ja suhtelise pikenemise suhe.

2. Mõisted ja määratlused

Reaalarvu A moodulit – absoluutväärtust – tähistatakse |A|-ga.

Selle teema sügavaks uurimiseks on vaja tutvuda kõige lihtsamate määratlustega, mida mul vaja läheb:

Võrrand on muutujaid sisaldav võrdsus.

Mooduliga võrrand on võrrand, mis sisaldab muutujat absoluutväärtuse märgi all (mooduli märgi all).

Võrrandi lahendamine tähendab selle kõigi juurte leidmist või juurte puudumise tõestamist.

3.Teoreemide tõestamine

1. teoreem. Absoluutne väärtus reaalarv on võrdne kahest arvust a või -a suuremaga.

Tõestus

1. Kui arv a on positiivne, siis -a on negatiivne, st -a

Näiteks arv 5 on positiivne, siis -5 on negatiivne ja -5

Sel juhul |a| = a, st |a| sobib kahest arvust a ja - a suuremaga.

2. Kui a on negatiivne, siis -a on positiivne ja a

Tagajärg. Teoreemist järeldub, et |-a| = |a|.

Tegelikult on mõlemad ja võrdsed suuremaga arvudest -a ja a, mis tähendab, et need on üksteisega võrdsed.

Teoreem 2. Iga reaalarvu a absoluutväärtus on võrdne aritmeetikaga ruutjuur alates 2 .

Tegelikult, kui siis arvu mooduli definitsiooni järgi on meil lАl>0 Seevastu A>0 puhul tähendab see |a| = √A 2

Kui a 2

See teoreem võimaldab mõne ülesande lahendamisel asendada |a|. peal

Geomeetriliselt |a| tähendab kaugust koordinaatjoonel arvu a tähistavast punktist alguspunktini.

Kui siis koordinaatsirgel on kaks nullist võrdsel kaugusel asuvat punkti a ja -a, mille moodulid on võrdsed.

Kui a = 0, siis koordinaatide sirgel |a| mida esindab punkt 0

4. Moodulit sisaldavate võrrandite lahendamise meetodid.

Absoluutväärtuse märki sisaldavate võrrandite lahendamisel tugineme arvu mooduli definitsioonile ja arvu absoluutväärtuse omadustele. Lahendame mõned näited erinevaid viise ja vaatame, milline meetod osutub lihtsamaks moodulit sisaldavate võrrandite lahendamisel.

Näide 1. Lahendame analüütiliselt ja graafiliselt võrrandi |x + 2| = 1.

Lahendus

Analüütiline lahendus

1. meetod

Arutleme mooduli määratluse põhjal. Kui mooduli all olev avaldis on mittenegatiivne, st x + 2 ≥0, siis "tuleb" see mooduli märgi alt välja plussmärgiga ja võrrand on kujul: x + 2 = 1. Kui mooduli märgi all oleva avaldise väärtus on negatiivne , siis definitsiooni järgi on see võrdne: või x + 2=-1

Seega saame kas x + 2 = 1 või x + 2 = -1. Lahendades saadud võrrandid, leiame: X+2=1 või X+2+-1

X = -1 X = 3

Vastus: -3;-1.

Nüüd võime järeldada: kui mõne avaldise moodul on võrdne positiivse reaalarvuga a, siis mooduli all olev avaldis on kas a või -a.

Graafiline lahendus

Üks moodulit sisaldavate võrrandite lahendamise viise on graafiline meetod. Selle meetodi põhiolemus on nende funktsioonide graafikute koostamine. Kui graafikud lõikuvad, on nende graafikute lõikepunktid meie võrrandi juured. Kui graafikud ei ristu, võime järeldada, et võrrandil pole juuri. Seda meetodit kasutatakse moodulit sisaldavate võrrandite lahendamisel ilmselt harvemini kui teisi, kuna esiteks võtab see palju aega ega ole alati ratsionaalne ning teiseks ei ole graafikute joonistamisel saadud tulemused alati täpsed.

Teine viis moodulit sisaldavate võrrandite lahendamiseks on jagada arvurida intervallideks. Sel juhul peame arvurea poolitama, et mooduli definitsiooni järgi saaks nende intervallide absoluutväärtuse märgi eemaldada. Seejärel peame iga intervalli puhul selle võrrandi lahendama ja tegema järelduse saadud juurte kohta (kas need vastavad meie intervallile või mitte). Lõpliku vastuse annavad lüngad rahuldavad juured.

2. meetod

Teeme kindlaks, millistel x väärtustel on moodul võrdne nulliga: |X+2|=0 , X=2

Saame kaks intervalli, millest igaühel lahendame võrrandi:

Saame kaks segasüsteemi:

(1) X+2 0

X-2=1 X+2=1

Lahendame iga süsteemi:

X = -3 X = -1

Vastus: -3;-1.

Graafiline lahendus

y= |X+2|, y= 1.

Graafiline lahendus

Võrrandi graafiliseks lahendamiseks tuleb koostada funktsioonide graafikud ja

Funktsiooni graafiku koostamiseks koostame funktsiooni graafiku – see on funktsioon, mis lõikub punktides OX-telge ja OY-telge.

Funktsioonigraafikute lõikepunktide abstsissid annavad võrrandile lahendused.

Funktsiooni y=1 sirge graafik lõikuva funktsiooni y=|x + 2| graafikuga. koordinaatidega (-3; 1) ja (-1; 1) punktides on võrrandi lahendid punktide abstsissid:

x=-3, x=-1

Vastus: -3;-1

Näide 2. Lahendage analüütiliselt ja graafiliselt võrrand 1 + |x| = 0,5.

Lahendus:

Analüütiline lahendus

Teisendame võrrandi: 1 + |x| = 0,5

|x| =0,5-1

|x|=-0,5

On selge, et antud juhul pole võrrandil lahendeid, kuna definitsiooni järgi on moodul alati mittenegatiivne.

Vastus: lahendusi pole.

Graafiline lahendus

Teisendame võrrandi: : 1 + |x| = 0,5

|x| =0,5-1

|x|=-0,5

Funktsiooni graafik on kiired - 1. ja 2. koordinaatnurga poolitajad. Funktsiooni graafik on OX-teljega paralleelne sirge, mis läbib OY-telje punkti -0,5.

Graafikud ei ristu, mis tähendab, et võrrandil pole lahendeid.

Vastus: lahendusi pole.

Näide 3. Lahendage analüütiliselt ja graafiliselt võrrand |-x + 2| = 2x + 1.

Lahendus:

Analüütiline lahendus

1. meetod

Kõigepealt peate määrama muutuja vastuvõetavate väärtuste vahemiku. Tekib loomulik küsimus: miks eelmistes näidetes polnud seda vaja teha, aga nüüd tekkis see.

Fakt on see, et selles näites on võrrandi vasakul küljel mõne avaldise moodul ja paremal pool pole mitte arv, vaid muutujaga avaldis - just see oluline asjaolu eristab see näide eelmistest.

Kuna vasakul küljel on moodul ja paremal muutujat sisaldav avaldis, on vaja nõuda, et see avaldis oleks mittenegatiivne, st seega kehtivate väärtuste vahemik

mooduli väärtused

Nüüd saame arutleda samamoodi nagu näites 1, kui leidsime leitud võrdsuse paremal poolel positiivne arv. Saame kaks segasüsteemi:

(1) -X+2≥0 ja (2) -X+2

X+2=2X+1; X-2=2X+1

Lahendame iga süsteemi:

(1) sisaldub intervallis ja on võrrandi juur.

X≤2

X = ⅓

(2) X>2

X = -3

X = -3 ei sisaldu intervallis ega ole võrrandi juur.

Vastus: ⅓.

4.1 Lahendus, kasutades sõltuvusi arvude a ja b, nende moodulite ja nende arvude ruutude vahel.

Lisaks ülaltoodud meetoditele on teatav samaväärsus antud arvude arvude ja moodulite vahel, samuti antud arvude ruutude ja moodulite vahel:

|a|=|b| a=b või a=-b

A2=b2 a=b või a=-b

Siit me omakorda saame selle

|a|=|b| a 2 = b 2

Näide 4. Lahendage võrrand |x + 1|=|2x - 5| kahel erineval viisil.

1. Võttes arvesse seost (1), saame:

X + 1 = 2x - 5 või x + 1 = -2x + 5

x - 2x = -5 - 1 x + 2x = 5 - 1

X=-6|(:1) 3x=4

X = 6 x = 11/3

Esimese võrrandi juur x=6, teise võrrandi juur x=11/3

Seega algse võrrandi x juured 1 = 6, x 2 = 11/3

2. Seose (2) alusel saame

(x + 1)2 = (2x - 5) 2 või x2 + 2x + 1 = 4x2 - 20x + 25

X2 - 4x2 +2x+1 + 20x - 25 = 0

3x2 + 22x - 24=0|(:-1)

3x2 - 22x + 24 = 0

D/4=121-3 24=121 - 72=49>0 ==>võrrandil on 2 erinevat juurt.

x 1 =(11–7)/3=11/3

x 2 =(11 + 7)/3=6

Nagu lahendus näitab, on selle võrrandi juurteks ka numbrid 11/3 ja 6

Vastus: x 1 =6, x 2 =11/3

Näide 5. Lahenda võrrand (2x + 3) 2 = (x - 1) 2 .

Võttes arvesse seost (2), saame, et |2x + 3|=|x - 1|, millest eelmise näite (ja seose (1)) eeskujul:

2x + 3 = x - 1 või 2x + 3 = -x + 1

2x - x=-1-3 2x+ x=1-3

X = -4 x = -0, (6)

Seega on võrrandi juured x1 = -4 ja x2 = -0, (6)

Vastus: x1=-4, x2 =0,(6)

Näide 6. Lahenda võrrand |x - 6|=|x2 - 5x + 9|

Suhet kasutades saame:

x - 6 = x2 - 5x + 9 või x - 6 = -(x2 - 5x + 9)

X2 + 5x + x - 6 - 9=0 |(-1) x - 6 = -x2 + 5x - 9

x2 - 6x + 15 = 0 x 2 - 4x + 3 = 0

D=36-4 15=36-60= -24 D=16-4 3=4 >0==>2 r.k.

==> juurteta.

X 1 = (4-2) /2 = 1

X 2 = (4 + 2) /2 = 3

Kontrollige: |1 - 6|=|12 - 5 1 + 9| |3 - 6|=|32 - 5 3 + 9|

5 = 5 (I) 3 = |9 - 15 + 9|

3 = 3 (I)

Vastus: x 1 =1; x 2 =3

4.2.Mooduli geomeetrilise tõlgenduse kasutamine võrrandite lahendamisel.

Suuruste erinevuse mooduli geomeetriline tähendus on nendevaheline kaugus. Näiteks väljendi |x - a | geomeetriline tähendus - segmendi pikkus koordinaatide telg, ühendades punktid abstsissidega a ja x. Algebralise ülesande tõlkimine geomeetrilisse keelde võimaldab sageli vältida tülikaid lahendusi.

Näide 7. Lahendame võrrandi |x - 1| + |x - 2|=1 kasutades mooduli geomeetrilist tõlgendust.

Põhjendame järgmiselt: mooduli geomeetrilise tõlgenduse põhjal vasak pool võrrand on kauguste summa teatud abstsisspunktist x kahe fikseeritud punktini, mille abstsissid on 1 ja 2. Siis on ilmne, et kõik punktid, millel on lõigu abstsissid, omavad nõutavat omadust, kuid punktid, mis asuvad väljaspool seda lõiku, ei oma seda. Siit ka vastus: võrrandi lahendite hulk on segment.

Vastus:

Näide8. Lahendame võrrandi |x - 1| - |x - 2|=1 1, kasutades mooduli geomeetrilist tõlgendust.

Arutleme sarnaselt eelmise näitega ja leiame, et abstsissidega 1 ja 2 punktide kauguste erinevus on võrdne ühega ainult nende punktide puhul, mis asuvad koordinaatteljel arvust 2 paremal. Seetõttu on lahendus see võrrand ei ole punktide 1 ja 2 vahele jääv segment ega punktist 2 väljuv kiir, mis on suunatud OX-telje positiivses suunas.

Vastus:)